Свойство робастности и запасы устойчивости линейных систем
Для лінійних систем розглянуто можливість представлення робастних властивостей за допомогою критичної величини малого параметра сингулярних збурень. Наведено приклади для систем з «повільною» компонентою невисокого порядку....
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2007
|
| Назва видання: | Проблемы управления и информатики |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207136 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Свойство робастности и запасы устойчивости линейных систем / С.А. Дубовик // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 6. — С. 26-32. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-207136 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2071362025-09-30T00:19:08Z Свойство робастности и запасы устойчивости линейных систем Властивість робастності і запаси стійкості лінійних систем Robust property and stability margin of linear systems Дубовик, С.А. Проблемы динамики управляемых систем Для лінійних систем розглянуто можливість представлення робастних властивостей за допомогою критичної величини малого параметра сингулярних збурень. Наведено приклади для систем з «повільною» компонентою невисокого порядку. For the linear systems possibility of presentation of robust properties is examined by the critical size of small parameter of singular perturbations. Examples are given for the systems with «slow» component of low order. 2007 Article Свойство робастности и запасы устойчивости линейных систем / С.А. Дубовик // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 6. — С. 26-32. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207136 517 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем |
| spellingShingle |
Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Дубовик, С.А. Свойство робастности и запасы устойчивости линейных систем Проблемы управления и информатики |
| description |
Для лінійних систем розглянуто можливість представлення робастних властивостей за допомогою критичної величини малого параметра сингулярних збурень. Наведено приклади для систем з «повільною» компонентою невисокого порядку. |
| format |
Article |
| author |
Дубовик, С.А. |
| author_facet |
Дубовик, С.А. |
| author_sort |
Дубовик, С.А. |
| title |
Свойство робастности и запасы устойчивости линейных систем |
| title_short |
Свойство робастности и запасы устойчивости линейных систем |
| title_full |
Свойство робастности и запасы устойчивости линейных систем |
| title_fullStr |
Свойство робастности и запасы устойчивости линейных систем |
| title_full_unstemmed |
Свойство робастности и запасы устойчивости линейных систем |
| title_sort |
свойство робастности и запасы устойчивости линейных систем |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Проблемы динамики управляемых систем |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207136 |
| citation_txt |
Свойство робастности и запасы устойчивости линейных систем / С.А. Дубовик // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 6. — С. 26-32. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT duboviksa svojstvorobastnostiizapasyustojčivostilinejnyhsistem AT duboviksa vlastivístʹrobastnostíízapasistíjkostílíníjnihsistem AT duboviksa robustpropertyandstabilitymarginoflinearsystems |
| first_indexed |
2025-09-30T01:31:43Z |
| last_indexed |
2025-10-01T01:27:58Z |
| _version_ |
1844740964746264576 |
| fulltext |
© С.А. ДУБОВИК, 2007
26 ISSN 0572-2691
УДК 517
С.А. Дубовик
СВОЙСТВО РОБАСТНОСТИ И ЗАПАСЫ
УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Введение
Свойство робастности интересно только в том случае, когда оно характери-
зует запасы устойчивости системы [1]. Широко известны критерии робастной
устойчивости для интервального семейства полиномов [2]. Наибольшим продви-
жением в этом направлении, основанном на принципе исключения нуля и теореме
Харитонова, является графический критерий Цыпкина–Поляка (будем называть
его также интервальным). Простой пример показывает, что такая характеризация
запасов устойчивости не является всеобъемлющей. Рассмотрим номинальную пе-
редаточную функцию )],(/[)(0 assksW += для которой после замыкания единич-
ной отрицательной обратной связью имеем ).(/))(1/()()( 0000 sPksWsWs =+=
Здесь характеристический полином замкнутой системы 0
0
0
1
20
20 )( asasasP ++= име-
ет коэффициенты ,0
0 ka = ,0
1 aa = 10
2 =a и определяет частотную характеристику
),()()( 000 += VjUjP где ,)( 2
0 −= kU .)(0 aV = Следуя [2, гл. 7, с. 189],
представим интервальное семейство в виде − iii aa 0
с размахом неопреде-
ленности и масштабами изменения коэффициентов ,i .2,1,0=i Для простоты
примем равные масштабы: .1210 === В таком случае годограф Цыпкина–
Поляка [2] имеет координаты ),1/()()( 22 +−= kx ,)( ay = т.е. представля-
ет собой отрезок, параллельный оси абсцисс (начало отрезка — точка ,)0( kx = ко-
нец — точка )1)( −=x и пересекающий ось ординат в точке a (при ).2 k=
Можно определить радиус устойчивости max [2], для которого робастная устой-
чивость сохраняется при всех .max В данном случае это просто: .max a=
Пусть в прямой цепи имеется балластная динамика с постоянной времени
,/1 kTB = т.е. реальная передаточная функция прямой цепи имеет вид =)(sW
).1/()(0 += sTsW B Тогда для 2/ka = полином замкнутой возмущенной системы
ksasaTsTsP BB ++++= 23 )1()( неустойчивый, хотя номинальная система ро-
бастна и, более того, при →k имеет бесконечный радиус устойчивости. При
конечных параметрах радиус также будет конечным, но в данном случае принци-
пиально то, что радиус устойчивости не зависит от свободного члена ,0
0 ka = т.е.
критерий никак не учитывает свойство колебательности системы [1, 3]. Посколь-
ку сингулярные возмущения всегда присутствуют в реальных системах, отмечен-
ное обстоятельство серьезно ограничивает области применения данного критерия.
Вместе с тем, если вводить показатель робастности , то для рассмотренного при-
мера это не составляет проблемы — он должен быть пропорционален 0
1a и обратно
пропорционален ,0
0a т.е. ./ 0
0
0
1 aa=
Особое влияние сингулярных возмущений в данном случае нетрудно объяс-
нить, если сравнить корневые годографы для исходной и возмущенной систем.
При →k корни исходной системы перемещаются в направлении, параллель-
Проблемы управления и информатики, 2007, № 6 27
ном мнимой оси. Невещественные ветви корневого годографа возмущенной си-
стемы при →k приближаются к асимптотам, идущим под углами 3/ к ве-
щественной оси, т.е. пересекают мнимую ось при достаточно большом k. Следо-
вательно, используемое в данном примере возмущение особенно сильно в том
смысле, что нарушает свойство структурной устойчивости, которое имеет место
для систем второго порядка. Однако неадекватность интервального критерия со-
храняется и при более высоких порядках исходной системы.
Пусть задана номинальная передаточная функция
)()(
)(0
bsass
k
sW
++
= и
соответствующий ей полином 0
0
0
1
20
2
30
30 )( asasasasP +++= замкнутой системы
,
)(
)(
0
0
sP
k
s = т.е. ,0
0 ka = ,0
1 aba = ,0
2 baa += .10
3 =a В отличие от предыду-
щего примера примем, что 0k — малая величина. Считая равными масштабы
изменения коэффициентов ,i ,3,2,1,0=i будем иметь координаты годографа
Цыпкина–Поляка:
,
1
)(
)(
2
2
+
+−
=
bak
x .
1
)(
2
2
+
−
=
ab
y
Домножая ординату на ba + и вычитая из абсциссы, получим =+− ybax )(
).1/(])([ 2++−= abbak Выражая отсюда частоту через координаты, имеем
уравнение
,dcxy += (1)
где
,
1
bak
ab
c
++
+
= .
)(
bak
kabba
d
++
−+
= (2)
Таким образом, годографом опять является отрезок прямой. Начальная его точка
),())0(),0(( abkyx = лежит в первом квадранте, конечная )1,())(),(( −−−= bayx —
в третьем. Радиус устойчивости max также легко определяется как ордината
точки A пересечения отрезка годографа и биссектрисы второго квадранта (рису-
нок). Обозначим эту величину .Ay Подставляя yx −= в (1), получаем
),1/( += cdyA или, с учетом (2),
.
1
)(
max
kabba
kabba
yA
++++
−+
== (3)
В условиях малости свободного члена относительно других коэффициентов по-
линома )(0 sP имеем
,
11
)(
0
2
0
1
0
2
0
1
max
aa
aa
abba
abba
+
=
+++
+
(4)
т.е. результат не столь абсурдный, как в предыдущем случае, но также ведет к не-
верным представлениям. Действительно, в принятых предположениях имеется
один малый вещественный корень и еще два корня для звена, у которого
0
1a —
свободный член и 0
2a — коэффициент демпфирования, т.е. с точностью до мало-
го k должно быть ,/ 0
1
0
2 aa чего нет в (4). Вывод: радиус max интервального
критерия опять не может быть принят в качестве показателя робастной устойчи-
вости .
28 ISSN 0572-2691
max=Ay
A
1. Основной результат: робастность на основе жесткости
В настоящей работе робастность определяется с помощью сингулярных воз-
мущений, в результате задача синтеза сводится к выбору коэффициентов в за-
мкнутой системе, содержащей малый параметр при части производных и име-
ющей гурвицеву «быструю» подсистему. В основном подход тот же: если система
теряет устойчивость при некотором критическом значении * параметра возму-
щений ,0 то следует принять это значение * за меру устойчивости и робаст-
ности.
Пусть — строка коэффициентов характеристического полинома (полином ),
разбитая на блоки 0 и 1 в соответствии с разделением n-вектора состояния воз-
мущенной системы на m-подвектор 0
~
X «медленных» переменных и k-подвектор
1
~
X «быстрых» переменных, ),,,,( )1(001000 −= m ),,,,( )1(111101 −= k
.mkn += Тогда динамика «медленных» переменных аппроксимируется вырож-
денной системой, получаемой при ,0= с характеристическим полиномом
./ 100 Если этот полином также гурвицев, то существует такое ,0 что для
любого возмущенная система асимптотически устойчива. Значение =
k== * критическое, если для любого * возмущенная система неустой-
чива, пометим его индексом ,,2,1 =k чтобы подчеркнуть связь с размерностью
«быстрой» компоненты. Обратную величину kk = /1 назовем жесткостью си-
стемы, а нежесткость k — характеристикой грубости или робастности [4]. Часто
такой подход к робастности естественней, так как жесткость характеризует
запасы устойчивости системы. Это показано в [4] для 1=k )1( += mn с помощью
метода D-разбиения. В настоящей работе наряду с этим рассматривается также
случай ,2=k ,2+= mn т.е. показатель жесткости ./1 22 =
Характеристиче-
ские полиномы возмущенной системы можно представить в рассматриваемых
случаях ,/1 jj =
,2,1=j следующим образом:
),(),(
~ 1
1 sMssP m
m += +
+ ),(),(
~ 21
1
2
2 sMsassP m
m
m
m ++= +
+
+
+
где ,/1 = ,)( 01
1
1 asasasasM m
m
m
m ++++= −
− ,000 =a == −1011 ,, maa
.0,, 11110)1(0 === +− mmm aa Если полином )(sM гурвицев, то существу-
ет 0 j такое, что j полиномы )(
~
sP jm+ гурвицевы, .2,1=j Объединяя
коэффициенты полинома в строку ),,,,( 10 maaaa = , обозначим
Проблемы управления и информатики, 2007, № 6 29
).,(),(),()( ajVaRjaMjM mm +==
Воспользовавшись методом D-разбиения для вычисления характеристики
жесткости 2 (т.е. для ),2=k будем исходить из характеристического уравнения
,0)(),(
~ 21
1
2
2 =++= +
+
+
+ sMsassP m
m
m
m
где .)( 01
1
1 asasasasM m
m
m
m ++++= −
−
Разрешим это уравнение относительно :
).(/))(4(
2
1
)( 2222
1
1
12,1 sMsMssasa mm
m
m
m
++
+
+
+ −−= (5)
Полагаем здесь = js [5], домножим числитель и знаменатель на )( sM − и обо-
значим
),()()( sMsMsQ −= ),()()()()( 1
1 +=−−= +
+ jurjMjajL m
m
).()()(4)()()( 22 −−=+ + jMjQjjLjUR m (6)
Тогда (5) перепишем в следующем виде:
).(/))()()((
2
1
)( 2,1 += jQjURjL
Представляя переменную под корнем в показательной форме
))((exp)()()( =+ jAjUR ,
получаем ),()()( 2,1 += jUR где в соответствии с (6)
),(
2
)(
cos)()(
2
1
)( /
= jQArR (7)
).(
2
)(
sin)()(
2
1
)( /
= jQAuU (8)
Введем в рассмотрение множество частот, при которых годограф D-раз-
биения пересекает вещественную ось }.0)(Im:{ == j Из (7), (8) следует
соотношение для :
.0
2
)(
sin)()( =
Au (9)
Учитывая, что по определению )(/)()(cos),(/)()(sin == ARAU и ис-
пользуя формулу синуса половинного угла, получим уравнение, описывающее
множество :
),(2)()( 2 =− uRA (10)
откуда с учетом )()()( 222 += URA следует (опуская далее черту)
.)](2)([)()( 2222 +=+ uRUR (11)
В соответствии с (6) имеем
),()(2/)()(4)( 1 += + urarjQU m (12)
30 ISSN 0572-2691
.
)(
)(4)()()(
1
22
+
−−=
ma
u
jQurR (13)
Из уравнений (7), (9) и (10) следует
).(
)(2
)(
)(
2
1
)(
2
)(
tg/)()(
2
1
)( //
−=
−= jQ
u
U
rjQurR
Подставляя (12), получаем
.
)(
)(
)(
1+
−
=
mau
r
R (14)
Возводя в квадрат справа в (11) и подставляя (12) и (13), после преобразований
получаем
./)()()())()(( 1
222
+−=+ marjQuru
Учитывая, что по определению )()()()( 22 −=+ jLjLru , = )()( jMjQ
),( − jM в итоге получаем
.0)()()( 2123
1 =+= +
+ ruaN m
m (15)
Остается еще выразить координаты функции )()()( += jurjL в (14), (15)
через координаты )()()( += mm VjRjM 0( — целое):
+=−−
=−
=
+
+
+
+
+
+
,12),()1(
,2),()1(
)(
1
1
1
1
1
1
mRa
mVa
r
m
m
m
m
m
m
+=−
=−−
=
+
+
+
+
+
.12),()1(
,2),()1(
)(
1
1
1
1
1
mVa
mRa
u
m
m
m
m
m
m
Подставляя это в (15) и (14), имеем [6]
+==+−=
==+−=
=
+
+
+
+
,12,0)()()1()(
,2,0)()()1()(
)(
22
1
1
22
1
1
mRVaN
mVRaN
N
mm
m
mV
mm
m
mR
(16)
+=
=
−
=
+
+
.12,
)(
)(
,2,
)(
)(
)(
1
1
m
aV
R
m
aR
V
R
mm
m
mm
m
(17)
Соотношения (16), (17) позволяют построить оценку ),(max2 =
R учитывая,
что (16) задает . Объединяя это с результатами [4] для ,1=k получим следую-
щий результат.
Теорема. Пусть полином )(sM гурвицев и .0111 =+ma Тогда для харак-
теристик жесткости ,/1 jj =
,2,1=j имеем
Проблемы управления и информатики, 2007, № 6 31
+=−
=−
=
+
=
++
=
;12при),(/)1(max
,2при),(/)1(max
1
0),(
11
0),(
1
maR
maV
m
m
aV
m
m
aR
m
m
+=
=
−
=
+=
+=
,12при
)(
)(
max
,2 при
)(
)(
max
10
10
2
m
Va
R
m
Ra
V
mm
m
N
mm
m
N
V
R
где ),()()1()( 22
1
1 +−= +
+
mm
m
mR VRaN ).()()1()( 22
1
1 +−= +
+
mm
m
mV RVaN
2. Примеры определения жесткости
1. Для иллюстрации обратимся опять к системе третьего порядка, имеющей
двумерную «медленную» компоненту и одномерную «быструю» (балластную),
т.е. ,2=m .1=k В этом случае ),(),(
~
)(
~ 3
121 sMssPsPm +== ++ где =)(sM
.)( 0
0
0
1
2
0 asassP ++== Далее имеем ,( 0
0
0 aa = )1
0
1 aa = ,),( 2
02 −= aaR
,),( 12 = aaV ,2=m ,1= и, следовательно =−=
=
),(/)1(max 2
32
0),(
1
2
aV
aR
./ 10 aa= Систему можно представить и как одномерную, возмущенную двумерной
«быстрой» компонентой: ),(),(
~ 223
21 sMsssP ++=+ где .)( 01 asasM += Тогда
,),( 01 aaR = ,),( 11 = aaV )()()( 2
11 +−= RVNV и опять ./ 102 aa=
2. Пусть в системе четвертого порядка 2=m и выполнены условия теоремы.
Очевидно ,)( 01
2
2 asasasM ++= поэтому ,),( 2
202 −= aaaR .),( 12 = aaV
Здесь ,2=m ,1= откуда и из теоремы следует =−=
=
),(/)1(max 2
32
0),(
1
2
aV
aR
.
21
0
aa
a
= Характеристика жесткости второго порядка также выражается явно через
параметры системы. Для того чтобы записать ее, вычислим )(N в соответствии
с (16), где в данном случае имеем
,)()()( 22
1
2
20
22
3 +−== aaaaNN R
т.е. множество , задаваемое здесь корнями уравнения ,0)( =RN явно опреде-
ляется равенствами 01 = и )./()( 2
32
2
30
2
1
2
3,2 aaaaa += В соответствии с теоре-
мой )].([/ 2
2031
2
2 −−= aaaa Подставляя ,2
3,2
2 = после преобразований
получаем ).(/)( 321
2
30
2
12 aaaaaa +=
3. Для системы с трехмерной «медленной» переменной )3( =m += 3
3)( sasM
,01
2
2 asasa +++ ,)( 2
203 −= aaR ,)( 3
313 −= aaV ,112 +=m поэтому
1= и оценка первого порядка
)].([/),(/)1(max 21303
2
13
4
0),(
1
3
aaaaaaaR
aV
−−=−=
=
Характеристику второго порядка )52( =+=mn рассмотрим в предположениях
второго примера из п. 1: ,0
00 kaa == ,10
33 == aa ,14 =a где 0k — малая ве-
личина. Множество определяется уравнением +−= )()1()( 3
32
4
2 VaNV
32 ISSN 0572-2691
,0)(2
3 =+ R которое в данном случае имеет вид .0)()( 22
20
2
31
4 =−+− aaaa
С точностью до ka =0
0 запишем
.)(max 2
2
1
2 a
a
a
R +=
(18)
Эта оценка показывает, что для повышения робастной устойчивости коэффициент
1a следует уменьшать. Представляя характеристический полином в виде произ-
ведения ),()()( 235 sPsPsP = где )(2 sP соответствует двум малым корням (коэф-
фициенты ,0a 1a малы), получим, что коэффициент 2a определяет свободный
член полинома ).(3 sP Это ограничивает возможность уменьшения 2 за счет
увеличения 2a (первое слагаемое в (18)) и объясняет появление второго слагае-
мого в (18).
Заключение
Для линейной системы на основе сингулярных возмущений, т.е. посредством
введения балластной динамики, можно построить критерии робастности (грубо-
сти) и запасов устойчивости, более компактные и содержательные, чем интер-
вальные. При этом свойство негрубости определяется жесткостью системы.
С.А. Дубовик
ВЛАСТИВІСТЬ РОБАСТНОСТІ І ЗАПАСИ
СТІЙКОСТІ ЛІНІЙНИХ СИСТЕМ
Для лінійних систем розглянуто можливість представлення робастних власти-
востей за допомогою критичної величини малого параметра сингулярних збу-
рень. Наведено приклади для систем з «повільною» компонентою невисокого
порядку.
S.А. Dubovik
ROBUST PROPERTY AND STABILITY
MARGIN OF LINEAR SYSTEMS
For the linear systems possibility of presentation of robust properties is examined by
the critical size of small parameter of singular perturbations. Examples are given for
the systems with «slow» component of low order.
1. Lurie B.J. Classical feedback control: with MATLAB / B.J. Lurie, P.J. Enright. — New York :
Marcel Dekker, 2000. — 456 p.
2. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. — М. : Наука, 2002. —
303 с.
3. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления. — М. :
Наука, 1989. — 302 с.
4. Дубовик С.А. Грубость и нежесткость сингулярно возмущенных систем управления //
Проблемы управления и информатики. — 2004. — № 6. — С. 12–18.
5. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. — М. : Наука, 1978. —
336 c.
6. Дубовик С.А. Синтез грубых систем управления на основе сингулярно возмущенных пред-
ставлений // Тр. V Междунар. конф. «Идентификация систем и задачи управления»
SICPRO’06 ИПУ им. В.А. Трапезникова. — М., 2006. — С. 1495–1513.
Получено 11.10.2007
|