Исследование распределения времени ожидания в системе обслуживания с сдвоенными заявками

Розглянуто одноканальну систему обслуговування з вхідним потоком подвійних заявок. Доведено умову ергодичності. При сталій тривалості операцій і зазору між ними для випадку, коли зазор менший тривалості операції, аналітично розв’язано задачу визначення середнього часу очікування для першої і другої...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2011
Main Authors:	Дышлюк, О.Н., Коба, Е.В., Пустовая, С.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2011
Series:	Проблемы управления и информатики
Subjects:	Методы обработки информации
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207327
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Исследование распределения времени ожидания в системе обслуживания с сдвоенными заявками / О.Н. Дышлюк, Е.В. Коба, С.В. Пустовая // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 4. — С. 98–107. — Бібліогр.: 3 назви. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-207327
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2073272025-10-07T00:22:15Z Исследование распределения времени ожидания в системе обслуживания с сдвоенными заявками Дослідження розподілу часу очікування у системі обслуговування з подвійними заявками Investigation of the Waiting Time Distribution in Queueing System with Dual Demands Дышлюк, О.Н. Коба, Е.В. Пустовая, С.В. Методы обработки информации Розглянуто одноканальну систему обслуговування з вхідним потоком подвійних заявок. Доведено умову ергодичності. При сталій тривалості операцій і зазору між ними для випадку, коли зазор менший тривалості операції, аналітично розв’язано задачу визначення середнього часу очікування для першої і другої операцій. Отримано перетворення Лапласа–Стільтьєса віртуального часу очікування заявки. Single-channel queueing system with input flow of dual demands is investigated. The proof of ergodicity condition is given. On conditions that duration of operations and interval between them are constant, a problem of mean waiting time determination for the first and second operations is analytically solved for the case when interval is less than duration of operation. A problem of Laplace–Stieltjes transform of virtual waiting time is solved. 2011 Article Исследование распределения времени ожидания в системе обслуживания с сдвоенными заявками / О.Н. Дышлюк, Е.В. Коба, С.В. Пустовая // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 4. — С. 98–107. — Бібліогр.: 3 назви. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207327 519.872 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Методы обработки информации Методы обработки информации
spellingShingle	Методы обработки информации Методы обработки информации Дышлюк, О.Н. Коба, Е.В. Пустовая, С.В. Исследование распределения времени ожидания в системе обслуживания с сдвоенными заявками Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто одноканальну систему обслуговування з вхідним потоком подвійних заявок. Доведено умову ергодичності. При сталій тривалості операцій і зазору між ними для випадку, коли зазор менший тривалості операції, аналітично розв’язано задачу визначення середнього часу очікування для першої і другої операцій. Отримано перетворення Лапласа–Стільтьєса віртуального часу очікування заявки.
format	Article
author	Дышлюк, О.Н. Коба, Е.В. Пустовая, С.В.
author_facet	Дышлюк, О.Н. Коба, Е.В. Пустовая, С.В.
author_sort	Дышлюк, О.Н.
title	Исследование распределения времени ожидания в системе обслуживания с сдвоенными заявками
title_short	Исследование распределения времени ожидания в системе обслуживания с сдвоенными заявками
title_full	Исследование распределения времени ожидания в системе обслуживания с сдвоенными заявками
title_fullStr	Исследование распределения времени ожидания в системе обслуживания с сдвоенными заявками
title_full_unstemmed	Исследование распределения времени ожидания в системе обслуживания с сдвоенными заявками
title_sort	исследование распределения времени ожидания в системе обслуживания с сдвоенными заявками
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Методы обработки информации
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207327
citation_txt	Исследование распределения времени ожидания в системе обслуживания с сдвоенными заявками / О.Н. Дышлюк, Е.В. Коба, С.В. Пустовая // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 4. — С. 98–107. — Бібліогр.: 3 назви. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT dyšlûkon issledovanieraspredeleniâvremeniožidaniâvsistemeobsluživaniâssdvoennymizaâvkami AT kobaev issledovanieraspredeleniâvremeniožidaniâvsistemeobsluživaniâssdvoennymizaâvkami AT pustovaâsv issledovanieraspredeleniâvremeniožidaniâvsistemeobsluživaniâssdvoennymizaâvkami AT dyšlûkon doslídžennârozpodílučasuočíkuvannâusistemíobslugovuvannâzpodvíjnimizaâvkami AT kobaev doslídžennârozpodílučasuočíkuvannâusistemíobslugovuvannâzpodvíjnimizaâvkami AT pustovaâsv doslídžennârozpodílučasuočíkuvannâusistemíobslugovuvannâzpodvíjnimizaâvkami AT dyšlûkon investigationofthewaitingtimedistributioninqueueingsystemwithdualdemands AT kobaev investigationofthewaitingtimedistributioninqueueingsystemwithdualdemands AT pustovaâsv investigationofthewaitingtimedistributioninqueueingsystemwithdualdemands
first_indexed	2025-10-07T01:09:27Z
last_indexed	2025-10-08T01:04:09Z
_version_	1845373644912459776
fulltext	© О.Н. ДЫШЛЮК, Е.В. КОБА, С.В. ПУСТОВАЯ, 2011 98 ISSN 0572-2691 УДК 519.872 О.Н. Дышлюк, Е.В. Коба, С.В. Пустовая ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ ОЖИДАНИЯ В СИСТЕМЕ ОБСЛУЖИВАНИЯ СО СДВОЕННЫМИ ЗАЯВКАМИ Введение Математические модели современных информационных систем, описывае- мые средствами теории систем массового обслуживания (СМО), имеют как сложную дисциплину выбора заявок на обслуживание, так и сложную структуру самой заявки. Под сложной структурой заявки подразумевается ее множествен- ность, а именно: заявка разбивается на несвязные импульсы, каждый из которых требует соответствующего обслуживания на одном и том же приборе. Например, в компьютерных сетях и системах любая задача разбивается на кадры, в системах управления воздушным движением множественность заявки возникает за счет прерывистости снятия информации с воздушных бортов и передачи управляю- щей информации диспетчером на борт. Для решения вопроса коллизий в неко- торых системах, например компьютерных сетях, разрабатываются специальные протоколы. Однако когда в таких системах коллизии все-таки происходят, сложные заявки повторяются снова. Есть системы, в которых повторение заявки не предполагается, а потеря незначительной части информации некритична, например пеленгационные системы. Некоторые системы с множественными за- явками описаны в работах [1, 2]. В настоящей статье рассматривается система с входящим потоком сдвоенных заявок, т.е. каждая заявка потока состоит из двух импульсов. 1. Математическая постановка задачи В одноканальную СМО поступает пуассоновский с параметром  поток за- явок. Каждая заявка требует двух операций обслуживания постоянной продолжи- тельности , но вторая операция может начаться не ранее, чем закончится первая, и не ранее, чем через время  после поступления заявки. Дробление выполне- ния операций запрещено. Как только поступила заявка, диспетчер планирует вре- мя как для первой, так и для второй операции, исходя из определенного выше условия. Пусть в момент поступления заявки, например нулевой, уже выделены интервалы ),0( x и ),( zy для обслуживания заявок, которые поступили ранее. Если , xy то первая операция новой заявки займет интервал ),,( xx во втором случае ),( zz (рис. 1, а, б). После планирования времени для первой операции окажутся занятыми два интервала: ),0( x и ),( * zy , где ,*  xx ,* yy  zz * (рис. 1, а); ,* xx  ,* yy   zz* (рис. 1, б). Куда определить вторую операцию? Здесь возмож- ны четыре случая (а, б, в, г), показанные на рис. 2. 0 x y z  0 x y z  a б Рис. 1 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 99 0 x* y* z*  0  x* y* z*    a б 0 x* y* z*  0  x* y* z*    в г Рис. 2 Случай а:   xy и ;* х случай б: ,* х ;2 y случай в: либо ,*  ху либо 2 y и при этом ;z случай г: либо ,**  ху либо 2 y и при этом . z Ставится задача: 1) найти условие эргодичности системы; 2) в случае эргодичности найти функцию распределения )(xF виртуального времени ожидания сдвоенной заявки, а также функции распределения )(1 xF и )(2 xF времени ожидания 1w и 2w первой и второй операций случайной заявки, отсчитывая время ожидания второй операции от момента  после поступле- ния заявки; 3) найти среднее время ожидания первой и второй операций. 2. Условие эргодичности Теорема 1. При 12  суммарное время ожидания )( 2 )( 1 nn ww  первой и второй операций n-й заявки стремится к бесконечности по вероятности при n, стремящемся к бесконечности. Доказательство. Пусть n — суммарная длина интервалов, занятых преды- дущими заявками в момент поступления n-й заявки (в примере, приведенном вы- ше, )).( yzxn  Тогда в момент ,0nt когда n-я заявка записана в расписа- ние, n увеличивается на ,2 за время же nz до следующей заявки эта величина уменьшится на nz или менее. Итак, ,21 nnn z  но если правая часть это- го неравенства отрицательна, то 1n по своему смыслу не отрицательна. Следовательно, ,)2(1    nnn z (1) где       .0при0 ,0при a aa a Рассмотрим параллельно с нашей системой, СМО типа 1// DM с пуассонов- ским потоком той же интенсивности и временами обслуживания .2 Пусть * nw — время ожидания n-й заявки для этой системы. Тогда по уравнению Линдли [3] ,)2( ** 1    nnn zww (2) где nz считаются теми же, что и в (1). Имеем .0* 11  w По индукции из (1) и (2) заключаем, что .* nn w (3) В самом деле, из этого равенства для данного n вытекает ,)2()2( * 1 * 1     nnnnnn wzwz (4) 100 ISSN 0572-2691 что и требовалось доказать. (В (4) использовано свойство монотонности функции a по :a если ,ba  то .)  ba Теперь для вспомогательной СМО 1// DM имеем ,12*  следовательно,  p nw* при .n Из (3) получаем  p n при ,n что и требовалось доказать. Теорема 2. При 12  случайный вектор ),( )( 2 )( 1 nn ww имеет эргодическое распределение. Доказательство. Обозначим n время от поступления n-й заявки до оконча- ния всех операций обслуживания заявок, поступивших ранее. Имеем  1n .)2(  nn z Как и при доказательстве теоремы 1, получаем .* nn w Известно, что в данном случае * nw имеет предельное распределение. Отсюда, используя стандартную технику регенерирующих процессов, доказывается суще- ствование эргодического распределения ).,( )( 2 )( 1 nn ww 3. Среднее время ожидания первой и второй операций сдвоенной заявки при условии    Выделим случай . Тогда между двумя операциями данной заявки не- возможно поместить операцию другой заявки; это упрощает аналитическое иссле- дование. Проведем анализ методом виртуального времени ожидания ).(tw Итак, )(tw — виртуальное время ожидания: именно столько будет ожидать заявка, если она поступит в момент t. Методом Такача [3] решено большое количество задач теории массового обслуживания. Структура процесса )(tw в нашем случае следующая. Если в интервале dt заявки не поступают, то dttwdttw  )()( при 0)( tw и 0)( dttw при .0)( tw Если поступила заявка в состоянии ,)( хtw  то новое значение y пере- менной )(tw определяется формулой       .при2 ,при2 xx x y (5) Действительно, при х первая операция закончится в момент ,х счи- тая момент поступления заявки нулевым, а вторая может начаться лишь в момент , х т.е. закончится в момент .2  Если же ,x то обе операции вплотную примыкают одна к другой, т.е. вторая заканчивается в момент .2x Пусть )(tF — функция распределения случайной величины )(tw в стационарном случае. Тогда, в част- ности, ).(})({})({ zFzdttwPztwP  Выведем уравнение для ),(zF рассматривая мо- менты времени t и .dtt  Событие })({ zdttw  может произойти двумя способами: 1) dtztw )( и за время dt заявок не было, ве- роятность такого события );()()1( dtodtzFdt  2) за время dt поступила заявка, обозначая для краткости ,)( хtw  ,)( уdttw  на основе формулы (5) получим следующее условие для x:  2zx при  2z (рис. 3). y z 0 x y  x + 2 Рис. 3 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 101 При  2z данное событие невозможно, так как из графика видно, что после скачка всегда .2 y Итак,       .2при)()1( ,2при)2()()1( )( zdtzFdt zzdtFdtzFdt zF Отсюда получаем уравнения 0)2()()(  zFzFzF при ,2 z (6) 0)()(  zFzF при .20  z (7) Решаем (7): ,)( zCezF  .20  z (8) Определим константу С следующими выкладками. Проинтегрируем (6) в пре- делах от 2 до  . Так как ,1)( F то .1)2(1)( )2( 2     CeFdzzF (9) Теперь имеем       dzzFzFdzzFzF ))](1())2(1[())2()(( 22          dzzFdzzFdzzF ))(1())(1())(1( 2 2 ).(2)1( )2( 2        ee C dzCe z (10) Из (6), (9) и (10) следует .)(21 )2()2(           ee C Ce Итак, после несложного преобразования получаем константу .)21(  eC Теперь из формулы (8) вытекает )()21()(  zezF при .20  z (11) В интервале  z2 уравнение (6) решается численным методом. Од- нако    0 )()( dzzFztMw можно найти в явном виде. Для этого из (6), умножая его на z и интегрируя от 2 до , получаем       dzzFzFzdzzFz ))2()(()( 22        2 2 ))(1())2(1( dzzFzdzzFz        dzzFzdzzFz ))(1())(1)(2( 2 .))(1(2))(1( 2        dzzFdzzFz (12) 102 ISSN 0572-2691 Обозначая ),(tMwa  получаем, что левая часть (12) равна .)( 2 dzzFа     В правой части встречается интеграл .))(1())(1( 0     dzzFadzzF С учетом этого (12) преобразуется так: .))(1(2)())(1()21( 2 0 2 0       dzzFdzzFzdzzFzа (13) В правой части (13) в подынтегральном выражении фигурируют известные функции (см. формулу (11)). После вычисления интегралов получаем формулу .)1( 21 21 2 2        ea (14) Рассмотрим частные случаи, в которых формула (14) легко объяснима. 1. При 0 получаем ,)21/(2 2 a что соответствует формуле Хин- чина [3] для среднего времени ожидания в СМО 1//GM при загрузке  2 и постоянном времени обслуживания .2 2. При 0 имеем ,2~ 21 2 2 2    ,)( 2 1 1~ 2e , 2 ~ )1( 2    e . 2 2~ )1)(21( 2    e Подставив эти соотношения в (14), получим .)2( 22 22~ 2 2 2             a (15) Эту формулу можно объяснить следующим образом. При малой загрузке за- явки будут перекрываться только с очень малой вероятностью. Случайная заявка может попасть на период занятости с вероятностью ),2(  и ей придется ожидать начала обслуживания в среднем половину продолжительно- сти этого интервала, т.е. ;2/)2(  этим объясняется формула (15). 3. При 12  из (14) получим . 1 ~   a (16) В то же время по формуле Хинчина [3] среднее время ожидания в СМО 1//GM с постоянным временем обслуживания, равным ,2 можно записать )1/(~))1(2/()2( 2  при ,12  т.е. асимптотика та же, что и в (16). Это объясняется тем, что при большой загруз- ке )1(  виртуальное время ожидания, как правило, будет бóльшим, и тогда эффект зазора  между операциями исчезает. Теперь найдем формулы для распределения времени ожидания через распре- деление виртуального времени ожидания. Обозначим ),(1 xF )(2 xF функции Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 103 распределения времени ожидания первой и второй операций заявки в стационар- ном режиме. Если заявка поступает в момент t, когда виртуальное время ожидания ,)( xtw  то время ожидания первой операции также равно x, а второй — нулю при x и x при x (первая операция закончится в момент , xt а для вто- рой отсчет времени ожидания начнется в момент ;t  )()( txt ). x Итак, );(}{)( 11 zFzwPzF  (17) )(}{}{)( 22  zFzwPzwPzF при .0z (18) Тогда на основании формул (17) и (18) среднее время ожидания равно ),1( 21 21 2 2 1        eMwMw (19)       0 2 ).()()( xdFxzdFzMw (20) В формулу (20) добавим и вычтем интеграл в пределах от 0 до , чтобы при- вести к известной формуле (11). Заметим также, что в правой части (20) имеется интеграл Стилтьеса. Тогда      0 0 2 )()()()( xdFxxdFxMw ).()()()()()( 00 00 xdFxaxdFxxdFxxdF      Теперь рассмотрим :)()( 0    xdFx        0 0 00 )()()()()()( xdFxxdFxxdFx                 11 )1()]0()0([ eFF . 11 )21()21(                 ee В результате после вычисления интеграла (20) получаем . 21 2 2 2   Mw 4. Анализ распределения виртуального времени ожидания сдвоенной заявки В предыдущем разделе были выведены основные уравнения (6), (7) для функции )(xF распределения виртуального времени ожидания сдвоенной заявки, )(xF непрерывна при .0x Обозначим ).()2( xFxkF k (21) Тогда (6), (7) можно переписать так: ,1,20,0)()()( 1   kxxFxFxF kk (22) .2,0)()( 0  xxFxF (23) 104 ISSN 0572-2691 Уравнение (23) уже решалось: так как ,20,)1()(   xexF x то из (21) имеем ,)1()(0 xexF  (24) где ,2 предполагается, что .1 Обозначим     0 ).(),( k k k xFzxzu (25) Ряд (25) при 1z сходится, поскольку 1)(0  xFk . Умножим (22) на kz и просуммируем по :1, kk .20,0),()(),()( ),( 00    xxzzuxFxzuxF x xzu После подстановки ),(0 xF )(0 xF  из (24) имеем ).,()1( ),( xzuz x xzu    (26) В уравнении (26) z — параметр. Решая это уравнение при любом фиксиро- ванном z, получаем .)0,(),( )1( xzezuxzu  (27) Используем условие непрерывности ),2()0( 1  kk FF откуда         0 1 10 ).2,(1)2()0()0()0,( k k k k k k zzuFzFFzzu (28) Подставим в (27) ,2x используя (28):        ).2,(1)0,( ,)0,()2,( )1( zzuzu ezuzu z (29) Исключая из системы (29) ),2,( zu получаем ,)0,(1)0,( )1(  zezzuzu откуда . 1 1 )0,( )1(    zze zu Тогда из (29) имеем . 1 )1( ),( )1( )1(      z xz ze e xzu (30) Разлагая (30) по степеням z, получаем )(xFk как коэффициент при .kz Так, оставляя лишь члены до порядка 3z включительно, получим , 62 1~ 33 3 22 2 x z x zxze zx     (31) ~1~ 1 1 333222     zzz z ezezze ze ~)21( 2 11~ 3322 2 2             ezzezzzze .2 2 )(1~ 32 2 322             eeezeezze (32) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 105 Перемножим (31) на (32):                  2 2 )(1~ 1 22 2 ee z zx xe x zexz ze e .2 2 )( 26 32 2 2 2233 3                 eeeeexe xx z Отсюда, а также из (30) имеем ,)1()(0 xexF  ),()1()(1 xeexF x   , 2 )1()( 22 2 2            x xeeeexF x . 62 )( 2 2)( 3322 2 2 23 3 xx eeexeeexF        Из выражения (21), делая сдвиг аргумента, получаем:                                                         .86,)6( 62 )6( )( )6( 2 2)1( ,64, 2 )4( )4( )1( ,42)),2(()1( ,20,)1( )( 3 322 2 2 23)6( 22 2)4( )2( )( xx x eee xeeee x x ex eee xxee xe xF x x x x Функции, задаваемые данными выражениями, при значениях ,x ,2  4 и т.д. непрерывны. Найдем выражение для преобразования Лапласа–Стилтьеса: .0Re,)()( 0     sxdFes sx Обозначим )(xG решение уравнения ,2,0)2()()(  xxGxGxG (33) при условии ,2,)1()(   xexG x (34) непрерывное при .0x Тогда .0),()(  xxGxF Для доказательства обозначим ).()( xGxG  Из (33) имеем  )(xG ,0)2()(  xGxG ,2 x т.е. ,0)2()()(   xGxGxG .2 x 106 ISSN 0572-2691 Из (34) следует ,)1()( )(    xexG ,2 x т.е. ),()( xFxG   x0 .2  Видно, что )(xF совпадает с )(xG при ,20  x и обе эти функции удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению при .2 x Так как по непрерывности при  2x начальное условие задачи Коши одно и то же, то обе функции совпадают тождественно. Однако )(xG при 0x совпада- ет с вероятностью 1 с функцией распределения )(0 xF виртуального времени ожи- дания в СМО 1// DM с временем ожидания, равным .2 Поэтому по формуле Хинчина, обозначая    0 00 ),()( xdFes sx получаем , )1(1 1 )( 2 0 se s s      (35) поскольку время ожидания всегда равно 2 и его преобразование Лапласа– Стилтьеса есть ).2exp( s Для плотности распределения ),(0 xF используя символ )(x дельта-функции Дирака единичной функции Хевисайда ),(x равной нулю при 0x и единице при 1x , можно записать: ).()()()1()(0 xxGxxF  (36) Итак,      ,)()( 00 dxxFes sx где )(0 xF определяется (36). По теореме сдвига      .)()( 00 dxxFees sxs (37) Для плотности распределения F(x) можно записать:   )()()()1()( xxGxexF   )()1()()1()()()()1( xxexxGx   ))()()(1()())()()(( 0 xxexFxxxG )).()(()1( )(   xxe x Переходя к преобразованиям Лапласа–Стилтьеса, с учетом формулы (37) по- лучим       0 )( 0 0 )1())(1()()()( dxeeeesxdFes sxxsssx )()1())(1()(0      ee s eees sss или .)()1()()( 0     ee s s ess ss (38) Подставляя (35) в (38), имеем ).()1( )1(1 )1( )( 2            ee s s e s e s s s s (39) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 4 107 По формулам (38) и (39) можно определить моменты распределения вирту- ального времени ожидания. Так, поскольку ),0(Mw то из (38) и формулы Хинчина )1/()0(0  имеем , )1)(1( 1 )1)(1( )0(0           ee Mw что совпадает с формулой (19), выведенной ранее другим способом. Заключение Рассмотрена одноканальная система обслуживания, в которую по закону Пуассона поступают заявки, каждая на выполнение двух операций. При постоян- ной продолжительности операций и зазора между ними для случая, когда зазор меньше продолжительности операции, аналитически решена задача определения среднего времени ожидания для первой и второй операций. Получено преобразо- вание Лапласа–Стилтьеса виртуального времени ожидания заявки. О.М. Дишлюк, О.В. Коба, С.В. Пустова ДОСЛІДЖЕННЯ РОЗПОДІЛУ ЧАСУ ОЧІКУВАННЯ У СИСТЕМІ ОБСЛУГОВУВАННЯ З ПОДВІЙНИМИ ЗАЯВКАМИ Розглянуто одноканальну систему обслуговування з вхідним потоком подвій- них заявок. Доведено умову ергодичності. При сталій тривалості операцій і за- зору між ними для випадку, коли зазор менший тривалості операції, аналітично розв’язано задачу визначення середнього часу очікування для першої і другої операцій. Отримано перетворення Лапласа–Стільтьєса віртуального часу очіку- вання заявки. О.N. Dyshliuk, E.V. Koba, S.V. Pustova INVESTIGATION OF THE WAITING TIME DISTRIBUTION IN QUEUEING SYSTEM WITH DUAL DEMANDS Single-channel queueing system with input flow of dual demands is investigated. The proof of ergodicity condition is given. On conditions that duration of operations and interval between them are constant, a problem of mean waiting time determination for the first and second operations is analytically solved for the case when interval is less than duration of operation. A problem of Laplace–Stieltjes transform of virtual waiting time is solved. 1. Коба Е.В., Дышлюк О.Н. Оценка вероятности пересечения заявок сложной структуры в си- стемах обслуживания // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 3. — С. 175–180. 2. Коба Е.В., Дышлюк О.Н. Системы обслуживания с ограниченным последействием и пото- ками заявок сложной структуры // Международный научно-технический журнала «Проб- лемы управления и информатики». — 2010. — № 4. — С. 113–118. 3. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания : Изд-е 4-е переработ. и доп. — М. : КомКнига, 2005. — 397 с. Получено 03.02.2011

Исследование распределения времени ожидания в системе обслуживания с сдвоенными заявками

Institution

Similar Items