Машинно-ориентированный подход к построению области устойчивости в плоскости двух параметров линейных непрерывных систем управления методом D-разбиения

Машинно-ориентированный подход к построению области устойчивости в плоскости двух параметров линейных непрерывных систем управления методом D-разбиения

Розглянуто машинно-орієнтований підхід до реалізації побудови границі області стійкості в площині двох параметрів неперервних систем керування методом D-розбиття. При цьому немає необхідності будувати всю криву D-розбиття, особливі прямі і використовувати «штриховку за Неймарком»....

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2011
Автори: Мовчан, Л.Т., Мовчан, С.Л.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2011
Назва видання:Проблемы управления и информатики
Теми:
Проблемы динамики управляемых систем
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207276
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Машинно-ориентированный подход к построению области устойчивости в плоскости двух параметров линейных непрерывных систем управления методом D-разбиения / Л.Т. Мовчан, С.Л. Мовчан // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 1. — С. 30–35. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-207276
record_format dspace
spelling irk-123456789-2072762025-10-05T00:17:35Z Машинно-ориентированный подход к построению области устойчивости в плоскости двух параметров линейных непрерывных систем управления методом D-разбиения Машинно-орієнтований підхід до побудови області стійкості в площині двох параметрів лінійних неперервних систем керування методом D-розбиття Computer-aided approach toconstruction of stability area in the two parameters plane of the linear continuouscontrol systems using D-partitions method Мовчан, Л.Т. Мовчан, С.Л. Проблемы динамики управляемых систем Розглянуто машинно-орієнтований підхід до реалізації побудови границі області стійкості в площині двох параметрів неперервних систем керування методом D-розбиття. При цьому немає необхідності будувати всю криву D-розбиття, особливі прямі і використовувати «штриховку за Неймарком». Computer-aided approach to realization of the limit construction of the stability domain in the two-parameters plane of the linear continuous systems using D-partitions method are analyzed, avoiding total D-partitions curve construction and special lines using «Neymark shading». 2011 Article Машинно-ориентированный подход к построению области устойчивости в плоскости двух параметров линейных непрерывных систем управления методом D-разбиения / Л.Т. Мовчан, С.Л. Мовчан // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 1. — С. 30–35. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207276 62.501.52 10.1615/JAutomatInfScien.v43.i1.30 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Проблемы динамики управляемых систем
Проблемы динамики управляемых систем
spellingShingle Проблемы динамики управляемых систем
Проблемы динамики управляемых систем
Мовчан, Л.Т.
Мовчан, С.Л.
Машинно-ориентированный подход к построению области устойчивости в плоскости двух параметров линейных непрерывных систем управления методом D-разбиения
Проблемы управления и информатики
description Розглянуто машинно-орієнтований підхід до реалізації побудови границі області стійкості в площині двох параметрів неперервних систем керування методом D-розбиття. При цьому немає необхідності будувати всю криву D-розбиття, особливі прямі і використовувати «штриховку за Неймарком».
format Article
author Мовчан, Л.Т.
Мовчан, С.Л.
author_facet Мовчан, Л.Т.
Мовчан, С.Л.
author_sort Мовчан, Л.Т.
title Машинно-ориентированный подход к построению области устойчивости в плоскости двух параметров линейных непрерывных систем управления методом D-разбиения
title_short Машинно-ориентированный подход к построению области устойчивости в плоскости двух параметров линейных непрерывных систем управления методом D-разбиения
title_full Машинно-ориентированный подход к построению области устойчивости в плоскости двух параметров линейных непрерывных систем управления методом D-разбиения
title_fullStr Машинно-ориентированный подход к построению области устойчивости в плоскости двух параметров линейных непрерывных систем управления методом D-разбиения
title_full_unstemmed Машинно-ориентированный подход к построению области устойчивости в плоскости двух параметров линейных непрерывных систем управления методом D-разбиения
title_sort машинно-ориентированный подход к построению области устойчивости в плоскости двух параметров линейных непрерывных систем управления методом d-разбиения
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2011
topic_facet Проблемы динамики управляемых систем
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207276
citation_txt Машинно-ориентированный подход к построению области устойчивости в плоскости двух параметров линейных непрерывных систем управления методом D-разбиения / Л.Т. Мовчан, С.Л. Мовчан // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 1. — С. 30–35. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
series Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv AT movčanlt mašinnoorientirovannyjpodhodkpostroeniûoblastiustojčivostivploskostidvuhparametrovlinejnyhnepreryvnyhsistemupravleniâmetodomdrazbieniâ
AT movčansl mašinnoorientirovannyjpodhodkpostroeniûoblastiustojčivostivploskostidvuhparametrovlinejnyhnepreryvnyhsistemupravleniâmetodomdrazbieniâ
AT movčanlt mašinnooríêntovanijpídhíddopobudovioblastístíjkostívploŝinídvohparametrívlíníjnihneperervnihsistemkeruvannâmetodomdrozbittâ
AT movčansl mašinnooríêntovanijpídhíddopobudovioblastístíjkostívploŝinídvohparametrívlíníjnihneperervnihsistemkeruvannâmetodomdrozbittâ
AT movčanlt computeraidedapproachtoconstructionofstabilityareainthetwoparametersplaneofthelinearcontinuouscontrolsystemsusingdpartitionsmethod
AT movčansl computeraidedapproachtoconstructionofstabilityareainthetwoparametersplaneofthelinearcontinuouscontrolsystemsusingdpartitionsmethod
first_indexed 2025-10-05T01:09:32Z
last_indexed 2025-10-07T01:05:56Z
_version_ 1845283159965433856
fulltext © Л.Т. МОВЧАН, С.Л. МОВЧАН, 2011 30 ISSN 0572-2691 УДК 62.501.52 Л.Т. Мовчан, С.Л. Мовчан МАШИННО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ ПОДХОД К ПОСТРОЕНИЮ ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ В ПЛОСКОСТИ ДВУХ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДОМ D-РАЗБИЕНИЯ Введение. При исследовании реальных систем автоматического управления решения задачи определения устойчивости линейной непрерывной системы при фиксированных параметрах недостаточно. Одним из наиболее важных для прак- тики результатов при определении устойчивости является построение границы области устойчивости (ГОУ) в пространстве параметров, влияние которых на устойчивость исследуется. Известные универсальные численные методы построения границы области устойчивости непрерывных систем путем перебора точек в пространстве пара- метров с использованием ЭВМ [1–3] неэкономичны с точки зрения машинной ре- ализации при повышенной точности определения ГОУ и не всегда гарантируют корректность результата. В наиболее общем случае определение области устойчивости (ОУ) линейных систем автоматического управления в пространстве параметров осуществляется методом D-разбиения [4]. Однако, кроме ГОУ при использовании D-разбиения, появляются «посторонние кривые» [5] — границы областей, соответствующие одному и тому же числу корней характеристического уравнения, расположенных справа от мнимой оси. Если система имеет высокий порядок, то совокупность границы областей устойчивости и «посторонних кривых» затрудняют выделение действительной ОУ при использовании ЭВМ. Кроме того, процедура «штриховки по Неймарку» и построение особых прямых весьма усложняют машинную реали- зацию метода D-разбиения. Данный метод можно усовершенствовать, упростить при использовании по- линомов Чебышева [5, 6], что позволит приспособить его к машинной реализа- ции. Но и в этом случае проблема «штриховки по Неймарку» остается нерешен- ной и не устраняется проблема построения «посторонних кривых» на плоскости параметров, которые разбивают всю плоскость на области с определенным рас- пределением корней характеристического уравнения. Построение всей кривой D-разбиения в плоскости двух параметров прово- дится путем изменения частоты от ∞ до ∞. Практическое значение имеют только кривые D-разбиения, которые являются ГОУ, при положительных значе- ниях параметров системы. Нерешенной является задача определения границ из- менения частоты , которые определяют такую ОУ. Постановка задачи. В связи с изложенным возникает необходимость разра- ботки такого подхода к построению ГОУ непрерывных систем в плоскости двух параметров методом D-разбиения, который исключал бы определение и построе- ние всей кривой D-разбиения, особенных прямых, использование «штриховки по Неймарку», тем самым обеспечивал бы полноценную машинную реализацию за- дачи определения ГОУ. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 31 Решение задачи определения ГОУ. Рассмотрим линейную непрерывную систему автоматического управления, характеристическое уравнение которой в общем случае имеет вид ,0...)( 01 1 1    asasasapD n n n n (1) где все коэффициенты вещественны и линейно зависят от параметров системы. Для построения ГОУ таких систем в плоскости двух параметров методом D-разбиения с помощью ЭВМ будем использовать аналог подхода, предложенно- го авторами в [7, 8], где ГОУ определяется в плоскости параметров дискретных систем, которые нелинейно входят в характеристическое уравнение. При определении ГОУ в плоскости одного параметра методом D-разбиения характеристическое уравнение (1) представляют в виде ,0)()()(  sLsHpD (2) где  — изменяемый параметр, влияние которого на устойчивость нас интересует, ,...)( 1 1 10 kk kk cscscscsH    nn nn bsbsbsbsL    1 1 10 ...)( при .kn  Если необходимо исследовать влияние двух параметров на устойчивость си- стемы методом D-разбиения, характеристическое уравнение (1) представляют в ви- де ,0)()()()(  sFsMsHpD (3) При фиксированном значении параметра  характеристическое уравнение (3) соответствует уравнению (2). Тогда уравнение границы области D-разбиения по одному параметру имеет вид ,0)()()(  jLjHjD (4) в котором фиксированный параметр  входит в коэффициенты полинома ).( jL Рассмотрим задачу аналитического определения множества значений пара- метра  из уравнения (4), которые являются точками ГОУ, для соответствующего предварительно заданного множества положительных значений параметра  . Та- ким образом, задачу построения ГОУ в плоскости двух параметров сведем к зада- че определения точек ГОУ в плоскости одного параметра, исключая построение всей кривой D-разбиения. В отличие от классической задачи построения ОУ методом D-разбиения, где для получения точек кривой D-разбиения изменяют  от ∞ до ∞, будем изме- нять параметр  от предварительно заданного значения min до значения max ),( maxnommin  что представляет практический интерес. Для каждого значения  ) ( maxmin  вычисляем из уравнения (4) зна- чения частот , которые определяют действительные значения  и   параметра . Значения  и   являются границами отрезка устойчивости для конкретного значения параметра  в плоскости ][ (рис. 1) и определяются из уравнения (4). 32 ISSN 0572-2691 Совокупность значений точек  и   ОУ для всех значений  ) ( maxmin  соответствует ГОУ в плоскости параметров ],[  (рис. 2). min max nom  )( nom )( min )( max '' jV() )( max   ] U()   0 )( nom '' )( min ''  nom Рис. 1   ] min max nom )( nom )( min )( min '' )( nom '' )( max ''   )( max Область устойчивости  nom Рис. 2 Для решения данной задачи представим выражение границы D-разбиения (4) в плоскости одного параметра как ,0))()(())()(()( 2121  jLLjHHjD (5) где в общем виде при четных mn 2 и rk 2 n( — порядок полинома ),(pL а k — порядок полинома ))(pH имеем: ,)1()1()( 0 2 2 1 1 bbbL n n mn n m      ,)1()1()( 1 3 3 21 1 1 2       bbbL n n mn n m  ,)1()1()( 0 2 2 1 1 cccH k k rk k r      ,)1()1()( 1 3 3 21 1 1 2       cccH k k kk k r  а при нечетных 12  mn и 12  rk получаем: ,)1()1()( 1 3 2 11 1 bbbL n n mn n m      ,)1()1()( 0 2 3 1 12      bbbL n n mn n m  ,)1()1()( 1 3 2 11 1 cccH n k rk k r      Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 33 .)1()1()( 0 2 3 1 12      cccH k k rk k r  Из уравнения (5) следует выражение для определения параметра  )()( )()( )()()()( )()( )()()()( 2 2 2 1 1221 2 2 2 1 2211        jVU HH HLHL j HH HLHL . Поскольку параметр  — действительная, физически значимая величина, то задачу определения ГОУ методом D-разбиения в плоскости одного параметра можно свести к задаче определения отрезка устойчивости, которым является от- резок вещественной оси   , лежащий в ОУ плоскости  (см. рис. 1). Граничные значения  и   соответствуют точкам пересечения кривой D-раз- биения с действительной осью ),(U поэтому значения частот, которым соответ- ствуют граничные значения параметра , определяются уравнением 0)( V или .0)()()()( 1221  HLHL Построение ГОУ в плоскости двух параметров ],[  начинаем с определения границы отрезка устойчивости в плоскости параметра  для значения .nom В общем случае кривая D-разбиения может пересекать действительную ось )(U в плоскости одного параметра больше двух раз. Так как система устойчива при номинальных значениях параметров, то очевидно, что граничные точки от- резка устойчивости  и   параметра  расположены ближе остальных точек пересечения к точке, соответствующей номинальному значению ,nom и значе- ния параметров этих точек удовлетворяют условиям ,nom .nom Аналогичным образом определяем граничные значения отрезков устойчиво- сти для всех предварительно заданных значений параметров  ) ( maxmin  . Совокупность полученных отрезков устойчивости, т.е. совокупность всех гранич- ных значений параметров  и   определяют в плоскости двух параметров ],[  ГОУ (см. рис. 2) Пример. Для иллюстрации возможности практического использования пред- ложенного подхода рассмотрим построение ГОУ в плоскости двух параметров ],[  замкнутой системы, характеристическое уравнение которой имеет вид 0)1)(1( 213 22 21  kksTsTsT при 45,02 T с, 53 T с, ,252 k 1T и .1k В работах [5, 9] для заданной системы методом D-разбиения, применяемым в ручном режиме, получили совокупность кривых D-разбиения и особые пря- мые (рис. 3) на плоскости параметров μ и ν, разбивающие всю плоскость на об- ласти I–VI. Внутри каждой из областей, ограниченных кривыми D-разбиения, любой точке в плоскости параметров соответствует одинаковое количество l ле- вых корней характеристического уравнения. Заметим, что в данном случае имеет- ся две области устойчивости: I и VI, в которых все три корня характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси в плоскости корней. Однако нас ин- тересует только область устойчивости I, соответствующая физически осуществи- мым положительным значением параметров  и . Выражение для определения параметра  для данной системы предложенным подходом имеет вид 34 ISSN 0572-2691 .)()( 25 )5(2,0 25 1)2,05( 32      jVUj Значения частот, которые соответствуют граничным значениям параметра  для каждого предварительно заданного значения , определяются уравнением ,0)( V т.е. ,0))5(2,0()5(2,0 23  решение которого найдем в виде . 2,0 5 ,0    Граничные значения  и   отрезков устойчивости для каждого конкретно- го значения  )( maxmin  вычисляются из выражений . 25 1)2,05( )(, 25 1 25 1)2,05( )( 22      UU В результате, используя предложенный приспособленный к машинной реа- лизации подход определения ГОУ, получаем ОУ, которая имеет практическое значение (рис. 4).   ]     5  V V   100 10 1 0,1 0,01 0,01 0,1 1 10 100 0,1 1 10 100 1 10 100 1000 5 l1 l2 l3 l1 l2 l3 V 0,1 Рис. 3   ]   0,01 0,1 1 10 100 0,1 1 10 100 1000 0,1 min max )( min )( min '' )( max '' )( max Область устойчивости Рис. 4 Заключение. Очевидно, что предложенный подход построения ГОУ мето- дом D-разбиения позволяет исключить построение всей кривой D-разбиения, не требует использования «штриховки по Неймарку» и обеспечивает полноценную Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 35 машинную реализацию задачи построения ГОУ линейной непрерывной системы в плоскости двух параметров, которые линейно входят в коэффициенты характе- ристического полинома. Л.Т. Мовчан, С.Л. Мовчан МАШИННО-ОРІЄНТОВАНИЙ ПІДХІД ДО ПОБУДОВИ ОБЛАСТІ СТІЙКОСТІ В ПЛОЩИНІ ДВОХ ПАРАМЕТРІВ ЛІНІЙНИХ НЕПЕРЕРВНИХ СИСТЕМ КЕРУВАННЯ МЕТОДОМ D-РОЗБИТТЯ Розглянуто машинно-орієнтований підхід до реалізації побудови границі обла- сті стійкості в площині двох параметрів неперервних систем керування мето- дом D-розбиття. При цьому немає необхідності будувати всю криву D-розбит- тя, особливі прямі і використовувати «штриховку за Неймарком». L.T. Movchan, S.L. Movchan COMPUTER-AIDED APPROACH TO CONSTRUCTION OF STABILITY AREA IN THE TWO PARAMETERS PLANE OF THE LINEAR CONTINUOUS CONTROL SYSTEMS USING D-PARTITIONS METHOD Computer-aided approach to realization of the limit construction of the stability do- main in the two-parameters plane of the linear continuous systems using D-partitions method are analysed, avoiding total D-partitions curve construction and special lines using «Neymark shading». 1. Цукерник Л.В. Обобщение уравнений динамики сложной энергосистемы и применение электронной счетной машины для анализа устойчивости // Автоматика и телемеханика. — 1957. — № 1. — С. 36–45. 2. Дидук Г.А. Машинные методы исследования автоматических систем. — Л. : Энергоатомиз- дат, 1983. — 242 с. 3. Топчеев Ю.И. Атлас для проектирования систем автоматического регулирования. — М. : Машиностроение, 1989. — 751 с. 4. Неймарк Ю.Н. Устойчивость линеаризованных систем. — Л. : ЛКВВИЛ, 1949. — 140 c. 5. Теория автоматического управления. Ч. І: Теория линейных систем автоматического управления / Под ред. А.А. Воронова. — М. : Высш. шк., 1986. — 367 с. 6. Shiljak D. Analysis and synthesis of feedback control systems in the parameter plane // IEEE Trans. — 1964. — 83, N 75. — P. 275–794. 7. Мовчан С.Л. Построение области устойчивости линейных цифровых систем в пространстве параметров, которые нелинейно входят в коэффициенты характеристического уравнения // Проблемы управления и информатики. — 2004. — № 1. — С. 37–47. 8. Мовчан Л.Т., Мовчан С.Л. Построение области устойчивости линейных цифровых систем в плоскости двух параметров, которые нелинейно влияют на коэффициенты характеристи- ческого уравнения // Там же. — 2006. — № 4. — С. 40–49. 9. Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования. — М. : Машиностроение, 1977. — 592 с. Получено 17.12.2009 После доработки 05.07.2010

Схожі ресурси