Проекционно-итерационная реализация метода Ньютона–Канторовича для решения нелинейных интегральных уравнений

Досліджується питання застосування проєкційно-ітераційного методу, що базується на методі квадратур як методі проєкційного типу та ітераційному методі Ньютона–Канторовича, до розв’язання нелінійних інтегральних рівнянь Урисона другого роду. Проводиться порівняльний аналіз запропонованого методу та о...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2012
Hauptverfasser:	Гарт, Л.Л., Поляков, Н.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Методы обработки информации
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207449
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Проекционно-итерационная реализация метода Ньютона–Канторовича для решения нелинейных интегральных уравнений / Л.Л. Гарт, Н.В. Поляков // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 1. — С. 70–79. — Бібліогр.: 10 назв. - рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-207449
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2074492025-10-08T00:21:46Z Проекционно-итерационная реализация метода Ньютона–Канторовича для решения нелинейных интегральных уравнений Проєкційно-ітераційна реалізація методу Ньютона–Канторовича для розв’язання нелінійних інтегральних рівнянь Projection-Iteration Realization of the Newton–Kantorovich Method for Solving Nonlinear Integral Equations Гарт, Л.Л. Поляков, Н.В. Методы обработки информации Досліджується питання застосування проєкційно-ітераційного методу, що базується на методі квадратур як методі проєкційного типу та ітераційному методі Ньютона–Канторовича, до розв’язання нелінійних інтегральних рівнянь Урисона другого роду. Проводиться порівняльний аналіз запропонованого методу та обчислювальної схеми проєкційного типу на прикладі розв’язання конкретної задачі. The problem of applying the projection-iteration method based on a quadrature rule method as a method of projection type and the Newton–Kantorovich iteration method to solving nonlinear Uryson integral equations of the second kind is investigated. The comparative analysis of the suggested method and a computational scheme of projection type for solving a specific problem is carried out. 2012 Article Проекционно-итерационная реализация метода Ньютона–Канторовича для решения нелинейных интегральных уравнений / Л.Л. Гарт, Н.В. Поляков // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 1. — С. 70–79. — Бібліогр.: 10 назв. - рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207449 519.6 10.1615/JAutomatInfScien.v44.i1.40 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Методы обработки информации Методы обработки информации
spellingShingle	Методы обработки информации Методы обработки информации Гарт, Л.Л. Поляков, Н.В. Проекционно-итерационная реализация метода Ньютона–Канторовича для решения нелинейных интегральных уравнений Проблемы управления и информатики
description	Досліджується питання застосування проєкційно-ітераційного методу, що базується на методі квадратур як методі проєкційного типу та ітераційному методі Ньютона–Канторовича, до розв’язання нелінійних інтегральних рівнянь Урисона другого роду. Проводиться порівняльний аналіз запропонованого методу та обчислювальної схеми проєкційного типу на прикладі розв’язання конкретної задачі.
format	Article
author	Гарт, Л.Л. Поляков, Н.В.
author_facet	Гарт, Л.Л. Поляков, Н.В.
author_sort	Гарт, Л.Л.
title	Проекционно-итерационная реализация метода Ньютона–Канторовича для решения нелинейных интегральных уравнений
title_short	Проекционно-итерационная реализация метода Ньютона–Канторовича для решения нелинейных интегральных уравнений
title_full	Проекционно-итерационная реализация метода Ньютона–Канторовича для решения нелинейных интегральных уравнений
title_fullStr	Проекционно-итерационная реализация метода Ньютона–Канторовича для решения нелинейных интегральных уравнений
title_full_unstemmed	Проекционно-итерационная реализация метода Ньютона–Канторовича для решения нелинейных интегральных уравнений
title_sort	проекционно-итерационная реализация метода ньютона–канторовича для решения нелинейных интегральных уравнений
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Методы обработки информации
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207449
citation_txt	Проекционно-итерационная реализация метода Ньютона–Канторовича для решения нелинейных интегральных уравнений / Л.Л. Гарт, Н.В. Поляков // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 1. — С. 70–79. — Бібліогр.: 10 назв. - рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT gartll proekcionnoiteracionnaârealizaciâmetodanʹûtonakantorovičadlârešeniânelinejnyhintegralʹnyhuravnenij AT polâkovnv proekcionnoiteracionnaârealizaciâmetodanʹûtonakantorovičadlârešeniânelinejnyhintegralʹnyhuravnenij AT gartll proêkcíjnoíteracíjnarealízacíâmetodunʹûtonakantorovičadlârozvâzannânelíníjnihíntegralʹnihrívnânʹ AT polâkovnv proêkcíjnoíteracíjnarealízacíâmetodunʹûtonakantorovičadlârozvâzannânelíníjnihíntegralʹnihrívnânʹ AT gartll projectioniterationrealizationofthenewtonkantorovichmethodforsolvingnonlinearintegralequations AT polâkovnv projectioniterationrealizationofthenewtonkantorovichmethodforsolvingnonlinearintegralequations
first_indexed	2025-10-08T01:10:05Z
last_indexed	2025-10-09T01:05:34Z
_version_	1845464331451367424
fulltext	© Л.Л. ГАРТ, Н.В. ПОЛЯКОВ, 2012 70 ISSN 0572-2691 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ УДК 519.6 Л.Л. Гарт, Н.В. Поляков ПРОЕКЦИОННО-ИТЕРАЦИОННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА НЬЮТОНА–КАНТОРОВИЧА ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В настоящее время интегральные уравнения широко применяются для реше- ния многих задач моделирования динамических объектов и систем, возникающих при исследовании процессов в биологии, биофизике, химии, физической химии, экологии, экономике и т.д. Среди характерных примеров постановок задач с при- менением нелинейных интегральных уравнений отметим такие задачи [1]: — анализ переходных процессов в электрических цепях; — исследование нелинейных процессов деформирования вязкоупругих мате- риалов; — математическая экология, в том числе задача распространения эпидемий (пандемий); — вынужденные колебания маятника; — обратная задача гравиметрии (интерпретация гравитационных данных). Применительно к различным типам нелинейных интегральных уравнений име- ется значительное количество теорем о разрешимости и свойствах решений [2, 3], которые трудно объединить в единую теорию, подобную теории линейных урав- нений. Соответственно и при численном решении нелинейных уравнений возни- кают обычно более значительные трудности по сравнению с решением линейных уравнений. Одномерные нелинейные интегральные уравнения второго рода Урысона ),())(,,( )( tfdssystKty b a   ,bta  (1) и Гаммерштейна ),())((),( )( tfdssyFstKty b a   ,bta  (2) где K, F и f — заданные функции своих аргументов,  — известный числовой па- раметр, )(sy — искомая функция на отрезке ], ,[ ba могут быть записаны также в операторном виде, что позволяет использовать для их исследования общую тео- рию операторных уравнений в некоторых функциональных пространствах. Инте- гральные уравнения в неразрывной связи с функциональным анализом представ- лены в трудах Л.В. Канторовича и Г.П. Акилова [3], А.Н. Колмогорова и С.В. Фо- мина [4], Л.А. Люстерника и В.И. Соболева [5], В.А. Треногина [6] и других авторов. Исключительно плодотворными в области исследования и приложения интегральных уравнений являются также работы С.Г. Михлина [7]. Основы ис- следования нелинейных интегральных уравнений и методов их решения содер- жатся в работах Н.Н. Назарова [8]. Существует большое количество приближенных методов, прямых и итерационных, для решения нелинейных интегральных уравне- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 1 71 ний вида (1), (2). Прямые методы, которые иногда называют аппроксимационны- ми, состоят в сведении решаемых уравнений к более простым, что может быть достигнуто аппроксимацией интегральных операторов или искомых решений ли- бо тем и другим путем одновременно. Цель применения прямых методов состоит обычно в переходе от бесконечномерного пространства к конечномерному, что, в частности, достигается сведением интегрального уравнения к системе алгебраи- ческих или в общем случае конечных нелинейных уравнений. Среди прямых ме- тодов можно выделить методы квадратур, вырожденных ядер, а также группу проекционных методов, основанных на аппроксимации решения (методы Галер- кина, наименьших квадратов, коллокации и др.). Среди итерационных методов назовем метод простой итерации, методы Положего и осреднения функциональ- ных поправок как его усовершенствованные разновидности, методы Ньютона– Канторовича, Эйткена–Стеффенсена ускоренной сходимости и др. В данной работе исследуется вопрос о применении к решению нелинейных интегральных уравнений Урысона (1) проекционно-итерационного метода, соче- тающего идеи метода квадратур как метода проекционного (аппроксимационно- го) типа и итерационного метода Ньютона–Канторовича. Суть предлагаемого ме- тода состоит в замене интегрального уравнения некоторой последовательностью аппроксимирующих его конечномерных задач, причем для каждой из «прибли- женных» задач с помощью итерационного метода Ньютона–Канторовича строит- ся всего несколько приближений к решению, последнее из которых с использова- нием интерполяции принимается как начальное приближение в итерационном процессе для следующей «приближенной» задачи. Последовательность интерпо- лированных приближенных решений объявляется последовательностью прибли- жений к решению исходного интегрального уравнения. Следует отметить, что общая идея проекционно-итерационных методов для решения операторных уравнений и задач минимизации в абстрактных простран- ствах принадлежит С.Д. Балашовой [9]. В ее работах эти методы нашли строгое теоретическое обоснование и применение к решению различных конкретных классов математических задач, в том числе линейных интегральных уравнений, а в настоящее время продолжают развиваться в работах ее учеников. Постановка задачи. Пусть задано нелинейное интегральное уравнение Уры- сона (1): ),())(,,( )( tfdssystKty b a   .bta  В зависимости от свойств функций )),(,,( systK )(tf и значения  уравне- ние (1) может иметь единственное решение или не иметь его; может иметь не- сколько решений, в том числе комплексных [1]. Пусть ))(,,( systK — непрерыв- ная функция всех своих аргументов, имеющая непрерывные производные ),,,( ystK y ),,( ystK yy в области своего определения, причем ,),,( 1MystK yy  ],,[, bast  , y (3) )(tf — непрерывная на отрезке ],[ ba функция, а значение , не являющееся ха- рактеристическим числом интегрального уравнения, удовлетворяет неравенству . ))(,,( max 1 1 0 1 t 0 dssystK y    (4) Задача состоит в исследовании проекционно-итерационного метода прибли- женного решения уравнений вида (1), основанного на методе квадратур как мето- де проекционного типа и итерационном методе Ньютона–Канторовича, а именно, 72 ISSN 0572-2691 вопросов теоретической и практической сходимости, трудоемкости и эффектив- ности предложенного метода по сравнению с обычной вычислительной схемой проекционного типа на примере решения конкретных задач. Метод решения. Одним из наиболее распространенных методов решения уравнения (1) является метод сведения его к конечной системе нелинейных урав- нений, а именно метод квадратур. Согласно этому методу промежуток интегриро- вания ] ,[ ba делится точками ,ii st  ,,,1,0 Ni  на N равных (для простоты) частей с шагом Nabh /)(  и к определенному интегралу в левой части уравне- ния (1) применяется та или иная квадратурная формула, построенная по узлам ,...,,, 10 Nsss затем это уравнение преобразуется к виду ),()())(,,( )( 0 tftRsystKCty Njjj N j             ,bta  (5) где ,jC ,,0 Nj  — коэффициенты, ),(tRN ,bta  — погрешность численно- го интегрирования. Полагая в уравнении (4) ,itt  ,,0 Ni  отбрасывая малую величину )( iN tR и переходя к обозначениям ),( ii tyy  получаем систему нели- нейных уравнений относительно приближенных значений ,iy ,,0 Ni  искомой функции в узлах квадратурной формулы ),(),,( )...,,,( 0 10 ijjij N j iNi tfystKCyyyy    .,0 Ni  (6) Метод квадратур сведения нелинейного интегрального уравнения (1) к ко- нечной системе уравнений (6) является по существу методом проекционного ти- па [9], однако точное решение этой системы ввиду ее нелинейности зачастую проб- лематично. Будем применять к решению системы уравнений (6) итерационный метод Ньютона–Канторовича, проекционно-итерационная реализация которого приме- нительно к операторному уравнению вида fyA  (7) с нелинейным оператором A, действующим в банаховом пространстве X и диффе- ренцируемым по Фреше в некотором шаре ,}- :{),( )0()0( XryyyryS XMM  приводится ниже. Аппроксимируем уравнение (7) последовательностью «приближенных» уравнений , ~~~ nnn fyA  ...,2,1,n (8) где nA ~ — нелинейный оператор, действующий в пространстве , ~ nX изоморфном подпространству nX исходного пространства ).......( 21 XXXX n  Обозначим n линейный оператор, который каждому элементу nn Xy  ставит во взаимно однозначное соответствие элемент . ~~ nn Xy  Ясно, что существует оператор ,1n осуществляющий обратное отображение nX ~ на .nX Не ограни- чивая общности, будем считать, что пространства nX и nX ~ изометричны, откуда следует, что .11   nn Пусть n обозначим линейный оператор, отоб- ражающий все пространство X на ; ~ nX в качестве n можно, например, взять оператор ,nnn P где nP — линейный ограниченный проектор, переводящий X на nX ,:( nn XXP  nnn yyP  для ).nn Xy  Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 1 73 Предположим, что для всех Mn  оператор nA ~ дифференцируем по Фреше на множестве } ,~ : ~~{ ~ SXyyyXy nnnnnnnnn  и его производная )~( ~ nn yA удовлетворяет на этом множестве условию Липшица с константой :0 ~ L ,~~ ~ )~( ~ )~( ~ ~ nXnnnnnn zyLzAyA  , ~~,~ nnn zy  (9) а также существует оператор 1)]~( ~ [)~( ~  nnnn yAy для всех . ~~ nny  Тогда для приближенного решения каждого из уравнений (8), начиная с некоторого номера ,Mn  можно применить итерационный метод Ньютона–Канторовича и постро- ить проекционно-итерационную последовательность приближений }~{ )( nk ny : ), ~~~ ()]~( ~ [~~ )(1)()()1( n k nn k nn k n k n fyAyAyy   )(1 1 )0( 1 y~ ~ nk nnnny    (10) ;1...,,1 ,0(  nkk ;Mn  ). ~~ )0( MMy  Сходимость проекционно-итерационного процесса (10), а также существование и область расположения решения y уравнения (7) устанавливает следующая теорема. Теорема. Пусть оператор A дифференцируем по Фреше в некотором шаре ,),( )0( XryS M  а каждый из операторов nA ~ при Mn  — на множестве , ~~ nn X причем каждая из производных )~( ~ nn yA удовлетворяет на n ~ условию Липшица (9). Пусть выполнены условия близости: ,~ ~~~ ~ 1 nXnnnnn n yAyA   (11) ,~ )~()~( ~ 11 nnnnnnn yAyA   (12) , nXn yAyAP  (13) , )()( nn yAyAP  (14) , nXn ffP  (15) для всех , ~~ nny  ,Sy  причем 0 ,,,~,~  nnnnn при , n а также су- ществуют оператор ,)]([)( 1 yAy обладающий свойством , )( By  ,Sy  (16) и операторы ,)]~( ~ [)~( ~ 1 nnnn yAy . ~~ nny  Если начальное приближение MM Xy ~~ )0(  удовлетворяет условиям ,~~~~ )0( ~ )0( MXMMM M fyA  ,2~~ )0(2)0(  MMM Lbh ,~ M )0( rGbr MMM  где , )~( 1 M M M B B b   ,2 2 12 )0( M M Mm MM H h HG mZ               , 2 12 )0( 0              m M m M h H ),1(    i m Mi m kZ 74 ISSN 0572-2691 то уравнение (7) имеет в шаре XryyyS MXMM  }- :{ )0( решение ,y к ко- торому сходится процесс последовательных приближений },~ { )(1 nk nn y определя- емый формулами (10), с оценкой погрешности ,)2/(~ ~ 12)0()0()(1 nMMMnX k nn Qhbyy nZ n   где .2 )2/()2/( 22)0( 1 )12(2)0( 0 MM nm M m n HhhQ nZmZmnZ         Если к тому же вы- полнено условие , nXn yyP   (17) где 0 n при , n то сама последовательность }~{ )( nk ny сходится к элементу  yn с оценкой погрешности . ~ ~ )( nnXn k n n n yy   Доказательство данной теоремы аналогично доказательствам теорем о схо- димости проекционно-итерационных методов [10]. Теперь рассмотрим интегральное уравнение (1) как операторное уравнение вида (7) ,))(,,( )()(( dssystKtytyAyA b a  )),(tff  заданное в пространстве ],[ baCX  непрерывных на отрезке ] ,[ ba функций с нормой ,)( max ],[ tyy batX   а уравнения (6) при фиксированном nNN  ,...)2 ,1( n — как «приближенные» уравнения (8), которые здесь запишем ),(),,( )...,,,( 0 10 ijjij N j iNi tfystKCyyyy n n    ,,0 nNi  ....,2 ,1n (18) Каждое из уравнений (18) задано в пространстве 1~   nN n RX векторов ny~ )...,,,( 10 nNyyy c нормой .max~ 0 ~ i NiXn yy n n   Подпространства ,XXn  изо- морфные пространствам , ~ nX можно выбирать различными для различных квад- ратурных формул. В случае квадратурной формулы трапеции в качестве nX ра- зумно выбрать подпространство непрерывных функций ),(tyn линейных на каж- дом из элементарных промежутков ,],[ 1ii tt :1,0  nNi ),()( 1 ii n i in yy h tt yty     ; 1 ii ttt . n n N ab h   (19) Функции (19), очевидно, принимают во всех узлах itt  значения ,iy .,0 nNi  Каждую такую функцию можно получить интерполированием таблицы значе- ний nNyyy ...,,, 10 полиномом первой степени на промежутке ].,[ 1ii tt Тем са- мым определено отображение 1n пространства nX ~ на .nX Оператор n каж- дой непрерывной функции nn Xty )( вида (19) ставит в соответствие вектор nNn Xyyyy n ~ )...,,,(~ 10  ее значений в узлах ,it ,,0 nNi  отрезка ]. ,[ ba Что касается оператора ,n то он каждой функции ],[)( baCty  ставит в соответ- ствие вектор ))(,),(),((~ 110 tytytyyn  ее значений в узлах nNttt ...,, , 10 отрезка ]. ,[ ba Тогда оператор проектирования nnnP  1 на подпространство ,nX любую непрерывную функцию ],[)( baCty  переводит в функцию )(tyn вида (19). Легко видеть, что ,~ ~ nXnXn yy  т.е. пространства nX и nX ~ изометричны. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 1 75 Проверим выполнимость условий теоремы о сходимости проекционно-итера- ционной реализации метода Ньютона–Канторовича применительно к уравнению (1). Не ограничивая общности рассуждений, будем считать, что .1] ,0[] ,[ ba Все результаты, установленные в дальнейшем, без каких-либо существенных измене- ний в доказательствах переносятся и на случай произвольного отрезка ] ,[ ba [3]. Оператор A, определяемый формулой ,))(,,( )()( 1 0 dssystKtytyA  как показано в [3], дважды дифференцируем в каждой внутренней точке y некоторо- го шара S пространства ],1 ,0[CX  причем для любых ]1,0[)(),( Ctvtz  ,)())(,,( )()()( 1 0 dsszsystKtztzyA y  (20) .)()())(,,( z(t)))( ),()(( 1 0 dssvszsystKtvtzyA yy  Далее, каждый из операторов nA ~ дифференцируем по Фреше в каждой внутрен- ней точке ny~ множества , ~~ nn X причем его производная ),~( ~ nn yA представляю- щая собой в данном случае матрицу Якоби элементов ,)~()~( ~ ,0, i nNji n j nn y y yA             удовлетворяет на n ~ условию Липшица (9). В самом деле, если рассматривать разность )~( ~ )~( ~ nnnn zAyA  для любых nnn zy  ~~ ,~ как матрицу элементов ,}{ ,0, nNjiijd  то с использованием формулы конечных приращений и условия (3) для всех значений ,,0 , nNji  будем иметь  ),,(),,( jjiyjjiyjij zstKystKCd .~~ ))(,,(sup ~1 1 0 nXnnjjjjjjjiyyj zyMCzyzyzstKC   Тогда для нормы матрицы, согласованной с данной нормой вектора в , ~ nX получим ,~~ max)~( ~ )~( ~ 0 ~1 0 0 j N j Xnnij N jNi nnnn CzyMdzAyA n n n n    т.е. условие (9) выполнено с константой . ~ 0 1 j N j CML n    Рассмотрим условие (11). Очевидно, dssystKtyyAyA nnnnn ))(,,( )(~ 1 0 1  для любого . ~~~ nnn Xy  Из определения операторов n и nA ~ следует, что условие (11) есть по сути условие аппроксимации интегрального оператора его се- точным аналогом. В случае квадратурной формулы трапеции, например, в предпо- ложении о существовании непрерывной производной ),(ty  ]1 ,0[t и непрерыв- ной производной ),,( ystKss такой, что , ),,( 2MystKss  ],1 ,0[, st ,Sy  имеем nniN NiXnnnnn hMtRyAyA n n n      ~ 12 )(max ~~~ 2 2 0 ~ 1 76 ISSN 0572-2691 и 0 ~ n при , n поскольку 0 nh при . nN Рассмотрим теперь условие (13) для любого .XSy  Если принять ,yAPu nn  то по определению оператора nP функция nnn Xtuu  )( интерпо- лирует непрерывную функцию ),()( tyAtu  1] ,0[t на каждом частичном отрез- ке , 1 ii ttt ,1,0  nNi по правилу (19), так что, пользуясь оценкой остаточ- ного члена интерполяционной формулы Лагранжа, получим , 2 1 )()( max 2 3 ]1 ,0[ nnn tXn hMtutuyAyAP   где )( max ]1 ,0[ 3 tuM t   и существование непрерывной производной ),(tu  1], ,0[t следует непосредственно из элементарных фактов теории интегралов, зависящих от параметра, в предположении о существовании непрерывных производных ),(ty  1] ,0[t и ),,,( ystKtt ],1 ,0[, st .Sy  Ясно, что 0 n при . n Аналогично можно показать, что выполнены и условия (15), (17) с констан- тами , 2 1 2 4 nn hM 2 5 2 1 nn hM соответственно, где ,)( max ]1 ,0[ 4 tfM t   .)()( max ]1 ,0[ 5 tyM t    Проверим для любого nnn Xy ~~~  выполнимость условия (12), которое явля- ется условием аппроксимации производной )(yA ее сеточным аналогом ).~( ~ nn yA Из определения оператора )~( ~ nn yA и соотношений (18) видно, что для произволь- ного nNn Xzzzz n ~ )...,,,(~ 10  элемент nnnn XzyA ~~)~( ~  — это вектор с компо- нентами ,),,( )~( y 00      nn N j jjjiyji N j jn j i zystK Czzy .,0 nNi  Далее на основании (20) получаем, что для того же nz~ элемент   )~( 1 nnn yA nnn Xz ~~1   — это вектор с компонентами ,)())(,,( )( 1 0 dsszsystKtz nniyin   ,,0 nNi  где функции ,~1 nnn zz  nnn yy ~1 определяются в соответствии с (19). Пользуясь рассуждениями, приведенными при доказательстве выполнимости условия (11), покажем, что 0~)~(~)~( ~ ~ 11   nXnnnnnnnn zyAzyA при . n В силу произвольности nn Xz ~~  приходим к выводу, что условие (12) выполняется. Аналогично устанавливается выполнимость условия близости (14) для любо- го .Sy  Если рассмотреть для произвольного Sz элементы nn XzyAP  )( и ,)( XzyA  то так же, как при доказательстве выполнимости условия (13), по- лучим, что 0)((y)z  Xn zyAAP при . n В силу произвольности Sz находим, что условие (14) выполняется. Что касается оператора ,)]([)( 1 yAy ,Sy  то он, как показано в [3], суще- ствует для значений  из (4) и имеет вид ,)();,,( )()()( 1 0 dsszystRtztzy   где );,,( ystR — резольвента ядра ),,( ystK y при заданном ,Sy  причем Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 1 77 условие (16) выполняется с константой ,1 CB  если CdsystR  1 0 );,,( для всех ],1 ,0[t .Sy  Существование каждого из операторов ,)]~( ~ [)~( ~ 1 nnnn yAy , ~~ nny  ,Mn  обеспечивается, очевидно, неособенностью соответствующей матрицы Якоби. Анализ полученных результатов и выводы. Рассмотрим применение про- екционно-итерационного метода (10) к решению нелинейного интегрального уравнения ,0)](sin)([ ),( )( 2 1 0   dssysgstKty ,10  t (21) где )(sg — заданная функция, ядро ),( stK и const известны. После подста- новки ),()(),( 1 0 tfdssgstK   )()()( tztfty  уравнение (21) может быть при- ведено к канонической форме уравнения Гаммерштейна (2): ,0))(,(),( )( 1 0   dsszsFstKtz ,10  t где )).()((sin))(,( 2 sfszszsF  При этом, если ядро имеет вид       1,),(1 s,0),(1 ),( tsts tst stK то такое интегральное уравнение, как известно [1], используется при решении за- дачи о нахождении вынужденных колебаний конечной амплитуды, совершаемых маятником. Для уравнения (21) с симметричным ядром ,) ,( tsstK  ssg    cos 2 2)( 2 и 1 на первом шаге проекционно-итерационного алгоритма (при )1n отре- зок ]1 ,0[ разбивался на 21 N равные части и к решению соответствующей си- стемы нелинейных уравнений вида (18), полученной с использованием квадра- турной формулы трапеции, применялся итерационный метод Ньютона– Канторовича с начальным приближением ),...,,,(~ )0()0( 1 )0( 0 )0( 1 1N yyyy  ,2 )0( ii sy  .,0 1Ni  При этом для нахождения каждого последующего приближения ,~ )1( k ny ,1 ,0  nkk на n-м шаге )1( n алгоритма в соответствии с (10) система линей- ных алгебраических уравнений ) ~~~ (~ )~( ~ )()()( n k nn k n k nn fyAyyA  относительно поправки )()1()( ~~~ k n k n k n yyy   решалась методом Гаусса. Количе- ство nk строящихся приближений выбиралось как наименьшее целое k, удовле- творяющее условию , ~~~ ~ )( nXn k nn n fyA  где 2 nn ch const)( c задавалось величиной порядка сеточной аппроксимации интегрального уравнения. Дискрети- зация отрезка ]1 ,0[ на )1( n -м шаге алгоритма выполнялась по принципу «вло- женности» сеток: ,21 nn NN  ,1n а начальное приближение )(1 1 )0( 1 ~~ nk nnnn yy    в итерационном процессе для соответствующей системы (18) определялось с по- мощью функций вида (19), интерполирующих приближенное решение ,~ )( nk ny по- лученное на предыдущем шаге. Заданная точность 001,0 в критерии n окончания работы алгоритма была достигнута при разбиении отрезка ]1 ,0[ на 78 ISSN 0572-2691 646 N части, суммарное количество необходимых итераций при этом составило .9111123 6 1   n n k Сравнение полученного приближенного решения с известным для данного уравнения точным решением ssy  )( показало совпа- дение результатов до шестого знака после запятой. При решении того же инте- грального уравнения методом квадратур в сочетании с итерационным методом Ньютона–Канторовича для решения системы (6) при начальном приближении ),...,, ,(~ )0()0( 1 )0( 0 )0( Nyyyy  ,2 )0( ii sy  ,,0 Ni  64N для достижения точности вычислений 001,0 потребовалось пять итераций и почти вдвое больше ма- шинного времени на программную реализацию алгоритма. Таким образом, проекционно-итерационный метод, сочетающий в себе идеи метода квадратур и итерационного метода Ньютона–Канторовича, является эф- фективной формой реализации названных методов для рассматриваемого класса нелинейных интегральных уравнений. Л.Л. Гарт, М.В. Поляков ПРОЕКЦІЙНО-ІТЕРАЦІЙНА РЕАЛІЗАЦІЯ МЕТОДУ НЬЮТОНА–КАНТОРОВИЧА ДЛЯ РОЗВ’ЯЗАННЯ НЕЛІНІЙНИХ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ Дослiджується питання застосування проекцiйно-iтерацiйного методу, що базу- ється на методі квадратур як методі проекційного типу та ітераційному методі Ньютона–Канторовича, до розв’язання нелінійних інтегральних рівнянь Ури- сона другого роду. Проводиться порiвняльний аналiз запропонованого методу та обчислювальної схеми проекційного типу на прикладi розв’язання конкрет- ної задачі. L.L. Hart, N.V. Polyakov PROJECTION-ITERATION REALIZATION OF THE NEWTON–KANTOROVICH METHOD FOR SOLVING NONLINEAR INTEGRAL EQUATIONS The problem of applying the projection-iteration method based on a quadrature rule method as a method of projection type and the Newton–Kantorovich iteration method to solving nonlinear Uryson integral equations of the second kind is investigated. The comparative analysis of the suggested method and a computational scheme of projec- tion type for solving concrete problem is carried out. 1. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. — Киев : Наук. думка, 1986. — 544 c. 2. Интегральные уравнения / П.П. Забрейко, А.И. Кошелев, М.А. Красносельский и др. — М. : Наука, 1968. — 448 с. 3. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. — М. : Наука, 1977. — 684 с. 4. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М. : Наука, 1981. — 544 с. 5. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. — М. : Наука, 1965. — 520 с. 6. Треногин В.А. Функциональный анализ. — М. : Наука, 1980. — 496 с. 7. Михлин С.Г. Интегральные уравнения и их приложения к некоторым проблемам механики, математической физики и техники. — М. : Гостехиздат, 1949. — 304 с. 8. Назаров Н.Н. Методы решения нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна // Тр. Среднеазиат. ун-та. — Ташкент, 1945. — Вып. 6. — С. 3–14. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 1 79 9. Балашова С.Д. Проекционно-итерационные методы решения уравнений в нормированных пространствах : Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. — Д. : ДГУ, 1974. — 20 c. 10. Тавадзе Л.Л. Проекционно-итерационные методы решения краевых задач для уравнений эллиптического типа : Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. — Д. : ДГУ, 1995. — 16 с. Получено 05.07.2011 После доработки 11.10.2011

Проекционно-итерационная реализация метода Ньютона–Канторовича для решения нелинейных интегральных уравнений

Institution

Ähnliche Einträge