Модель финансовых данных как интеграл от диффузионного процесса

Запропоновано модель фінансових даних як інтеграл від дифузійного процесу. Розглянуто характеристики моделі: коваріаційну функцію та одновимірні розподіли; побудовано оцінки параметрів моделі. Для окремого випадку розв’язано задачу прогнозування. На прикладах фінансових даних — ціни акцій — перевіре...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автор:	Бондаренко, В.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2011
Назва видання:	Проблемы управления и информатики
Теми:	Экономические и управленческие системы
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207346
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Модель финансовых данных как интеграл от диффузионного процесса / В.В. Бондаренко // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 5. — С. 139–145. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-207346
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2073462025-10-07T00:10:10Z Модель финансовых данных как интеграл от диффузионного процесса Модель фінансових даних як інтеграл від дифузійного процесу The Model of Financial Data as Integral of Diffusion Process Бондаренко, В.В. Экономические и управленческие системы Запропоновано модель фінансових даних як інтеграл від дифузійного процесу. Розглянуто характеристики моделі: коваріаційну функцію та одновимірні розподіли; побудовано оцінки параметрів моделі. Для окремого випадку розв’язано задачу прогнозування. На прикладах фінансових даних — ціни акцій — перевірено адекватність запропонованої моделі. The model of financial data as integral of diffusion process is proposed. The covariance function and one-dimensional distribution of the model have been examined, estimates for the model parameters have been built and prediction problem for the special case has been solved. Two examples of financial data prove the adequacy of the proposed model. 2011 Article Модель финансовых данных как интеграл от диффузионного процесса / В.В. Бондаренко // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 5. — С. 139–145. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207346 62.50 10.1615/JAutomatInfScien.v43.i10.70 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Экономические и управленческие системы Экономические и управленческие системы
spellingShingle	Экономические и управленческие системы Экономические и управленческие системы Бондаренко, В.В. Модель финансовых данных как интеграл от диффузионного процесса Проблемы управления и информатики
description	Запропоновано модель фінансових даних як інтеграл від дифузійного процесу. Розглянуто характеристики моделі: коваріаційну функцію та одновимірні розподіли; побудовано оцінки параметрів моделі. Для окремого випадку розв’язано задачу прогнозування. На прикладах фінансових даних — ціни акцій — перевірено адекватність запропонованої моделі.
format	Article
author	Бондаренко, В.В.
author_facet	Бондаренко, В.В.
author_sort	Бондаренко, В.В.
title	Модель финансовых данных как интеграл от диффузионного процесса
title_short	Модель финансовых данных как интеграл от диффузионного процесса
title_full	Модель финансовых данных как интеграл от диффузионного процесса
title_fullStr	Модель финансовых данных как интеграл от диффузионного процесса
title_full_unstemmed	Модель финансовых данных как интеграл от диффузионного процесса
title_sort	модель финансовых данных как интеграл от диффузионного процесса
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Экономические и управленческие системы
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207346
citation_txt	Модель финансовых данных как интеграл от диффузионного процесса / В.В. Бондаренко // Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 5. — С. 139–145. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT bondarenkovv modelʹfinansovyhdannyhkakintegralotdiffuzionnogoprocessa AT bondarenkovv modelʹfínansovihdanihâkíntegralvíddifuzíjnogoprocesu AT bondarenkovv themodeloffinancialdataasintegralofdiffusionprocess
first_indexed	2025-10-07T01:10:39Z
last_indexed	2025-10-08T01:05:13Z
_version_	1845373711861940224
fulltext	© В.В. БОНДАРЕНКО, 2011 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 5 139 ЭКОНОМИЧЕСКИЕ И УПРАВЛЕНЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ УДК 62.50 В.В. Бондаренко МОДЕЛЬ ФИНАНСОВЫХ ДАННЫХ КАК ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФУЗИОННОГО ПРОЦЕССА Введение. Статистический анализ случайных процессов как правило, требует конструирования моделей, адекватно описывающих наблюдаемую реализацию. В частности, построению моделей для временнх рядов, описывающих финансо- вые данные, посвящено огромное количество работ [1–4]. Наиболее интенсивно изучались временне ряды со стохастической волатильностью. Построение одной из первых моделей финансовых данных (цены акции) ос- новывается на геометрическом броуновском движении: },)(exp{)0()( ttwStS  ),(ln)( tStX  где w(t) — стандартный винеровский процесс, ,0)( twΕ ),,min()()(  twtwE  — волатильность,  — коэффициент дрейфа. Естественным обобщением явля- ется диффузионная модель )(tX — решение уравнения Ито. Ее недостаток — марковость, что для финансовых данных малоприменимо. После опубликования работы Мандельбротта [5] активно изучалась модель вида ,)()()( 0   t HdBftX где HB — фрактальное броуновское движение с показателем Харста H. Очевид- ным достоинством является то обстоятельство, что )(tX — немарковский про- цесс с неограниченной вариацией. Обширная библиография по таким моделям приведена в монографии [6]. Модель цены акции и ее характеристики. Рассмотрим случайный процесс ),())(,()( 0 tbdwhtX t            (1) где  — нечетная функция, h — гладкая функция класса 1C по первой перемен- ной, 2C — по второй. Если h при каждом 0t как функция x обратима, т.е. су- ществует функция ),( xtg такая, что ,)),(,( xxtgth  то в силу формулы Ито подынтегральная функция в (1) является диффузионным процессом с коэффициентами диффузии и дрейфа: )),,(,(),( ytgt x h yt    )).,(,( 2 1 )),(,(),( 2 2 ytgt x h ytgt t h ytb       140 ISSN 0572-2691 Процесс ),(tX заданный соотношением (1), где )(tb — тренд, и является предлагаемой моделью. Замечание 1. Модель (1) — процесс с ограниченной вариацией, что не харак- терно для рисковых финансовых данных. Однако понятие неограниченности ва- риации неприменимо для конечного временнóго ряда. Рассмотрим характеристики X(t) — ковариационную функцию ),( 21 ttB в част- ном случае: ,)( xx  ,)(),( mxthxth  ,0)( th m — нечетно, т.е. ,0)( twm E и од- номерное распределение для ),,( xth обратимой по .x Утверждение. Для 21 tt  имеем ,),()()(),()()(2),( 12 1 1 000 21   t m t t s m t dsQhdsshdsQhdsshttB где для s0 многочлен ,)()(),( 2/)1( 1     m k kkm k mm m saswwsQ E (2) ka определяются ниже биномиальными коэффициентами. Доказательство. Достаточно проверить, что для s ковариация ),( sQm  имеет вид (2). Рассмотрим тождество       2/)1( 1 1212 1 ))()(()()2()()( m k kmkmm k mm wswwsww EEE и заметим, что момент четного порядка выражается через -функцию: , 2 12 )(2          r t tw rr r E откуда .)(1 2 2 2 2 )2( 2 )()( 2/)1( 1 2 12 2 12 1                       m k kmkm m k m mm s kmkm swwE Раскрытие бинома и изменение порядка суммирования завершает доказа- тельство. Установим условия на весовую функцию ),(th обеспечивающие ограничен- ность (при t ) дисперсии: ,),()()(2),()( 00   s m t dsQhdsshttBtXD предполагая, что h удовлетворяет оценке , )( )(0     tb at th ,0  ,0t т.е. , 1 )(        t th .t Теорема. Пусть .1 2  m Тогда ,)( ctX D где c — некоторая константа. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 5 141 Доказательство. Заметим, что многочлен ,mQ определенный равенством (2), удовлетворяет оценке ,),( 2/)1(2/)1( 1  mm m scsQ откуда ,)()()( 0 2/\| )1( 0 2/)1( 2    s m t m dbdssbsctXD где ,\|\|1  kac .12 acc  Оценим внутренний интеграл ,1 разбивая область интегрирования на отрез- ки ]1;0[ и ];1[ s и используя неравенство ,)( 2/)1(2/)1(   mm b .1 Обозначив ,1 2  m ,0 получим ),1(1 2/)1( 4 1 2/1 31             scdc s . 2 1  Если , 2 1  то ).ln1(41 sc  Внешний интеграл 2 оценивается так же: ,)(1 1 122/3 52            t dsssc и полученный интеграл ограничен при ,t если условие теоремы )0(  вы- полнено. Замечание 2. Для 1m теорема доказана в [7]. Перейдем к вычислению одномерных распределений процесса .))(,()()()( 0   t dwhtbtXtZ Для xthxth )(),(  эти распределения гауссовы: ,0)( tZE .)()(2)( 00   st dhdsshtZD В общем случае при некоторых ограничениях на функцию ),( xth одномер- ные распределения выражаются континуальным интегралом по мере Винера в пространстве ).;0( tC Приведем схему доказательства этого утверждения. Обозначим через  n-мер- ную характеристическую функцию процесса :))(,()( twtht  ),...,,(),(exp))(,(exp)...,,( 1 11 1 n n k kkk R n k kkkn dxdxxthzitwthziEzz n                      (3) где мера  — многомерное винеровское распределение. Пусть ,)( 1 1    n k kn t n .t n k tk  142 ISSN 0572-2691 Запишем характеристическую функцию случайной величины :n ,...,,,)(        n z n z n z z а плотность распределения :n .}exp{...,,,lim 2 1 )(             A A A dzizy n z n z n z yf Подставляя выражение  из (3) и меняя порядок интегрирования, получаем ,)...( ),...,,( ),...,,(sin lim 1 )( 1 1 1 n R n n A dxdx yxxAB yxxAB yf n      (4) где .),( 1 ),...( 1 1    n k kkn yxth n yxxB Предельный переход при n в выражении для n дает ,))(,()( 0   t dwhtZ а формула (4) принимает вид )),(( ))(( ))((sin lim 1 )( );0(        dx xAB xAB yf tC A где функционал ,))(,())(( 0   t ydxhxB ))((  dx — мера Винера в ).;0( tC Замечание 3. Для процессов )(tX с зависимыми приращениями вводится по- нятие долгой памяти (long memory), т.е. ковариация ),()))()1()(1(()(  TTXTXXTr E ,1 .T Для фрактального броуновского движения )(tBH [1] 22)12()(  HTHHtr и в долгой памяти есть место для «черного шума» .1 2 1        H Для модели (1) mxthxth )(),(  из формулы (2) следует  2/)1(~)( mTTr и условие ограниченности дисперсии исключает долгую память, которая имеет место, если ,2/)1(  m т.е. в случае неограниченной дисперсии. Статистические выводы: оценка параметров модели и прогноз. Перей- дем к оценке параметров модели в частном случае: ,)()()()( 0   t dwhtbtX Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 5 143 по процедуре, описанной в [7]. Разобьем интервал наблюдений на m временнх окон ],;1[ 11 T ...,],;[ 212 TT ];[ 1 mmm TT  и обозначим: . )()( )()( )()()()( * 1 1 11 1 1 1* 1                             rr rr rr T T rr rr rr rr r TT TbTb TT dwh TT TbTb TT TXTX r r Аппроксимируя тренд )(tb кусочно-линейной функцией, получаем: .,),()()( ,),1()1()( 1 * 1 1 * 1 mrtTtTbtb ttXtb rrr    (5) Теперь аппроксимируем весовую функцию )(th ступенчатой, полагая при этом ,)( rhth  .rt  Тогда ,)()()()()( 1 11     t T rrr r dwhTbtbTXtX .rt  Пусть ,...211 rr TttT  .11  kk tt Обозначим: ,)()()()()( 1 11     k k t t rkkkkk dwhtbtbtXtXY .)( 1 1 )( 1 1 2*2       rN k rk r r Y N Так как ),1()()()( 2 1 1 2 2 1 1 2* 1                  rr N k t t r N k rk NdwhY r k k r (6) а математическое ожидание случайного множителя в правой части (6) , 6 23 2)( 21 1 1 1 2 11                    rr N k k N k t t NN sdsddw r k k r k k E то оценка 23 6 )( 2 2    r r r N h (7) является несмещенной. Перейдем к задаче прогнозирования, используя формулу наилучшего прогноза: ),),(\|)(()( tssZktZktZ  E которая в данном случае принимает вид .,)()()()()()()()( 000 * 0                     tsdwhdwhdwhdwh skttkt E Пусть t и t — -алгебры, порожденные соответственно процессами )(sw и ),(sZ .ts  Поскольку действия ,)()()( 0   t dwhtZ )( )( )( th tZ tw   144 ISSN 0572-2691 измеримые ( 0)( th по условию), то ,tt  откуда             tkt dwhdwh 0 * 0 )()()()( .)()())()()((                     kt t t kt t t dhtwdtwwh Второе слагаемое равно нулю в силу независимости приращений винеров- ского процесса, и формула для прогноза принимает вид .)()()()()()( 0 * 0             kt t tkt dhtwdwhdwh (8) Результаты вычислений. Проводятся вычисления для двух примеров (цены акций компании GOOGLE (62 значения, четыре временнх окна) и АТ «Харьков- ский тракторный завод» (42 значения, три временнх окна). Оценим тренд )(tb по формуле (7). Для первого примера:           .62...49),48(0156,032,6 ,48...33),32(0264,09,5 ,32...17),16(049,012,5 ,16...2),1(0265,072,4 )(* rr rr rr rr rb Для второго примера:         .42...29),28(0484,041,4 ,28...15),14(0258,077,4 ,14...2),1(00745,087,4 )(* rr rr rr rb Оценим значения весовой функции, используя формулу (7): . 23 6 2 *    r r r N h Для первого примера:           ].62;49[,0095,0 ],48;33[,0144,0 ],32;17[,0303,0 ],16;1[,022,0 * r r r r hr Для второго примера:         .]42;29[,0202,0 ],28;17[,016,0 ],14;1[,097,0 * r r r hr Вычислим значения модели ,,)()()()( 1 0 11 * 1 ** r k j rrrrr kjTwhTkbTXkX      и отклонение ,)()( 1 * kXkX n k   генерируя значения винеровского процес- са )(kw для каждого примера 50 раз. Выбирая ту траекторию w(k), для которой min, построим прогноз по формуле (8): .)()()( 1 * 1 * 1       n Tk mm m kwhTXnX Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2011, № 5 145 При этом средняя абсолютная ошибка оценки прогноза )()*( nXX n  меньше 0,01 для обеих моделей, т.е. качество прогноза хорошее. Сравнение качества оценок прогнозов, полученных с помощью предложенной модели, и оценок прогнозов, полученных с помощью модели авторегрессии с интегрированным скользящим средним (АРИСС(2, 2)), показало, что оценки АРИСС приблизительно в 1,5 раза хуже. Это можно объяснить довольно слабой автокорреляцией использованных рядов статистических данных. Заключение. Предложена модель описания стохастического процесса цено- образования в виде интеграла от диффузионного процесса. Получена процедура оценивания параметров этой модели, которая применена к фактическим данным ценообразования на бирже. Результаты оценивания краткосрочных прогнозов с помощью предложенной модели и модели авторегрессии со скользящим средним свидетельствуют о преимуществе предложенной модели при приблизительно одинаковых вычислительных затратах. В.В. Бондаренко МОДЕЛЬ ФІНАНСОВИХ ДАНИХ ЯК ІНТЕГРАЛ ВІД ДИФУЗІЙНОГО ПРОЦЕСУ Запропоновано модель фінансових даних як інтеграл від дифузійного процесу. Розглянуто характеристики моделі: коваріаційну функцію та одновимірні роз- поділи; побудовано оцінки параметрів моделі. Для окремого випадку розв’яза- но задачу прогнозування. На прикладах фінансових даних — ціни акції — пе- ревірено адекватність запропонованої моделі. V.V. Bondarenko THE MODEL OF FINANCIAL DATA AS INTEGRAL OF DIFFUSION PROCESS The model of financial data as integral of diffusion process is proposed. The covari- ance function and one-dimensional distribution of the model have been examined, es- timates for the model parameters have been built and prediction problem for the spe- cial case has been solved. Two examples of financial data prove the adequacy of the proposed model. 1. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики — М. : Фазис, 1998. — 1017 с. 2. Taylor S. Modeling financial time series. — New York : WS, 2007. — 297 p. 3. Handbook of financial time series / Ed. by T. Andersen, R. Davis, J.-P. Krei, T. Micoch. — Ber- lin : Springer, 2009. — 1024 p. 4. Бідюк П.І., Меняйленко О.С., Половцев О.В. Методи прогнозування : У 2-х т. — Луганськ : Альма-матер, 2008. — 604 с. 5. Mandelbrot B.B., Van Ness I.W. The fractional Brownian motion, fractional noises and applica- tions // SIAM Review. — 1968. — 10, N 4. — P. 422–437. 6. Mishura Y. Stochastic calculus for fractional Brownian motion and related processes // Lecture Notes in Mathemat. — Berlin : Springer-Verlag, 2008. — 1929. — 392 p. 7. Бидюк П.И. Бондаренко В.В. Об одной модели финансовых данных // Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2011. — № 4. — С. 127–131. Получено 09.02.2011 После доработки 01.04.11

Модель финансовых данных как интеграл от диффузионного процесса

Репозитарії

Схожі ресурси