Численное решение некоторых обратных задач для эллиптических систем с использованием псевдообратных матриц

Розглянуто ряд обернених задач для еліптичних рівнянь, що моделюють стан багатокомпонентних суцільних середовищ. Для дискретизації задач стану систем використовується метод скінченних елементів. Для числового розв’язання одержаних в роботі дискретних обернених задач пропонується використовувати псев...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2011
Hauptverfasser:	Сергиенко, И.В., Дейнека, В.С.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2011
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Методы обработки информации
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207326
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Численное решение некоторых обратных задач для эллиптических систем с использованием псевдообратных матриц / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 4. — С. 73–97. — Бібліогр.: 31 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-207326
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2073262025-10-07T00:22:44Z Численное решение некоторых обратных задач для эллиптических систем с использованием псевдообратных матриц Числове розв’язання деяких обернених задач для еліптичних систем із використанням псевдообернених матриць Numerical Solution of Some Inverse Problems for Elliptic Systems Using Pseudoinverse Matrices Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. Методы обработки информации Розглянуто ряд обернених задач для еліптичних рівнянь, що моделюють стан багатокомпонентних суцільних середовищ. Для дискретизації задач стану систем використовується метод скінченних елементів. Для числового розв’язання одержаних в роботі дискретних обернених задач пропонується використовувати псевдообернення матриць. A number of inverse problems for elliptic equations which model the state of multicomponent continuous media is considered. The finite elements method is used for discretization of problems of systems state. For numerical solution of obtained discrete inverse problems it is proposed to use pseudoinversion of matrixes 2011 Article Численное решение некоторых обратных задач для эллиптических систем с использованием псевдообратных матриц / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 4. — С. 73–97. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207326 539.3:519.6 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Методы обработки информации Методы обработки информации
spellingShingle	Методы обработки информации Методы обработки информации Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. Численное решение некоторых обратных задач для эллиптических систем с использованием псевдообратных матриц Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто ряд обернених задач для еліптичних рівнянь, що моделюють стан багатокомпонентних суцільних середовищ. Для дискретизації задач стану систем використовується метод скінченних елементів. Для числового розв’язання одержаних в роботі дискретних обернених задач пропонується використовувати псевдообернення матриць.
format	Article
author	Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С.
author_facet	Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С.
author_sort	Сергиенко, И.В.
title	Численное решение некоторых обратных задач для эллиптических систем с использованием псевдообратных матриц
title_short	Численное решение некоторых обратных задач для эллиптических систем с использованием псевдообратных матриц
title_full	Численное решение некоторых обратных задач для эллиптических систем с использованием псевдообратных матриц
title_fullStr	Численное решение некоторых обратных задач для эллиптических систем с использованием псевдообратных матриц
title_full_unstemmed	Численное решение некоторых обратных задач для эллиптических систем с использованием псевдообратных матриц
title_sort	численное решение некоторых обратных задач для эллиптических систем с использованием псевдообратных матриц
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Методы обработки информации
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207326
citation_txt	Численное решение некоторых обратных задач для эллиптических систем с использованием псевдообратных матриц / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 4. — С. 73–97. — Бібліогр.: 31 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT sergienkoiv čislennoerešenienekotoryhobratnyhzadačdlâélliptičeskihsistemsispolʹzovaniempsevdoobratnyhmatric AT dejnekavs čislennoerešenienekotoryhobratnyhzadačdlâélliptičeskihsistemsispolʹzovaniempsevdoobratnyhmatric AT sergienkoiv čisloverozvâzannâdeâkihobernenihzadačdlâelíptičnihsistemízvikoristannâmpsevdoobernenihmatricʹ AT dejnekavs čisloverozvâzannâdeâkihobernenihzadačdlâelíptičnihsistemízvikoristannâmpsevdoobernenihmatricʹ AT sergienkoiv numericalsolutionofsomeinverseproblemsforellipticsystemsusingpseudoinversematrices AT dejnekavs numericalsolutionofsomeinverseproblemsforellipticsystemsusingpseudoinversematrices
first_indexed	2025-10-07T01:09:23Z
last_indexed	2025-10-08T01:04:06Z
_version_	1845373641639854080
fulltext	© И.В. СЕРГИЕНКО, В.С. ДЕЙНЕКА, 2011 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 73 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ УДК 539.3:519.6 И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПСЕВДООБРАТНЫХ МАТРИЦ Использование новых материалов, решение проблем продления ресурса объ- ектов различного назначения и др. часто требуют решения обратных задач по определению нагрузок, мощностей тепловых потоков, воздействующих на иссле- дуемое тело, физических характеристик его составляющих и прочее. В работе [1] рассматривались вопросы построения на основе результатов теории оптимального управления состояниями различных многокомпонентных распределенных систем [2] явных выражений градиентов функционалов-невязок для идентификации итерационными градиентными методами [3] различных пара- метров различных многокомпонентных сплошных сред. В данной работе рассматриваются вопросы использования псевдообращения матриц для идентификации за конечное число арифметических действий некото- рых параметров эллиптических систем с условиями сопряжения. 1. Восстановление плотности теплового потока при наблюдении за температурой на части границы тела Пусть на ограниченной связной области nR определено эллиптическое уравнение , ~ )( 0 1, f x y xk x j ij i n ji                 (1) где ,,1,,,,,),()( 12 1 0 1, 1 njixRkCCkk jii n i jiij n ji jiij    . ~ ),( ~ 00  fCf На границе  области  заданы смешанные краевые условия: , 1   y ,,),(cos 2 1,      xux x y k i j ij n ji (2) ,,),(cos 3 1,      xyx x y k i j ij n ji где   jii i CC ,),(),(,0const 3 1 13 при ;3,1,,  jiji )( 2Cu  считаем неизвестным. 74 ISSN 0572-2691 Пусть на участке 30  известно решение )( xyy  задачи (1), (2), задан- ное равенством ., 0 1 0  xfy (3) Таким образом, получена задача (1)(3), состоящая в определении функции ),( 2 Cu U при которой решение );( xuyy  краевой задачи (1), (2) удовле- творяет равенству (3). Пусть );0( xyy   решение краевой задачи (1), (2) при .0u Тогда для определения искомой функции Uu на основании (1)(3) по- лучаем задачу: ,,0)( 1,                 x x y xk x j ij i n ji (4) ,0 1   y (5) ,,),(cos 2 1,      xux x y k i j ij n ji (6) ,,),(cos 3 1,      xyx x y k i j ij n ji (7) ,, 00  xfy (8) где .);0( 0 1 00   xyff Пусть m ll x 1)}({   система линейно независимых функций, определенных на участке .2 Искомую функцию )(xu определим в виде .,1,,),()( 1 mlRuuxuxuu lmmll m l m    UU (9) При каждом фиксированном mu U вместо классического решения краевой за- дачи (4)–(7) используем ее обобщенное решение, т.е. функцию  );()( xuyuyy },0:)()({ 1 1 20   vWxvH которая 0)( Hxz  удовлетворяет равенству ),;(),( zиlzya  (10) где .);(,),( 23 1, 23           uzdzulyzddx x z x y kzya ij ij n ji (11) Предполагаем, что для всех функций 0)( Hxv  справедливо неравенство Фридрихса [4], т.е. что билинейная форма ),( a эллиптична на .0H В силу леммы Лакса–Мильграма [5] при каждом фиксированном Uu решение  )(uyy );( xuy задачи (10) существует, единственно в 0H и доставляет на 0H мини- мум функционалу ).;(2),();( zulzzazu  (12) При каждом фиксированном u каждую из эквивалентных задач (10), (12) мо- жем решить численно с использованием метода конечных элементов (МКЭ). Для этого область  разобьем на 1N конечных элементов   jii N i i eeee ,( 1 1 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 75 при ),1,, 1Njiji  регулярного семейства [5] с конечно-элементным базисом ,)}({ 1 N i k i x  k  степень полных полиномов МКЭ подпространства N kH функций МКЭ ).(xvN k Тогда N k N k Hxv  )( ),(2);(2),();( uBVVAVvulvvavu N k N k N k N k   (13) где .)(,)}({,0),,(,}{ 211, 2       duububBAAaaaA k ii N ii k j k iij N jiij При mu U имеем .)(,)}({)( 2 1 1 2     duububuB k ill m l mi N imim (14) Из условия минимума функционала (13) с учетом (14) для каждого фиксиро- ванного mmu U получаем систему линейных алгебраических уравнений , 1 ll m l BuVA    (15) где .,}{ 21 2     dbbB k illi N ilil В силу положительной определенности матрицы A решение N m RuVV  )( линейной задачи (15) при каждом фиксированном mmu U существует, един- ственно и представимо в виде ,)( 1 l l m l m VuuV    (16) где Nl RV   единственное решение системы линейных алгебраических урав- нений (15) при )(xu l , .,1, mlBVA l l  (17) Теорема 1. Пусть при каждом фиксированном mmu U классическое реше- ние )( muyy  краевой задачи (4)(7) принадлежит пространству Соболева ).(1 2 kW Тогда для приближенного решения N km N k N k HxuVxV  );()( эквивалентных за- дач (10), (12) имеет место оценка , )(1 2 k W N k chVy   (18) где h  наибольший из диаметров всех конечных элементов регулярного семей- ства разбиения области , k  степень полиномов МКЭ. Если ,);( 0  xuyAu то 0 );(  xuV m N k  конечно-элементное приближение .mAu Здесь ,)();( 00 11      xVuxuV i l i N i l m l m N k где .}{ 1 N i l i l VV  (19) Поскольку [6] )(1 2  Wv , )(0)( 1 22   WL vcv то из оценки (18) имеем .1)( 02 k L N km hcVAu   (20) 76 ISSN 0572-2691 На основании (8) с учетом (19) получаем дискретную обратную задачу ,0 0 N k N km N k fVuA   (21) где )(,)(,}{ 0 0 1 00100 xxfffff ii N k N i N k N i N k N k ii       те базисные функции пространства ,N kH которые соответствуют значениям интерполируемых функций или частных их производных в узловых точках, принадлежащих участку ;0 iN kf0  значение функции )(0 xf или ее определенной частной производной в уз- ловой точке, принадлежащей участку ,0 , 1 l m l lm N k VuuA    lV  вектор значе- ний функции N kV или ее частных производных в узловых точках, расположенных на участке .0 На основании (21) можно записать N k l m l l fVu 0 1   (22) или ,bAU  (23) где mNA   прямоугольная матрица, m столбцов которой образуют N -мер- ные векторы-столбцы ,}{ 1 N i l i l VV  элементы которых являются значениями ко- нечно-элементных решений прямых задач при ),(xu l ,,1 ml  в точках ,0 ixx .,1 Ni  Заметим, что при использовании эрмитовых полиномов МКЭ количество строк матрицы A может быть больше количества узловых то- чек ix на .0 Известно, что при mN  и 0det A классическое решение U задачи (23) су- ществует и единственно ;1bAU  если 0det A или ,mN  то задача (23) мо- жет не иметь классического решения. Тогда рассматривается обобщенное реше- ние U (решение в смысле наименьших квадратов) как вектор, удовлетворяющий равенству ,min bAXbAU mX   (24) где   евклидова норма. Известно, что обобщенные решения, и только они, являются решениями (классическими) всегда совместной системы линейных алгебраических уравнений ,TT bAAUA  (25) где A  матрица, транспонированная по отношению к А. Обобщенное решение U, имеющее наименьшую евклидову норму, называется нормальным обобщенным решением, которое всегда существует и единственно [7]. Для систем линейных алгебраических уравнений (23) с матрицами А полного ранга ),(min mNrA  (при mN   недоопределенная  система (23) совмест- на, но имеет неединственное решение; и переопределенная при mN   систе- ма (23) может быть несовместной). Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 77 Из [8] следует, что единственное нормальное пcевдорешение переопределен- ной системы (23) с матрицей А полного ранга является классическим решением системы bAAUA   (26) с квадратной невырожденной (в силу равенства рангов матриц ), AAA  матрицей AA порядка m. Для недоопределенной системы (23) ее нормальное пcевдорешение 0U из решения у системы [8] byAA  (26) с квадратной невырожденной матрицей AA порядка N получаем в виде .0 yAU  (27) Для системы (23) с прямоугольной матрицей А неполного ранга или вырож- денной квадратной матрицей А можно использовать сингулярное разложение [9] псевдообратных матриц А Мура–Пенроуза [10, 11], методы регуляризации А.Н. Тихонова [12, 13], многочленные методы регуляризации и регуляризованные итерационные процессы [14], итерационные процессы высоких скоростей сходи- мости [15, 16], прямые методы, описанные в [7]. Из [9] следует, что существуют ортогональная матрица ,NNU  ортого- нальная матрица mmV  и «диагональная» матрица mN  такие, что для прямоугольной матрицы mNA  ранга r имеет место представление ,,   VUAAVU (28) где r ее диагональных элементов строго больше нуля и их можно расположить в невозрастающем порядке, т.е. при },{min mNr  ],...,,,[diag },min{21 mN а при },{min mNr  ].0...,,0,...,,,[diag 21 r Здесь .021  r Представление (28) называют сингулярным разложением матрицы А. Диаго- нальные элементы ,l ,,1 rl  являются неотрицательными значениями квадрат- ных корней из общих собственных значений матриц AA и AA и считаются сингулярными числами матрицы А. Матрица U получена из N ортонормирован- ных собственных векторов матрицы ,AA матрица V  из т ортонормированных собственных векторов матрицы AA . Зная сингулярное разложение, получаем [7, 9, 17] псевдообратную матрицу ,  UVA (29) позволяющую определить единственное нормальное псевдорешение [9] bUVbAU  0 задачи (23), где ],...,,,[diag },min{21   mN ii  /1 при ,0i ,,1 ri  и 0i при ,0i }.,{min....,,1 mNri  Детальное рассмотрение вопросов построения нормальных обобщенных ре- шений систем линейных алгебраических уравнений (23) с прямоугольными мат- рицами размерности mN  и с квадратными вырожденными матрицами на осно- ве сингулярного разложения проведено, например, в работах [9, 17]. 78 ISSN 0572-2691 Следует заметить, что матрица А системы линейных алгебраических уравне- ний (23) есть дискретное приближение оператора ,A порожденного задачей (10) при .)()( 1 mll m l m xuxuu U   Столбцы ,lA ,,1 ml  оператора A образуют векторы ,lY являющиеся следами на 0 решения )(xyl задачи );(),( zlzya l l  , ,,1,0 mlHz  а столбцы lV длины ,N образованные из решений lV задач (25), элементы кото- рых являются значениями конечно-элементных решений в точках ,0ix обра- зуют матрицу А. В силу того, что оператор А построен по МКЭ, он аппроксими- рует оператор A с некоторой погрешностью ,AE а вектор b аппроксимирует функцию ,0f заданную с погрешностью , т.е. вектор b системы (23) имеет об- щую погрешность .BE Следуя [17], для матрицы mNA  полного ранга ),(Ar т.е. в случае },,{min)( mNAr  относительную наследственную погрешность при условии 1 AA для mN  оценим как ,))(1( )(1 )(0                      BA A EE AU e Ah EAh Ah U UU а для mN   , )(1 )2)((0 A BA EAh EEAh U UU     где bEbbbEAAAbUAe BA ,,,   вектор точных значений замеров-наблюдений в точках ,0ix ,,1 Ni  .)(  AAAh В работах [12, 13] рассмотрен вопрос получения нормального псевдорешения 0U системы линейных алгебраических уравнений (23) с действи- тельной прямоугольной или вырожденной квадратной матрицей А на основе ре- шения системы линейных алгебраических уравнений ,)( bAUEAA     (30) где матрица EAA  симметричная и положительно определенная, 0.const  Показано, что при , AAA  Bbb точность исходных данных удовлетворяет условию )( 00 U и параметр  выбран в зависимости от ,  в интервале [17] ),( )( 0 2    где )( и )(0   какие-либо функции, стре- мящиеся к нулю при 0 и ).( )( 0 2    При этих условиях имеем .0  UU 2. Восстановление плотности теплового потока при наблюдениях на нескольких участках Пусть состояние системы описывается краевой задачей (1), (2), где )( 2 Cu U считаем неизвестным. На участках ,i ,,1 Ni  известно решение задачи (1), (2), заданное ра- венствами ,1ify i   .,1 Ni  (31) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 79 Пусть );0( xy  решение краевой задачи (1), (2) при 0u . Тогда для опре- деления искомой функции Uu на основании (1), (2), (31) получаем задачу, со- стоящую в отыскании элемента ,Uu при котором решение );( xuy краевой за- дачи (4)(7) удовлетворяет ограничениям ,);( ifxuy i   ,,1 Ni  (32) где известные функции ,if ,,1 Ni  получаем аналогично тому, как была получе- на функция 0f в предыдущем разделе. Пусть m ll x 1)}({   система линейно независимых функций, определенных на участке .2 Искомую функцию )(xu определим в виде ),()( 1 xuxuu ll m l m    .UU  mmu (33) При каждом фиксированном mu U вместо классического решения краевой задачи (4)(7) используем ее обобщенное решение, т.е. функцию  )(uyy ,);( 0Hxuy  которая 0)( Hxz  удовлетворяет равенству (10). При каждом фиксированном mu U каждую из эквивалентных задач (10), (12) будем решать числено с использованием МКЭ, как описано в разд. 1. Из условия минимума функционала (13) с учетом (14) для каждого фиксиро- ванного mmu U получаем систему линейных алгебраических уравнений (15). Справедливы теорема 1 и оценка (20). Имеют место представления (16), (19). На основании (19), (32) можем записать: ,N km N k fuA  (34) где ,}{... 1 21 N i i k N kkk N k fffff  i kf  вектор длины ,iN элементы которо- го являются коэффициентами разложения функции if по тем базисным функ- циям МКЭ, которые соответствуют узловым точкам, расположенным на ,i ),()( 1 xfxf i j i kj N j i i    т.е. ,)...,,...,,...,,...,,...,,( 11 11 1 1  N kN N k i kN i kkNk N k fffffff i ,AUuA m N k  ,)...,,( 1  muuU (предполагается, что i не пересекают внутренности конечных элементов, в про- тивном случае достаточно положить ),( ji i kj xff  ).ijx  Матрица mnA  , где , 1    N i iNn iN  количество узловых точек, принадлежащих участку ,i имеет вид , 21 1 2 1 1 1            m NNN m VVV VVV A    , , 2 1                l Ni l i l i l i i V V V V  (35) 80 ISSN 0572-2691 l ijV  значение решения );( xy l N k  задачи (10) при lu  в точке ,ijx  т.е. i jl N k l ij xyV   );( , .,1 iNj  На участке i узловые точки имеют локальную нумерацию от 1 до .iN Следовательно, на основании равенства (34) для определения вектора ,mRU  элементы которого являются коэффициентами разложения (33), получа- ем систему линейных алгебраических уравнений BAU  (36) с матрицей mnA  и вектором .nB  Относительно системы (36) справедливы все замечания, высказанные приме- нительно к задаче (23). 3. Восстановление внутренних источников/стоков Пусть на области nR определено эллиптическое уравнение ),()( ~ )( 00 1, xuf x y xk x j ij i n ji                 (37) где ,0  0  ограниченная связная область, ).( 02 Lu На границе  области  заданы смешанные краевые условия: , 1   y ,,),(cos 2 1,      xgx x y k i j ij n ji (38) .,),(cos 3 1,      xyx x y k i j ij n ji Пусть на участке ,320  ,i ,,1 Ni  известны следы решения краевой задачи (37), (38), заданные равенствами , ~ ify i   .,0 Ni  (39) Задача (37)(39) заключается в определении функции ),()( 02  Lxuu U при которой решение )(xyy  краевой задачи (37), (38) удовлетворяет равен- ствам (39). Аналогично предыдущему случаю от задачи (37)(39) с неоднородными условиями перейдем к линейной задаче идентификации. Пусть );0( xyy   ре- шение краевой задачи (37), (38) при 0.u Тогда для определяемой искомой функции Uu на основании (37), (38) получаем задачу: ,)()( 0 1, u x y xk x j ij i n ji                 ,x (40) ,0 1   y (41) ,0),(cos 1,      i j ij n ji x x y k ,2x (42) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 81 ,),(cos 1, yx x y k i j ij n ji      ,3x (43) , 1 ify   ,,0 Ni  (44) где ,);0( ~ i xyff ii   .,0 Ni  (45) Пусть m ll x 1)}({   система линейно независимых функций т-мерного под- пространства ).( 02  Lm UU Искомую функцию )(xu определим в виде ),()( 1 xuxuu ll m l m    ,Rul  .,1 ml  (46) При каждом фиксированном mm xuu U )( обобщенным решением краевой задачи (40)(43) называется функция ,);()( 0Hxuyuyy mm  которая 0)( Hxz  удовлетворяет равенству (10), где билинейная форма ),( a определена соответ- ствующим выражением (11), а .);( 0 dxzuzul mm    При каждом фиксированном u задачу (10) решим с помощью МКЭ. На основе МКЭ для каждого mm xu U)( получаем систему линейных алгебраических урав- нений (15), где матрица A определена в разд. 1, , 0 dxB k ill    )(xk i  i-я ба- зисная функция МКЭ. В силу положительной определенности матрицы A и линейности зада- чи (15) решение N m RuVV  )( задачи (15) существует, единственно и предста- вимо в виде (16), где Nl RV   решение системы линейных алгебраических уравнений (15) при )(xu l и имеет место равенство вида (17). Справедлива теорема, аналогичная теореме 1. Если ,}{ 0 N i i uAAu  ,);( i xuyAi u   то ,}{ 0 N i m ki m k VV  .)( 11 i xVuV j l j N j l m l m ki     (47) С учетом [5, 6] легко показать, что .2 1 2 )( 0 2 k L m kim i N i hcVuA i     (48) На основании (44) с учетом (47) получаем дискретную обратную задачу .km m k fuA  (49) Равенство (49) можем записать в виде системы линейных алгебраических уравнений ,bAU  (50) где ,, 0     N i i mn NnA  iN  количество узловых точек МКЭ, принадлежащих участку ,i 82 ISSN 0572-2691 , 21 1 2 1 1 1 0 2 0 1 0                m NNN m m VVV VVV VVV A     , , 2 1                l Ni l i l i l i i V V V V  (51) ,)...,,,( 10  mbbbb ,)...,,,( 21  iN iiii bbbb ),( ji j i xfb  jx  j-й узел МКЭ в их локальной нумерации на участке ,i ,)...,,( 1  muuU ,)....,,,( T ,21 l Ni l i l i l i i VVVV  .);( i jl l ij xyV   Для решения системы линейных алгебраических уравнений (50) справедливы все рассуждения, проведенные в разд. 1 применительно к системе (23). 4. Одновременное восстановление параметров краевых условий Неймана и Фурье Пусть на ограниченной связной области nR определено эллиптическое уравнение . ~ )( 0 1, f x y xk x j ij i n ji                 (52) На границе  области  заданы смешанные краевые условия: , 1   y ,,),(cos 21 1,      xux x y k i j ij n ji (53) .,),(cos 32 1,      xuyx x y k i j ij n ji Пусть на участках ,i ,,1 Ni  известны следы решения краевой задачи (52), (53), заданные равенствами , ~ )( ifxy i   .,1 Ni  (54) Пусть );0( xyy   решение краевой задачи (52), (53) при  ),( 21 uuu ).()( 3222  LLU Тогда для определения вектора Uu получаем задачу: ,0)( 1,                 j ij i n ji x y xk x ,x (55) ,0 1   y (56) ,),(cos 1 1, ux x y k i j ij n ji      ,2x (57) ,),(cos 2 1, uyx x y k i j ij n ji      ,3x (58) ,ify i   ,,1 Ni  (59) где ,);0( ~ i xyff ii   .,1 Ni  Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 83 Вместо классического решения краевой задачи (55)(58) используем ее обобщенное решение, т.е. функцию ,);()( 0Hxuyuyy  которая 0Hz удо- влетворяет равенству (10), где билинейная форма ),( a определена соответству- ющим выражением (11), .);( 321 32    dzudxzuzul Cоставляющие mm uu 21 , искомой вектор-функции muu  определим в виде ,),( ,),( 322 1 2 211 1 1 2 1       xxuu xxuu ll m l m ll m l m где ,,))(),(( 2121 21 mmmxuxuu mmmmmm  UUU 1 11 )}({ m ll x    базис ко- нечномерного подпространства 1mU функций, определенных на участке ,2 2 12 }{ m ll    базис конечномерного подпространства 2mU функций, определенных на участке .3 При каждом фиксированном mmu U задачу (10) будем решать с помощью МКЭ. В результате получаем систему линейных алгебраических уравнений , 1 ll m l BuVA    (60) где ,)...,,,( 21  mm uuuu ll uu 1 при ,,1 1ml  1,2 mll uu  при ,,11 mml  мат- рица A совпадает с матрицей A системы (15), ,}{ 1 m ilil bB  21 2    db k illi при ,,1 1ml  3,2 1 3     db k imlli при .,11 mml  В силу положительной определенности матрицы A и линейности задачи (60) решение N m RuVV  )( задачи (60) существует, единственно и предста- вимо в виде ,)( 1 l l m l m VuuV    (61) где Nl RV   решение системы линейных алгебраических уравнений (60) при ,lmu  где )0,( 1ll  при 1,1 ml  и ),0( 1,2 mll  при ,,11 mml  т.е. lV  решение системы линейных алгебраических уравнений ,l l BVA  .,1 ml  Справедлива теорема, аналогичная теореме 1. Пусть ,}{ 1 N iiuAAu  .);( i xuyuAi   Тогда конечно-элементное приближе- ние составляющей uAi оператора Au запишем ii xVuxuVxuV j l j N j l m l m N km N ki      )();();( 11 , (62) где )(xj  базисная функция МКЭ. 84 ISSN 0572-2691 Имеет место оценка , 2 k L m k chVAu  (63) где .}{ 1 N i N ki m k VV  На основании (50) с учетом (62) получаем дискретную обратную задачу ,fAU  (64) где ,),,( 1  Nfff  ,)}({ 1 iN jjii xff  ,)...,,( 1  muuU , 21 1 2 1 1 1            m NNN m VVV VVV A    ,)....,,( ,1  l Ni l i l i i VVV l ijV  значение решения );( xy l N k  задачи (60) при lu  в точке ,ijx  т.е. ,);( i jl N k l ij xyV   .,1 iNj  На участках i узловые точки имеют локальную нумерацию от 1 до .iN Относительно системы линейных алгебраических уравне- ний (64) с прямоугольной матрицей размерности mN i N i  1 справедливы все за- мечания, высказанные применительно к системе (23). 5. Восстановление плотности теплового потока задачи с условиями сопряжения при наблюдениях на части границы тела Пусть на каждой из ограниченных связных строго липшицевых областей nR 21, таких, что ,21  ,021  определено эллиптиче- ское уравнение ,)( 0 1, f x y xk x j ij i n ji                 (65) где ),()(, 1 llijjiij CCkkk l   ,,,,2 1 0 1, ljii n i jiij n ji xRk    ,2,1l .0const0  (65) На границе  \)( 21 заданы смешанные краевые условия: , 1   y ,,),(cos 2 1,      xux x y k i j ij n ji (66) .,),(cos 3 1,      xyx x y k i j ij n ji Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 85 Условия сопряжения неидеального контакта на участке  имеют вид ],[),(cos ,0),(cos 1, 1, yrx x y k x x y k i j ij n ji i j ij n ji                              (67) где ,][   )(}{ x  при ,2 x )(}{ x  при ,1 x   орт нормали к участку , направленный в область .2 Пусть на участке 30  известно решение )(xyy  краевой задачи (65)(67), заданное равенством . ~ 0fy  (68) Задача (65)(68) состоит в определении функции ),( 22  Lu U при кото- рой решение );( xuyy  краевой задачи (65)(67) удовлетворяет равенству (68). Пусть );0( xyy   решение краевой задачи (65)(67) при .0u Тогда для опре- деляемой искомой функции Uu на основании (65)(67) получаем задачу: ,0 1,                 j ij i n ji x y k x ,lx  ,2,1l (69) ,0 1   y (70) ,,),(cos 2 1,      xux x y k i j ij n ji (71) ,,),(cos 3 1,      xyx x y k i j ij n ji (72) ,,0),(cos 1,               xx x y k i j ij n ji (73) ,],[),(cos 1,                xyrx x y k i j ij n ji (74) ,, 00  xfy (75) где .);0( ~ 0 00   xyff Пусть m ll x 1)}({   система линейно независимых функций, определенных на участке ,2 и является базисом подпространства .UU m Искомую функцию u(x) задачи (69)–(75) определим в виде (9). При каждом фиксированном mu U вместо классического решения краевой задачи (69)–(74) используем ее обобщенное решение, т.е. функцию  )(uyy },0,2,1),(:)({);( 1 1 20   viWvxvHxuy i i которая 0)( Hxz  удо- влетворяет равенству ),;(),( zиlzya  (76) 86 ISSN 0572-2691 где .);( ,]][[),( 2 3 1, 2 1 2 3              dzuzul dzydzydx x z x y kzya l n ji ij ij l (77) Следуя [18], при определенном выборе участков 31,  легко показать эллип- тичность билинейной формы a( , ) на множестве .0H Тогда в силу леммы Лакса– Мильграма [5] при каждом фиксированном Uu решение задачи (76) существу- ет, единственно и является единственной функцией, доставляющей на 0H мини- мум функционалу ).;(2),();( zulzzazu  (78) При каждом фиксированном Uu каждую из эквивалентных задач (76), (78) можем решить с помощью МКЭ [18]. Для этого каждую из областей ,2,1,  ll разобьем на конечные элементы l ie регулярного семейства [5] с конечно-элемент- ным базисом ,)}({ 1 N i k i x  где k  степень полных полиномов МКЭ подпростран- ства N kH функций МКЭ ).(xvN k Тогда N k N k Hxv  )( имеем ),(2);(2),();( uBVVAVvulvvavu N k N k N k N k   (79) где .)(,)}({,0),,(,}{ 211, 2       duububBAAaaaA k ii N iijiij N jiij При mmuu U имеем .)(,)}({)( 2 1 1 2       duububuB k i m l llmi N imim (80) Из условия минимума функционала (79) с учетом (80) для каждого фиксиро- ванного mmuu U получаем систему линейных алгебраических уравнений , 1    m l ll BuVA (81) где .,}{ 21 2     dbbB k illi N ilil В силу положительной определенности матрицы A при каждом фиксиро- ванном mmuu U решение N muVV  )( линейной задачи (81) существует, единственно и представимо в виде ,)( 1    m l l lm VuuV (82) где NlV   единственное решение системы линейных алгебраических урав- нений (81) при )(xu l и .,1, mlBVA l l  (83) Имеет место следующее утверждение. Теорема 2. Пусть при каждом фиксированном mmuu U классическое решение )( muyy  краевой задачи (69)–(74) на каждой из областей l принад- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 87 лежит пространству Соболева ),(1 2 l kW  .2,1l Тогда для приближенного ре- шения N km N k N k HxuVxV  );()( имеет место [18] оценка ,1 2 k W N k hcVy  (84) где ,constc h  наибольший из диаметров всех конечных элементов регуляр- ного семейства разбиения областей ,, 21  k  степень полиномов МКЭ, . 2 1 2 )( 2 1 2 1 2     l WW l Если ,);( 0  xuyAu то 0 );(  xuV m N k  конечно-элементное приближе- ние .mAu Здесь ,)();( 11 00       N i i l i m l lm N k xVuxuV (85) где .}{ 1 N i l i l VV  На основании (75) с учетом (82) получаем дискретную обратную задачу ,FAU  (86) где ,),,,( 21 mNmVVVA   ,}{ 1 N i l i l VV  ),;( il N k l i xVV  ,}{ 10 N iifF  ),(00 ii xff  ix  узловые точки, расположенные на участке ,0 N  их количе- ство. Для решения системы линейных алгебраических уравнений (86) сохраняются в силе все замечания, высказанные в разд. 1 применительно к системе (23). 6. Одновременная идентификация параметров краевых условий Неймана и Фурье Пусть на каждой из областей 21,  определена система дифференциаль- ных уравнений (65). На границе  \)( 21 заданы смешанные краевые условия .,),cos( ,,),cos( , 32 1, 21 1, 1             xuyx x y k xux x y k y n ji i j ij n ji i j ij (87) Условия сопряжения неидеального контакта на участке  имеют вид .][),cos( ,0),cos( 1, 1, yrx x y k x x y k i j ij n ji i j ij n ji                              (88) Пусть на участках ,,1, Nii  известны следы решения краевой задачи (65), (87), (88), заданные равенствами .,1, ~ )( Nifxy i i   (89) 88 ISSN 0572-2691 Пусть );0( xyy   решение краевой задачи (65), (87), (88) при ).()(),( 322221  LLuuu U Тогда для определения вектора Uu получаем задачу, заданную равенствами ,,0)( 1,                 x x y xk x j ij n ji i ,,),cos( ,0 21 1, 1        xux x y k y n ji i j ij (90) ,,),cos( 32 1,      xuyx x y k n ji i j ij и ограничениями (88), решение которой удовлетворяет системе равенств ,,1, Nify i i   (91) где .,1,);0( ~ Nixyff i ii   Пусть im l i l x 1 )}({    система линейно независимых функций гильбертова пространства ,2,1),( 12   iL i где .21 mmm  Составляющие ,2,1, iui иско- мой вектор-функции Uu определим в виде .)()(),()( 2 1 221 1 11 21            xuxuxuxuuu l m l lml m l lmm (92) При каждом фиксированном UU  mm xu )( обобщенным решением крае- вой задачи (88), (90) называется функция ,);()( 0Hxuyuyy mm  которая 0)( Hxz  удовлетворяет равенству (76), где пространство 0H и билинейная форма a(  , ) описаны в разд. 5, .);( 3 2 2 1 32    dzudzuzul mm (92) Следуя [18], при определенном выборе участков 31,  для фиксированного mmu U можно показать существование и единственность решения у задачи ви- да (76), которое доставляет на 0H минимум функционалу вида (78). При каждом фиксированном UU  mmuu каждую из эквивалентных за- дач вида (76), (78) можем решить с помощью МКЭ. В результате получаем систе- му линейных алгебраических уравнений , 1    m l ll BuVA (93) где 1 21 ,),...,,( lll uuuuuU   при 2 1 1 ,,1 mll uuml   при mml ,11  , A  матрица системы линейных алгебраических уравнений МКЭ одной из эквива- лентных задач вида (76), (78), ,}{ 1 m ilil bB  2 1 2    db k illi при ,,1 1ml  3 2 1 3     db k imlli при .,11 mml  Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 89 В силу положительной определенности матрицы A МКЭ и линейности за- дачи (93) ее решение N muVV  )( существует, единственно и представимо в виде ,)( 1    m l l lm VuuV (94) где NlV   решение системы (93) при ),0,(, 1 lllmu  ,,1 1ml  и ),,0( 2 1mll   ,,11 mml  т.е. lV  решение системы линейных алгебраиче- ских уравнений .,1, mlBVA l l  Справедлива теорема, аналогичная теореме 1. Пусть .);(,}{ 1 i xuyuAuAAu i N ii   Тогда конечно-элементное приближе- ние составляющей uAi оператора Au запишем ,)();();( 11       N j j l j m l lm N km N ki ii xVuxuVxuV (95) где )(xj  базисная функция МКЭ. Имеет место оценка , 2 k L m k hcVAu  (95) где .,}{ 1 m N i N ki m k uuVV   На основании (91) с учетом (95) получаем дискретную обратную задачу ,FAU  (96) где ,),...,(,, ,1 2 1 21 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1                              iNiii N m NNN m m fff f f f F VVV VVV VVV A      ,),,(),( ,1  l Ni l i l ijiij i VVVxff  l ijV  значение решения );( xy l N k  задачи (76) при lu  в точке ,ijx  т.е. .,1,);( ijl N k l ij NjxyV i   На участках i узловые точки имеют локальную нумерацию узлов от 1 до .iN Относительно системы линейных алгебраических уравнений (96) с прямоугольной матрицей размерности mN N i i  1 справедливы все замечания, высказанные применительно к системе (23). 7. Восстановление внутренних источников/стоков на составном теле Пусть на каждой из ограниченных связных строго липшицевых областей nR 21, таких, что ,21  ,21  определено эллипти- ческое уравнение .2,1,),( 1,                 lxxu x y k x ll j ij n ji i (97) 90 ISSN 0572-2691 На границе  \)( 21 заданы смешанные краевые условия , 1   y ,,),cos( 2 1,      xgx x y k n ji i j ij (98) .,),cos( 3 1,      xyx x y k n ji i j ij Условия сопряжения неидеального контакта на участке  имеют вид .],[),cos( ,,0),cos( 1, 1,                              xyrx x y k xx x y k n ji i j ij n ji i j ij (99) Предполагаем, что на участках ,320  ,i ,,1 Ni  известны сле- ды решения краевой задачи (97)(99), заданные равенствами , ~ ify i   .,1 Ni  (100) Полученная задача (97)–(100) заключается в определении функции  ),( 21 uuu ),()( 2212  LLU при которой решение );()( xuyuyy  краевой задачи (97)–(99) удовлетворяет равенствам (100). Аналогично предыдущим случаям от задачи (97)–(100) с неоднородными краевыми условиями (98) перейдем к линейной обратной задаче. Пусть );0( xyy   решение краевой задачи (97)(100) при u  0. Тогда для искомой функции Uu на основании (97)(100) получаем задачу состояния системы: ,2,1,,)( 1,                 lxu x y xk x ll j ij n ji i ,0 1   y ,,),cos( ,,0),cos( 3 1, 2 1,           xyx x y k xx x y k n ji i j ij n ji i j ij (101) ,,0),cos( 1,               xx x y k n ji i j ij ,],[),cos( 1,                xyrx x y k n ji i j ij Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 91 а на участках ,i ,,0 Ni  имеем ,ify i   (102) где .);0( ~ i xyff ii   Пусть im l i l x 1)}({   система линейно независимых функций гильбертова пространства ,2,1),(2  iL i где .21 mmm  Составляющие ,2,1, iui иско- мой вектор-функции Uu определим в виде .)()(),()( 2 2 1 221 1 11 1            xuxuxuxuuu l l lml m l lmm При каждом фиксированном )()()( 2212  LLxu mm UU обобщенным решением краевой задачи (101) называется функция ,);()( 0Hxuyuyy mm  которая 0)( Hxz  удовлетворяет равенству ),;(),( zиlzya  (103) где пространство 0H и билинейная форма a(  , ) определены в разд. 5, );( zul . 2 1 zdxu i i i      Из [18] следует, что при определенном выборе участков 31,  для фиксиро- ванного mmu U решение );( xuy m задачи (103) существует, единственно и до- ставляет на 0H минимум функционалу вида (78). При каждом фиксированном mmuu U каждую из эквивалентных задач вида (103), (78) можем решить с помощью МКЭ. В результате получаем систему линейных алгебраических уравнений , 1    m l ll BuVA (104) где ,),...,,( 21  muuuU 1 ll uu  при ,,1 1ml  1mll uu  при ,,11 mml  A  матрица системы линейных алгебраических уравнений МКЭ одной из эквива- лентных задач (103), (78) и полностью совпадает с аналогичной, определенной в разд. 5, 6, ,}{ 1 N ilil bB  1 1 1    db k illi при ,,1 1ml  2 2 1 2     db k imlli при .,11 mml  При каждом фиксированном mU  решение системы линейных алгебраиче- ских уравнений МКЭ (104) существует, единственно и представимо в виде (61). Пусть ,}{ 0 N iiuAAu  где .,0,);( NixuyuA i i   Тогда конечно-элементное приближение составляющей uAi оператора Au имеет вид       i ii N j i j l j m l lm N km N ki xVuxuVxuV 11 ,)();();( (105) где )(xi j  базисные функции МКЭ, соответствующие узлу ,ijx  в локаль- ной их нумерации на .i Если для участков i найдутся такие конечные элементы 92 ISSN 0572-2691  le разбиения областей ,2,1,  ll для которых ,  li e то для представле- ния (105) можно осуществить конечно-элементное разбиение таких участков i и использовать соответствующие базисные функции МКЭ. Имеет место оценка (63). На основании (102) с учетом (105) получаем дискретную обратную задачу: ,FAU  (106) где ,),...,(,, ,1 1 0 21 1 2 1 1 1 0 2 0 1 0                              iNiii N m NNN m m fff f f f F VVV VVV VVV A      ,),,(),( ,1  l Ni l i l ijiij i VVVxff  l ijV  значение решения );( xy l N k  задачи (103) при lu  в точке ,ijx  т.е. ,);( i jl N k l ij xyV   ,,1 iNj  )0,( 1 ll  при 1,1 ml  и ),0( 2 1mll   при .,11 mml  Относительно системы линейных алгебраических уравнений (106) с прямо- угольной матрицей А размерности mN N i i  0 справедливы все замечания, выска- занные применительно к системе (23). 8. Восстановление мощности источника/стока на контакте составляющих тéла Пусть на каждой из составляющих ,2,1,  ll тéла  определено эллиптиче- ское уравнение 2,1,,0 1,                 lxf x y k x l j ij n ji i . (107) На границе 2121 ,\)(  , заданы смешанные краевые условия , 1   y ,,),cos( 2 1,      xgx x y k n ji i j ij (108) .,),cos( 3 1,      xyx x y k n ji i j ij На участке  условия сопряжения имеют вид ,),cos(,0][ 1, ux x y ky n ji i j ij                (109) где )(2  Lu U — неизвестная функция. Предполагаем, что на участке 320  известен след решения краевой задачи (107)–(109), заданный равенством . ~ 0 0 fy   (110) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 93 Полученная задача (107)(110) состоит в определении функции ,)( U xuu при которой решение );()( xuyuyy  краевой задачи (107)–(109) удовлетворяет равенству (110). Аналогично предыдущим случаям от задачи (107)–(110) с неоднородными условиями перейдем к обратной задаче с однородными условиями. Пусть );0( xy  решение краевой задачи (107)–(109) или соответствующей ей обобщенной зада- чи. Тогда для определяемой искомой функции Uu на основании (107)–(110) по- лучаем задачу состояния системы: ,,0 1,                 x x y k x j ij n ji i ,0 1   y ,,0),cos( 2 1,      xx x y k n ji i j ij (111) ,,),cos( 3 1,      xyx x y k n ji i j ij ,,),cos(,0][ 1,                 xux x y ky n ji i j ij а на участке 0 наблюдение принимает вид ,0 0 fy   (112) где .);0( ~ 0 00   xyff Пусть m ll x 1)}({   система линейно независимых функций гильбертова пространства ).(2 L Восстанавливаемую функцию )(2 Lu задачи (111), (112) отыщем в виде ).()( 1 xuxuu l m l lm    При каждом фиксированном UU  )()( xxuu mm обобщенным решением краевой задачи (111) называется функция ,);()( 0Hxuyuyy mm  которая 0)( Hxz  удовлетворяет равенству ),;(),( zиlzya  (113) где },,0][,2,1),(:)({ 0 1 20 1  vviWvxvH i i .);(,),( 3 1, 3           dzuzuldzydx x z x y kzya n ji ij ij Из [18] следует, что при определенном выборе участков 31,  , для фиксиро- ванного mmuu U решение );( xuy m задачи (113) существует, единственно и доставляет на 0H минимум функционалу вида (78). 94 ISSN 0572-2691 При каждом фиксированном mmuu U каждую из эквивалентных задач вида (113), (78) можем решить с помощью МКЭ. В результате получаем систему линейных алгебраических уравнений вида (104), где матрица ,}{ 1, N jiijaAA    ),,( jiija  ,}{ 1 N ilil bB  ,   db k illi где )(xk i  i-я базисная функция МКЭ. В силу положительной определенности матрицы A решение системы линей- ных алгебраических уравнений МКЭ вида (81) существует, единственно и пред- ставимо в виде (82). Имеют место теорема, аналогичная теореме 2, и представле- ния вида (82), (83). Прямоугольная матрица А размерности mN  образована N -мерными векторами ,...,,1 mVV составленными на основе решений mVV ...,,1 систем вида (83), ),(,}{ 0010 ii N ii xfffF   ix  узловые точки, расположенные на участке .0 Для системы линейных алгебраических уравнений вида (86), соот- ветствующей рассматриваемой обратной задаче данного раздела, сохраняются в силе все замечания, высказанные в разд. 1 применительно к системе (23). 9. Одновременная идентификация нескольких параметров системы Пусть на составляющих 21,  области  определено эллиптическое уравнение ., ,, 20 1, 11 1,                                 xf x y k x xu x y k x j ij n ji i j ij n ji i (114) На границе  заданы смешанные краевые условия , 1   y ,,),cos( 22 1,      xux x y k n ji i j ij (115) .,),cos( 3 1,      xyx x y k n ji i j ij Условия сопряжения на участке  имеют вид ,),cos(,0][ 3 1, ux x y ky n ji i j ij                (116) где )()()(),,( 22212321  LLLuuuu — неизвестные. При этом на участ- ках ,i ,,1 Ni  известны следы решения этой краевой задачи, заданные ра- венствами .,1, ~ Nify i i   (116) Пусть );0( xyy   решение краевой задачи (114)–(116) при u  0. Тогда для определения искомой функции Uu на основании (114)–(116) получаем следу- ющую линейную обратную задачу. Состояние системы описывается краевой за- дачей: Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 95 ,, 11 1,                 xu x y k x j ij n ji i ,,0 2 1,                 x x y k x j ij n ji i ,,0),cos( ,0 2 1, 1        xx x y k y n ji i j ij (117) ,,),cos( 3 1,      xyx x y k n ji i j ij ,,),cos(,0][ 3 1,                 xux x y ky n ji i j ij а на участках i заданы наблюдения ,,1, Nify i i   (118) где .,1,);( ~ Nixuyff i ii   Пусть ,3,1,)}({ 1   jx jm l j l  системы линейно независимых функций, соот- ветственно гильбертовых пространств ).(),(),( 22212  LLL Составляющие mmm uuu 321 ,, искомой вектор-функции ,muu  , 3 1    j jmm определим в виде .3,1, 1   juu jl m l jljm j (119) При каждом фиксированном muu  вместо классического решения краевой задачи (117) будем использовать ее обобщенное решение. Определение. При каждом фиксированном Uu обобщенным решением краевой задачи (117) называется функция ,);( 0Hxuyy  которая 0)( Hxz  удовлетворяет равенству ),;(),( zиlzya  (120) где билинейная форма a(  , ) и пространство 0H определены в разд. 7, .);( 32211 21    dzudzudzuzul При каждом фиксированном UU  mmuu задачу (120) или эквивалент- ную ей вариационную задачу будем решать с помощью МКЭ. В результате полу- чаем систему линейных алгебраических уравнений , 1    m l ll BuVA (121) где ,),...,,( 21  mm uuuu ,1ll uu  при ,,1 1ml  1,2 mll uu  при ,,1 21 mml  21,3 mmll uu  при ,,12 mml  матрица A совпадает с соответствующей мат- 96 ISSN 0572-2691 рицей A МКЭ предыдущего раздела, ,}{ 1 N ilil bB  11 1    db k illi при ;,1 1ml  2,2 2 1     db k imlli при ;,1 21 mml      db k immlli 21,3 при .,121 mmml  Справедливы выражения, аналогичные выражениям (62), (63). На основании (118) с учетом (62) получаем дискретную обратную задачу ,FAU  (122) где ,),...,(,)}({,),,( 111     m N jjiiN uuUxffffF i ,)...,,(, ,1 21 1 2 1 1 1             l Ni l i l i m NNN m i VVV VVV VVV A    l ijV  значение приближенного решения );( xy l N k  задачи (120) в точке ,ijx  т.е. ,);( i jl N k l ij xyV   ,,1 iNj  )0,0,( 1ll  при ,,1 1ml  )0,,0( 1,2 mll  при ,,1 21 mml  ),0,0( 21,3 mmll  при .,121 mmml  Относительно системы линейных алгебраических уравнений (122) с прямо- угольной матрицей А размерности mN N i i  1 справедливы все замечания, выска- занные применительно к системе (23). І.В. Сергієнко, В.С. Дейнека ЧИСЛОВЕ РОЗВ’ЯЗАННЯ ДЕЯКИХ ОБЕРНЕНИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЕЛІПТИЧНИХ СИСТЕМ З ВИКОРИСТАННЯМ ПСЕВДООБЕРНЕНИХ МАТРИЦЬ Розглянуто ряд обернених задач для еліптичних рівнянь, що моделюють стан багатокомпонентних суцільних середовищ. Для дискретизації задач стану сис- тем використовується метод скінченних елементів. Для числового розв’язання одержаних в роботі дискретних обернених задач пропонується використовува- ти псевдообернення матриць. I.V. Sergienko, V.S. Deineka NUMERICAL SOLUTION OF SOME INVERSE PROBLEMS FOR ELLIPTIC SYSTEMS USING PSEUDOINVERSE MATRIXES A number of inverse problems for elliptic equations which model the state of multi- component continuous media is considered. The finite elements method is used for discretization of problems of systems state. For numerical solution of obtained dis- crete inverse problems it is proposed to use pseudoinversion of matrixes. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 97 1. Сергиенко И.B., Дейнека В.С. Системный анализ многокомпонентных распределенных си- стем.  Киев: Наук. думка, 2009.  640 с. 2. Sergienko I.V., Deineka V.S. Optimal control of distributed systems with conjugation conditions.  New York : Kluwer Aсadem. Publ., 2005.  400 p. 3. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некоррект- ных задач.  М. : Наука, 1988.  288 с. 4. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике.  М. : Наука, 1970.  510 с. 5. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач.  М. : Мир, 1980.  512 с. 6. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решения разностных схем.  М. : Наука, 1979.  318 с. 7. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание.  М. : Наука, 1977.  223 с. 8. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры.  М. : Наука, 1977.  304 с. 9. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов.  М. : Наука, 1986.  232 с. 10. Moore E.H. On the reciprocal of the general algebraic matrix // Abstract. Bull. Amer. Math. Soc.  1920.  26.  P. 394–395. 11. Penrose R.A. A generalized inverse for matrices // Proc. Camridge Phil. Soc.  1955.  51, N 3.  P. 406–413. 12. Тихонов А.Н. Об устойчивости алгоритмов для решения вырожденных линейных алгебраи- ческих уравнений // Журн. вычисл. математики и мат. физики.  1965.  5, № 4.  С. 718–722. 13. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.  М. : Наука, 1979.  288 с. 14. Галба Е.Ф., Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Разложения и многочленные предельные пред- ставления взвешенных псевдообратных матриц // Журн. вычисл. математики и мат. физи- ки.  2007.  47, № 5.  С. 747766. 15. Галба Е.Ф., Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Итерационные методы высоких скоростей схо- димости для вычисления взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами // Там же.  2005.  45, № 10.  С. 17311755. 16. Галба Е.Ф., Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Взвешенные псевдообратные матрицы и взве- шенные нормальные псевдорешения с вырожденными весами // Там же.  2009.  49, № 8.  С. 13471363. 17. Химич А.Н., Молчанов И.Н., Попов А.В. и др. Параллельные алгоритмы решения задач вы- числительной математики.  Киев : Наук. думка, 2008.  248 с. 18. Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Модели и методы решения задач в неоднородных средах.  Киев : Наук. думка, 2001.  606 с. Получено 04.05.2011

Численное решение некоторых обратных задач для эллиптических систем с использованием псевдообратных матриц

Institution

Ähnliche Einträge