Минимаксный подход к прогнозированию магнитных бурь (прогнозирование Dst-индекса)

Розглянуто розв’язок задачі прогнозування основного параметру магнітних бур, Dst-індексу, з використанням авторегресійних моделей та вимірювань параметрів сонячного вітру. На основі стислого аналізу фізичних процесів розвитку магнітної бурі розглянуто основні динамічні характеристики Dst-індексу. Де...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автори:	Кременецкий, И.А., Сальников, Н.Н.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2011
Назва видання:	Проблемы управления и информатики
Теми:	Космический мониторинг
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207303
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Минимаксный подход к прогнозированию магнитных бурь (прогнозирование Dst-индекса) / И.А. Кременецкий, Н.Н. Сальников // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 2. — С. 137–151. — Бібліогр.: 45 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-207303
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2073032025-10-06T00:03:30Z Минимаксный подход к прогнозированию магнитных бурь (прогнозирование Dst-индекса) Мінімаксний підхід до прогнозування магнітних бур (прогнозування Dst-індексу) Minimax Approach to Magnetic Storms Forecast (Dst Index Forecast) Кременецкий, И.А. Сальников, Н.Н. Космический мониторинг Розглянуто розв’язок задачі прогнозування основного параметру магнітних бур, Dst-індексу, з використанням авторегресійних моделей та вимірювань параметрів сонячного вітру. На основі стислого аналізу фізичних процесів розвитку магнітної бурі розглянуто основні динамічні характеристики Dst-індексу. Детально розглянуто принципову можливість прогнозу Dst-індексу на час, більший, ніж час транспортного запізнювання поширення збурення сонячного вітру від точки виміру до головної частини магнітосфери. Запропоновано та обґрунтовано мінімаксний підхід для ідентифікації параметрів цієї моделі. Проілюстровано застосування запропонованої методики на реальних даних. Solution of the forecast problem of the main parameter of magnetic storms, Dst index, with the use of autoregressive models and measurements of solar wind parameters is under consideration. Basic dynamic characteristics of the Dst index response to input variable changes are described on the basis of a brief analysis of physical processes following magnetic storms. The principal possibility of the Dst index forecast over a time longer than the transport delay of solar wind propagation from the L1 point to the magnetosphere is considered in detail. Minimax approach to identification of the model parameters is proposed and substantiated. An application of the proposed method is illustrated using real data. Работа выполнена при частичной финансовой поддержке НАН Украины в рамках темы «Теоретичні основи моделювання та обробки даних для задач космічних досліджень». 2011 Article Минимаксный подход к прогнозированию магнитных бурь (прогнозирование Dst-индекса) / И.А. Кременецкий, Н.Н. Сальников // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 2. — С. 137–151. — Бібліогр.: 45 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207303 681.5.015; 519.23 10.1615/JAutomatInfScien.v43.i3.70 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Космический мониторинг Космический мониторинг
spellingShingle	Космический мониторинг Космический мониторинг Кременецкий, И.А. Сальников, Н.Н. Минимаксный подход к прогнозированию магнитных бурь (прогнозирование Dst-индекса) Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто розв’язок задачі прогнозування основного параметру магнітних бур, Dst-індексу, з використанням авторегресійних моделей та вимірювань параметрів сонячного вітру. На основі стислого аналізу фізичних процесів розвитку магнітної бурі розглянуто основні динамічні характеристики Dst-індексу. Детально розглянуто принципову можливість прогнозу Dst-індексу на час, більший, ніж час транспортного запізнювання поширення збурення сонячного вітру від точки виміру до головної частини магнітосфери. Запропоновано та обґрунтовано мінімаксний підхід для ідентифікації параметрів цієї моделі. Проілюстровано застосування запропонованої методики на реальних даних.
format	Article
author	Кременецкий, И.А. Сальников, Н.Н.
author_facet	Кременецкий, И.А. Сальников, Н.Н.
author_sort	Кременецкий, И.А.
title	Минимаксный подход к прогнозированию магнитных бурь (прогнозирование Dst-индекса)
title_short	Минимаксный подход к прогнозированию магнитных бурь (прогнозирование Dst-индекса)
title_full	Минимаксный подход к прогнозированию магнитных бурь (прогнозирование Dst-индекса)
title_fullStr	Минимаксный подход к прогнозированию магнитных бурь (прогнозирование Dst-индекса)
title_full_unstemmed	Минимаксный подход к прогнозированию магнитных бурь (прогнозирование Dst-индекса)
title_sort	минимаксный подход к прогнозированию магнитных бурь (прогнозирование dst-индекса)
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Космический мониторинг
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207303
citation_txt	Минимаксный подход к прогнозированию магнитных бурь (прогнозирование Dst-индекса) / И.А. Кременецкий, Н.Н. Сальников // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 2. — С. 137–151. — Бібліогр.: 45 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT kremeneckijia minimaksnyjpodhodkprognozirovaniûmagnitnyhburʹprognozirovaniedstindeksa AT salʹnikovnn minimaksnyjpodhodkprognozirovaniûmagnitnyhburʹprognozirovaniedstindeksa AT kremeneckijia mínímaksnijpídhíddoprognozuvannâmagnítnihburprognozuvannâdstíndeksu AT salʹnikovnn mínímaksnijpídhíddoprognozuvannâmagnítnihburprognozuvannâdstíndeksu AT kremeneckijia minimaxapproachtomagneticstormsforecastdstindexforecast AT salʹnikovnn minimaxapproachtomagneticstormsforecastdstindexforecast
first_indexed	2025-10-07T01:07:44Z
last_indexed	2025-10-07T01:07:44Z
_version_	1845283273772630016
fulltext	© И.А. КРЕМЕНЕЦКИЙ, Н.Н. САЛЬНИКОВ, 2011 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 2 137 КОСМИЧЕСКИЙ МОНИТОРИНГ УДК 681.5.015; 519.23 И.А. Кременецкий, Н.Н. Сальников МИНИМАКСНЫЙ ПОДХОД К ПРОГНОЗИРОВАНИЮ МАГНИТНЫХ БУРЬ (ПРОГНОЗИРОВАНИЕ Dst-ИНДЕКСА) Введение Прогнозирование возмущений магнитосферы Земли — одна из важных задач «космической погоды», поскольку они негативно воздействуют на спутниковую аппаратуру, функционирование систем навигации и связи, энергетических сетей. Динамическое состояние магнитосферы характеризуется индексами геомагнитной активности. Магнитная буря — самое значительное возмущение магнитосфе- ры [1]. Для описания ее динамики введен Dst-индекс, который по соотношению Десслера–Паркера [2] пропорционален суммарной кинетической энергии частиц кольцевого тока магнитосферы. Он вычисляется один раз в час путем усреднения минутных значений возмущения геомагнитного поля на четырех геомагнитных станциях в приэкваториальном регионе. Таким образом, прогнозирование маг- нитных бурь сводится к прогнозу величин Dst-индекса. Под «космической погодой» понимается электромагнитная и радиационная обстановка в околоземном пространстве, взаимосвязь между ней и состоянием магнитосферы и ионосферы Земли, явлениями в атмосфере Солнца и циклом сол- нечной активности в целом [1]. Знание величины Dst-индекса позволяет восстано- вить пространственную структуру возмущения электромагнитной и радиационной обстановки в магнитосфере и ионосфере с помощью эмпирических моделей [3]. Прогноз состояния магнитосферы в принципе возможен по данным наблю- дения Солнца с помощью глобального численного моделирования цепочки физи- ческих процессов в солнечной короне, солнечном ветре (СВ) и магнитосфере [4]. Однако для его реализации не хватает оперативной информации об условиях на границах. В то же время благодаря действующим в точке Лагранжа L1 спутникам постоянно доступны данные о параметрах СВ, которых вполне достаточно для краткосрочного прогноза геомагнитных индексов и оценки состояния магнито- сферы. Решение задачи прогноза геомагнитных индексов можно провести в рамках концепции «черного ящика» теории динамических систем. При этом выделяются входные сигналы или переменные, воздействующие на систему, и выходные, ха- рактеризующие отклик системы на входные воздействия. Для описания связи входных и выходных переменных берется некоторый класс конечномерных дина- мических моделей, структура и параметры которых настраиваются таким обра-  Работа выполнена при частичной финансовой поддержке НАН Украины в рамках темы «Тео- ретичні основи моделювання та обробки даних для задач космічних досліджень». 138 ISSN 0572-2691 зом, чтобы в пределах ошибок измерения добиться наилучшего совпадения вы- ходных переменных модели и исследуемой динамической системы при одних и тех же входных воздействиях. Настройка параметров осуществляется с помощью алгоритмов идентификации. В частности, сюда относятся подходы на основе использования настраиваемых нейронных сетей [5, 6] и нелинейных ре- грессионных моделей [7–9], которые отличаются видами моделей и алгоритма- ми идентификации. В работе рассматривается краткосрочный прогноз Dst-индекса по данным о СВ и межпланетном магнитном поле с использованием авторегрессионных мо- делей. Кратко рассмотрены физические процессы во время магнитных бурь, вли- яющие на динамику Dst-индекса. Подробно рассмотрена принципиальная воз- можность прогноза Dst-индекса на время, большее, чем время распространения возмущения от точки Лагранжа L1 до головной части магнитосферы. Предложен и обоснован минимаксный подход [10, 11] к идентификации параметров этой мо- дели. Рассмотрены вопросы определения вида и порядка модели. Приведены ре- зультаты прогнозирования Dst-индекса на основе минимаксного подхода и их сравнительный анализ с результатами, полученными при использовании в каче- стве алгоритма идентификации метода наименьших квадратов (МНК). 1. Солнечный ветер и его взаимодействие с магнитосферой как динамическая система СВ воздействует на магнитосферу через кинетическое давление 2V и элек- трическое поле zy VBE  [12], где V и   скорость потока и концентрация ча- стиц плазмы, zB  компонента межпланетного магнитного поля (ММП) вдоль магнитной оси Земли. Давление сжимает магнитосферу и увеличивает поверхностный ток на ее границе (магнитопаузе). Посредством электрического поля yE магнитосфера приобретает внутреннюю энергию, что имеет место толь- ко при 0zB  ориентации ММП в направлении, обратном магнитному полю Земли. В зависимости от времени удержания 0zB и величины zB магнитосфе- ра приобретает разные динамические состояния, что отражается в активизации процессов переноса плазмы, возмущении магнитосферных токов и геомагнитного поля. Интервалы устойчивого 0zB содержатся в крупномасштабных структу- рах потока СВ: магнитно-плазменных конфигурациях корональных выбросов массы, областях компрессии СВ скоростным потоком, за ударными волнами. Развитие типичной бури вызвано удержанием 10zB нТл в течение 2,5–3 ч [13]. При этом граница магнитосферной конвекции приближается к Земле и внутренняя дипольная магнитосфера на экваториальных расстояниях 2–8 ER ER(  радиус Земли) заполняется горячими (10–100 кэВ) ионами О+ и Не+ ионосферного происхождения, дрейф которых генерирует кольцевой ток и приво- дит к большим отрицательным значениям Dst-индекса 50Dst(  нТл). Пример временнóй зависимости zB и Dst-индекса во время сильной бури 2300–2345 ч. 2000 г. приведен на рис. 1. Фаза роста бури обычно длится 4–8 часов (заштрихо- ванная область на рис. 1). Поворот 0zB прекращает инжекцию энергии в маг- нитосферу и вызывает отход конвекционной границы от Земли, приводит к за- полнению внутренней магнитосферы холодной ионосферной плазмой, что вызы- вает диссипацию частиц кольцевого тока в результате действия четырех физических механизмов, каждый из которых имеет собственное характерное вре- мя от десятков минут до ста часов. Восстановление Dst-индекса длится 12–96 ч. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 2 139 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 – 30 – 20 – 10 0 10 – 50 – 100 – 150 – 200 – 250 – 300 D st , н Т л B z, н Т л Время, ч Время, ч Рис. 1 Нелинейная связь Dst-индекса и параметров СВ обусловлена пороговым характером развития бурь и динамикой токов магнитосферы. При этом между Dst-индексом и 5,0yE мВ/м эмпирически установлена практически линейная взаимозависимость, что легло в основу первой модели прогноза [14], включаю- щей слагаемое инжекции yE и слагаемое диссипации в виде апериодического звена. Эта модель требует перенастройки на бури разной интенсивности и имеет низкую точность [15]. На фазе роста бури основной вклад в понижение индекса Dst дают токи хвоста. Кольцевой ток становится доминирующим на фазе вос- становления бури, когда поле токов хвоста мало модифицирует дипольное поле внутренней магнитосферы [16]. В случае серийных бурь на характер развития каждой следующей бури влияет предыстория состояния внутренней магнито- сферы. Об этом свидетельствует статистическая зависимость индексов геомаг- нитной активности от своих значений за предыдущие 2–8 ч и от значений пара- метров СВ за 2–6 ч [17]. Учесть вклад предыстории позволяют нейронные и ав- торегрессионные модели. Измерения параметров СВ и ММП с высокими точностью и тактовой часто- той (период измерений около 0,67 с) с 1996 г. непрерывно осуществляется аппа- ратом АСЕ, который находится на галоорбите точки Лагранжа L1 и отстоит от магнитосферы на 200–230 ER по линии Земля–Солнце. В зависимости от скоро- сти СВ преодолевает это расстояние до магнитосферы за 30–60 мин, причем его параметры существенно не изменяются до столкновения с магнитосферой. Ука- занное время можно считать временем запаздывания в системе, а именно, транспортным запаздыванием. Данные АСЕ используются в нескольких науч- ных центрах, которые осуществляют прогноз геомагнитных индексов в реаль- ном времени [18–20]. Поперек направления Солнце–Земля параметры СВ и ММП слабо отличаются вплоть до расстояний 150–200 ER [21], что гораздо больше поперечных размеров магнитосферы, поэтому фронт возмущений СВ можно считать плоским и, следо- вательно, динамика распределенных процессов в системе «СВ–магнитосфера» целиком определяется граничными условиями на плоскости фронта. Их можно считать однородными. При этом набор параметров СВ на граничной плоскости можно считать вектором входных переменных, а Dst-индекс — откликом рассмат- риваемой динамической системы на возмущения входных переменных, т.е. выход- ной переменной. Связь этих величин в первом приближении можно описать с по- мощью уравнений магнитной гидродинамики — системы уравнений в частных производных. 140 ISSN 0572-2691 Получение приближенных решений уравнений в частных производных сво- дится при использовании того или иного численного метода к решению конечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений [22–24]. В свою очередь решение этих уравнений рассчитывается на дискретном множестве точек по вре- мени. В результате исследование решений уравнений в частных производных сводится к исследованию решений уравнений, описывающих конечномерные дискретные (по времени) динамические системы [25] в пространстве состояний. От описания системы в пространстве состояний можно перейти к эквивалентному описанию в терминах «вход–выход» [26], т.е. к авторегрессионным моделям. При этом нелинейные системы сводятся к нелинейным регрессионным моделям, ли- нейные  к линейным. Заметим, что в силу описанного построения авторегрес- сионные модели аппроксимирующие, т.е. неточные. Чем выше их порядок, тем они точнее аппроксимируют функциональную связь между входными и выход- ными переменными. Однако при настройке этих моделей с использованием изме- ренных данных порядок модели ограничен уровнем шумов измерений [27–32]. 2. Математическая модель прогнозирования В предыдущем разделе на содержательном уровне показано, что динамиче- скую связь Dst-индекса с параметрами СВ можно приближенно описать с помо- щью авторегрессионной модели. Рассмотрим сначала возможность прогнозирова- ния Dst-индекса в том случае, когда эта модель линейная и имеет следующий вид: .~~~~~ 1111 knknknknkk ububyayay    (1) В этом уравнении )(~~ kk tyy  и )(~~ kk tuu  — точные незашумленные значения выходной и входной переменных в дискретный момент времени tktk  t( — временной период измерений), .,1,0 k Величина k отражает несоответствие поведения рассматриваемой модели реальному процессу. Она может быть связана как с действием на рассматриваемую систему «СВ–магнитосфера» некоторых не- контролируемых или неучтенных в модели факторов, так и с точностью описания этой системы с помощью рассматриваемой линейной модели, например с ее поряд- ком или размерностью, числом n, а также с ее параметрами. В большинстве практи- ческих случаев значение k неизвестно. В уравнении (1) ky~ и ku~ могут быть век- торами или скалярами, ,,1,, niba ii  — матрицы соответствующего размера. Рассмотрим прогнозирование выходной переменной с использованием урав- нения (1) при условии, что модель точная, ,0k и ее параметры известны. Так- же будем считать, что помехи измерения отсутствуют, т.е. измеренные значения входных и выходных параметров, векторы ky и ,ku совпадают с точными: ,~ kk yy  .~ kk uu  (2) Постановка задачи прогнозирования состоит в следующем. Пусть известны измеренные значения выходной и входной переменной, т.е. последовательности s ky 0}{ и ,}{ 0 s ku начиная с некоторого начального момента 0k вплоть до теку- щего момента sk  включительно. Требуется с использованием этих измерений и уравнения (1) определить значение выходной переменной Nsy  в момент ,Nsk  где целое число 0N — время прогноза. Из уравнения (1) (при усло- вии (2)) несложно получить    1)2(11 ~~~ Ns N Nns N ns N Ns ubyayay , ~~~ 1110 ns N ns N s N ububub    (3) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 2 141 где коэффициенты ,,1,~ nia N i  и ,),2(, ~ nNib N i  связаны с коэффициентами ,,1,, niba ii  исходного уравнения с помощью некоторых алгебраических соот- ношений. Из выражения (3) непосредственно следует, что для прогнозирования или вычисления величины Nsy  для значений 1N недостаточно значений последо- вательностей s ky 0}{ и ,}{ 0 s ku дополнительно требуется знание будущих значений входных воздействий ,ku начиная с 1 sk и вплоть до момента ,1 Nsk непосредственно предшествующего .Ns  Если на этом временнóм интервале входные воздействия могут принимать произвольные значения, то задача прогно- зирования на N тактов в общем случае не имеет точного решения. Пусть ,ˆku ],1:1[  Nssk — оценки значений ,ku полученные из некоторых дополни- тельных предпосылок. Пусть Nsy ˆ — прогнозируемое значение величины ,Nsy  вычисляемое с помощью (3), в котором вместо неизвестных величин ,ku ],1:1[  Nssk подставлены оценки .ˆku Тогда для ошибки прогноза NsNsNs yye   ˆ получаем следующую оценку:   )ˆ( ~ )ˆ( ~ ˆ 11011)2( ss N NsNs N NNsNsNs uubuubyye  .ˆ ~ ˆ ~ ˆ ~ 1 1 111011)2(      N l lsls N lss N NsNs N N uubuubuub  (4) Можно ожидать, что в общем случае при lsls uu  ˆ с ростом N правая часть этого неравенства будет возрастать. Иногда вместо уравнения (3) для прогноза используется следующее уравнение: , ~~~~ˆ 1111 ns N ns N ns N ns N Ns ububyayay    (5) содержащее только известные величины. Это эквивалентно тому, что ,0ˆ ku ].1:1[  Nssk При этом, как следует из (4), ls N l N l Ns ube       1 1 1 ~ и, сле- довательно, ошибка прогноза будет зависеть от значений ku на интервале ].1:1[  Nss Можно показать, что в частном случае, когда в уравнении исходной системы ,01  Dbb  т.е. система (1) обладает запаздыванием D, в уравнении (3) будет .0 ~~ )1()2(   N DN N N bb  Поэтому при 1 DN задача прогнозирования, как следует из (3) или (4), имеет точное решение. Приведенные факты могут использоваться для эксперименталь- ного определения времени запаздывания D, а именно, с ростом N до 1 DN ошибка прогноза будет нулевой, при 1 DN ошибка в общем случае долж- на расти. В нелинейном случае уравнение, связывающее значение входной и выходной переменных рассматриваемой динамической системы, может быть записано в следующем виде ),,,,,,( 111 DnsDsnsss uuyyfy    (6) где D — запаздывание. Отсюда для вычисления прогнозируемой величины Nsy  получим ).,,,,,( 11 nDNsDNsnNsNsNs uuyyfy    142 ISSN 0572-2691 Если в этом уравнении выразить с помощью (6) 1Nsy через значения 12 ,,  nNsNs yy  и ,,, 12  nDNsDNs uu  то получим, что Nsy  являет- ся функцией от n аргументов 12 ,,  nNsNs yy  и аргументов ,1 DNsu ,, 1 nDNsu число которых .1n Продолжая этот процесс, можно получить ),,,,,,( 111 nDsDNsnssNs uuyyFy    (7) где )(F — функция от n и Nn  значений выходной и входной переменных со- ответственно. Из этого уравнения видно, что, как и в линейном случае, точное решение сформулированной задачи прогноза возможно только при условии, что ,1 DN так как в этом случае функция )(F будет содержать только известные по условию задачи значения аргументов. Для вычисления Nsy  в случае ,1 DN как следует из (7), необходимо знать значения входных перемен- ных ku для .sk  Попытки использовать в (7) вместо этих величин некоторые оценки ,ˆku как и в линейном случае, будут приводить к ошибке прогноза вели- чины .Nsy  Использование для прогноза в случае 1 DN зависимости вида ),,,,,,(ˆˆ 11 nDssnssNs uuyyFy    (8) содержащей измеренные ky и ku до момента s включительно, фактически пред- полагает некоторый выбор kû недостающих значений входных воздействий ku в (7) для ].1:1[  DNssk Фиксированный вид функции )(ˆ F формально означает задание для этих значений следующих 1 DN функциональных за- висимостей: ),,,,,,(ˆ 11 nDssnsslls uuyygu    ].1:1[  DNl (9) Поскольку реальные значения ,ku ],1:1[  DNssk — следствие иных внешних воздействий — активных процессов в атмосфере Солнца, а не опреде- ляются только своей предысторией, то всегда найдутся значения ,ku ,ˆkk uu  ],1:1[  DNssk и, следовательно, ошибка прогноза при использовании (8) для случая 1 DN будет отлична от нуля. Как и в линейном случае, это свойство может использоваться для определения реального запаздывания D в системе. Таким образом, из приведенных рассуждений можно заключить, что в рас- сматриваемой постановке точный прогноз выходной переменной на N тактов вперед возможен при .1 DN Для прогнозирования необходимо знание зави- симости (3) в линейном случае или (7) — в нелинейном. Отдельно следует сказать о так называемом прогнозировании Dst по Dst. Это соответствует использованию уравнения (3) или его нелинейного аналога (7), в котором полагают .0ku В силу сказанного выше в этом случае можно лишь с некоторой ошибкой предсказать развитие процесса изменения Dst, но никак нель- зя предсказать момент начала магнитной бури, поскольку в уравнении отсутству- ет информация о какиx-либо внешних факторах, вызывающие магнитные бури. Поэтому использование этого подхода для прогнозирования начала магнитных бурь, по-видимому, нецелесообразно. В данной работе уравнения (1) и (6) не предполагаются известными и, следо- вательно, аналитический вывод зависимостей (3) и (7) практически невозможен. Поэтому вместо уравнений (3) и (7) предлагается использовать (5) и (8), содержа- щие известные измеренные значения входных и выходных переменных до теку- щего момента s включительно. При этом задача прогноза разбивается на две под- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 2 143 задачи: определение параметров уравнения (5) или вида функции )(ˆ F в уравне- нии (8) с использованием измеренных данных и прогнозирование выходной пе- ременной с помощью полученных приближенных прогнозирующих моделей вида (5) и (8). Рассмотрим первую подзадачу. Входные переменные ― физические параметры СВ в окрестности точки Ла- гранжа ,1L измеряются, как было сказано, с очень большой точностью. Однако неточность пересчета данных при их проектировании на фронт ударной волны магнитосферы, а также турбулентность плазмы фактически вносят погрешности в эти данные. Дополнительным источником погрешностей является квантование сигналов по времени. Спектр непрерывных измеряемых сигналов параметров СВ содержит частоты, существенно бóльшие, чем рассматриваемая частота квантова- ния ,/10 tf  1t ч. Это, как известно [33, 34], приводит к тому, что цифровой сигнал содержит паразитные сигналы, являющиеся следствием наложения сдви- нутых спектров исходного сигнала, т.е. шумы, связанные с квантованием по времени. Поэтому в рассматриваемом случае погрешности данных обусловлены причинами, перечисленными выше, а не инструментальными погрешностями из- мерений. Будем считать, что измеренные величины входных и выходных пере- менных имеют вид ,~ kkk yy  .~ kkk uu  (10) В силу сказанного выше едва ли можно говорить о том, что последовательно- сти помех измерения }{ k и }{ k представляют собой стохастические процессы с известными характеристиками, нельзя даже утверждать, что они имеют нулевое математическое ожидание. Утверждать можно только то, что они ограниченны: , ck  ck ,k (11) но значения c и c априорно неизвестны. Выражения (5) и (8) выписаны при отсутствии помех измерения, т.е. по сути для величин ky~ и .~ ku Если эти величины выразить из уравнения (10) и подста- вить в (5) и (8), то получим следующие соотношения:   )(~)(~ 111 nsns N nss N NsNs yayay  );( ~ )( ~ 111 nsns N nss N ubub    (12) ),,,,,,(ˆ 1111 nsnsssnsnsssNsNs uuyyFy    (13) которые выполняются для измеренных значений входных и выходных перемен- ных и некоторых реализаций помех, удовлетворяющих условию (11). Для идентификации нелинейной зависимости )(ˆ F необходимо аппроксими- ровать эту функцию некоторым рядом из известных функций. Будем считать, что набор функций ),(if ,,1 1ni  задан и является полным, т.е. для любого 0 найдутся такое число 1n и вектор параметров ,),,( T 1 1n ppp  при которых ряд )( 1 1   ii n i fp аппроксимирует функцию )(ˆ F в области изменения ее аргументов с точностью , т.е. 144 ISSN 0572-2691 .)()(ˆ 1 1    ii n i fpF Здесь  — некоторая функциональная норма [35]. В дальнейшем везде вместо )(ˆ F будем использовать ее представление в виде полинома, а уравнение (13) за- писывать в следующем виде:     1 1 1111 ).,,,,,( n i nsnsssnsnsssiiNsNs uuyyfpy  (14) Таким образом, для получения линейной модели (5) необходимо определить число n и ее параметры, для нелинейной модели, кроме этих величин, необходи- мо определить число .1n Рассмотрим задачу идентификации моделей (5) и (8) с использованием уравнений (12) и (14). 3. Минимаксный подход к определению параметров прогнозирующей модели и его свойства Для иллюстрации основных идей идентификации моделей (12) и (14) будем считать, что фигурирующие в их этих уравнениях величины ky и ku — скаляры. Запишем уравнение (12) в следующем виде: ,)(T kkkk zpy  (15) где векторы ,) ~ ,, ~ ,~,,~( T 11 N n NN n N bbaap  (16) ,),,,,,( T 11 nNkNknNkNkk uuyyz   (17) .),,,,,( T 11 nNkNknNkNkk    (18) В уравнении (15) величины ky и kz известны, p — искомый вектор параметров, k — вектор, коэффициенты которого ограничены в силу условия (11). Задача оценивания параметров уравнения вида (15) относится к классу задач оценивания параметров линейной регрессии при наличии помех во входных переменных, ко- торые интенсивно исследуются в настоящее время [36–39]. Решение таких задач алгоритмически очень сложно, а также требует знания неизвестных в рассматри- ваемом случае стохастических характеристик или пределов изменения для вели- чин k и .k Поэтому перейдем от уравнения (15) к стандартному уравнению линейной регрессии ,T kkk zpy  (19) где .T kkk p  (20) Для оценивания параметров нелинейной модели также можно выписать уравнения вида (15) или (19). В частности уравнение (19) получим, если обозначим ,),,( T 1 1n ppp  (21) ,),,( T 1 1knkk ffz  (22) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 2 145 где ).,,,,,( 11 nNkNknNkNkiki uuyyff   Величина k также опреде- ляется выражением (20), в котором коэффициенты ki вектора ),,( 11 knkk   определены выражениями  ,,,,( 11 NkNknNknNkNkNkiki uyyf   .), 11 kinNknNk fu   Относительно величины k в силу определения (20) можно лишь утвер- ждать, что она ограничена, , ck причем величина c неизвестна. Как следу- ет из приведенного выше анализа, невозможно ничего утверждать относительно наличия стохастических свойств у величины k и тем более их характеристик. Рас- смотрим постановку задачи определения вектора параметров p в этих условиях. Пусть p̂ — некоторый вектор параметров, который будем называть оценкой вектора p. Располагая оценкой p̂ и вектором ,kz можно вычислить оценку вы- ходной переменной .ˆˆ T kk zpy  Эта величина в данном случае представляет про- гноз выходной переменной, вычисленный на основе вектора p̂ и вектора ,kz со- ставленного из измеренных значений входных и выходных переменных, содер- жащих шум. Прогноз тем лучше, чем ближе величина kŷ к ,~ ky причем это должно выполняться для всех k. Однако величина ky~ неизвестна, имеется только ее измеренное значение .ky Поэтому предлагается выбирать вектор парамет- ров p̂ из условия минимума величины ,ˆ ZpYYY  (23) где вектор ,),,( T 0 Mk yyY  матрица ,)::( T 0 Mk zzZ   — некоторая век- торная норма [40, 41], 0k — время, требуемое для начала формирования векто- ров .kz В большинстве работ, посвященных прогнозу космической погоды [5–9, 15], выбирается норма YYY T 2  и задача определения вектора p̂ сводится к МНК .minmin 2 22 ZpYZpY pp  (24) Вместе с тем, по мнению авторов, для рассматриваемой в данной работе задачи кратковременного прогноза Dst-индекса существенна фиксация единичных отно- сительно кратковременных импульсов этой величины. Критерий МНК сглаживает эти импульсы и больше приспособлен для учета систематической составляю- щей [42]. Поэтому в данной работе в качестве критерия точности прогнозиру- ющей модели предлагается использовать следующую норму: .max k k yY   (25) При этом задача определения p̂ сводится к решению минимаксной задачи .maxminˆmaxminminˆmin T kk kp kk kppp zpyyyZpYYY   (26) В данном случае вектор p̂ выбирается таким образом, чтобы максимальное зна- чение абсолютной величины ошибки ,ˆˆ kkk yye  взятое по всему дискретному 146 ISSN 0572-2691 времени k, было минимальным. Минимизируемая функция kk k zpy Tmax  яв- ляется выпуклой функцией, как максимум выпуклых функций [43, 44], и, следо- вательно, задача безусловной минимизации (26) имеет решение. Отметим известную связь [10] решения (26) с решением системы неравенств. Обозначим .maxminˆmax TT kk kp kk k zpyzpyc  (27) Отсюда следует, что решение задачи (26) — вектор ,p̂ удовлетворяет системе не- равенств  czpy kk Tˆ .,,0 Mkk  (28) Поэтому для отыскания решения (26) необходимо определить минимальное чис- ло ,c при котором система (28) совместна. Именно такой метод решения ис- пользуется в данной работе. Связь описанного минимаксного подхода и гаранти- рованного оценивания [37] параметров линейной регрессии указана в [45]. Для ошибки прогноза ,ˆ~ NkNkNk yye   используя (28) и (14), можно по- лучить оценку   NkNkNkNkNkNkNkNk zpyyyyye Tˆˆˆ~ ., 0kkccNk   (29) Отсюда следует, чем меньше величина ,c тем точнее прогноз. Несложно показать, что )(ncc   — невозрастающая функция размерности модели n, ).1()(   ncnc Прогнозирующая модель тем лучше аппроксимирует реальный процесс, чем больше ее размерность. Однако, с другой стороны, наличие шумов измерения при большой размерности модели ухудшает точность определения ее параметров. В случае использования нормы 2  , т.е. в случае МНК, существуют достаточно развитая теория [27–29, 42] определения оптимального с точки зрения точности оцениваемых параметров числа n и числа функций .1n Исследование выбора оптимальной размерности модели для методов гарантированного оценивания можно найти в работах [30–32]. Однако, следует заметить, что в последнем случае пока еще нет общей теории, а для нормы   эти вопросы ждут своего решения. 4. Идентификация модели по реальным данным и результаты прогнозирования Предложенный минимаксный подход применялся для определения структу- ры и параметров прогнозирующей модели Dst-индекса с использованием изме- ренных величин СВ и ММП из данных базы OMNI [20], созданной специально для изучения воздействия СВ на магнитосферу и тестирования моделей прогноза. В ней спутниковые измерения усреднены на пятиминутном интервале и затем на часовом. Из точки измерения данные спроецированы на присоединенную удар- ную волну перед магнитосферой. Подчеркнем, что за счет проекции в данные вносится ошибка, особенно в значения ММП. Выбор и настройка прогнозирующих моделей проводились на различных временнх интервалах 1998–2007 гг. длительностью 500–1000 ч, содержащих Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 2 147 мощные магнитные бури. Выбор структуры модели рассматривался для прогноза на один час вперед и включал следующие вопросы: выбор порядка модели n, сравнение точности линейной и нелинейной моделей, влияние на точность моде- ли входных переменных. В качестве основных входных переменных использова- ны значения yy VBE  и кинетического давления 2V СВ. Проведено прогнози- рование Dst-индекса на несколько часов вперед и рассмотрена зависимость точ- ности прогноза от его долгосрочности. Все этапы численных исследований в рамках минимаксного подхода дополнены идентификацией моделей по МНК для сравнения результатов. Поскольку структура модели неизвестна, были рассмотрены линейные и не- линейные модели различного порядка n. Для выбора порядка модели применен критерий (27), в котором величина c соответствует максимальному отклонению прогнозируемого значения выходной величины на всем интервале данных. При этом средняя за весь период прогноза ошибка модели всегда меньше величи- ны .c Отметим, что модели, настраиваемые по МНК, на тех же данных дают одиночные отклонения, превышающие по модулю значение .c Несложно показать, что величина c при выбранном способе определения регрессоров является невозрастающей функцией порядка модели n. Характер за- висимости )(ncc   позволяет выбрать минимальный порядок модели n, прием- лемый для прогнозирования с максимальной ошибкой, не превышающей .c Как показывает имитационное моделирование, в котором вид уравнения системы из- вестен, )(nc после быстрого снижения выходит на участок почти постоянного значения — «полочку». При отсутствии помех достижение «полочки» свидетель- ствует о совпадении размерностей модели и динамической системы ,sysn а зна- чение c на ней практически равно нулю. Наличие помех искажает указанную за- висимость, при значительном уровне шума )(nc может выходить на «полочку» раньше .sysn При этом дальнейшее увеличение размерности модели практически не уменьшает величину .c В случае авторегрессионной прогнозирующей моде- ли, не содержащей входных воздействий, зависимость )(nc содержит несколько «полочек», число которых зависит от вида входного сигнала, а значение c на са- мой нижней «полочке» связано с уровнем помех измерения входной и выходной переменных. Характерный вид зависимостей )(nc для линейных моделей прогноза Dst-индекса на один час вперед )1( N приведен на рис. 2. Пунктирной линией отмечен график зависимости )(nc для модели без входов. Он выходит на первую «полочку» при размерности 5n и достигает последней «полочки» при 100n со значением 20c нТл. Сплошной линией отмечена зависимость )(nc для модели, содержащей входные воздействия zVB и .2V Добавление входных воз- действий существенно уменьшает максимальную ошибку прогноза, зависимость )(nc достигает «полочки» при .10n Таким образом, для прогнозирования Dst-индекса по входным воздействиям достаточно ограничиться линейной моде- лью порядка .20n Модель для Dst-индекса без входов достигает величины ,c соответствующей модели с входными воздействиями, при больших значениях n. 148 ISSN 0572-2691 В нелинейных моделях функция )(F аппроксимирована полиномами Колмогорова–Габора второго и треть- его порядков включительно. Допол- нительно исследованы модели, нели- нейные только по входным перемен- ным, поскольку, как указывалось в разд. 1, механизм запуска бури нели- нейный и связан только со значения- ми входных переменных. В послед- нем случае рассмотрены нелинейные модели с функцией  ),,,,,( 11 nssnss uuyyF  ),,,(~~~ 1110 nss r nsns uuTyayaa    (30) где )(rT ― полином Колмогорова–Габора степени r от координат векторов входных воздействий .,, 1 nss uu  Зависимости )(nc для нелинейных моделей Dst-индекса показаны на рис. 3: с учетом квадратичного (кривая «х2», отмечена треугольниками) и кубического (кривая «х3», ромбы) полиномов, а также квадра- тичной (кривая «u2», квадраты) и кубической (кривая «u3», кружки) нелинейно- стями только по входной переменной zVB СВ. Каждая из кривых имеет «полоч- ки», выход на которые определяет порядок нелинейной модели данной степени точности: для моделей с квадратичными нелинейностями она достигается при ,5n для кубической только по zVB при ,4n для кубической модели по всем переменным — при .6n Таким образом, в прогнозировании Dst-индекса можно ограничиться нелинейными моделями небольшого порядка. Отметим, что наименьшую максимальную ошибку c обеспечивают модели с учетом кубиче- ской нелинейности, что лишний раз подтверждает существенно нелинейный харак- тер магнитной бури. Результаты расчетов прогнозирования Dst-индекса для моделей с нелинейно- стью только по входным переменным свидетельствуют, что ошибка значительно уменьшается при включении в модель только небольшой предыстории их значе- ний к моменту прогнозирования. Проведены расчеты, в которых при одной и той же длине предыстории по индексу Dst последовательно увеличивалась длина ряда предыстории входных переменных. Они показали, что существенно увеличивает точность модели двухчасовая предыстория 2V и четырехчасовая предыстория zVB или .zB Эти результаты качественно согласуются с результатами анализа влияния параметров СВ на вектор состояния магнитосферы [17]. Среднеквадратичная и максимальная ошибки прогноза растут с увеличением времени прогноза N. Вид зависимости величины c от N представлен на рис. 4. Рост ошибки с возрастанием N идет практически линейно. Характер этих зависи- мостей означает, в соответствии с разд. 2, что время запаздывания в системе «СВ–магнитосфера» на используемых данных меньше одного такта, т.е. меньше одного часа. Значительные ошибки Dst-индекса ( 25c нТл), ограничивающие применение его прогноза в практических целях, возникают при прогнозировании на четыре часа вперед и более длительное время. 10 20 30 40 0 C , нТл 50 50 40 30 20 10 n Рис. 2 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 2 149 1 2 3 4 0 5 60 45 30 15 N, часы линейная 75 6 7 8 9 нелинейная C, нТл Рис. 4 На рис. 5 представлен пример прогнозирования Dst-индекса на два и четы- ре часа вперед во время сильной магнитной бури на интервале 2140–2180 ч 2001 г. Кривые двухчасового (серый цвет) и четырехчасового (пунктир) прогно- зов смещены влево относительно измеренного значения (сплошная черная кри- вая) на 2 и 4 шага для визуального различия. По величине среднеквадратичного отклонения (9 нТл и 12 нТл для прогноза на два и четыре часа соответственно) результат прогноза сравним с данными других авторов [5–9, 15], полученными с применением МНК, при этом максимальная ошибка 16c нТл при 2N и 32c нТл при .4N 0 – 200 – 300 – 400 Dst, нТл – 100 2140 2150 2160 2170 2180 t, часы 4 часа 2 часа Dst Рис. 5 Результаты прогнозирования показали, что применяемый для идентификации прогнозирующих моделей минимаксный подход в сравнении с МНК дает меньшую ошибку по максимальному отклонению. В то же время его среднеквадратичная ошибка больше, чем при применении МНК, поскольку содержит высокочастотную составляющую. Имитационное моделирование показало, что высокочастотная ошибка — неотъемлемое свойство моделей, параметры которых настраивались с помощью минимаксного подхода. Такое различие — естественное следствие раз- ных критериев настройки моделей. Заключение Исследована возможность прогноза Dst-индекса на время, большее, чем вре- мя распространения возмущений СВ от точки Лагранжа 1L до головной части магнитосферы. Доказано, что прогноз на период, больший этого времени, неиз- бежно содержит ошибку. На примере реальных данных показано, что максималь- ная ошибка прогноза линейно растет при превышении временем прогноза време- ни транспортного запаздывания. 2 4 6 8 0 1 40 30 20 10 n u2 u3 x2 x3 C, нТл Рис. 3 150 ISSN 0572-2691 К процессам, порождающим в СВ возмущения, способные вызвать магнит- ные бури, приводят активные процессы, развивающиеся в атмосфере Солнца. Им предшествует процесс перестройки ММП. Информация об этом в силу свойства вмороженности магнитного поля переносится СВ и в какой-то мере может сохра- няться в нем и использоваться как предвестник возникновения магнитной бури. Дополнительное исследование предвестников, возможно, позволит увеличить время прогноза магнитных бурь без заметного роста ошибки. Минимаксный подход способствует получению модели, которая дает мини- мальное значение максимальной ошибки на всем интервале прогнозирования, то- гда как МНК  минимальную среднеквадратическую ошибку. Применение каж- дого из методов дает разные значения параметров прогнозирующих моделей, что проявляется в различном характере поведения ошибки. К недостаткам настраива- емых по МНК моделей следует отнести наличие больших одиночных ошибок на фазе роста бури, а минимаксный подход приводит к появлению высокочастотных колебаний ошибки. Анализ физических процессов возникновения и развития суббурь и бурь сви- детельствует о триггерном гистерезисном механизме их развития. Достаточно точная аппроксимация этой функциональной зависимости с использованием по- линомиальных функций требует их большого количества и увеличивает число настраиваемых параметров. Чем большее число параметров, тем больший вре- меннóй интервал требуется для их оценивания в соответствии с критерием [42]. На большом временнóм интервале более вероятно проявление сезонных и других факторов, влияющих на Dst-индекс и не имеющих отношения к механизму разви- тия бури. Поэтому увеличение временнóго интервала для настройки модели мо- жет привести к ухудшению ее точности. Таким образом, для улучшения точности прогноза в модели целесообразно использовать функциональные зависимости, более адекватно отражающие триггерный механизм развития бури. Результаты моделирования показали нецелесообразность построения модели для краткосрочного прогноза магнитной бури, настраиваемой на всем временнóм интервале существования наблюдений за параметрами СВ и измерений Dst-ин- декса. На длительном интервале настройки проявляется действие неконтролируе- мых факторов, и в результате точность краткосрочного прогноза ухудшается. Поэтому представляется более плодотворным прогноз с использованием адаптив- ной прогнозирующей модели небольшой размерности, параметры которого непрерывно уточняются на скользящем временнóм промежутке. Авторы признательны академику В.М. Кунцевичу за плодотворное обсужде- ние работы и ценные замечания. І.О. Кременецький, М.М. Сальніков МІНІМАКСНИЙ ПІДХІД ДО ПРОГНОЗУВАННЯ МАГІТНИХ БУР (ПРОГНОЗУВАННЯ Dst-ІНДЕКСУ) Розглянуто розв’язок задачі прогнозування основного параметру магнітних бур, Dst-індексу, з використанням авторегресійних моделей та вимірювань параметрів сонячного вітру. На основі стислого аналізу фізичних процесів розвитку магнітної бурі розглянуто основні динамічні характеристики Dst- індексу. Детально розглянуто принципову можливість прогнозу Dst-індексу на час, більший, ніж час транспортного запізнювання поширення збурення сонячного вітру від точки виміру до головної частини магнітосфери. Запро- поновано та обґрунтовано мінімаксний підхід для ідентифікації параметрів цієї моделі. Проілюстровано застосування запропонованої методики на ре- альних даних. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 2 151 I.A. Kremenetskiy, N.N. Salnikov MINIMAX APPROACH TO MAGNETIC STORMS FORECAST (Dst INDEX FORECAST) Solution of forecast problem of main parameter of magnetic storms, Dst index, with a use of autoregressive models and measurements of solar wind parameters is under consideration. Basic dynamic characteristics of the Dst index response on input variables changes are described on the basis of brief analysis of physical pro- cesses following the magnetic storms. The principal possibility of Dst index fore- cast over the time longer than transport delay of solar wind propagation from the L1 point to magnetosphere is considered in detail. Minimax approach to identifica- tion of the model parameters is proposed and proved. An application of method is illustrated using real solar wind data. 1. Bothmer V., Daglis J.A. Space weather — physics and effects. — Chichester, UK: Springer and Praxis Publ., 2007. — 438 p. 2. Sckopke N. A general relation between the energy of trapped particles and the disturbance field near the Earth // J. Geophys. Res. — 1996. — 71. — P. 3125–3130. 3. Tsyganenko N.A., Sitnov M.I. Modeling the dynamics of the inner magnetosphere during strong geomagnetic storms // Ibid. — 2005. — 110. — A03208. 4. Gombosi T.I. et al. Solution-adaptive magnetohydrodynamics for space plasma. Sun-to-Earth simulations // Comput. in Sci. & Engineer. — 2004. — N 4. — P. 14–35. 5. Amata E., Pallocchia G., Consolini G. et al. Comparison between three algorithms for Dst predic- tions over the 2003–2005 period // J. Atmos. and Sol.-Terr. Phys. — 2008. — 70. — P. 496–502. 6. Wu J., Lundstedt H. Geomagnetic storm predictions from solar wind data with the use of dynamic neural networks // J. Geophys. Res. — 1997. — 102. — P. 14255–14268. 7. Wei H.L., Zhu D.Q., Billings S.A., Balikhin M.A. Forecasting the geomagnetic activity of the Dst index using multiscale radial basis function networks // Adv. Space Res. — 2007. — 40. — P. 1863–1870. 8. Парновский А.С. Метод регрессионного моделирования и его применение к задаче прогно- зирования космической погоды // Проблемы управления и информатики. — 2009. — № 3. — С. 128–135. 9. Яценко В.А., Черемных О.К., Кунцевич В.М., Семенив О.В. Идентификация моделей геомаг- нитной активности и прогнозирование космической погоды // Там же. — 2009. — № 6. — С. 114–124. 10. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. — М. : Наука, 1972. — 368 с. 11. Фомин В.Н. Методы управления линейными дискретными объектами. — Л. : ЛГУ, 1985. — 336 с. 12. Akasofu S.-I. Energy coupling between the solar wind and the magnetosphere // Space Sci. Rev. — 1981. — 28. — P. 121–190. 13. Daglis I.A. Ring current dynamics // Ibid. — 2006. — 124. — P. 183–202. 14. Burton R.K., McPherron R.L., Russell C.T. An empirical relationship between interplanetary con- ditions and Dst // J. Geophys. Res. — 1975. — 80. — P. 4204–4214. 15. Temerin M., Li X. Dst model for 1995–2002 // Ibid. — 2006. — 111, N A4. — A04221. 16. Ganushkina N.Yu., Liemohn M.W., Kubyshkina M.V. et al. Distortions of the magnetic field by storm-time current systems in Earth’s magnetosphere // Ann. Geophys. — 2010. — 28. — P. 123–140. 17. Fung S.F., Shao X. Specification of multiple geomagnetic responses to variable solar wind and IMF input // Ibid. — 2008. — 26. — P. 639–652. 18. http://lasp.colorado.edu/space_weather/dsttemerin/dsttemerin.html 19. http://rwc.lund.irf.se/rwc/dst/index.php 20. http://omniweb.gsfc.nasa.gov 21. Dalin P., Zastenker G., Paularena K., Richardson J. The main features of solar wind plasma cor- relations of importance to space weather strategy // J. Atmos. and Sol.-Terr. Phys. — 2002. — 64, N 5–6. — P. 737–742. 22. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. — М. : Наука, 1977. — 456 с. 23. Бэдсел Ч., Ленгдон А. Физика плазмы и численное моделирование. — М. : Энергоатомиз- дат, 1989. — 452 с. 152 ISSN 0572-2691 24. Днестровский Ю.Н., Кастомаров Д.П. Математическое моделирование плазмы. — М. : Наука, 1982. — 320 с. 25. Справочник по теории автоматического управления // Под ред. А.А. Красовского. — М. : Наука, 1987. — 712 с. 26. Стрейц В. Метод пространства состояний в теории дискретных линейных систем управле- ния. — М. : Наука, 1985. — 296 с. 27. Akaike H.A. A new look at the statistical model identification // IEEE Trans. Automat. Contr. — 1974. — 19, N 6. — P. 716–723. 28. Перельман И.И. Методология выбора структуры модели при идентификации объектов управления // Автоматика и телемеханика. — 1983. — № 11. — С. 5–29. 29. Степашко В.С. Потенциальная помехоустойчивость моделирования по комбинаторному алгоритму МГУА без использования информации о помехах // Автоматика. — 1983. — № 3. — С. 18–28. 30. Кунцевич В.М. О точности построения аппроксимирующих моделей при ограниченных по- мехах измерений // Автоматика и телемеханика. — 2005. — № 5. — С. 125–133. 31. Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределенности: гарантированные результаты в задачах управления и идентификации. — Киев : Наук. думка, 2006. — 264 с. 32. Кременецкий И.А., Сальников Н.Н. Нестохастический подход к определению размерности и параметров линейных авторегрессионных моделей по результатам измерения входных и выходных переменных // Международный научно-технический журнал «Проблемы управ- ления и информатики». — 2010. — № 1. — С. 63–75. 33. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. — М. : Мир, 1978. — 848 с. 34. Басараб М. А., Зелкин Е. Г., Кравченко В. Ф., Яковлев В.П. Цифровая обработка сигналов на основе теоремы Уиттекера–Котельникова–Шеннона. — М. : Радиотехника, 2004. — 60 с. 35. Треногин В.А. Функциональный анализ. — М. : Наука, 1980. — 496 с. 36. Söderström T. Errors-in-variables methods in system identification // Automatica. — 2007. — 43, N 6. — P. 939–958. 37. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез оптимальных и адаптивных систем управления. Игро- вой подход. — Киев : Наук. думка, 1985. — 248 с. 38. Veres S.M., Norton J.P. Parameter-bounding algorithms for linear error-in-variables models / Bounding Approaches to System Identification. — New York : Plenum Press, 1996. — P. 275–288. 39. Cerone V. Errors-in-variables models in parameter bounding // Ibid. — New York : Plenum Press, 1996. — P. 289–306. 40. Воеводин В.В. Линейная алгебра. — М. : Лань, 2006. — 400 с. 41. Ланкастер П. Теория матриц. — М. : Наука, 1973. — 280 с. 42. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. — М. : Наука, 1979. — 448 с. 43. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. — М. : Наука. — 1975. — 382 с. 44. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. — М. : Мир, 1973. — 470 с. 45. Сальников Н.Н. Точность оценивания параметров линейной регрессии при погрешностях в переменных // Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и ин- форматики». — 2010. — № 6. — С. 19–30. Получено 22.11.2010

Минимаксный подход к прогнозированию магнитных бурь (прогнозирование Dst-индекса)

Репозитарії

Схожі ресурси