К построению математических моделей квазилинейных дискретно наблюдаемых распределенных пространственно-временных систем
Розглянуто динаміку дискретно за входом та неперервно за виходом спостережуваного розподіленого просторово-часового процесу. Запропоновано алгоритми лінійної, нелінійної та наближеної ідентифікації інтегральної моделі такого процесу. Визначено умови точності та однозначності існування наближеного ро...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Назва видання: | Проблемы управления и информатики |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207322 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | К построению математических моделей квазилинейных дискретно наблюдаемых распределенных пространственно-временных систем / В.А. Стоян, Д.А. Голодюк // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 4. — С. 38–50. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-207322 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2073222025-10-07T00:13:57Z К построению математических моделей квазилинейных дискретно наблюдаемых распределенных пространственно-временных систем До побудови математичних моделей квазілінійних дискретно спостережуваних розподілених просторово-часових систем To the Construction of Mathematical Models for Quasilinear Discretely Observed Distributed Space-Time Systems Стоян, В.А. Голодюк, Д.А. Методы идентификации и адаптивного управления Розглянуто динаміку дискретно за входом та неперервно за виходом спостережуваного розподіленого просторово-часового процесу. Запропоновано алгоритми лінійної, нелінійної та наближеної ідентифікації інтегральної моделі такого процесу. Визначено умови точності та однозначності існування наближеного розв’язку задачі. The paper is focused on the dynamics of distributed space-time process, which is discretely observed at the input and continuously observed at the output. The algorithms of linear, nonlinear and approximate identification of the integral model of this process are suggested. The conditions of accuracy and uniqueness of existence of the approximate solution are determined. 2011 Article К построению математических моделей квазилинейных дискретно наблюдаемых распределенных пространственно-временных систем / В.А. Стоян, Д.А. Голодюк // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 4. — С. 38–50. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207322 517.95:519.86 10.1615/JAutomatInfScien.v43.i8.20 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Методы идентификации и адаптивного управления Методы идентификации и адаптивного управления |
| spellingShingle |
Методы идентификации и адаптивного управления Методы идентификации и адаптивного управления Стоян, В.А. Голодюк, Д.А. К построению математических моделей квазилинейных дискретно наблюдаемых распределенных пространственно-временных систем Проблемы управления и информатики |
| description |
Розглянуто динаміку дискретно за входом та неперервно за виходом спостережуваного розподіленого просторово-часового процесу. Запропоновано алгоритми лінійної, нелінійної та наближеної ідентифікації інтегральної моделі такого процесу. Визначено умови точності та однозначності існування наближеного розв’язку задачі. |
| format |
Article |
| author |
Стоян, В.А. Голодюк, Д.А. |
| author_facet |
Стоян, В.А. Голодюк, Д.А. |
| author_sort |
Стоян, В.А. |
| title |
К построению математических моделей квазилинейных дискретно наблюдаемых распределенных пространственно-временных систем |
| title_short |
К построению математических моделей квазилинейных дискретно наблюдаемых распределенных пространственно-временных систем |
| title_full |
К построению математических моделей квазилинейных дискретно наблюдаемых распределенных пространственно-временных систем |
| title_fullStr |
К построению математических моделей квазилинейных дискретно наблюдаемых распределенных пространственно-временных систем |
| title_full_unstemmed |
К построению математических моделей квазилинейных дискретно наблюдаемых распределенных пространственно-временных систем |
| title_sort |
к построению математических моделей квазилинейных дискретно наблюдаемых распределенных пространственно-временных систем |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Методы идентификации и адаптивного управления |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207322 |
| citation_txt |
К построению математических моделей квазилинейных дискретно наблюдаемых распределенных пространственно-временных систем / В.А. Стоян, Д.А. Голодюк // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 4. — С. 38–50. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT stoânva kpostroeniûmatematičeskihmodelejkvazilinejnyhdiskretnonablûdaemyhraspredelennyhprostranstvennovremennyhsistem AT golodûkda kpostroeniûmatematičeskihmodelejkvazilinejnyhdiskretnonablûdaemyhraspredelennyhprostranstvennovremennyhsistem AT stoânva dopobudovimatematičnihmodelejkvazílíníjnihdiskretnosposterežuvanihrozpodílenihprostorovočasovihsistem AT golodûkda dopobudovimatematičnihmodelejkvazílíníjnihdiskretnosposterežuvanihrozpodílenihprostorovočasovihsistem AT stoânva totheconstructionofmathematicalmodelsforquasilineardiscretelyobserveddistributedspacetimesystems AT golodûkda totheconstructionofmathematicalmodelsforquasilineardiscretelyobserveddistributedspacetimesystems |
| first_indexed |
2025-10-07T01:09:07Z |
| last_indexed |
2025-10-08T01:03:52Z |
| _version_ |
1845373627325743104 |
| fulltext |
© В.А. СТОЯН, Д.А. ГОЛОДЮК, 2011
38 ISSN 0572-2691
УДК 517.95:519.86
В.А. Стоян, Д.А. Голодюк
К ПОСТРОЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ
МОДЕЛЕЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНО
НАБЛЮДАЕМЫХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ
ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫХ СИСТЕМ
В настоящей работе рассматривается динамика дискретно по входу и непре-
рывно по выходу наблюдаемого распределенного пространственно-временного
процесса.
Предложенные в [1] и обобщенные в [2, 3] методы математического модели-
рования решений задач динамики линейных пространственно распределенных си-
стем, некорректно поставленных по количеству и качеству начально-краевых
условий, основаны на интегральных математических моделях этих задач. Вариан-
ты построения ядер таких моделей, рассматриваемые в [4, 5], основывались на
линейных дифференциальных моделях [4] системы и дискретно-непрерывных
наблюдениях за ней [5]. Ниже итерационный алгоритм построения ядер дискрет-
но по состоянию и непрерывно по распределенным возмущениям наблюдаемых
линейных динамических систем обобщается на квазилинейный случай. Исследу-
ются условия точного и оптимального (по среднеквадратичному критерию) при-
ближенного решения задачи.
1. Алгоритм линейной идентификации
Рассмотрим распределенную в ограниченной пространственно-временной об-
ласти ,),,(:),{( 010 SxxxstxST },][0,Tt динамическую систему, дис-
кретно наблюдаемую по состоянию )(sy в точках .,,1 Lss Зависимость значе-
ний )(= ll syy )1,=( Ll от внешне распределенного пространственно-времен-
ного возмущения )(su )( 0
TSs определим соотношением [4, 5]
sdsussGy l
TS
l )()(=
0
).1,=( Ll (1)
В [5] предложен итерационный алгоритм построения вектор-функции
)1,=),((col=)( LlssGsG l
по наблюдениям ),1,=,(col=
)()( Llyy
i
l
i
)()( su i
)1,=( ni состояния )(sy точек
ls )1,=( Ll системы и функции )(su распределенных пространственно-времен-
ных возмущений, которые это состояние сопровождают.
Согласно этому алгоритму k-е приближение )(sGk вектор-функции )(sG
определяется через предыдущее )(1 sGk приближение соотношениями
),()()(=)( 0000 suPUsvsuPYsG (2)
),()()(=)( suPUsvsuPYsG kkkk
,2,1,= k (3)
в которых при произвольных интегрируемых в
TS0 вектор-функциях
L
k Rsv )(
),2,1,,0=( k тождественно равных нулю, если
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 39
0>)()(=)()( )()(
1=
T
j
k
i
k
n
k
ji susususu ,is ,0
T
j Ss (4)
(знак обозначает операцию псевдообращения матрицы)
),,,(= )((1)
0
nyyY
)~,,~(=
)(
1
(1)
1
n
kkk yyY
1),( k
,=~ )(
1,
)(
10,
)()(
1
i
k
i
k
ii
k
yyyy
dssusGy
i
kk
S
i
k
)()(=
)(
10,1
0
)(
10, 0],,(= 0
0 SS (5)
dssusGy
i
kk
S
i
k
)()(=
)(
1,1
)(
1,
],[0,)\(= 0 TSRS (6)
,))(,),((=)( )((1)T sususu n
,)()(= T
0
dssusvU k
TS
k (7)
.)()(= T
0
dssusuP
TS
(8)
Функции )(
)(
10,
su
i
k
и ),(
)(
1,
su
i
k
введенные в (5), (6), выберем из условий
среднеквадратичного моделирования начально-краевых возмущающих факторов
в i-м )1,=( ni наблюдении за поведением системы, т.е. из
)(
1
)(
1,1
)(
10,1
0
=)()()()(
i
k
i
kk
S
i
kk
S
ydssusGdssusG
),1,=( ni (9)
где .)()(= )(
1
0
)()(
1
dssusGyy i
k
TS
ii
k При этом
,)()()(=)( )(
1
T
1
)(
0
)(
11
T
1
)(
10,
i
vkk
ii
kkk
i
k
APsGsvyPsGsu
(10)
,)()()(=)( )(
1
T
1
)()(
11
T
1
)(
1,
i
vkk
ii
kkk
i
k
APsGsvyPsGsu
(11)
где )(
)(
0 sv
i
и )(
)(
sv
i
— произвольные интегрируемые в областях изменения аргу-
мента функции, тождественно равные нулю, если
0>))(),((
)(
)(
detlim
=,
1=,
101T
1
0
T
1
Nji
ji
jkjk
ik
ik
N
sGsG
sG
sG
,,,, 0
00
SssSss jiji
40 ISSN 0572-2691
,)()()()(= T
11
T
11
0
1 dssGsGdssGsGP kk
S
kk
S
k
.)()()()(=
)(
1
)(
01
0
dssvsGdssvsGA
i
k
S
i
k
S
v
Точность приведенного решения задачи определяется точностью 2
ki ;1,=( ni
,)2,1,= k с которой найденные согласно (10), (11) функции )(
)(
10,
su
i
k
и )(
)(
1,
su
i
k
моделируют начально-краевые внешнединамические возмущения в i-м )1,=( ni
наблюдении за поведением системы, а также точностью 2
lk ,)1,=( Ll с которой
компоненты )(sg lk )1,=( Ll построенных согласно (2), (3) вектор-функций
)(sGk )2,1,,0=( k согласовываются с наблюдениями )(iy и )()( su i )1,=( ni
за поведением системы. Точность определяется следующими величинами:
)(
111
T)(
1
)(
1
T)(
1
2 )()(=
i
kkk
i
k
i
k
i
kki yPPyyy
,)1,=( ni (12)
)(
)(
T)(
)(
)(
)(
T)(
)(
2 =
k
l
k
l
k
l
k
llk yPPyyy 1),,1,=( kLl (13)
где ,=)1,=,)((col T)(
)( k
k
l
YLly соответственно.
Решение задачи, найденное согласно (2), (3) при некотором ,= Kk будет точ-
ным, если определенные соотношениями (10), (11) функции )(
)(
10, su
i
K
и )(
)(
1, su
i
K
)1,=( ni будут точно 0( 2 Ki для )1,= ni моделировать начально-краевые
внешнединамические возмущения, а уравнения, которыми определяются элемен-
ты )(sg lK )1,=( Ll вектор-функции ,)(sGK имеют точное решение 0( 2 lK
для ).1,= Ll При других условиях приведенный выше алгоритм построения при-
ближений )(sGk )2,1,,0=( k можно остановить при ,= Kk для которого
22
1=
2
1=
< Ki
n
i
lK
L
l
(14)
при заданном .2 Математической моделью рассматриваемой системы в этом
случае будет линейное интегральное приближение
,)()(=
0
dssusGy K
TS
(15)
в котором y — вектор значений функции состояния ),(sy дискретизированной
точками .,,1 Lss
2. Проблемы построения квазилинейных математических моделей
Рассмотрим особенности решения задачи построения интегральной матема-
тической модели (15) для случаев, когда на k-й итерации решения задачи для не-
которого }1,{= ni нас не устраивает точность 0,>2
k с которой опреде-
ляются моделирующие функции )(
)(
10,
su
k
и ),(
)(
1,
su
k
и когда k-е приближение
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 41
)(sgk )(sg -элемента })1,{( L векторной функции )(sG определяются с не-
приемлемой для нас точностью 0.>2
k В этих случаях уравнение (9), которым
определяются функции ),(
)(
10,
su
k
),(
)(
1,
su
k
моделирующие начально-краевые
воздействия -го наблюдения за поведением системы при построении k-го при-
ближения вектор-функции ,)(sG и уравнение
,=)()(
)(
)(
0
k
k
TS
ydssgsu (16)
которым определяется )(sgk -элемент этого приближения, решаются неточно.
При этом для названных значений ,k и имеем
0,>
))((
Pr=
2
)(
1T)(
2
kkk y
sAL
(17)
0,>
))((
Pr=
2
)(
)(T
2 k
lk y
suL
(18)
где ,))),((,)),(((=)( 1
0
1
)(
SssGSssGsA kk
k а
)(
1T)( ))((
Pr
kk
y
sAL
и
)(
)(T ))((
Pr
k
y
suL
— проекции векторов
)(
1
ky и
)(
)(
ky на ортогональные дополнения
))(( T)( sAL k и ))(( T suL к динамически определенным линейным оболочкам
))(( T)( sAL k и )),(( T suL натянутым на вектор-функции )(=)( 1
)(
0 sGsa k
k
,)( 0Ss )(=)( 1
)(
sGsa k
k
)( Ss для случая (17), и вектор-функцию )(su —
для случая (18) соответственно.
Геометрически это означает, что вектор
)(
1
k
y (в случае (17)) и вектор
)(
)(
k
y
(в случае (18)) не для всех ,0Ss Ss и
TSs 0 разлагаются по вектор-
функциям ,)(
)(
0 sa
k
)(
)(
sa
k
и )(su соответственно.
Для улучшения решений уравнений (9) и (16) линейное пространство значе-
ний вектор-функций ,)(
)(
0 sa
k
)(
)(
sa
k
и )(su дополним так, чтобы упомянутое
выше разложение векторов
)(
1
k
y и
)(
)(
k
y
выполнялось точно или с улучшенными
значениями 2
k и .2
k При этом рассмотрим два случая: среди значений вектор-
функций ,)(
)(
0 sa
k
)(
)(
sa
k
и )(su есть значения, линейно зависимые от других (ис-
пользуем их для нелинейных преобразований пространства значений этих вектор-
функций), либо их нет, и для нелинейных преобразований следует выбрать опти-
мальные по конечному результату значения рассматриваемых вектор-функций.
3. Идентификация ядер квазилинейных математических моделей
динамики пространственно распределенного процесса
с линейно-зависимыми наблюдениями за ним
Рассмотрим вариант улучшения (по критерию уменьшения величины )
2
k
решения уравнения (16) при выбранных согласно (10), (11) моделирующих функ-
42 ISSN 0572-2691
циях. Остановимся на случае, когда среди значений вектор-функции )(su есть
значения )( *su ,)( 0*
TSs линейно зависимые от других. Значения *s аргумента
TSs 0 вектор-функции )(su найдем из условия
1.)()( **
T suPsu (19)
Информацией, которую несет вектор ,)( *su воспользуемся для построения
векторов
)()(= *
раз
**
susuu
j
j
)2,=( *kj (20)
( — операция декартового произведения), находящихся за пределами линейной
оболочки ,))(( T suL и для которых
.0>
))((
Pr
2
*T
j
u
suL
(21)
Количество *k таких векторов удовлетворяет условию
1,=)),,)(((rank **
2
*
*
kuuPPI
k
n (22)
которым определяется полнота новообразованного дополнения к пространству
значений вектор-функции .)(su По системе векторов ,
*
j
u как по базису, разло-
жим ,
))((
Pr
)(
)(T
k
y
suL
что эквивалентно нахождению вектора ),,(col=
*2 kccc
такого, что
.)(=
)(
)(*
*
2=
k
n
j
j
k
j
yPPIuc
Разложение это возможно, если будет иметь решение уравнение
,=
)(
)(*
k
YcU
(23)
в котором
,),,(= *
*
2
**
k
uuU .)(=
)(
)(
)(
)(
k
n
k
yPPIY
Решением (23), найденным с точностью
,))(()(=min=
)(
)(**
T)(
)(
2)(
)(*
2 k
n
kk
c
YPPIYYcU
где ,= T
*** UUP будет
vUPUvYPUc
k
**
T
*
)(
)(*
T
*=
(24)
при произвольном 1)( * k -мерном векторе ,v тождественно равном нулю, если
0.>det *
T
* UU
Последнее позволяет, заменив линейной комбинацией
,
T
*
*
2=
j
j
k
j
uc (25)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 43
неинформационные значения )( *
T su строки-функции ),(T su рассматривать
строку-функцию вида
.1,=,
>),(
=,))((
<),(
=)(
*
)(
*
)(
*
2=
*
)(
T
*
ni
sssu
sssuc
sssu
su
i
ji
j
k
j
i
(26)
Используя соотношение
),()()()(=)( **
*
**
T)(
)(
suPvsvsuPysg T
ukk
k
k
(27)
являющееся среднеквадратичным приближением решения уравнения
,=)()(
)(
)(*
0
k
k
TS
ydssgsu
находим )(sgk -элемент столбца-функции ).(sGk
Здесь )(* svk — произвольные интегрируемые в TS0 функции, тождественно
равные нулю, если 0>)()( *
T
* ji susu ,, 0
T
ji Sss а .)()(= *
*
0
dssvsuv k
TS
uk
Остальные элементы )(sgkl ),1,=( lLl столбца-функции )(sGk определим
с помощью .)(su При этом
),()()()(=)( TT)(
)(
suPvsvsuPyssG ulklk
k
llk
(28)
где, как и выше, )(sv lk ),1,=,( 0 lLlSs T — произвольная интегрируемая
в TS0 функция,
,)()(=)()(
)(
)(
T)(
)(
2
)(
)(
0
k
ln
k
l
k
llk
TS
yPPIyydssgsu
а .)()(=
0
dssvsuv kl
TS
luk
Однозначность )0)(( 0
T
kl Sssv представленной согласно (28) функции
),( ssG lk как и выше, будет определяться соотношением (4).
Точность решения (27) оценивается величиной
)(
)(**
T)(
)(
2 )()(=
k
n
k
k yPPIy
при .)()(= T
**
0
* dssusuP
TS
4. Оптимизационно-приблизительное решение задачи идентификации ядер
квазилинейных пространственно распределенных динамических систем
Продолжая рассматривать вариант нелинейной идентификации ядра инте-
гральной модели (15), дискретно наблюдаемого за состоянием )(sy и непрерывно
наблюдаемого за внешнединамическими возмущениями )(su распределенного
пространственно-временного процесса, остановимся на случае, когда:
44 ISSN 0572-2691
а) не существует линейно-зависимых значений вектор-функции ;)(su
б) при наличии таких значений невозможно построить последовательность
векторов
j
u
* );2, = ( *kj
в) при построенных векторах
j
u
* )2, = ( *kj система (23) не решается отно-
сительно вектора c.
В этом случае уравнение (9), не имея точного решения, не может быть реше-
но и после нелинейного преобразования входной вектор-функции ).(su
Не отказываясь от нелинейного преобразования (25), аргумент ,*s подлежа-
щей преобразованию строки-функции )(T su , и вектор T
*1 ),,(= kccc такого
преобразования при определенном согласно (22) значении *k будем считать ре-
шением следующей оптимизационной задачи:
.min
))((
Pr=),Ф(
*,
2
)(
)(T
*
*
sc
k
y
suL
cs
(29)
При этом будем исходить из того, что
,))((=
))((
Pr
)(
)(
T
*
)(
)(T
*
kk
ysuZy
suL
(30)
где
PPIsuZ n=))(( T
* при .)()(= T
**
0
dssusuP
TS
Рассмотрим первый этап решения задачи (29) — определение вектора
).,Ф(minarg= *
*
sc
k
R
(31)
Для построения удобной для минимизации формы представления ),Ф( * s будем
исходить из того, что зависимость функции ),Ф( * s от аргумента определяет-
ся строкой
T
*
*
1=
*
)(
*
1=
*
T
* =1,=,))((str=)(
j
j
k
j
ji
j
k
j
unisusu (32)
значений строки-функции )(T
* su .)( 0
TSs
Для построения явной зависимости проекционной матрицы ))(( T
* suZ от этой
строки воспользуемся предельным (при )m случаем зависимостей линейной
алгебры, которые имеют место для )( nm -мерной матрицы A расширенной (уко-
роченной) n-мерной строкой :Ta
,
)(
)()(
)(=
2
T
T
aAZ
AZaaAZ
AZ
a
A
Z
(33)
.=)(
2
T
T
q
qq
a
A
ZAZ
(34)
Здесь ,=)( AAIAZ n
а вектор
nRq определяется соотношением
Ta
A
).( qP Алгебраические зависимости (33), (34) запишем для данного случая, по-
дразумевая при этом следующее:
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 45
в (33)
),(T
*T
su
a
A
)(((str=)( )(T
* susuA i ),1,=),(( * niss
;=)(
T
*
*
1=
**
T
j
j
k
j
T usua (35)
в (34)
),(T
* suA ),(T
T su
a
A
).( *
TT sua (36)
С учетом (33)–(36) находим
,
))((
))(())((
))((=))((
2
*
*
1=
*
T
*
T
*
*
1=
*
*
1=
T
*
T
*
T
*
j
j
k
j
T
j
j
k
j
j
j
k
j
usuZ
suZuusuZ
suZsuZ (37)
где
,))((=))((
2
*
T
**TT
*
q
qq
suZsuZ (38)
а ).()()(= *
T
0
* sudssusuq
TS
Обозначая ),,,))(((=)(
*
*
1
*
T
***
k
uusuZsD проекционную матрицу (37) за-
пишем в виде
,
)(
))(())((
))((=))((
2
**
T
****T
*
T
*
sD
sDsD
suZsuZ
где, как и раньше, ))(( T
* suZ представлено соотношением (38). Исходя из (30),
находим
=
)(
))(())(()(
))(()(=
))((
Pr
2
**
)(
)(
T
****
T)(
)()(
)(
T
*
T)(
)(
2
)(
)(T
*
sD
ysDsDy
ysuZyy
suL
kk
kkk
.
)(
))()((
))(()(=
2
**
2
**
T)(
)()(
)(
T
*
T)(
)(
sD
sDy
ysuZy
k
kk
(39)
Учитывая, что первый член в (39) не зависит от переменной , заключа-
ем, что
2
)(
)(T
* ))((
Prminarg=
k
y
suL
c
определяется значением
,
)(
))()((
maxarg=
2
**
2
**
T)(
)(
*
*
csD
csDy
c
k
k
Rc
46 ISSN 0572-2691
которое равно
.)(=
)(
)(***
k
ysDc
(40)
Вводя в рассмотрение матрицу dssusuP
TS
)()(=
T
**
0
и матричную функцию
),()(=)( *
T
***** sDsDsP подстановкой (40) в (39) находим аналитическое вы-
ражение 2)(
)(****
T)(
)(
)(
)(
)(
)(* ]))()(()([))((=)Ф(
k
n
kk
n
k
ysPsPIyyPPIys
функции
,),Ф(
*=* cc
cs подлежащей минимизации по *s (это цель второго этапа решения
задачи (29)).
Учитывая, что первое слагаемое функции )Ф( *s не зависит от ,*s задачу
этого этапа определим соотношением
,max))()(()(=)(
*
)(
)(****
T)(
)(*
s
k
n
k
ysPsPIys
(41)
в котором
.))(())((=)(
=,
1=,
*
)(
*
)(
*
1=
**
nji
ji
kjki
k
k
sususP
Нетрудно видеть, что основные проблемы, которые могут возникнуть при
решении задачи (41), связаны с вычислением ),(grad **
ss ибо необходимо
иметь удобные для дифференцирования зависимости .)( ** sP Для построения
последних воспользуемся итерационным методом Гревиля [6] псевдообращения
прямоугольных матриц. Вводя в рассмотрение )( ln -мерную матричную функ-
цию ,))(,),((=)( **1*)(* spspsP ll где ),(=))(,),(( ****1 sPspsp n а также, учи-
тывая, что при 1=l ),())()((=)(=)( *
T
1
1
*1*
T
1*1*(1)* spspspspsP находим ана-
литическое выражение матричной функции )( *)(* sP l
для произвольного .nl
При этом
,
)(
)(
=)(
*
T
)(
*)(
*)(*
sb
sB
sP
l
l
l
где ),()()(=)( *
T
)(**1)(**)( sbsdsPsB llll
,0=)(если,
))()((1
)()(
0,)(если,)(
=)(
*
**
T
*1)(**
T
**
*
T
)(
sc
sdsd
sPsd
scsc
sb
l
ll
ll
ll
l
при ),()(=)( **1)(** spsPsd lll
).()()(=)( **1)(*** sdsPspsc llll
На последней итерации получим матрицу )(=)( ***)(* sPsP n
размернос-
ти .nn
При 0)( * scn
)( *)(* sP n
)))()(()()((
)))()(()()(()()()(
**1)(**1)(**
**1)(**1)(****1)(**1)(*
spsPsPsp
spsPsPspspsPsP
nnnn
nnnnnnn
(42)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 47
при 0=)( *scn
=)( *)(* sP n
))()(()()(1
)()()(
))()(()()(1
)()()(
)()()(
**1)(**
T
1)(**
T
*1)(**
T
1)(**
T
**1)(**
T
1)(**
T
*1)(**
T
1)(**
T
**1)(**1)(*
spsPsPsp
sPsPsp
spsPsPsp
sPsPsp
spsPsP
nnnn
nnn
nnnn
nnn
nnn
. (43)
Последнее свидетельствует о том, что и второй этап задачи (28) может быть
успешно решен. Формулы (42) и (43) при этом реализуют рекурсивный подход к
программной реализации итерационного метода Гревиля для псевдообращения
прямоугольных матриц.
5. Особенности идентификации математических моделей пространственно
распределенных динамических процессов, квазилинейно зависимых
от начально-краевых внешнединамических возмущений
Аналогично предложенному выше алгоритму улучшения решения задачи по-
строения k-го приближения )(sGk вектор-функции )(sG при определенных
согласно (10), (11) моделирующих функциях ,)(
)(
10,
su
i
k
)(
)(
1,
su
i
k
;1,=( ni
)2,1,= k рассмотрим задачу повышения точности моделирования этими функ-
циями начально-краевых возмущений для i-го )1,=( ni наблюдения за поведени-
ем системы.
При этом будем исходить из того, что разрешающим для построения назван-
ных функций есть уравнение (9), которое для удобства запишем
)(
1)(
)(
1
)( =)()(
i
k
i
k
k
S
ydssusA
),2,1,=,1,=( kni (44)
где при определенной выше матричной функции )()( sA k
,
),(
),(
=)(
)(
1,
0)(
10,)(
1)(
Sssu
Sssu
su
i
k
i
ki
k
а интегрирование проводится по области
SSS 0= изменения аргумента .s
Рассмотрим случай, когда определенное в (17) 0>2
k и уравнение (44) не имеет
точного решения, а вектор
)(
1
k
y при этом не принадлежит линейной оболочке
)),(( T)( sAL k
натянутой на столбцы-функции матричной функции .)()( sA k При
этом, как и выше, будем считать, что имеется значение ,* Ss при котором век-
тор )( *
)( sa k
значений вектор-функций )( *
)(
0 sa
k
)( 0Ss и )( *
)(
sa
k
)( Ss ли-
нейно зависим от других вектор-значений этих функций.
Аналогично (19) определим значение *s аргумента Ss из условия
1,)()]([ *
)(
)(
T
*
)( saPsa k
k
k в котором .)]()[(= T)()(
)( dssAsAP kk
S
k
48 ISSN 0572-2691
Нелинейным преобразованием вектора )( *
)( sa k построим полную систему
векторов
)()(= *
)(
раз
*
)()(
*
sasaa k
j
kjk
),2,=( *kj (45)
для которых
0.>)()(=
))((
Pr
)(
1)()(
T)(
1
2
)(
1T)(
kkkLkkk
yPPIyy
sAL
Количество *k таких векторов определим соотношением
1.=)),,)(((rank *
*)(
*
)2(
*)()(
kaaPPI
kkk
kkL
По системе векторов (45), относительно базиса, разложим вектор
,
))((
Pr
)(
1T)(
kk
y
sAL
что эквивалентно решению уравнения
)(
1)()()(
)(
*
)(
*
2=
)(=
kkkL
jkk
j
k
j
yPPIac ).2,1,=( k (46)
Введем обозначения
)2,=,(col= *
)()(
kjcc
k
j
k
},1,{= n
),2,=,(= *
)(
*
)(
*
kjaA
jkk
.)(=
)(
1)()(
)(
1
kkkLk
yPPIY
Тогда решение (46) такое, что ,min
)(
2)(
1
)()(
*
k
c
k
kk
YcA
запишем в виде соот-
ношения
,)()(=
)(
*)(
T)(
*
)()(
1*)(
T)(
*
)( k
vk
kk
kk
kk
APAvYPAc
в котором при произвольном 1)( * k -мерном векторе
)(k
v )2,1,=};1,{( kn
,)(= T)(
*
)(
**)(
kk
k AAP .=
)()(
*
)( kkk
v vAA
Разложение (46) будет однозначным ),2,1,=};1,{0(
)( knv
k
если
0.>)(det
)(
*
T)(
*
kk
AA Точность такого разложения определяется величиной
.)()(==
)(
1*)(*)(
T)(
1
2)(
1
)()(
*
2
kkkLkk
kk
k YPPIYYcA
Замена столбца )( *
)( sa k
значений матричной функции )()( sA k
вектором
)()(= *
)(
раз
*
)()(
*
2=
sasac k
j
kk
j
k
j
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 49
позволит решить задачу определения функций )(
)(
10,
su
k
и ),(
)(
1,
su
k
которыми
(точно при )0=2
k на k-й итерации моделируются начально-краевые возмуще-
ния, имеющие место в -м наблюдении за системой.
При этом аналогично (10), (11)
,)()()(=)( )*(*
1
T*
1
)(
0
)(*
1
T*
1
)(
10,
vkkkkk
APsGsvYPsGsu (47)
,)()()(=)( )*(*
1
T*
1
)()(*
1
T*
1
)(
1,
vkkkkk
APsGsvYPsGsu (48)
где
,при
=,
),(
=)( 0
*
)(
*
)(
*
2=
*
)(
0
*
1 Ss
ssac
sssa
sG jkk
j
k
j
k
k
,при
=,
),(
=)(
*
)(
*
)(
*
2=
*
)(
*
1
Ss
ssac
sssa
sG jkk
j
k
j
k
k
,)()()()(= T*
1
*
1
T*
1
*
1
0
*
1 dssGsGdssGsGP kk
S
kk
S
k
dssvsGdssvsGA k
S
k
S
v )()()()(=
)(*
1
)(
0
*
1
0
)*(
при произвольных, интегрируемых в областях изменения своего аргумента функ-
циях )(
)(
0 sv
и .)(
)(
sv
Решение задачи по определению функций )()( su и ,)(
)(
1
su
k
моделирующих
начально-краевые возмущения в ξ-м наблюдении за поведением системы, будет
однозначным 0),)(=)((
)()(
0
svsv если
0>))(),((
)(
)(
detlim
=,
1=,
*
10
*
1
T*
1
0
T*
1
Nji
ji
jkjk
ik
ik
N
sGsG
sG
sG
,0is 0
0 Ss j и ,is . Ss j
Точность такого моделирования в общем случае определяется величиной
.)()(=
)(
1
*
1
*
1
T)(
1
2
kkkkk YPPIY
Заметим в заключение, что моделирующие функции )(
)(
10,
su
i
k
и )(
)(
1,
su
i
k
для ni 1,= и ,i как и раньше, будут представлены соотношениями (10), (11)
через начально определенное )(1 sGk -приближение столбца-функции ).(sG
50 ISSN 0572-2691
В.А. Стоян, Д.А. Голодюк
ДО ПОБУДОВИ МАТЕМАТИЧНИХ
МОДЕЛЕЙ КВАЗІЛІНІЙНИХ ДИСКРЕТНО
СПОСТЕРЕЖУВАНИХ РОЗПОДІЛЕНИХ
ПРОСТОРОВО-ЧАСОВИХ СИСТЕМ
Розглянуто динаміку дискретно за входом та неперервно за виходом спостере-
жуваного розподіленого просторово-часового процесу. Запропоновано алгорит-
ми лінійної, нелінійної та наближеної ідентифікації інтегральної моделі такого
процесу. Визначено умови точності та однозначності існування наближеного
розв’язку задачі.
V.A. Stoyan, D.A. Golodiuk
TO THE CONSTRUCTION OF MATHEMATICAL
MODELS FOR QUASILINEAR DISCRETELY
OBSERVED DISTRIBUTED SPACE-TIME SYSTEMS
The paper is focused on the dynamics of distributed space-time process, which is dis-
cretely observed at the input and continuously observed at the output. The algorithms
of linear, nonlinear and approximate identification of integral model of this process
are suggested. The conditions of accuracy and uniqueness of existence of approxi-
mate solution are determined.
1. Стоян В.А. Об одном подходе к исследованию начально-краевых задач матфизики // Проб-
лемы управления и информатики. — 1998. — № 1. — С. 79–86.
2. Скопецький В.В., Стоян В.А., Кривонос Ю.Г. Математичне моделювання прямих та обер-
нених задач динаміки систем з розподіленими параметрами. — Київ : Наук. думка, 2001. —
361 с.
3. Скопецький В.В., Стоян В.А., Зваридчук В.Б. Математичне моделювання динаміки розподі-
лених просторово-часових процесів. — Київ : Сталь, 2008. — 316 с.
4. Стоян В.А. До побудови функції Гріна для систем з розподіленими параметрами // Вычис-
лительная и прикладная математика. — 1998. — Вып. 83. — С. 108–111.
5. Стоян В.А., Голодюк Д.А. Ідентифікаційно-псевдоінверсний підхід до побудови математич-
них моделей лінійних дискретно спостережуваних розподілених просторово-часових сис-
тем // Доп. НАН України. — 2011. — № 9. — С. 24–29.
6. Гантмахер А.Ф. Теория матриц. — М. : Наука, 1966. — 576 с.
Получено 25.03.2011
Статья представлена к публикации членом редколлегии Ф.Г. Гаращенко.
|