Анализ условий управляемости и стабилизируемости нелинейных динамических систем

Обговорюється зв’язок між керованістю та стабілізованістю в нелінійних системах довільного порядку. Висвітлено умови стабілізованості з використанням методу Ляпунова, проведено аналіз критеріїв та методів синтезу стабілізації....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автор:	Онищенко, С.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2011
Назва видання:	Проблемы управления и информатики
Теми:	Проблемы динамики управляемых систем
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207307
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Анализ условий управляемости и стабилизируемости нелинейных динамических систем / С.М. Онищенко // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 3. — С. 13–24. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-207307
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2073072025-10-06T00:16:49Z Анализ условий управляемости и стабилизируемости нелинейных динамических систем Аналіз умов керованості та стабілізованості нелінійних динамічних систем Analysis of Controllability and Stabilizability Conditions of Nonlinear Dynamical Systems Онищенко, С.М. Проблемы динамики управляемых систем Обговорюється зв’язок між керованістю та стабілізованістю в нелінійних системах довільного порядку. Висвітлено умови стабілізованості з використанням методу Ляпунова, проведено аналіз критеріїв та методів синтезу стабілізації. The connection between controllability and stabilizability of nonlinear systems of arbitrary order is discussed. The conditions for stabilizability using Lyapunov methods are presented, and criteria and methods for stabilization synthesis are analyzed. 2011 Article Анализ условий управляемости и стабилизируемости нелинейных динамических систем / С.М. Онищенко // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 3. — С. 13–24. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207307 62-501.5 10.1615/JAutomatInfScien.v43.i5.20 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем
spellingShingle	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Онищенко, С.М. Анализ условий управляемости и стабилизируемости нелинейных динамических систем Проблемы управления и информатики
description	Обговорюється зв’язок між керованістю та стабілізованістю в нелінійних системах довільного порядку. Висвітлено умови стабілізованості з використанням методу Ляпунова, проведено аналіз критеріїв та методів синтезу стабілізації.
format	Article
author	Онищенко, С.М.
author_facet	Онищенко, С.М.
author_sort	Онищенко, С.М.
title	Анализ условий управляемости и стабилизируемости нелинейных динамических систем
title_short	Анализ условий управляемости и стабилизируемости нелинейных динамических систем
title_full	Анализ условий управляемости и стабилизируемости нелинейных динамических систем
title_fullStr	Анализ условий управляемости и стабилизируемости нелинейных динамических систем
title_full_unstemmed	Анализ условий управляемости и стабилизируемости нелинейных динамических систем
title_sort	анализ условий управляемости и стабилизируемости нелинейных динамических систем
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Проблемы динамики управляемых систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207307
citation_txt	Анализ условий управляемости и стабилизируемости нелинейных динамических систем / С.М. Онищенко // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 3. — С. 13–24. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT oniŝenkosm analizuslovijupravlâemostiistabiliziruemostinelinejnyhdinamičeskihsistem AT oniŝenkosm analízumovkerovanostítastabílízovanostínelíníjnihdinamíčnihsistem AT oniŝenkosm analysisofcontrollabilityandstabilizabilityconditionsofnonlineardynamicalsystems
first_indexed	2025-10-07T01:07:57Z
last_indexed	2025-10-07T01:07:57Z
_version_	1845283287515267072
fulltext	© С.М. ОНИЩЕНКО, 2011 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 13 УДК 62-501.5 С.М. Онищенко АНАЛИЗ УСЛОВИЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ И СТАБИЛИЗИРУЕМОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Введение Следует отметить, что в нелинейных (как, впрочем, и в любых динамиче- ских) системах ожидать влияния стабилизируемости на управляемость не прихо- дится. Ведь трактуя стабилизируемость, в частности, как активно обеспечивае- мую устойчивость системы, необходимо иметь в виду, что управлять можно как устойчивыми (стабилизированными), так и неустойчивыми объектами. Поэтому можно сформулировать следующее утверждение. Утверждение 1. Стабилизируемость системы никак не влияет на ее управля- емость, но управляемость влияет на стабилизируемость системы. В работе [1] показано, что для стабилизируемости нелинейных систем доста- точно стабилизируемости их линейных приближений при малых ограниченных нелинейных добавках, а для стабилизируемости линейных систем достаточно их управляемости. Таким образом, для стабилизируемости нелинейных систем ока- зывается достаточно управляемости их линейных приближений и ограниченности в малой окрестности нуля их нелинейных добавок. К сожалению, достаточный характер этих утверждений далеко не всегда удо- влетворяет исследователей. Остается открытым также вопрос об условиях стаби- лизируемости неуправляемых систем. 1. Анализ нелинейных систем Из множества нелинейных систем ),,,( uxtfx  ,)0( 0xx  зависящих от свободных параметров ,mu R будем рассматривать их подмножество ,),(),( uxtBxtfx  ,)0( 0xx  (1) с аддитивным управлением ,mu RU вектором состояния ,nx RΩ век- тор-функцией f, непрерывной в точке 0x и удовлетворяющей условию Липши- ца в области определения ,U и матрицей ,: mnnB ×RTR  ;nm  здесь U — некоторое выпуклое множество из mR и точкой обозначена операция дифферен- цирования по времени .),0[ 1 + RT t Если вектор-функция ),( xtf имеет ограниченные частные производные пер- вого порядка по всем компонентам ,kx ,,1 nk  вектора состояния x, то систе- ма (1) может быть приведена к квазилинейной матричной форме [2] ,),(),( uxtBxxtAx  ,)0( 0xx  (2) где .: nnnA ×RT×R  14 ISSN 0572-2691 Из ее возможного представления ),,,(00 uxtfuBxAx  ,)0( 0xx  в результате линеаризации в виде системы ,00 uBxAx  ,)0( 0xx  (3) с постоянными матрицами ,0 nnA ×R mnB ×R0 и нелинейной добавкой — век- тор-функцией ),,,( uxtf подчиняющейся условию ,),,( 11             k m k k n k uxuxtf ,const 1 + R (4) и разлагающейся в области ,Ωx Tt в ряды по степеням jk ux , с ограничен- ными коэффициентами, причем эти разложения начинаются членами не ниже второго порядка, можно получить линейное приближение (3) исходной систе- мы (2). Кроме систем (2), (3), будем также рассматривать их разомкнутые варианты ,),( xxtAx  ,)0( 0xx  (5) и соответственно ,0xAx  .)0( 0xx  (6) 2. Два подхода к стабилизируемости нелинейных систем Как уже отмечалось, для стабилизируемости систем (2) достаточно управля- емости соответствующих им систем (3), которые согласно известной теореме Калмана [3] выражаются через ранг матрицы управляемости nmnM ×R в виде nBABABABM n   ]...,,,,[rankrank 0 1 00 2 0000 (7) и определяется структурами двух матриц из (3): 0A и .0B Но стабилизируемость нелинейных систем не обязательно сводится к анализу их линейных приближений (3) при справедливости оценки (4). Условия стабили- зируемости можно получить, воспользовавшись, в частности, вторым методом Ляпунова в виде 0 WV (8) через две положительно-определенные квадратичные формы V и W, причем ),,()(0,),(),( ,),(0,)(),( TT T 2 T 1 T xtWxxxxxtQxxtW xxxtVxxxtDxxtV   (9) где V согласно (9) допускает бесконечно малый высший предел, а ее полная про- изводная V по времени t, вычисляемая на любых траекториях ),,()( 00 txtxtx  системы (2), удовлетворяет дифференциальному уравнению (8) или в предполо- жении усиленной устойчивости системы (2) — дифференциальному неравенству .0WV (10) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 15 В соотношениях (9) ;0,:/),(),({:, T TRT ×  tDDDxtQtDQD nn },,0,:T TΩRTR ×  txQQQ nnn :0const/)(,,{:, 21  ix ;2,1,1  ii + R + RRH 1:  n Ωx — функция класса H в смысле Хана: непрерывная, строго возрастающая и в нуле обращающаяся в нуль [4]}. Критерий стабилизируемости нелинейных систем на основании неравен- ства (10) можно получить в виде [5, 6] ,0)( TT  FQDADADF  (11) когда он сводится к отрицательной определенности матрицы (11) и определяется в отличие от (7) структурами четырех матриц: A, B, D и Q (к сожалению, структу- ра матрицы F как решения матричного уравнения 0T DFB (12) зависит от матрицы B неявно, так что аналитически их связь не прослеживается). Кроме того, наличие в условии (11), (12) матрицы D коэффициентов квадратич- ной формы V из (9) сообщает ему лишь свойство достаточности. И здесь уместно отметить, что в отличие от условия управляемости (7), кото- рое является для отвечающей ему системы (3) необходимым и достаточным, условия стабилизируемости нелинейных систем, определяемые через управляе- мость их линейных приближений или через отрицательную определенность вспо- могательной матрицы (11) с учетом (12), оказываются лишь достаточными. Проанализируем эти два подхода к исследованию стабилизируемости нели- нейных систем. Так, стабилизируемость линейных приближений (3) соответству- ющих нелинейных систем (2) всегда оказывается локальной [7] по самой проце- дуре линеаризации, тогда как стабилизируемость нелинейных систем на основе неравенства (10) уже допускает реализацию в глобальном аспекте [7, 8]. Далее, если в первом случае достаточность критерия стабилизируемости не- линейных систем обусловлена, главным образом, подменой исходных систем (2) их линейными моделями (3), то во втором случае эта достаточность вызвана наличием функций Ляпунова в условиях (11), (12), а любые критерии, связанные с функциями Ляпунова, оказываются достаточными. Поэтому если критерий ста- билизируемости выполняется, то система стабилизируема, а если нет, то о ее стабилизируемости ничего конкретного сказать нельзя. В связи с этим крите- рий (8) (или (10)) можно рассматривать как первый уровень анализа проблемы стабилизации, а условия его реализации — как последующие уровни анализа этой проблемы. Условиями реализуемости критериев (8), (10) (необходимыми и достаточны- ми) являются условия отрицательной определенности матрицы (11) с учетом (12) (второй уровень анализа проблемы) или применительно, например, к методам жесткого синтеза (МЖС) и положительного жесткого синтеза (ПЖС) — условия положительной определенности соответственно матриц j и j [5, 6, 9, 10]. Но, в свою очередь, все они реализуются через необходимые и достаточные условия Сильвестра (третий уровень анализа стабилизируемости систем). Поэтому, как 16 ISSN 0572-2691 нетрудно заметить, все эти условия реализации критерия стабилизируемости бу- дут необходимыми и достаточными лишь по отношению к нему, а относительно самой проблемы стабилизации системы они оказываются лишь достаточными в силу достаточности самого критерия (8) или (10). Наконец, как уже отмечалось, критерий стабилизируемости (7) обусловлива- ется исключительно структурой самой системы (3) (ее собственными матрицами 0A и )0B и ни от каких дополнительных факторов не зависит, в то время как условия (11), (12) определяются не только собственной структурой системы (2) (ее матрицами A и B), но и структурами привнесенных извне квадратичных форм (9) (их матриц коэффициентов D и Q), так что одна и та же система с разными функциями Ляпунова будет подчиняться различным условиям стабилизируемо- сти, существенно зависящим согласно (11), (12) от этих функций. Поэтому если об управляемости конкретной системы можно говорить как о свойстве, присущем именно этой системе, то о стабилизируемости системы можно говорить лишь от- носительно определенной квадратичной формы V, так что когда с какой-то одной квадратичной формой система не стабилизируема, то вполне возможно, что с дру- гой квадратичной формой она уже будет стабилизируемой, причем одним и тем же управлением .),( mxxtCu RU (13) Возникает вполне уместный вопрос: а нельзя ли исключить в условиях ста- билизируемости (11), (12) матрицу D [11]? При положительном ответе условия стабилизируемости, избавившись от весьма обременительной зависимости от функции Ляпунова, возможно приобрели бы свойства необходимости и достаточ- ности, и тогда по аналогии с управляемостью можно было бы говорить о стабили- зируемости системы как о вполне объективном ее свойстве устойчивости безот- носительно к аппарату функций Ляпунова. Однако ситуация здесь далеко не оптимистична. Матрица nnD ×R коэффи- циентов положительно-определенной квадратичной формы V из (9) в силу своей симметричности DD T в общем случае имеет 2/)1( nn различных компонент ,ikd ,,1 nki  для исключения которых можно использовать n условий Сильве- стра положительной определенности матрицы 0D и j условий стабилизируе- мости системы (2). Учитывая [8, 9], ,       m n lj (14) когда n некратно m (здесь * — целая часть числа ,/ mn не превышающая его) или ,1 lj ,/ mnl  (15) если n кратно m. Нетрудно убедиться в справедливости соотношений (14), (15) для всех доста- точно конструктивных методов синтеза как нелинейных [12], так и линейных [13, 14] систем стабилизации, реализуемых, как правило, рекуррентными процедурами на 1j этапе. Но тогда получается, что из общего количества 2/)1( nn компонент матри- цы D с помощью указанных условий можно исключить jn  компонент, а p ком- понент останутся неисключенными. В общем случае будем иметь . 2 )1( j nn p    (16) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 17 Рассмотрим условия, когда p в (16) может быть равно нулю (все компоненты матрицы D исключаются). Для этого должны существовать целочисленные веще- ственные положительные решения квадратного уравнения ,022  jnn (17) следующего из (16) при .0p Рассмотрим сначала случай (14) и из (17) получим для n выражение 2 811 l n   (18) (здесь для обеспечения условия 0n перед квадратным корнем оставлен лишь знак плюс). Легко убедиться, что для целочисленных значений ...,4,3,2n чис- ло l в (18) должно принимать соответственно значения ...,,15,10,6,3,1l но при этом нельзя отыскать такие целочисленные значения ,1 nm  чтобы выполня- лись согласно (14) соотношения ,1 2       m ,3 3       m ,6 4       m ....,10 5       m Поэтому в случае n некратных m ни при каких значениях n и m в условиях стаби- лизируемости (11), (12) нельзя исключить все компоненты матрицы D. Рассмотрим далее случай (15) для n кратных m, когда уравнение (17) прини- мает вид ,02 2 12        n m n а его решения определяются формулой .8 2 1 2 1 2 1 2 2,1                 mm n (19) Для обеспечения их вещественности число m в подкоренном выражении (19) должно удовлетворять неравенству ,09,1 122 2   m что для целочисленных значений 1m оставляет для него единственное решение ,1m (20) соответствующее скалярному управлению. При 1m из (19) получаем ,11 n .22 n (21) В результате оказывается, что в принципе исключение всех компонент мат- рицы D в условиях стабилизируемости (11), (12) возможно, но лишь в случае скалярного управления согласно (20) для систем (кроме скалярного случая 1n в (21), не интересного из-за своей тривиальности) не выше второго порядка 2( n в (21)). 18 ISSN 0572-2691 Во всех остальных случаях исключение матрицы D из любых условий стаби- лизируемости оказывается невозможным, и эти условия остаются существенно зависимыми от используемых функций Ляпунова, а следовательно, сохраняют свою достаточность. 3. Стабилизируемость нелинейных систем частного вида Интересен результат, полученный в [15] для стационарных нелинейных систем ,)( Buxfx  ,)0( 0xx  (22) типа (1), заданных полиномиальными однородными векторными полями )(xf нечетной степени и постоянными векторными полями :}...,,,{ 21 mbbbB  их уп- равляемость достаточна для стабилизируемости. Но в общем случае это утвер- ждение ошибочно. Достаточно рассмотреть систему на торе, заданную линейно независимыми постоянными векторными полями, каждое из которых эргодично (задает обмотку тора). В этом случае система управляема, однако ее статическая характеристика пуста, а потому стабилизация такой системы невозможна [16]. При этом отметим, что статическая характеристика, например, системы (22) — это такое значение ,nxx R когда ,)( mxuu R обеспечивающее для x выполнение условия .0)()()(   xBuxfx (23) Тогда )0(1 x (24) называется статической характеристикой системы (22), причем очевидно, что она может состоять как из одной точки (24), так и из счетного множества дискретных точек ΩM  x равновесия системы, или же ),,( 00 txtxx   может пред- ставлять собой семейство пространственных кривых — заданных траекторий, на одной из которых стабилизируется рассматриваемая система. В то же время если статическая характеристика (24) не пуста, то в любой ее точке для двумерных нелинейных систем из управляемости всегда следует их стабилизируемость, причем она обеспечивается кусочно-гладкими обратными связями [15, 16] вида (13). Таким образом, справедливо следующее утверждение. Утверждение 2. Для любых нелинейных систем второго порядка на непу- стом множестве статической характеристики управляемость влечет их стабилизи- руемость. Для этих систем, единственных в своем роде (если не считать тривиальный скалярный случай), возможно, как уже отмечалось, полное исключение в услови- ях стабилизируемости матрицы коэффициентов квадратичной функции Ляпунова, когда в структуре условий стабилизируемости удается аналитически выделить в явном виде условия управляемости [17]. Для систем более высокого порядка вопрос о связи управляемости со стаби- лизируемостью остается, к сожалению, открытым, и влияние их статических ха- рактеристик (24) на эту проблему не прослеживается. 4. Необходимые условия стабилизируемости нелинейных систем В случае экспоненциальной стабилизации систем вида (3) справедлива сле- дующая теорема [18]: чтобы разомкнутая система (6), соответствующая (3), могла Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 19 быть -стабилизируемой относительно квадратичной формы V из (9), необходи- мо, чтобы число управлений m и число  неположительных квадратов [19] в разложении квадратичной формы ),(2)()( xVxVxR   вычисляемой на траекториях разомкнутой системы (6), были связаны неравен- ством .m Доказательство этой теоремы для линейных стационарных систем в [18] с использованием свойство пучка квадратичных форм [19] нетрудно обобщить на случай линейных нестационарных и нелинейных систем. Теорема. Для стабилизируемости нелинейной системы (2) относительно квадратичной формы (9) необходимо, чтобы число m возможных управлений в (2) было не меньше количества  неположительных квадратов в представлении псев- доквадратичной формы ,),(),(),( 2 1 2 1 k k i i yyxtWxtVxtR        (25) вычисляемой на траекториях x разомкнутой системы, например (5), в виде суммы квадратов псевдолинейных линейно независимых форм ,),( 1 sjs n s j xxtey    .,1 rj  (26) В (26) ,r где r — ранг квадратичной формы R из (25),  — количество положительных квадратов и ,0 причем  — количество отрицательных, а 0 — количество нулевых квадратов. Доказательство. Рассмотрим систему (2), замкнутую управлением (13) в виде ,)],(),(),([ xxtCxtBxtAx  .)0( 0xx  (27) Тогда, предполагая справедливость дифференциального неравенства (10) на любых траекториях системы (27), можно утверждать, что оно будет равносильно положительной определенности билинейной формы 0),(),,( TTT  CyxxCyxtRyxtRC (28) с учетом (25) на подпространстве .T xDBy  (29) Согласно лемме 1 из [6] для выполнения условия (28) на подпростран- стве (29) необходимо и достаточно, чтобы 00  такое, что 0 форма 0))((),,( TTT  yDxByDBxyxtRC ,nx R ,my R ,Tt (30) была положительно-определенной. Учитывая (28), соотношение (30) нетрудно переписать в виде ,0)()()(),( TTTTTTT  yDBCxxDBCyyyDxDBBxxtR (31) 20 ISSN 0572-2691 и поскольку условия стабилизируемости (28) или (30), (31) не должны зависеть от синтезируемого управления, то, полагая, например, в (31) DBC  [18], можно при- вести его на подпространстве (29) к эквивалентному условию 02),(),( TT  DxDBBxxtRxtRB ,0 (32) которое при этом становится необходимым и достаточным для выполнения нера- венства (10) на траекториях системы (2). Форма ),( xtRB из (32) в отличие от знакопеременной формы ),( xtR из (25) положительно-определенная, поэтому заменой переменных (26) она может быть приведена к сумме лишь положительных n квадратов. Будем иметь .),(),( 2 11            sis n s n i B xxtextR (33) С другой стороны, поскольку квадратичная форма ),( xtR в (32) согласно (25) в своем разложении имеет  n (34) положительных квадратов, а положительно-определенная форма DxDBBx TT с мат- рицей ,mnB ×R ,rank nmB  имеет ранг mr  и поэтому раскладывается на m положительных квадратов в виде ,),( 2 11 TT            sjs n s m j xxteDxDBBx (35) то, объединяя разложения (25), (33) и (35), получим из (32) с учетом (34) .),(2),(),( 2 11 2 11 2 11                               sjs n s m j sks n s n k sis n s n i xxtexxtexxte (36) В разложении (36) количество n положительных квадратов слева должно быть равно суммарному количеству mn  положительных квадратов справа в силу положительной определенности псевдоквадратичной формы (32) и ее свой- ства (33), так что из mnn  непосредственно следует .m (37) Отсюда количество управлений m должно быть равно (в предельном случае, не меньше) количеству  неположительных квадратов в разложении псевдоквадра- тичной формы (25) на траекториях разомкнутой системы (5). Теорема доказана. При этом следует заметить, что положительная определенность нестацио- нарных квадратичных форм в (28), (30)–(32) понимается в виде стандартного со- отношения [20] ,0),(  xtV если ,0)( ~ ),(  xWxtV (38) но чтобы не вводить дополнительных обозначений и не превращать неравенства (28), (30)–(32) в двойные, типа (38), они представлены в доказательстве теоремы в одинарном (символическом) виде. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 21 5. Зависимость условий стабилизируемости от вида функций Ляпунова В заключение анализа стабилизируемости нелинейных систем отметим, что в различных методах синтеза, правда, основанных на одной и той же функции Ляпунова, условия стабилизируемости любой фиксированной системы инвари- антны относительно применяемых методов синтеза, но зависят от используемой в них функции Ляпунова. Так, в МЖС нелинейных систем стабилизации [2, 9, 10] условия стабилизи- руемости сводятся, например, к условиям положительной определенности неко- торых матриц ,j ,/,1 mnj  одинаковых как для метода МЖС [9], так и для методов ПЖС [2, 10, 12]. В работе [6] показано, что они эквивалентны общим условиям (11), (12), которые при фиксированных параметрах и структуре системы (ее матрицах A и B) оказываются зависимыми лишь от матрицы D коэффициентов квадратичной формы V из (9). Аналогичный вывод относительно метода из [17, 12] получен в [11]. 6. Зависимость стабилизирующего управления от методов его синтеза Если при фиксированных матрицах DBA ,, и Q условия стабилизируемости оказываются во всех методах синтеза идентичными, то в отношении матриц управления C, синтезируемых этими методами, подобное утверждение не всегда справедливо. И дело здесь даже не в различных процедурах синтеза, например, матриц FC и C, в частности, в МЖС [9] и методах ПЖС [10], а также в любых других, но в том, что используемые в этих методах уравнения Ляпунова ,)()( T QDBCABCADD FF  QDBCABCADD  T)()( при почленном вычитании приводят к соотношению ,0)]([)( T  CCDBCCDB FF (39) которому в общем случае могла бы удовлетворять произвольная кососимметрич- ная матрица DSDCCDB F  )( .T SS  (40) В результате из (40) получается возможная зависимость между матрицами управления FC и C в виде ,SDBCBCF  показывающая структурные различия между ними, хотя тождественность матриц Q в обоих методах синтеза гарантирует одинаковое качество переходного процесса, ведь его интегральная оценка для обоих методов определяется выражением gdttxtxtW t   )),,(,( 00 0 при любых начальных возмущениях )0(0 xx  из области .),( 000 gxtW  Здесь ),( xtW задается соответствующей формулой (9), а также учитываются условия: }.const0,const0/,{:, 10100 ++ RR  gggggg 22 ISSN 0572-2691 Разумеется, равенству (39) могла бы удовлетворять не только кососиммет- ричная матрица S согласно (40), но и нулевая матрица, когда из (39) будем иметь ,0)( CCB F (41) но и тогда из (41), кроме тривиального случая ,CCF  возможна еще и зависи- мость ,KCCF  где K — некоторая матрица, столбцы которой являются собственными векторами нуль-пространства матрицы B. В общем случае матрицы управления C, обеспечивающие справедливость уравнения Ляпунова QDBCABCADD  T)()( для заданного множества матриц },,{ QD можно построить методом кососиммет- ризации в виде [9] )( 2 1 1 SQDDABC    .T SS  (42) Выражение (42) свидетельствует о существенной зависимости матрицы управления C от матриц QD, даже в пределах одного и того же метода синтеза. Для квадратных неособенных матриц B вида ,nnB ×R ,rank nB  1B (43) из (42) определяется искомая матрица управления ,)( 2 1 11         SQDDABC  (44) которая наиболее просто и исчерпывающе решает задачу стабилизации. В случае избыточного управления при ,nm  когда ,mnB ×R ,rank mnB  (45) из (42) имеем ,)( 2 1 1         SQDDABC  .)( 1TT   BBBB (46) Характерно, что формулами (44), (46) описываются точные значения матриц управления С, которые решают задачу стабилизации системы соответственно в случаях (43), (45) без привлечения условий стабилизируемости. Если же управление неполное при ,mnB ×R ,rank nmB  из (42) можно получить лишь приближенное значение матрицы управления в виде ,)( 2 1 1         SQDDABC  ,)( T1T BBBB   уточнение которой осуществляется любым конструктивным методом синтеза не- линейных систем, в частности [9, 10, 12, 17], рекуррентными процедурами при удовлетворении соответствующих условий стабилизируемости. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 23 Заключение В результате проведенного анализа можно сделать следующие выводы.  Стабилизируемость не влияет на управляемость системы (управлять можно как устойчивыми, так и неустойчивыми объектами).  Управляемость нелинейных систем в общем случае облегчает их стабили- зацию: для нелинейных систем не выше второго порядка на непустом множестве статической характеристики (24) управляемость влечет их стабилизируемость; для нелинейных стационарных систем любого порядка, заданных полиномиаль- ными однородными векторными полями )(xf нечетной степени и постоянными векторными полями ,jb ,,1 mj  управляемость достаточна для стабилизируемо- сти; наконец, в общем случае для стабилизируемости нелинейных систем любого порядка оказывается достаточно управляемости их линейных приближений. Та- ким образом, во всех этих случаях управляемость выступает в качестве достаточ- ных условий стабилизируемости.  Обратная связь, изменяя структуру системы, выполняет в ней роль управ- ления, обеспечивая попадание ее траекторий в желаемую область пространства, но при этом она также может влиять и на характер поведения этих траекторий, являясь как стабилизирующим, так и дестабилизирующим фактором.  Специфические условия стабилизируемости систем, не связанные с управ- ляемостью, появляются при использовании прямого метода Ляпунова в задачах синтеза систем стабилизации. Эти условия обусловлены применением функций Ляпунова и поэтому тоже оказываются только достаточными. Для одной и той же системы, но с различными квадратичными формами они будут разными, а с одина- ковыми квадратичными формами — инвариантны относительно процедур синтеза управления. Так что условия стабилизируемости фиксированной системы суще- ственно зависят от используемых функций Ляпунова.  Для стабилизируемости системы n-го порядка неполным управлением раз- мерности nm  необходимо, чтобы число m было не меньше количества неотри- цательных квадратов в разложении некоторой (в общем случае псевдоквадратич- ной) формы, построенной с использованием полной производной по времени положительно-определенной функции Ляпунова, рассматриваемой на любых тра- екториях разомкнутой системы.  Законы управления, синтезируемые различными методами, основанными на втором методе Ляпунова, будут обязательно различными при разных функциях Ляпунова и могут не совпадать, когда эти функции одинаковы. С.М. Онищенко АНАЛІЗ УМОВ КЕРОВАНОСТІ ТА СТАБІЛІЗОВАНОСТІ НЕЛІНІЙНИХ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ Обговорюється зв’язок між керованістю та стабілізованістю в нелінійних сис- темах довільного порядку. S.M. Onyshchenko ANALYSIS OF CONTROLLABILITY AND STABILIZABILITY CONDITIONS OF NONLINEAR DYNAMICAL SYSTEMS Connection between controllability and stabilizability of random order nonlinear sys- tems is discussed. 24 ISSN 0572-2691 1. Красовский Н.Н. Проблемы стабилизации управляемых движений // Дополнение IV к кн. А.Г. Малкина «Теория устойчивости движения». — М. : Наука, 1966. — С. 457–514. 2. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. — М. : Наука,1970. — 240 с. 3. Kalman R.E., Ho Y.C., Narendra K.S. Controllability of linear dynamical systems // Contributions to Differential Equations. — 1962. — 1, N. 2. — P. 189–213. 4. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. — М. : Мир, 1980. — 302 с. 5. Онищенко С.М. Об условиях стабилизируемости в методах жесткого синтеза систем стаби- лизации // Вопросы аналитической механики и ее применений / Праці Ін-ту математики НАН України. Т. 26. — К. : Ин-т математики НАН Украины, 1999. — С. 257–276. 6. Онищенко С.М. К проблеме стабилизируемости нелинейных систем // Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2011. — № 1. — С. 5–14. 7. Емельянов С.В., Коровин С.К., Никитин С.В. Глобальная управляемость и стабилизация нелинейных систем // Математическое моделирование. — 1989. — 1, № 1. — С. 51–90. 8. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез систем автоматического управления с помощью функ- ций Ляпунова. — М. : Наука, 1977. — 400 с. 9. Онищенко С.М. Модальный подход к синтезу нелинейных систем стабилизации // Пробле- мы управления и информатики. — 1996. — № 6. — С. 5–19. 10. Онищенко С.М. Прямой подход к синтезу нелинейных систем стабилизации: метод прямо- го жесткого синтеза // Там же. — 2000. — № 3. — С. 17–25. 11. Яковлев О.С. Метод структурного синтеза нелинейных регуляторов // Там же. — 1996. — № 1-2. — С. 211–223. 12. Яковлев О.С. Структурный синтез эргатических систем стабилизации // Кибернетика и вы- числительная техника. — 1980. — Вып. 50. — С. 8–15. 13. Онищенко С.М. Прямой подход к синтезу нелинейных систем стабилизации: метод прямо- го жесткого синтеза линейных канонических систем стабилизации // Проблемы управления и информатики. — 2000. — № 4. — С. 49–58. 14. Новицький В.В. Декомпозиція та керування в лінійних системах. — К. : Ін-т математики НАН України, 1995. — 159 с. 15. Andreini A., Baccietti A., Stefani G. Global stabilizability of homogeneous vector fields of odd degree // Systems and Control Lett. — 1988. — 10. — P. 251–256. 16. Емельянов С.В., Коровин С.К., Никитин С.В. Управляемость нелинейных систем. Двумер- ные системы // Итоги науки и техники. Сер. Техн. кибернетика. — М. : ВИНИТИ. — 1987. — 21. — С. 3–69. 17. Яковлев О.С. Эргатические системы стабилизации // Технические эргатические системы / Под общ. ред. В.В. Павлова. — К. : Вища шк., 1977. — С. 178–259. 18. Якубович Е.Д. Экспоненциальная стабилизация линейных систем // Докл. АН СССР. — 1969. — 186, № 1. — С. 47–49. 19. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М. : Наука, 1967. — 576 с. 20. Малкин А.Г. Теория устойчивости движения. — М. : Наука, 1966. — 532 с. Получено 19.01.2011

Анализ условий управляемости и стабилизируемости нелинейных динамических систем

Репозитарії

Схожі ресурси