Идентификация на основе слабых задач параметров параболических систем в условиях импульсных и сосредоточенных воздействий

Розглянуто технологію ідентифікації параметрів параболічних задач, що визначаються у багатокомпонентних областях. Використано підхід, що базується на слабких задачах, із застосуванням градієнтних методів....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автори:	Сергиенко, И.В., Дейнека, В.С.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2011
Назва видання:	Проблемы управления и информатики
Теми:	Методы идентификации и адаптивного управления
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207277
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Идентификация на основе слабых задач параметров параболических систем в условиях импульсных и сосредоточенных воздействий / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 1. — С. 36–62. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-207277
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2072772025-10-05T00:04:37Z Идентификация на основе слабых задач параметров параболических систем в условиях импульсных и сосредоточенных воздействий Ідентифікація на основі слабких задач параметрів параболічних систем в умовах імпульсних і зосереджених впливів Parameters identification of parabolic systemsunder impulse and concentrated loads on the basis of weak problems Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. Методы идентификации и адаптивного управления Розглянуто технологію ідентифікації параметрів параболічних задач, що визначаються у багатокомпонентних областях. Використано підхід, що базується на слабких задачах, із застосуванням градієнтних методів. The paper considers the identification technology of parabolic systems parameters defined in multicomponent regions. An approach based on weak problems with the application of gradient methods is used. 2011 Article Идентификация на основе слабых задач параметров параболических систем в условиях импульсных и сосредоточенных воздействий / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 1. — С. 36–62. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207277 519.6 10.1615/JAutomatInfScien.v43.i1.40 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Методы идентификации и адаптивного управления Методы идентификации и адаптивного управления
spellingShingle	Методы идентификации и адаптивного управления Методы идентификации и адаптивного управления Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. Идентификация на основе слабых задач параметров параболических систем в условиях импульсных и сосредоточенных воздействий Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто технологію ідентифікації параметрів параболічних задач, що визначаються у багатокомпонентних областях. Використано підхід, що базується на слабких задачах, із застосуванням градієнтних методів.
format	Article
author	Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С.
author_facet	Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С.
author_sort	Сергиенко, И.В.
title	Идентификация на основе слабых задач параметров параболических систем в условиях импульсных и сосредоточенных воздействий
title_short	Идентификация на основе слабых задач параметров параболических систем в условиях импульсных и сосредоточенных воздействий
title_full	Идентификация на основе слабых задач параметров параболических систем в условиях импульсных и сосредоточенных воздействий
title_fullStr	Идентификация на основе слабых задач параметров параболических систем в условиях импульсных и сосредоточенных воздействий
title_full_unstemmed	Идентификация на основе слабых задач параметров параболических систем в условиях импульсных и сосредоточенных воздействий
title_sort	идентификация на основе слабых задач параметров параболических систем в условиях импульсных и сосредоточенных воздействий
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Методы идентификации и адаптивного управления
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207277
citation_txt	Идентификация на основе слабых задач параметров параболических систем в условиях импульсных и сосредоточенных воздействий / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 1. — С. 36–62. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT sergienkoiv identifikaciânaosnoveslabyhzadačparametrovparaboličeskihsistemvusloviâhimpulʹsnyhisosredotočennyhvozdejstvij AT dejnekavs identifikaciânaosnoveslabyhzadačparametrovparaboličeskihsistemvusloviâhimpulʹsnyhisosredotočennyhvozdejstvij AT sergienkoiv ídentifíkacíânaosnovíslabkihzadačparametrívparabolíčnihsistemvumovahímpulʹsnihízoseredženihvplivív AT dejnekavs ídentifíkacíânaosnovíslabkihzadačparametrívparabolíčnihsistemvumovahímpulʹsnihízoseredženihvplivív AT sergienkoiv parametersidentificationofparabolicsystemsunderimpulseandconcentratedloadsonthebasisofweakproblems AT dejnekavs parametersidentificationofparabolicsystemsunderimpulseandconcentratedloadsonthebasisofweakproblems
first_indexed	2025-10-05T01:09:49Z
last_indexed	2025-10-07T01:06:00Z
_version_	1845283164712337408
fulltext	© И.В. СЕРГИЕНКО, В.С. ДЕЙНЕКА, 2011 36 ISSN 0572-2691 МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ И АДАПТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ УДК 519.6 И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека ИДЕНТИФИКАЦИЯ НА ОСНОВЕ СЛАБЫХ ЗАДАЧ ПАРАМЕТРОВ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ В УСЛОВИЯХ ИМПУЛЬСНЫХ И СОСРЕДОТОЧЕННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ В работах [1–3] на основе использования полученных авторами результатов теории оптимального управления [4–6] рассмотрены вопросы построения явных выражений градиентов функционалов-невязок для идентификации градиентными методами [7] различных параметров параболических задач, определенных на мно- гокомпонентных пространственных областях. В данной статье рассмотрена возможность развития разработанной техноло- гии на случай распределенных систем, находящихся под импульсным и сосредо- точенным воздействием. Традиционно импульсные воздействия характеризуются «мгновенным» воз- действием на систему и математически учитываются с помощью -функции Дира- ка, обладающей свойством [8]     )()()( fdsssf для любой непрерывной функции f . При решении различных практических задач часто используют прием замены -функции Дирака некоторыми непрерывными или кусочно-непрерывными «по- чти импульсными» функциями [8–10]. Если при решении практической задачи искомое решение, получаемое в пределе, не зависит от выбора аппроксимирую- щей последовательности, то рассматриваемая система называется системой со свойством корректности [8]. Замена -функции Дирака соответствующими последовательностями при- ближений непрерывными или кусочно-непрерывными функциями позволяет рас- сматривать состояния исследуемых систем при воздействиях, которые являются функциями из классов .2L 1. Идентификация мощностей поверхностных тепловых потоков при импульсных и сосредоточенных воздействиях Пусть на интервале (0, l) определено уравнение диффузии                )()(),()( 1 1 ii n i i xtqtxf x y xk xt y c ),,0(),(),()( 21 1 2 Ttxt j jj n j j   (1) где ,0)( 0  cxcc ,)(0 10  kxkk ),(Cc ),(1 Ck ),(2 TLf  Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 37 ),,0( TT  ,Rqi  ),,( R ]),,[()( 21 jj j Ct         ],,[при1 ],,[при0 ),( 21 21 21 jj jj jj t t ,2,1),,0(  Tj ).,0( l На концах отрезка ],0[ l заданы смешанные краевые условия .],0(),(),(),0( Tttu x y ktty lx      (2) При t  0 имеем начальное условие .),()0,( 0  xxyxy (3) В некоторых точках ,id ,,1 Ni  известны значения решения начально- краевой задачи (1)–(3), заданные равенствами .],0(),(),( Tttftdy ii  (4) Получена задача (1)–(4), состоящая в определении функции ,),0()( TCtu  при которой решение ),;( txuy задачи (1)–(3) удовлетворяет равенствам (4). Пусть )},({ szk — последовательность функций, приближающих -функцию ),( sz  определенную в точке s. Тогда при каждом k, заменяя )( sz  функцией ),( szk , правая часть уравнения (1) принадлежит пространству ).(2 TL  При каждом k на основании уравнения (1) получаем                   ),(),(),( 1 1 i k i k n i i kk xtqtxf x y k xt y c .),(),,(),()( 21 1 2 Tj kjj n j j txxt   (5) Определение 1. При каждом ]),0([)( TCtuu  U обобщенным решением начально-краевой задачи (5), (2), (3) называется функция ),,0(),;( TWtxuy  ко- торая }0)0(:)()({)( 1 20  vWxvVxw удовлетворяет равенствам ),,0(),(),(, Ttwlwyaw t y c k k k            (6) ,),()0,( 0  xxyxyk (7) где ,))(;,0(:);,0(),(),0( 2 22        LTL dt dv VTLtxvTW )},,0()(),0(),(:),({ 1 2 TtttvWvtxvV  ,),(,)( dx x w x z kwzadx           ))(),,()(,(),()( 1 1 wtqwfwl i k i n i k ik .)()())(),,()(,()( 21 1 2 lwtuwt j kjj n j j    38 ISSN 0572-2691 Следуя [4, 5], легко установить, что при каждом фиксированном Uu ре- шение ),;( txuyk существует и единственное в W(0, T), для которого ,0 2 U ucY L  (8) где ,)},;({)( 1 N ii tduyuY  ),()( uYuuYY  ,)( 0 1 22 2      T N i dxL dtyY i ).,;(),;( tduytduy i k i  Составим функционал-невязку ,))(),;(( 2 1 )( 2 0 1 dttftduyuJ i T N i ii     (9) где i  весовые коэффициенты. При каждом фиксированном k задачу (6), (7), (9) будем решать с помощью градиентных методов [7]:    nnpuu nnnn ,...,1,0,1 , (10) где направление спуска np и коэффициент ,n следуя [7], определяются так:  для метода минимальных ошибок ;, 2 2 n n u n nun J e Jp   (11)  для метода скорейшего спуска ;, 2 2 n n n u u nun JA J Jp    (12)  для метода сопряженных градиентов , ),( ,,0, 22 2 01 1 n nu n u u nnnun pA pJ J J pJp n n n n        (13) где nuJ   градиент функционала )(uJ в точке ,nuu  ,fAuе nn  nAu ,)},;({ 1 N iin tduy   N iiff 1 . Для каждого приближения )(tuu k nn  задачи (6), (7), (9), следуя [3], сопря- женная задача имеет вид ,\),(, dTTtx x k xt c               ),,0(,,1),),;((,0][ ),,0(,0,0),0( TtNiftduy x k Tt x kt iin k i dx dx lx i i                 (14) ,,0   x Tt где .),0(),0(][),,0(}{ 1 tdtdTd iidx N iidT i   Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 39 Определение 2. Обобщенным решением начально-краевой задачи (14) назы- вается функция ),,0(),( TWtx d которая 0 )( dVxw  удовлетворяет системе равенств ),,0(),;(),(, Ttwylwaw t c n           (15) ,,0   x Tt (16) где ),()),;(();( 1 ii N i inin dwftduywyl    ,),;(),(),;()( k nn k nnnn ytxuytxytxuyuyy  ,))(;,0(:);,0(),(),0( 2 22        LTL dt dv VTLtxvTW dd )},,0(),(),0(,,1,0][:),({ TtttvNivVtxvV idxdd   ,),(),,0(},,0,,)(:),({ 10 1 2 lddNiWvtxvV NNid i   }.0)0(,,1,0][,,0,)(:)({ 1 20   vNivNiWvxvV ii dxid Выбирая в равенстве (15) вместо функции w разность ,1 k n k n yy  с учетом (6), (7), (16) получаем .),()),;(),;()(),;(( 00 1 1 dtutldttduytduyftduy T n T N i ininiini      (17) Введем в рассмотрение обозначения ,))0()(),0(()( ,))0()(),0()((),(     YvYYfvL YvYYuYvu где ,)( AvvY  ,),( 1 0 dt N i T iii     ,)}({ 1 N ii t  ,)}({ 1 N ii t  .)}({ 1 N ii tff  Пусть ., Uvu При )1,0( .)()1( U uvuuvz Имеет место выражение     )(),( )())(( lim 0 uvLuvu uJuvuJ .))()(,)((,  иYvYfuYuvJu (18) С учетом (17), (18) имеем .),())()(,)((, 0 1 dtutlиYuYfuYuJ n T nnnnun   (18) Следовательно, ,~ nun J  (19) где .~),,(~ 0 22 dtJtl T nun n   40 ISSN 0572-2691 Под решением задачи (1)(4) будем подразумевать предельное значение по- следовательности ,,1,0},{ kuk решений задачи (6), (7), (9). Замечание 1. Следуя [4, 5], в задаче (1)–(4) заданные в точках ,i ,,1 2пi  сосредоточенные воздействия можем учесть с помощью условий сопряженная, т.е. состояние системы можем описать следующей начально-краевой задачей: ,),(),()(),( 1 1 Tii n i i txxtqtxf x y k xt y c                ),,0(),(),(),0( ),,0(,,1,),()(,0][ 221 Tttu x y ktty Ttnjt x y ky lx jj j x x j j                 (20) ,),()0,( 0  xxyxy где , 2 0 i n i    ),,0( 10  ),,( 1 iii ,1,1 2  ni ),,( 22 lnn  T ).,0( T Используя систему )},({ szk приближений -функций ),( sz  вместо начально-краевой задачи (5), (2), (3) на основании (20) получаем задачу ,),(),,(),(),( 1 1 Ti k i k n i i kk txxtqtxf x y k xt y c                   ),,0(),(),(),0( ),,0(,,1,),()(,0][ 221 Tttu x y ktty Ttnjt x y ky lx k k jj i x k x k j j                    (21) .),()0,( 0  xxyxyk Определение 3. При каждом фиксированном ]),0[( TCu U обобщенным решением начально-краевой задачи (21) называется функция ),,0(),;( TWtxuyk  которая 0)( Vxw  удовлетворяет равенствам ),,0(),(),(, Ttwlwyaw t y c k k k            (22) ,),(00   xxyy t k (23) где ,))(;,0(:);,0(),(),0( 2 22        LTL dt dv VTLtxvTW )},,0(),(),0(,,1,0][,,0),(:),({ 22 1 2 TtttvnivniWvtxvV ii xi   },0)0(,,1,0][,,0),(:)({ 22 1 20   vnivniWvxvV ii xi ).()()(),()())(),,()(,(),()( 21 11 21 lwtuwtwtqwfwl j jj n j ji k i n i k ik    Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 41 Для определения )1( n -го приближения )( 11 tии k nn   решения U)(tuk задачи (22), (23), (9), получаемого с помощью градиентного метода (10), сопря- женная задача имеет вид ,\),(, dТTtx x k xt c               ),,0(,,1,0,0][ 2 Ttnj x k j j x x            ),,0(,,1),),;((,0][ TtNiftduy x k iin k i dx dx i i            (24) ),,0(,0,0),0( Tt x kt lx      ,,0   x Tt где .),,0( 1 i N i dddT dT   Определение 4. Обобщенным решением начально-краевой задачи (24) называ- ется функция ),,0(),( TWtx d которая 0 )( dVxw  удовлетворяет равенствам ),())(),;((),(, 1            N i iiin k i dwtftduywaw t c (25) ,,0   x Tt (26) где ,))(;,0(:);,0(),(),0( 2 22        LTL dt dv VTLtxvTW dd ,,1,0][,,1),(:),({ 23 1 2 njvnjWvtxvV j j x j d   )},,0(,0),0(,,1,0][ TttvNiv idx   .}0)0(,,1,0][,,1,0][,,1,0:)({ 230   vNivnjvnjvxvV ij j dxxd Выбирая в равенстве (25) вместо функции w разность ,1 k n k n yy  с учетом (18), (22), (23), (26) получаем     dttduytduytftduyuJ in k in k i N i in k i T nun )),;(),;())((),;((, 1 10 ,),(),()( 00 1 0 0 1 dttludtyyadtdxyy t c T n T k n k n T l k n k n        (27) т.е. .),(, 0 dttluuJ T nnun   Следовательно, ,~ nun J  где .~),,(~ 0 22 dtJtl T nun n   42 ISSN 0572-2691 Замечание 2. Если в задачах (6), (7), (9); (22), (23), (9) ,const Ru  U то на основании (18) или (27) получаем ,~ nun J  где ,),(~ 0 dttl Т n   .~ nun J  Замечание 3. Если в задачах (6), (7), (9); (22), (23), (9) восстанавливаемый поток u(t) идентифицируется параметрически, т.е. в виде ,)()()( 1    m i iim ttutu (28) где ,}{ 1 mm ii R  U m ii t 1 )}({    система линейно-независимых функций, то на основании (18) или (27) получаем ,~ nun J  где ,}~{~ 1 m i i nn  ,),()(~ 0 dttlt Т i i n      m i i nun J 1 22 .)~( Замечание 4. Граничное значение решений ,ku ,,1,0 k одной из задач (6), (7), (9); (22), (23), (9) будем использовать в качестве решения исходной задачи (1)(4). 2. Идентификация коэффициента теплопроводности Пусть в задаче (1)(3) коэффициент теплопроводности k(x) неизвестный. Ис- пользуя последовательность )},({ szk функций, приближающих -функцию ),( sz  определенную в точке s, получаем задачу состояния ,),(),,(),(),( 1 1 Ti k i k n i i kk txxtqtxf x y u xt y c                   ),,0(),(),(),0( ),,0(,,1,),()(,0][ 221 Ttt x y utty Ttnjt x y uy lx k k jj j x k x k j j                    (29) ,),()0,( 0  xxyxyk где . 2 0 i n i    Предполагаем, что в N точках id известны следы решения, заданные ра- венствами (4). Определение 5. Обобщенным решением начально-краевой задачи (29) называ- ется функция ),,0(),;( TWtxuyk  которая 0)( Vxw  удовлетворяет равенствам ),,0(),(),;(, Ttwlwyuaw t y c k k k            (30) ,),(00   xxyy t k (31) где множества ),,0( TW 0V те же, что и для задачи (22), (23), ,),;( 0 dx x w x y uwyua l k       ).()()(),()(),(),(),()( 21 101 21 lwtwtdxwxtqwfwl j jj n j j l i k i n i k ik    Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 43 В силу [5, 6], при каждом фиксированном )( ТCu  U решение задачи (30), (31) существует и единственно, где ,0),(:),({)(   vCvtxvC i T i T i T },,1 2ni  .],0[ Ti i T  Пусть в задаче (30), (31) ]),0[()( TCtuu  U получает приращение u, тогда, пренебрегая членами второго порядка малости, на основании (29) для при- ращения  ky решения ky задачи (29) получаем задачу ,),(, )( T k tx x uy u xx u xt c                            ),,0(, )( ,0),0( ),,0(,,1,,0][ 2 Tt x uy u x ut Ttnj x y u x u k lx x k x x j j j                               (32) .,0 0   x t Определение 6. Обобщенным решением начально-краевой задачи (32) назы- вается функция ),,0(),( 0 TWtx  которая 0)( Vxw  удовлетворяет равенствам                        dxw x uy u x wuaw t c l k 0 )( ),;(, ,),0(),( )( )( 2 1 Ttlw x uy uw x y u lx k j x kn j j                  (33) ,,00   xt (34) где ,))(;,0(:);,0(),(),0( 2 202 0        LTL dt dv VTLtxvTW )}.,0(,0),0(,,1,0][,,0),(:),({ 22 1 2 0 TttvnivniWvtxvV ii xi   Для определения )1( n -го приближения k nn ии 11   решения Uku задачи (30), (31), (9) сопряженная задача имеет вид ,\),(, dТTп tx x и xt c               ),,0(,,1),),;((,0][ ),,0(,,1,0,0][ 2 TtNiftduy x и Ttnj x и iin k i dx пdx x пx i i j j                       (35) .,0   x Tt Определение 7. Обобщенным решением начально-краевой задачи (35) называ- ется функция ),,0(),( TWtx d которая 0 )( dVxw  удовлетворяет равенствам ),,0(,)()),;((),;(, 1 Ttdwftduywuaw t c N i iiin k in            (36) .,0   x Tt (37) 44 ISSN 0572-2691 Исходя из (36), с учетом (33), (34), (37) получаем                  dtdx x uy u x uJ Т l n k nnun 0 0 )( , .),( )( ),( 01 0 2 dttl x uy udtt x y u lx n kT nj x kn j T n j                   (38) Учитывая (38), получаем следующие выражения n~ -приближения градиента .~ nun J  1. Если ),,0(  RU то ,),( )( ),( )(~ 01 00 0 2 2 2 dttl x uy dtt x y dtdx x uy lx n kT j x kn j TТ l n k n j                       .~ nun J  2. Если ]),,0[( TС  U то ,),( )( ),( )(~ 2 10 2 2 tl x uy t x y dx x uy lx n k j n j x kl n k n j                      .)(~ 0 22 dttJ T nun   3. Если восстанавливаемый коэффициент идентифицируется параметрически, т.е. в виде ,)()(),( 1    m i iim xttxuu (39) где m ii x 1)}({   система линейно-независимых функций, то ,}~{~ 1 m i i nn  ,),( )( )(),()( )(~ 2 10 tl x uy lt x y dx x uy x lx n k ij n j x k ji l n k i i n j                                 .))(~( 1 0 22 dttJ m i T i nun     4. Если ,const,0)()( 1    i m i iim xxuu то i n ~ ,),( )( )(),()( )( 0 10 2 dttl x uy lt x y dx x uy x l lx n k ij n j x k ji n k i T j                                          .)~( 1 22 dtJ m i i nun    Если приращение ,ky соответствующее приращению ,nu определим, пренебрегая членами второго порядка малости, на основе слабой задачи (30), (31), т.е. как функцию из ),,0(0 TW удовлетворяющую 0)( Vxw  равенствам Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 45 , )( ),;(, 0 dx x w x uy uwuaw t c l п k пп              (40) ,,0 0   x t (41) то на основании (36) с учетом (37), (40), (41) для приближения n~ градиента nuJ  получаем следующие выражения: 1) если , RU то ;~, )(~ 0 0 nu Т l n k n n Jdtdx xx uy         2) если ]),,0[( TС  U то ;~, )(~ 0 22 0 dtJdx xx uy T nu l n k n n        3) если восстанавливается коэффициент, с учетом его представления в виде (39), то ,~ nun J  где ,}~{~ 1 m i i nn  , )( )(~ 0 dx xx uy х l k i i n       ;))(~( 1 0 22 dttJ m i T i nun     4) если в представлении (39) const,i то ,}~{~ 1 m i i nn  .)~(, )( )(~ 1 22 0 0          m i i nu Т l п k i i n n Jdtdx xx uy х 3. Идентификация мощности теплового потока при финальных наблюдениях Пусть состояние системы описывается начально-краевой задачей (1)–(3), где функция u(t) неизвестная, но при t  T известно решение задачи (1)–(3), т.е. .),(),( 0  xxfTxy (42) В этом случае функционал-невязка имеет вид .))(),;(( 2 1 )( 2 00 xdxfTxuyuJ    (43) Тем самым получена задача (6), (7), (43), которую будем решать с помощью градиентных методов (10). Для каждого приближения )(tuu k nn  задачи (6), (7), (43) сопряженная задача имеет вид [4] ,),(, Ttx x k xt c               ),,0(,0,0),0( Tt x kt lx      (44) .)),(),;(( 0 0     xxfTxuy c nTt Определение 8. Обобщенным решением начально-краевой задачи (44) назы- вается функция ),,0(),( TWtx  которая 0)( Vxw  удовлетворяет равенствам ),,0(,0),(, Ttwaw t c          (45) .)),(),;(( 0 0     xxfTxuy c nTt (46) 46 ISSN 0572-2691 Выбирая в тождестве (45) вместо функции w разность ,1 k n k n yy  с учетом (6), (7), (46) получаем .0),()),;(),;(),(),;((( 0 100   dtutlTuyTuyfTuy T nn k n k n k (47) Следовательно, ,~ nun J  где ).,(~ tln  Замечание 5. Равенство (47) является основой для получения явного выраже- ния градиента nuJ  функционала (43) для случаев различных предположений вида восстанавливаемого параметра (постоянный, изменяющийся во времени, пара- метрический). 4. Идентификация мощности теплового потока при интервальных наблюдениях Пусть состояние системы описывается начально-краевой задачей (1)–(3), где функция u(t) неизвестная, но на временных участках ],0[],[ 21 Ttt ii  в точках ,,1, Nidi  известны значения решения задачи (1)–(3), заданные равенствами .,1],,[),(),( 21 Nittttftdy ii ii k  (48) В этом случае функционал-невязка имеет вид .))(),;(( 2 1 )( 2 1 2 1 dttftduyuJ i N i i k t t i i i     (49) Тем самым получена задача (6), (7), (49), которую будем решать с помощью градиентных методов (10). Для каждого приближения )(tuu k nn  решения задачи (6), (7), (49) сопряженная задача имеет вид ,\),(, dТTtx x k xt c               ),,()),;((,0][ ),,0(,0,0),0( 21 ii iin k i dx dx lx ttftduy x k Tt x kt i i                 (50) ,,0   x Tt где .),,0(),,0(),,0( 1 i N i dddTT dTTl   Определение 9. Обобщенным решением начально-краевой задачи (50) назы- вается функция ),,0(),( TWtx d которая 0 )( dVxw  удовлетворяет системе равенств ),,0(),);((),(, Ttwuylwaw t c n k           (51) ,,0   x Tt (52) где .),()()),;(());(( 1 21    N i ii iiin k in k ttdwftduywuyl Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 47 Выбирая в тождестве (51) вместо функции w разность ,1 k n k n yy  с учетом (6), (7), (52) получаем      dttttduytduytftduyuJ ii in k in k i N i in k T inun ),()),;(),;())((),;((, 211 1 0 .)(),( 0 dttutl n T   Следовательно, ,~ nun J  где .~),,(~ 0 22 dtJtl T nun n   5. Идентификация мощности импульсных воздействий при непрерывных наблюдениях Пусть состояние системы описывается следующей начально-краевой задачей: ),(),()()()(),()( 21 11 21 j jj n j jii n i i xtxtutxf x y xk xt y c                ),,0(),(),(),0( Ttt x y ktty lx      (53) .),()0,( 0  xxyxy Предполагаем, что в N точках id известны следы решения задачи (53), заданные равенствами (4). Полученная задача (53), (4) состоит в определении вектора ,}{ 11 1 nn ii Ruu   при котором решение ),;()( txuyuyy  задачи (53) удовлетворяет равенствам (4). Как и при рассмотрении предыдущих задач, будем использовать последова- тельность )},,({ sk  ,,1,0 k приближений -функции Дирака, т.е. рассмат- ривать состояние, описываемое следующей начально-краевой задачей при каждом фиксированном :1n Ru U                   ),(),(),( 1 1 i k i k n i i kk xtutxf x y k xt y c ),,0(),(),(),0( ,),(),,(),()( 21 1 2 Ttt x y ktty txxt lx k k Tj kjj n j j         (54) .),()0,( 0  xxyxyk Определение 10. Обобщенным решением начально-краевой задачи (54) называ- ется функция ),,0(),;( TWtxuyk  которая 0)( Vxw  удовлетворяет равенствам ),0(),;(),(, Ttwulwyaw t y c k k k            , (55) ,),()0,( 0  xxyxyk (56) 48 ISSN 0572-2691 где множества 0),,0( VTW определены в задаче (6), (7),    ))(),,()(,(),();( 1 1 wtuwfwul i k i k n i ik ).())(),,()(,()( 21 1 2 lwwt j kjj n j j    Для каждого приближения 11 1}{ nn i k n k nn Ruuu i   U решения задачи (55), (56), (9) сопряженная задача имеет вид (14) с соответствующей ей обобщен- ной (15), (16). Выбирая в тождестве (15) вместо функции w разность ,1 k n k n yy  с учетом (16), (55), (56) получаем .),(),(),(, 01 1 dtdxtxxtuuJ T i k i k n i k n k nu in     (57) Следовательно, ,~ nun J  где ,}~{~ 1 1 n i i nn  ,),(),(),(~ 0 dtdxtxxt T i k i ki n        1 1 22 .)~( n i i nun J Замечание 6. Вместо задачи (53) состояние системы можем описать следую- щей начально-краевой задачей с условиями сопряжения: ,),(),()(),()( 1 1 Tii n i i txxtutxf x y хk xt y c                ),,0(),(),(),0( ),,0(,,1),,()(,0][ 221 Ttt x y ktty Ttnjt x y ky lx jj j x x j j                 (58) ,),()0,( 0  xxyxy где .),0( ~ ,\ ~ ),,0( 2 1 lT j n j T             Используя последовательность функций )},,({ szk приближающих -функ- цию ),( sz  для каждого k на основании (58) получаем начально-краевую задачу ,),(),,(),(),()( 1 1 Ti k i k n i i kk txxtutxf x y xk xt y c                   ),,0(),(),(),0( ),,0(,),()(,0][ 21 Ttt x y ktty Ttt x y ky lx k k jj j x k x k i i                    (59) .),()0,( 0  xxyxyk Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 49 Вместо классического решения ),( txyk начально-краевой задачи (59) будем использовать ее обобщенное решение, как функцию ),,0(),;( TWtxuyk  которая 0)( Vxw  удовлетворяет системе равенств ),,0(),;(),(, Ttwulwyaw t y c k k k            (60) ,),()0,( 0  xxyxyk (61) где ,,0),,(, 101 0 2 2 lniiii n i     ,))(;,0(:);,0(),(),0( 2 22        LTL dt dv VTLtxvTW )},,0(),(),0(,,1,0][,,0),(:),({ 22 1 2 TtttvnivniWvtxvV ii xi   }.0)0(,,1,0][),(:)({ 2 1 20   vnivWvxvV ii xi Для определения )1( n -го приближения k nи 1 решения 1nk Ru U задачи (60), (61), (9) сопряженная задача имеет вид ,\),(, dТTtx x k xt c               ),,0(,,1)),(),;((,0][ ),,0(,,1,0,0][ 2 TtNitftduy x k Ttnj x k ii k ni dx dx x x i i j j                       (62) ,,0   x Tt где .),,0( 1 i N i dddT dT   Определение 11. Обобщенным решением начально-краевой задачи (62) назы- вается функция ),0(),( TWtx d , которая 0 )( dVxw  удовлетворяет равенствам ),,0(),;(),(, Ttwylwaw t c n           (63) ,,0   x Tt (64) где ,))(;,0(:);,0(),(),0( 2 22        LTL dt dv VTLtxvTW dd ,,1,0][,,1),(:),({ 23 1 2 nivnjWvtxvV i j x j d   },0),0(,,1,0][   tvNiv idx },0)0(,,1,0][,,1,0][,,1),(:)({ 23 1 20   vNivnivniWvxvV ii i dxx i d .)())(),;(();( 1 ii N i i k nin dwtftduywyl    50 ISSN 0572-2691 Выбирая в тождестве (63) вместо функции w разность , ~ )( 0Vxw  с учетом (60), (61), (64) получаем .),(),(),(, 01 1 dtdxtxxtuuJ T i k i k n i k n k nu in     (65) Следовательно, nun J  ~ , где ,}~{~ 1 1 n i i nn       1 1 22 0 .)~(,),(),(),(~ n i i nu T i k i ki n n Jdtdxtxxt 6. Идентификация мощностей импульсных воздействий при финальных наблюдениях Пусть состояние системы определяется начально-краевой задачей (54), т.е. соответствующей ей обобщенной (55), (56), а функционал-невязка имеет вид (43). Для каждого приближенного 1nk nn Ruu  U решения Uu задачи (55), (56), (43) сопряженная задача имеет вид (44) с соответствующей ей обобщен- ной (45), (46). Выбирая в тождестве (45) вместо функции w разность ,1 nn yy  с учетом (55), (56), (46) получаем   )),;(),;(),(),;(((, 100 TuyTuyfTuyuJ nnnnun .),(),(),( 01 1 dtdxtxxtu T i k i k n i k ni     Следовательно, ,~ nun J  где ,}~{~ 1 1 n i i nn   ,),(),(),(~ 0 dtdxtxxt T i k i ki n     ,,1 1ni     1 1 22 .)~( n i i nun J 7. Идентификация мощностей импульсных воздействий при интервальных наблюдениях Пусть состояние системы определяется начально-краевой задачей (54), т.е. соответствующей ей обобщенной (55), (56), а функционал-невязка имеет вид (49). Для каждого приближения 1nk nn Ruu  U решения Uu задачи (55), (56), (49) сопряженная задача имеет вид (50) с соответствующей ей обобщен- ной (51), (52). Выбирая в тождестве (51) вместо функции w разность ,1 k n k n yy  с учетом (55), (56), (52) получаем .),(),(),(, 01 1 dtdxtxxtuuJ T i k i k n i k nnu in     Следовательно, ,~ nun J  где ,}~{~ 1 1 n i i nn       1 1 22 1 0 .)~(,,1,),(),(),(~ n i i nu T i k i ki n n Jnidtdxtxxt Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 51 8. Идентификация мощностей сосредоточенных источников/стоков при непрерывных наблюдениях Пусть состояние системы определяется начально-краевой задачей                )()(),()( 1 1 ii n i i xtqtxf x y xk xt y c ),,0(),(),(),0( ,),(),(),()( 21 1 2 Ttt x y ktty txxtu lx Tj jj n j j         (66) .),()0,( 0  xxyxy Предполагаем, что в N точках id известны следы решения задачи (66), заданные равенствами (4). Получена задача (66), (4), состоящая в определении вектор-функции и  и (t)  ]),,[()}({ 21 1 1 2 2 jj п j n ii Ctu    U при которой решение ),;()( txuyuyy  зада- чи (66) удовлетворяет равенствам (4). Задачу (66) перепишем так: , ~ ),(),()(),()( 1 1 Tii n i i txxtqtxf x y xk xt y c                ),,0(),(),(),0( ),,0(),,()(,0][ 21 Ttt x y ktty Tttu x y ky lx jj j j j                 (67) , ~ ),()0,( 0  xxyxy где .,0),,(, ~ ),,0( ~~ 101 0 2 2 lT njjjj n j T     Как и при рассмотрении предыдущих задач, будем использовать последова- тельность )},,({ sk  ,,1,0 k приближений -функции Дирака в точке s, т.е. будем рассматривать состояние, описываемое следующей начально-краевой зада- чей при каждом фиксированном Uu : , ~ ),(),,(),(),( 1 1 Ti k i n i k i kk txxtqtxf x y k xt y c                   ),,0(),(),(),0( ),,0(),,()(,0][ 21 Ttt х y ktty Tttu x y ky lx k k jj j x k x k j j                    (68) . ~ ),()0,( 0  xxyxyk 52 ISSN 0572-2691 Определение 12. При каждом фиксированном Uu обобщенным решением начально-краевой задачи (68) называется функция ),,0( ~ ),;( TWtxuyk  которая 0 ~ )( Vxw  удовлетворяет равенствам ),,0(),;(),(, Ttwulwyaw t y c k k k            (69) , ~ ),()0,( 0  xxyxyk (70) где ,))(;,0(:) ~ ;,0(),(),0( ~ 2 22        LTL dt dv VTLtxvTW )},,0(),(),0(,,1,0][:{ ~ 2 TtttvnjvVvV j   },,0),(:),({ 2 1 2 niWvtxvV i i   },,1,0][,0)0(: ~ )({ ~ 2 0 0 njvvVxvV j   },,0),(:)({ ~ 2 1 2 0 niWvxvV i i   ).()(),()())(),,((),(),();( 21 11 21 lwwtuwtqwfwul j jj n j ji k n i i k ik    Для каждого приближения U k nn uu решения Uu задачи (69), (70), (9) сопряженная задача имеет вид ,\ ~ ),(,)( dTTtx x xk xt c               ),,0(,0,0),0( Tt x kt lx      ),,0(,,1)),(),;((,0][ TtNitftduy x k iini dx dx i i            (71) ),,0(,,1,0,0][ 2 Ttnj x k j j x x            . ~ ,0),(  xTx Определение 13. Обобщенным решением начально-краевой задачи (71) называ- ется функция ),,0( ~ ),( TWtx d которая 0 ~ )( dVxw  удовлетворяет равенствам ),,0(),);((),(, Ttwuylwaw t c n           (72) ,,0   x Tt (73) где ),())(),;(());(( 1 ii N i inin dwtftduywuyl    ,))(;,0(:) ~ ;,0(),(),0( ~ 2 22        LTL dt dv VTLtxvTW dd Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 53 },,0,0][,,1,0][,0),0(: ~ ),({ ~ 2 NivnivtvVtxvV ii dxxdd   },,1), ~ (:),({ ~ 3 1 2~ niWvtxvV id i   },,0,0][,,1,0][,0)0(: ~ )({ ~ 2 0 0 NivnivvVxvV ii dxxdd   },,1), ~ (:)({ ~ 3 1 2~ 0 niWvxvV id i   j n j i    2 1 \ ~~  подобласти, полученные делением подобласти j n j    2 1 \ ~ N точ- ками .id Решение задачи (72), (73) существует и единственное. Выбирая в тождестве (72) вместо функции w разность ,1 k n k n yy  с учетом (69), (70), (73) получаем      dttduytduytftduyuJ i k ni k ni N i i k n T inun )),;(),;())((),;((, 1 1 0 .),()( 2 2 1 1 dtttu j n j k n j j j       (74) Следовательно, nun J  ~ , где ,}~{~ 2 1 n j j nn   ),,(),(~ 21 jj j j n t   2 nuJ .))(~( 2 2 1 1 2dtt n j j n j j       9. Идентификация мощностей сосредоточенных источников при финальном наблюдении Пусть состояние системы определяется начально-краевой задачей (68) или соответствующей ей обобщенной задачей (69), (70). Функционал-невязка имеет вид (43). Для каждого приближения U k nn uu решения Uu задачи (69), (70), (43) сопряженная задача имеет вид , ~ ),(,)( Ttx x xk xt c               ),,0(,,1,0,0][ 2 Ttnj x k j j x x            (75) . ~ )),(),;((),( 0 0    xxfTxuy c Tx n Определение 14. Обобщенным решением начально-краевой задачи (75) назы- вается функция ),,0( ~ ),( 0 TWtx  которая 0 ~ )( Vxw  удовлетворяет равенствам ),,0(,0),(, Ttwaw t c          (76) , ~ )),(),;((),( 0 0    xxfTxuy c Tx n (77) где области 00 ~ ),,0( ~ VTW определены в задаче (69), (70). 54 ISSN 0572-2691 Выбирая в тождестве (76) вместо функции w разность ,1 nn yy  с учетом (69), (70), (77) получаем   )),;(),;(),(),;(((, 100 TuyTuyfTuyuJ nnnnun       2 2 1 1 .),(~)( n j jj dtttu j j (78) Следовательно, ,~ nun J  где ).,(),(~,}~{~ 211 2 jj j j n n j j nn t   10. Идентификация мощностей сосредоточенных источников при интервальных наблюдениях Пусть состояние системы описывается начально-краевой задачей (68) или соот- ветствующей ей обобщенной задачей (69), (70), функционал-невязка имеет вид (49). Для каждого приближения U k nn uu решения Uu задачи (69), (70), (49) сопряженная задача имеет вид ,\ ~ ),(,)( dТTtx x xk xt c               ),,0(,0,0),0( Tt x kt lx      ,,1),,())(),;((,0][ 21 Nitttftduy x k ii iini dx dx i i            (79) ),,0(,,1,0,0][ 2 Ttnj x k j j x x            . ~ ,0),(  xTx Определение 15. Обобщенным решением начально-краевой задачи (79) называ- ется функция ),,0( ~ ),( TWtx d которая 0 ~ )( dVxw  удовлетворяет равенствам ),,0(),);((),(, Ttwuylwaw t c n k           (80) , ~ ,0   x Tt (81) где .),()())(),;(());(( 1 21    N i ii iiin k in k ttdwtftduywuyl Выбирая в тождестве (80) вместо функции w разность ,1 k n k n yy  с учетом (69), (70), (81) имеем       2 2 1 1 .),()(, n j jjnu dtttuuJ j j n (82) Следовательно, ,~ nun J  где ,}~{~ 2 1 n j j nn   ),,(),(~ 21 jj j j n t   2 nuJ       2 2 1 1 2 .)~( n j j n dt j j Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 55 Замечание 7. Если в одной из задач, рассмотренных в разд. 8–10, или в каж- дой из них, какое-то constju или все ,constju то на основании выражений (74), (78), (82) имеем      21 2 1 22 .)~(,),(~ n j j nuj j n n j j Jdtt Замечание 8. Если в одной из задач, рассмотренных в разд. 8–10, или в каждой из них, какая-то восстанавливаемая мощность )(tuu jj  или все могут быть представлены в виде ,)()( 1    jn i jijij ttu (83) где jn iji t 1)}({   система линейно-независимых функций, то ,}~{~ 1 j i n i j n j n  .),()(~ 1 2     j j i dttt jji j n 11. Идентификация импульсных воздействий, приложенных в начальный момент времени, при непрерывных наблюдениях 11.1. Поточечное импульсное изменение температуры в начальный мо- мент времени. Пусть состояние системы определяется начально-краевой задачей                )()(),()( 1 1 ii n i i xtqtxf x y xk xt y c ),,0(),(),(),0( ,),(),(),()( 21 1 2 Ttt x y ktty txxt lx Tj jj n j j         (84) ,),()()0,( 3 1 0    xxuxyxy i n i i где iu  величины изменения температуры в начальный момент времени в 3n точках .ix  Предполагаем, что в N точках id известны следы решения задачи (84), заданные равенствами (4). Полученная задача (84), (4) состоит в определении вектора ,}{ 33 1 nn ii Ruu   U при котором решение ),;()( txuyuyy  задачи (84) удовлетворяет равенствам (4). Как и при рассмотрении предыдущих задач, будем использовать последова- тельности приближений -функций Дирака. Для каждого k-го приближения -функции Дирака на основании (84) состояние системы определим так: , ~ ),(),,(),(),( 1 1 Ti k i k n i i kk txxtqtxf x y k xt y c                   56 ISSN 0572-2691 ,,1),,()(,0][ ),,0(),(),(),0( 221 njt x y ky Ttt x y ktty jj j x k x k lx k k j j                    (85) .),()()0,( 3 1 0 i k n i i k xuxyxy    Вместо классического решения начально-краевой задачи (85) будем исполь- зовать ее обобщенное решение. Определение 16. При каждом фиксированном Uu обобщенным решением начально-краевой задачи (85) называется функция ),,0( ~ ),;( TWtxuyk  которая 0 ~ )( Vxw  удовлетворяет равенствам ),,0(),(),(, Ttwlwyaw t y c k k            (86) ),,()()0,( 3 1 0 i k n i i k xuxyxy    (87) где ).()()(),()())(),,((),(),()( 21 11 21 lwtwtwtqwfwl j jj n j ji k n i i k i    Для каждого приближения 33 1}{ nn i k ni k nn Ruuu   U задачи (9), (86), (87) сопряженная задача имеет вид (24) с соответствующей ей обобщенной (25), (26). Выбирая в тождестве (25) вместо функции w разность ,1 k n k n yy  с учетом (26), (86), (87) получаем .)0,(),(, 3 1 dxxxuuJ i k n i inun    (88) Следовательно, ,~ nun J  (89) где .,1,)0,(),(~,}~{~ 31 3 njdxxx i ki n n i i nn     (90) Замечание 9. Если вместо наблюдений (4) имеем наблюдение (42), то для определения приближения 33 1}{ nn i k ni k nn Ruuu   U задачи (42), (86), (87) со- пряженная задача имеет вид (44) с соответствующей ей обобщенной (45), (46). На основании (45), (46), (86), (87) получаем   )),;(),;(,),;((( 100 TuyTuyfTuy n k n k n k .0)0,(),( 3 1     dxxxu n i i k i (91) Из (91) следуют выражения (88)–(90). Замечание 10. Если вместо наблюдений (4), (42) имеем интервальные наб- людения (48) с функционалом-невязкой (49), то для определения приближения Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 57 U  k nn uu 11 задачи (49), (86), (87) сопряженная задача имеет вид (50) с соот- ветствующей ей обобщенной (51), (52). На основании (51), (52), (86), (87) получа- ем выражения (88)–(90). 11.2. Идентификация мощностей импульсных воздействий, приложен- ных в начальный момент времени. Пусть состояние системы определяется начально-краевой задачей                )()(),()( 1 1 ii n i i xtqtxf x y xk xt y c ,\),(),(),()( 21 1 2 TTj jj n j j txxt   ),,0(),(),(),0( Ttt x y ktty lx      (92) ),,0(,,1),0(,0][ 3 Ttnjtи x y ky j x k x k j j               ,,)()0,( 0  xxyxy где .),,0( 3 1 i n i T T    Предполагаем, что в N точках id известны следы решения начально-краевой задачи (92), заданные равенствами (4). Полученная задача (92), (4) состоит в определении вектора   3 1}{ n iiuu ,3n RU при котором решение )(uyy  задачи (92) удовлетворяет равенствам (4). Используя последовательности приближений -функций Дирака, для каждо- го k-го приближения на основании (92) состояние системы определим так: ,\ ~ ),(),,(),(),( 1 1 TTi k i n i k i kk txxtqtxf x y k xt y c                   ),,0(,,1),0,(,0][ ,,1),,()(,0][ 3 221 Ttnjtu x y ky njt x y ky k j x k x k jj j x k x k j j j j                             (93) ,\ ~ ),()0,( 0  xxyxy где .),0(, 3 1 TTj n j   Определение 17. При каждом фиксированном Uu обобщенным решением начально-краевой задачи (93) называется функция ),,0( ~~ ),;( TWtxuy  которая 0 ~~ )( Vxv  удовлетворяет равенствам ),,0(),;(),(, Ttwulwyaw t y c k k k            (94) ,\),()0,( 0  xxyxyk (95) 58 ISSN 0572-2691 где    ))(),,((),(),();( 1 1 wtqwfwul i k n i i k ik .)()()0,()(),()( 32 1 21 1 lwwtuwt j k n j jj jj n j j    Для каждого приближения 3nk nn Ruu  U задачи (9), (94), (95) сопряжен- ная задача имеет вид ,\ ~ ),(,)( TTtx x xk xt c               ,,1,0,0][ 2nj x k j j x x            ,,1),),;((,0][ Niftduy x k iin k i dx dx i i            (96) ),,0(,,1,0,0][ 3 Ttnj x k j j x x            .\ ~ ,0),(  xTx Определение 18. Обобщенным решением начально-краевой задачи (96) назы- вается функция ),,0( ~~ ),( TWtx  которая 0 ~~ )( Vxw  удовлетворяет равенствам ),,0(),())(),;((),(, 1 Ttdwtftduywaw t c N i iiin k i            (97)  \ ~ ,0),( xTx . (98) Выбирая в тождестве (97) вместо функции w разность ,1 k n k n yy  с учетом (94), (95), (98) получаем      dttduytduyftduyuJ in k in k i N i in k T inun )),;(),;()(),;((, 1 1 0 .),()0,( 3 1 0 dtttu n i i T k ni    Следовательно, ,~ nun J  где ,}~{~ 3 1 n i i nn  ,),()0,(~ 0 dttt T i ki n    2 nuJ    3 1 2.)~( n i i n Замечание 11. Если вместо наблюдения (4) имеем наблюдение (42), то для определения приближения 3nk nn Ruu  U задачи (43), (94), (95) сопряжен- ная задача имеет вид (96), где вместо пятого и восьмого выражений необходимо задать ограничения ),,0(,,1,0 TtNi x k idx          .)),(),;((),( 0 0    xxfTxuy c Tx n k Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 59 Для полученной начально-краевой задачи соответствующая ей обобщенная задача имеет вид (45), (46). Следовательно,   )),;(),;())((),;(((, 100 TxuyTxuyxfTxuyuJ n k n k n k nun .),()0,( 3 1 0 dtttu n i i T k ni    (99) Из (99) вытекает ,~ nun J  где ,}~{~ 3 1 n i i nn  ,),()0,(~ 0 dttt T i ki n    2 nuJ    3 1 2.)~( n i i n Замечание 12. Для случая интервальных наблюдений (48) сопряженная зада- ча имеет вид (96), где вместо пятого ограничения имеем ).,0(,,1),,())(),;(( 21 TtNitttftduy x k ii iin k i dx i          Для полученной начально-краевой задачи соответствующая ей обобщенная задача имеет вид (51), (52). В результате можем записать .),()0,(, 3 1 0 dtttuuJ n i i T k nnu in     Следовательно, ,~ nun J  где .),()0,(~,}~{~ 0 1 3 dttt T i ki n n i i nn    12. Идентификация мощности поверхностного теплового потока составного тела при импульсных и сосредоточенных воздействиях Пусть состояние системы определяется следующей начально-краевой задачей:                )()(),()( 1 1 ii n i i xtqtxf x y xk xt y c ,),(),(),()( 21 1 2 Tj jj n j j txxt   ),,0(,, ),,0(,],[21 Ttx x y k Ttxy x y kR x y kR                            (100) ),,0(),(),(),0( Tttu x y ktty lx      ,),()0,( 210  xxyxy где ,0const, 21 RR ),,0( t ),,0( TT  ,21  ),,0(1  ),,(2 l .,,0  jil 60 ISSN 0572-2691 Второе и третье ограничения системы (100) выражают наличие короткого со- ставного включения [6]. Предполагаем, что в N точках id известно решение начально-краевой зада- чи (100), т.е. имеют место равенства ).,0(,,1)(),( TtNitftdy ii  (101) Полученная задача (100), (101) состоит в определении функции  )(tuu ]),,0[( TCU при которой решение начально-краевой задачи (100) удовлетво- ряет равенствам (101). Как и в разд. 1, задачу (100), (101) будем решать приближенно, используя по- следовательности )},({ sk  функций, приближающих -функции первого урав- нения системы (100). Функционал-невязка имеет вид .))(),;(( 2 1 )( 2 1 0 dttftduyuJ i N i i T i     (102) При каждом фиксированном k на основании (100) состояние системы описы- вается начально-краевой задачей ),(),(),()( 1 1                   n i i k i k i kk xtqtxf x y xk xt y c ,),(),,(),()( 21 1 2 Tj kjj n j j txxt   ),,0(,),( ),,0(,],[21 Ttxt x y k Ttxy x y kR x y kR k k kk                                   (103) ),,0(),(),(),0( Tttu x y ktty lx k k      .),()0,( 210  xxyxyk Вместо классического решения начально-краевой задачи (103) будем исполь- зовать ее обобщенное решение. Определение 19. При каждом фиксированном ]),0[( TCu U обобщенным решением начально-краевой задачи (103) называется функция ),,0(),( TWtxyk  которая 0)( Vxw  удовлетворяет равенствам ),,0(),(),(, Ttwlwyaw t y c k k k            (104) ,),()0,( 210  xxyxyk (105) где ,))(;,0(:);,0(),(),0( 2 22        LTL dt dv VTLtxvTW )},,0(),(),0(:),({ TtttvVtxvV  Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 61 )},,0(,2,1),(:),({ 1 2 TtiWvtxvV i i   ,][][, ][][ ),( 21 2 1             x i zz RR wz dx x w x z kwza i      dxxwxtqwfwl i k i k n i ik )(),(),(),()( 1 1 ).(][)(),(),()( 21 2 21 1 2 lwuww RR R dxxwxt j kjj n j j          Сопряженная задача имеет вид ),,0(,\),(,)( Tttx x xk xt c dTT               ),,0(,][ 1 ,0 21 Tt RRx k x k xx                       ),,0(,,1)),(),;((,0][ TtNitftduy x k iin k i dx dx i i            (106) ),,0(,0,0),0( Tt x kt lx      .,0   x Tt Определение 20. Обобщенным решением начально-краевой задачи (106) назы- вается функция ),,0(),( TWtx d которая 0 )( dVxw  удовлетворяет равенствам ),,0(),())(),;((),(, 1 Ttdwtftduywaw t c N i iiin k i            (107) ,,0   x Tt (108) где ,))(;,0(:);,0(),(),0( 2 22        LTL dt dv VTLtxvTW dd )},,0(,0),0(,,1,0][,,1),(:),({ 4 1 2 TttvNivniWvtxvV i i dx i d   области i  интервалы, составляющие область ,\ d , 1 i N i d d    0dV }.0)0(,,1,0][),(:)({ 1 2   vNivWvxv i i dx i Выбирая в тождестве (107) вместо функции w разность ),,;(),;( 1 txuytxuy n k n k  с учетом (104), (105), (108) получаем     dttduytduytftduyuJ in k in k iin k i TN i nun )),;(),;())((),;((, 1 01 .),()( 0 dttltu T n   Следовательно, ,~ nun J  где .)(~),,(~ 0 22 dttJtl T nun n   62 ISSN 0572-2691 Замечание 13. Если ),()(  tutu ),,0[ T то ,~ nun J  где ,),(),(~ 0    T k n dttlt .~ nun J  І.В. Сергієнко, В.С. Дейнека ІДЕНТИФІКАЦІЯ НА ОСНОВІ СЛАБКИХ ЗАДАЧ ПАРАМЕТРІВ ПАРАБОЛІЧНИХ СИСТЕМ В УМОВАХ ІМПУЛЬСНИХ ТА ЗОСЕРЕДЖЕНИХ ВПЛИВІВ Шляхом наближення -функції Дірака побудовано явні вирази градієнтів функ- ціоналів-нев’язок для ідентифікації параметрів параболічних систем, що знахо- дяться під імпульсним та зосередженим впливом. I.V. Sergienko, V.S. Deineka PARAMETERS IDENTIFICATION OF PARABOLIC SYSTEMS UNDER IMPULSE AND CONCENTRATED LOADS ON THE BASIS OF WEAK PROBLEMS Explicit expressions of the functional-residuals gradients for identification of pa- rameters of parabolic systems under impulse and concentrated load are constructed. The gradients are constructed by approximation of Dirac delta function. 1. Сергиенко И.B., Дейнека В.С. Решение граничных обратных задач теплопроводности для составного стержня // Проблемы управления и информатики.  2007.  № 2.  С. 75–97. 2. Сергиенко И.B., Дейнека В.С. Решение граничных обратных задач для параболических многокомпонентных распределенных систем // Кибернетика и системный анализ.  2007.  № 4.  С. 49–73. 3. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Системный анализ многокомпонентных распределенных си- стем.  Киев : Наук. думка, 2009.  640 с. 4. Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Оптимальное управление неоднородными распределенными системами.  Киев : Наук. думка, 2003.  506 с. 5. Sergienko I.V., Deineka V.S. Optimal control of distributed systems with conjugation condi- tions.  New York : Kluwer Aсadem. Publ., 2005.  400 p. 6. Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Анализ многокомпонентных распределенных систем и опти- мальное управление .  Киев : Наук. думка, 2007.  703 с. 7. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некоррект- ных задач.  М. : Наука, 1988.  288 с. 8. Миллер Б.М., Рубинович Е.Я. Оптимизация динамических систем с импульсными управле- ниями.  М. : Наука, 2005.  430 с. 9. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.  М. : Наука, 1966.  724 с. 10. Дыхта В.А. Оптимизация динамических систем с разрывными траекториями и импульсными управлениями // Соросовский образовательный журнал.  1999.  № 8.  С. 110–115. Получено 16.09.2010

Идентификация на основе слабых задач параметров параболических систем в условиях импульсных и сосредоточенных воздействий

Репозитарії

Схожі ресурси