Построение сетки для визуализации и моделирования объектов сложной формы

Розглянуто проблему побудови тріангуляційної сітки поверхні складної форми, поданої набором тривимірних точок. Запропоновано підхід, що дозволяє одержати тріангуляційну сітку для візуалізації й моделювання об'єктів складної форми....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2007
Hauptverfasser:	Пауков, Д.П., Башков, Е.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2007
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Роботы и системы искусственного интеллекта
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207145
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Построение сетки для визуализации и моделирования объектов сложной формы / Д.П. Пауков, Е.А. Башков // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 6. — С. 135-144. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-207145
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2071452025-09-30T00:03:46Z Построение сетки для визуализации и моделирования объектов сложной формы Побудова сітки для візуалізації й моделювання об’єктів складної форми Mesh construction for complex form objects visualization and modeling Пауков, Д.П. Башков, Е.А. Роботы и системы искусственного интеллекта Розглянуто проблему побудови тріангуляційної сітки поверхні складної форми, поданої набором тривимірних точок. Запропоновано підхід, що дозволяє одержати тріангуляційну сітку для візуалізації й моделювання об'єктів складної форми. The construction problem of a triangular mesh of the complex form surface specified by a set of threedimensional points is considered. The approach, allowing to receive a triangular mesh for visualization and modeling of complex form objects is offered. 2007 Article Построение сетки для визуализации и моделирования объектов сложной формы / Д.П. Пауков, Е.А. Башков // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 6. — С. 135-144. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207145 681.327 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Роботы и системы искусственного интеллекта Роботы и системы искусственного интеллекта
spellingShingle	Роботы и системы искусственного интеллекта Роботы и системы искусственного интеллекта Пауков, Д.П. Башков, Е.А. Построение сетки для визуализации и моделирования объектов сложной формы Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто проблему побудови тріангуляційної сітки поверхні складної форми, поданої набором тривимірних точок. Запропоновано підхід, що дозволяє одержати тріангуляційну сітку для візуалізації й моделювання об'єктів складної форми.
format	Article
author	Пауков, Д.П. Башков, Е.А.
author_facet	Пауков, Д.П. Башков, Е.А.
author_sort	Пауков, Д.П.
title	Построение сетки для визуализации и моделирования объектов сложной формы
title_short	Построение сетки для визуализации и моделирования объектов сложной формы
title_full	Построение сетки для визуализации и моделирования объектов сложной формы
title_fullStr	Построение сетки для визуализации и моделирования объектов сложной формы
title_full_unstemmed	Построение сетки для визуализации и моделирования объектов сложной формы
title_sort	построение сетки для визуализации и моделирования объектов сложной формы
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2007
topic_facet	Роботы и системы искусственного интеллекта
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207145
citation_txt	Построение сетки для визуализации и моделирования объектов сложной формы / Д.П. Пауков, Е.А. Башков // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 6. — С. 135-144. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT paukovdp postroeniesetkidlâvizualizaciiimodelirovaniâobʺektovsložnojformy AT baškovea postroeniesetkidlâvizualizaciiimodelirovaniâobʺektovsložnojformy AT paukovdp pobudovasítkidlâvízualízacííjmodelûvannâobêktívskladnoíformi AT baškovea pobudovasítkidlâvízualízacííjmodelûvannâobêktívskladnoíformi AT paukovdp meshconstructionforcomplexformobjectsvisualizationandmodeling AT baškovea meshconstructionforcomplexformobjectsvisualizationandmodeling
first_indexed	2025-09-30T01:30:47Z
last_indexed	2025-10-01T01:28:52Z
_version_	1844741021786701824
fulltext	© Д.П. ПАУКОВ, Е.А. БАШКОВ, 2007 Проблемы управления и информатики, 2007, № 6 135 РОБОТЫ И СИСТЕМЫ ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА УДК 681.327 Д.П. Пауков, Е.А. Башков ПОСТРОЕНИЕ СЕТКИ ДЛЯ ВИЗУАЛИЗАЦИИ И МОДЕЛИРОВАНИЯ ОБЪЕКТОВ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ Введение. Существует целый ряд областей науки и техники, где необходимо использовать модели поверхностей объектов сложной формы и выполнять их ви- зуализацию. К таким областям, где широко применяют системы компьютерной графики, можно отнести медицину, строительство, архитектуру, геодезию, кине- матографию и т.д. Модели поверхностей объектов сложной формы в системах компьютерной графики в общем случае состоят из двух частей: 1) набор структурных элементов, к которым относят вершины, ребра, грани и части кривых или поверхностей; 2) топология, которая представляет собой структуру рассматриваемой моде- ли и определяет способ организации взаимосвязи структурных элементов. Часто для построения топологии необходимо знание различной информации о моделируемом объекте, на основании которой структурные элементы связыва- ются между собой. В большинстве современных систем геометрического проек- тирования и моделирования используется именно такой способ построения моде- лей: задаются как структурные элементы, так и соответствующая топология. Од- нако существует ряд задач, в которых необходимо получить трехмерную геометрическую модель сложного объекта, при этом известен только набор струк- турных элементов, например набор точек (как наиболее простых геометрических объектов). К таким задачам можно отнести построение трехмерной модели иссле- дуемых внутренних органов человека в медицине. Отсюда возникает задача авто- матического построения топологии по набору структурных элементов, которые вместе будут представлять полную геометрическую модель объекта. Для определенности предположим, что исходный набор структурных эле- ментов представляется набором вершин в трехмерном пространстве, а искомая топология является полигональной сеткой. На рис. 1–3 показан набор исходных точек, полученное на нем множество плоскостей с векторами нормалей и сеточ- ная топология (полигональная модель) стопы человека. Задача построения геометрической модели поверхности объекта сложной формы по произвольному набору заданных структурных элементов в виде набора точек в пространстве 3R без топологии можно решить способом, предложенным в [1], предусматривающим последовательное выполнение трех этапов: 1) построение приближенной полигональной сети по исходному набору точек; 2) улучшение параметров полигональной сети; 3) построение сглаженной поверхностной модели. Таким образом, в результате использования указанного метода можно получить не только полигональную сеточную модель сложного объекта, но и сглаженную мо- дель, построенную с помощью В-сплайновой поверхности или NURBS [2–4]. 136 ISSN 0572-2691 Результаты исследований, посвященных проблеме построения топологии по известному набору структурных элементов в условиях определенности типа то- пологии, т.е. когда тип топологии известен заранее, опубликованы в [5, 6]. В [7] описан метод получения замкнутой поверхности, которая аппроксимирует произ- вольное множество точек, метод в качестве входных параметров не требует ни топологических отношений между точками, ни нормали к искомой поверхности. Кроме этого, метод точно интерполирует искомую поверхность, однако прибли- жает полученную поверхность со строго фиксированной максимальной ошибкой. В [8] представлен поглощающий алгоритм восстановления поверхности из неор- ганизованной совокупности точек. Алгоритм предусматривает следующий про- цесс: начиная от исходной грани, один за другим прибавляются треугольники Де- лоне [9–11], образовывая кусочно-линейную поверхность. Наиболее приемлемые треугольники прибавляются в первую очередь так, чтобы не допустить топологи- ческих отклонений, что гарантирует хороший результат. В [12] рассмотрен метод, соединяющий набор выровненных фрагментов поверхностей. Предусматривается, что фрагменты создаются в результате трехмерного сканирования объекта. Похо- жая задача решается в [13], где для моделирования поверхности используются кривые. Предлагаемый в статье подход отличается от метода Норре–DеRоsе [1] тем, что не рассматривает множество соседних точек с параметром k — количества со- седей, использует значения потенциалов узлов решетки, сумму знаковых расстоя- ний до всех ближайших плоскостей. В отличие от метода Соhеn-Steiner [8] рас- сматриваемый подход не требует построения первоначальной триангуляции, а в отличие от метода Dеу–Goswami [11] позволяет строить как замкнутые, так и разомкнутые поверхности. 1. Математическая постановка задачи и идея метода. Пусть задан набор Р вершин в пространстве, представляющих собой структурные элементы поверх- ности сложной формы },,,,,,{ 21 ni ppppP = .),,( 3Rzyxp iiii = (1) Известна также средняя величина  расстояния между соседними точками. Форма поверхности неизвестна. Нужно получить сеточную топологию поверхно- сти в виде набора треугольников. В основе решения поставленной задачи лежит метод «граничащих кубов» (marching cubes) [14, 15], который применяется в компьютерной графике, напри- мер для визуализации скалярных полей. В описываемом методе, как и в методе «граничащих кубов», осуществляется построение пространственной равномерной решетки в исследуемой области про- странства. В полученных узлах решетки вычисляется потенциал, характеризую- щий расположение узла решетки относительно искомой поверхности. Направле- ние, совпадающее с направлением нормали к поверхности, принимается положи- тельным, а противоположное направление — отрицательным. Таким образом, значением потенциалов в узлах решетки являются расстояния со знаком до иско- мой плоскости. Значения потенциалов в узлах решетки позволяют на ребрах решетки найти такие точки, в которых значение потенциала равняется нулю. Полученные на реб- рах решетки точки объединяются в треугольники точно так же, как это делается в методе «граничащих кубов». 2. Формирование множества ближайших точек и касательных плоско- стей. Процедура формирования множества ближайших точек основывается на поиске исходных точек, находящихся в ближайшей окрестности каждой исходной точки: }.),({)( = ijji pkdPkpN (2) Проблемы управления и информатики, 2007, № 6 137 В (2) выражение ),( ij pkd обозначает расстояние между точками jk и .ip Получить множество N для каждой точки ip можно путем просмотра всех точек и отбора таких, что удовлетворяют условию в формуле (2). Трудоемкость такой операции составит не больше ).( 2nO Сформируем множество  существенных точек. Существенная точка — это такая точка, у которой множество N содержит более двух элементов: }.2)({ = ii pNPp (3) Для каждого элемента ip множества  существенных точек поставим в со- ответствие плоскость ),,( ii on  наименее удаленную от точек множества ).( ipN Рассмотрим вспомогательное множество : .min))(),,((; )( )( :),,( 2 )( 1         →==   = jiii pN ji i iiiii pNond pN pN oponp i  (4) В (4) выражение )),,(( jii pond  обозначает расстояние от точки jp до плос- кости ).,( ii on  Элементами вспомогательного множества  являются наборы ),,,( iii onp  где ip — это исходная точка, а ),( ii on  — элементы множества каса- тельных плоскостей Y. Таким образом, получаем множество Y плоскостей, где in  — нормаль плоскости, io — центр масс точек множества :)( ipN }.),,(),{( = iiiii onponY  (5) Из (4) и (5) видно, что существует соответствие между точками множества существенных точек  и плоскостями множества Y: }.),,(,),(,),({ →= iiiiiiiii onpYonponp  (6) Если мощность множества )( ipN равняется трем, то плоскость будет прохо- дить через все точки множества ).( ipN Для получения уравнения плоскости, наименее удаленной от совокупности точек множества ),( ipN можно использовать метод наименьших квадратов, т.е. .min))(),,(( 2 )( 1 → = jiii pN j pNond i  (7) Из условия (7) получаем координаты нормали .in  Для дальнейшего ее ис- пользования нормаль нужно привести к единичной длине, т.е. .1=in  3. Вычисление нормалей. Введем множество ближайших плоскостей, кото- рое соответствует множеству ближайших точек: }.),,(,)(,),,(:),{(),( = jjiiiiiijjii onppNponppYononNP  (8) При построении множества плоскостей Y ориентация нормалей не имеет осо- бого значения и определяется только из уравнения плоскости. Необходимо до- 138 ISSN 0572-2691 полнительно провести глобальную ориентацию нормалей плоскостей с учетом ориентации других нормалей. Очевидно, что если поверхность сглажена и не имеет острых углов, то все ближайшие плоскости по отношению к плоскости ),( ii on  должны иметь нормали, угол между которыми мал. Это означает, что скалярное произведение нормалей с точностью до малой величины равно поло- жительной или отрицательной единице. Это условие можно записать так: )}.,(),(,),({ iijjiijiij onNPonYonnnvv  == (9) Если значение ijv положительно и близко к единице, то плоскости ),( ii on  и ),( jj on  называются правильно ориентированными. Если ijv отрицательно и близ- ко к единице, то плоскости считаются неправильно ориентированными, что гово- рит о необходимости изменить направление одного из векторов in  или jn  на противоположное. Таким образом, возникает задача глобальной ориентации нор- малей. Рассмотрим взвешенный неориентированный граф ),,( EVG = где множе- ство вершин V и ребер Е определяется следующим образом: }},1,1{,),(),,{( −+= iiiiii YononV  (10) )}.,(),(,),(,),(),{( iijjjjii onNPonVonVonjiE  = (11) Величина }}1,1{ −+i считается неизвестной и служит для того, чтобы из- менять направление нормали плоскости на противоположное, т.е. искомое направление нормали плоскости в этом случае примет вид .iin   Весовой коэф- фициент ребра ),( ji отображает угол между двумя ближайшими плоскостями ),( ii on  и ),,( jj on  а значение веса принимается равным .ijw Коэффициенты ijw формируют вспомогательное множество : }.),(,),,(,),,({ EjiVonVonnnw jjjiiijjiiijk ===  (12) Задача глобальной ориентации сводится к поиску множества значений В: }),,({ VonB iiii =  (13) таких, что величина суммы всех весовых коэффициентов графа максимальна, т.е. .max 1 →  =k k (14) Это задача перебора, значит, ее нельзя решить за весьма короткое время, по- этому решим задачу глобальной ориентации нормалей приближенным спосо- бом [1]. Пусть вершина графа задается множеством },),(),{( YononV iiii =  (15) а значение веса ребра ),( ji определяется формулой }.),(,1{ Ejinnw jiijk −===  (16) Проблемы управления и информатики, 2007, № 6 139 В таком случае весовые коэффициенты ребер будут принимать малые значе- ния, если соседние плоскости почти параллельны. Следует отметить, что в рас- сматриваемой задаче весовые коэффициенты, в основном, будут принимать ма- лые значения, так как восстанавливаемые поверхности, как правило, гладкие. Если теперь вычислить минимальное остовое дерево [16] на графе G с весо- выми коэффициентами ~ , то оно свяжет каждую плоскость только с такими со- седними плоскостями, которые имеют минимальный угол между собой. В резуль- тате полученное остовое дерево характеризует обход плоскостей по наименьшей кривизне. Проследим, как изменяется направление нормали для плоскости. Вначале выбирается точка ip с максимальной координатой по какой-то определенной оси координат, например по оси абсцисс. Затем из множества  берется соответству- ющая точке ip плоскость ),,( ii on  нормаль которой ориентируется в положи- тельном направлении выбранной оси. После этого осуществляется обход мини- мального остового дерева, начиная от вершины ).,( ii on  Во время обхода прове- ряется следующее условие изменения вектора плоскости. Если обход осуществляется от вершины ),( jj on  к вершине и значение скалярного произве- дения текущих нормалей плоскостей отрицательное, то плоскость ),( jj on  изме- няет направление своей нормали на противоположное. Описанный выше метод приближенного глобального ориентирования плос- костей на практике дает визуально хорошее изображение (рис. 1–3). Рис. 1 Рис. 2 140 ISSN 0572-2691 Рис. 3 4. Формирование триангуляционной сетки. Построение сетки осуществля- ется с помощью метода «граничащих кубов» [14, 15], он широко используется в трехмерной компьютерной графике для визуализации скалярных полей, позволяет получить полигональное представление изоповерхности некоторой скалярной функции ),,,( zyxF т.е. приближение геометрического места точек, удовлетво- ряющих условию ,),,( rzyxF = где r определяет уровень изоповерхности. Исследуемое пространство разбивают на ячейки, получая таким образом рав- номерную трехмерную решетку «граничащих кубов». Пусть исследуемое про- странство заключено внутри параллелепипеда, заданного двумя точками ),,,( maxmaxmax zyx как показано на рис. 4. В узлах решетки вычисляется скаляр- ное значение функции ).,,( zyxF Тогда, анализируя значения потенциала на раз- ных концах каждого ребра ячейки (см. рис. 4), можно приближенно получить на ребре точку, принадлежащую изоповерхности заданного уровня r. Таким образом, узлами конструируемой треугольной сетки будут точки, принадлежащие ребрам или узлам решетки «граничащих кубов». z y x Рис. 4 Множество V узлов решетки «граничащих кубов» — это набор точек, удо- влетворяющих следующему условию: },,2,1,0,, ,,,,),,({ maxmin maxminmaxmin =+= +=+=== kzzkezz yykeyyxxkexxzyxvV ii iiiiiiii (17) где e — размер ребра решетки. Проблемы управления и информатики, 2007, № 6 141 Тогда множество VA значений потенциалов узлов решетки определяется так: }.)({ VvvFvaVA iii == (18) Функция )( ivF вычисляется как сумма расстояний со знаком от узла решет- ки iv до всех ближайших плоскостей ),( jj on  относительно узла .iv Множество таких плоскостей определяется так: },),,)(,),,(),{()( = jjjiiiijji onvNonvYonvNP  (19) )).,(,()( 1 jji k j i onvdsvF   = = (20) В формуле (20) параметр k равен мощности множества ,)( jivN а расстояние со знаком )),(,( jji onvds  вычисляется путем подстановки координат узла решет- ки iv в уравнение плоскости :),( jj on  ).()),(,( zoznyoynxoxnzvznyvynxvxnonvds jjjjjjijijijjji ++−++=  (21) Для того чтобы не учитывать плоскости, сильно удаленные от ребра решетки, можно при вычислениях )( ivF учитывать только те плоскости, у которых расстоя- ние между точкой jo и узлом решетки iv на эту плоскость меньше величины . На основании .узлов множества V и значений потенциалов множества VA конструируется полигональная сеть треугольников (рис. 5) по методу «гранича- щих кубов» [14, 15]. Рис. 5 Заключение. Описанный метод построения триангуляционной сетки для ви- зуализации и моделирования объектов сложной формы на основании исходного множества точек позволяет получать модели сложных поверхностей, регулировать размеры треугольников в сети, задавая размер ребра решетки. Для проверки адекватности метода разработана программная система на языке Jаvа, реализующая описанный выше подход. Тестирование проведено на персональном компьютере с процессором Intel Pentium 42,8 ГГц, ОЗУ 512 Мб, результаты отражены в таблице и на рис. 6, 7. 142 ISSN 0572-2691 Таблица О б ъ ек т П л о тн о ст ь ,  Р еб р о р еш ет к и , e К о л и ч ес тв о то ч ек К о л и ч ес тв о тр еу го л ьн и к о в В р ем я п о ст р о ен и я п л о ск о ст ей , c В р ем я г л о б а- л ь н о го о р и ен - ти р о в ан и я, c В р ем я п о ст р о ен и я се тк и , c О б щ ее в р ем я , c Лоскут 0,4 0,2 900 4120 0,1 0,2 0,7 1,0 Сфера 0,4 0,3 2556 1707 1,5 1,6 1,8 4,9 Кактус 0,03 0,02 3337 3620 4,6 4,4 10,4 19,4 Кошка 0,018 0,018 10000 8812 15,2 16,3 49,1 80,6 Клюшка 0,011 0,011 16864 11767 36,6 39,1 118,2 193,9 Стопа 5,5 3,0 5092 24711 3,1 3,2 106,8 113,1 а б в г д е Рис. 6 На рис. 6 представлены модели двух простых объектов (лоскут и сфера) и нескольких более сложных объектов (модель кактуса, кошки, клюшки и стопы). В табл. 1 показаны характеристики этих объектов и время построения поверх- ностей. При увеличении количества точек растет время получения сетки. При- мерно 2/5 части всего времени расходуется на построение плоскостей и гло- бальное их ориентирование, а остальное время — непосредственно на построе- ние треугольников. Проблемы управления и информатики, 2007, № 6 143 Рис. 7 На рис. 7 показана зависимость качества изображения от величины ребра решетки при фиксированном значении плотности точек. Уменьшение ребра приводит к увеличению количества треугольников и более сглаженному пред- ставлению. В целом предложенный подход продемонстрировал достаточно высокое ка- чество полученных с его помощью сеточных моделей объектов сложной формы. Общее время визуализации указывает на необходимость разработки специ- ализированных устройств, позволяющих существенно снизить временные затра- ты. Д.П. Пауков, Є.О. Башков ПОБУДОВА СІТКИ ДЛЯ ВІЗУАЛІЗАЦІЇ Й МОДЕЛЮВАННЯ ОБ’ЄКТІВ СКЛАДНОЇ ФОРМИ Розглянуто проблему побудови тріангуляційної сітки поверхні складної фор- ми, поданої набором тривимірних точок. Запропоновано підхід, що дозволяє одержати тріангуляційну сітку для візуалізації й моделювання об'єктів склад- ної форми. D.P. Paukov, Е.А. Bashkov MESH CONSTRUCTION FOR COMPLEX FORM OBJECTS VISUALIZATION AND MODELING The construction problem of a triangular mesh of the complex form surface specified by a set of three-dimensional points is considered. The approach, allowing to receive a triangular mesh for visualization and modeling of complex form objects is offered. 144 ISSN 0572-2691 1. Норре Н., DeRose Т., Duchamp Т., McDonald J., Stuetzle W. Surface reconstruction from unor- ganized points // SIGGRAPH’92 Proceedings. — 1992. — P. 71–78. 2. Никулин Е.А. Компьютерная геометрия и алгоритмы машинной графики. — СПб. : БХВ- Петербург, 2003. — 560 с. 3. Башков Е.А., Пауков Д.П. Математические модели поверхностей сложной формы в систе- мах моделирования и визуализации. Моделирование и компьютерная графика // Материа- лы 1-й междунар. науч.-техн. конф. — Донецк : ДонНТУ, 2005. — С. 59–65. 4. Ли К. Основы САПР (CAD/CAM/CAE). — СПб. : Питер, 2004. — 560 с. 5. Lounsbery M., Mann S., DeRose T. Parametric surface interpolation // IEEE Comput. Graphics and Appl. — 1992. — 12(5). — P. 45–52. 6. Sclaroff S., Pentland A. Generalized implicit functions for computer graphics // Comp. Graphics (SIGGRAPH '91 Proceedings). — 1991. — 25(4). — P. 247–250. 7. Esteve J., Brunet P., Vinacua A. Approximation of a variable density cloud of points by shrinking a discrete membrane // Comput. Graphics forum. — 2005. — 24. — P. 791–807. 8. Cohen-Steiner D., Da F. A greedy delaunay based surface reconstruction algorithm // Res. Rep. — INRIA. — 2002. — ftp://ftp-sop.inria.fr/pastis/RR/RR-4564.ps.gz. 9. Пауков Д.П. Триангуляция Делоне: итеративные алгоритмы построения триангуляции // Зб. праць магістрантів Донецьк. нац. техн. ун-ту. — 2003. — Вип. 2. — С. 461–469. 10. Кио С.С., Yau H.T. A Delaunay-based region-growing approach to surface reconstruction from unorganized points // Computer-Aided Design. — 2005. — 37. — P. 825–835. 11. Dey Т.K., Goswami S. Provable surface reconstruction from noisy samples // Comput. Geometry Theory & Appl. — 2006. — 35. — P. 124–141. 12. Позин А.Г. Использование объемного метода для восстановления 3D поверхностей // Graphicon proceedings. — 2005. — http://www.graphicon.ru/2005/proceedings/papers/Pozin.doc. 13. Tubic’ D., He’bert P., Laurendeau D. 3D surface modeling from curves // Image and Vision Comput. — 2004. — 22. — P. 719–734. 14. Lorensen W.E., Cline H.E. Marching cubes: A high resolution 3D surface construction algorithm, Computer Graphics // SIGGRAPH’87 Proceedings. — 1987. — 21. — P. 163–169. 15. Lewiner Т., Lopes H., Vieira A.W., Tavares G. Efficient implementation of marching cubes’ cases with topological quarantees // J. of Graphics Tools. — 2003. — 8 (2). — P. 1–15. 16. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. — М. : МЦНМО, 2001. — 960 с. Получено 26.03.2007 ftp://ftp-sop.inria.fr/pastis/RR/RR-4564.ps.gz http://www.graphicon.ru/2005/proceedings/papers/Pozin.doc

Построение сетки для визуализации и моделирования объектов сложной формы

Institution

Ähnliche Einträge