Дискретное оптимальное управление дескрипторными системами с переменными параметрами

Розглянуто зосереджені та розподілені системи керування з дискретним часом, динаміка яких описується лінійними співвідношеннями з необмеженими операторними коефіцієнтами у гільбертових просторах. Системи дескрипторні в тому сенсі, що в цих співвідношеннях оператори при невідомих векторах можуть мати...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2011
Hauptverfasser:	Бондаренко, М.Ф., Власенко, Л.А., Руткас, А.Г.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2011
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Проблемы динамики управляемых систем
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207306
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Дискретное оптимальное управление дескрипторными системами с переменными параметрами / М.Ф. Бондаренко, Л.А. Власенко, А.Г. Руткас // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 3. — С. 5–12. — Бібліогр.: 21 назва. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-207306
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2073062025-10-06T00:08:24Z Дискретное оптимальное управление дескрипторными системами с переменными параметрами Дискретне оптимальне керування дескрипторними системами зі змінними параметрами The Discrete Optimal Control of Descriptor Systems with Variable Parameters Бондаренко, М.Ф. Власенко, Л.А. Руткас, А.Г. Проблемы динамики управляемых систем Розглянуто зосереджені та розподілені системи керування з дискретним часом, динаміка яких описується лінійними співвідношеннями з необмеженими операторними коефіцієнтами у гільбертових просторах. Системи дескрипторні в тому сенсі, що в цих співвідношеннях оператори при невідомих векторах можуть мати нетривіальні ядра. Встановлено умови однозначної розв’язності, описано множини початкових векторів та розв’язків, вивчено задачу оптимального керування з квадратичним функціоналом якості. We consider lumped and distributed control systems, whose dynamics is described by linear relations with unbounded operators in Hilbert spaces. The systems are descriptor in the sense that the operators in these relations can have nontrivial kernels. We found unique solvability conditions, described sets of initial vectors and sets of solutions, and studied optimal control problems with quadratic cost functional. 2011 Article Дискретное оптимальное управление дескрипторными системами с переменными параметрами / М.Ф. Бондаренко, Л.А. Власенко, А.Г. Руткас // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 3. — С. 5–12. — Бібліогр.: 21 назва. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207306 517.977.5 10.1615/JAutomatInfScien.v43.i5.10 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем
spellingShingle	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Бондаренко, М.Ф. Власенко, Л.А. Руткас, А.Г. Дискретное оптимальное управление дескрипторными системами с переменными параметрами Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто зосереджені та розподілені системи керування з дискретним часом, динаміка яких описується лінійними співвідношеннями з необмеженими операторними коефіцієнтами у гільбертових просторах. Системи дескрипторні в тому сенсі, що в цих співвідношеннях оператори при невідомих векторах можуть мати нетривіальні ядра. Встановлено умови однозначної розв’язності, описано множини початкових векторів та розв’язків, вивчено задачу оптимального керування з квадратичним функціоналом якості.
format	Article
author	Бондаренко, М.Ф. Власенко, Л.А. Руткас, А.Г.
author_facet	Бондаренко, М.Ф. Власенко, Л.А. Руткас, А.Г.
author_sort	Бондаренко, М.Ф.
title	Дискретное оптимальное управление дескрипторными системами с переменными параметрами
title_short	Дискретное оптимальное управление дескрипторными системами с переменными параметрами
title_full	Дискретное оптимальное управление дескрипторными системами с переменными параметрами
title_fullStr	Дискретное оптимальное управление дескрипторными системами с переменными параметрами
title_full_unstemmed	Дискретное оптимальное управление дескрипторными системами с переменными параметрами
title_sort	дискретное оптимальное управление дескрипторными системами с переменными параметрами
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Проблемы динамики управляемых систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207306
citation_txt	Дискретное оптимальное управление дескрипторными системами с переменными параметрами / М.Ф. Бондаренко, Л.А. Власенко, А.Г. Руткас // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 3. — С. 5–12. — Бібліогр.: 21 назва. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT bondarenkomf diskretnoeoptimalʹnoeupravleniedeskriptornymisistemamisperemennymiparametrami AT vlasenkola diskretnoeoptimalʹnoeupravleniedeskriptornymisistemamisperemennymiparametrami AT rutkasag diskretnoeoptimalʹnoeupravleniedeskriptornymisistemamisperemennymiparametrami AT bondarenkomf diskretneoptimalʹnekeruvannâdeskriptornimisistemamizízmínnimiparametrami AT vlasenkola diskretneoptimalʹnekeruvannâdeskriptornimisistemamizízmínnimiparametrami AT rutkasag diskretneoptimalʹnekeruvannâdeskriptornimisistemamizízmínnimiparametrami AT bondarenkomf thediscreteoptimalcontrolofdescriptorsystemswithvariableparameters AT vlasenkola thediscreteoptimalcontrolofdescriptorsystemswithvariableparameters AT rutkasag thediscreteoptimalcontrolofdescriptorsystemswithvariableparameters
first_indexed	2025-10-07T01:07:54Z
last_indexed	2025-10-07T01:07:54Z
_version_	1845283283695304704
fulltext	© М.Ф. БОНДАРЕНКО, Л.А. ВЛАСЕНКО, А.Г. РУТКАС, 2011 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 5 ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ УДК 517.977.5 М.Ф. Бондаренко, Л.А. Власенко, А.Г. Руткас ДИСКРЕТНОЕ ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДЕСКРИПТОРНЫМИ СИСТЕМАМИ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ Введение Различные постановки дискретных задач управления по-прежнему остаются в центре внимания исследователей, см., например, работы [1, 2]. В настоящей статье продолжаются начатые в [3] исследования задачи оптимального управления де- скрипторными сосредоточенными и распределенными системами с дискретным временем, но теперь параметры системы являются переменными. Дискретные си- стемы чаще всего получаются из непрерывных путем дискретизации времени, при этом для систем с распределенными параметрами пространственные переменные меняются непрерывно [4, гл. IV, § 2]. Если непрерывная система дескрипторная, т.е. ее динамика описывается дифференциальным уравнением, не разрешенным относительно старшей производной по времени (см. [5, 6], [7, примеры], [8, гл. 3, 7], [9, гл. 10] и др.), то соответствующая дискретная система также является дескрип- торной. Различные классы дискретных дескрипторных систем управления изуча- лись, например, в [10–12]. В статье используем следующую систему обозначений: X, Y, U — комплекс- ные гильбертовы пространства, ,\|\|\|\| X X , — соответственно норма и ска- лярное произведение в пространстве X, иногда индекс будем опускать; ],[ YX — пространство ограниченных линейных операторов из X в Y, ];,[][ XXX  YYY N  ...1 — декартово произведение пространства Y самого на себя; AKer — ядро оператора A, AIm — образ оператора A, A — оператор, сопря- женный к оператору A, E — единичный оператор. Рассмотрим дискретную динамическую систему управления в абстрактной форме ....,,1,0,1 NnuKfyByA nnnnnnn  (1) Здесь nn BA , — замкнутые линейные операторы, действующие из Y в X, с областями определения ,, nBA DD n причем совместная область определения }0{ nn BA DDD  не зависит от n; ];,[ XUKn  .Xf n Управление систе- мой (1) осуществляется с помощью управления .},...,,{ 1T 10  N N Uuuuu Со- отношения (1) описывают динамику сосредоточенных и распределенных систем. В случае сосредоточенной системы X, Y, U — конечномерные пространства и nnn KBA ,, — матрицы. В случае распределенной системы nn BA , — диффе- 6 ISSN 0572-2691 ренциальные операторы по пространственным переменным в бесконечномерных пространствах функций Y, X. В разд. 1 получены условия существования и единственности решения начальной задачи для системы (1), установлены явные формулы для решений (дискретный аналог формулы вариации постоянных). В разд. 2 для систем (1) ис- следуется задача оптимального управления с квадратичным критерием качества. Практическое применение полученных абстрактных теорем для конкретных со- средоточенных и распределенных систем иллюстрируется в приложениях. 1. Разрешимость и представление решений дескрипторных систем с переменными параметрами Исследуем вспомогательную систему ,...,,1,0,1 NnyByA nnnnn  (2) с начальным условием .0 y (3) Подобно системе из [3] со стационарными коэффициентами ,AAn  BBn  зада- ча (2), (3) заключается в отыскании состояний Dyy N ...,,1 и элемента ,1 DAyA NNN  которые удовлетворяют соотношениям (2), (3). Соответствую- щий блочный вектор 1T 10 ),...,,(  N N Yyyyy назовем решением задачи (2), (3) или траекторией системы. Замечание. Начальное условие (3) отличается от начального условия на вектор 0Ay в работе [3], где AAn  — постоянные операторы. В связи с этим результаты данной работы актуальны для систем с постоянными параметра- ми из [3]. С системой (2) связаны характеристические пучки операторов .nn BA  Предположим, что в некоторой замкнутой окрестности бесконечно удаленной точки 2C определены резольвенты ],,[)( 1 YXBA nn   для которых вы- полнены оценки ,...,,1,0,,)( 21 1 NnCCBA nn   (4) с положительными постоянными ,, 21 CC не зависящими от n. Предположение (4) позволяет воспользоваться методом спектральных проекторов типа Рисса и получить прямые разложения линеала D и пространства X (подробнее см. в [13, п. 2.3.1]): .,,1,0,)(, ,Ker,,, 1, 1 1,2,2, 2,1,2,1,2,1, NnXBADDBX DADDAXXXXDDD nnnnnnn nnnnnnnn      (5) Этим разложениям отвечают пары взаимно дополнительных проекторов ,1,nQ 2,nQ и 2,1, , nn PP в пространстве образов X и линеале прообразов )( YD  : .)( 2 1 ,)( 2 1 1 \|\| 1, 1 \|\| 1, 22 nnn C nnnn C n AdBA i PdBAA i Q           Операторы Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 7 DDXDBQAPBAG nGnnnnnnn  ,:2,2, отображают knD , в knX , ),2,1( k имеют ограниченные обратные ],,[1 YXGn  которые обладают следующими свойствами: ;,, 2,2, 1 1, 1 DddPdPBGdPdAG nnnnnnn   ., 2,2, 1 1, 1 nnnnnnn QQGBQGA   Разрешимость задачи (2), (3) устанавливается в следующей теореме. Теорема 1. Пусть справедливы оценки (4) и условия ,1,,1,0,2,12,2,1   NnDDP nnn  (6) .1,,1,0},0{)(Ker 1 1 11     NnDABAA nnnn  (7) Тогда для любого начального вектора D из начального условия (3) такого, что ,000 DAB  (8) задача (1), (3) имеет единственное решение. Доказательство. Согласно разложениям (5) система (2) распадается: .,,1,0,, 2, 1 2,1, 1 1, 1 11, NnQGyPQGyBQGyP nnnnnnnnnnnnnn    Введем операторы .1,,1,0,: 2,1 1,            NnDDD P P T n n n  (9) При выбранном начальном векторе 0y (3), удовлетворяющем ограничению (8), по- следовательность T 10 ),,,( Nyyy  является решением задачи (2), (3), если и только если выполняются соотношения .1,,1,0,, 12,1 1 1 1, 1 1, 1 1                  Nn QG QGyBQG ddyT nnn nnnnnnn nnnn  (10) Из условий (7) следует, что ,0}{Ker nT .1,,1,0  Nn  Существуют об- ратные операторы .1nT С помощью (6) устанавливаем, что область определения оператора 1 nT есть .Im 2,11,  nnn DDT Так как вектор nd в (10) принадлежит области значений оператора ,nT то однозначно находим .1 1 nnn dTy    Теорема доказана. Получим формулы, дающие представление решения задачи (2), (3) при вы- полнении условий теоремы 1. В силу (10) имеем ,1,,1,0,,ˆˆ 1  NnyGzzAz nnnnnnn  (11) .),(ˆ ,)0,(ˆ T 12,1 1 11, 11 1 1T 1, 11 1          nnnnnnnnn nnnnnnn QGQGTG GBQGTGA (12) Здесь 0 — нулевой оператор в пространстве Y. Нетрудно видеть, что ].[ˆ XAn  Введем эволюционное семейство операторов для явной системы (11): 8 ISSN 0572-2691 .,0,ˆˆˆ ,1 1 , EZNnjAAAZ nnjn n jk kjn       (13) Тогда решение неоднородной задачи (2), (3) записывается в виде дискретного аналога формулы вариации постоянных: .,,1],ˆ[ 1 0 1,000. 1 NnZyGZGy n j jjnnnn       (14) Для конечномерной дескрипторной системы «дискретные» формулы вариации по- стоянных в одном частном случае были установлены в [14] (см. также формулы (6.42) в [13]). Для явных систем эти формулы хорошо известны [15, гл. 1, § 2]. 2. Дискретная оптимизация с квадратичным критерием качества Как известно [16, 17], оптимальное управление дискретными динамическими системами заключается в нахождении последовательности управлений в дискрет- ные моменты времени, которые оптимизируют заданный критерий качества. Для оценки качества управления 1T 10 ),...,,(  N N Uuuuu системой (1), (3) опреде- лим функционал качества ,,,)( 11   NN UY uFuyyRuJ (15) где ],[ 11  NN YYR и ],[ 11  NN UUF — блочные операторы с блоками R ,}{ 0,, N jkjkR  ,}{ 0,, N jkjkFF  ],,[, YYR jk  ],,[, UUF jk  причем ,0R ,EF  .0 Задача оптимального управления состоит в нахождении минимума )(min 1 uJ NUu  (16) функционала качества (15) на траекториях )(uyy  системы (1), (3). Управление ,),...,,( T 10 Nuuuu   на котором достигается минимум (16), будем называть оптимальным управлением, а соответствующую траекторию )(   uyy — опти- мальной траекторией. Теорема 2. Пусть справедливы ограничения (4), (6), (7). Если выполнены условия ,Im,, 00000 DAKDAfBD  (17) то задача оптимального управления (15), (16) системой (1), (3) однозначно разрешима. Доказательство. Условия теоремы 1 выполнены для системы (1), (3) при любом управлении .),...,,( 1T 10  N N Uuuuu Поэтому компоненты ny един- ственного решения 1)(  NYuyy системы (1), (3) допускают представление в виде формул вариации постоянных (14) с обозначениями (12), (13) и .nnnn uKf  Пусть: ,ˆ, 1 0 1,000, 1 0               n j jjnnnn fZyGZGww ,),(ˆ T 12,1 1 11, 11 1      jjjjjjjjj fQGfQGTGf ,1],),0()0,([ˆ T 2, 11 1, T 1, 11 11, 1 , NnjQGTGZQGTGZGZ jjjjjnjjjjjnnjn       Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 9 ,0,0ˆ,0ˆ ,0,0  njNZZ jn ,1,),0(ˆ,0,)0,(ˆ T 2, 11 1, T 1,0 1 0 1 011, 1 0, NnQGTZNnQGTGZGZ nnnnnnnn     ],,[},,,{diag 11 10  NN N XUKKKK  ].,[ˆ],[}ˆ{ˆ 111 0,.    NNNN jnjn XUKZLXZZ Далее доказательство теоремы осуществляется по схеме доказательства тео- ремы 2 из [3]. С помощью блочного вектора 1T 10 ),...,,(  N N Ywwww и опера- тора ],[ 11  NN YUL решение системы (1), (3) и функционал )(uJ (15) записы- ваются как .,),()(, 11   NN UY uFuwLuwLuRuJwLuy Самосопряженный оператор ],[ 11   NN UURLLFM имеет ограниченный об- ратный оператор. Функционал )(uJ (15) достигает минимума на векторе u ,1 wRLM  который является единственным оптимальным управлением задачи (1), (3), (15), (16). Этот факт завершает доказательство теоремы. Как и в [3], из конструкции единственного оптимального управления следует, что соотношение 0  yRLFu выполняется тогда и только тогда, когда  uu есть оптимальное управление и yy  есть оптимальная траектория. Здесь для простоты рассмотрим случай ....,,1,Im NjDAK jj  (18) Пусть ;,;,0;}{ 1, 1 ,,0,, njZGnj jnnjnjn N jnjn     }.0,,...,,{diag,0;,)0,( 110 T 1, 11 1     NNjjjjj NjQGTG Тогда KL  и оптимальное управление находим из соотношения .,),,,(,0 1 0 , 1 1, T 10         N nj N k kkjjnjnN yRGZppppppKFu  Следуя терминологии [18], блочный вектор p назовем вектором сопряженных со- стояний системы (1), (3). Вектор сопряженных состояний p является единствен- ным решением сопряженной системы .0,1,,1,0,ˆ 0 ,1 1 11 * 1       N N j jjnnnnn pNnyRGpAp  (19) Таким образом, переходим к следующей теореме. Теорема 3. Пусть справедливы ограничения (4), (6), (7), (17), (18). Тогда за- дача (1), (3), (19) имеет единственное решение ,1  NYyy ,1 NXp .1  NUuu Вектор u является оптимальным управлением задачи (1), (3), (15), (16), а вектор y — соответствующим оптимальным решением. Оптималь- ное управление u однозначно определяется через вектор сопряженных состоя- ний p как .1 pKFu    10 ISSN 0572-2691 Приложение 1 Проиллюстрируем применение полученных результатов к сосредоточенным системам (1). Рассмотрим систему из работы [19] при наличии управления. Си- стема исследуется в пространстве 2 C XY . Операторы nn BA , задаются с по- мощью матриц .10, 10 01 , 1 2                 a,aB aa a A nnn n n Ограничения (4), (6), (7) выполняются, причем , 1 1 2 1 , 1 1 2 1 2,2,1,1,                      n n nnn n nn a a QP a a QP . 1 Lin, 1 Lin 2,1,                                nnnn a D a D Оператор ,: 241 CC  nT обратный оператору 42: CC nT (9), определяется с помощью псевдообратной матрицы   nnnn TTTT 1)( к матрице nT [20, c. 32–40]. Пусть nK — произвольные матрицы размеров ,2 m т.е. пространство U совпа- дает с .m C Предположим, что матрица ,0K вектор 0f и начальный вектор  (3) являются такими, что ,000 eK 0, 00  ef , где .)1,1( T 0 e Тогда в силу теоремы 2 при соответствующем выборе блочных матриц R, F в (15) задача опти- мального управления (1), (3), (15), (16) однозначно разрешима. Приложение 2 Приложение полученных результатов к распределенным системам (1) рас- смотрим на следующем примере системы дифференциальных уравнений с крае- выми условиями Дирихле: ,1,...,1,0,0)()0( ,...,,1,0,0)()()()()1( )( 1 2 2 1 2     Nnyy NnxxuKxfxyxyn dx xyd nn nnnnn n (20) где ,),0()(),( 22 LLxuxf nn  ][ 2LKn  и 20 )( Lxy  — заданная начальная функция. Исследуем задачу минимизации функционала качества        N n nn Lu dxxuxyuJuJ N 0 0 22 ])()([)(),(min 1 2 (21) на решениях системы (20), которые определим ниже. Пусть 2 2 2 2 ),0( WW  — пространство Соболева порядка 2 функций из .2L В комплексном пространстве 2LUXY  операторы nn BA , задаются в виде },0)()0(,)({ ),(, )( )()1( 2 2 2 2 2   zzWxzDD xzzB dx xzd xznzA A nn Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 11 а R, F являются единичными операторами в .12  NLUXY Решение системы (20) будем понимать как решение системы (1) с введенными выше операторами .,, nnn KBA Существует резольвента ,sin 1])1[( )( 1 22 1       m m nn mx mn z zBA .sin)( 2 , )1( 1 0 22       mxdxxzz nm m Ограничение (4) выполнено. Оператор 2,nP допускает продолжение с D на все ,2L и мы сохраняем это обозначение для продолженного оператора. Из представлений DDDxnADxnzzQzP nnnn n nn   2,1,2, 1 2,2, },)1{sin(LinKer,)1sin( вытекают соотношения (6), (7). Будем предполагать, что .0sin)]()([,0sin 0 000     xdxxfxyxK В силу теоремы 2 задача оптимального управления (20), (21) однозначно разрешима. Для применения теоремы 3 дополнительно предположим, что ,0)1sin(  xnKn .1...,,1  Nn Модели, удовлетворяющие ограничениям абстрактных теорем 1–3, также возникают при исследовании управляемого процесса фильтрации в трещинова- то-пористых породах (см. [6] и модификации этой модели в [13, 21]). В работе [3, Приложение 2] исследуется дискретный аналог модели фильтрации из [13]. Дискретизация времени в модели фильтрации из [8, гл. 7] приводит к новому классу дескрипторных дискретных систем, который заслуживает отдельного ис- следования. М.Ф. Бондаренко, Л.А. Власенко, А.Г. Руткас ДИСКРЕТНЕ ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ ДЕСКРИПТОРНИМИ СИСТЕМАМИ ЗІ ЗМІННИМИ ПАРАМЕТРАМИ Розглянуто зосереджені та розподілені системи керування з дискретним часом, динаміка яких описується лінійними співвідношеннями з необмеженими опера- торними коефіцієнтами у гільбертових просторах. Системи дескрипторні в то- му сенсі, що в цих співвідношеннях оператори при невідомих векторах можуть мати нетривіальні ядра. Встановлено умови однозначної розв’язності, описано множини початкових векторів та розв’язків, вивчено задачу оптимального ке- рування з квадратичним функціоналом якості. 12 ISSN 0572-2691 M.F. Bondarenko, L.A. Vlasenko, A.G. Rutkas THE DISCRETE OPTIMAL CONTROL OF DESCRIPTOR SYSTEMS WITH VARIABLE PARAMETERS We consider lumped and distributed control systems, whose dynamics is described by linear relations with unbounded operators in Hilbert spaces. The systems are de- scriptor in the sense that the operators in these relations can have nontrivial kernels. We found unique solvability conditions, describe sets of initial vectors and sets of so- lutions, study optimal control problem with quadratic cost functional. 1. Кунцевич В.М., Куржанский А.Б. Области достижимости линейных и некоторых классов нелинейных дискретных систем и управления ими // Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2010. — № 1. — С. 5–21. 2. Nusawardhana, Żak S.H., Crossley W.A. Discrete-time synergetic optimal control of nonlinear systems // Journ. of Guidance, Control and Dynamics. — 2008. — 31, N 6. — P. 1561–1574. 3. Бондаренко М.Ф., Власенко Л.А. Задача линейного квадратичного регулятора для дескрип- торных сосредоточенных и распределенных систем с дискретным временем // Междуна- родный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2010. — № 1. — С. 76–85. 4. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными парамет- рами. — М. : Наука, 1965. — 476 с. 5. Соболев С.Л. Задача Коши для частного случая систем, не принадлежащих типу Ковалев- ской // Докл. АН СССР. — 1952. — 82, № 2. — C. 205–208. 6. Баренблатт Г.И., Желтов Ю.П., Кочина И.Н. Об основных представлениях теории филь- трации однородных жидкостей в трещиноватых породах // Прикладная математика и меха- ника. — 1960. — 24. — C. 852–864. 7. Руткас А.Г. Задача Коши для уравнения )()()(' tftBxtAx  // Диф. уравнения. — 1975. — 11, № 11. — C. 1996–2010. 8. Ляшко С.И. Обобщенное управление линейными системами. — Киев : Наук. думка, 1998. — 465 с. 9. Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Оптимальное управление неоднородными распределенными системами. — Киев : Наук. думка, 2003. — 506 с. 10. Bender D.J., Laub A.J. The linear-quadratic optimal regulator for descriptor systems: discrete- time case // Automatica. — 1987. — 23, N 1. — P. 71–85. 11. Dai L. Singular control systems. Lecture notes in control and information sciences. — Berlin; Heidelberg; New York : Springer-Verlag, 1989. — 332 p. 12. Kurina G.A. Linear-quadratic discrete optimal control problem for descriptor systems in Hilbert spaces // Journ. of Dynamical and Control Systems. — 2004. — 10, N 3. — P. 365–375. 13. Власенко Л.А. Эволюционные модели с неявными и вырожденными дифференциальными уравнениями. — Днепропетровск : Системные технологии, 2006. — 273 с. 14. Бондаренко М.Ф., Власенко Л.А., Руткас А.Г. Периодические решения одного класса неяв- ных разностных уравнений // Доп. НАН України. — 1999. — № 1. — C. 9–14. 15. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. — М. : Мир, 1971. — 303 с. 16. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. — М. : Наука, 1973. — 448 с. 17. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. — М. : Наука, 1973. — 256 с. 18. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. — М. : Мир, 1972. — 415 с. 19. Bondarenko M.F., Rutkas A.G. On a class of implicit difference equations // Доп. НАН України. — 1998. — № 7. — C. 11–15. 20. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М. : Наука, 1966. — 576 с. 21. Rutkas A.G., Vlasenko L.A. Existence of solutions of degenerate nonlinear differential operator equations // Nonlinear Oscillations. — 2001. — 4, N 2. — P. 252–263. Получено 28.01.2011

Дискретное оптимальное управление дескрипторными системами с переменными параметрами

Institution

Ähnliche Einträge