Геометрическая модель системы управления, представленная на поверхности комплексной ошибки

Розглянуто модель системи керування, що базується на обчисленні комплексної помилки і дозволяє встановити оптимальний закон керування об’єктом як рівняння геодезичної кривої на поверхні комплексної помилки. Визначено умову стійкості системи автоматичного керування на поверхні (просторі) комплексної...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автор:	Агамалов, О.Н.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2011
Назва видання:	Проблемы управления и информатики
Теми:	Проблемы динамики управляемых систем
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207308
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Геометрическая модель системы управления, представленная на поверхности комплексной ошибки / О.Н. Агамалов // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 3. — С. 25–41. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-207308
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2073082025-10-06T00:08:04Z Геометрическая модель системы управления, представленная на поверхности комплексной ошибки Геометрична модель системи керування, зображена на поверхні комплексної помилки Geometrical Model of Control System Presented on Complex Error Surface Агамалов, О.Н. Проблемы динамики управляемых систем Розглянуто модель системи керування, що базується на обчисленні комплексної помилки і дозволяє встановити оптимальний закон керування об’єктом як рівняння геодезичної кривої на поверхні комплексної помилки. Визначено умову стійкості системи автоматичного керування на поверхні (просторі) комплексної помилки. A mathematical model of a control system, based on calculation of a complex error, allowing to design an optimal control law of a plant as an equation of the geodetic curve on a complex error surface. The condition of control system stability on a complex error surface (space) is determined. 2011 Article Геометрическая модель системы управления, представленная на поверхности комплексной ошибки / О.Н. Агамалов // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 3. — С. 25–41. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207308 537.87 10.1615/JAutomatInfScien.v43.i5.30 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем
spellingShingle	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Агамалов, О.Н. Геометрическая модель системы управления, представленная на поверхности комплексной ошибки Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто модель системи керування, що базується на обчисленні комплексної помилки і дозволяє встановити оптимальний закон керування об’єктом як рівняння геодезичної кривої на поверхні комплексної помилки. Визначено умову стійкості системи автоматичного керування на поверхні (просторі) комплексної помилки.
format	Article
author	Агамалов, О.Н.
author_facet	Агамалов, О.Н.
author_sort	Агамалов, О.Н.
title	Геометрическая модель системы управления, представленная на поверхности комплексной ошибки
title_short	Геометрическая модель системы управления, представленная на поверхности комплексной ошибки
title_full	Геометрическая модель системы управления, представленная на поверхности комплексной ошибки
title_fullStr	Геометрическая модель системы управления, представленная на поверхности комплексной ошибки
title_full_unstemmed	Геометрическая модель системы управления, представленная на поверхности комплексной ошибки
title_sort	геометрическая модель системы управления, представленная на поверхности комплексной ошибки
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Проблемы динамики управляемых систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207308
citation_txt	Геометрическая модель системы управления, представленная на поверхности комплексной ошибки / О.Н. Агамалов // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 3. — С. 25–41. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT agamalovon geometričeskaâmodelʹsistemyupravleniâpredstavlennaânapoverhnostikompleksnojošibki AT agamalovon geometričnamodelʹsistemikeruvannâzobraženanapoverhníkompleksnoípomilki AT agamalovon geometricalmodelofcontrolsystempresentedoncomplexerrorsurface
first_indexed	2025-10-07T01:08:03Z
last_indexed	2025-10-07T01:08:03Z
_version_	1845283293605396480
fulltext	© О.Н. АГАМАЛОВ, 2011 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 25 УДК 537.87 О.Н. Агамалов ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, ПРЕДСТАВЛЕННАЯ НА ПОВЕРХНОСТИ КОМПЛЕКСНОЙ ОШИБКИ Введение Анализ и синтез современных систем автоматического управления (САУ) направлены на разработку регуляторов, позволяющих обеспечить требуемое ка- чество установившихся и переходных режимов работы для объектов управления, структура и параметры которых могут быть неопределенными или определены не точно. Неточность представления объекта управления возникает вследствие не- возможности измерения всех его переменных состояния, при различных началь- ных условиях и ограничениях [1]. Закон управления для нелинейных объектов с неизвестной структурой и па- раметрами, использующий только входные и выходные сигналы, может быть рас- смотрен как уравнение геодезической кривой (далее геодезической) на поверхно- сти ,eS геометрические свойства которой определяются ошибкой управления и зависят от структуры и параметров объекта. Для одномерного объекта рассматри- вается поверхность комплексной ошибки управления [2], координаты точек кото- рой определяются в декартовой системе координат, действительная ось R которой совпадает с вектором входного сигнала (уставкой ),r а мнимая ось I смещена на угол 2/ и физически определяет запаздывание изменения вектора выходного сигнала в объекте управления. Соответственно для многомерного объекта управ- ления образуется множество поверхностей комплексных ошибок, определяемых между требуемыми парами векторов входных сигналов m и выходных сигналов n. Общая размерность состояний многомерного объекта определяется всеми рас- сматриваемыми парами «входной сигнал – выходной сигнал». Точка eSe 0 определяется положением радиус-вектора разности между вектором входного сигнала САУ (уставкой регулятора )0r и вектором выходного сигнала объекта управления 0y во введенной системе координат: .000 yre  Цель данной работы — определение поверхности (для одномерных САУ) и пространства (для многомерных САУ) комплексной ошибки, вычисляемой с ис- пользованием преобразования Гильберта (Hilbert Transform — НТ). В разд. 1 дан- ной работы, используя введенные определения, показана возможность расчета действительной и мнимой составляющих комплексной ошибки в декартовой си- стеме координат, а также мгновенного аргумента (фазы) и модуля комплексной ошибки в полярной системе координат, связанной с введенной декартовой систе- мой координат. Рассмотрена постановка задач анализа, идентификации и опти- мального управления объектом в параметрах внутренней геометрии поверхности комплексной ошибки. В разд. 2 представлена модель объекта управления на по- верхности состояний комплексной ошибки. Сформулированы условия устойчиво- сти САУ и функционал оптимального управления, определяющие геодезическую на поверхности комплексной ошибки. В разд. 3 рассматривается пример регуля- тора, использующего только действительную составляющую комплексной ошиб- ки для управления объектом первого порядка с транспортной задержкой, показы- 26 ISSN 0572-2691 вающий, однако, адаптивные и робастные свойства такого регулятора. В Заклю- чении рассмотрены основные направления дальнейших исследований для разра- ботки промышленного регулятора, использующего представление на поверхности и в пространстве комплексной ошибки, а также отражены основные положения, представленные в данной работе. 1. Поверхность и пространство комплексной ошибки САУ Описание динамической системы зависит от выбора переменных состояния и системы координат, в которых они рассматриваются. Современные САУ для оп- тимального управления, обеспечения их адаптивных и робастных свойств должны создаваться на основе алгоритмов, не требующих подробной априорной инфор- мации об объекте управления, способных выполнить идентификацию, структур- ную и параметрическую оптимизацию регулятора, основываясь на измерении только сигналов входов и выходов. В связи с этим важно отметить, что работа САУ зависит от точного знания не только того, что происходит в ней, т.е. от ве- личин входных и выходных сигналов, но и от того, когда это происходит, т.е. от временнх (фазовых) соотношений между изменениями выходных сигналов от- носительно входных [3]. Структура регулятора САУ определяется возможностью установки датчиков, измеряющих переменные состояния объекта и позволяющих сформировать необходимые обратные связи (ОС). Традиционное представление САУ с ОС по выходу объекта управления приведено на рис. 1 (r — уставка,  yrE — ошибка управления, u — управляющий вход, y — выход объекта управления, зависящий от переменных состояния x, d — возмущения (внешние или внутренние вследствие изменения параметров объекта), n — помехи измере- ния, y — измеряемый выход объекта управления). Регулятор Объект управления (x) Σ Σ r E – + u d y y + + Σ n + + Рис. 1 Так как ОС определяется взаимодействием отдельных элементов САУ, то существует фазовое запаздывание между сигналами выхода и входа (уставки). Для управления, основанном только на информации о соотношениях между изме- нениями величин и фаз входных и выходных сигналов САУ, введем определение комплексной ошибки. Определение 1. Комплексной ошибкой САУ называется разность между век- тором входа (уставки) r и вектором выхода ,y представленная на комплексной плоскости ,IR  где ось R определена направлением вектора входа (уставки) ,r а ось I смещена на угол 2/ в декартовой системе координат, что позволяет учесть запаздывание вектора выхода объекта управления y относительно входа (оси R). Формализованную запись можно представить в двумерном комплексном виде ,IR ejeyre   где 1j — мнимая единица, IR ee , — действи- тельная и мнимая составляющие комплексной ошибки в декартовой системе ко- ординат. Фазовое запаздывание  САУ, действительная Re и мнимая Ie — состав- ляющие комплексной ошибки e в декартовой системе координат, а также мо- дуль e и аргумент  комплексной ошибки в полярной системе координат, опреде- ляются в соответствии с геометрическими соотношениями (рис. 2): Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 27 ;arcsinarctg                   y e er e I R I ; )(cos2 )(sin arcsin 22              yryr y ;cos)cos();cos(2222   eryeyryre R (1) .sin)sin(   eyeI Здесь r — модуль вектора входа (уставки), y — модуль вектора выхода объекта,  — фазовое запаздывание САУ, определяемое в декартовой системе коорди- нат , IR  — аргумент комплексной ошибки в полярной системе координат, определяющий показательную форму комплексной ошибки САУ . jeEE Фазовое запаздывание  САУ можно определить с помощью преобра- зования Гильберта [4], представляющего вход и выход в виде аналитических сиг- налов. Аналитический сигнал представ- ляет собой сумму двух ортогональных сигналов, все гармонические составляю- щие которых сдвинуты по фазе на 2/ и для которого могут быть определены огибающая, мгновенная фаза и частота [5]. Мнимая часть аналитического сигнала )(tZs комплексно сопряжена с его действительной частью )()(Re tstZs  и опреде- ляется преобразованием Гильберта (НТ): ].)([HT)(~)(Im tststZs  Соответственно аналитический сигнал определяется как ,)()(~)()( )(tja s etStsjtstZ  ,)(~)()( 22 tststS  . )( )(~ arctg)( ts ts ta  (2) Преобразование Гильберта осуществляет поворот начальных фаз всех ча- стотных составляющих сигнала на 2/ и при  t задается сверткой )(ts с функцией : 1 )(HT t t   . )(11 )()]([HT)(~           d t s t tststs (3) Функция t 1 называется ядром преобразования Гильберта, а интеграл в уравнении (3) с учетом существующего разрыва подынтегральной функции в осо- бой точке  ta определяется главным значением по Коши. Разность мгновен- ных фаз двух сигналов: )(1 ts и ),(2 ts может быть определена с помощью преоб- разования Гильберта [6] как . )(~)(~)()( )(~)()()(~ arctg)()( 2121 2121 2112 tstststs tstststs tt    (4) В случае одномерной САУ с входным сигналом r и выходным сигналом y раз- ность их мгновенных фаз I I  t y 0e 1e Re Δ r R Рис. 2 28 ISSN 0572-2691 . )(~)(~)()( )(~)()()(~ arctg)()( trtytrty trtytrty tt ryyr    (5) В случае многомерной САУ она имеет вид , )(~)(~)()( )(~)()()(~ arctg trtytrty trtytrty mnmn mnmn mn    (6) где m и n — соответственно входные и выходные сигналы САУ. Определение 2. Поверхность комплексной ошибки eS САУ одномерного объекта управления образуется множеством точек измеримых векторов ком- плексной ошибки ,e координаты которых определяются относительно вектора входного сигнала или уставки r САУ в системе координат, введенной в опреде- лении 1. Пусть 0e — вектор комплексной ошибки САУ, образующейся вследствие влияния возмущений и помех в начальный момент времени ,0t а )0( — область достижимости для всех векторов комплексной ошибки ie с центром 0 в конце пе- реходного процесса длительностью .1t Рассматривая изменение координат векто- ра комплексной ошибки 0e во времени ,10 ttt  получим кривую на поверхно- сти комплексной ошибки ,eS вложенной в трехмерное пространство ,3R в котором введена точка отсчета 0 с областью достижимости )0( и базис ),,,( tee IR которые в совокупности образуют декартову систему координат, лю- бая точка которой определяет состояние одномерной САУ. Образуемая кривая на поверхности комплексной ошибки определяется векторной функцией ))(),(()( teteete IR или системой уравнений ),(tee RR  ).(tee II  С учетом введенной дополнительной координаты — времени t достижения САУ области ),0( параметры комплексной ошибки будут определяться через измеренные ве- личины входного и выходного сигналов САУ и угол  между ними как ;)(cos2 22 0 2 000 2 0 2 0 2 0 teeyryre IR  ; )(sin arcsin 0 222 0 0             e ty (7) ;cos)(sin 2 0 22 0 22 0 2 0 2 0 teyeeR  ,sin)(sin 0 22 0 222 0 2 0  etyeI где 01 ttt  — время достижения САУ области ),0( которое, исходя из систе- мы (7), не должно превышать оценку ).(sin0  yt Поверхность комплексной ошибки eS с кривой (геодезической) G, проходя- щей от точки текущего состояния объекта, характеризующегося комплексной ошибкой ),( 000 ee или ),( 000 IR eee в момент времени ,0t к точке, определяю- щей требуемое состояние САУ )0( (область достижимости), в момент време- ни 1t показана на рис. 3. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 29 3R 0 t y 0e 0Ie 0Re 0Δ r R G I  eS )0( 1t t0 Рис. 3 Определение 3. Пространство комплексной ошибки eM САУ многомерного объекта управления образуется множеством поверхностей (листьев) в соответ- ствии с определением 2. Для каждой nm поверхности комплексной ошибки emnS многомерного объекта управления определяются декартовы системы коор- динат относительно общей для всех поверхностей области достижимости ).0( Комплексная ошибка )(temn САУ многомерным объектом определяется как век- торная разность между входным сигналом )(trm и выходным сигналом )(tyn в соответствии с (6) и (7). Таким образом, используя определения 1–3 для многомерного объекта управления, возможно отобразить его )( nmR  -мерное пространство во множество )( nm  поверхностей (листьев), рассматриваемых в координатах ),,,( tee IR т.е. .3 1 )( RR nm nm     Далее рассматривается постановка и возможные пути решения задач анализа, идентификации и оптимального управления одномерным объектом в параметрах внутренней геометрии поверхности комплексной ошибки САУ. Для поверхности комплексной ошибки САУ могут быть определены следу- ющие свойства: 1) достижимость — возможность движения САУ при управлении )(tu от точки текущего состояния объекта, характеризующегося комплексной ошибкой 0e к области (точке), определяющей требуемое состояние объекта на поверхности комплексной ошибки ),0( где -окрестность точки 0 определяет допустимую ошибку управления; 2) наблюдаемость — для каждого значения комплексной ошибки ie суще- ствует управление ,iu которое позволяет различать данную точку поверхности комплексной ошибки САУ между всеми ближайшими точками .je Данные свойства могут быть определены, если для поверхности (простран- ства) комплексной ошибки выполняются следующие аксиомы [7]: ).(,,),,(),(),( ,)5 ;),(,)4 );(,),,(),()3 ;0),( ,00),(,,0),(,0)2 );(,,),()1 2101220102121 111 211221 2121 2121 212121 ee ee ee ee ee MSeeeeeeeeeeeee RMSeee MSeeeeee eeee eeMSeeeee MSeeeeee       (8) Здесь ... — норма комплексной ошибки,  — расстояние между точками по- верхности eS или пространства eM комплексной ошибки. 30 ISSN 0572-2691 Совокупность свойств и параметров поверхности комплексной ошибки, ко- торые не изменяются при ее изгибаниях (деформациях без сжатий и растяжений), называют внутренней геометрией поверхности и определяют с помощью первой и второй квадратичных форм [8]. К таким параметрам поверхности относят: длины кривых, углы между кривыми, площади областей на поверхности, гауссову кри- визну поверхности и геодезическую кривизну кривой на поверхности. С точки зрения управления объектом нас интересует определение кривой G минимальной длины — геодезической [8] — между точкой 0e и областью ),0( лежащей на по- верхности комплексной ошибки .eS Тогда задача анализа при разработке САУ на основе двумерной комплексной ошибки сводится к определению внутренней гео- метрии и соответственно параметров первой (ПКФ) и второй (ВКФ) квадратич- ных форм поверхности, а задача синтеза состоит в определении закона оптималь- ного управления как уравнения геодезической, связывающего сигнал управления с уравнением геодезической, при условии, что данная геодезическая проходит че- рез точку 0e и область ).0( Таким образом, задача управления сводится к опре- делению движения радиус-вектора комплексной ошибки e на поверхности eS от граничной точки начального значения ,0e зависящего от произвольных возмуще- ний, воздействующих на объект управления, в начало введенной системы коорди- нат (область достижимости )0( за минимальное время и при минимально воз- можных колебаниях вдоль траектории движения радиус-вектора комплексной ошибки. Предполагаем, что поверхность комплексной ошибки односвязная, до- пускает непрерывные изгибания и имеет постоянную гауссову кривизну const,K а кривые на ней гладкие и допускают дифференцирование необходи- мое число раз, за исключением начала координат с окрестностью ).0( Идентификацию объекта управления можно осуществить на основе характе- ристик его поверхности комплексной ошибки, используя изометрию [8], т.е. пре- образование одной поверхности в другую с сохранением длин, углов, площадей. Для этого поверхность комплексной ошибки преобразуется в другую поверх- ность, имеющую более простую метрику, но равную ПКФ связанных поверхно- стей. ПКФ для поверхности комплексной ошибки по определению 2 представим в виде ,2 222 IIRR deGdedeFdeEdsI  (9) где ее коэффициенты определяются как частные производные радиус-вектора комплексной ошибки по действительной и мнимой составляющим: ,2 RReе RR e e e e e E        , IR ee IR ee e e e e F        .2 IIeе II e e e e e G        (10) Условие регулярности поверхности комплексной ошибки (существование произ- водной) определяется неравенством [8] .02  FGE (11) Поскольку по определению 2 компоненты комплексной ошибки Re и Ie ортого- нальны, то .0F Тогда условие регулярности 00 2 2 2 2        IR e e e e GE выпол- няется для всей поверхности комплексной ошибки, за исключением начала )0( выбранной системы координат. ПКФ описывает поверхность комплексной ошиб- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 31 ки в первом приближении, когда малый участок поверхности замещается участ- ком касательной плоскости. ВКФ описывает поверхность во втором приближе- нии, показывая отклонение от касательной плоскости, т.е. определяет кривизну поверхности комплексной ошибки: .22 22 IIRR deNdedeMdeLhII  (12) Здесь h — расстояние между точкой 0e поверхности eS с координатами ),( 00 IIRR deedee  и точкой Te касательной плоскости T с координатами ),( 00 IR ee с учетом знака / в зависимости от расположения точки .Te Коэф- фициенты ВКФ определяются как скалярные произведения: ),,( neL RRee ),,( neM IRee ),,( neN IIee (13) где n — единичный вектор нормали к поверхности комплексной ошибки в дан- ной точке. Классификация точек поверхности (пространственное строение окрестности точки) [8] комплексной ошибки по коэффициентам ВКФ может использоваться для идентификации объекта управления в малом (дифференциальная идентифи- кация): 1) точка 0e регулярной поверхности eS комплексной ошибки называется эллиптической, если дискриминант ВКФ в этой точке ;02  MNL 2) точка 0e регулярной поверхности eS комплексной ошибки называется ги- перболической, если дискриминант ВКФ в этой точке ;02  MNL 3) точка 0e регулярной поверхности eS комплексной ошибки называется параболической, если дискриминант ВКФ в этой точке 02  MNL при ;022  NL 4) точка 0e регулярной поверхности eS комплексной ошибки называется точкой уплощения, если в этой точке .0 MNL В точке уплощения объект управления не может быть идентифицирован, так как в ее окрестности невозмож- но определить характер изменения комплексной ошибки относительно касатель- ной плоскости. Кривизна поверхности комплексной ошибки определяется структурой и па- раметрами объекта управления, а также возмущениями, воздействующими на САУ. Кривая  на поверхности комплексной ошибки eS является геодезиче- ской в том и только в том случае, если главная нормаль в каждой ее точке, где кривизна отлична от нуля, совпадает с нормалью к поверхности eS в данной точ- ке, что соответствует равенству нулю ее геодезической кривизны в каждой точ- ке [8]. При этом через любую точку регулярной поверхности комплексной ошиб- ки в заданном направлении может проходить только одна геодезическая [8], что может использоваться для однозначного определения управления. Для этого на регулярной поверхности eS в малой окрестности точки 0e можно определить по- лугеодезическую систему координат (ПГСК) [8], т.е. такую систему координат, в которой координатные линии попарно ортогональны и одна из них — геодезиче- ская линия. Построим ПГСК в точке ,0e определяющей радиус-вектор комплекс- ной ошибки в момент времени ,0t проведя две ортогональные геодезические линии 1( и )2 на поверхности комплексной ошибки. Для этого проделаем следующее: 32 ISSN 0572-2691  определим точку 0e как начало ПГСК на поверхности комплексной ошибки и зададим произвольное направление d;  проведем через точку 0e в направлении d геодезическую 1 и определим на ней направление обхода;  каждая точка ie на геодезической 1 однозначно определяется длиной дуги iee0 со знаком  , если направление дуги совпадает с направлением обхода, и в противном случае — со знаком  ;  через каждую точку ie на геодезической ,1 ортогонально ей, проведем ориентированную геодезическую ,2 ориентация геодезической 2 непрерывно зависит от точки .ie Получаем семейство непересекающихся между собой геоде- зических 2 для различных точек ie геодезической 1 ;  каждая точка je поверхности комплексной ошибки, через которую прохо- дит одна из геодезических ,2 однозначно определяется длиной дуги jiee с определенным знаком ,/  а координаты ),(  однозначно определяют поло- жение точки je на поверхности комплексной ошибки во введенной ПГСК отно- сительно точки .0e Таким образом, длина  — натуральный параметр [8] на ,1 а длина  — натуральный параметр на 2 и обе отсчитываются от .0e Тогда ПКФ или метрика поверхности комплексной ошибки во введенной ПГСК определяется так [8]: ,),( 222  dGdds (14) где .0),0(,1),0(,0  GGG Если принять ,Re ,Ie получим .),( 222 IIRR deeeGdede  (15) Выражение для гауссовой кривизны в данной ПГСК G G G G K II ee)()(   [8], что приводит к дифференциальному уравнению вида 0 2    GK ee G II с посто- янным коэффициентом const.K Решение данного дифференциального уравне- ния и метрическая форма поверхности комплексной ошибки зависят от знака гауссовой кривизны: .0 ;)(0 ;)(cos0 22 222 222 IR IRR IRR dededldlK deeKchdedlK deeKdedlK    (16) Классификация метрической формы поверхности комплексной ошибки в за- висимости от знака гауссовой кривизны [8] может использоваться для идентифи- кации в большом («интегральная идентификация»).  .0K Поверхность комплексной ошибки локально изометрична сфере ра- диуса K 1 или области на сфере. Точки Ke данного типа регулярных поверхно- стей комплексной ошибки eS называются эллиптическими и соответствуют дис- криминанту ВКФ .02  MNL Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 33  .0K Поверхность комплексной ошибки локально изометрична псев- досфере радиуса K 1 или области на псевдосфере. Точки Ke регулярных поверх- ностей комплексной ошибки eS называются гиперболическими и соответствуют дискриминанту ВКФ .02  MNL  .0K Поверхность комплексной ошибки локально изометрична плоскости или области на плоскости. Точки 0Ke регулярных поверхностей комплексной ошибки eS называются параболическими и соответствуют дискриминанту ВКФ .02  MNL Таким образом, рассматривая локально поверхность комплексной ошибки, можно определить тип объекта управления: эллиптический, гиперболический, па- раболический. Рассмотрим далее задачу синтеза оптимального закона управления как уравнения геодезической кривой, проходящей на поверхности комплексной ошибки и включающего в себя сигнал управления, при условии, что данная геодезическая проходит через граничную точку 0e и область ).0( Решение задачи в предлагаемой постановке осуществляется для условий со свободной начальной точкой 0e и фиксированной областью )0( оптимизируемой траек- тории [9] при введении ограничений на функционал комплексной ошибки в следующем виде: 1) время T достижения радиус-вектором комплексной ошибки условия ),0(e где )0( — малая величина, определяющая точность управления, ;01 ttT  2) характер движения радиус-вектора комплексной ошибки по геодезической кривой ограничивается условием ,0 maxeei  где величина maxe задает максимально допустимые колебания в процессе достижения цели );0( 3) мощность управления .maxuu  Длина кривой L, определяемой движением радиус-вектора комплексной ошибки по ее поверхности, заданной параметрическими уравнениями в декарто- вой системе координат (ДСК) ),,( tee IR определяется ПКФ: ,))((2 ],,[),(),( 1 0 1 0 22 10 dt dt ed dt ed tegdteGeeFeEL tttteetee IR ij t t ItItRtRt t t IIRR     (17) где коэффициенты GFE ,, определяются в соответствии с (10), а ))(( tegij — метрический тензор [8], представляющий собой скалярное произведение каса- тельных векторов к Re -й и Ie -й криволинейным координатным линиям на по- верхности комплексной ошибки в точке их пересечения. Координатами вектора являются дифференциалы приращений Rde и .Ide Рассмотрев семейство геодезических линий, исходящих из точки 0e во всех направлениях, и зафиксировав одно из них (полярный угол ),0 представим ПГСК (14) в полярных координатах [8]. Тогда ПКФ запишем ,),( 22  dGdI (18) где  — радиус геодезической окружности (от точки ),0e а  — полярный угол, (рис. 4). 34 ISSN 0572-2691 0t 3R 0  y 0e 0Ie 0Re 0Δ r R I  eS  )0( 0t ПГСК G Рис. 4 Полугеодезическая полярная система координат, определенная в точке 0e поверхности комплексной ошибки ,eS показана на рис. 4. Для ПГСК в полярной форме (18) приведем длину кривой: .)())(),(()(],,[),(),( 1 0 22 10 dttttGtLttttt t t    (19) Необходимое условие оптимального управления на поверхности комплекс- ной ошибки определяется уравнениями Эйлера–Лагранжа [9]: )ПГСК(0,0 )ДСК(0,0                                                 LL dt dLL dt d e L e L dt d e L e L dt d IIRR   (20) Для гладкой кривой, образующейся при движении радиус-вектора комплекс- ной ошибки на параметрически заданной поверхности ))(),(( 000 tetee IR в декар- товой системе координат или ))(),((0 tte  в полярной системе координат, можно определить касательные векторные поля [7], задаваемые в каждой точке данной кривой: ., t e t e dt ed v t e e e t e e e dt ed v eP I I R R eD                         (21) Движение по геодезической G происходит без ускорения (с постоянной ско- ростью). Тогда если векторное поле (21) имеет постоянный модуль, то вектор его производной (т.е. ускорение) )(tve  ортогонален вектор-функции касательной. Не- обходимое условие оптимального управления, обеспечивающее движение по гео- дезической на поверхности комплексной ошибки — это равенство 0 скалярного произведения вектора (скорости), касательного к радиус-вектору поверхности комплексной ошибки в точке 0e и производной данного касательного вектора .0)(),( tvtv ee  Выражение для векторных полей (21) декартовой и полугеоде- зической систем координат на поверхности комплексной ошибки представим в виде Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 35 .0 , ,0 , 2 2 2 2 2 2 2 2                                                                             t e t e t e t e t e e e t e e e t e e e t e e e I I R R I I R R (22) Сигнал управления объектом является функцией координат, введенных на поверхности комплексной ошибки ),( IR eeu  или ).,( u Тогда можно определить обратные функции ),(ue RR  )(ue II  и ),(u ),(u позволяющие сформулировать условие (22) в виде ,0 )( )( )( )( , )( )( )( )( ,0 )( )( )( )( , )( )( )( )( 2 2 2 2 2 2 2 2                                                                                       t u u e t u u e t u u e t u u e t u u e t u u e t u u e t u u e I I R R I I R R (23) на основании которого определяется сигнал управления. Таким образом, для син- теза оптимального закона управления на поверхности комплексной ошибки необ- ходимо: 1) определить внутреннюю геометрию поверхности комплексной ошибки, рассчитав ПКФ и ВКФ в соответствии с (9), (12), (14), (16); 2) определить с помощью ПКФ и условия (20), уравнение геодезической линии на образующейся поверхности комплексной ошибки, проходящей от точки текуще- го состояния 0e к области, определяющей требуемое состояние системы );0( 3) определить с помощью условия (23) для уравнения геодезической линии на поверхности комплексной ошибки сигнал управления ),( IR eeu  или ),,( u в соответствии с данным условием сигнал управления должен фор- мироваться таким образом, чтобы скорость изменения радиус-вектора комплекс- ной ошибки была постоянна (т.е. касательный вектор был постоянным). 2. Модель объекта и его устойчивость на поверхности комплексной ошибки Управление объектом рассматривается как движение радиус-вектора ком- плексной ошибки e на поверхности от граничной точки ,0e зависящей от произ- вольных возмущений, воздействующих на объект управления, в начало введенной системы координат (область достижимости ))0( за минимальное время и при минимально возможных колебаниях вдоль траектории движения. Тогда модель объекта и задача оптимального управления им могут рассматриваться как задача Больца, имеющая смешанный функционал качества J [9]. Определение 4. Модель и задача оптимального управления одномерным объ- ектом на поверхности комплексной ошибки: 36 ISSN 0572-2691 .:;: ,:;: ),0()(,)( ,,,, min,))0(,,,())(),(),(,(),),(),(( ,0))0(,,,(),,,( 3333 333 100 3 10010 100 1 0 RRRRRgRRRRR RRRRLRRRRf teete RUuRSeRt tetgdttutetetLttueJ tetuetfe e t t           (24) Здесь eS — поверхность комплексной ошибки, определяемая структурой и пара- метрами одномерного объекта, 0e — радиус-вектор комплексной ошибки в начальный момент времени ;0t )0( — область достижимости с центром 0 в кон- це переходного процесса длительностью ;1t f — вектор-функция, моделирующая объект управления на поверхности комплексной ошибки; L — интегранд функци- онала качества J, определяющий траекторию движения радиус-вектора комплекс- ной ошибки в зависимости от управления u и границ 0e и );0( g, — вектор- функции, определяющие граничные условия задачи оптимального управления. Предполагаем, что все функции непрерывны и дважды дифференцируемы по всем множествам переменных .,, uet Вектор-функцию f, моделирующую объект на поверхности комплексной ошибки, также можно представить системой ска- лярных функций, определяемых в декартовых или полугеодезических полярных системах координат: .),0(:,),0(: ,:,: ),,0()(,)(,)(,)(,)(,,0 )],(),(,[)()],(),(,[)( )],(),(,[)(,])(),(,[)( RRRfRRRf RRRRfRRRRf tRtRtuRteRteRtt tuttftetuttfte tutetftetutetfte IR IR IIIRRR          (25) Устойчивость объекта управления, представленного на поверхности или в пространстве комплексной ошибки на интервале управления ,01 ttT  опреде- ляется интегральным уравнением .0)](),(,[ 1 0  tutetf t t (26) В соответствии с (26) и в отличие от классического определения устойчи- вость объекта рассматривается как динамический процесс с возможностью управ- ления на интервале ].,[ 10 tt В то же время по аналогии с классическим определе- нием устойчивости по Ляпунову [10] можно сформулировать следующее опреде- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 37 ление устойчивого установившегося режима (точки равновесия) объекта на по- верхности (пространстве) комплексной ошибки. Определение 5. Установившийся режим САУ устойчив (точка равновесия устойчива) на поверхности (пространстве) комплексной ошибки, если для любого данного момента времени 0t и любого положительного  существует положи- тельное ),( 0  t такое, что если  )()0()( 00 tete (в пределе ),0)0(  то  ),()0(),( 00 ttette (27) для всех моментов времени ,0tt  т.е. годограф радиус-вектора комплексной ошибки )(te при заданном начальном отклонении  с течением времени не вы- ходит за определенную границу . 3. Управление по комплексной ошибке объектом первого порядка с транспортной задержкой Рассмотрим объект управления первого порядка с транспортной задержкой , 1 )( sLp e sT K sW    (28) где s — независимая комплексная переменная, 1pK — коэффициент передачи в установившемся режиме, с1T — постоянная времени, с3,0L — транс- портная задержка. По его переходной характеристике при подаче ступенчатого сигнала на вход и наблюдении отклика на внешние возмущения методом CHR (Chien, Hrones, Reswick) [11] и последующей настройкой определены оптималь- ные значения коэффициентов пропорционально-интегрально-дифференциального (ПИД) регулятора: ,3K ,c1iT .c0452,0dT Дифференциальные уравнения САУ с объектом управления (28) и ПИД-регулятором интегрировались методом ode45 операционной среды SIMULINK системы инженерных и научных вычисле- ний MATLAB R2010a. Моделируемая САУ объектом управления первого порядка с транспортной задержкой показана на рис. 5. Для моделирования помех измерения САУ (шум) в соответствии с рис. 1 ис- пользовался блок Band-Limited White Noise c параметрами Noise power0,001, Sample time0,01, Seed23341. Возмущения по выходу объекта управления мо- делировались блоком Random Number с параметрами: Mean0, Variance0,001, Initial seed0. Схема ПИД-регулятора для управления объектом (28) показана на рис. 6. 1 Уставка Ступенчатый сигнал Шум   –  ПИД-регулятор e u 1 1 s Объект Задержка   Возмущение Выход Рис. 5 38 ISSN 0572-2691 1    Интегратор e s 1 Дифференциатор 1 u 3 K 1 Ti 0,0452 Td Сумматор 105,0 s s Рис. 6 Переходные характеристики САУ с настроенным ПИД-регулятором исследо- вались при заданной уставке 1r и подаче в момент времени c15t единично- го ступенчатого сигнала, а также при изменении параметров объекта управления (28) в диапазоне ,25,0 PK ,c)25,0( T .c)13,0( L Далее, для объекта управления (28) рассматривалась САУ с регулятором, использующим в качестве входного сигнала только действительную составляющую Re комплексной ошиб- ки (1), (7). Для измерения разности фаз на основе преобразования Гильберта меж- ду уставкой САУ и выходом объекта управления (28) в соответствии с (1), (7) раз- работана схема, использующая библиотеку блоков Signal Processing Blockset [12], показанная на рис. 7. 1 butter r 1 2 butter y Аналитический сигнал r Re Im Re Im Аналитический сигнал y      –   atan2 Рис. 7 Схема измерителя разности фаз между выходным и входным сигналами объ- екта управления (28) оформлена в виде блока Delta fi, используемого в регуляторе по действительной составляющей Re комплексной ошибки (рис. 8). Переходные характеристики САУ с ПИД-регулятором и регулятором по дей- ствительной составляющей Re комплексной ошибки при изменении номинальных параметров объекта управления (28) исследовались при тех же условиях, что и для настроенного ПИД-регулятора. Полученные переходные характеристики в первом и во втором случаях показаны в таблице. 1 r 2 delta fi y   r y delta fi cos – 1 u Рис. 8 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 39 Таблица Изменяемый параметр САУ с ПИД-регулятором САУ с регулятором по действительной составляющей Re комплексной ошибки 1 2 3 Номинальные параметры объекта (28) – 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 – 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Увеличение транспортной задержки c7,0L Потеря устойчивости – 40 – 30 0 10 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 – 20 – 10 20 30 40 Устойчивый переходный процесс с перерегулированием 0,5 о.е. в начальный момент – 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 3 Уменьшение коэффициента передачи 5,0PK Запаздывание выходного сигнала c10dt – 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Уменьшение выходного сигнала ≈ 0,7 раза по отношению к уставке – 0,2 0 0,2 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 50 Увеличение коэффициента передачи 2PK Потеря устойчивости – 40 – 30 0 10 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 – 20 – 10 20 30 40 50 – 50 50 Увеличение выходного сигнала ≈ 1,2 раза по отношению к уставке – 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 3 3,5 50 40 ISSN 0572-2691 Окончание таблицы 1 2 3 Уменьшение постоянной времени c5,0T Незатухающие колебания величиной до 1 о.е. и частотой ≈ 1 гц – 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 3 50 Устойчивый переходный процесс с перерегулированием 0,2 о.е. в начальный момент – 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Увеличение постоянной времени c2T Запаздывание выходного сигнала c2dt – 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Запаздывание выходного сигнала c2dt – 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Приведенные результаты показывают низкие адаптивные и робастные свой- ства САУ с ПИД-регулятором, настроенным для объекта управления с номиналь- ными параметрами, и приемлемые адаптивные и робастные свойства САУ с регу- лятором по действительной составляющей Re комплексной ошибки при измене- нии параметров объекта (28) в значительных диапазонах. Сигнал управления на выходе регулятора по действительной составляющей Re комплексной ошибки знакочередующийся с монотонно убывающим по абсолютной величине значени- ем (свойство сходимости управления), что соответствует принципам оптимально- сти: максимума Понтрягина и динамического программирования Беллмана [9]. На фазовой плоскости, отображающей комплексную ошибку и ее производную ,ee  сигнал управления формируется в момент .0e Выявленное в процессе вычислительных экспериментов расхождение переходной характеристики САУ от требуемой при изменении коэффициента PK объекта управления требует даль- нейших исследований всех потенциальных возможностей САУ, использующих представление на поверхности состояний комплексной ошибки. Заключение Данная публикация подтверждает перспективность разработки САУ, исполь- зующих для синтеза оптимального закона управления неопределенным объектом его поверхность комплексной ошибки. Приведены основные определения, функ- ционал качества САУ и определения устойчивости. Рассмотрена возможность идентификации объектов управления в зависимости от ПКФ и ВКФ поверхности комплексной ошибки. Некоторые вопросы разработки САУ с использованием комплексной ошибки требуют дальнейших исследований: 1) подробное математическое описание систем автоматического управления и объектов на поверхности и в пространстве комплексной ошибки, определение аналогий между введенными классами объектов управления на основе внутрен- ней геометрии поверхности комплексной ошибки и принятыми типами звеньев (пропорциональное, интегральное, дифференциальное); Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 3 41 2) анализ адаптивных свойств систем автоматического управления, исполь- зующих поверхность или пространство комплексной ошибки для синтеза опти- мального закона управления; 3) разработка подробного алгоритма синтеза САУ на поверхности или про- странстве комплексной ошибки; 4) разработка промышленных регуляторов, использующих в качестве опти- мального закона управления объектом уравнение геодезической кривой на по- верхности комплексной ошибки. Конечной целью работы должна быть разработка САУ, использующих простран- ство комплексной ошибки для синтеза оптимального закона управления, позволяю- щих дополнить, а при возможности и заменить лучшими характеристиками принцип ПИД-регулирования для управления не полностью определенными объектами. О.М. Агамалов ГЕОМЕТРИЧНА МОДЕЛЬ СИСТЕМИ КЕРУВАННЯ, ЗОБРАЖЕНА НА ПОВЕРХНІ КОМПЛЕКСНОЇ ПОМИЛКИ Розглянуто модель системи керування, що базується на обчисленні комплексної похибки і дозволяє встановити оптимальний закон керування об’єктом як рів- няння геодезичної кривої на поверхні комплексної похибки. Визначено умову стійкості системи автоматичного керування на поверхні (просторі) комплексної похибки. О.N. Agamalov GEOMETRICAL MODEL OF CONTROL SYSTEM PRESENTED ON COMPLEX ERROR SURFACE A mathematical model of control system, based on calculation of a complex error, allowing designing an optimal control law of a plant as an equation of the geodetic curve on a complex error surface. The condition of control system stability on com- plex error surface (space) is certain. 1. Гудвин Г.К., Гребе С.Ф., Сальгадо М.Э. Проектирование систем управления. — М. : БИ- НОМ. Лаборатория знаний, 2004. — 911 с. 2. Agamalov O.N. Design of control systems based on vector error // WSEAS Transactions on Sys- tems and Control. — 2009. — 4, N 9. — P. 476–485. — http://www.wseas.us/e-library/ transactions/control/2009/32-370.pdf. 3. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления / Пер. с англ. Б.И. Копылова — М. : ЛБЗ, 2002. — 831 с. 4. Hahn S.L. Hilbert transforms in signal processing. — Boston : Artech House, Inc., 1996. — 442 р. 5. Rabiner R., Gold B. Theory and application of digital signal processing. — NJ : Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1975. — 762 р. 6. Rosenblum M., Kurths J., Mayer-Kress G. Analyzing synchronization phenomena from bivariate data by means of the Hilbert transform // Nonlinear Analysis of Physiological Data. — Berlin : Springer, 1998. — P. 91–99. 7. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: методы и приложения. — М. : Наука, 1986. — 760 с. 8. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия: первое знакомство. — М. : Эдиториал УРСС, 2003. — 408 с. 9. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. — М. : Физматлит, 2005. — 384 с. 10. Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльмогльц Л.Э. Функции комплексного переменного. Опера- ционное исчисление. Теория устойчивости. — М. : Наука, 1968. — 416 с. 11. Chien K.L., Hrones J.A., Reswick J.B. On automatic control of generalized passive systems // Trans. ASME. — 1952. — 74. — P. 175–185. 12. Signal processing toolbox. User’s guide, Vers. 6.12. The MathWorks, Inc., 2009. Получено 17.08.2010 После доработки 12.01.2011 http://www.wseas.us/e-library/%0btransactions/control/2009/32-370.pdf http://www.wseas.us/e-library/%0btransactions/control/2009/32-370.pdf

Геометрическая модель системы управления, представленная на поверхности комплексной ошибки

Репозитарії

Схожі ресурси