Управление множеством траекторий линейными динамическими системами с дискретным аргументом

Управление множеством траекторий линейными динамическими системами с дискретным аргументом

Розглядається математична проблема побудови загальних розв’язків задачі термінального керування для множини початкових збурень. Наводяться умови існування загального розв’язку цієї проблеми для лінійних динамічних систем з дискретним аргументом. Побудована функція керування базується на фільтрації...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2007
Автор: Матвиенко, В.Т.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2007
Назва видання:Проблемы управления и информатики
Теми:
Проблемы динамики управляемых систем
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207134
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Управление множеством траекторий линейными динамическими системами с дискретным аргументом / В.Т. Матвиенко // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 6. — С. 8-13. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-207134
record_format dspace
spelling irk-123456789-2071342025-09-30T00:19:45Z Управление множеством траекторий линейными динамическими системами с дискретным аргументом Керування множиною траєкторій лінійними динамічними системами з дискретним аргументом Control of trajectories set by the linear dynamic systems with discrete argument Матвиенко, В.Т. Проблемы динамики управляемых систем Розглядається математична проблема побудови загальних розв’язків задачі термінального керування для множини початкових збурень. Наводяться умови існування загального розв’язку цієї проблеми для лінійних динамічних систем з дискретним аргументом. Побудована функція керування базується на фільтрації лінійно незалежних рядків та стовпців матриці. The mathematical problem of construction of general solutions of problem of terminal control for the set of initial perturbations is considered. The condition of existence of general solution of this problem for the linear dynamic systems with discrete argument are given. The built function of control is based on filtration of linearindependent rows and columns of matrix. 2007 Article Управление множеством траекторий линейными динамическими системами с дискретным аргументом / В.Т. Матвиенко // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 6. — С. 8-13. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207134 519.711 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Проблемы динамики управляемых систем
Проблемы динамики управляемых систем
spellingShingle Проблемы динамики управляемых систем
Проблемы динамики управляемых систем
Матвиенко, В.Т.
Управление множеством траекторий линейными динамическими системами с дискретным аргументом
Проблемы управления и информатики
description Розглядається математична проблема побудови загальних розв’язків задачі термінального керування для множини початкових збурень. Наводяться умови існування загального розв’язку цієї проблеми для лінійних динамічних систем з дискретним аргументом. Побудована функція керування базується на фільтрації лінійно незалежних рядків та стовпців матриці.
format Article
author Матвиенко, В.Т.
author_facet Матвиенко, В.Т.
author_sort Матвиенко, В.Т.
title Управление множеством траекторий линейными динамическими системами с дискретным аргументом
title_short Управление множеством траекторий линейными динамическими системами с дискретным аргументом
title_full Управление множеством траекторий линейными динамическими системами с дискретным аргументом
title_fullStr Управление множеством траекторий линейными динамическими системами с дискретным аргументом
title_full_unstemmed Управление множеством траекторий линейными динамическими системами с дискретным аргументом
title_sort управление множеством траекторий линейными динамическими системами с дискретным аргументом
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2007
topic_facet Проблемы динамики управляемых систем
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207134
citation_txt Управление множеством траекторий линейными динамическими системами с дискретным аргументом / В.Т. Матвиенко // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 6. — С. 8-13. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
series Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv AT matvienkovt upravleniemnožestvomtraektorijlinejnymidinamičeskimisistemamisdiskretnymargumentom
AT matvienkovt keruvannâmnožinoûtraêktoríjlíníjnimidinamíčnimisistemamizdiskretnimargumentom
AT matvienkovt controloftrajectoriessetbythelineardynamicsystemswithdiscreteargument
first_indexed 2025-09-30T01:31:36Z
last_indexed 2025-10-01T01:27:44Z
_version_ 1844740950046277632
fulltext © В.Т. МАТВИЕНКО, 2007 8 ISSN 0572-2691 ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ УДК 519.711 В.Т. Матвиенко УПРАВЛЕНИЕ МНОЖЕСТВОМ ТРАЕКТОРИЙ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ С ДИСКРЕТНЫМ АРГУМЕНТОМ Введение. Задача управления по переводу системы управления с начальной точки фазового состояния системы в финальное состояние является основной за- дачей теории управления (задача терминального управления). В случае системы управления с дискретным аргументом для этой задачи описано полное множество ее решений [1]. Более интересная с практической точки зрения задача по переводу множества начальных состояний динамической системы в финальное состоя- ние [2–4]. Постановка задачи. Рассмотрим для вполне управляемой дискретной систе- мы управления ),()()()()1( iuibixiAix +=+ ,,,2,1,0 Ni = (1) задачу по переводу начального состояния этой системы )1()0( xx = в финальное состояние )1()1( xNx =+ за конечное время. Описание полного множества реше- ний этой задачи приведено в [1, 5]. Здесь вектор состояния )(ix и вектор )(ib размерности n, матрица системы управления )(iA размерности ,nn вектор управления )(iu — скалярная функция. Рассмотрим более сложную задачу: необходимо найти функцию управления системой (1), с помощью которой систему (1) можно перевести из заданного множества начальных состояний )}0(,),0(),0({ 210 sxxx = (2) в множество конечных состояний )}1(,),1(),1({ 211 +++= NxNxNx s (3) соответственно. Решение задачи управления пучком траекторий. Введем следующие обо- значения:             = )0( )0( )0( )0( 2 1 sx x x x  — вектор начальных значений размерности ;ns )1( 2 1 )1( )1( )1( )1( x Nx Nx Nx Nx s =             + + + =+  — вектор финальных состояний размерности ns. Проблемы управления и информатики, 2007, № 6 9 Тогда задача перевода области начальных состояний (2) системы (1) в мно- жество финальных состояний (3) эквивалентна задаче управления системой ),( )( )( )( )( )( )( )(00 0)(0 00)( )1( )1( )1( 2 1 2 1 iu ib ib ib ix ix ix iA iA iA ix ix ix ss               +                             =               + + +       ,,0 Ni = (4) из области 0 в область 1 на конечном интервале времени. Введем обозначения , )(00 0)(0 00)( )(             = kA kA kA kA     , )1( )1( )1( )1( )1( 2 1 x ix ix ix ix s =             + + + =+  , )( )( )( )(             = ib ib ib ib  тогда система (4) примет вид ),()()()()1( iuibixiAix +=+ ,,0 Ni = (5) где векторы ),(ix )(ib размерности ,ns блочная матрица )(iA размерности .nsns Известно [1, 5], что в конечный момент времени состояние системы (5) имеет вид ),0()0()1()1()()(),1()1( 0 xAANANAkukNWNx N k −++=+  = (6) где матрица ).()1()2()1(),( kbkANANAkNW +−−=  Систему (6) запишем в виде .)(),1()0()0()1()1()()1( 0  = +=−−+ N k kukNWxAANANANx  (7) Обозначим ),0()0()1()1()()1(~)1(~ )1( xAANANANxxNx −−+==+ (8) тогда систему алгебраических уравнений (7) относительно функции управления представим следующим образом: ).1(~ )( )1( )0( )),1(),1,1(,),1,1(),0,1(( +=             +−+++ Nx Nu u u NNWNNWNWNW   (9) Решение системы (9) имеет вид ,~~ )1(xWu += (10) где T))(,),1(),0((~ Nuuuu = — вектор размерности ,1+N матрица )),1(),1,1(,),1,1(),0,1(( NNWNNWNWNWW +−+++=  размерности ).1( + Nns Матрицу ),1( kNW + запишем в виде 10 ISSN 0572-2691 ),( )1()1()(00 0)1()1()(0 00)1()1()( ),1( kb kANANA kANANA kANANA kNW             +− +− +− = =+     ).( )1()1()( )1()1()( )1()1()( )()1()1()( )()1()1()( )()1()1()( ),1( kb kANANA kANANA kANANA kbkANANA kbkANANA kbkANANA kNW               +− +− +− =               +− +− +− =+         Уравнение (10) представим в виде ,~)(~~ )1( TT )1( xWWWxWu ++ == (11) где ,),1(),1()( 0 TTTT + = ++         ++==  N j jNWjNWWWWWW или +         ++             + + + = + =  )1( 0 T T T T ~),1(),1( ),1( )1,1( )0,1( ~ xjNWjNW NNW NW NW u N j          ++             + + + −        + + =  N j jNWjNW NNW NW NW E 0 T T T T ),1(),1( ),1( )1,1( )0,1(  ,~)),1(,),1,1(),0,1(( vNNWNWNW        +++  (12) v~ — произвольный вектор размерности 1+N . Соотношение (12) представляет собой общее решение сформулированной задачи. Упростив уравнение (12), получим +         ++             + + + = + =  )1( 0 T T T T ~),1(),1( ),1( )1,1( )0,1( ~ xjNWjNW NNW NW NW u N j ,)(),1(),1(),1( ),1( )1,1( )0,1( ~ 00 T T T T  = + = +         ++             + + + −+ N j N j jvjNWjNWjNW NNW NW NW v  (13) где T))(,),1(),0((~ Nvvvv = .,0,)( 1 NkRkv = Проблемы управления и информатики, 2007, № 6 11 Представим псевдообратную матрицу следующим образом: =         ++ + =  N j jNWjNW 0 T ),1(),1(                       +− +− +− =  = N j jbjANANA jbjANANA jbjANANA 0 )()1()()( )()1()()( )()1()()(     =++ +))()1()()()1()(( TTTTTT NAjAjbNAjAjb  , )()()( )()()( )()()( 000 000 000 + === === ===                       =    N j N j N j N j N j N j N j N j N j jDjDjD jDjDjD jDjDjD     где )()1()()()1()1()()( TTT NAjAjbjbjANANAjD  ++−= . (14) Обозначим ,)( 0  = = N j CjD тогда (13) можно представить так: +                           + + + = + )1( T T T ~ ),1( )1,1( )0,1( ~ x CCC CCC CCC NNW NW NW u      .)(),1( ),1( )1,1( )0,1( ~ 0 T T T  = + +                           + + + −+ N j jvjNW CCC CCC CCC NNW NW NW v      (15) Известно [6], что если A ~ — матрица, составленная из всех линейно незави- симых строк матрицы A, матрица A — из всех линейно независимых столбцов матрицы A, а матрица A ~ получена из A последовательным применением преды- дущих двух операций, то .)( ~ ) ~~ ( ~ T1T1TT AAAAAAAA −−+ = Используя этот результат, псевдообратную матрицу в формуле (15) можно представить следующим образом: =                                                                                 =             −−+ T1 T T T 1 T T T T )()( C C C C C C C C C C C C C CCCCCC CCC CCC CCC       12 ISSN 0572-2691 =                                                       = −− )()()()( TTT 1 TTT 1 T T T T CCC C C C CCCC C C C CCCCCC       = − − = == s i s i CCCCCCCCCCC 0 TTT1T 1 0 TT )()()()(  == −− )()()()( TTT1T1TT2 CCCCCCCCCCCs  =               = −− )()()( TTT1T1T T T T 2 CCCCCCCC C C C s   ,),,,(),,,( 1 1 1 2111 1 1 1 2 EEE C C C sCCCC C C C s                   =               = − − − −−− − − − при условии, что матрица C полного ранга и .rankrank nC CCC CCC CCC ==                 Тогда функция управления пучком траекторий имеет следующий вид: .)(,,0,)(),1(),1( )(~),1()( 1 1 111 111 111 T2 )1( 111 111 111 T2 RkvNkjvjNW CCC CCC CCC kNWs kvx CCC CCC CCC kNWsku N j =+               +− −+               +=  = −−− −−− −−− −−− −−− −−−         (16) Функция управления ,,0),( Nkku = переводит множество точек (1) системы управления (4) в точку ).0()0()1()1()()1(~)1(~ )1( xAANANANxxNx −−+==+ Из вышеизложенного следует теорема. Теорема. Для того чтобы задача по переводу области (1) в точку )1( ~x систе- мы управления (4) имела решение, необходимо и достаточно, чтобы ,)()1()()()1()1()(rank 0 TTT nNAjAjbjbjANANA N j =++− =  при этом .nN  Заключение. Получено полное множество решений задачи управления пуч- ком траекторий для систем с дискретным аргументом. Найденное решение позво- ляет решить ряд практических задач для управления пучком траекторий. Проблемы управления и информатики, 2007, № 6 13 В.Т. Матвiєнко КЕРУВАННЯ МНОЖИНОЮ ТРАЄКТОРІЙ ЛІНІЙНИМИ ДИНАМІЧНИМИ СИСТЕМАМИ З ДИСКРЕТНИМ АРГУМЕНТОМ Розглядається математична проблема побудови загальних розв’язків задачі термінального керування для множини початкових збурень. Наводяться умо- ви існування загального розв’язку цієї проблеми для лінійних динамічних си- стем з дискретним аргументом. Побудована функція керування базується на фільтрації лінійно незалежних рядків та стовпців матриці. V.T. Matvienko CONTROL OF TRAJECTORIES SET BY THE LINEAR DYNAMIC SYSTEMS WITH DISCRETE ARGUMENT The mathematical problem of construction of general solutions of problem of ter- minal control for the set of initial perturbations is considered. The condition of existence of general solution of this problem for the linear dynamic systems with discrete argument are given. The built function of control is based on filtration of linear-independent rows and columns of matrix. 1. Кириченко Н.Ф., Лепеха Н.П. Применение псевдообратных и проекционных матриц к ис- следованию задач управления, наблюдения и идентификации // Кибернетика и системный анализ. — 2002. — № 4. — С. 107–124. 2. Гаращенко Ф.Г., Верченко А.П. Необхідні умови оптимальності для однієї задачі оптиміза- ції пучків траєкторій дискретних процесів // Вісн. Київ. ун-ту. Сер. Кібернетика. — 2001. — Вип. 2. — С. 1–12. 3. Гаращенко Ф.Г., Бублик Б.М. Розвиток методів практичної стійкості та їх використання для аналізу, оцінки і оптимізації динаміки пучків // Там же. — 2000. — Вип. 1. — С. 4–17. 4. Овсянников Д.А. Управление пучками. Математические методы управления пучками. — Л. : Изд-во Ленинград. ун-та, 1980. — 228 с. 5. Кириченко Н.Ф., Матвиенко В.Т. Общее решение задач терминального управления и наблюдения // Кибернетика и системный анализ. — 2002. — № 2. — С. 80–89. 6. Кириченко Н.Ф., Лепеха Н.П. Возмущение псевдообратных и проекционных матриц и их применение к идентификации линейных и нелинейных зависимостей // Проблемы управ- ления и информатики. — 2001. — № 1. –— С. 6–22. Получено 03.09.2007 Статья представлена к публикации членом редколлегии Ф.Г. Гаращенко.

Схожі ресурси