Исследование абсолютной устойчивости нелинейных систем специального вида с последействием методом функций Ляпунова

Отримано достатні умови абсолютної стійкості нелінійних систем регулювання нейтрального типу. Побудовано оцінки експоненціального затухання розв’язків. Результати представлено у вигляді конструктивних алгебраїчних критеріїв. Апаратом дослідження обрано прямий метод Ляпунова з оригінальною функцією т...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2011
Main Authors:	Шатырко, А.В., Хусаинов, Д.Я.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2011
Series:	Проблемы управления и информатики
Subjects:	Проблемы динамики управляемых систем
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207320
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Исследование абсолютной устойчивости нелинейных систем специального вида с последействием методом функций Ляпунова / А.В. Шатырко, Д.Я. Хусаинов // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 4. — С. 7–20. — Бібліогр.: 14 назв.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-207320
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2073202025-10-07T00:05:33Z Исследование абсолютной устойчивости нелинейных систем специального вида с последействием методом функций Ляпунова Дослідження абсолютної стійкості нелінійних систем спеціального виду з післядією методом функцій Ляпунова Investigation of Absolute Stability of Nonlinear Special Type Systems with Aftereffect by Lyapunov Function Method Шатырко, А.В. Хусаинов, Д.Я. Проблемы динамики управляемых систем Отримано достатні умови абсолютної стійкості нелінійних систем регулювання нейтрального типу. Побудовано оцінки експоненціального затухання розв’язків. Результати представлено у вигляді конструктивних алгебраїчних критеріїв. Апаратом дослідження обрано прямий метод Ляпунова з оригінальною функцією типу Лур’є–Постнікова та додатковою умовою Разуміхіна. Sufficient conditions of absolute stability of nonlinear regulator systems of neutral type are obtained. Estimations of exponential damping of solutions are constructed. Results are presented in the form of constructive algebraic criteria. As the instrument of research the Lyapunov direct method with an original function of Lurie–Postnikov type and an additional condition of Razumikhin is chosen. 2011 Article Исследование абсолютной устойчивости нелинейных систем специального вида с последействием методом функций Ляпунова / А.В. Шатырко, Д.Я. Хусаинов // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 4. — С. 7–20. — Бібліогр.: 14 назв. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207320 517.929 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем
spellingShingle	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Шатырко, А.В. Хусаинов, Д.Я. Исследование абсолютной устойчивости нелинейных систем специального вида с последействием методом функций Ляпунова Проблемы управления и информатики
description	Отримано достатні умови абсолютної стійкості нелінійних систем регулювання нейтрального типу. Побудовано оцінки експоненціального затухання розв’язків. Результати представлено у вигляді конструктивних алгебраїчних критеріїв. Апаратом дослідження обрано прямий метод Ляпунова з оригінальною функцією типу Лур’є–Постнікова та додатковою умовою Разуміхіна.
format	Article
author	Шатырко, А.В. Хусаинов, Д.Я.
author_facet	Шатырко, А.В. Хусаинов, Д.Я.
author_sort	Шатырко, А.В.
title	Исследование абсолютной устойчивости нелинейных систем специального вида с последействием методом функций Ляпунова
title_short	Исследование абсолютной устойчивости нелинейных систем специального вида с последействием методом функций Ляпунова
title_full	Исследование абсолютной устойчивости нелинейных систем специального вида с последействием методом функций Ляпунова
title_fullStr	Исследование абсолютной устойчивости нелинейных систем специального вида с последействием методом функций Ляпунова
title_full_unstemmed	Исследование абсолютной устойчивости нелинейных систем специального вида с последействием методом функций Ляпунова
title_sort	исследование абсолютной устойчивости нелинейных систем специального вида с последействием методом функций ляпунова
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Проблемы динамики управляемых систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207320
citation_txt	Исследование абсолютной устойчивости нелинейных систем специального вида с последействием методом функций Ляпунова / А.В. Шатырко, Д.Я. Хусаинов // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 4. — С. 7–20. — Бібліогр.: 14 назв.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT šatyrkoav issledovanieabsolûtnojustojčivostinelinejnyhsistemspecialʹnogovidasposledejstviemmetodomfunkcijlâpunova AT husainovdâ issledovanieabsolûtnojustojčivostinelinejnyhsistemspecialʹnogovidasposledejstviemmetodomfunkcijlâpunova AT šatyrkoav doslídžennâabsolûtnoístíjkostínelíníjnihsistemspecíalʹnogoviduzpíslâdíêûmetodomfunkcíjlâpunova AT husainovdâ doslídžennâabsolûtnoístíjkostínelíníjnihsistemspecíalʹnogoviduzpíslâdíêûmetodomfunkcíjlâpunova AT šatyrkoav investigationofabsolutestabilityofnonlinearspecialtypesystemswithaftereffectbylyapunovfunctionmethod AT husainovdâ investigationofabsolutestabilityofnonlinearspecialtypesystemswithaftereffectbylyapunovfunctionmethod
first_indexed	2025-10-07T01:08:56Z
last_indexed	2025-10-08T01:03:45Z
_version_	1845373620152434688
fulltext	© А.В. ШАТЫРКО, Д.Я. ХУСАИНОВ, 2011 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 7 ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ УДК 517.929 А.В. Шатырко, Д.Я. Хусаинов ИССЛЕДОВАНИЕ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА В настоящей работе рассматриваются системы регулирования, описываемые дифференциально-разностными уравнениями нейтрального типа. Асимптотиче- ская устойчивость в целом нулевого решения такого вида систем называется аб- солютной устойчивостью. Исследование абсолютной устойчивости систем регу- лирования проводится по двум направлениям: во-первых — частотный метод, ко- торый получил развитие в работах [1, 2]; во-вторых — метод функций Ляпунова с функцией вида суммы квадратичной формы и интеграла от нелинейности [3, 4]. Как правило, системам регулирования присуще свойство последействия, обуслов- ленное техническими особенностями. И более адекватными моделями такого вида систем являются дифференциально-разностные уравнения с запаздыванием и нейтрального типа [5–7]. В последнее время активно развивается направление, связанное с неточно заданными коэффициентами систем регулирования, а именно систем с интервально заданными параметрами. Некоторые результаты исследова- ний по этому направлению получены в работах [8–13]. Абсолютная устойчивость систем прямого регулирования Рассмотрим системы нелинейных дифференциально-разностных уравнений с отклоняющимся аргументом нейтрального типа )),(()()()]()([ tbftBxtAxtDxtx dt d  ),()( T txct  .0t (1) Здесь ,)( nRtx  A, B, D — квадратные матрицы с постоянными коэффициентами, ,, nRcb  0 — постоянное запаздывание, )(f — непрерывная функция, удо- влетворяющая условию Липшица и .0)0( f Под решением системы подразумевае- тся кусочно-непрерывно-дифференцируемая функция ),(tx которая тождественно удовлетворяет системе (1) и начальным условиям ),()( ttx  ),()( ttx  где ),(t )(t — произвольные непрерывные функции, определенные при .0 t Определение 1. Будем считать, что нулевое решение системы нейтрального типа экспоненциально устойчиво в метрике ,0C если существуют постоянные ,0iN ,2,1i и 0 такие, что для любого решения )(tx уравнения при 0t выполняется неравенство , 2 1 exp])0()0([)( 21         txNxNtx  .0t (2) 8 ISSN 0572-2691 Определение 2. Считаем, что нулевое решение уравнения нейтрального типа экспоненциально устойчиво в метрике ,1C если оно устойчиво в метрике 0C и существуют постоянные ,0iR ,2,1i и 0 такие, что для любого решения )(tx уравнения при 0t выполняется неравенство , 2 1 exp])0()0([)( 21         txRxRtx  .0t (3) Здесь и в дальнейшем используются следующие векторные и матричные нормы: ,)}({ 2/1T max AAA  ,)()( 2/1 2 1            txtx i n i },)({max)( 0 tsxtx s   (4) ),(max  )(min  — наибольшее и наименьшее собственные числа соответствую- щих симметричных, положительно-определенных матриц. Определение 3. Система (1) абсолютно устойчива, если ее нулевое решение экспоненциально устойчиво при произвольной функции ),(f удовлетворяющей «условиям сектора» ,0)]([  fk .0k (5) В настоящей работе для исследования абсолютной интервальной устойчиво- сти используется функция Ляпунова вида Лурье–Постникова с экспоненциальным множителем             dfHxxetxV x t )(),( )( 0 T (6) с положительно-определенной матрицей H. Как следует из введенных векторных и матричных норм и условия (5), накладываемого на функцию ),(f для функ- ции (6) справедлива двусторонняя оценка . 2 1 )(),( ,),(),()( 2 maxmax 2 max 2 min ckHH xHetxVxHe tt    (7) Будем считать, что система без отклонения аргумента )),(()()()()( tfbtxBAtxDI dt d  ),()( T txct  ,0t асимптотически устойчива. Поскольку по условию ,1D то ее можно записать )),(()()()()()( 11 tfbDItxBADItx   ),()( T txct  .0t (8) И если матрица )()( 1 BADI   асимптотически устойчивая, то матричное урав- нение Ляпунова CBADIHHBADI   )()()]()[( 1T1 (9) при произвольной положительно-определенной матрице C имеет единственное решение — положительно-определенную матрицу H. Дальнейшие исследования Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 9 будем проводить с использованием функции Ляпунова вида (6) и условия Разу- михина [14] при оценке полной производной функции ),( txV вдоль решений си- стемы. Пусть   , tV — поверхность уровня ),( txV функции Ляпунова (6), а , tV — область в расширенном фазовом пространстве ,RRn  которую она ограничивает, т.е. },),(:),{( ,   txVRRtxV n t }.),(:),{( ,   txVRRtxV n t (10) Приведем ряд вспомогательных утверждений. Лемма 1. Пусть .)1(  mtm Тогда система уравнений нейтрального ти- па (1) эквивалентна системе уравнений с запаздыванием      )()()()()( 1 1 1 itxBDADtAxmtxDtx i m i m  ))(()( 1 0 1      itbfDmtBxD i m i m (11) с начальными условиями ),()( ttx  ),()( ttx  .0 t Доказательство. Перепишем систему (1) в виде )).(()()()()( tfbtBxtAxtxDtx   (12) Подставив вместо )( tx его значение, определенное аналогичной зависимостью )),(()2()()2()(  tfbtBxtAxtxDtx  получим следующую систему уравнений:  )()()()2()( 2 txBDAtAxtxDtx  )).(())(()2(  tfDbtfbtDBx Проделав еще одну итерацию, получим  )()()()3()( 3 txBDAtAxtxDtx   )3()2()( 2 tBxDtxBDAD )).2(())(())(( 2  tfbDtfDbtfb Пусть .)1(  mtm После 1m -итераций, получим соотношение (11). Лемма 2. Пусть для решения )(tx системы (1) при 0 s выполняется .)( sx Тогда при  t0 справедливо неравенство ,)1()(  LeBDtx .kcbAL  (13) Доказательство. Запишем систему (1) в интегральном виде .))](()()([)()0()( T 0 dssxcfbsBxsAxtDxxtx t   10 ISSN 0572-2691 Отсюда на промежутке  t0 будет выполняться   dssxcfbBsxADtx t ]))(()([)( T 0 .)()()1( 0 dssxkcbABD t  Используя неравенство Беллмана, получаем соотношение (13 ) леммы 2. Лемма 3. Пусть для производной функции ),( txV (6) вдоль решения систе- мы (1) )(tx при 0tt  выполняется неравенство ,)()()),(( 2 txNetxMettxV dt d tt   ,0M .0N (14) Тогда имеет место неравенство                      )( ),(2 1 exp)(),()( 0 max 0 tt H M txHtx     ),()2()( ),( maxmin max HM N H H ,)()( ),(2 1 exp})exp{( 00 max                            ttt H M t (15) где . )( ),( ),( min max H H H    Доказательство. Используя неравенства квадратичных форм (7), перепишем соотношение (14) в виде .)),(( )( )),(( ),( )),(( 2 1 minmax ttxVe H N ttxV H M ttxV dt d t           Решая полученное дифференциальное неравенство (типа уравнения Бернулли), получаем             )( ),(2 exp)),(()),(( 0 max 00 tt H M ttxVttxV     ),()2()( ),( maxmin max HM N H H .)( ),(22 1 exp 2 1 exp 0 max 0                                     tt H M tt Используя двустороннее неравенство квадратичных форм, имеем            )( ),(2 exp)(),()()( 0 max 0max 2 1 min 2 1 0 tt H M txHetxHe tt      ),()2()( ),( maxmin max HM N H H .)( ),(22 1 exp 2 1 exp 0 max 0                                     tt H M tt Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 11 Отсюда                      )( ),(2 1 exp)(),()( 0 max 0 tt H M txHtx     ),()2()( ),( maxmin max HM N H H ,)()( ),(2 1 exp})exp{( 00 max                            ttt H M t что и требовалось доказать. Лемма 4. Пусть для решения )(tx системы (1) для произвольного 0 су- ществует такое ,)1(  mTm что при Tt  будет ,)),(( ,  tVttx а при Tt  будет .)),(( ,  tVTTx Тогда    )0()1(2)()( 1 xDDTxTx m .)(),( 1     TxH D cbkBA (16) Доказательство. Перепишем систему (1) в виде )).(()()()()( tfbtBxtAxtxDtx   Проинтегрировав, получим .))](()()([)]2()([)()( dssfbsBxsAxtxtxDtxtx t t    Отсюда  )2()()()( txtxDtxtx .]))(()()([ dssfbsxBsxA t t    Учитывая ограничения, наложенные на функцию ),(f получаем  )2()()()( txtxDtxtx .])()()[( dssxBsxcbkA t t    Повторив аналогичную процедуру с запаздывающими членами, будем иметь  )3()2()()( 2 txtxDtxtx    dssxBsxcbkA t t ])()()[( .])()()[( 3 2 dssxBsxcbkA t t     12 ISSN 0572-2691 Пусть .)1(  mTm Проведя 1m итерацию, получим   )())1(()()( 1 mTxmTxDTxTx m .])()()[( )1( 2 0               dssxBsxcbkAD iT iT i m i Как следует из условия леммы, при Tt  будет ,)),(( ,  tVttx а при Tt  будет   , )),(( tVTTx и .)1(  mTm Поэтому, используя неравенства квадратичных форм, запишем .)(),())(())(()()( 2 max 2 min TxHTxVsxVsxH  Отсюда следует, что .)(),()( TxHsx  Получаем   })()0()0())1(({)()( 1 mTxxxmTxDTxTx m .)(),(][ 2 0 i m i DTxHcbkBA     Проведя еще одну итерацию и учитывая, что ,1D имеем .)(),( 1 )0()1(2)()( 1       TxH D cbkBA xDDTxTx m Лемма 5. Пусть для решения )(tx системы (1) для произвольного 0 су- ществует такое ,)1(  mTm что при Tt  будет ,)),(( ,  tVttx а при Tt  будет .)),(( ,  tVTTx Тогда     )1(2)0()1(2)()( 11 DDxDDTxTx mm  .)(),( 1 )0( 1 2                 TxH D cbkBA x D cbkBA (17) Доказательство. Перепишем систему (1) в виде )).(()()()()( tfbtBxtAxtxDtx   Вычитая из нее аналогичную систему в предыдущий момент времени, получим  )]()([)]2()([)()( txtxAtxtxDtxtx  ))].(())(([)]2()([  tftfbtxtxB Учитывая ограничения, накладываемые на функцию ),(f имеем  )2()()()( txtxDtxtx  .)2()()()()(  txtxBtxtxcbkA Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 13 Проведя еще одну итерацию, получим  )()()[()3()2()()( 2 txtxcbkAtxtxDtxtx  ].)3()2()2()([])2()(  txtxDtxtxBtxtxD Следующая итерация дает  )4()3()()( 3 txtxDtxtx   )2()()()([)( txtxDtxtxcbkA  )2()([])3()2( 2 txtxBtxtxD ].)4()3()3()2( 2  txtxDtxtxD Продолжая процесс, получаем   ])()0()0())1(([)()( 1 mTxxxmTxDTxTx m      ))1(()()( 2 0 iTxiTxDcbkA i m i .))2(())1(( 2 0     iTxiTxDB i m i Отсюда, используя неравенство (16) предыдущей леммы 4, имеем    )0()1(2)1()( 1 xDDTxTx m                    )(),( 1 )0()1(2 1 1 TxH D cbkA xDD D cbkA m .)(),( 1 )0()1(2 1 1                 TxH D cbkA xDD D B m Сложив два последних слагаемых, получим неравенство (17) леммы 5. Обозначим ,1 1 ],,,[ 2212 12 2 11             SS SkS HS T )],()[()]()[( 1T1 11 BADIHHBADIHS   ,])([ 2 1 ])[( 1 12 cIBAbDIHS   ,)( 1T 22 bDIc k S    (18) ,)()(2)( 1T1 1 BDIcckDIHBBR   ,)()(2)( 1T1 2 DDIcckDIHDDR   14 ISSN 0572-2691 , 1 D cbkBA K    , 1 ln 1 D  ,kcbAL  ]),,,,[()1( min  HSM }.)0()()0(])()({[ )1(2 221     xDRxKDRBR D D N  (19) Приведем утверждение об устойчивости нулевого решения системы (1) и со- ответственно оценки сходимости решений, полученные с использованием функ- ции Ляпунова (6) с дополнительным условием Разумихина [14]. Теорема. Пусть 1D и существует положительно-определенная матрица H и параметры ,0 ,0 , 1 ln 1 0 D  при которых матрица ],,,[ HS также положительно-определенная. Тогда при ,0 где , ),(])()([ )],,,[( 21 min 0    HKDRBRK HS (20) нулевое решение системы (1) абсолютно устойчиво в метрике .1C Кроме того, для произвольного решения ),(tx ,0t справедлива оценка сходимости   )0()1(),()( xBDHtx                         ),()2()( ),( )( ),(2 1 exp maxmin max max HM N H H t H M L ,)()( ),(2 1 exp}){(exp max                            t H M t (21) а для его производной              D t ex D B xtx 1 ln )0()0()(                   )0()1(),( 1 xBDH D BDAcbk A                        ),()2()( ),( )( ),(2 1 exp maxmin max max HM N H H t H M L .)()( ),(2 1 exp}){(exp max                                 t H M t (22) Доказательство. Перепишем систему (1) в виде )).(()]()([)]()([)()()()( tfbtxtxDtxtxBtxBAtxDI   Поскольку ,1D то ))}.(()]()([)]()([)(){()()( 1 tfbtxtxDtxtxBtxBADItx    (23) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 15 Вычислив полную производную функции Ляпунова вида (6) вдоль решений си- стемы (1), получим              dftHxtxettxV dt d t t )()()()),(( )( 0 T   )]()([)]()([)(){()[( 1 txtxDtxtxBtxBADIe t    )]()([)(){()()()())}](( 1TT txtxBtxBADIHtxetHxtfb t   )(){()())(())}(()]()([ 1T txBADIctfetfbtxtxD t ))}.(()]()([)]()([ tfbtxtxDtxtxB   Преобразуем данное выражение следующим образом:   HBADIHtxettxV dt d t T1T )]()[(){()),((   )(])[()]()([2)()]}()[( T1T1 tHxBDItxtxetxBADIH t   ))(()()(2)(]))][(()([2 1TT1 tfbDIHtxetHxDDItxtxe tt    )]()([)())(()()()())(( 1T1T txtxBDIctfetxBADIctfe tt   )]()([)())(( 1T txtxDDIctfe t  .)())(()( )( 0 21T             dfetfbDIce t tt Обозначим , )( ],,[ 0 22 T0 12 0 1211 0          SS SS HS ,)]()[( 2 1 ])[( 110 12 cBADIcbDIHS   bDIcS 1T0 22 )(  и перепишем это выражение в виде суммы квадратичной формы с «возмущениями»:   TT 0 T )))((),(](,,[)))((),(()),(( tftxHStftxettxV dt d t   )(]))][(()([2)(])[()]()([2 T1T1T tHxDDItxtxetHxBDItxtxe tt    )]()([)())(( 1T txtxBDIctfe t .)()]()([)())(( )( 0 1T     dfetxtxDDIctfe t tt  Используя так называемую S-процедуру и свойства (5) функции ),(f запишем данное выражение в виде 16 ISSN 0572-2691   TTT )))((),(](,,,[)))((),(()),(( tftxHStftxettxV dt d t   )(]))][(()([2)(])[()]()([2 T1T1T tHxDDItxtxetHxBDItxtxe tt    )]()([)())(( 1T txtxBDIctfe t ,))(( 1 )())(()]()([)())(( 1T         tf k ttfetxtxDDIctfe tt  (24) где матрица ],,,[ HS определена в (18). Рассмотрим каждое из «возмущений» в момент  mTm )1( в отдельности. 1. Используя лемму 4, для первого возмущения получаем оценку   )()()()()(])[()]()([ 1T1T TxTxTxDIHBTHxBDITxTx    )0()1(2[)( 11 xDDDIHB m .)(])(),( 1 TxTxH D cbkBA     (25) 2. Используя лемму 5, для второго возмущения имеем   )()()()()(]))][(()([ 1T1 TxTxTxDIHDTHxDDITxTx             )0( 1 )1(2)0()1(2)( 11 x D cbkBA DDxDDDIHD m  .)()(),( 1 2 TxTxH D cbkBA                 (26) 3. Вновь используя лемму 4, для третьего возмущения получаем   )]()([)())(( 1T TxTxBDIcTf   BDIcckTxTxTxBDIcck 1T1T )()()()()( .)(),( 1 )0()1(2 1               TxH D cbkBA xDD m (27) 4. Для четвертого возмущения имеем   )]()([)())(( 1T TxTxDDIcTf    )()()()( 1T TxTxTxDDIcck         )1(2)0()1(2)( 11T DDxDDDDIcck m  .)()(),( 1 )0( 1 2 TxTxH D cbkBA x D cbkBA                    (28) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 17 После подстановки оценок возмущений (25)–(28) в момент времени Tt  получаем   12 min )(2)()],,,[()),(( DIHBeTxHSeTTxV dt d TT                )()(),( 1 )0()1(2 1 TxTxH D cbkBA xDD m        )1(2)0()1(2)( 11 DDxDDDIHD m                      )()(),( 1 )0( 1 2 TxTxH D cbkBA x D cbkBA                )(),( 1 )0()1(2)( 11T TxH D cbkBA xDDBDIcck m        )0()1(2)( 11T xDDDDIcck m       )0( 1 )1(2 x D cbkBA DD .)()(),( 1 2 TxTxH D cbkBA                Используя обозначения (19), преобразуем записанное выражение к виду   2 min )()],,,[()),(( TxHSeTTxV dt d t    )(})0()()0(])()({[)1(2 221 1 TxxDRxKDRBRDDe mt  .)(),(])()([ 2 21 TxHKDRBRKe t   Отсюда получаем   2 21min )(}),(])()([)],,,[({)),(( TxHKDRBRKHSeTTxV dt d t .)(})0()()0(])()(){[1(2 221 1 TxxDRxKDRBRDDe mt     Пусть . ),(])()([ )],,,[( 21 min 0    HKDRBRK HS Положим 0 и обозначим ,/ 0 .10  Тогда справедливо   2 min )()],,,[()1()),(( TxHSeTTxV dt d T .)(})0()()0(])()(){[1(2 221 1 TxxDRxKDRBRDDe mT     18 ISSN 0572-2691 Поскольку по предположению ,)1(  mTm то , 11 1 ln 1 ln 1 D T D m m e D e D D     поэтому для оценки полной производной имеем . 1 ln 1 ,)(})0()()0(])()({[ 1 2 )(]),,,[()1()),(( 221 2 min D TxxDRxKDRBR D D e TxHSeTTxV dt d T T           (29) Используя обозначения (19), получаем, что выполняются условия (14) леммы 3. Поэтому при t справедливо неравенство                      )( ),(2 1 exp)(),()( 0 max tt H M txHtx     ),()2()( ),( maxmin max HM N H H .)()( ),(2 1 exp}){(exp 00 max                            ttt H M t Как следует из леммы 2, справедливо неравенство ,)0()1()(    LexBDx .kcbAL  Поэтому, положив ,0 t получим первое утверждение (21) теоремы. Покажем, что при выполнении условий теоремы экспоненциальная устойчи- вость будет и в метрике .1C Как следует из результатов леммы 1, для производ- ной )(tx в момент времени  mTm )1( будет выполняться соотношение       )()()0()( 1 1 1 iTxDBDATxAxDTx i m i m  .))(()0( 1 0 1       iTfbDxBD i m i m С учетом ограничений (5), накладываемых на функцию )),(( tf  ),()( T txct  получаем .)()()(  iTxckiTkiTf Отсюда     )(][)0()0()( 1 TxcbkDAxBDxDTx mm  .)(][ 1 1 1      iTxcbkDBDAD i m i (30) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 19 Подставив вместо )(Tx и )(  iTx их верхние оценки, записанные в (11), получим ,)(max 1 )0()0()( 0 1 sx D BDAcbk AxBDxDTx Ts mm                а поскольку ,)0()0()0()0( 1 ln 1 D T mm ex D B xxBDxD                то для любого t следует              D t ex D B xtx 1 ln )0()0()(                   )0()1(),( 1 xBDH D BDAcbk A                         ),()2()( ),( )( ),(2 1 exp maxmin max max HM N H H t H M L ,)()( ),(2 1 exp})exp{( max                                 t H M t т.е. неравенство (22) теоремы. Замечание 1. В условиях абсолютной устойчивости, сформулированных в теореме, требуется существование положительно-определенной матрицы H и па- раметров ,0 ,0 , 1 ln 1 0 D  при которых матрица ],,,[ HS также положительно определена. Нахождение конструктивных значений этих величин переходит в отдельную задачу нелинейной оптимизации. Замечание 2. В условиях теоремы накладываются ограничения на величину запаздывания , т.е. получены условия неравномерной по запаздыванию абсолют- ной устойчивости. А.В. Шатирко, Д.Я. Хусаінов ДОСЛІДЖЕННЯ АБСОЛЮТНОЇ СТІЙКОСТІ НЕЛІНІЙНИХ СИСТЕМ СПЕЦІАЛЬНОГО ВИДУ З ПІСЛЯДІЄЮ МЕТОДОМ ФУНКЦІЙ ЛЯПУНОВА Отримано достатні умови абсолютної стійкості нелінійних систем регулювання нейтрального типу. Побудовано оцінки експоненціального затухання розв’язків. Результати представлено у вигляді конструктивних алгебраїчних критеріїв. Апа- ратом дослідження обрано прямий метод Ляпунова з оригінальною функцією типу Лур’є–Постнікова та додатковою умовою Разуміхіна. A.V. Shatyrko, D.Ya. Khusainov INVESTIGATION OF ABSOLUTE STABILITY OF NONLINEAR SPECIAL TYPE SYSTEMS WITH AFTEREFFECT BY LYAPUNOV FUNCTION METHOD Sufficient conditions of absolute stability of nonlinear regulator systems of neutral type are obtained. Estimations of exponential damping of solutions are constructed. 20 ISSN 0572-2691 Results are presented in the form of constructive algebraic criteria. As the instrument of research the Lyapunov direct method with original function of Lurie–Postnikov type and an additional condition of Razumikhin is chosen. 1. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. — М. : Наука, 1978. — 400 с. 2. Нелинейные системы. Частотные и матричные неравенства / Под ред. А.Х. Гелига, Г.А. Леонова, А.Л. Фрадкова. — М. : Физматлит, 2008. — 608 с. 3. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. — М. : Л. : Гостехиздат, 1951. — 251 с. 4. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. — М. : Изд-во АН СССР, 1963. — 261 с. 5. Хусаинов Д.Я., Шатырко А.В. Метод функций Ляпунова в исследовании устойчивости дифференциально-функциональных систем. — Киев : Изд-во Киев. ун-та, 1997. — 236 с. 6. El-Kebir Boukas, Zi-Kuan Liu. Deterministic and stochastic time delay systems. — Boston; Basel; Berlin : Birkhauser, 2002. — 423 p. 7. Liao X., Yu P. Absolute stability of nonlinear control systems. — N.Y. : Springer Science+ Business Media B.V., 2008. — 390 p. 8. Шатирко А.В., Хусаінов Д.Я. Дослідження інтервальної стійкості диференціальних систем регулювання із запізненням за допомогою функціоналів Ляпунова–Красовського // Вісн. Київ. нац. ун-ту імені Тараса Шевченка. Фіз.-мат. науки. — 2009. — Вып. 3 — С. 212–221. 9. Шатирко А.В., Хусаінов Д.Я. Отримання умов абсолютної стійкості систем непрямого регу- лювання методом функціоналів Ляпунова–Красовського // Там же. — 2009. — Вип. 4. — С. 145–152. 10. Шатирко А.В., Хусаінов Д.Я. Абсолютна інтервальна стійкість диференціальних систем ре- гулювання нейтрального типу // Проблеми динаміки та стійкості багатовимірних систем. Зб. праць Ін-ту математики НАН України. — 2009. — 6, № 3. — С. 232–247. 11. Шатырко А.В., Хусаинов Д.Я. Абсолютная интервальная устойчивость систем непрямого регулирования нейтрального типа // Проблемы управления и информатики. — 2009. — № 3. — С. 5–16. 12. Оценки возмущений нелинейных систем непрямого регулирования нейтрального типа / А.В. Шатырко, Д.Я. Хусаинов, Й. Диблик, Я. Баштинец, А. Риволова // Кибернетика и вы- числ. техника. — 2010. — Вып. 160. — С. 72–85. 13. Оценки возмущений интервальных нелинейных систем непрямого регулирования нейт- рального типа / А.В. Шатырко, Д.Я. Хусаинов, Й. Диблик, Я. Баштинец, А. Риволова // Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2011. — № 1. — С. 15–29. 14. Разумихин Б.С. Устойчивость эредитарных систем. — М. : Наука. 1988. — 112 с. Получено 24.03.2011 Статья представлена к публикации членом редколлегии А.А. Чикрием.

Исследование абсолютной устойчивости нелинейных систем специального вида с последействием методом функций Ляпунова

Institution

Similar Items