Оценки возмущений интервальных нелинейных систем непрямого регулирования нейтрального типа
За допомогою прямого методу Ляпунова з оригінальним функціоналом Ляпунова–Красовського доведено достатні умови стійкості, абсолютної за нелінійністю та запізнюванням й інтервальної за параметрами. Побудовано оцінки експоненціального згасання розв’язків та можливих збурень коефіцієнтів лінійної части...
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Series: | Проблемы управления и информатики |
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207275 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Оценки возмущений интервальных нелинейных систем непрямого регулирования нейтрального типа / А.В. Шатырко, Д.Я. Хусаинов, Й. Диблик, Я. Баштинец, А. Риволова // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 1. — С. 15–29. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-207275 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2072752025-10-05T00:05:25Z Оценки возмущений интервальных нелинейных систем непрямого регулирования нейтрального типа Оцінки збурень інтервальних нелінійних систем непрямого регулювання нейтрального типу Estimates of perturbation of nonlinear indirect interval regulator system of neutral typee Шатырко, А.В. Хусаинов, Д.Я. Диблик, Й. Баштинец, Я. Риволова А. Проблемы динамики управляемых систем За допомогою прямого методу Ляпунова з оригінальним функціоналом Ляпунова–Красовського доведено достатні умови стійкості, абсолютної за нелінійністю та запізнюванням й інтервальної за параметрами. Побудовано оцінки експоненціального згасання розв’язків та можливих збурень коефіцієнтів лінійної частини системи. Результати представлено у вигляді конструктивних алгебраїчних нерівностей. Direct Lyapunov method with original Lyapunov–Krasovsky’s functional are utilized. Sufficient condition of stability — absolute in nonlinearity and time-delay and interval with respect to parameters are proved. Estimates of exponential decay of solution and possible coefficients perturbation of system linear part are constructed. Results presented in the form of constructive algebraic inequalities. 2011 Article Оценки возмущений интервальных нелинейных систем непрямого регулирования нейтрального типа / А.В. Шатырко, Д.Я. Хусаинов, Й. Диблик, Я. Баштинец, А. Риволова // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 1. — С. 15–29. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207275 517.929 10.1615/JAutomatInfScien.v43.i1.20 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем |
| spellingShingle |
Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Шатырко, А.В. Хусаинов, Д.Я. Диблик, Й. Баштинец, Я. Риволова А. Оценки возмущений интервальных нелинейных систем непрямого регулирования нейтрального типа Проблемы управления и информатики |
| description |
За допомогою прямого методу Ляпунова з оригінальним функціоналом Ляпунова–Красовського доведено достатні умови стійкості, абсолютної за нелінійністю та запізнюванням й інтервальної за параметрами. Побудовано оцінки експоненціального згасання розв’язків та можливих збурень коефіцієнтів лінійної частини системи. Результати представлено у вигляді конструктивних алгебраїчних нерівностей. |
| format |
Article |
| author |
Шатырко, А.В. Хусаинов, Д.Я. Диблик, Й. Баштинец, Я. Риволова А. |
| author_facet |
Шатырко, А.В. Хусаинов, Д.Я. Диблик, Й. Баштинец, Я. Риволова А. |
| author_sort |
Шатырко, А.В. |
| title |
Оценки возмущений интервальных нелинейных систем непрямого регулирования нейтрального типа |
| title_short |
Оценки возмущений интервальных нелинейных систем непрямого регулирования нейтрального типа |
| title_full |
Оценки возмущений интервальных нелинейных систем непрямого регулирования нейтрального типа |
| title_fullStr |
Оценки возмущений интервальных нелинейных систем непрямого регулирования нейтрального типа |
| title_full_unstemmed |
Оценки возмущений интервальных нелинейных систем непрямого регулирования нейтрального типа |
| title_sort |
оценки возмущений интервальных нелинейных систем непрямого регулирования нейтрального типа |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Проблемы динамики управляемых систем |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207275 |
| citation_txt |
Оценки возмущений интервальных нелинейных систем непрямого регулирования нейтрального типа / А.В. Шатырко, Д.Я. Хусаинов, Й. Диблик, Я. Баштинец, А. Риволова // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 1. — С. 15–29. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT šatyrkoav ocenkivozmuŝenijintervalʹnyhnelinejnyhsistemneprâmogoregulirovaniânejtralʹnogotipa AT husainovdâ ocenkivozmuŝenijintervalʹnyhnelinejnyhsistemneprâmogoregulirovaniânejtralʹnogotipa AT diblikj ocenkivozmuŝenijintervalʹnyhnelinejnyhsistemneprâmogoregulirovaniânejtralʹnogotipa AT baštinecâ ocenkivozmuŝenijintervalʹnyhnelinejnyhsistemneprâmogoregulirovaniânejtralʹnogotipa AT rivolovaa ocenkivozmuŝenijintervalʹnyhnelinejnyhsistemneprâmogoregulirovaniânejtralʹnogotipa AT šatyrkoav ocínkizburenʹíntervalʹnihnelíníjnihsistemneprâmogoregulûvannânejtralʹnogotipu AT husainovdâ ocínkizburenʹíntervalʹnihnelíníjnihsistemneprâmogoregulûvannânejtralʹnogotipu AT diblikj ocínkizburenʹíntervalʹnihnelíníjnihsistemneprâmogoregulûvannânejtralʹnogotipu AT baštinecâ ocínkizburenʹíntervalʹnihnelíníjnihsistemneprâmogoregulûvannânejtralʹnogotipu AT rivolovaa ocínkizburenʹíntervalʹnihnelíníjnihsistemneprâmogoregulûvannânejtralʹnogotipu AT šatyrkoav estimatesofperturbationofnonlinearindirectintervalregulatorsystemofneutraltypee AT husainovdâ estimatesofperturbationofnonlinearindirectintervalregulatorsystemofneutraltypee AT diblikj estimatesofperturbationofnonlinearindirectintervalregulatorsystemofneutraltypee AT baštinecâ estimatesofperturbationofnonlinearindirectintervalregulatorsystemofneutraltypee AT rivolovaa estimatesofperturbationofnonlinearindirectintervalregulatorsystemofneutraltypee |
| first_indexed |
2025-10-05T01:09:18Z |
| last_indexed |
2025-10-07T01:05:50Z |
| _version_ |
1845283154452021248 |
| fulltext |
© А.В. ШАТЫРКО, Д.Я. ХУСАИНОВ, Й. ДИБЛИК, Я. БАШТИНЕЦ, А. РИВОЛОВА, 2011
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 15
УДК 517.929
А.В. Шатырко, Д.Я. Хусаинов, Й. Диблик,
Я. Баштинец, А. Риволова
ОЦЕНКИ ВОЗМУЩЕНИЙ ИНТЕРВАЛЬНЫХ
НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ НЕПРЯМОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА
Введение
В настоящей статье получены условия абсолютной интервальной устойчиво-
сти систем регулирования, описываемых дифференциально-разностными уравне-
ниями с отклоняющимся аргументом нейтрального типа. Аппаратом исследова-
ния выбран прямой метод Ляпунова с функционалами Ляпунова–Красовского.
Необходимость решения задач абсолютной устойчивости вызвана исследования-
ми стабилизации нулевого решения систем регулирования с функцией специаль-
ного вида [1–4]. Неплохие результаты, а также обзор исследований задач абсо-
лютной устойчивости для разного типа уравнений содержится в работах [5–10].
Отличительной чертой настоящей работы авторов от их предыдущей [11] являет-
ся введение в рассмотрение функционала, который зависит не только от коорди-
нат системы, но и учитывает их производные. Это дает возможность получить бо-
лее гибкие оценки решений, а также оценки возможных возмущений на линейную
часть системы в введенных метриках.
1. Постановка задачи абсолютной устойчивости
интервальных систем регулирования
Рассматриваются системы дифференциально-разностных уравнений нейт-
рального типа
,0,)(,)(,0)),(()()(
)),(()()()()()]()([
1T
tRtRtxtftxct
tfbtxBBtxAAtDxtx
dt
d
n
(1)
с постоянными квадратными матрицами A, B, nnRD и векторами ., nRcb
Под решением системы будем понимать пару кусочно-неперервно дифференци-
руемых функций ,))(),(( 1RRttx n удовлетворяющую начальным условиям
),()( ttx ),()( ttx ,0 t )0()0( 1 и системе (1). Матрица D удо-
влетворяет «условию устойчивости», т.е. выполняется ,1D а постоянные
квадратные матрицы ,A B могут принимать свои значения из некоторых
наперед заданных фиксированных интервалов
},{ ijaA },{ ijbB ,ijija ,ijijb .,, niji (2)
This research was supported by the project FRVS 1293/2010 of the Ministry of Education, Youth and
Sports of Czech Republic.
This research was supported by the Grant 201/08/0469 of Czech Grant Agency and by the Councils
of Czech Government MSM 0021630503, MSM 00216 30503, MSM 0021630519.
This research was supported by the project FRVS 1293/2010 of the Ministry of Education, Youth
and Sports of Czech Republic.
This research was supported by the Council of Czech Government MSM 0021630529.
16 ISSN 0572-2691
Системы такого типа получили название интервальных систем непрямого регули-
рования. Нелинейная функция )(f лежит в заданном секторе, т.е. удовлетворяет
условиям
,)( 2
2
2
1 kfk .012 kk (3)
Используем следующие обозначения:
,)}({ 2/1T
max AAA ,)()(
2/1
2
1
txtx i
n
s
,)()(
2/1
2)(
0
,
dssxetx st
},{max AA
ija
},({max)(
0
stxtx
s
},{max BB
ija
),(max )(min — экстремальные собственные числа соответствующих симмет-
рических положительно-определенных матриц.
Предварительно рассмотрим систему без интервальных возмущений:
)).(()()(
)),(()()()]()([
T tftxct
tbftBxtAxtDxtx
dt
d
(4)
Определение 1. Система (4) называется абсолютно устойчивой, если ее нуле-
вое решение ,0)( tx 0)( t асимптотически устойчиво в целом при произ-
вольной функции ),(f удовлетворяющей условиям (3).
Определение 2. Система (4) называется абсолютно интервально устойчивой,
если система (1) абсолютно устойчива при произвольных матрицах ,A ,B
удовлетворяющих условиям (2).
При исследовании абсолютной устойчивости систем нейтрального типа до-
статочно часто используется функционал Ляпунова–Красовского вида [5]
))()(())()(()](),([ T tDxtxHtDxtxttxV
,)()()(
)(
0
T
dfdssHxsx
tt
t
,0 .0 (5)
Первая квадратичная форма позволяет просто вычислять полную производную
функционала в силу системы, однако условия абсолютной устойчивости могут
быть сформулированы только в интегральной метрике.
Определение 3. Будем говорить, что нулевое решение ,0)( tx 0)( t си-
стемы уравнений нейтрального типа (4) экспоненциально устойчиво в метрике
,0C если существуют постоянные ,0
j
iN ,3,1i 2,1j и ,0 такие, что для
любого решения ))(),(( ttx системы при 0t выполняются неравенства
.
2
1
exp])0()0()0([)(
,
2
1
exp])0()0()0([)(
2
3
2
2
2
1
1
3
1
2
1
1
tNxNxNt
tNxNxNtx
(6)
Определение 4. Будем говорить, что нулевое решение ,0)( tx 0)( t си-
стемы нейтрального типа (4) экспоненциально устойчиво в метрике ,1C если оно
устойчиво в метрике 0C и существуют постоянные ,0
j
iR ,3,1i ,2,1j
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 17
и 0 такие, что для любого решения ))(),(( ttx уравнения при 0t выполня-
ются неравенства
.
2
1
exp])0()0()0([)(
,
2
1
exp])0()0()0([)(
2
3
2
2
2
1
1
3
1
2
1
1
tRxRxRt
tRxRxRtx
(7)
При исследовании будем использовать функционал Ляпунова–Красовского
)()({)()()](),([ 1
T)(T sxGsxetHxtxttxV st
t
t
dfdssxGsx
t
)()}()(
)(
0
2
T (8)
с положительно-определенными матрицами H, ,1G 2G и 0 [10]. Функционал
такого вида зависит не только от координат системы, но и от их скоростей. По-
этому его применение позволяет получить более гибкие критерии и оценки, что
является основной качественной особенностью настоящих результатов в отличие
от приведенных ранее авторами в работе [11].
Как следует из введенных векторных и матричных норм, для функционала (8)
справедлива следующая двусторонняя оценка:
)](),([)(
2
1
)}()()()({)()( 2
12
T
1
T)(2
min ttxVtkdssxGsxsxGsxetxH st
t
t
).(
2
1
)}()()()({)()( 2
22
T
1
T)(2
max tkdssxGsxsxGsxetxH st
t
t
(9)
Введем обозначения:
,
)()()(
)()(
)(
],,,,[
1
44
T1
34
T1
24
T1
14
1
34
1
33
T1
23
T1
13
1
24
1
23
1
22
T1
12
1
14
1
13
1
12
1
11
211
SSSS
SSSS
SSSS
SSSS
GGHS (10)
,2
T
1
T1
11 AGAGHAHAS ,2
T1
12 BGAHBS ,2
T1
13 DGAHDS
,
2
1
2
T1
14 cbGAHbS ,2
T
1
1
22 BGBGeS
,2
T1
23 AGBS (11)
,2
T1
24 bGBS ,2
T
2
1
33 DGDGeS
,2
T1
34 bGDS ,2
T1
44 bGbS
,
)(
)(
)(
min
max
11
H
H
H
,
)(
)(
),(
min
1max
112
H
G
GH
,
)(2
),(,
)(2
),(
,
)(2
),(,
)(
)(
),(
1
1max
122
1
max
21
max
2
14
min
2max
213
k
G
kG
k
H
kH
H
k
kH
H
G
GH
(12)
,
)(2
),(
1
2max
223
k
G
kG
,
2
)(
1
2
24
k
k
k
18 ISSN 0572-2691
,
0)()(
)()(
)(
],,[
T2
24
T2
14
T2
23
T2
13
2
24
2
23
2
22
T2
12
2
14
2
13
2
12
2
11
22
SS
SS
SSSS
SSSS
GHS (13)
,2
T
2
T
2
TT2
11 AGAAGAAGAAHHAS
,2
T
2
T
2
T2
12 BGABGABGABHS ,2
T2
13 DGAS
,2
T1
14 bGAS ,2
T
2
T
2
T2
22 BGBBGBBGBS
,2
T2
23 DGBS ,2
T2
24 bGBS
,),()( 2111
1
1 KHLHMM ,),(),( 122112
1
2 KGLGHMM
,),(),(,),(),(
,)(),(,),(),(
223213
2
31222112
2
2
2414
1
4223213
1
3
kGLGHMMkGkGHcM
kLKHMMKGLGHMM
(14)
.)(),( 24214
2
4 kkkHMM
2. Абсолютная интервальная устойчивость систем непрямого регулирования
Как правило, параметры систем точно не известны. Они принимают свои
значения из некоторых заранее определенных промежутков. Получим условия аб-
солютной интервальной устойчивости системы (1) и оценки решений.
Докажем некоторые вспомогательные результаты.
Лемма 1. Пусть .)1( mtm Тогда интервальная система уравнений
нейтрального типа (1) эквивалентна интервальной системе с запаздыванием
)]()([)()()()( BBAADtxAAmtxDtx m
)),(()()()( 1
1
1
11
1
1
itbfDmtxBBDitxD i
m
i
mi
m
i
(15)
)),(()()( T tftxct
с начальными условиями ),()( ttx ),()( ttx ,0 t ).0()0( 1
Доказательство. Перепишем систему (1) в виде
)).(()()(
)),(()()()()()()(
T tftxct
tfbtxBBtxAAtxDtx
(16)
Подставив вместо )( tx его значение, определенное зависимостью
)),(()()()()()()( tfbtxBBtxAAtxDtx
в первую подсистему (16), получим очередное выражение для ).(tx
Проделав 1m -итераций, получим соотношение (15).
Лемма 2. Для произвольных матриц ,1L ,2L ,3L векторов ),(tx ),( tx l
и скаляров )),(( tf имеют место следующие неравенства:
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 19
)()()()( 1
T
2
T
2
T
1
T txLLtxtxLLtx
,))((
1
)()()())(())(()(
),()(
1
)()(
T2
21
T
1
T2
1
TT
1
T
2
T
2
T
21
T
1
T2
lltftxLLtxtxLltftflLtx
txLLtxtxLLtx
(17)
.))((
1
)()()())(())(()( T2
22
T
2
T2
2
TT
2
T lltftxLLtxtxLltftflLtx
Доказательство. Для произвольных матриц ,1L ,2L векторов ),(tx )( tx
и скаляра , раскрыв очевидное неравенство, получаем
)()()(
1
)()(
1
)( 1
T
1
T2
21
T
21 txLLtxtxLtxLtxLtxL
.0)()()()()()(
1
1
T
2
T
2
T
1
T
2
T
2
T
2
txLLtxtxLLtxtxLLtx
Отсюда имеем
)()()()( 1
T
2
T
2
T
1
T txLLtxtxLLtx
),()(
1
)()( 2
T
2
T
21
T
1
T2
txLLtxtxLLtx
т.е. первое неравенство из (17). Остальные неравенства получаем аналогично.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема. Пусть 1D и существуют положительно-определенные матрицы
H, ,1G 2G и параметры ,0 ,0 при которых матрица ],,,,[ 211 GGHS
положительно-определенная и выполняются неравенства
,
2
1
,min]),,,,[(
2
2
1
2
2
2
1
211
2
min
2
DK
GGHSB
,
)],,,,[(
2)],,,,[()1(
)],()([
1
211min
2
211min
2
11
max21max
2
GGHS
D
GGHSR
HRRH
R
A
(18)
,
)],,,,[(
2
1
2
211min
2
2
2
22
2
2
22
GGHS
cbGD
GR
где
,
1
)],,,,[(
2
1
2)( 2
2
22211min
2
2
2
12
2
1
2
max
2
2
GGGGHScbGHK
,10 1 ,10 2 — некоторые постоянные.
Тогда система (1) абсолютно интервально устойчива в метрике ,1C причем
для произвольного решения )),(),(( ttx ,0t справедлива следующая оценка
сходимости:
20 ISSN 0572-2691
,11211 )0(),()0()([)( xGHxHtx
,12221
2
1
14,213
)0(),()0(),([)(
,])0(),()0(),(
xGHxKHt
eKHxGH
t
(19)
,])0()()0(),( 2
1
24,223
t
ekxKG
)(tx
,})0()0()0()0({)(
,)0()0()0()0()0()0(
2
1
2
4,
2
3,
2
2
2
1
2
1
1
4,
1
3,
1
2
1
1
t
t
eMxMxMxMt
eMxMxMxMx
D
B
x
(20)
,][,
)(
][
,,
1
ln
2
min 3
max
1
HD
(21)
]),,,,[()1(][ 211min
2
11 GGHS
2
211min
2
2
2
22
2
2
2max
]),,,,[(
2
1
2)(2 A
GGHS
cbGD
GAH
)],,,,[(][
,
]),,,,[(
2
211min2
2
211min
2
GGHS
B
GGHS
D
(22)
.1
)],,,,[(
2
1
2)(
2
2
2
22
211min
2
2
2
1
2
2
1
2
max
2
2
BGG
GGHS
cbGH
Здесь постоянные ,
j
iM ,4,1i ,2,1j определены в (14).
Доказательство. Для доказательства утверждений теоремы будем также ис-
пользовать функционал Ляпунова–Красовского (8). Он удовлетворяет двусторон-
ним неравенствам (9). Вычислим полную производную функционала в силу пре-
образованной системы с интервально заданными коэффициентами (2). Получаем
HtfbtxBBtxAAtxDttxV
dt
d T))](()()()()()([)](),([
))](()()()()()([ tfbtxBBtxAAtxH
)]()()()([)]()()()([ 2
T
2
T
1
T
1
T txGtxetxGtxtxGtxetxGtx
))].(()())[(()]()()()([ T
2
T
1
T)( tftxctfdssxGsxsxGsxe st
t
t
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 21
Подставив вместо )(tx его значение из системы (16), получим
HtfbtxBBtxAAtxDttxV
dt
d T))](()()()()()([)](),([
))](()()()()()([ tfbtxBBtxAAtxDH
)]()()()([ 1
T
1
T txGtxetxGtx
GtfbtxBBtxAAtxD T)))(()()()()()((
)()()))(()()()()()(( txGtxetfbtxBBtxAAtxD
))](()())[(()]()()()([ T
2
T
1
T)( tftxctfdssxGsxsxGsxe st
t
t
или, используя введенные матрицы ],,,,[ 211 GGHS и ],,,[ 22 GHS запишем
],,,,[)))((),(),(),(()](),([ 211
TTT GGHStftxtxtxttxV
dt
d
)))((),(),(),(()))((),(),(),(( TTTTTTT tftxtxtxtftxtxtx
TTTT
22 )))((),(),(),(](,,[ tftxtxtxGHS
.)]()()()([ 2
T
1
T)( dssxGsxsxGsxe st
t
t
Пусть, как следует из условия теоремы, матрица ],,,,[ 211 GGHS положитель-
но-определенная. Тогда можно записать
222
211min )()()(]){,,,,[()](),([ txtxtxGGHSttxV
dt
d
],,[)))((),(),(),(())}(( 22
TTT2 HGStftxtxtxtf
.)]()()()([)))((),(),(),(( 2
T
1
T)(TTTT dssxGsxsxGsxetftxtxtx st
t
t
Раскрыв вторую квадратичную форму, получим
],,[)))((),(),(),(( 22
TTT GHStftxtxtx
)()({)()()))((),(),(),(( 2
12
T2
11
TTTTT txStxtxStxtftxtxtx
)}())(()()({)}()()( T2
13
T2
13
TT2
12
T txStxtxStxtxStx
)()())()))((())(()(( 2
22
TT2
14
2
14
T txStxtxStftfStx
)).(()}()))((())(()({ 22
44
T2
24
2
24
T tfStxStftfStx
Используя результаты леммы 2, раскроем каждую из квадратичных форм в от-
дельности.
22 ISSN 0572-2691
Для первой квадратичной формы имеет место
.)(}2{)(])[()()(
22
22
TTT2
11
T txAGAHtxAGAAHHAtxtxStx
Для второй квадратичной формы получаем
)(])[()}())(()()({ 2
TTT2
12
T2
12
T txBGABHtxtxStxtxStx
)]()()()([)(])[( TTT
2
TTT tHxBtxtBxHtxtxAGBHBtx
)]()()()([ 2
TT
2
TT tAxGBtxtBxGAtx
)()(
1
)()( TT
2
1
TT2
1 tBxBtxtHxHtx
)())((
1
)()( 2
T
2
T
2
2
TT2
2 tBGBGtxtAxAtx
.)()
11
)(])([
222
22
2
2
1
222
2
2
max
2
1
txBGtxAH
Для третьей квадратичной формы
)}())(()()({ T2
13
T2
13
T txStxtxStx
)()]()[()(]))[(( TTTT txBADtxtxDBAtx
)()(
1
)()())(( TT
2
3
TT2
3 txDDtxtxBABAtx
.)(
1
)(
22
2
3
222
3 txDtxBA
Для четвертой квадратичной формы
))((
2
1
)()}()))((())(()({ 2
TTT2
14
2
14
T tfcbGAtxtxStftfStx
)).((
2
11
)()(
2
1
))(( 2
2
22
4
222
4
T
2 tfcbGtxAtAxcbGtf
Для пятой квадратичной формы
.)()()()()(
22
22
TT2
22
T txBGtBxGBtxtxStx
Для шестой формы получаем
)}()))((())(()({ T2
24
2
24
T txStftfStx
)(
2
1
))(())((
2
1
)( T
2
T
2
TT tBxcGbtftfcbGBtx
)).((
2
11
)( 2
2
22
5
222
5 tfcbGtxB
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 23
Суммируя все полученные выражения, имеем
TTTT
22
TT )))((),(),(),(](,,[)))((),(),(),(( tftxtxtxGHStftxtxtx T
}2]2[)(2)({
22
3
22
4
2
3
2
22max
2
max
2
1 BAGAHH
222
512
2
2
22
1
2
)(
11
)( txBGGtx
)).((
2
111
)(
1 2
2
22
5
2
4
22
2
3
tfcbGtxD
Таким образом, для полной производной функционала Ляпунова–Красов-
ского будет иметь место соотношение
222
211min )()()(){],,,,[()](),([ txtxtxGGHSttxV
dt
d
22
4
2
3
2
22max
2
max
2
1
2 ]2[)(2)({))}(( AGAHHtf
22
2
3
222
52
2
22
2
2
1
222
3 )(
1
)(
11
)(}2 txDtxBGGtxB
t
t
st dssxGsxsxGsxetfcbG )]()()()([))((
2
111
2
T
1
T)(2
2
22
5
2
4
или
AHHGGHSttxV
dt
d
)(2)([)],,,,[({)](),([ max
2
max
2
1211min
222
3
22
4
2
3
2
22 )(]}2)2( txBAG
222
52
2
22
2
2
1
211min )(
11
)],,,,[( txBGGGGHS
22
2
3
211min )(
1
)],,,,[( txDGGHS
))((
2
111
)],,,,[( 2
2
22
5
2
4
211min tfcbGGGHS
.)]()()()([ 2
T
1
T)( dssxGsxsxGsxe st
t
t
(23)
Обозначив
]),,,,[(][ 211min1 GGHS
,
11
)],,,,[(][
],2)2()(2)([
2
52
2
22
2
2
1
211min2
22
3
22
4
2
3
2
22maxmax
2
1
GGGGHS
BAGAHH
(24)
24 ISSN 0572-2691
,
2
111
)],,,,[(][
2
22
5
2
4
211min3 cbGGGHS
выражение для полной производной (23) можно записать
)(][)(][)(][)](),([ 2
23
2
2
2
1 tktxtxttxV
dt
d
t
t
st dssxGsxsxGsxe .)]()()()([ 2
T
1
T)(
Положим
,
)(
]),,,,[(
2
max
211min2
1
2
1
H
GGHS
,
)],,,,[( 211min
2
2
3
GGHS
D
,
)],,,,[(
2
1
2
211min
2
2
2
2
2
5
2
4
GGHS
cbG
где ,10 2
1 10 2
2 — некоторые постоянные. Тогда получаем
)],,,,[()1(][ 211min
2
11 GGHS
2
211min
2
2
2
22
2
2
22max
]),,,,[(
2
1
2)(2 A
GGHS
cbGD
GAH
,
)],,,,[(
2
2
211min
2
B
GGHS
D
)],,,,[(][ 211min2 GGHS
,
1
)],,,,[(
2
1
2)(
2
2
2
22
2211min
2
2
2
1
2
2
1
2
max
2
2
BGG
GGHS
cbGH
]).,,,,[()1(][ 211min
2
23 GGHS
Наложим следующие ограничения на возмущение :B
)],,,,[( 211min
2
GGHSB
,
1
)],,,,[(
2
1
2)(
1
2
2
22
2211min
2
2
2
1
2
2
1
2
max
2
2
GG
GGHS
cbGH
(25)
.
2
]),,,,[()1(
2
211
2
min
2
12
D
GGHS
B
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 25
Тогда, решая относительно A квадратное неравенство
)],,,,[(
2)],,,,[()1(
211min
2
211min
2
1
GGHS
D
GGHS
,0
)],,,,[(
2
1
2)(2
2
211min
2
2
2
22
2
2
22max
A
GGHS
c
bGD
GAH
получаем, что при
)],()([
1
max21max
2
HRRH
R
A
)],,,,[(
2
1
2
,
]),,,,[(
2)],,,,[()1(
211min
2
2
2
22
2
2
222
211min
2
211min
2
11
GGHS
cbGD
GR
GGHS
D
GGHSR
(26)
будет выполняться
)(][)(][)](),([ 2
3
2
1 ttxttxV
dt
d
,)]()()()([ 2
T
1
T)( dssxGsxsxGsxe st
t
t
(27)
,0][1 ,0][3
и на основании теоремы Красовского [12] нулевое решение будет абсолютно
устойчивым.
Покажем, что нулевое решение экспоненциально устойчиво.
1. Вновь перепишем правую часть неравенства (9):
)](),([
)(
1
)(
max
2
ttxV
H
tx
).(
)(2
)]()()()([
)(
1 2
max
2
2
T
1
T)(
max
t
H
k
dssxGsxsxGsxe
H
st
t
t
Подставив полученное выражение в значение полной производной (27), получим
)(
)(2
)](),([
)(
1
][)](),([ 2
max
2
max
1 t
H
k
ttxV
H
ttxV
dt
d
dssxGsxsxGsxe
H
st
t
t
)]()()()([
)(
1
2
T
1
T)(
max
dssxGsxsxGsxet st
t
t
)]()()()([)(][ 2
T
1
T)(2
3
26 ISSN 0572-2691
или
)(][
)(
][)](),([
)(
][
)](),([ 2
1
max
2
3
max
1 t
H
k
ttxV
H
ttxV
dt
d
.)]()()()([
)(
)],,,,[(
2
T
1
T)(
max
211min dssxGsxsxGsxe
H
GGHS st
t
t
Если выполняются неравенства
,
2
1
)(
)],,,,[(
2
max
211min
ckH
GGHS
,][
)(
][ 1
max
2
2
3
H
k
(28)
то
)].(),([
)(
][
)](),([
max
1 ttxV
H
ttxV
dt
d
Решая полученное дифференциальное неравенство, получаем
,)]0(),0([)](),([ texVttxV .
)(
][
max
1
H
(29)
2. Перепишем правую часть неравенства (9) следующим образом:
dssxGsxsxGsxe st
t
t
)]()()()([ 2
T
1
T)(
).(
2
1
)()()](),([ 2
2
2
max tktxHttxV
Подставив полученное выражение в значение полной производной (27), получим
)(][)(][)](),([ 2
3
2
1 ttxttxV
dt
d
)(
2
1
)()()](),([ 2
2
2
max tktxHttxV
или
][[)](),([)](),([ 1ttxVttxV
dt
d
).(
2
1
)],,,,[()()]( 2
2
2
1211min
2
max tkkGGHStxH
И если выполняются неравенства
,0)(][ max1 H ,0
2
1
][ 23 k (30)
то
)].(),([)](),([ ttxVttxV
dt
d
Решая записанное неравенство, получаем
,)]0(),0([)](),([ texVttxV . (31)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 27
3. Наконец, запишем правую часть неравенства (9):
2
max
22
2 )()(
2
)](),([
2
)( txH
k
ttxV
k
t
,)]()()()([
2
2
T
1
T)(
2
dssxGsxsxGsxe
k
st
t
t
подставив полученное выражение в значение полной производной (27), получим
2
max3
2
1 )()()](),([][)(][)](),([ txHttxVtxttxV
dt
d
dssxGsxsxGsxe st
t
t
)]()()()([ 2
T
1
T)(
dssxGsxsxGsxe st
t
t
)]()()()([ 2
T
1
T)(
или
2
max313 )()](][][[)](),([][)](),([ txHttxVttxV
dt
d
.)]()()()([)][( 2
T
1
T)(
3 dssxGsxsxGsxe st
t
t
И если будут выполняться неравенства
,0)(][][ max31 H ,0][3 (32)
то
)].(),([][)](),([ 3 ttxVttxV
dt
d
Решая записанное неравенство, получаем
,)]0(),0([)](),([ texVttxV ][3 . (33)
Объединяя неравенства (28)–(33), получаем, что
,)]0(),0([)](),([ texVttxV .][,
)(
][
,min 3
max
1
H
(34)
Используя неравенство (34), получим оценки сходимости решений ),(tx )(t си-
стемы (1). Учитывая полученные оценки убывания функционала )](),([ ttxV и дву-
сторонние неравенства (9), имеем следующее:
2
,2min
2
,1min
2
min )()()()()()( txGtxGtxH
texVttxVtk )]0(),0([)](),([)(
2
1 2
1
28 ISSN 0572-2691
.)0(
2
1
)0()()0()()0()( 2
2
2
2max
2
,1max
2
max
tekxGxGxH
(35)
Отсюда получаем, что
)(
1
)(
min
2
H
tx
tekxGxGxH
)0(
2
1
)0()()0()()0()( 2
2
2
,2max
2
,1max
2
max
или
2
,11211 )0(),()0()([)( xGHxHtx
,])0(),()0(),( 2
1
14
2
,213
t
ekHxGH
где функции ),(11 H ),,( 112 GH ),,( 213 GH ),(14 kH определены в (12),
т.е. получили первое из неравенств (19).
Аналогично можно записать
1
2 2
)(
k
t
,)0(
2
1
)0()()0()()0()( 2
2
2
,2max
2
,1max
2
max
tekxGxGxH
отсюда следует выполнение второго из неравенств (19):
2
,12221 )0(),()0(),([)( xkGxkHt
,])0()()0(),( 2
1
24
2
,223
t
ekxkG
и нулевое решение системы (4) будет 0C абсолютно устойчивым.
Доказательство 1C экспоненциальной устойчивости нулевого решения воз-
мущенной системы (1) проводится аналогично.
А.В. Шатирко, Д.Я. Хусаінов, Й. Діблік,
Я. Баштінець, А. Ріволова
ОЦІНКИ ЗБУРЕНЬ ІНТЕРВАЛЬНИХ
НЕЛІНІЙНИХ СИСТЕМ НЕПРЯМОГО
РЕГУЛЮВАННЯ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПУ
За допомогою прямого методу Ляпунова з оригінальним функціоналом Ляпу-
нова–Красовського доведено достатні умови стійкості, абсолютної за нелінійні-
стю та запізнюванням й інтервальної за параметрами. Побудовано оцінки екс-
поненціального згасання розв’язків та можливих збурень коефіцієнтів лінійної
частини системи. Результати представлено у вигляді конструктивних алгебраїч-
них нерівностей.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 29
A.V. Shatyrko, D.Ya. Khusainov, J. Diblik,
J. Baštinec, A. Ryvolova
ESTIMATES OF PERTURBATION
OF NONLINEAR INDIRECT INTERVAL
REGULATOR SYSTEM OF NEUTRAL TYPE
Direct Lyapunov method with original Lyapunov–Krasovsky’s functional are utili-
zed. Sufficient condition of stability — absolute in nonlinearity and time-delay
and interval with respect to parameters are proved. Estimates of exponential decay of
solution and possible coefficients perturbation of system linear part are constructed.
Results presented in the form of constructive algebraic inequalities.
1. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. — М.; Л. :
Гостехиздат, 1951. — 251 с.
2. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. — М. :
Изд-во АН СССР, 1963. — 261 с.
3. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным
состоянием равновесия. — М. : Наука, 1978. — 400 с.
4. Нелинейные системы. Частотные и матричные неравенства / Под ред. А.Х. Гелига, Г.А. Ле-
онова, А.Л. Фрадкова. — М. : Физматлит, 2008. — 608 с.
5. Кореневский Д.Г. Устойчивость динамических систем при случайных возмущениях пара-
метров. Алгебраические критерии. — Киев : Наук. думка, 1989. — 208 с.
6. Хусаинов Д.Я., Шатырко А.В. Метод функций Ляпунова в исследовании устойчивости
дифференциально-функциональных систем. — Киев : Изд-во Киев. ун-та, 1997. — 236 с.
7. Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределенности: Гарантированные результаты
в задачах управления и идентификации. — Киев : Наук. думка, 2006. — 264 с.
8. El-Kebir Boukas, Zi-Kuan Liu. Deterministic and stochastic time delay systems. — Boston;
Basel; Berlin : Birkhauser, 2002. — 423 p.
9. Liao X., Yu P. Absolute stability of nonlinear control systems. — Heidelberg : Springer Sci-
ence+Business Media B.V., 2008. — 390 p.
10. Liu Mei-gin. Stability analysis of neutral-type nonlinear delayed systems: An LMI approach //
J. of Zhejiang University, Science A. — 2006. — N 7. — P. 237–244.
11. Шатырко А.В., Хусаинов Д.Я. Абсолютная интервальная устойчивость систем непрямого
регулирования нейтрального типа // Международный научно-технический журнал «Проб-
лемы управления и информатики». — 2010. — № 3. — С. 5–16.
12. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоня-
ющимся аргументом. — М. : Наука, 1970. — 240 с.
Получено 23.06.2010
|