Алгоритм прецизионного управления ориентацией космического аппарата при действии неконтролируемого возмущения
Запропоновано новий алгоритм прецизійного керування нелінійним стаціонарним динамічним об’єктом, на який діє зовнішнє неконтрольоване збурення. Рівняння керованого кутового руху орбітального космічного апарата, у яких використовуються параметри Родріга–Гамільтона, розглядаються як математична модель...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Проблемы управления и информатики |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207300 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Алгоритм прецизионного управления ориентацией космического аппарата при действии неконтролируемого возмущения / В.В. Волосов, М.В. Хлебников, В.Н. Шевченко // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 2. — С. 114–121. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-207300 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2073002025-10-06T00:04:54Z Алгоритм прецизионного управления ориентацией космического аппарата при действии неконтролируемого возмущения Алгоритм прецизійного керування орієнтацією космічного апарата при дії неконтрольованого збурення Algorithm for Precision Attitude Control of Spacecraft Under the Influence of Uncontrolled Disturbances Волосов, В.В. Хлебников, М.В. Шевченко, В.Н. Космические информационные технологии и системы Запропоновано новий алгоритм прецизійного керування нелінійним стаціонарним динамічним об’єктом, на який діє зовнішнє неконтрольоване збурення. Рівняння керованого кутового руху орбітального космічного апарата, у яких використовуються параметри Родріга–Гамільтона, розглядаються як математична модель об’єкта. На відміну від існуючих алгоритмів, запропонований алгоритм забезпечує повне усунення помилки стабілізації без використання процедур ідентифікації інтенсивності збурення. A new algorithm for precision control of nonlinear stationary dynamic objects subjected to external uncontrolled disturbance is proposed. As a mathematical model of the object, we consider the equations of controlled angular motion of an orbital spacecraft that use the Rodrigues–Hamilton parameters. Unlike the existing algorithms, the proposed algorithm provides a complete elimination of errors of stabilization without the use of identification procedures for disturbance intensity. Работа выполнена в рамках совместных российско-украинских проектов при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований(грантNo 10-08-90436-Укр_а), НАН Украины (проект 20-01-10) и ГФФИ Украины (проект Ф28.1/021) 2011 Article Алгоритм прецизионного управления ориентацией космического аппарата при действии неконтролируемого возмущения / В.В. Волосов, М.В. Хлебников, В.Н. Шевченко // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 2. — С. 114–121. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207300 629.7.05 10.1615/JAutomatInfScien.v43.i3.60 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Космические информационные технологии и системы Космические информационные технологии и системы |
| spellingShingle |
Космические информационные технологии и системы Космические информационные технологии и системы Волосов, В.В. Хлебников, М.В. Шевченко, В.Н. Алгоритм прецизионного управления ориентацией космического аппарата при действии неконтролируемого возмущения Проблемы управления и информатики |
| description |
Запропоновано новий алгоритм прецизійного керування нелінійним стаціонарним динамічним об’єктом, на який діє зовнішнє неконтрольоване збурення. Рівняння керованого кутового руху орбітального космічного апарата, у яких використовуються параметри Родріга–Гамільтона, розглядаються як математична модель об’єкта. На відміну від існуючих алгоритмів, запропонований алгоритм забезпечує повне усунення помилки стабілізації без використання процедур ідентифікації інтенсивності збурення. |
| format |
Article |
| author |
Волосов, В.В. Хлебников, М.В. Шевченко, В.Н. |
| author_facet |
Волосов, В.В. Хлебников, М.В. Шевченко, В.Н. |
| author_sort |
Волосов, В.В. |
| title |
Алгоритм прецизионного управления ориентацией космического аппарата при действии неконтролируемого возмущения |
| title_short |
Алгоритм прецизионного управления ориентацией космического аппарата при действии неконтролируемого возмущения |
| title_full |
Алгоритм прецизионного управления ориентацией космического аппарата при действии неконтролируемого возмущения |
| title_fullStr |
Алгоритм прецизионного управления ориентацией космического аппарата при действии неконтролируемого возмущения |
| title_full_unstemmed |
Алгоритм прецизионного управления ориентацией космического аппарата при действии неконтролируемого возмущения |
| title_sort |
алгоритм прецизионного управления ориентацией космического аппарата при действии неконтролируемого возмущения |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Космические информационные технологии и системы |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207300 |
| citation_txt |
Алгоритм прецизионного управления ориентацией космического аппарата при действии неконтролируемого возмущения / В.В. Волосов, М.В. Хлебников, В.Н. Шевченко // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 2. — С. 114–121. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT volosovvv algoritmprecizionnogoupravleniâorientaciejkosmičeskogoapparatapridejstviinekontroliruemogovozmuŝeniâ AT hlebnikovmv algoritmprecizionnogoupravleniâorientaciejkosmičeskogoapparatapridejstviinekontroliruemogovozmuŝeniâ AT ševčenkovn algoritmprecizionnogoupravleniâorientaciejkosmičeskogoapparatapridejstviinekontroliruemogovozmuŝeniâ AT volosovvv algoritmprecizíjnogokeruvannâoríêntacíêûkosmíčnogoaparatapridíínekontrolʹovanogozburennâ AT hlebnikovmv algoritmprecizíjnogokeruvannâoríêntacíêûkosmíčnogoaparatapridíínekontrolʹovanogozburennâ AT ševčenkovn algoritmprecizíjnogokeruvannâoríêntacíêûkosmíčnogoaparatapridíínekontrolʹovanogozburennâ AT volosovvv algorithmforprecisionattitudecontrolofspacecraftundertheinfluenceofuncontrolleddisturbances AT hlebnikovmv algorithmforprecisionattitudecontrolofspacecraftundertheinfluenceofuncontrolleddisturbances AT ševčenkovn algorithmforprecisionattitudecontrolofspacecraftundertheinfluenceofuncontrolleddisturbances |
| first_indexed |
2025-10-07T01:07:34Z |
| last_indexed |
2025-10-07T01:07:34Z |
| _version_ |
1845283262643044352 |
| fulltext |
© В.В. ВОЛОСОВ, М.В. ХЛЕБНИКОВ, В.Н. ШЕВЧЕНКО, 2011
114 ISSN 0572-2691
КОСМИЧЕСКИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ
ТЕХНОЛОГИИ И СИСТЕМЫ
УДК 629.7.05
В.В. Волосов, М.В. Хлебников, В.Н. Шевченко
АЛГОРИТМ ПРЕЦИЗИОННОГО УПРАВЛЕНИЯ
ОРИЕНТАЦИЕЙ КОСМИЧЕСКОГО
АППАРАТА ПРИ ДЕЙСТВИИ
НЕКОНТРОЛИРУЕМОГО ВОЗМУЩЕНИЯ
Выполнение многих научных астрофизических экспериментов и решение
прикладных задач требует прецизионной ориентации космического аппарата
(КА), на который действует неконтролируемый возмущающий момент. Для
решения задач синтеза высокоточных систем управления динамическими систе-
мами, компенсирующих влияние неопределенности (возмущающего момента
в данном случае) на точность управления, обычно используются алгоритмы иден-
тификации свойств неопределенности. В работе предлагается новый алгоритм
прецизионного управления ориентацией КА, не требующий выполнения процедур
идентификации, с помощью компьютерного моделирования иллюстрируется его
преимущество по сравнению с существующими алгоритмами.
Постановка задачи
Для формулировки постановки задачи и ее последующего решения использу-
ем следующие правые ортогональные системы координат — связанную систему
координат (ССК) zOxy и орбитальную ОСК 000 zyxO с началом в точке O —
центре масс КА. Следуя [1], примем, что ось 0yO направлена по радиусу-вектору
с началом в центре Земли. Ось 0Ox расположена в плоскости орбиты с положи-
тельным направлением в сторону движения КА.
Под ориентацией КА понимается ориентация ССК относительно ОСК. В ка-
честве параметров ориентации используются компоненты кватернионов [2]. Для
краткости изложения предполагается, что орбита КА круговая. При этом ОСК
вращается относительно инерциального пространства с постоянной угловой
скоростью. Вектор угловой скорости ОСК , заданный проекциями на ее же
оси, имеет вид ,),0,0( T
3
3
3 /R [3], где — гравитационная по-
стоянная Земли, ,/cкм4,398600 23 R — радиус орбиты КА (T — транспониро-
вание векторов и матриц).
Работа выполнена в рамках совместных российско-украинских проектов при финансовой
поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 10-08-90436-Укр_а),
НАН Украины (проект 20-01-10) и ГФФИ Украины (проект Ф28.1/021)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 2 115
Воспользовавшись [2, 4], представим уравнения движения КА:
,),,(],)()[(2 T
321 SB (1)
.pu mJmJ
(2)
Здесь — вектор, составленный из компонентов кватерниона и для краткости да-
лее также называемый кватернионом ),,( T
0
T ).,,( 321
T Предпола-
гается, что кватернион )(t является нормированным:
,1)()()()( T2
0
2
tttt (3)
и его компоненты — параметры Родрига–Гамильтона ,2/)(cos)(0 tt )(ti
,2/)(sin)( tti .1)()()(,3,2,1 2
3
2
2
2
1 ttti Матрица )(B — это 34 -мат-
рица ,)(
30
T
I
B 3I — единичная 33 -матрица. Под символом ,z
где
T
321 ),,( zzzz — произвольный вектор, здесь и далее понимается кососиммет-
рическая вырожденная матрица
,,
0
0
0
T
12
13
23
zz
zz
zz
zz
z
.02rank,0det zzz
Формула bac
соответствует представлению векторного произведения bac
в выбранной СК, в которой ,),,( T
321 aaaa T
321 ),,( bbbb и .),,( T
321 cccc
Под обозначением понимается вектор абсолютной угловой скорости КА, задан-
ный проекциями на оси ССК. Под символом )(S понимается ортогональная
матрица, имеющая вид [5] ,22)( 03
IS ).()( SS При этом
,)( 0ZSZ где 0Z и Z — векторы, составленные из проекций произвольного
вектора z оси ОСК и ССК. Симметрическая положительно-определенная 33 -
матрица 0T JJ — представление тензора инерции КА относительно точки
O в ССК; um — управляющий момент, pm — постоянный неконтролируемый
возмущающий момент. Заметим, что знак тождества в (3) действительно имеет
место, так как уравнение (1) имеет первый интеграл const.)()()( T2
ttt
В этом можно непосредственно убедиться, умножая скалярно обе части (1) на T
и учитывая равенство ).0,0,0()(T B
Пусть S — произвольный кватернион с нормой ,1S соответствую-
щий заданной ориентации ССК относительно ОСК. Ставится задача синтеза
управления ),,,( SSuu mm такого, что ,)(,)( SS tt где
)( SS S при произвольном значении возмущающего момента pm
,0)(( St 0)( St при ).t
116 ISSN 0572-2691
Решение поставленной задачи
Для решения поставленной задачи воспользуемся известным (см., например,
[2, 6]) способом декомпозиции на кинематическую и динамическую задачи ори-
ентации. Для решения кинематической задачи, в которой угловая скорость КА
интерпретируется как управление, воспользуемся прямым методом Ляпунова и
выберем функцию Ляпунова в виде
).()(5,0 T
SScV (4)
В результате дифференцирования функции cV в силу кинематического
уравнения (1) получаем
].)()[(T
SBV Sc
(5)
Полагая в (5) ),,( Su где «управление»
,)()(),( T
SSuu BS (6)
получаем
.)()()( TT
SSc BBV (7)
Учитывая непосредственно проверяемые матричные равенства
,)()( TT SS BB ,)()( 33
2T IIBB SSS (8)
из (7) получаем
,)()( T Sc PV (9)
где )()]()()[()()()( T1TT
SSSSSSS BBBBBBP
— оператор про-
ектирования на подпространство, ортогональное вектору S [7, 8]. Отсюда следу-
ет, что производная функции Ляпунова )(cV есть функция, отрицательно-
определенная относительно ,S т.е. 0)( cV при S и 0)( cV при
.S Поэтому решение St )( кинематического уравнения (1) при «управ-
лении» (6) условно асимптотически устойчиво: St )( [9]. Понятие условной
асимптотической устойчивости определено в [9] для такого вида устойчивости, ко-
гда начальные возмущения (в данном случае ))( St могут быть не произволь-
ными, а только точками некоторого многообразия в фазовом пространстве соответ-
ствующей динамической системы (здесь ).1)( t
Для получения решения сформулированной задачи найдем управляющий
момент ),,,( SSuu mm в уравнении (2), который обеспечивает выполне-
ние условия ),,()( Sut т.е. 0),()( Sut при .t Выберем
управление ),,,( SSuu mm в виде
,)()(
0
11
JJdJJm uu
t
uu
(10)
где 0,0 — произвольные параметры. Подставив формулу для
),,,( SSuu mm из (10) в динамическое уравнение (2), получим
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 2 117
,)(
0
11
p
t
mdJJJ
(11)
где .u В результате дифференцирования по времени обеих частей урав-
нения (11) получаем линейное однородное дифференциальное уравнение
,0 (12)
решение которого 0)( t при .t Отсюда следует, что ,)( ut
,)( St поэтому согласно формуле (6), введенному выше обозначению
,)( SS также и угловая скорость ,)( St что и требовалось получить.
Для полного решения поставленной задачи осталось найти явное выражение для
производной ,u входящей в правую часть формулы (10) в виде функции фазо-
вых координат , динамической системы (1), (2). Воспользовавшись первым из
матричных равенств (8), запишем выражение (6) в виде формулы
.)()(),( T SSuu BS (13)
Учитывая известное обобщенное уравнение Пуассона для производной )(S мат-
рицы направляющих косинусов
)()()( SSS (14)
и уравнение (1), в результате дифференцирования (13) получаем формулу
],)()[()(5,0)( T
SBBS Su
(15)
завершающую решение поставленной задачи.
Утверждение. При произвольных начальных условиях ,0 ,0 10
и ,S 1S управление um в виде (10) с учетом формул (6) и (15) обеспечи-
вает получение заданных свойств устойчивости SS tt )(,)( решений
уравнений (1), (2), т.е. получение и стабилизацию заданного режима ориента-
ции КА.
Заметим, что полагая в уравнении (1) и в управлении (10) орбитальную уг-
ловую скорость ,0 непосредственно получим алгоритм управления ори-
ентацией КА относительно выбранной инерциальной системы координат. За-
метим также, что приведенные в [10] алгоритмы управления станцией «Мир»
без учета возмущающего момента также основаны на идее декомпозиции зада-
чи управления ориентацией. Приведенный в [10] алгоритм управления по своей
структуре аналогичен алгоритму управления (10), отличаясь от последнего от-
сутствием слагаемых, соответствующих интегралу и производной .u Заметим
также, что алгоритм (10) является аналогом известного в теории управления
классического ПИД-регулятора. Отличие состоит в том, что в ПИД-регуляторе
обозначению u соответствует заданная функция времени и, в частности, посто-
янная величина в то время как в алгоритме (10) u — функция фазовых коорди-
нат, определяемая формулой (6).
118 ISSN 0572-2691
Исследование свойств управления
Проведем исследование свойств полученного алгоритма управления — ком-
пенсировать неконтролируемое возмущение 0pm с помощью компьютерных
вычислительных экспериментов. Сравним с аналогичными свойствами точность
известных алгоритмов [2, 4, 11] при ,0pm полученных в предположении, что
возмущающий момент отсутствует: .0pm При этом для простоты ограничимся
случаем ориентации в инерциальной системе координат ,000 zyxO полагая
.0 Для выполнения указанного сравнения рассмотрим для определенности
алгоритм [4], который при 0 имеет вид
,)()(sign)( TT JKBm SSu
(16)
где 0 — постоянный параметр и 0)()( T KK — положительно опреде-
ленная матрица, вообще говоря, зависящая от фазовых координат системы (1), (2)
и S — произвольный заданный кватернион .1S Положим ),0,0,0,1(T S
т.е. будем рассматривать задачу совмещения ССК zOxy с .000 zyxO Для простоты
представления результатов и их наглядности ограничимся случаем плоского враще-
ния КА относительно совпадающих при этом осей Oz и 0Oz при начальных усло-
виях ,))0(,0,0),0(()0( T
30 ,1)0( T)0,0,0()0( и возмущающем мо-
менте T),0,0( dp mm при различных значениях .dm
Очевидно, что при этом фазовые координаты системы (1), (2) и управляю-
щего момента будут иметь вид ,))(,0,0),(()( T
30 ttt ,))(,0,0()( T
3 tt
.))(,0,0()( T
3 tmtm uu При выполнении вычислительных экспериментов пара-
метры КА и алгоритма управления полагались такими: },,,{diag 332211 JJJJ
,4033 J ,18,01 ,11,0 ,05,0 },,,{diag 332211 KKKK .133 K
Результаты выполнения вычислительных экспериментов при использовании ал-
горитмов управления (16) и (10) для различных значений возмущающего момента
dm представлены на рис. 1, а – 4, а и рис. 1, б – 4, б соответственно. На рис. 1, а
и рис. 1, б показаны графики изменения параметров ориентации (компонентов ква-
тернионов) )(0 t и ).(3 t Сплошной линией изображены графики ),(0 t а пунк-
тирной — ).(3 t На рис. 2 показаны графики )(0 t и ),(3 t на рис. 3 — графики
угловых скоростей )(3 t и на рис. 4 — графики моментов управления ).(3 tm u
Эксперимент 1, .04,0dm
0 100 200 300 400 500 600
0,55
0,6
0,65
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
– 0,4
– 0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
а б
Рис. 1
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 2 119
Эксперимент 2, .15,0dm
0 100 200 300 400 500 600
– 1
– 0,8
– 0,6
– 0.4
– 0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
– 0,4
– 0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
а б
Рис. 2
0 100 200 300 400 500 600
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
– 0,4
– 0,3
– 0,2
– 0,1
0
0,1
0,2
0,3
а б
Рис. 3
0 100 200 300 400 500 600
– 0,2
– 0,15
– 0,1
– 0,05
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
– 6
– 5
– 4
– 3
– 2
– 1
0
1
2
3
а б
Рис. 4
Из рис. 1 видно, что при «малом» значении возмущающего момента 04,0dm
оба алгоритма управления обеспечивают установившиеся режимы ориентации.
Однако если при использовании предложенного здесь алгоритма (10) устанав-
ливается заданная ориентация ,0,1 30 то при использовании алгорит-
ма (16) имеет место существенная установившаяся ошибка ориентации ,10
.03 Из рис. 2–4 видно, что если при увеличении возмущения 15,0dm
и использовании алгоритма (16) в системе имеют место колебательные процес-
сы, то при алгоритме (10) и в этом случае устанавливается заданный режим ори-
ентации ,10 ,03 .03 При этом из графика на рис. 4, б видно, что ал-
120 ISSN 0572-2691
горитмом (10) формируется установившееся значение управляющего момента
,15,0)(3 tm u
компенсирующее «неизвестный» возмущающий момент .15,0dm
Ряд проведенных вычислительных экспериментов с рассмотренными выше
значениями dm при использовании в алгоритме (10) вместо истинного значения
4033 J в уравнении (2) его оценок 540ˆ
33 J проиллюстрировал свойство
робастности данного алгоритма, т.е. способность алгоритма обеспечивать полную
компенсацию возмущающего момента и в этих случаях.
Алгоритм управления (10) в асимптотике обеспечивает полную компенса-
цию неконтролируемого постоянного возмущающего момента .pm Естествен-
но предположить, что приближенно он будет обеспечивать компенсацию и при
достаточно редко изменяющихся кусочно-постоянных или переменных значе-
ниях ).(tmp Приведенные на рис. 5, а и 5, б графики установившихся процес-
сов )(0 t и ),(3 t соответствующие алгоритмам (16) и (10), при переменном
возмущающем моменте ,~sin1,0 tmd ,/2~ T с100T иллюстрируют
справедливость предположения.
0 100 200 300 400 500 600
– 0,5
0
0,5
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
– 0,4
– 0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
а б
Рис. 5
Алгоритм управления (16) может обеспечить установившуюся ориентацию
с ,0)( t только если возмущающий момент по норме .pm Действитель-
но, из уравнения (2) следует, что при установившейся ориентации выполняется
равенство .0 pu mm Воспользовавшись формулой (16) для момента ,um при
значении
T)0,0,0,1(S из этого равенства получаем ,0 pm .1
pm
Так как ,1)( t то должно выполняться неравенство ,01
222
0
pm
подтверждающее вышеуказанное ограничение на возмущение.
В.В. Волосов, М.В. Хлєбніков, В.М. Шевченко
АЛГОРИТМ ПРЕЦИЗІЙНОГО КЕРУВАННЯ
ОРІЄНТАЦІЄЮ КОСМІЧНОГО АПАРАТА
ПРИ ДІЇ НЕКОНТРОЛЬОВАНОГО ЗБУРЕННЯ
Запропоновано новий алгоритм прецизійного керування нелінійним стаціонар-
ним динамічним об’єктом, на який діє зовнішнє неконтрольоване збурення. Рів-
няння керованого кутового руху орбітального космічного апарата, у яких вико-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 2 121
ристовуються параметри Родріга–Гамільтона, розглядаються як математична
модель об’єкта. На відміну від існуючих алгоритмів запропонований алгоритм
забезпечує повне усунення помилки стабілізації без використання процедур
ідентифікації інтенсивності збурення.
V.V. Volosov, M.V. Khlebnikov, V.N. Shevchenko
ALGORITHM FOR PRECISION ATTITUDE CONTROL
OF SPACECRAFT UNDER THE INFLUENCE
OF UNCONTROLLED DISTURBANCES
A new algorithm for precision control of nonlinear stationary dynamic objects sub-
jected to external uncontrolled disturbance is proposed. As a mathematical model
of the object, we consider the equations of controlled angular motion of an orbital
spacecraft that use the Rodrigues–Hamilton parameters. Unlike the existing algo-
rithms, the proposed algorithm provides a complete elimination of errors of stabili-
zation without the use of identification procedures for disturbance intensity.
1. Раушенбах Б.В., Токарь Е.Н. Управление ориентацией космических аппаратов.— М. :
Наука, 1974. — 600 с.
2. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого
тела. — М. : Наука, 1976. — 320 с.
3. Абалакин В.К., Аксенов Е.П. Справочное руководство по небесной механике и астроди-
намике. — М. : Наука, 1976. — 864 с.
4. Волосов В.В., Тютюнник Л.И. Синтез законов управления ориентацией космического аппа-
рата с использованием кватернионов // Космічна наука та технологія. — 1999. — 5, № 4. —
С. 61–69.
5. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел. — М. : Мир, 1990. — 292 с.
6. Левский М.В. К проблеме восстановления программного движения космического аппарата
при осуществлении пространственного разворота по результатам телеизмерений // Вестн.
Москов. гос. техн. ун-та им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. — 2001. — № 3. —
С. 53–70.
7. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. — М. : Наука, 1984. — 320 с.
8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М. : Наука, 1967. — 576 с.
9. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. — М. : Наука. — 1967. —
472 с.
10. Математическое моделирование эйлеровых разворотов орбитального комплекса «Мир»
гиродинами / В.А. Сарычев, М.Ю. Беляев, С.Г. Зайков, В.В. Сазонов, Б.П. Тесленко //
Космические исследования. — 1991. — 29, вып. 4. — С. 532–543.
11. Лебедев Д.В. Управление ориентацией твердого дела с использованием параметров Род-
рига–Гамильтона // Автоматика. — 1974. — № 4. — С. 29–32.
Получено 16.12.2010
|