Необходимое условие в задаче идентификации для одномерного нелинейного стационарного уравнения квазиоптики
Вивчається задача ідентифікації для одновимірного нелінійного стаціонарного рівняння квазіоптики про визначення квадратично-сумованих коефіцієнтів, коли нелінійна частина рівняння містить лише уявний коефіцієнт. Знайдено формулу для градієнта функціонала, побудованого за фінальним спостереженням, і...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Проблемы управления и информатики |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207323 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Необходимое условие в задаче идентификации для одномерного нелинейного стационарного уравнения квазиоптики / Н.С. Ибрагимов // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 4. — С. 51–62. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-207323 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2073232025-10-07T00:24:11Z Необходимое условие в задаче идентификации для одномерного нелинейного стационарного уравнения квазиоптики Необхідна умова в задачі ідентифікації для одновимірного нелінійного стаціонарного рівняння квазіоптики A Necessary Condition for the Problem of Identification for One-Dimensional Nonlinear Stationary Equation of Quasi-Optics Ибрагимов, Н.С. Методы идентификации и адаптивного управления Вивчається задача ідентифікації для одновимірного нелінійного стаціонарного рівняння квазіоптики про визначення квадратично-сумованих коефіцієнтів, коли нелінійна частина рівняння містить лише уявний коефіцієнт. Знайдено формулу для градієнта функціонала, побудованого за фінальним спостереженням, і встановлено необхідну умову типу варіаційної нерівності. Доведено теорему існування і єдиності розв’язку прямої задачі. The identification problem of one-dimensional nonlinear stationary equation of quasi-optics about the definition of square summable coefficients, when the nonlinear part includes the purely imaginary coefficient, is studied. The formula is found for the gradient of the functional, built on the final observation, and the necessary condition of a variational inequality is established. The theorem of existence and uniqueness of a solution for the direct problem is proved. 2011 Article Необходимое условие в задаче идентификации для одномерного нелинейного стационарного уравнения квазиоптики / Н.С. Ибрагимов // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 4. — С. 51–62. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207323 517.97 10.1615/JAutomatInfScien.v43.i8.30 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Методы идентификации и адаптивного управления Методы идентификации и адаптивного управления |
| spellingShingle |
Методы идентификации и адаптивного управления Методы идентификации и адаптивного управления Ибрагимов, Н.С. Необходимое условие в задаче идентификации для одномерного нелинейного стационарного уравнения квазиоптики Проблемы управления и информатики |
| description |
Вивчається задача ідентифікації для одновимірного нелінійного стаціонарного рівняння квазіоптики про визначення квадратично-сумованих коефіцієнтів, коли нелінійна частина рівняння містить лише уявний коефіцієнт. Знайдено формулу для градієнта функціонала, побудованого за фінальним спостереженням, і встановлено необхідну умову типу варіаційної нерівності. Доведено теорему існування і єдиності розв’язку прямої задачі. |
| format |
Article |
| author |
Ибрагимов, Н.С. |
| author_facet |
Ибрагимов, Н.С. |
| author_sort |
Ибрагимов, Н.С. |
| title |
Необходимое условие в задаче идентификации для одномерного нелинейного стационарного уравнения квазиоптики |
| title_short |
Необходимое условие в задаче идентификации для одномерного нелинейного стационарного уравнения квазиоптики |
| title_full |
Необходимое условие в задаче идентификации для одномерного нелинейного стационарного уравнения квазиоптики |
| title_fullStr |
Необходимое условие в задаче идентификации для одномерного нелинейного стационарного уравнения квазиоптики |
| title_full_unstemmed |
Необходимое условие в задаче идентификации для одномерного нелинейного стационарного уравнения квазиоптики |
| title_sort |
необходимое условие в задаче идентификации для одномерного нелинейного стационарного уравнения квазиоптики |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Методы идентификации и адаптивного управления |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207323 |
| citation_txt |
Необходимое условие в задаче идентификации для одномерного нелинейного стационарного уравнения квазиоптики / Н.С. Ибрагимов // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 4. — С. 51–62. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT ibragimovns neobhodimoeuslovievzadačeidentifikaciidlâodnomernogonelinejnogostacionarnogouravneniâkvazioptiki AT ibragimovns neobhídnaumovavzadačíídentifíkacíídlâodnovimírnogonelíníjnogostacíonarnogorívnânnâkvazíoptiki AT ibragimovns anecessaryconditionfortheproblemofidentificationforonedimensionalnonlinearstationaryequationofquasioptics |
| first_indexed |
2025-10-07T01:09:12Z |
| last_indexed |
2025-10-08T01:03:56Z |
| _version_ |
1845373631378489344 |
| fulltext |
© Н.С. ИБРАГИМОВ, 2011
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 51
УДК 517.97
Н.С. Ибрагимов
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ В ЗАДАЧЕ
ИДЕНТИФИКАЦИИ ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО
НЕЛИНЕЙНОГО СТАЦИОНАРНОГО
УРАВНЕНИЯ КВАЗИОПТИКИ
Известно, что нелинейное стационарное уравнение квазиоптики возникает
при изучении распространения световых волн в нелинейных средах, когда про-
цесс распространения не зависит от времени [1]. При прохождении световых волн
через неоднородную среду коэффициенты уравнения, характеризующие показа-
тели преломления и поглощения среды, могут оказаться неизвестными функция-
ми [1, с. 233]. Поэтому изучение подобных процессов актуализирует исследова-
ния обратных задач об определении коэффициентов нелинейного стационарного
уравнения квазиоптики.
Данная работа посвящена изучению необходимого условия для решения ва-
риационной формулировки обратной задачи для одномерного нелинейного стаци-
онарного уравнения квазиоптики об определении коэффициентов уравнения, ко-
гда нелинейная часть уравнения содержит чисто мнимый коэффициент. Вариаци-
онные формулировки обратных задач об определении только начального
фазового профиля распространения световых волн с известными показателями
или только показателя преломления среды с известным начальным фазовым про-
филем подробно изучены, например, в работах [1–12] и др.
1. Постановка задачи
Пусть 0,0 Ll — заданные числа, ,0 lx ,0 Lz ),,0(),0( zlz
;L ),0( lLp — лебегово пространство измеримых функций на ),,0( l сум-
мируемых со степенью ;1p )],,0([ BLC k — банахово пространство, состоящее
из всех определенных и 0k раз непрерывно дифференцируемых на ],0[ L
функций со значениями в банаховом пространстве ;B )(),,0( , mk
p
k
p WlW — собо-
левы пространства функций с обобщенными производными порядка 0k по пе-
ременной x и 0m по переменной z соответственно, которые суммируемы со
степенью ,1p ),0(
0
1
2 lW — подпространство пространства ),,0(1
2 lW элементы
которого обращаются в нуль на концах отрезка ],,0[ l ),0(),0( 2
2
0
2
2 lWlW
);,0(
0
1
2 lW символ
0
означает, что данное свойство имеет место для почти всех
значений переменной величины. Ниже всюду постоянные, не зависящие от оце-
ниваемых величин, обозначим ,jc ...,2,1,0j
Рассмотрим процесс, состояние которого описывается следующим одномер-
ным нелинейным стационарным уравнением квазиоптики [1]:
,),(
),,()()()()(
2
1100
zx
zxfiaxivxvxa
x
xa
xz
i
(1)
52 ISSN 0572-2691
где 1i — мнимая единица, ),( zx — волновая функция, 01 a — за-
данное вещественное число, )(),(0 xaxa — заданные вещественнозначные изме-
римые ограниченные функции, удовлетворяющие условиям
,)(0 100 xa ,
)(
2
0
dx
xda
),,0(
0
lx ;0const,, 210 (2)
,)(0 3 xa ),,0(
0
lx ;0const3 (3)
),( zxf — заданная комплекснозначная измеримая функция, удовлетворяющая
условию
);(1,0
2 Wf (4)
)(),( 10 xvxv — неизвестные коэффициенты уравнения.
Пусть для уравнения (1) заданы следующие начальное и краевое условия:
),()0,( xx ),,0( lx ,0),(),0( zlz ),,0( Lz (5)
где )(x — заданная комплекснозначная измеримая функция, удовлетворяющая
условию
).,0(
0
2
2 lW (6)
Наша цель — определить неизвестные коэффициенты )(),( 10 xvxv на основе
дополнительной информации:
),(),( xyLx ),,0( lx (7)
где )(xyy — заданная комплекснозначная функция из ).,0(2 lL
Пусть ),,( 10 vvv где ),(00 xvv ).(11 xvv Элемент )(xvv будет найден
на множестве
)},,0(,)(,1,0
,),,0(:),({
0
21
),0(210
2
lxbxvm
bvlLvvvvV mlLmm
где ,mb ,2,1,0m — заданные положительные числа. Множество V будем
называть множеством допустимых элементов. Определение вектора ),( 10 vvv
из множества V при условиях (1), (5), (7) может рассматриваться как задача
идентификации по финальному наблюдению для уравнения квазиоптики вида (1).
Вариационная формулировка этой задачи заключается в минимизации функцио-
нала
22
),0(2
),()(
HlL
vyLvJ (8)
на множестве V при условиях (1), (5), где 0 — заданное число, H — за-
данный элемент, ).,0(),0( 22 lLlLH Эту задачу в дальнейшем будем называть
задачей идентификации (1), (5), (8).
Задачу об определении функции );,(),( vzxzx из условий (1), (5) при
каждом Vv будем называть прямой задачей. Под решением этой задачи будем по-
нимать функцию );,(),( vzxzx из пространства )),0(],,0([
0
2
2
0
0 lWLCB
)),,0(],,0([ 2
1 lLLC удовлетворяющую уравнению (1) для любого ],0[ Lz
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 53
и почти всех ),,0( lx а условиям (2) для почти всех ),0( lx и ),0( Lz соот-
ветственно.
2. Разрешимость прямой задачи
Прямую задачу для одномерного нелинейного стационарного уравнения ква-
зиоптики вида (1) рассмотрим как прямую задачу для одномерного нелинейного
нестационарного уравнения Шредингера с комплекснозначным квантовомехани-
ческим потенциалом. Известно, что прямая задача, т.е. начально-краевая задача
для одномерного нелинейного нестационарного уравнения Шредингера с веще-
ственнозначным квантовомеханическим потенциалом, зависящим от переменной
x, изучалась в работах [4–6, 8, 10–12] и др., когда потенциал выступает функцией
из класса измеримых ограниченных или квадратично-суммируемых функций,
имеющих обобщенные производные первого порядка. В настоящей работе потен-
циал комплекснозначный и принадлежит классу квадратично-суммируемых
функций. Поэтому результаты, полученные в этих работах относительно разре-
шимости начально-краевой задачи для одномерного нелинейного уравнения
Шредингера,
недостаточны для исследования задачи идентификации (1), (5), (8) по определе-
нию комплекснозначных потенциалов и возникает необходимость изучения раз-
решимости прямой задачи (1), (5) при .Vv
Теорема 1. Пусть функции )(),,(),(),(0 xzxfxaxa удовлетворяют услови-
ям (2)–(4), (6). Тогда при каждом Vv прямая задача (1), (5) имеет единственное
решение из пространства 0B и для этого решения справедлива оценка
),0(
),0(
2
0
2
2
),(
),(
lL
lW z
z
z
2/3
0
3
),0(
)(),0(
0 )~(0
1
2
1,0
2
0
2
2
cfc
lW
WlW
(9)
],,0[ Lz где 00 c — некоторая постоянная, а постоянная 0
~c определяется
формулой
.~ 6
),0(
2
)(
2
),0(
0 0
1
2
1,0
2
0
2
2
lW
W
lW
fc
Доказательство. Используем метод Галеркина. Возьмем какую-либо фундамен-
тальную в ),0(
0
2
2 lW и ортонормированную в ),0(2 lL систему функций ),(xuu kk
...,,2,1k например систему собственных функций спектральной задачи
),()( xXxLX ),,0( lx 0)()0( lXX (10)
при ,k ...,,2,1k где оператор L определяется формулой
).()(0 xa
dx
d
xa
dx
d
L
(11)
Известно, что задача (10) — это спектральная задача, изученная, например,
в работе [13, с. 109, 110]. Она имеет нетривиальные решения ),(xuk ...,,2,1k
при ,k ,...,2,1k образующих спектр задачи (10), и эти решения образуют
54 ISSN 0572-2691
базис в пространстве ).,0(
0
2
2 lW Для удобства предположим, что эти функции ор-
тонормированы в :),0(2 lL
,)()(),(
0
),0(2
m
kmk
l
lLmk dxxuxuuu ...,,2,1, mk (12)
где m
k — символы Кронекера:
,,0
,,1
mk
mkm
k ...,2,1, mk
Ясно, что функции ),(xuu kk ...,,2,1k ортогональны и в следующем смысле:
),0(1
2
),(),(],[
lWmkmkmk uuuuLuu
,)()()(
)()(
)(0
0
m
kkmk
mk
l
dxxuxuxa
dx
xdu
dx
xdu
xa
...;,2,1, mk (13)
,),(),(},{ 2
),0(),0( 2
22
m
kklWmklLmkmk uuLuLuuu ...,2,1, mk (14)
В силу предположения 0)( xa все собственные значения ,k ...,,2,1k веще-
ственны, положительны и расположены в порядке возрастания и k при
.k Также предположим, что
,
),0(
0
2
2
klWk du ...,,2,1k (15)
где ,kd ...,,2,1k — положительные постоянные.
Приближенное решение прямой задачи (1), (5) будем искать в виде
),()(),(
1
xuzczx k
N
k
N
k
N
(16)
где ,)),,(()( ),0(2 lLk
NN
k uzzc ,,1 Nk определяются из условий
),0(0),0(),0( 222
)),,(()),,(()),,(( lLk
N
lLk
N
lLk
N uzvuzLuz
dz
d
i
),()),,(),(()),,(( ),0(
2
1),0(1 22
zfuzziauziv klLk
NN
lLk
N ,,1 Nk (17)
,),()),0,(()0( ),0(),0( 22
N
klLk
N
lLk
NN
k uuc ,,1 Nk (18)
,)),,(()( ),0(2 lLkk uzfzf .,1 Nk
Система (17) — не что иное, как система N нелинейных обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений. При Vv из предположений (2)–(4) и свойства функций
),(xuk ...,,2,1k следует, что все слагаемые левой части, кроме первого, а также
правая часть непрерывны на каждом множестве }const],,0[{ N
k
cLz функции
.,1,, Nkcz N
k
Поэтому для существования по крайней мере одного решения за-
дачи Коши (17), (18) на всем отрезке ],0[ L достаточно знать, что все ее возможные
решения равномерно ограничены на ].,0[ L Это подтверждает следующая лемма.
Лемма. Для любого Vv галеркинские приближения удовлетворяют оценке
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 55
2
),0(
2
),0(
2
1
2
1
2
0
2
2
),(
),(
)(
)(
lL
N
lW
N
N
k
N
k
N
k
N
k z
z
z
dz
zdc
zc
),)~(( 3
0
6
),0(
2
)(
2
),0(
1 0
1
2
1,0
2
0
2
2
cfc
lW
W
lW
].,0[ Lz (19)
Для доказательства леммы использовалась методика работы [11].
Рассмотрим функции
,)),,(()( ),0(, 2 lLk
N
kN uzzl ...,2,1, kN (20)
Из этого равенства и оценки (19), а также из ортонормированности функций
),(xuk ...,,2,1k следует справедливость неравенства
,)( 2, czl kN ,
)(
3
,
c
dz
zdl kN
],,0[ Lz ...,2,1, kN (21)
Используя систему (17), а также предположение (15), можно установить справед-
ливость соотношений
,)()( 4,, zdczlzzl kkNkN (22)
2/1
5
,, )()(
zdc
dz
zdl
dz
zzdl
k
kNkN
(23)
],,0[ Lz ...,2,1, kN Следуя неравенствам (21)–(23), заключаем, что семей-
ство функций ),(, zl kN ...,,2,1, kN и их производных ,
)(,
dz
zdl kN
...,,2,1, kN
равномерно ограничено на отрезке ],0[ L и равностепенно непрерывно при фик-
сированном k и произвольном kN на этом отрезке. Тогда можем выбрать под-
последовательность ,mN ...,,2,1m по которой функции ),(, zl kNm
...,,2,1m
и их производные ,
)(,
dz
zdl kNm ...,,2,1m сходятся равномерно на отрезке ],0[ L
к непрерывным функциям )(zlk и
dz
zdlk )(
соответственно для каждого ...,2,1k
Функции ),(zlk ...,,2,1k и их производные определяют функции
),()(),(
1
xuzlzx kk
k
(24)
.)(
)(),(
1
k
k
k xu
dz
zdl
z
zx
(25)
По аналогии, так же, как и в работах [9, 11], докажем, что подпоследователь-
ности )},,({ zxmN
z
zxmN
),(
сходятся слабо в ),0(
0
2
2 lW и ),0(2 lL к функ-
циям
z
zx
zx
),(
),,( соответственно равномерно относительно ].,0[ Lz Не-
трудно установить, что )},({ zxmN
принадлежит пространству .0B Тогда можем
утверждать, что предельная функция ),,( zx определенная формулой (24), также
принадлежит пространству 0B и для этой функции справедлива оценка
56 ISSN 0572-2691
2
),0(
2
),0(
2
0
2
2
),(
),(
lLlW z
z
z
],,0[)~( 3
0
6
),0(
2
)(
2
),0(
1 0
1
2
1,0
2
0
2
2
Lzcfc
lW
W
lW
(26)
которая следует непосредственно из оценки (19) с переходом к нижнему пределу по
подпоследовательности ,mNN ...,2,1m Из этой же оценки следует оценка (9).
Далее, действуя, как и в работе [11], доказываем, что предельная функция
),( zx из 0B — решение прямой задачи (1), (5) при каждом .Vv Кроме того,
используя оценку (9) и методику доказательства единственности решения началь-
но-краевых задач, как и в работах [6, 11], устанавливаем единственность решения
прямой задачи (1), (5).
Теорема 1 доказана.
3. Необходимое условие для решения задачи идентификации
Теперь получим необходимое условие для решения задачи идентификации
(1), (5), (8) в виде вариационного неравенства. Пусть функция ),( zx — ре-
шение следующей сопряженной задачи:
)()()()( 100 xivxvxa
x
xa
xz
i
,),(,0))(2( 22
1 zxia (27)
),,0()),(),((2),( lxxyLxiLx (28)
),,0(,0),(),0( Lzzlz (29)
где );,(),( vzxzx — решение прямой задачи (1), (5) при .Vv
Под решением сопряженной задачи (27)–(29) понимаем функцию ),( zx
из пространства ,0B удовлетворяющую уравнению (27) для любого ],0[ Lz
и почти всех ),0( lx и условиям (28), (29) для почти всех ),,0( lx ),0( Lz со-
ответственно.
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и ).,0(
0
2
2 lWy Тогда со-
пряженная задача (27)–(29) имеет единственное решение из пространства 0B и
для этого решения справедлива оценка
),0(
),0(
2
0
2
2
),(
),(
lL
lW z
z
z
2/3
0
),0(
3
),0(
)(),0(
6 )~(0
2
2
0
1
2
1,0
2
0
2
2
cyfc
lW
lW
WlW
].,0[ Lz (30)
Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству теоре-
мы 1 с помощью метода Галеркина.
Для установления необходимого условия в задаче идентификации (1), (5), (8)
сначала докажем диффенцируемость функционала (8). Для этого введем функцию
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 57
)()),(),((Re)),(),(),(),,(,( 0
0
10 xvdzzxzxxxvxvxx
L
,))()(())()(()()),(),((Im 2
11
2
001
0
xxvxxvxvdzzxzx
L
(31)
которую называем функцией Гамильтона–Понтрягина для задачи идентифика-
ции (1), (5), (8), где );,(),( vzxzx — решение прямой, а ),( zx
);,( vzx — решение сопряженной задачи при .Vv
Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2 и H — заданный эле-
мент. Тогда функционал )(vJ дифференцируем по Фреше на множестве V и для
его градиента справедлива формула
,,)(
10
vvv
vJ
)),()((2)),(),((Re)( 00
00
0 xxvdzzxzx
v
vJ
L
(32)
)),()((2)),(),((Im)( 11
01
1 xxvdzzxzx
v
vJ
L
где )),(),(),(),,(,( 10 xxvxvxx определяется формулой (31).
Доказательство. Рассмотрим приращение функционала )(vJ на любом
элементе .Vv Пусть Hv — приращение любого элемента Vv такое, что
Vvv и ),;,();,(),( vzxvvzxzx где );,( vzx — решение
прямой задачи (1), (5) при .Vv Из условий (1), (5) следует, что функция
),( zx — решение следующей начально-краевой задачи:
))()(())()(()()( 11000 xvxvixvxvxa
x
xa
xz
i
,)()()( 101
22
1 xvixviaia ,),( zx (33)
,0)0,( x ),,0( lx ,0),(),0( zlz ),,0( Lz (34)
где ).;,(),( vvzxzx
Для того чтобы оценить решение этой начально-краевой задачи, умножим
обе части уравнения (33) на функцию ),( zx и полученное равенство проинте-
грируем по области .z Тогда из полученного равенства, вычитая его комплекс-
ное сопряжение и используя начальное условие из (34), имеем
ddxxvddxxvxvz
zz
DL
))((Im2))()((2),( 0
2
11
2
)(2
ddxaddxxv
zz
])[(Re2))((Re2
22
11 ].,0[ Lz
Отсюда в силу условия Vvv справедливо неравенство
58 ISSN 0572-2691
ddxbz
z
DL
2
2
2
)(
2),(
2
ddxxvddxxv
zz
)(2)(2 10
ddxa
z
222
1 )(2 , ].,0[ Lz (35)
В силу теоремы вложения пространство )),0(],,0([
0
1
2
0 lWLC вложено в простран-
ство ),(C поэтому можем записать следующие неравенства:
,),(max
2
)),0(],,0([
7
2
),(
0
1
2
0 lWLCzx
czx
(36)
.),(max
2
)),0(],,0([
7
2
),(
0
1
2
0 lWLCzx
czx
(37)
Учитывая эти неравенства и оценку (9), из неравенства (35) с помощью неравен-
ства Коши–Буняковского и леммы Гронуолла имеем
].,0[),(),(
2
),0(1
2
),0(08
2
),0( 222
Lzvvcz
lLlLlL
(38)
Вычисляя приращение функционала )(vJ на любом элементе ,Vv имеем
dxLxxyLxvJvvJvJ
l
)],())(),([(Re2)()()(
0
dxxvxxvxvxxv
l
)]())()(()())()([(2 111000
0
,),(
22
),0(2 HlL
vL (39)
где ),( zx — решение начально-краевой задачи (33), (34). Сначала преоб-
разуем первое слагаемое правой части этой формулы. Ясно, что функция
);,();,(),( vzxvvzxzx принадлежит пространству .0B Тогда
для любой функции )(2 L можем записать
))()(()()( 000 xvxvxa
x
xa
xz
i
dzdxiaiaxvxvi 1
22
111 )())()((
.)()( 10 dzdxxvidzdxxv
(40)
Кроме того, решение сопряженной задачи также принадлежит пространству ,0B
поэтому для любой функции )(21 L можем записать следующее тождество:
)()()( 00 xvxa
x
xa
xz
i
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 59
.0))(2()( 1
22
11
dzdxiaxiv (41)
В этом выражении вместо функции ),(11 zx возьмем функцию ),( zx
из .0B Тогда имеем
dzdx
x
xa
x
dzdx
z
i )(0
.0)))(2()()()(( 22
110
dzdxiaxivxvxa
Произведя интегрирование по частям в первом и во втором слагаемых левой части
этого равенства и используя условия (28), (29), (34), получим равенство
dzdx
x
xa
x
dzdx
z
i )(0
dzdxaixivxvxa )2)()()((
2
110
.),())(),((2)(
2
1 dxLxxyLxdzdxia
(42)
В (40) вместо функции ),( zx возьмем функцию ),( zx и из полученно-
го равенства вычтем комплексное сопряжение равенства (42). В результате полу-
чим соотношение
dzdxxvdzdxxvdxLxxyLx )()(Im)()(Re)],())(),([(Re2 10
dzdxadzdxxvdzdxxv ))((Im)()(Im)()(Re 2
110
.)(Im)(Im
2
1
2
1 dzdxadzdxa
(43)
Учитывая это равенство, получим следующую формулу для приращения функци-
онала:
dzdxxvdzdxxvvJ )()(Im)()(Re)( 10
),()]())()(()())()([(2 111000
0
vRdxxvxxvxvxxv
l
(44)
где )( vR определяется выражением
dzdxxvdzdxxvvR )()(Im)()(Re)( 10
dzdxadzdxa )(Im))((Im
2
1
2
1
.),()(Im
22
),0(
2
1
2 HlL
vLdzdxa
(45)
С помощью этой формулы нетрудно установить справедливость неравенства
60 ISSN 0572-2691
),0(0
22
),0( 22
()(.,)(
lLHlL
vvLvR
.)2()
2
)()()(1)(1)()(),0(1
222
LLLLLLlL
aav
Отсюда в силу неравенств (36), (37) и оценок (9), (30), (38), а также неравенства
2
)),0(],,0([
9
2
),(
0
1
2
0
),(max
lWLCzx
czx
(46)
получим неравенство ,)(
2
10 H
vcvR которое означает, что ).()(
H
vvR
Тогда с учетом этого соотношения приращение функционала )(vJ можно пред-
ставить в виде
dzdxxvdzdxxvvJ )()(Im)()(Re)( 10
).()]())()(()())()([(2 111000
0
H
l
vdxxvxxvxvxxv (47)
Используя функцию Гамильтона–Понтрягина и определение дифференцируемо-
сти по Фреше функционалов в функциональных пространствах, из формулы (47)
для приращения функционала )(vJ на любом элементе Vv получаем, что этот
функционал дифференцируем по Фреше на элементе Vv и для его градиента
справедлива формула (32).
Теорема 3 доказана.
Теперь, используя теорему 3, получим необходимое условие в виде вариаци-
онного неравенства.
Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 3 и, кроме того, Vv *
явля-
ется любым решением задачи идентификации (1), (5), (8). Тогда для любого Vv
справедливо неравенство
))()(())()((2)),(),((Re *
00
0 0
0
*
0
** xvxvxxvdzzxzx
l L
,0))()(())()((2)),(),((Im *
11
0
1
*
1
**
dxxvxvxxvdzzxzx
L
(48)
где ),;,(),( ** vzxzx );,(),( ** vzxzx — решения прямой и сопряжен-
ной задач при .* Vv
Доказательство. При выполнении условия теоремы 3 функционал )(vJ
дифференцируем по Фреше на множестве V и для его градиента справедлива
формула (32). Поэтому сначала докажем, что градиент )(vJ функционала )(vJ
непрерывен на множестве V. С этой целью достаточно доказать непрерывность
каждой компоненты градиента )(vJ на множестве V. Действительно, используя
формулу для ),(0 vJ имеем
dzzxzxvJvvJvJ
L
)),(),((Re)()()(
0
000
).(2)),(),((Re 0
0
xvdzzxzx
L
(49)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 61
Здесь );,();,(),(),(),( vzxvvzxzxzxzx — решение
следующей задачи:
))()(()()( 000 xvxvxa
x
xa
xz
i
))(2())()(( 22
111 iaxvxvi
,)()())(2( 10
22
1 xvixvia ,),( zx (50)
),,(2),( LxiLx ),,0( lx ,0),(),0( zlz ),,0( Lz (51)
где );,(),( vvzxzx — решение сопряженной задачи при .Vvv
Аналогично оценке (38) для решения начально-краевой задачи (33), (34)
можно установить оценку для решения задачи (50), (51):
].,0[),(),(
2
),0(1
2
),0(011
2
),0( 222
Lzvvcz
lLlLlL
(52)
Используя оценку (52) и оценки (9), (38), а также неравенства (37), (46), из равен-
ства (49) нетрудно получить оценку
).()(
2
),0(1
2
),0(012
2
),0(0
222 lLlLlL
vvcvJ (53)
Аналогично этому для )(1 vJ имеем
).()(
2
),0(1
2
),0(013
2
),0(1
222 lLlLlL
vvcvJ (54)
Таким образом, с помощью оценок (53), (54) получим
HH
vcvJvvJ 14)()( .Vv (55)
Из неравенства (55) следует непрерывность градиента )(vJ на множест-
ве V. Кроме того, легко доказать, что функционал )(vJ непрерывен на множестве V.
Итак, функционал )(vJ непрерывно дифференцируем по Фреше на множе-
стве V. С другой стороны, множество V выпуклое. Следовательно, выполня-
ются все условия теоремы, рассмотренной в [14, с. 28]. Тогда в силу этой же
теоремы имеем
,0),( ** H
vvvJ ,Vv (56)
где Vv * доставляет минимум функционалу (9) на множестве V. Учитывая в (56)
формулу (32) для градиента функционала ),(vJ получим утверждение теоремы.
Теорема 4 доказана.
Н.С. Ібрагімов
НЕОБХІДНА УМОВА В ЗАДАЧІ ІДЕНТИФІКАЦІЇ
ДЛЯ ОДНОВИМІРНОГО НЕЛІНІЙНОГО
СТАЦІОНАРНОГО РІВНЯННЯ КВАЗІОПТИКИ
Вивчається задача ідентифікації для одновимірного нелінійного стаціонарного
рівняння квазіоптики про визначення квадратично-сумованих коефіцієнтів, ко-
62 ISSN 0572-2691
ли нелінійна частина рівняння містить лише уявний коефіцієнт. При цьому
знайдено формулу для градієнта функціонала, побудованого за фінальним спо-
стереженням, і встановлено необхідну умову типу варіаційної нерівності. До-
ведено теорему існування і єдиності розв’язку прямої задачі.
N.S. Ibrahimov
A NECESSARY CONDITION
FOR THE PROBLEM OF IDENTIFICATION
FOR ONE-DIMENSIONAL NONLINEAR
STATIONARY EQUATION OF QUASI-OPTICS
The identification problem of one-dimensional nonlinear stationary equation of qua-
si-optics about the definition of square summable coefficients, when the nonlinear
part includes the purely imaginary coefficient is studied. The formula is found for
the gradient of the functional, built on the final observation and necessary condi-
tion of a variational inequality is established. The theorem of existence and uni-
queness of a solution for the direct problem is proved.
1. Воронцов М.А., Шмальгаузен В.И. Принципы адаптивной оптики. — М. : Наука, 1985. —
336 с.
2. Ягубов Г.Я. Задача оптимального управления для уравнения типа Шредингера // Числен-
ные методы и мат. обеспечение ЭВМ. — Баку : Изд-во АГУ, 1984. — С. 116–125.
3. Шамеева Т.Ю. Об оптимизации в задаче о распространении светового пучка в неоднородной
среде // Вестн. Москов. ун-та. Сер. вычисл. математика и кибернетика. — 1985. — № 1. —
С. 12–19.
4. Искендеров А.Д., Ягубов Г.Я. Вариационный метод решения обратной задачи об определе-
нии квантовомеханического потенциала // Докл. АН СССР. — 1988. — 303, № 5. —
С. 1044–1048.
5. Искендеров А.Д., Ягубов Г.Я. Оптимальное управление нелинейными квантовомеханиче-
скими системами // Автоматика и телемеханика. — 1989. — № 12. — С. 27–38.
6. Ягубов Г.Я. Оптимальное управление коэффициентом квазилинейного уравнения Шредин-
гера : Автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. — Киев, 1994. — 29 с.
7. Ягубов Г.Я., Мусаева М.А. О вариационном методе решения многомерной обратной задачи
для нелинейного нестационарного уравнения Шредингера // Изв. АН. Азерб. ССР. — Сер.
физ.-техн.-мат. наук. — 1994. — 15, № 5, 6. — С. 56–61.
8. Ягубов Г.Я., Мусаева М.А. Об одной задаче идентификации для нелинейного уравнения
Шредингера // Диф. уравнения. — 1997. — 33, № 12. — С. 1691–1698.
9. Искендеров А.Д. Определение потенциала в нестационарном уравнении Шредингера //
Проблемы мат. моделирования и опт. управления. — Баку, 2001. — С. 6–36.
10. Yagubov G.Y., Yildirim N. Problem of optimal control by unbounded coefficient of the nonlinear
Schrodinger equation // Abstracts of XVIII National Mathemat. Simpos. — 5–8 Sept. 2005,
Istanbul. — Р. 347–356.
11. Искендеров А.Д., Ягубов Г.Я. Оптимальное управление неограниченным потенциалом в
многомерном нелинейном и нестационарном уравнении Шредингера // Вестн. Ленкоран-
ского гос. ун-та. Сер. естествен. наук. — Ленкорань, 2007. — С. 3–56.
12. Mahmudov N.M. Solvability of boundary value problems for a Schrodinger equation with pure
imaginary coefficient in the nonlinear part of this equation // Proc. of IMM of NAS of Azerb. —
2007. — 27. — Р. 25–37.
13. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. — М. : Наука, 1973. — 408 с.
14. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. — М. : Наука, 1981. — 400 с.
Получено 30.03.2011
Статья представлена к публикации членом редколлегии Ф.Г. Гаращенко.
|