Показатели функционирования и устойчивости систем с многопараметрическими регуляторами
Досліджено алгоритми оптимізації багатопараметричних регуляторів, якості функціонування та стійкості систем з ПІД- та ПІДД2Д3-регуляторами. Використано методологію, запропоновану Ю.П. Ніколаєвим для ПІД-регуляторів, яку модифіковано для багатопараметричного ПІДД2Д3-регулятора. Проведено порівняльний...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Проблемы управления и информатики |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207301 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Показатели функционирования и устойчивости систем с многопараметрическими регуляторами / А.П. Ладанюк, Д.О. Крониковский // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 2. — С. 122–129. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-207301 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2073012025-10-06T00:16:34Z Показатели функционирования и устойчивости систем с многопараметрическими регуляторами Показники функціонування і стабільності систем з багатопараметричними регуляторами Control Performance and Stability Indices of Systems with Multiparameter Controllers Ладанюк, А.П. Крониковский, Д.О. Технические средства для измерений и управления Досліджено алгоритми оптимізації багатопараметричних регуляторів, якості функціонування та стійкості систем з ПІД- та ПІДД2Д3-регуляторами. Використано методологію, запропоновану Ю.П. Ніколаєвим для ПІД-регуляторів, яку модифіковано для багатопараметричного ПІДД2Д3-регулятора. Проведено порівняльний аналіз стійкості систем з цими регуляторами за наявності тривалого запізнення. The optimization algorithms of multiparameter controllers, control performance, and stability of systems with PID and PIDD2D3 controllers are investigated. The methodology suggested by Yu.P. Nikolaev for PID controllers is used, which is modified for the multiparameter PIDD2D3 controller. The comparative analysis of stability of systems with these controllers with great time delay is performed. 2011 Article Показатели функционирования и устойчивости систем с многопараметрическими регуляторами / А.П. Ладанюк, Д.О. Крониковский // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 2. — С. 122–129. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207301 681.324 10.1615/JAutomatInfScien.v43.i4.70 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Технические средства для измерений и управления Технические средства для измерений и управления |
| spellingShingle |
Технические средства для измерений и управления Технические средства для измерений и управления Ладанюк, А.П. Крониковский, Д.О. Показатели функционирования и устойчивости систем с многопараметрическими регуляторами Проблемы управления и информатики |
| description |
Досліджено алгоритми оптимізації багатопараметричних регуляторів, якості функціонування та стійкості систем з ПІД- та ПІДД2Д3-регуляторами. Використано методологію, запропоновану Ю.П. Ніколаєвим для ПІД-регуляторів, яку модифіковано для багатопараметричного ПІДД2Д3-регулятора. Проведено порівняльний аналіз стійкості систем з цими регуляторами за наявності тривалого запізнення. |
| format |
Article |
| author |
Ладанюк, А.П. Крониковский, Д.О. |
| author_facet |
Ладанюк, А.П. Крониковский, Д.О. |
| author_sort |
Ладанюк, А.П. |
| title |
Показатели функционирования и устойчивости систем с многопараметрическими регуляторами |
| title_short |
Показатели функционирования и устойчивости систем с многопараметрическими регуляторами |
| title_full |
Показатели функционирования и устойчивости систем с многопараметрическими регуляторами |
| title_fullStr |
Показатели функционирования и устойчивости систем с многопараметрическими регуляторами |
| title_full_unstemmed |
Показатели функционирования и устойчивости систем с многопараметрическими регуляторами |
| title_sort |
показатели функционирования и устойчивости систем с многопараметрическими регуляторами |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Технические средства для измерений и управления |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207301 |
| citation_txt |
Показатели функционирования и устойчивости систем с многопараметрическими регуляторами / А.П. Ладанюк, Д.О. Крониковский // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 2. — С. 122–129. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT ladanûkap pokazatelifunkcionirovaniâiustojčivostisistemsmnogoparametričeskimiregulâtorami AT kronikovskijdo pokazatelifunkcionirovaniâiustojčivostisistemsmnogoparametričeskimiregulâtorami AT ladanûkap pokaznikifunkcíonuvannâístabílʹnostísistemzbagatoparametričnimiregulâtorami AT kronikovskijdo pokaznikifunkcíonuvannâístabílʹnostísistemzbagatoparametričnimiregulâtorami AT ladanûkap controlperformanceandstabilityindicesofsystemswithmultiparametercontrollers AT kronikovskijdo controlperformanceandstabilityindicesofsystemswithmultiparametercontrollers |
| first_indexed |
2025-10-07T01:07:37Z |
| last_indexed |
2025-10-07T01:07:37Z |
| _version_ |
1845283266753462272 |
| fulltext |
© А.П. ЛАДАНЮК, Д.О. КРОНИКОВСКИЙ, 2011
122 ISSN 0572-2691
ТЕХНИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА
ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЙ И УПРАВЛЕНИЯ
УДК 681.324
А.П. Ладанюк, Д.О. Крониковский
ПОКАЗАТЕЛИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ
И УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИМИ РЕГУЛЯТОРАМИ
Введение
Многопараметрическим регуляторам в последнее время достаточно внима-
ния уделяют А.М. Шубладзе, А.А. Шубладзе, С.В. Гуляев, В.В. Солдатов [1, 2]
и др. К многопараметрическим регуляторам можно отнести ПИ, ПИД, ПИДД2,
ПИДД2Д3, а также нейросетевые и нечеткие регуляторы [3, 4]. Остановимся на
сравнении двух регуляторов: ПИД и ПИДД2Д3, в частности, на проблеме устой-
чивости систем с данными регуляторами для систем управления технологически-
ми объектами. Такой подход имеет значительную практическую пользу, ведь для
современных систем требуется как высокое качество регулирования, так и необ-
ходимый уровень надежности.
Постановка проблемы
Проблемы исследования устойчивости систем с ПИД-регулятором рассмат-
ривали Ю.П. Николаев, J. Ackermann, D. Kaesbauer [3, 5, 6] и др. [7–9]. Тем не ме-
нее анализ проводился с использованием ПИ- и ПИД-регуляторов. Известно, что
многопараметрические регуляторы (ПИДД2 и ПИДД2Д3) для определенных объ-
ектов способны обеспечить более высокие показатели качества управления, одна-
ко недостаточное внимания отводилось вопросу устойчивости систем с данными
регуляторами. Именно эта проблематика ключевая в данной работе. Рассматрива-
емые регуляторы находят применение в системах автоматизации технологических
объектов.
Методика и результаты исследования
Многопараметрические регуляторы способны обеспечить лучшие показатели
качества. Первая трудность, которая возникает при использовании данного класса
регуляторов, в отличие от П-, ПИ- и ПИД-регуляторов, это, безусловно, большее
количество параметров настройки. Для оптимизации этой n-мерной задачи необ-
ходимы большие технические ресурсы. Тем не менее с быстрым наращиванием
мощностей микропроцессорной техники эта проблема отходит на задний план,
появляется возможность интегрировать алгоритмы многопараметрических регу-
ляторов в интеллектуальные системы [10].
Для сравнительного анализа затрат технических ресурсов на оптимизацию па-
раметров разных регуляторов при использовании одного компьютера (процессор —
1,7 МГц, оперативная память — 1 Гб) проведен ряд экспериментов, в которых ис-
пользованы популярные алгоритмы оптимизации. Результаты сравнительного ис-
следования методов оптимизации для разных регуляторов приведены в табл. 1.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 2 123
Таблица 1
Агоритм
Объект (аперио-
дическое звено)
Время поиска, с
Интегрально-
квадратический критерий
ПИД ПИДД2Д3 ПИД ПИДД2Д3
Нелдера–Мида
1-го порядка
с запаздыванием
0,6 2,1 1,3 106 5,1 106
Сетевого поиска 0,11 0,18 1,1 103 5,4 103
Генетический
(OptimaMGA)
2,1 8,3 2,5 104 2,7 104
NCD-оптимизация 1,2 4,1 4,1 106 9,5 106
Нелдера–Мида
2-го порядка
с запаздыванием
0,9 2,2 2,1 104 4,5 104
Сетевого поиска 0,14 0,19 7,2 102 8,0 102
Генетический
(OptimaMGA)
3,5 11,5 4,5 102 9,5 102
NCD-оптимизация 1,6 6,2 7,8 104 8,7 104
Нелдера–Мида
3-го порядка
с запаздыванием
1,1 2,2 1,9 102 4,5 101
Сетевого поиска 0,15 0,22 4,8 101 4,8 101
Генетический
(OptimaMGA)
3,6 17,8 2,5 102 1,1 101
NCD-оптимизация 1,9 7,1 4,5 103 1,2 102
Нелдера–Мида
4-го порядка
с запаздыванием
1,3 2,3 2,9 102 8,9 101
Сетевого поиска 0,18 0,23 9,8 101 9,8 101
Генетический
(OptimaMGA)
3,7 28,1 5,8 102 1,9 101
NCD-оптимизация 2,1 7,8 1,5 101 9,5 101
Таким образом, выявлена ожидаемая тенденция, а именно:
— с ростом сложности объекта время поиска увеличивается, для алгоритмов
с малым количеством итераций (Нелдера–Мида, сетевого поиска) время поиска
возрастает не так стремительно;
— с увеличением сложности структуры регулятора (увеличение количества
параметров, которые оптимизируются) время поиска увеличивается, это объясня-
ется увеличением размерности задачи и алгоритмом «блуждания–перехода» меж-
ду измерениями;
— с ростом сложности объекта погрешность регулирования увеличивается в
геометрической прогрессии, любое дополнительное преобразование сигнала
«вход–выход», т.е. дополнительно добавленное звено объекта отдаляет процесс
регулирования от идеального, увеличивая дисперсию ошибки.
Для проведения сравнительного анализа качественных показателей функцио-
нирования систем с ПИД- и ПИДД2Д3-регуляторами использовался объект третье-
го порядка, который включает в себя интегральное звено и звено запаздывания
(k 0,25, T 56 c, lag 15 с).
1
Вход
1ts
k
1ts
k
1ts
k
1
1
s
Интегральное звено
Звено с запаздыванием
1
Выход
Рис. 1
Моделирование системы происходило с использованием программного паке-
та MatLab, в частности среды Simulink. Было создано два регулятора, структура
которых приведена на рис. 2: а — ПИД; б — ПИДД2Д3.
124 ISSN 0572-2691
1
Вход
k I
k D
k P
du /dt
s
1
1
Выход
а
1
Вход
k I
k D
k P
du /dt
s
1
1
Выход
k D2
k D3
du /dt du /dt
du /dt du /dt du /dt
б
Рис. 2
Назовем наиболее распространенные алгоритмы поиска и оптимизации вы-
бранных регуляторов: Нелдера–Мида; cетевого поиска; генетический (OptimaMGA);
NCD-оптимизация.
Поскольку алгоритм NCD есть в библиотеке Simulink, то выбран именно
он. Результаты моделирования переходных процессов изображены на рис. 3:
а — ПИД; б — ПИДД2Д3.
100 0 300 200 400 600 500 700 800 1000 900
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
а
100 0 300 200 400 600 500 700 800 1000 900
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
б
Рис. 3
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 2 125
Как видно из графиков, приведенных на рис. 3, многопараметрический регу-
лятор по сравнению с ПИД-регулятором имеет заметно меньшее значение средне-
квадратической ошибки, а также меньшую динамическую ошибку регулирования,
при этом и время регулирования становится меньше.
Рассмотрим устойчивость замкнутой системы с ПИД- и ПИДД2Д3-регулято-
рами при условии отсутствия шумов на основе частотных характеристик системы.
Проанализируем преимущества и недостатки качественных характеристик систе-
мы с многопараметрическим регулятором по сравнению с ПИД-регулятором.
Из анализа диаграммы Боде (рис. 4) видно, что ПИДД2Д3-регулятор имеет
бóльшую асимптотическую принадлежность, на которую указывает линейный вид
отрезков до перегибов, что означает бóльшую чувствительность системы, а более
резкий скат годографа подразумевает более высокое быстродействие по сравне-
нию с ПИД-регулятором.
10
2
10
3
10
0
10
1
10
1
180
135
Частота (рад / с)
90
45
0
Ф
аз
а
(г
р
ад
.)
80
60
40
20
0
А
м
п
л
и
ту
д
а
(д
Б
)
20
ПИД
ПИД
ПИДД2Д3
ПИДД2Д3
Рис. 4
Сравнительный анализ устойчивости систем с разными регуляторами целе-
сообразно проводить с помощью критерия Найквиста. В работе [4] предлагается
в структурную схему исследуемой системы добавить тестовое звено )(exp jA ,
чтобы сделать данный метод более удобным для практических внедрений систем
с ПИД-регуляторами. Мы предлагаем использовать данную идею для проведения
сравнительного анализа одинаковых объектов с разными регуляторами (ПИД
и ПИДД2Д3). Следует отметить, что данный метод можно использовать как для
«простых» годографов Найквиста, так и для «сложных», т.е. таких, что имеют
сложную форму (n-кратное пересечение отрицательной реальной оси или единич-
ной критической окружности).
В работе [4] предлагается на плоскости ПИД и ПИДД2Д3 параметров про-
анализировать кривую, для всех точек которой частота среза — постоянная ве-
личина. Использование метода в данном случае усложняется наличием полино-
ма в числителе передаточной функции объекта. Эту проблему целесообразно
корректировать, представив передаточную функцию разомкнутой системы та-
ким образом:
126 ISSN 0572-2691
,
)(
)(
2
DI
PID
sQ
skskk
sL P
(1)
,
)(
)(
3
3D
2
2D
2
1DPI
PIDD2D3
sQ
skskskskk
sL
(2)
,
)(
)(
)(
)(
2
210
1
110
m
m
n
n
scscc
sdsdds
sc
ssd
sQ
(3)
где L(s) — передаточная функция разомкнутой системы, Q(s) — преобразованная
передаточная функция объекта, d(s), c(s) — знаменатель и числитель передаточ-
ной функции объекта соответственно.
При этом в числителе (1), (2) после преобразования останется лишь один по-
лином 2
DPI)( skskksk для системы с ПИД-регулятором и skksk PI)(
3
3D
2
2D
2
1D sksksk для системы с ПИДД2Д3-регулятором.
Для дальнейшего анализа создано две системы с одинаковым объектом и
анализируемыми регуляторами (см. рис. 1, 2). Сначала были найдены оптималь-
ные настройки для обоих регуляторов с помощью алгоритма NCD-оптимизации.
После этого, следуя методу Шейни, предлагается попарно разбивать плоскости
согласно количеству параметров регулятора, т.е. для ПИД: Pk и ;Ik Pk и ;Dk
Ik и Dk и соответственно для ПИДД2Д3: Pk и ;Ik Pk и ;1Dk Pk и ;D2k
Pk и ;3Dk Ik и ;1Dk Ik и ;D2k Ik и ;3Dk 1Dk и ;D2k 1Dk и .3Dk Однако за
счет большого количества пар и дальнейшей сложной процедуры импликации
этот метод трудный в реализации, поэтому целесообразно пойти на упрощение и
использовать прием, предложенный, Ю.П. Николаевым [8], и «заморозить»
Д-, Д2- и Д3-составляющие регуляторов. При этом для расчетов подставить пред-
варительно найденные оптимальные значения этих параметров. Такая операция
значительно упростит алгоритм и учтет на IP / kk -плоскости влияние Д-, Д2-
и Д3-параметров на устойчивость системы.
Таким образом, геометрическим местом точек на IP / kk -плоскости будет
эллипс:
для ПИД
,1
)(
2
1
2
P
2
0
22
D
R
k
R
wkk I (4)
для ПИДД2Д3
.1
)(
2
1
2
P
2
0
24
3D
3
2D
2
D
R
k
R
wkwkwkk I
(5)
Радиусы полуосей эллипса находим из формул:
),(Im)(Re 222
0 jwQjwQR (6)
.
2
2
02
1
w
R
R (7)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 2 127
При переходе к единичному критическому кругу ,1)( jwL основываясь на
формулах (4)–(7), имеем:
для ПИД
,1
)(Im)(Re
)(
22
22
P
22
DI
jwQjwQ
wkwkk
(8)
для ПИДД2Д3
.1
)(Im)(Re
)(
22
22
P
24
3D
3
2D
2
DI
jwQjwQ
wkwkwkwkk
(9)
Сформировав необходимые данные, построим эти эллипсы для ПИД- и
ПИДД2Д3-регуляторов на IP / kk -плоскости (рис. 5).
0 20 30 40 50 60 70 80 90 100 120
kP 0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
k I
Рис. 5
Из рис. 5 видно, что площадь эллипса, построенная для ПИД-регулятора,
меньше площади эллипса, построенного для ПИДД2Д3-регулятора. Это указывает
на то, что устойчивость созданной с многопараметрическим ПИДД2Д3-регу-
лятором системы больше, чем аналогичной системоы с использованием ПИД-ре-
гулятора.
Одной из характеристик сложных технологических объектов является время
запаздывания, которое может иметь как емкостную, так и транспортную состав-
ляющую. Отрицательное влияние запаздывания заключается в том, что система
автоматизации теряет имманентность реального времени, т.е. регулятор, осу-
ществляя управление, должен ждать определенное время, чтобы обратной связью
получить реакцию объекта на данное управляющее воздействие. Для устранения
эффекта запаздывания используют предикторы (прогнозаторы), такие как Рескви-
ка, Смита и т.п. Если система автоматического управления не имеет предикторов,
то при определенном соотношении времени запаздывания и постоянной времени
объекта система теряет сначала качественные характеристики (увеличивается ди-
намическая погрешность, время регулирования, степень затухания и т.д.) и при
переходе критической границы вообще теряет устойчивость. Для исследования
этого влияния выбран объект 2-го порядка с Т1 35 с и Т2 20 с с ПИД-
и ПИДД2Д3-регуляторами и время запаздывания в диапазоне lag [10; 100] с
(табл. 2 — зависимость степени затухания от времени запаздывания системы
с ПИД- и ПИДД2Д3-регуляторами и табл. 3 — зависимость динамической по-
грешности (А1) от времени запаздывания системы с ПИД и ПИДД2Д3-регу-
ляторами).
128 ISSN 0572-2691
Как видно, время запаздывания
отрицательно влияет на процесс регу-
лирования, и система при отношении
lag /Т 2 теряет устойчивость, пере-
ходя в режим автоколебаний, а при
дальнейшем увеличении становится
неуправляемой.
Тем не менее следует отметить,
что система с многопараметрическим
ПИДД2Д3-регулятором менее чув-
ствительна к времени запаздывания,
т.е. проявляет лучшую устойчивость
по сравнению с системой с ПИД-ре-
гулятором.
Заключение
В настоящей работе выполнена
сравнительная характеристика облас-
тей устойчивости систем с примене-
нием ПИД- и ПИДД2Д3-регуляторов,
использован новый подход, который
предусматривает объединение клас-
сического метода годографа Найк-
виста и оценки влияния всех состав-
ляющих регулятора на плоскости
лишь двух из них. Приведены ре-
зультаты сравнительного анализа
влияния времени запаздывания на
устойчивость систем, в частности на
степень затухания колебаний и дина-
мическую погрешность. Во всех ис-
следованиях системы с многопара-
метрическим ПИДД2Д3-регулятором
проявили как лучшие качественные
показатели регулирования, так и больший запас устойчивости. Полученные ре-
зультаты использовались при разработке систем автоматизации технологических
объектов.
А.П. Ладанюк, Д.О. Кроніковський
ПОКАЗНИКИ ФУНКЦІОНУВАННЯ
І СТАБІЛЬНОСТІ СИСТЕМ
З БАГАТОПАРАМЕТРИЧНИМИ РЕГУЛЯТОРАМИ
Досліджено алгоритми оптимізації багатопараметричних регуляторів, якості
функціонування та стійкості систем з ПІД- та ПІДД2Д3-регуляторами. Вико-
ристано методологію, запропоновану Ю.П. Ніколаєвим для ПІД-регуляторів,
яку модифіковано для багатопараметричного ПІДД2Д3-регулятора. Проведе-
но порівняльний аналіз стійкості систем з цими регуляторами за наявності
тривалого запізнення.
Таблица 2
lag , с
Степень затухания
ПИД ПИДД2Д3
10 0,95 0,99
15 0,93 0,97
20 0,9 0,95
25 0,87 0,92
30 0,82 0,89
35 0,77 0,85
40 0,68 0,81
45 0,6 0,75
50 0,51 0,7
60 0,4 0,62
65 0,25 0,56
70 0,11 0,45
75 0,05 0,38
80 0,02 0,24
85 а/к 0,16
90 н/с 0,08
95 н/с 0,02
100 н/с а/к
Примечание: а/к — автоколебательный
процесс, н/с — неустойчивая система.
Таблица 3
lag , с
Динамическая погрешность А1
ПИД ПИДД2Д3
10 1,05 1,01
15 1,07 1,03
20 1,1 1,05
25 1,13 1,08
30 1,18 1,11
35 1,23 1,15
40 1,32 1,19
45 1,4 1,25
50 1,49 1,3
60 1,6 1,38
65 1,75 1,44
70 1,89 1,55
75 1,95 1,62
80 2 1,7
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 2 129
A.P. Ladanyuk, D.O. Kronikovskyi
CONTROL PERFOMANCE
AND STABILITY INDECES OF SYSTEMS
WITH MULTIPARAMETER CONTROLLERS
The optimization algorithms of multiparameter controllers, control performance
and stability of systems with PID and PIDD2D3 controllers are investigated. The
methodology suggested by Yu.P. Nikolaev for PID controllers is used, which
is modified for multiparameter PIDD2D3 controller. The comparative analysis of
stability of systems with these controllers with great time delay is performed.
1. Солдатов В.В., Жиров М.В., Шаховской А.В. Многопараметрические цифровые регуляторы
и методы их настройки // Приборы и средства автоматизации. — 2002. — № 6. —
С. 19–24.
2. Шубладзе A.M., Гуляев СВ., Шубладзе А.А. Оптимальные автоматически настраивающиеся
общепромышленные регуляторы // Там же. — 2002. — № 10.
3. Ладанюк А.П., Кроніковський Д.О. Дослідження стійкості систем з ПІД- та ПІДД2Д3-регу-
ляторами // Наукові нотатки. — 2010. — № 27. — С. 160–165.
4. Николаев Ю.П. Построение и стратификация областей устойчивости линейных динамиче-
ских систем с ПИД-регуляторами // Автоматика и телемеханика. — 2007. — № 8. —
С. 180–190.
5. Ho M., Datta A., Bhattacharyya S. A liner programming characterization of all stabilizing PID
controllers // Proc. Amer. Contr. Conf. Albuquerque, NM: IEEE. — 1997. — P. 3922–3928.
6. Ackermann J., Kaesbauer D. Stable polyhedra in parameter space // Automatica. — 2003. — 39.
— P. 937–943.
7. Cook R.P. Gain and phase boundary routine for two-loop feedback system // IEEE Trans. Auto-
mat. Contr. — 1966. — 11, N 3. — P. 573–577.
8. Chang C.H., Han K.W. Gain margins and phase margins for control system with adjustable pa-
rameters // J. Guidance Contr. Dynamics. — 1990. — C. 13, N 3. — P. 404–408.
9. Stenton A.T., Shafier Z. Relative stability for control system with adjustable parameters //
J. Guidance Contr. Dynamics. — 1994. — C. 17, N 2. — P. 304–310.
10. Бимбиреков Б.Л. Определение параметров регулятора для линейной системы по частотным
критериям // Автоматика и телемеханика. — 1993. — № 5. — С. 3–10.
Получено 08.09.2010
После доработки 11.10.2010
|