Идентификация на основе слабых задач параметров параболических систем в условиях импульсных и сосредоточенных воздействий
Розглянуто технологію ідентифікації параметрів параболічних задач, що визначаються у багатокомпонентних областях. Використано підхід, що базується на слабких задачах, із застосуванням градієнтних методів....
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Series: | Проблемы управления и информатики |
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207277 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Идентификация на основе слабых задач параметров параболических систем в условиях импульсных и сосредоточенных воздействий / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 1. — С. 36–62. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-207277 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2072772025-10-05T00:04:37Z Идентификация на основе слабых задач параметров параболических систем в условиях импульсных и сосредоточенных воздействий Ідентифікація на основі слабких задач параметрів параболічних систем в умовах імпульсних і зосереджених впливів Parameters identification of parabolic systemsunder impulse and concentrated loads on the basis of weak problems Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. Методы идентификации и адаптивного управления Розглянуто технологію ідентифікації параметрів параболічних задач, що визначаються у багатокомпонентних областях. Використано підхід, що базується на слабких задачах, із застосуванням градієнтних методів. The paper considers the identification technology of parabolic systems parameters defined in multicomponent regions. An approach based on weak problems with the application of gradient methods is used. 2011 Article Идентификация на основе слабых задач параметров параболических систем в условиях импульсных и сосредоточенных воздействий / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 1. — С. 36–62. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207277 519.6 10.1615/JAutomatInfScien.v43.i1.40 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Методы идентификации и адаптивного управления Методы идентификации и адаптивного управления |
| spellingShingle |
Методы идентификации и адаптивного управления Методы идентификации и адаптивного управления Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. Идентификация на основе слабых задач параметров параболических систем в условиях импульсных и сосредоточенных воздействий Проблемы управления и информатики |
| description |
Розглянуто технологію ідентифікації параметрів параболічних задач, що визначаються у багатокомпонентних областях. Використано підхід, що базується на слабких задачах, із застосуванням градієнтних методів. |
| format |
Article |
| author |
Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. |
| author_facet |
Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. |
| author_sort |
Сергиенко, И.В. |
| title |
Идентификация на основе слабых задач параметров параболических систем в условиях импульсных и сосредоточенных воздействий |
| title_short |
Идентификация на основе слабых задач параметров параболических систем в условиях импульсных и сосредоточенных воздействий |
| title_full |
Идентификация на основе слабых задач параметров параболических систем в условиях импульсных и сосредоточенных воздействий |
| title_fullStr |
Идентификация на основе слабых задач параметров параболических систем в условиях импульсных и сосредоточенных воздействий |
| title_full_unstemmed |
Идентификация на основе слабых задач параметров параболических систем в условиях импульсных и сосредоточенных воздействий |
| title_sort |
идентификация на основе слабых задач параметров параболических систем в условиях импульсных и сосредоточенных воздействий |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Методы идентификации и адаптивного управления |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207277 |
| citation_txt |
Идентификация на основе слабых задач параметров параболических систем в условиях импульсных и сосредоточенных воздействий / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 1. — С. 36–62. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT sergienkoiv identifikaciânaosnoveslabyhzadačparametrovparaboličeskihsistemvusloviâhimpulʹsnyhisosredotočennyhvozdejstvij AT dejnekavs identifikaciânaosnoveslabyhzadačparametrovparaboličeskihsistemvusloviâhimpulʹsnyhisosredotočennyhvozdejstvij AT sergienkoiv ídentifíkacíânaosnovíslabkihzadačparametrívparabolíčnihsistemvumovahímpulʹsnihízoseredženihvplivív AT dejnekavs ídentifíkacíânaosnovíslabkihzadačparametrívparabolíčnihsistemvumovahímpulʹsnihízoseredženihvplivív AT sergienkoiv parametersidentificationofparabolicsystemsunderimpulseandconcentratedloadsonthebasisofweakproblems AT dejnekavs parametersidentificationofparabolicsystemsunderimpulseandconcentratedloadsonthebasisofweakproblems |
| first_indexed |
2025-10-05T01:09:49Z |
| last_indexed |
2025-10-07T01:06:00Z |
| _version_ |
1845283164712337408 |
| fulltext |
© И.В. СЕРГИЕНКО, В.С. ДЕЙНЕКА, 2011
36 ISSN 0572-2691
МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ
И АДАПТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ
УДК 519.6
И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека
ИДЕНТИФИКАЦИЯ НА ОСНОВЕ СЛАБЫХ
ЗАДАЧ ПАРАМЕТРОВ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ
СИСТЕМ В УСЛОВИЯХ ИМПУЛЬСНЫХ
И СОСРЕДОТОЧЕННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ
В работах [1–3] на основе использования полученных авторами результатов
теории оптимального управления [4–6] рассмотрены вопросы построения явных
выражений градиентов функционалов-невязок для идентификации градиентными
методами [7] различных параметров параболических задач, определенных на мно-
гокомпонентных пространственных областях.
В данной статье рассмотрена возможность развития разработанной техноло-
гии на случай распределенных систем, находящихся под импульсным и сосредо-
точенным воздействием.
Традиционно импульсные воздействия характеризуются «мгновенным» воз-
действием на систему и математически учитываются с помощью -функции Дира-
ка, обладающей свойством [8]
)()()( fdsssf для любой непрерывной
функции f .
При решении различных практических задач часто используют прием замены
-функции Дирака некоторыми непрерывными или кусочно-непрерывными «по-
чти импульсными» функциями [8–10]. Если при решении практической задачи
искомое решение, получаемое в пределе, не зависит от выбора аппроксимирую-
щей последовательности, то рассматриваемая система называется системой со
свойством корректности [8].
Замена -функции Дирака соответствующими последовательностями при-
ближений непрерывными или кусочно-непрерывными функциями позволяет рас-
сматривать состояния исследуемых систем при воздействиях, которые являются
функциями из классов .2L
1. Идентификация мощностей поверхностных тепловых потоков
при импульсных и сосредоточенных воздействиях
Пусть на интервале (0, l) определено уравнение диффузии
)()(),()(
1
1
ii
n
i
i xtqtxf
x
y
xk
xt
y
c
),,0(),(),()( 21
1
2
Ttxt j
jj
n
j
j
(1)
где
,0)( 0 cxcc ,)(0 10 kxkk ),(Cc ),(1 Ck ),(2 TLf
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 37
),,0( TT ,Rqi ),,( R ]),,[()( 21
jj
j Ct
],,[при1
],,[при0
),(
21
21
21 jj
jj
jj
t
t
,2,1),,0( Tj
).,0( l
На концах отрезка ],0[ l заданы смешанные краевые условия
.],0(),(),(),0( Tttu
x
y
ktty
lx
(2)
При t 0 имеем начальное условие
.),()0,( 0 xxyxy (3)
В некоторых точках ,id ,,1 Ni известны значения решения начально-
краевой задачи (1)–(3), заданные равенствами
.],0(),(),( Tttftdy ii (4)
Получена задача (1)–(4), состоящая в определении функции ,),0()( TCtu
при которой решение ),;( txuy задачи (1)–(3) удовлетворяет равенствам (4).
Пусть )},({ szk — последовательность функций, приближающих -функцию
),( sz определенную в точке s. Тогда при каждом k, заменяя )( sz функцией
),( szk , правая часть уравнения (1) принадлежит пространству ).(2 TL
При каждом k на основании уравнения (1) получаем
),(),(),(
1
1
i
k
i
k
n
i
i
kk
xtqtxf
x
y
k
xt
y
c
.),(),,(),()(
21
1
2
Tj
kjj
n
j
j txxt
(5)
Определение 1. При каждом ]),0([)( TCtuu U обобщенным решением
начально-краевой задачи (5), (2), (3) называется функция ),,0(),;( TWtxuy ко-
торая }0)0(:)()({)( 1
20 vWxvVxw удовлетворяет равенствам
),,0(),(),(, Ttwlwyaw
t
y
c k
k
k
(6)
,),()0,( 0 xxyxyk
(7)
где
,))(;,0(:);,0(),(),0( 2
22
LTL
dt
dv
VTLtxvTW
)},,0()(),0(),(:),({ 1
2 TtttvWvtxvV
,),(,)( dx
x
w
x
z
kwzadx
))(),,()(,(),()(
1
1
wtqwfwl i
k
i
n
i
k
ik
.)()())(),,()(,()( 21
1
2
lwtuwt j
kjj
n
j
j
38 ISSN 0572-2691
Следуя [4, 5], легко установить, что при каждом фиксированном Uu ре-
шение ),;( txuyk существует и единственное в W(0, T), для которого
,0
2 U
ucY
L
(8)
где ,)},;({)( 1
N
ii tduyuY ),()( uYuuYY ,)(
0 1
22
2
T N
i
dxL
dtyY
i
).,;(),;( tduytduy i
k
i
Составим функционал-невязку
,))(),;((
2
1
)( 2
0 1
dttftduyuJ i
T N
i
ii
(9)
где i весовые коэффициенты.
При каждом фиксированном k задачу (6), (7), (9) будем решать с помощью
градиентных методов [7]:
nnpuu nnnn ,...,1,0,1 , (10)
где направление спуска np и коэффициент ,n следуя [7], определяются так:
для метода минимальных ошибок
;,
2
2
n
n
u
n
nun
J
e
Jp
(11)
для метода скорейшего спуска
;,
2
2
n
n
n
u
u
nun
JA
J
Jp
(12)
для метода сопряженных градиентов
,
),(
,,0,
22
2
01
1
n
nu
n
u
u
nnnun
pA
pJ
J
J
pJp n
n
n
n
(13)
где
nuJ градиент функционала )(uJ в точке ,nuu ,fAuе nn nAu
,)},;({ 1
N
iin tduy N
iiff 1 .
Для каждого приближения )(tuu k
nn задачи (6), (7), (9), следуя [3], сопря-
женная задача имеет вид
,\),(, dTTtx
x
k
xt
c
),,0(,,1),),;((,0][
),,0(,0,0),0(
TtNiftduy
x
k
Tt
x
kt
iin
k
i
dx
dx
lx
i
i
(14)
,,0
x
Tt
где .),0(),0(][),,0(}{ 1 tdtdTd iidx
N
iidT
i
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 39
Определение 2. Обобщенным решением начально-краевой задачи (14) назы-
вается функция ),,0(),( TWtx d которая
0
)( dVxw удовлетворяет системе
равенств
),,0(),;(),(, Ttwylwaw
t
c n
(15)
,,0
x
Tt
(16)
где
),()),;(();(
1
ii
N
i
inin dwftduywyl
,),;(),(),;()( k
nn
k
nnnn ytxuytxytxuyuyy
,))(;,0(:);,0(),(),0( 2
22
LTL
dt
dv
VTLtxvTW dd
)},,0(),(),0(,,1,0][:),({ TtttvNivVtxvV
idxdd
,),(),,0(},,0,,)(:),({ 10
1
2 lddNiWvtxvV NNid
i
}.0)0(,,1,0][,,0,)(:)({ 1
20
vNivNiWvxvV
ii dxid
Выбирая в равенстве (15) вместо функции w разность ,1
k
n
k
n yy с учетом
(6), (7), (16) получаем
.),()),;(),;()(),;((
00 1
1 dtutldttduytduyftduy
T
n
T N
i
ininiini
(17)
Введем в рассмотрение обозначения
,))0()(),0(()(
,))0()(),0()((),(
YvYYfvL
YvYYuYvu
где ,)( AvvY ,),(
1 0
dt
N
i
T
iii
,)}({ 1
N
ii t ,)}({ 1
N
ii t .)}({ 1
N
ii tff
Пусть ., Uvu При )1,0( .)()1( U uvuuvz Имеет место
выражение
)(),(
)())((
lim
0
uvLuvu
uJuvuJ
.))()(,)((, иYvYfuYuvJu (18)
С учетом (17), (18) имеем
.),())()(,)((,
0
1 dtutlиYuYfuYuJ n
T
nnnnun
(18)
Следовательно,
,~
nun
J (19)
где .~),,(~
0
22
dtJtl
T
nun n
40 ISSN 0572-2691
Под решением задачи (1)(4) будем подразумевать предельное значение по-
следовательности ,,1,0},{ kuk решений задачи (6), (7), (9).
Замечание 1. Следуя [4, 5], в задаче (1)–(4) заданные в точках ,i ,,1 2пi
сосредоточенные воздействия можем учесть с помощью условий сопряженная,
т.е. состояние системы можем описать следующей начально-краевой задачей:
,),(),()(),(
1
1
Tii
n
i
i txxtqtxf
x
y
k
xt
y
c
),,0(),(),(),0(
),,0(,,1,),()(,0][ 221
Tttu
x
y
ktty
Ttnjt
x
y
ky
lx
jj
j
x
x
j
j
(20)
,),()0,( 0 xxyxy
где ,
2
0
i
n
i
),,0( 10 ),,( 1 iii ,1,1 2 ni ),,(
22
lnn T
).,0( T
Используя систему )},({ szk приближений -функций ),( sz вместо
начально-краевой задачи (5), (2), (3) на основании (20) получаем задачу
,),(),,(),(),(
1
1
Ti
k
i
k
n
i
i
kk
txxtqtxf
x
y
k
xt
y
c
),,0(),(),(),0(
),,0(,,1,),()(,0][ 221
Tttu
x
y
ktty
Ttnjt
x
y
ky
lx
k
k
jj
i
x
k
x
k
j
j
(21)
.),()0,( 0 xxyxyk
Определение 3. При каждом фиксированном ]),0[( TCu U обобщенным
решением начально-краевой задачи (21) называется функция ),,0(),;( TWtxuyk
которая 0)( Vxw удовлетворяет равенствам
),,0(),(),(, Ttwlwyaw
t
y
c k
k
k
(22)
,),(00
xxyy
t
k (23)
где
,))(;,0(:);,0(),(),0( 2
22
LTL
dt
dv
VTLtxvTW
)},,0(),(),0(,,1,0][,,0),(:),({ 22
1
2 TtttvnivniWvtxvV
ii xi
},0)0(,,1,0][,,0),(:)({ 22
1
20
vnivniWvxvV
ii xi
).()()(),()())(),,()(,(),()( 21
11
21
lwtuwtwtqwfwl j
jj
n
j
ji
k
i
n
i
k
ik
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 41
Для определения )1( n -го приближения )(
11
tии k
nn
решения U)(tuk
задачи (22), (23), (9), получаемого с помощью градиентного метода (10), сопря-
женная задача имеет вид
,\),(, dТTtx
x
k
xt
c
),,0(,,1,0,0][ 2 Ttnj
x
k
j
j
x
x
),,0(,,1),),;((,0][ TtNiftduy
x
k iin
k
i
dx
dx
i
i
(24)
),,0(,0,0),0( Tt
x
kt
lx
,,0
x
Tt
где .),,0(
1
i
N
i
dddT dT
Определение 4. Обобщенным решением начально-краевой задачи (24) называ-
ется функция ),,0(),( TWtx d которая
0
)( dVxw удовлетворяет равенствам
),())(),;((),(,
1
N
i
iiin
k
i dwtftduywaw
t
c (25)
,,0
x
Tt
(26)
где
,))(;,0(:);,0(),(),0( 2
22
LTL
dt
dv
VTLtxvTW dd
,,1,0][,,1),(:),({ 23
1
2 njvnjWvtxvV
j
j x
j
d
)},,0(,0),0(,,1,0][ TttvNiv
idx
.}0)0(,,1,0][,,1,0][,,1,0:)({ 230
vNivnjvnjvxvV
ij
j dxxd
Выбирая в равенстве (25) вместо функции w разность ,1
k
n
k
n yy с учетом
(18), (22), (23), (26) получаем
dttduytduytftduyuJ in
k
in
k
i
N
i
in
k
i
T
nun
)),;(),;())((),;((, 1
10
,),(),()(
00
1
0 0
1 dttludtyyadtdxyy
t
c
T
n
T
k
n
k
n
T l
k
n
k
n
(27)
т.е. .),(,
0
dttluuJ
T
nnun
Следовательно, ,~
nun
J где .~),,(~
0
22
dtJtl
T
nun n
42 ISSN 0572-2691
Замечание 2. Если в задачах (6), (7), (9); (22), (23), (9) ,const Ru U то на
основании (18) или (27) получаем ,~
nun
J где ,),(~
0
dttl
Т
n .~
nun
J
Замечание 3. Если в задачах (6), (7), (9); (22), (23), (9) восстанавливаемый
поток u(t) идентифицируется параметрически, т.е. в виде
,)()()(
1
m
i
iim ttutu (28)
где ,}{ 1
mm
ii R U m
ii t
1
)}({
система линейно-независимых функций, то на
основании (18) или (27) получаем ,~
nun
J где ,}~{~
1
m
i
i
nn ,),()(~
0
dttlt
Т
i
i
n
m
i
i
nun
J
1
22
.)~(
Замечание 4. Граничное значение решений ,ku ,,1,0 k одной из задач (6),
(7), (9); (22), (23), (9) будем использовать в качестве решения исходной задачи (1)(4).
2. Идентификация коэффициента теплопроводности
Пусть в задаче (1)(3) коэффициент теплопроводности k(x) неизвестный. Ис-
пользуя последовательность )},({ szk функций, приближающих -функцию
),( sz определенную в точке s, получаем задачу состояния
,),(),,(),(),(
1
1
Ti
k
i
k
n
i
i
kk
txxtqtxf
x
y
u
xt
y
c
),,0(),(),(),0(
),,0(,,1,),()(,0][ 221
Ttt
x
y
utty
Ttnjt
x
y
uy
lx
k
k
jj
j
x
k
x
k
j
j
(29)
,),()0,( 0 xxyxyk
где .
2
0
i
n
i
Предполагаем, что в N точках id известны следы решения, заданные ра-
венствами (4).
Определение 5. Обобщенным решением начально-краевой задачи (29) называ-
ется функция ),,0(),;( TWtxuyk которая 0)( Vxw удовлетворяет равенствам
),,0(),(),;(, Ttwlwyuaw
t
y
c k
k
k
(30)
,),(00
xxyy
t
k
(31)
где множества ),,0( TW 0V те же, что и для задачи (22), (23),
,),;(
0
dx
x
w
x
y
uwyua
l
k
).()()(),()(),(),(),()( 21
101
21
lwtwtdxwxtqwfwl j
jj
n
j
j
l
i
k
i
n
i
k
ik
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 43
В силу [5, 6], при каждом фиксированном )( ТCu U решение задачи
(30), (31) существует и единственно, где ,0),(:),({)(
vCvtxvC i
T
i
T i
T
},,1 2ni .],0[ Ti
i
T
Пусть в задаче (30), (31) ]),0[()( TCtuu U получает приращение u,
тогда, пренебрегая членами второго порядка малости, на основании (29) для при-
ращения ky решения ky задачи (29) получаем задачу
,),(,
)(
T
k
tx
x
uy
u
xx
u
xt
c
),,0(,
)(
,0),0(
),,0(,,1,,0][ 2
Tt
x
uy
u
x
ut
Ttnj
x
y
u
x
u
k
lx
x
k
x
x
j
j
j
(32)
.,0
0
x
t
Определение 6. Обобщенным решением начально-краевой задачи (32) назы-
вается функция ),,0(),( 0 TWtx которая 0)( Vxw удовлетворяет равенствам
dxw
x
uy
u
x
wuaw
t
c
l k
0
)(
),;(,
,),0(),(
)(
)(
2
1
Ttlw
x
uy
uw
x
y
u
lx
k
j
x
kn
j
j
(33)
,,00 xt (34)
где
,))(;,0(:);,0(),(),0( 2
202
0
LTL
dt
dv
VTLtxvTW
)}.,0(,0),0(,,1,0][,,0),(:),({ 22
1
2
0 TttvnivniWvtxvV
ii xi
Для определения )1( n -го приближения k
nn ии 11 решения Uku задачи
(30), (31), (9) сопряженная задача имеет вид
,\),(, dТTп tx
x
и
xt
c
),,0(,,1),),;((,0][
),,0(,,1,0,0][ 2
TtNiftduy
x
и
Ttnj
x
и
iin
k
i
dx
пdx
x
пx
i
i
j
j
(35)
.,0
x
Tt
Определение 7. Обобщенным решением начально-краевой задачи (35) называ-
ется функция ),,0(),( TWtx d которая
0
)( dVxw удовлетворяет равенствам
),,0(,)()),;((),;(,
1
Ttdwftduywuaw
t
c
N
i
iiin
k
in
(36)
.,0
x
Tt
(37)
44 ISSN 0572-2691
Исходя из (36), с учетом (33), (34), (37) получаем
dtdx
x
uy
u
x
uJ
Т l
n
k
nnun
0 0
)(
,
.),(
)(
),(
01 0
2
dttl
x
uy
udtt
x
y
u
lx
n
kT
nj
x
kn
j
T
n
j
(38)
Учитывая (38), получаем следующие выражения n~ -приближения градиента
.~
nun
J
1. Если ),,0( RU то
,),(
)(
),(
)(~
01 00 0
2
2 2
dttl
x
uy
dtt
x
y
dtdx
x
uy
lx
n
kT
j
x
kn
j
TТ l
n
k
n
j
.~
nun
J
2. Если ]),,0[( TС U то
,),(
)(
),(
)(~
2
10
2
2
tl
x
uy
t
x
y
dx
x
uy
lx
n
k
j
n
j x
kl
n
k
n
j
.)(~
0
22
dttJ
T
nun
3. Если восстанавливаемый коэффициент идентифицируется параметрически,
т.е. в виде
,)()(),(
1
m
i
iim xttxuu (39)
где
m
ii x 1)}({ система линейно-независимых функций, то ,}~{~
1
m
i
i
nn
,),(
)(
)(),()(
)(~
2
10
tl
x
uy
lt
x
y
dx
x
uy
x
lx
n
k
ij
n
j x
k
ji
l
n
k
i
i
n
j
.))(~(
1 0
22
dttJ
m
i
T
i
nun
4. Если ,const,0)()(
1
i
m
i
iim xxuu то
i
n
~
,),(
)(
)(),()(
)(
0 10
2
dttl
x
uy
lt
x
y
dx
x
uy
x
l
lx
n
k
ij
n
j x
k
ji
n
k
i
T
j
.)~(
1
22
dtJ
m
i
i
nun
Если приращение ,ky соответствующее приращению ,nu определим,
пренебрегая членами второго порядка малости, на основе слабой задачи (30), (31),
т.е. как функцию из ),,0(0 TW удовлетворяющую 0)( Vxw равенствам
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 45
,
)(
),;(,
0
dx
x
w
x
uy
uwuaw
t
c
l
п
k
пп
(40)
,,0
0
x
t
(41)
то на основании (36) с учетом (37), (40), (41) для приближения n~ градиента
nuJ
получаем следующие выражения:
1) если , RU то ;~,
)(~
0 0
nu
Т l
n
k
n n
Jdtdx
xx
uy
2) если ]),,0[( TС U то ;~,
)(~
0
22
0
dtJdx
xx
uy
T
nu
l
n
k
n n
3) если восстанавливается коэффициент, с учетом его представления в виде (39), то
,~
nun
J где ,}~{~
1
m
i
i
nn ,
)(
)(~
0
dx
xx
uy
х
l k
i
i
n
;))(~(
1 0
22
dttJ
m
i
T
i
nun
4) если в представлении (39) const,i то ,}~{~
1
m
i
i
nn
.)~(,
)(
)(~
1
22
0 0
m
i
i
nu
Т l
п
k
i
i
n n
Jdtdx
xx
uy
х
3. Идентификация мощности теплового потока
при финальных наблюдениях
Пусть состояние системы описывается начально-краевой задачей (1)–(3), где
функция u(t) неизвестная, но при t T известно решение задачи (1)–(3), т.е.
.),(),( 0 xxfTxy (42)
В этом случае функционал-невязка имеет вид
.))(),;((
2
1
)( 2
00 xdxfTxuyuJ
(43)
Тем самым получена задача (6), (7), (43), которую будем решать с помощью
градиентных методов (10).
Для каждого приближения )(tuu k
nn задачи (6), (7), (43) сопряженная задача
имеет вид [4]
,),(, Ttx
x
k
xt
c
),,0(,0,0),0( Tt
x
kt
lx
(44)
.)),(),;(( 0
0
xxfTxuy
c
nTt
Определение 8. Обобщенным решением начально-краевой задачи (44) назы-
вается функция ),,0(),( TWtx которая 0)( Vxw удовлетворяет равенствам
),,0(,0),(, Ttwaw
t
c
(45)
.)),(),;(( 0
0
xxfTxuy
c
nTt
(46)
46 ISSN 0572-2691
Выбирая в тождестве (45) вместо функции w разность ,1
k
n
k
n yy с учетом
(6), (7), (46) получаем
.0),()),;(),;(),(),;(((
0
100 dtutlTuyTuyfTuy
T
nn
k
n
k
n
k
(47)
Следовательно, ,~
nun
J где ).,(~ tln
Замечание 5. Равенство (47) является основой для получения явного выраже-
ния градиента
nuJ функционала (43) для случаев различных предположений вида
восстанавливаемого параметра (постоянный, изменяющийся во времени, пара-
метрический).
4. Идентификация мощности теплового потока
при интервальных наблюдениях
Пусть состояние системы описывается начально-краевой задачей (1)–(3), где
функция u(t) неизвестная, но на временных участках ],0[],[ 21 Ttt ii в точках
,,1, Nidi известны значения решения задачи (1)–(3), заданные равенствами
.,1],,[),(),( 21 Nittttftdy ii
ii
k (48)
В этом случае функционал-невязка имеет вид
.))(),;((
2
1
)( 2
1
2
1
dttftduyuJ i
N
i
i
k
t
t
i
i
i
(49)
Тем самым получена задача (6), (7), (49), которую будем решать с помощью
градиентных методов (10). Для каждого приближения )(tuu k
nn решения задачи
(6), (7), (49) сопряженная задача имеет вид
,\),(, dТTtx
x
k
xt
c
),,()),;((,0][
),,0(,0,0),0(
21
ii
iin
k
i
dx
dx
lx
ttftduy
x
k
Tt
x
kt
i
i
(50)
,,0
x
Tt
где .),,0(),,0(),,0(
1
i
N
i
dddTT dTTl
Определение 9. Обобщенным решением начально-краевой задачи (50) назы-
вается функция ),,0(),( TWtx d которая
0
)( dVxw удовлетворяет системе
равенств
),,0(),);((),(, Ttwuylwaw
t
c n
k
(51)
,,0
x
Tt
(52)
где .),()()),;(());((
1
21
N
i
ii
iiin
k
in
k ttdwftduywuyl
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 47
Выбирая в тождестве (51) вместо функции w разность ,1
k
n
k
n yy с учетом
(6), (7), (52) получаем
dttttduytduytftduyuJ ii
in
k
in
k
i
N
i
in
k
T
inun
),()),;(),;())((),;((, 211
1 0
.)(),(
0
dttutl n
T
Следовательно, ,~
nun
J где .~),,(~
0
22
dtJtl
T
nun n
5. Идентификация мощности импульсных воздействий
при непрерывных наблюдениях
Пусть состояние системы описывается следующей начально-краевой задачей:
),(),()()()(),()( 21
11
21
j
jj
n
j
jii
n
i
i xtxtutxf
x
y
xk
xt
y
c
),,0(),(),(),0( Ttt
x
y
ktty
lx
(53)
.),()0,( 0 xxyxy
Предполагаем, что в N точках id известны следы решения задачи (53),
заданные равенствами (4).
Полученная задача (53), (4) состоит в определении вектора ,}{ 11
1
nn
ii Ruu
при котором решение ),;()( txuyuyy задачи (53) удовлетворяет равенствам (4).
Как и при рассмотрении предыдущих задач, будем использовать последова-
тельность )},,({ sk ,,1,0 k приближений -функции Дирака, т.е. рассмат-
ривать состояние, описываемое следующей начально-краевой задачей при каждом
фиксированном :1n
Ru U
),(),(),(
1
1
i
k
i
k
n
i
i
kk
xtutxf
x
y
k
xt
y
c
),,0(),(),(),0(
,),(),,(),()( 21
1
2
Ttt
x
y
ktty
txxt
lx
k
k
Tj
kjj
n
j
j
(54)
.),()0,( 0 xxyxyk
Определение 10. Обобщенным решением начально-краевой задачи (54) называ-
ется функция ),,0(),;( TWtxuyk которая 0)( Vxw удовлетворяет равенствам
),0(),;(),(, Ttwulwyaw
t
y
c k
k
k
, (55)
,),()0,( 0 xxyxyk
(56)
48 ISSN 0572-2691
где множества 0),,0( VTW определены в задаче (6), (7),
))(),,()(,(),();(
1
1
wtuwfwul i
k
i
k
n
i
ik
).())(),,()(,()( 21
1
2
lwwt j
kjj
n
j
j
Для каждого приближения 11
1}{
nn
i
k
n
k
nn Ruuu
i
U решения задачи (55),
(56), (9) сопряженная задача имеет вид (14) с соответствующей ей обобщен-
ной (15), (16).
Выбирая в тождестве (15) вместо функции w разность ,1
k
n
k
n yy с учетом
(16), (55), (56) получаем
.),(),(),(,
01
1
dtdxtxxtuuJ
T
i
k
i
k
n
i
k
n
k
nu
in
(57)
Следовательно, ,~
nun
J где
,}~{~ 1
1
n
i
i
nn ,),(),(),(~
0
dtdxtxxt
T
i
k
i
ki
n
1
1
22
.)~(
n
i
i
nun
J
Замечание 6. Вместо задачи (53) состояние системы можем описать следую-
щей начально-краевой задачей с условиями сопряжения:
,),(),()(),()(
1
1
Tii
n
i
i txxtutxf
x
y
хk
xt
y
c
),,0(),(),(),0(
),,0(,,1),,()(,0][ 221
Ttt
x
y
ktty
Ttnjt
x
y
ky
lx
jj
j
x
x
j
j
(58)
,),()0,( 0 xxyxy
где .),0(
~
,\
~
),,0(
2
1
lT j
n
j
T
Используя последовательность функций )},,({ szk приближающих -функ-
цию ),( sz для каждого k на основании (58) получаем начально-краевую задачу
,),(),,(),(),()(
1
1
Ti
k
i
k
n
i
i
kk
txxtutxf
x
y
xk
xt
y
c
),,0(),(),(),0(
),,0(,),()(,0][ 21
Ttt
x
y
ktty
Ttt
x
y
ky
lx
k
k
jj
j
x
k
x
k
i
i
(59)
.),()0,( 0 xxyxyk
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 49
Вместо классического решения ),( txyk начально-краевой задачи (59) будем
использовать ее обобщенное решение, как функцию ),,0(),;( TWtxuyk которая
0)( Vxw удовлетворяет системе равенств
),,0(),;(),(, Ttwulwyaw
t
y
c k
k
k
(60)
,),()0,( 0 xxyxyk (61)
где ,,0),,(, 101
0 2
2
lniiii
n
i
,))(;,0(:);,0(),(),0( 2
22
LTL
dt
dv
VTLtxvTW
)},,0(),(),0(,,1,0][,,0),(:),({ 22
1
2 TtttvnivniWvtxvV
ii xi
}.0)0(,,1,0][),(:)({ 2
1
20
vnivWvxvV
ii xi
Для определения )1( n -го приближения
k
nи 1 решения 1nk Ru U задачи
(60), (61), (9) сопряженная задача имеет вид
,\),(, dТTtx
x
k
xt
c
),,0(,,1)),(),;((,0][
),,0(,,1,0,0][ 2
TtNitftduy
x
k
Ttnj
x
k
ii
k
ni
dx
dx
x
x
i
i
j
j
(62)
,,0
x
Tt
где .),,0(
1
i
N
i
dddT dT
Определение 11. Обобщенным решением начально-краевой задачи (62) назы-
вается функция ),0(),( TWtx d , которая
0
)( dVxw удовлетворяет равенствам
),,0(),;(),(, Ttwylwaw
t
c n
(63)
,,0
x
Tt (64)
где
,))(;,0(:);,0(),(),0( 2
22
LTL
dt
dv
VTLtxvTW dd
,,1,0][,,1),(:),({ 23
1
2 nivnjWvtxvV
i
j x
j
d
},0),0(,,1,0][
tvNiv
idx
},0)0(,,1,0][,,1,0][,,1),(:)({ 23
1
20
vNivnivniWvxvV
ii
i dxx
i
d
.)())(),;(();(
1
ii
N
i
i
k
nin dwtftduywyl
50 ISSN 0572-2691
Выбирая в тождестве (63) вместо функции w разность ,
~
)( 0Vxw с учетом
(60), (61), (64) получаем
.),(),(),(,
01
1
dtdxtxxtuuJ
T
i
k
i
k
n
i
k
n
k
nu
in
(65)
Следовательно, nun
J ~ , где
,}~{~ 1
1
n
i
i
nn
1
1
22
0
.)~(,),(),(),(~
n
i
i
nu
T
i
k
i
ki
n n
Jdtdxtxxt
6. Идентификация мощностей импульсных воздействий
при финальных наблюдениях
Пусть состояние системы определяется начально-краевой задачей (54), т.е.
соответствующей ей обобщенной (55), (56), а функционал-невязка имеет вид (43).
Для каждого приближенного 1nk
nn Ruu U решения Uu задачи (55),
(56), (43) сопряженная задача имеет вид (44) с соответствующей ей обобщен-
ной (45), (46).
Выбирая в тождестве (45) вместо функции w разность ,1 nn yy с учетом
(55), (56), (46) получаем
)),;(),;(),(),;(((, 100 TuyTuyfTuyuJ nnnnun
.),(),(),(
01
1
dtdxtxxtu
T
i
k
i
k
n
i
k
ni
Следовательно, ,~
nun
J где
,}~{~ 1
1
n
i
i
nn
,),(),(),(~
0
dtdxtxxt
T
i
k
i
ki
n
,,1 1ni
1
1
22
.)~(
n
i
i
nun
J
7. Идентификация мощностей импульсных воздействий
при интервальных наблюдениях
Пусть состояние системы определяется начально-краевой задачей (54), т.е.
соответствующей ей обобщенной (55), (56), а функционал-невязка имеет вид (49).
Для каждого приближения 1nk
nn Ruu U решения Uu задачи (55),
(56), (49) сопряженная задача имеет вид (50) с соответствующей ей обобщен-
ной (51), (52).
Выбирая в тождестве (51) вместо функции w разность ,1
k
n
k
n yy с учетом
(55), (56), (52) получаем
.),(),(),(,
01
1
dtdxtxxtuuJ
T
i
k
i
k
n
i
k
nnu
in
Следовательно, ,~
nun
J где
,}~{~ 1
1
n
i
i
nn
1
1
22
1
0
.)~(,,1,),(),(),(~
n
i
i
nu
T
i
k
i
ki
n n
Jnidtdxtxxt
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 51
8. Идентификация мощностей сосредоточенных источников/стоков
при непрерывных наблюдениях
Пусть состояние системы определяется начально-краевой задачей
)()(),()(
1
1
ii
n
i
i xtqtxf
x
y
xk
xt
y
c
),,0(),(),(),0(
,),(),(),()( 21
1
2
Ttt
x
y
ktty
txxtu
lx
Tj
jj
n
j
j
(66)
.),()0,( 0 xxyxy
Предполагаем, что в N точках id известны следы решения задачи (66),
заданные равенствами (4).
Получена задача (66), (4), состоящая в определении вектор-функции и и (t)
]),,[()}({ 21
1
1
2
2 jj
п
j
n
ii Ctu
U при которой решение ),;()( txuyuyy зада-
чи (66) удовлетворяет равенствам (4).
Задачу (66) перепишем так:
,
~
),(),()(),()(
1
1
Tii
n
i
i txxtqtxf
x
y
xk
xt
y
c
),,0(),(),(),0(
),,0(),,()(,0][ 21
Ttt
x
y
ktty
Tttu
x
y
ky
lx
jj
j
j
j
(67)
,
~
),()0,( 0 xxyxy
где .,0),,(,
~
),,0(
~~
101
0 2
2
lT njjjj
n
j
T
Как и при рассмотрении предыдущих задач, будем использовать последова-
тельность )},,({ sk ,,1,0 k приближений -функции Дирака в точке s, т.е.
будем рассматривать состояние, описываемое следующей начально-краевой зада-
чей при каждом фиксированном Uu :
,
~
),(),,(),(),(
1
1
Ti
k
i
n
i
k
i
kk
txxtqtxf
x
y
k
xt
y
c
),,0(),(),(),0(
),,0(),,()(,0][ 21
Ttt
х
y
ktty
Tttu
x
y
ky
lx
k
k
jj
j
x
k
x
k
j
j
(68)
.
~
),()0,( 0 xxyxyk
52 ISSN 0572-2691
Определение 12. При каждом фиксированном Uu обобщенным решением
начально-краевой задачи (68) называется функция ),,0(
~
),;( TWtxuyk которая
0
~
)( Vxw удовлетворяет равенствам
),,0(),;(),(, Ttwulwyaw
t
y
c k
k
k
(69)
,
~
),()0,( 0 xxyxyk (70)
где
,))(;,0(:)
~
;,0(),(),0(
~
2
22
LTL
dt
dv
VTLtxvTW
)},,0(),(),0(,,1,0][:{
~
2 TtttvnjvVvV
j
},,0),(:),({ 2
1
2 niWvtxvV i
i
},,1,0][,0)0(:
~
)({
~
2
0
0 njvvVxvV
j
},,0),(:)({
~
2
1
2
0 niWvxvV i
i
).()(),()())(),,((),(),();( 21
11
21
lwwtuwtqwfwul j
jj
n
j
ji
k
n
i
i
k
ik
Для каждого приближения U k
nn uu решения Uu задачи (69), (70), (9)
сопряженная задача имеет вид
,\
~
),(,)( dTTtx
x
xk
xt
c
),,0(,0,0),0( Tt
x
kt lx
),,0(,,1)),(),;((,0][ TtNitftduy
x
k iini
dx
dx
i
i
(71)
),,0(,,1,0,0][ 2 Ttnj
x
k
j
j
x
x
.
~
,0),( xTx
Определение 13. Обобщенным решением начально-краевой задачи (71) называ-
ется функция ),,0(
~
),( TWtx d которая
0
~
)( dVxw удовлетворяет равенствам
),,0(),);((),(, Ttwuylwaw
t
c n
(72)
,,0
x
Tt
(73)
где
),())(),;(());((
1
ii
N
i
inin dwtftduywuyl
,))(;,0(:)
~
;,0(),(),0(
~
2
22
LTL
dt
dv
VTLtxvTW dd
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 53
},,0,0][,,1,0][,0),0(:
~
),({
~
2 NivnivtvVtxvV
ii dxxdd
},,1),
~
(:),({
~
3
1
2~ niWvtxvV id
i
},,0,0][,,1,0][,0)0(:
~
)({
~
2
0
0
NivnivvVxvV
ii dxxdd
},,1),
~
(:)({
~
3
1
2~
0 niWvxvV id
i
j
n
j
i
2
1
\
~~
подобласти, полученные делением подобласти j
n
j
2
1
\
~
N точ-
ками .id
Решение задачи (72), (73) существует и единственное.
Выбирая в тождестве (72) вместо функции w разность ,1
k
n
k
n yy с учетом
(69), (70), (73) получаем
dttduytduytftduyuJ i
k
ni
k
ni
N
i
i
k
n
T
inun
)),;(),;())((),;((, 1
1 0
.),()(
2 2
1
1
dtttu j
n
j
k
n
j
j
j
(74)
Следовательно, nun
J ~ , где ,}~{~ 2
1
n
j
j
nn
),,(),(~
21
jj
j
j
n t
2
nuJ
.))(~(
2 2
1
1
2dtt
n
j
j
n
j
j
9. Идентификация мощностей сосредоточенных источников
при финальном наблюдении
Пусть состояние системы определяется начально-краевой задачей (68) или
соответствующей ей обобщенной задачей (69), (70). Функционал-невязка имеет
вид (43).
Для каждого приближения U k
nn uu решения Uu задачи (69), (70),
(43) сопряженная задача имеет вид
,
~
),(,)( Ttx
x
xk
xt
c
),,0(,,1,0,0][ 2 Ttnj
x
k
j
j
x
x
(75)
.
~
)),(),;((),( 0
0
xxfTxuy
c
Tx n
Определение 14. Обобщенным решением начально-краевой задачи (75) назы-
вается функция ),,0(
~
),( 0 TWtx которая 0
~
)( Vxw удовлетворяет равенствам
),,0(,0),(, Ttwaw
t
c
(76)
,
~
)),(),;((),( 0
0
xxfTxuy
c
Tx n (77)
где области 00
~
),,0(
~
VTW определены в задаче (69), (70).
54 ISSN 0572-2691
Выбирая в тождестве (76) вместо функции w разность ,1 nn yy с учетом
(69), (70), (77) получаем
)),;(),;(),(),;(((, 100 TuyTuyfTuyuJ nnnnun
2 2
1
1
.),(~)(
n
j
jj dtttu
j
j
(78)
Следовательно, ,~
nun
J где ).,(),(~,}~{~
211
2 jj
j
j
n
n
j
j
nn t
10. Идентификация мощностей сосредоточенных источников
при интервальных наблюдениях
Пусть состояние системы описывается начально-краевой задачей (68) или соот-
ветствующей ей обобщенной задачей (69), (70), функционал-невязка имеет вид (49).
Для каждого приближения U k
nn uu решения Uu задачи (69), (70),
(49) сопряженная задача имеет вид
,\
~
),(,)( dТTtx
x
xk
xt
c
),,0(,0,0),0( Tt
x
kt
lx
,,1),,())(),;((,0][ 21 Nitttftduy
x
k ii
iini
dx
dx
i
i
(79)
),,0(,,1,0,0][ 2 Ttnj
x
k
j
j
x
x
.
~
,0),( xTx
Определение 15. Обобщенным решением начально-краевой задачи (79) называ-
ется функция ),,0(
~
),( TWtx d которая
0
~
)( dVxw удовлетворяет равенствам
),,0(),);((),(, Ttwuylwaw
t
c n
k
(80)
,
~
,0
x
Tt
(81)
где .),()())(),;(());((
1
21
N
i
ii
iiin
k
in
k ttdwtftduywuyl
Выбирая в тождестве (80) вместо функции w разность ,1
k
n
k
n yy с учетом
(69), (70), (81) имеем
2 2
1
1
.),()(,
n
j
jjnu dtttuuJ
j
j
n
(82)
Следовательно, ,~
nun
J где ,}~{~ 2
1
n
j
j
nn
),,(),(~
21
jj
j
j
n t
2
nuJ
2 2
1
1
2 .)~(
n
j
j
n dt
j
j
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 55
Замечание 7. Если в одной из задач, рассмотренных в разд. 8–10, или в каж-
дой из них, какое-то constju или все ,constju то на основании выражений
(74), (78), (82) имеем
21
2
1
22
.)~(,),(~
n
j
j
nuj
j
n n
j
j
Jdtt
Замечание 8. Если в одной из задач, рассмотренных в разд. 8–10, или в каждой
из них, какая-то восстанавливаемая мощность )(tuu jj или все могут быть
представлены в виде
,)()(
1
jn
i
jijij ttu (83)
где jn
iji t 1)}({ система линейно-независимых функций, то ,}~{~
1
j
i
n
i
j
n
j
n
.),()(~
1
2
j
j
i
dttt jji
j
n
11. Идентификация импульсных воздействий, приложенных
в начальный момент времени, при непрерывных наблюдениях
11.1. Поточечное импульсное изменение температуры в начальный мо-
мент времени. Пусть состояние системы определяется начально-краевой задачей
)()(),()(
1
1
ii
n
i
i xtqtxf
x
y
xk
xt
y
c
),,0(),(),(),0(
,),(),(),()(
21
1
2
Ttt
x
y
ktty
txxt
lx
Tj
jj
n
j
j
(84)
,),()()0,(
3
1
0
xxuxyxy i
n
i
i
где iu величины изменения температуры в начальный момент времени в 3n
точках .ix
Предполагаем, что в N точках id известны следы решения задачи (84),
заданные равенствами (4).
Полученная задача (84), (4) состоит в определении вектора ,}{ 33
1
nn
ii Ruu U
при котором решение ),;()( txuyuyy задачи (84) удовлетворяет равенствам (4).
Как и при рассмотрении предыдущих задач, будем использовать последова-
тельности приближений -функций Дирака. Для каждого k-го приближения
-функции Дирака на основании (84) состояние системы определим так:
,
~
),(),,(),(),(
1
1
Ti
k
i
k
n
i
i
kk
txxtqtxf
x
y
k
xt
y
c
56 ISSN 0572-2691
,,1),,()(,0][
),,0(),(),(),0(
221 njt
x
y
ky
Ttt
x
y
ktty
jj
j
x
k
x
k
lx
k
k
j
j
(85)
.),()()0,(
3
1
0 i
k
n
i
i
k xuxyxy
Вместо классического решения начально-краевой задачи (85) будем исполь-
зовать ее обобщенное решение.
Определение 16. При каждом фиксированном Uu обобщенным решением
начально-краевой задачи (85) называется функция ),,0(
~
),;( TWtxuyk которая
0
~
)( Vxw удовлетворяет равенствам
),,0(),(),(, Ttwlwyaw
t
y
c k
k
(86)
),,()()0,(
3
1
0 i
k
n
i
i
k xuxyxy
(87)
где ).()()(),()())(),,((),(),()( 21
11
21
lwtwtwtqwfwl j
jj
n
j
ji
k
n
i
i
k
i
Для каждого приближения 33
1}{
nn
i
k
ni
k
nn Ruuu U задачи (9), (86), (87)
сопряженная задача имеет вид (24) с соответствующей ей обобщенной (25), (26).
Выбирая в тождестве (25) вместо функции w разность ,1
k
n
k
n yy с учетом
(26), (86), (87) получаем
.)0,(),(,
3
1
dxxxuuJ i
k
n
i
inun
(88)
Следовательно,
,~
nun
J (89)
где
.,1,)0,(),(~,}~{~
31
3 njdxxx i
ki
n
n
i
i
nn
(90)
Замечание 9. Если вместо наблюдений (4) имеем наблюдение (42), то для
определения приближения 33
1}{
nn
i
k
ni
k
nn Ruuu U задачи (42), (86), (87) со-
пряженная задача имеет вид (44) с соответствующей ей обобщенной (45), (46).
На основании (45), (46), (86), (87) получаем
)),;(),;(,),;((( 100 TuyTuyfTuy n
k
n
k
n
k
.0)0,(),(
3
1
dxxxu
n
i
i
k
i (91)
Из (91) следуют выражения (88)–(90).
Замечание 10. Если вместо наблюдений (4), (42) имеем интервальные наб-
людения (48) с функционалом-невязкой (49), то для определения приближения
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 57
U
k
nn uu 11 задачи (49), (86), (87) сопряженная задача имеет вид (50) с соот-
ветствующей ей обобщенной (51), (52). На основании (51), (52), (86), (87) получа-
ем выражения (88)–(90).
11.2. Идентификация мощностей импульсных воздействий, приложен-
ных в начальный момент времени. Пусть состояние системы определяется
начально-краевой задачей
)()(),()(
1
1
ii
n
i
i xtqtxf
x
y
xk
xt
y
c
,\),(),(),()( 21
1
2
TTj
jj
n
j
j txxt
),,0(),(),(),0( Ttt
x
y
ktty
lx
(92)
),,0(,,1),0(,0][ 3 Ttnjtи
x
y
ky j
x
k
x
k
j
j
,,)()0,( 0 xxyxy
где .),,0(
3
1
i
n
i
T T
Предполагаем, что в N точках id известны следы решения начально-краевой
задачи (92), заданные равенствами (4).
Полученная задача (92), (4) состоит в определении вектора
3
1}{
n
iiuu
,3n
RU при котором решение )(uyy задачи (92) удовлетворяет равенствам (4).
Используя последовательности приближений -функций Дирака, для каждо-
го k-го приближения на основании (92) состояние системы определим так:
,\
~
),(),,(),(),(
1
1
TTi
k
i
n
i
k
i
kk
txxtqtxf
x
y
k
xt
y
c
),,0(,,1),0,(,0][
,,1),,()(,0][
3
221
Ttnjtu
x
y
ky
njt
x
y
ky
k
j
x
k
x
k
jj
j
x
k
x
k
j
j
j
j
(93)
,\
~
),()0,( 0 xxyxy
где .),0(,
3
1
TTj
n
j
Определение 17. При каждом фиксированном Uu обобщенным решением
начально-краевой задачи (93) называется функция ),,0(
~~
),;( TWtxuy которая
0
~~
)( Vxv удовлетворяет равенствам
),,0(),;(),(, Ttwulwyaw
t
y
c k
k
k
(94)
,\),()0,( 0 xxyxyk
(95)
58 ISSN 0572-2691
где
))(),,((),(),();(
1
1
wtqwfwul i
k
n
i
i
k
ik
.)()()0,()(),()(
32
1
21
1
lwwtuwt j
k
n
j
jj
jj
n
j
j
Для каждого приближения 3nk
nn Ruu U задачи (9), (94), (95) сопряжен-
ная задача имеет вид
,\
~
),(,)( TTtx
x
xk
xt
c
,,1,0,0][ 2nj
x
k
j
j
x
x
,,1),),;((,0][ Niftduy
x
k iin
k
i
dx
dx
i
i
(96)
),,0(,,1,0,0][ 3 Ttnj
x
k
j
j
x
x
.\
~
,0),( xTx
Определение 18. Обобщенным решением начально-краевой задачи (96) назы-
вается функция ),,0(
~~
),( TWtx которая 0
~~
)( Vxw удовлетворяет равенствам
),,0(),())(),;((),(,
1
Ttdwtftduywaw
t
c
N
i
iiin
k
i
(97)
\
~
,0),( xTx . (98)
Выбирая в тождестве (97) вместо функции w разность ,1
k
n
k
n yy с учетом
(94), (95), (98) получаем
dttduytduyftduyuJ in
k
in
k
i
N
i
in
k
T
inun
)),;(),;()(),;((, 1
1 0
.),()0,(
3
1 0
dtttu
n
i
i
T
k
ni
Следовательно, ,~
nun
J где ,}~{~ 3
1
n
i
i
nn ,),()0,(~
0
dttt
T
i
ki
n
2
nuJ
3
1
2.)~(
n
i
i
n
Замечание 11. Если вместо наблюдения (4) имеем наблюдение (42), то для
определения приближения 3nk
nn Ruu U задачи (43), (94), (95) сопряжен-
ная задача имеет вид (96), где вместо пятого и восьмого выражений необходимо
задать ограничения
),,0(,,1,0 TtNi
x
k
idx
.)),(),;((),( 0
0
xxfTxuy
c
Tx n
k
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 59
Для полученной начально-краевой задачи соответствующая ей обобщенная
задача имеет вид (45), (46). Следовательно,
)),;(),;())((),;(((, 100 TxuyTxuyxfTxuyuJ n
k
n
k
n
k
nun
.),()0,(
3
1 0
dtttu
n
i
i
T
k
ni
(99)
Из (99) вытекает ,~
nun
J где ,}~{~ 3
1
n
i
i
nn ,),()0,(~
0
dttt
T
i
ki
n
2
nuJ
3
1
2.)~(
n
i
i
n
Замечание 12. Для случая интервальных наблюдений (48) сопряженная зада-
ча имеет вид (96), где вместо пятого ограничения имеем
).,0(,,1),,())(),;(( 21 TtNitttftduy
x
k ii
iin
k
i
dx i
Для полученной начально-краевой задачи соответствующая ей обобщенная
задача имеет вид (51), (52).
В результате можем записать
.),()0,(,
3
1 0
dtttuuJ
n
i
i
T
k
nnu in
Следовательно, ,~
nun
J где .),()0,(~,}~{~
0
1
3 dttt
T
i
ki
n
n
i
i
nn
12. Идентификация мощности поверхностного теплового потока
составного тела при импульсных и сосредоточенных воздействиях
Пусть состояние системы определяется следующей начально-краевой задачей:
)()(),()(
1
1
ii
n
i
i xtqtxf
x
y
xk
xt
y
c
,),(),(),()( 21
1
2
Tj
jj
n
j
j txxt
),,0(,,
),,0(,],[21
Ttx
x
y
k
Ttxy
x
y
kR
x
y
kR
(100)
),,0(),(),(),0( Tttu
x
y
ktty
lx
,),()0,( 210 xxyxy
где ,0const, 21 RR ),,0( t ),,0( TT ,21 ),,0(1
),,(2 l .,,0 jil
60 ISSN 0572-2691
Второе и третье ограничения системы (100) выражают наличие короткого со-
ставного включения [6].
Предполагаем, что в N точках id известно решение начально-краевой зада-
чи (100), т.е. имеют место равенства
).,0(,,1)(),( TtNitftdy ii (101)
Полученная задача (100), (101) состоит в определении функции )(tuu
]),,0[( TCU при которой решение начально-краевой задачи (100) удовлетво-
ряет равенствам (101).
Как и в разд. 1, задачу (100), (101) будем решать приближенно, используя по-
следовательности )},({ sk функций, приближающих -функции первого урав-
нения системы (100).
Функционал-невязка имеет вид
.))(),;((
2
1
)( 2
1 0
dttftduyuJ i
N
i
i
T
i
(102)
При каждом фиксированном k на основании (100) состояние системы описы-
вается начально-краевой задачей
),(),(),()(
1
1
n
i
i
k
i
k
i
kk
xtqtxf
x
y
xk
xt
y
c
,),(),,(),()( 21
1
2
Tj
kjj
n
j
j txxt
),,0(,),(
),,0(,],[21
Ttxt
x
y
k
Ttxy
x
y
kR
x
y
kR
k
k
kk
(103)
),,0(),(),(),0( Tttu
x
y
ktty
lx
k
k
.),()0,( 210 xxyxyk
Вместо классического решения начально-краевой задачи (103) будем исполь-
зовать ее обобщенное решение.
Определение 19. При каждом фиксированном ]),0[( TCu U обобщенным
решением начально-краевой задачи (103) называется функция ),,0(),( TWtxyk
которая 0)( Vxw удовлетворяет равенствам
),,0(),(),(, Ttwlwyaw
t
y
c k
k
k
(104)
,),()0,( 210 xxyxyk
(105)
где
,))(;,0(:);,0(),(),0( 2
22
LTL
dt
dv
VTLtxvTW
)},,0(),(),0(:),({ TtttvVtxvV
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 1 61
)},,0(,2,1),(:),({ 1
2 TtiWvtxvV i
i
,][][,
][][
),(
21
2
1
x
i
zz
RR
wz
dx
x
w
x
z
kwza
i
dxxwxtqwfwl i
k
i
k
n
i
ik )(),(),(),()(
1
1
).(][)(),(),()(
21
2
21
1
2
lwuww
RR
R
dxxwxt j
kjj
n
j
j
Сопряженная задача имеет вид
),,0(,\),(,)( Tttx
x
xk
xt
c dTT
),,0(,][
1
,0
21
Tt
RRx
k
x
k
xx
),,0(,,1)),(),;((,0][ TtNitftduy
x
k iin
k
i
dx
dx
i
i
(106)
),,0(,0,0),0( Tt
x
kt
lx
.,0
x
Tt
Определение 20. Обобщенным решением начально-краевой задачи (106) назы-
вается функция ),,0(),( TWtx d которая
0
)( dVxw удовлетворяет равенствам
),,0(),())(),;((),(,
1
Ttdwtftduywaw
t
c
N
i
iiin
k
i
(107)
,,0
x
Tt
(108)
где
,))(;,0(:);,0(),(),0( 2
22
LTL
dt
dv
VTLtxvTW dd
)},,0(,0),0(,,1,0][,,1),(:),({ 4
1
2 TttvNivniWvtxvV
i
i dx
i
d
области i интервалы, составляющие область ,\ d ,
1
i
N
i
d d
0dV
}.0)0(,,1,0][),(:)({ 1
2
vNivWvxv
i
i dx
i
Выбирая в тождестве (107) вместо функции w разность ),,;(),;( 1 txuytxuy n
k
n
k
с учетом (104), (105), (108) получаем
dttduytduytftduyuJ in
k
in
k
iin
k
i
TN
i
nun
)),;(),;())((),;((, 1
01
.),()(
0
dttltu
T
n
Следовательно, ,~
nun
J где .)(~),,(~
0
22
dttJtl
T
nun n
62 ISSN 0572-2691
Замечание 13. Если ),()( tutu ),,0[ T то ,~
nun
J где
,),(),(~
0
T
k
n dttlt .~
nun
J
І.В. Сергієнко, В.С. Дейнека
ІДЕНТИФІКАЦІЯ НА ОСНОВІ СЛАБКИХ
ЗАДАЧ ПАРАМЕТРІВ ПАРАБОЛІЧНИХ
СИСТЕМ В УМОВАХ ІМПУЛЬСНИХ
ТА ЗОСЕРЕДЖЕНИХ ВПЛИВІВ
Шляхом наближення -функції Дірака побудовано явні вирази градієнтів функ-
ціоналів-нев’язок для ідентифікації параметрів параболічних систем, що знахо-
дяться під імпульсним та зосередженим впливом.
I.V. Sergienko, V.S. Deineka
PARAMETERS IDENTIFICATION OF PARABOLIC
SYSTEMS UNDER IMPULSE AND CONCENTRATED
LOADS ON THE BASIS OF WEAK PROBLEMS
Explicit expressions of the functional-residuals gradients for identification of pa-
rameters of parabolic systems under impulse and concentrated load are constructed.
The gradients are constructed by approximation of Dirac delta function.
1. Сергиенко И.B., Дейнека В.С. Решение граничных обратных задач теплопроводности для
составного стержня // Проблемы управления и информатики. 2007. № 2. С. 75–97.
2. Сергиенко И.B., Дейнека В.С. Решение граничных обратных задач для параболических
многокомпонентных распределенных систем // Кибернетика и системный анализ.
2007. № 4. С. 49–73.
3. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Системный анализ многокомпонентных распределенных си-
стем. Киев : Наук. думка, 2009. 640 с.
4. Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Оптимальное управление неоднородными распределенными
системами. Киев : Наук. думка, 2003. 506 с.
5. Sergienko I.V., Deineka V.S. Optimal control of distributed systems with conjugation condi-
tions. New York : Kluwer Aсadem. Publ., 2005. 400 p.
6. Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Анализ многокомпонентных распределенных систем и опти-
мальное управление . Киев : Наук. думка, 2007. 703 с.
7. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некоррект-
ных задач. М. : Наука, 1988. 288 с.
8. Миллер Б.М., Рубинович Е.Я. Оптимизация динамических систем с импульсными управле-
ниями. М. : Наука, 2005. 430 с.
9. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М. : Наука, 1966.
724 с.
10. Дыхта В.А. Оптимизация динамических систем с разрывными траекториями и импульсными
управлениями // Соросовский образовательный журнал. 1999. № 8. С. 110–115.
Получено 16.09.2010
|