Теорема о капитализации банков
Запропоновано модель роботи банку. Отримано інтегральне рівняння банкрутства банку та побудовано його розв’язок. Залежно від параметрів інвестиційного середовища досліджено цей розв’язок. Знайдено величину капіталу банку, за якої ймовірність банкрутства банку за певний період діяльності оцінюється л...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Проблемы управления и информатики |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207454 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Теорема о капитализации банков / Н.С. Гончар // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 1. — С. 126–140. — Бібліогр.: 7 назв. - рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-207454 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2074542025-10-08T00:24:15Z Теорема о капитализации банков Теорема про капіталізацію банків Bank Capitalization Theorem Гончар, Н.С. Экономические и управленческие системы Запропоновано модель роботи банку. Отримано інтегральне рівняння банкрутства банку та побудовано його розв’язок. Залежно від параметрів інвестиційного середовища досліджено цей розв’язок. Знайдено величину капіталу банку, за якої ймовірність банкрутства банку за певний період діяльності оцінюється лише через ймовірність неусувного ризику, який визначається як ймовірність можливості втратити частину капіталу, що інвестується, у разі несприятливої економічної ситуації. Величину цього капіталу названо обсягом капіталізації банку. The paper contains a model of work of a bank proposed by the author. Integral equation of bank bankruptcy is obtained and its solution is constructed. The dependence of this solution on parameters of investment environment is investigated. The expression for bank capital, for which the probability of bank bankruptcy during the definite time is estimated only by probability of nonavoidable risk, defined as probability of invested capital losses in the case of adverse economic state, is found. The value of this capital is called bank capitalization capital. 2012 Article Теорема о капитализации банков / Н.С. Гончар // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 1. — С. 126–140. — Бібліогр.: 7 назв. - рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207454 519.86 10.1615/JAutomatInfScien.v44.i2.60 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Экономические и управленческие системы Экономические и управленческие системы |
| spellingShingle |
Экономические и управленческие системы Экономические и управленческие системы Гончар, Н.С. Теорема о капитализации банков Проблемы управления и информатики |
| description |
Запропоновано модель роботи банку. Отримано інтегральне рівняння банкрутства банку та побудовано його розв’язок. Залежно від параметрів інвестиційного середовища досліджено цей розв’язок. Знайдено величину капіталу банку, за якої ймовірність банкрутства банку за певний період діяльності оцінюється лише через ймовірність неусувного ризику, який визначається як ймовірність можливості втратити частину капіталу, що інвестується, у разі несприятливої економічної ситуації. Величину цього капіталу названо обсягом капіталізації банку. |
| format |
Article |
| author |
Гончар, Н.С. |
| author_facet |
Гончар, Н.С. |
| author_sort |
Гончар, Н.С. |
| title |
Теорема о капитализации банков |
| title_short |
Теорема о капитализации банков |
| title_full |
Теорема о капитализации банков |
| title_fullStr |
Теорема о капитализации банков |
| title_full_unstemmed |
Теорема о капитализации банков |
| title_sort |
теорема о капитализации банков |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Экономические и управленческие системы |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207454 |
| citation_txt |
Теорема о капитализации банков / Н.С. Гончар // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 1. — С. 126–140. — Бібліогр.: 7 назв. - рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT gončarns teoremaokapitalizaciibankov AT gončarns teoremaprokapítalízacíûbankív AT gončarns bankcapitalizationtheorem |
| first_indexed |
2025-10-08T01:10:31Z |
| last_indexed |
2025-10-09T01:05:52Z |
| _version_ |
1845464349650452480 |
| fulltext |
© Н.С. ГОНЧАР, 2012
126 ISSN 0572-2691
ЭКОНОМИЧЕСКИЕ И УПРАВЛЕНЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
УДК 519.86
Н.С. Гончар
ТЕОРЕМА О КАПИТАЛИЗАЦИИ БАНКОВ
Введение
Оценивание вероятности банкротства фирмы берет свое начало со знамени-
той вероятностной модели банкротства страховой компании, предложенной и ис-
следованной Крамером [1] и Лундбергом [2]. Затем в [3], используя отношение
бухгалтерских показателей, вопрос банкротства фирм исследовался дискрими-
нантным методом. Мертон [4] сделал важное наблюдение, состоящее в том, что
если собственный капитал акционеров фирмы рассматривать как стоимость опци-
она кол на стоимость активов фирмы, то косвенным образом можно оценить ве-
роятность банкротства фирмы. Выплаты акционерам проводятся по остаточному
принципу из активов фирмы, следовательно, на акции проводятся после выплат
по обязательствам. Из-за того, что в случае банкротства фирмы выплаты на акции
акционерам имитируют выплаты на опцион кол, акционеры не предъявят опцион
кол к исполнению, если фирма идет к банкротству. В 90-е годы прошлого века
появилась методология VaR [5], которая предписывает банкам ежедневный расчет
капитала, обеспечивающего его ликвидность. Современное изложение концепции
риска и его определение содержится в [6], где представлены аксиомы когерентно-
го риска.
Предлагаемая модель работы банка является динамической, учитывающей
состояние инвестиционной среды, уровень менеджмента. В работе получено ин-
тегральное уравнение для вероятности банкротства банка и построено его реше-
ние, гарантируемое теоремой 1. Это уравнение отличается от уравнения для веро-
ятности банкротства страховой компании [1] не только по форме, но и по содержа-
нию из-за наличия смещений в аргументах относительно нуля на вещественной
прямой, что является следствием инвестирования банком капитала в активы эконо-
мической системы. Последнее сказывается на довольно медленной сходимости по-
следовательности итераций к решению уравнения по сравнению со сходимостью
итераций к решению уравнения для уравнения банкротства страховой компании.
Модель работы банка, исследуемая в настоящей публикации, лежит в русле
исследований, изложенных автором в монографии [7]. Инвестиционная среда
описывается последовательностью случайных величин, характеризующих воз-
можные риски банка при инвестировании средств в экономику. Модель учитыва-
ет поступление депозитов на счета банка, а также выполнение им обязательств по
возврату депозитов с процентами и других возможных институциональных обяза-
тельств. Выплата обязательств банком описывается последовательностью незави-
симых случайных величин, заданных некоторой функцией распределения и со-
средоточенной на некотором интервале ],,0[ T где T — максимально возможные
выплаты по обязательствам банка. Величина T зависит от величины обязательств
банка, которые могут фиксироваться по-разному. Например, могут фиксироваться
средние значения выплат в модели или же максимальная величина выплат T. По-
строенная модель является однородной цепью Маркова с переходной функцией за
один шаг, определяемой вероятностями рисков инвестирования и функцией рас-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 1 127
пределения выплат по обязательствам. Получены интегральные уравнения для ве-
роятности банкротства банка как за конечное число шагов, так и за бесконечное.
Построены решения интегральных уравнений банкротства банка как за конечное,
так и за бесконечное число шагов. Исследованы специальные случаи, в которых
установлено банкротство банка с вероятностью 1. Для вероятности банкротства
банка получена оценка снизу, являющаяся суммой построенных специальных ре-
шений. Основной результат работы — теорема о капитализации банков, в которой
указана величина капитала банка, при котором вероятность банкротства банка не
превышает вероятности систематического риска потери части капитала банком.
Основные предположения модели
Рассматривается следующая модель работы банка. Считается, что банк мо-
жет инвестировать имеющийся у него капитал в активы в начале каждого перио-
да. Существует n возможных результатов исхода инвестирования в каждом опе-
рационном периоде. Какая возможность осуществится, зависит от инвестицион-
ной среды и уровня банковского менеджмента. Пусть в начальный момент
времени капитал банка x. Эволюция банковского капитала происходит в дискрет-
ные моменты времени ...,,2,1n следующим образом: имея в нулевой момент
времени капитал x банк инвестирует его в активы так, что с вероятностью 1p он
может потерять некоторую часть капитала, а с вероятностью ,ip ,2,= ni увели-
чить капитал. Для описания этой ситуации введем последовательность случайных
величин ,i ...,,2,1i которые между собой независимы и одинаково распреде-
лены, принимают значения во множестве чисел ,},,{ 1 nbb причем
,=)=( iik pbP 1,=
1=
i
n
i
p 0,kp .1,= nk (1)
Полагаем, что 1,>>0 1 b 0,> 1 ii bb .3,= ni Тогда капитал банка в момент
времени 1=t составит
,)(1= 111 ZCxR (2)
где 0>C — величина поступления депозитов в первом периоде деятельности
банка, 1Z — неотрицательная случайная величина, описывающая обязательства
банка перед кредиторами. Поступая также и далее, в момент времени nt =
капитал банка составит величину
,)(1= 1 nnnn ZCRR ...,,2,1n (3)
где случайные величины ,iZ ...,2,1,=i независимые и одинаково распределен-
ные. Полагаем, что последовательность случайных величин ,i ...,2,1,=i
и последовательность случайных величин ,iZ ...,2,1,=i независимы. Основная
проблемма состоит в том, чтобы классифицировать риски банка и определить
вероятность банкротства банка в зависимости от этой классификации, зная
вероятности ,ip ,1,= ni и функцию распределения случайной величины .nZ
Постоянную 1b связываем с частю проблемных кредитов банка.
Вероятность банкротства банка
Рассмотрим вероятностное пространство },,,{ PF где
,= 21 ,=
=1
1
i
i
R
,=
1=
2
i
i
N
,= 21 FFF ,= 21 PPP ,= 1
1=
1 i
i
PP
,= 2
1=
2 i
i
PP
128 ISSN 0572-2691
,= 1RRi
,1,= i 1R — вещественная прямая, ,= NN i
,1,= i }.,2,{1,= nN
Полагаем, что множество
}},,,,{=,{= 1111 nxx
состоит из последовательностей вида
},,,,,{= 11 nxx ,i
i Rx ,1,= i
а множество
}},,,,{=,{= 1222 nyy
— из последовательностей вида
},,,,,{= 12 nyy ,ii Ny .1,= i
Под )( 1RB подразумеваем борелевскую -алгебру подмножеств ,1R а под мно-
жеством 1F — минимальную -алгебру, порожденную цилиндрическими множест-
вами вида
},},,{,{=)(...,,
1111
AxxAC
niiii n
где ),( nRBA а )( nRB — борелевская -алгебра подмножеств из .nR Под 2F
понимаем минимальную -алгебру подмножеств, порожденную цилиндричес-
кими множествами вида
},},,{,{=)(
122...,,,1
ByyBC
niiii n
где ),( nNBB а )( nNB — -алгебра всех подмножеств множества .nN
Полагаем, что мера 1P — бесконечное прямое произведение мер, по-
рожденных функцией распределения )(xF на каждом .iR Мера 2P — беско-
нечное прямое произведение мер P, заданных на каждом ,iN ,1,= i формулой
,=)( jpjP
,1,= nj .iNj Нетрудно видеть, что последовательность капита-
лов ,iR ,1,= i образует однородную цепь Маркова с переходной функцией за
один шаг
),(=))(1(=),,1,(
)1(1=
xdFpZCxEAsxsP
ACxb
j
n
j
ssA
j
(4)
где },{= AyyaAa для некоторого вещественного a и ).( 1RBA Прини-
мая во внимание этот факт, получаем формулу
)(=),,(
1=
11 iiA
m
i
mn REARARP
).,,,1()1,,2,()1,,(0,= 1121
11
mmmm
AA
AmymPdymymPydxP
m
Поэтому вероятность не разориться банку во временнóм интервале ][0, m зада-
ется формулой
))[0,,),[0,( 1 mRRP
)).,0[,,,1()1,,2,()1,,(0, 112
0
1
0
mymPdymymPdyxP mmm
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 1 129
Учитывая, что
)],)((1[1]),(,,1,( 1
1=
1 yCybFpyiyiP ijj
n
j
i
получаем
).)((1=))[0,,,1,( 1
=1
1 CybFpiyiP ijj
n
j
i
Обозначая )(xm вероятность банка не разориться во временнóм интервале ],0[ m
с начальным капиталом ,x из предыдущего получаем рекуррентное соотношение
)()1,,(0,=)( 111
0
ydyxPx mm
).())((11
)1(
01=
ydFyCxbp jm
Cxb
j
n
j
j
(5)
Для получения последнего выражения используется формула замены меры
),()(=)()( 1 ydFyafydFyf
ca
da
d
c
где ).(1=)(1 yaFyF Из этой формулы имеем
).())((1)])((1[1)( 111
)1(
0
111
0
ydFyCxbyCxbFdy jm
Cxb
jm
j
Далее полагаем, что .0)0( F
Теорема 1. Вероятность банкротства банка )(x во временнóм интервале
)[0, с начальным капиталом x удовлетворяет интегральному уравнению
)()1,,(0,))((11=)( 11
0=1
ydyxPCxbFpx jj
n
j
).())((1))((11=
)1(
01=1=
ydFyCxbpCxbFp j
Cxb
j
n
j
jj
n
j
j
(6)
Решение этого уравнения задается формулой
),(=)( 0
0=
xAx k
k
(7)
где введены следующие обозначения:
),)((11=)(
1=
0 CxbFpx jj
n
j
).())((1=)(
)1(
01=
ydFyCxbfpxfA j
Cxb
j
n
j
j
130 ISSN 0572-2691
Доказательство. Введем вероятность банкротства банка во временнóм ин-
тервале ],0[ m формулой
),(1=)( xx mm
тогда )(xm удовлетворяет рекуррентному соотношению
))((11=)(
=1
CxbFpx jj
n
j
m
).())((11
)1(
01=
ydFyCxbp jm
Cxb
j
n
j
j
(8)
Его решение представимо в виде
).(=)( 0
1
0=
xAx k
m
k
m
(9)
Из непрерывности вероятности имеем ,)(lim=)( xx m
m
поэтому ).(lim=)( xx m
m
Из последнего вытекает, что ряд
)(=)( 0
0=
xAx k
k
(10)
сходится как ряд с неотрицательными членами, мажорируемый 1.
Теорема доказана.
В следующей теореме полагаем, что 0,=ip .2,= ni
Теорема 2. Пусть 0,<<1 1b , TC
1,<<]/1[1 1
1/2 bTC 0.>0>)(
ydF
T
T
Решение уравнения
)())1(())((11=)( 1
)1(
0
1
1
ydFyCxbCxbFx
Cxb
(11)
задается рядом
),(=)( 0
0=
xAx k
k
(12)
где
),())1((=)( 1
)1(
0
1
ydFyCxbxA
Cxb
,))((11=)( 10 CxbFx
который сходится к единице.
Доказательство. Сначала рассмотрим случай 1.<< 1b
T
C
Для
1
=
b
C
x имеем
.)(1=
1
/
011
1
ydFy
b
C
b
C
F
b
C
bC
(13)
Из монотонного убывания )(x имеем
,
11
b
C
y
b
C
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 1 131
откуда
.1
1111
b
C
F
b
C
b
C
F
b
C
Последние неравенства, предположение теоремы и монотонное убывание )(x
дают
1,=)(x .
|| 1b
C
x
Предположим, что .>
1b
C
x Тогда ,= 0
1
x
b
C
x .00 x Для таких x
01
1
0
1
)(11= xb
b
C
Fx
b
C
).()(1 01
1
)(1
0
01
1
ydFyxb
b
C
xb
b
C
(14)
Учитывая неравенство
,)(1 0
1
01
1
x
b
C
yxb
b
C
имеем
.)(1)(11 0
1
01
1
01
1
0
1
x
b
C
xb
b
C
Fxb
b
C
Fx
b
C
Предположим, что ,<)(1 01
1
Txb
b
C
или .)1(< 1
1
0 / b
b
C
Tx
Тогда
для
,)1(<0 1
11
/ b
b
C
T
b
C
x
1.=)(x
Так как
,>)1( 1
11
/ Tb
b
C
T
b
C
то 1,=)(x .0 Tx Рассмотрим теперь случай
,2<)(1< 1 TCxbT .>
1b
C
x (15)
Для таких x
)())((1=)( 1
0
ydFyCxbx
T
).()())((1=
)1(
1
)1(
0 1
1
ydFydFyCxb
T
TCxb
TCxb
(16)
Из последнего равенства имеем 1=)(x для x, удовлетворяющих неравенст-
вам (15), так как ).())((1 1 xyCxb Наконец, рассмотрим случай
,2)(1 1 TCxb .>
1b
C
x
132 ISSN 0572-2691
Для таких x
1.=)()())((1=)( 1
0
TydFyCxbx
T
Значит, 1,=)(x если .>
1b
C
x
Рассмотрим случай
./<]/[11 1
1/2 TCbTC
Если 1b удовлетворяет вышеприведенному неравенству, то справедливо
.<
1
=
1
1
1 T
b
T
b
C
T
Ввиду условий теоремы
)()])(1/([1= 11
/
0
1
ydFybbCFq
bC
0.>)()])(1/([1 11
1
ydFybbCF
T
T
Из уравнения (11) получаем неравенства
),)((11)( 1 CxbFx
).]))[(1((11))((1 111 CyCxbbFyCxb
В точке 1/= bCx последнее неравенство примет вид
).)(1/((1)/( 111 ybbCFybC
Из уравнения (11) следует
)()|/()/(1=)/( 1
/
0
11
1
ydFybCbCFbC
bC
0.>=)()])(1/([1)()/(= 11
/
0
1
/
0
11
qydFybbCFydFybC
bCbC
Таким образом, для всех ,/0 1bCx .)( qx Используя еще раз уравне-
ние (11), для 1/0 bCx получим неравенство
))((1))((11)( 11 CxbqFCxbFx
,)])((1)[1(1= 1 CxbFqq
откуда
)].)(1/()[1(1)/( 111 ybbCFqqybC
Используя уравнение (11), получаем неравенство
.)(1)()/()/(1=)/( 1
/
0
11
1
qqqydFybCbCFbC
bC
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 1 133
Применяя эту методику бесконечно много раз, придем к неравенству
1.)/( 1 bC
Последнее означает, что 1,=)(x ./0 1bCx
Для доказательства теоремы необходимо доказать, что для 1/> bCx 1.=)(x
Обозначим ,/= 01 xbCx тогда
).())(1/(=)/( 011
0
01 ydFyxbbCxbC
T
(17)
Пусть ,<<0 T 0.>)( TF Выберем
,
1
0
1
0
b
T
x
тогда 0)(1 01 Txb и
)())(1/(=)/( 011
0
01 ydFyxbbCxbC
T
).(1)()/()( 01
TFTFxbCydF
T
T
Из этого неравенства следует, что
1,=)/( 01 xbC .
1
<0
1
0
b
T
x
Равенство (17) дает неравенство
)),(1/()/( 10101 bxbCxbC
которое гарантирует равенство 1=)/( 01 xbC для всех 0,>0x если оно
справедливо для некоторого 0.>0x Итак, 1=)(x для всех неотрицательных x.
Теорема доказана.
Теорема 3. Пусть 0,<<1 1b 1,<<0 1p , TC
1,<<]/1[1 1
1/2 bTC 0,>0>)(
ydF
T
T
тогда решение уравнения
)())1((1=)( 1
)1(
0
11
1
ydFyCxbppx
Cxb
(18)
таково, что 1,<)(1 1 xp ,<0 x 1.=)(lim x
x
Доказательство. Очевидно, что решение уравнения (18) существует,
единственно и задается сходящимся рядом
),(=)( 0
0=
xBx k
k
(19)
где
),())((1=)( 1
)1(
0
1
1
ydFyCxbfpxfB
Cxb
.1=)( 10 px
134 ISSN 0572-2691
Из представления для решения следует, что (19) — монотонно неубывающая
функция x и монотонно невозрастающая функция .1b Пусть сначала
справедливы неравенства ./<<]/1[1 1
1/2 TCbTC Из монотонного неубыва-
ния )(x получаем неравенства
,))((11)( 111 Cxbppx (20)
).)((11)( 111 CxbFppx (21)
Рассмотрим уравнение
).()/(1=)/( 1
0
111 ydFybCppbC
T
(22)
Из (21) получаем неравенство
).)(1/(1)/( 11111 ybbCFppybC
Принимая во внимание последнее неравенство, имеем
).())(1/()(11)/( 11
0
2
11111 ydFybbCFppppbC
T
(23)
Итак, если справедливо неравенство
,1<)())(1/( 11
0
ydFybbCF
T
(24)
то 1.<)/( 1bC Однако если
,/<<]/[11 1
1/2 TCbTC
то .<)1(= 1
1
1 / TbT
b
C
T
Благодаря условиям теоремы
)()])(1/([1)()])(1/([1 11
0
11
/
0
1
ydFybbCFydFybbCF
TbC
0.>)()])(1/([1 11
1
ydFybbCF
T
T
Из последнего неравенства получаем неравенство (24). Построенное реше-
ние, заданное рядом (19), зависит от параметра 1.<<0 1b В оставшейся части
доказательства теоремы будем указывать на эту зависимость. Итак, полага-
ем ).,(=)( 1bxx Очевидно, что ),,(),( 11 axbx 0,x если .< 11 ab Выше
показано, что 1<),/( 11 bbC для ./<<]/[11 1
1/2 TCbTC Выберем неко-
торое ,> 11 ba тогда
),,/(=),/(),/(>1 1011111 axaCabCbbC
где 0.>//= 110 aCbCx Последнее неравенство означает, что для всех
TCbTC /<<]/[11 1
1/2 существует 0>0x такое, что 1.<),/( 101 bxbC
Из неравенства
),,)(1/(1),/( 101111101 bxbbCppbxbC
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 1 135
имеющего место для всех 0,>0x следует, что
1,<),/(1)),(1//( 101111101 bxbCppbbxbC
где положено .=)(1 001 xxb Применяя это неравенство n раз, придем к нера-
венству
1.<),/(1),)(1//( 101111101 bxbCppbbxbC nnn
Ввиду произвольности n последнее доказывает, что
1,<),( 1bx 0,x ./<<]/[11 1
1/2 TCbTC
Наконец, мы получим утверждение теоремы для ,/>1 1 TCb если восполь-
зуемся монотонным убыванием ),( 1bx по аргументу 1.<<0 1b
Теорема доказана.
Как результат теоремы 3 получаем следующую теорему.
Теорема 4. Пусть 0,<<1 1b 1,<<0 1p , TC
1,<<]/1[1 1
1/2 bTC 0,>0>)(
ydF
T
T
тогда решение уравнения
)())1(()))((1(1=)( 10
)1(
0
1110
1
ydFyCxbpCxbFpx
Cxb
(25)
таково, что ,)(<0 10 px ,<0 x 0.=)(lim 0 x
x
Доказательство следует из соотношения ),(1=)(0 xx где )(x — реше-
ние, построенное в теореме 3.
Теорема 5. Предположим, что
0,1 p ,<0 1 ii bb ,12,= ni
1,=
=1
j
n
j
p ,< TC 1,=)(TF .< T
Тогда решение уравнения
]))((11[=)(
2=
1 CxbFpx jj
n
j
)())((11
)1(
02=
ydFyCxbp j
Cxb
j
n
j
j
(26)
задается формулой
),(=)( 0
0=
1 xAx k
k
(27)
где введены обозначения
,]))((11[=)(
2=
0 CxbFpx jj
n
j
).())((1=)(
)(1
02=
ydFyCxbfpxfA j
Cxb
j
n
j
j
Это решение таково, что 0=)(1 x для ./)( 2bCTx
136 ISSN 0572-2691
Доказательство. Рассмотрим уравнение
),,()(=),( 101 xAxx (28)
где 1.<<0 Уравнение (28) имеет единственное решение, задаваемое рядом
),(=),( 0
0=
1 xAx kk
k
(29)
который сходится к решению уравнения (26), заданного формулой (27), когда
стремится к 1. Если ,/)( 2bCTx то 0=)(0 x и 0=)(0 xAn ...,,2,1n на
интервале ).,/)[( 2 bCT Поэтому ,0=),(1 x ),,/)[( 2 bCTx .10
Теорема доказана.
Теорема 6. Для решения уравнения (6), построенного в теореме 1 и задан-
ного формулой (7), справедливо неравенство
),()()( 10 xxx
где )(0 x — решение, построенное в теореме 4, а )(1 x — решение, построен-
ное в теореме 5.
Теорема 7. Пусть 0.>>1 1p Для вероятности банкротства банка )(x во
временном интервале )[0, с начальным капиталом x, удовлетворяющего интег-
ральному уравнению (6), справедливо представление
)]()([=)(
)(
2
)(
1
0=
xxx
nn
n
(30)
и неравенства
n
k
kk
n
k
k xxxxA
0
)(
2
)(
10
1
0
),()]()([)( ...,,2,1n (31)
где:
),()(=)(
),()(=)(
(0)
22
0
2
(0)
2
(0)
11
0
1
(0)
1
xAxx
xAxx
(32)
,1,=),()(=)(
,1,=),()(=)(
)(
22
1)(
21
)(
2
)(
11
1)(
12
)(
1
nxAxAx
nxAxAx
nnn
nnn
(33)
)],)((1[1=)( 11
0
1 CxbFpx
)],)((1[1=)(
2=
0
2 CxbFpx jj
n
j
),())((1=)( 1
)1(
0
11
1
ydFyCxbfpxfA
Cxb
).())((1=)(
)1(
02=
2 ydFyCxbfpxfA j
Cxb
j
n
j
j
Доказательство. Из соотношения
)()()(=)]()()[(
1)(
12
)(
2
)(
1
)(
2
)(
121 xAxxxxAA
nnnnn
)()()(
1)(
21
)(
21
)(
12 xAxAxA
nnn
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 1 137
получаем
)]()([=)]()()[(
)(
2
)(
1
1=
)(
2
)(
121
1=
xxxxAA
kk
n
k
kk
n
k
).()()()(
)(
21
)(
12
(0)
21
(0)
12 xAxAxAxA
nn
С учетом (32) имеем
)]()()[()()(
)(
2
)(
121
0
(0)
2
(0)
1 xxAAxx
kk
n
k
).()()]()([=
)(
21
)(
12
)(
2
)(
1
0=
xAxAxx
nnkk
n
k
Из этого равенства получаем равенство
)]()()[()()(
)(
2
)(
121
1
0
(0)
2
(0)
1 xxAAxx
kk
n
k
).()()]()([=
)(
11
)(
22
)(
2
)(
1
0=
xAxAxx
nnkk
n
k
Из последнего равенства получаем систему неравенств
,)]()([)]()()[()()(
)(
2
)(
1
0=
)(
2
)(
121
1
0
(0)
2
(0)
1 xxxxAAxx
kk
n
k
kk
n
k
....,2,1n
Из последней системы неравенств, справедливых при ...,,2,1n получаем сис-
тему неравенств
.])()([)(
)(
2
)(
1
0=
0
1
0=
xxxA
kk
n
k
k
n
k
По построению )(
)(
x
k
i справедливы неравенства
,)(])()([
)(
2
)(
1
0=
xxx
kk
n
k
....,2,1n
Из этих неравенств, неотрицательности )(),(
)(
2
)(
1 xx
kk
получаем существование
предела
).(=)]()([])()([lim
)(
2
)(
1
0=
)(
2
)(
1
0=
xxxxx
kk
k
kk
n
kn
Последнее доказывает теорему.
Лемма 1. Пусть 1.<<0 1p Решение уравнения )()(=)(
(0)
22
0
2
(0)
2 xAxx
равно нулю для ./)( 2bCTx
Доказательство. Так как )(=)( 0
22
0=
(0)
2 xAx n
n
и для 2/)( bCTx
0,=)(0
2 x 0,=)(0
22 xAn ,1,= n
получаем доказательство леммы.
138 ISSN 0572-2691
Лемма 2. Предположим, что 1.<<0 1p Функция
)(=)(
)(
2
0=
2 xxf
k
n
k
n (34)
равна нулю для ,
1
11
Kx
n
где
,
)(1
=
12 b
CT
b
CT
K
.
)(1
1
=
1b
Доказательство. Из рекуррентных соотношений (33) получаем по индукции:
если 1kA — точка на )[0, такова, что для всех ),,[ 1 kAx ,0=)(
1)(
2 x
k
то
0=)(
1)(
21 xA
k
для .,
1 1
1
b
CTA
x k Решение уравнения
),()(=)(
)(
22
1)(
21
)(
2 xAxAx
kkk
,1,= nk
задается рядом ,)(=)(
1)(
212
0=
)(
2 xAAx
ki
i
k
из которого следует, что
0,=)(
1)(
212 xAA
ki
если
,
))(1(1)(1 21
1
21=
i
k
j
i
j bb
CTA
b
CT
x
,2,1,0,= i
или, если
,
)(1
=
)(1)(1 1
1
21
1
21= b
CTA
b
CT
b
CTA
b
CT
x kk
j
j
то 0.=)(
)(
2 x
k
Итак, если обозначить kA точку такую, что для ),,[ kAx
0,=)(
)(
2 x
k
то получим следующее рекурентное соотношение:
,
)(1
=
1
1
2 b
CTA
b
CT
A k
k
.1,= nk (35)
По предыдущей лемме .=
2
0
b
CT
A
Принимая во внимание рекуррентные со-
отношения (35), неравенство
,
)(1
=
12
0
b
CT
b
CT
KA
получаем, что для
,,
1
11
Kx
n
.0,=0,=)(
)(
2 nkx
k
Это доказывает лемму.
Лемма 3. Для решения уравнения
),()(=)( 1
0
11 xAxx (36)
где
),(=)(
)(
1
0=
1 xx
n
n
(37)
имеет место неравенство .)(0 11 px
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 1 139
Доказательство. Справедливо неравенство
)))((1)))((1(1=)(
1=
1111
0
1 CxbFppCxbFpApx jj
n
j
.)))((1))])((1)))((1[1= 1
2=
11111 pCxbFppCxbFpCxbFp jj
n
j
Применяя это неравенство n раз, получим неравенство
,)( 11
10
1
0=
ppAxA nk
n
k
(38)
или
.)( 1
0
1
0=
pxAk
n
k
(39)
Учитывая произвольность n и устремляя его к бесконечности, получаем дока-
зательство леммы.
Теорема 8. (О капитализации банков.) Предположим, что ,1<<0 1p а на-
чальный капитал банка больше ,
1
11
KV
n
где
,
)(1
=
12 b
CT
b
CT
K
,
)(1
1
=
1b
тогда вероятность банкротства банка во временнóм интервале ],0[ n удовлетво-
ряет неравенству 1)( pxn для всех .
1
11
Kx
n
Доказательство теоремы 8 является следствием предыдущих лемм и не-
равенств:
,)(=)()( 11
)(
1
0=
)(
1
0=
pxxx
k
k
k
n
k
.)]()([)(=)( 1
)(
2
)(
1
0=
0
1
0=
pxxxAx
kk
n
k
k
n
k
n
Теорема доказана.
Вероятность 1<<0 1p будем называть вероятностью систематического или
неустранимого риска потери части капитала банком. Из формулы для капитали-
зации банка V
,
1
11
KV
n
,)(=
2
CT
b
CT
K
,
)(1
1
=
1b
вытекает, что она определяется величинами ,,, nK где K пропорционально
CT с коэффициентом пропорциональности
2
1
b
. Число n можно определить
из условия цикличности развития экономики. Величина 1b — часть капитала,
которую банк может потерять с вероятностю ,1p определяется уровнем
менеджмента банка, а также состоянием инвестиционной среды. За пределами
форсмажорных обстоятельств величины ,1b как и ,1p небольшие. Регулятор
может поддерживать заданную капитализацию банка путем рефинансирования
банка и ограничением его максимальных выплат, т.е. поддерживая заданной
величину .CT
140 ISSN 0572-2691
Заключение
В настоящей работе предложена и исследована модель работы банка, позво-
ляющая установить размер начального капитала банка, при котором банк в тече-
ние определенного периода времени с вероятностью, не превышающей вероят-
ности неустранимого риска, способен функционировать, выполняя все обяза-
тельства. Из формулы для капитализации банка следует, что она зависит
от величин, которые определяются состоянием инвестиционной среды. Важным
выводом из этой формулы является то, что значительно уменьшить величину ка-
питализации банка невозможно, увеличив ставку кредитования. Этот вывод явля-
ется фундаментальным для украинских реалий. Коммерционные банки вместо то-
го чтобы увеличить уставной капитал, улучшить менеджмент, перекладывают
риски на заемщиков, устанавливая заоблачные ставки кредитования.
М.С. Гончар
ТЕОРЕМА ПРО КАПІТАЛІЗАЦІЮ БАНКІВ
Запропоновано модель роботи банку. Отримано інтегральне рівняння банк-
рутства банку та побудовано його розв’язок. Залежно від параметрів інвести-
ційного середовища досліджено цей розв’язок. Знайдено величину капіталу
банку, за якої ймовірність банкрутства банку за певний період діяльності оці-
нюється лише через ймовірність неусувного ризику, який визначається як
ймовірність можливості втратити частину капіталу, що інвестується, у разі
несприятливої економічної ситуації. Величину цього капіталу названо обсягом
капіталізації банку.
N.S. Gonchar
BANK CAPITALIZATION THEOREM
The paper contains a model of work of a bank proposed by the author. Integral
equation of bank bankruptcy is obtained and its solution is constructed. The
dependence of this solution on parameters of investment environment is investigated.
The expression for bank capital, for which the probability of bank bankruptcy during
the definite time is estimated only by probability of nonavoidable risk, defined as
probability of invested capital losses in the case of adverse economic state, is found.
The value of this capital is called bank capitalization capital.
1. Cramer H. On the mathematical theory of risk // Skandia Jubilee Volume. — Stockholm, 1930.
— 40 p.
2. Lundberg F. Some supplementary researches on the collective risk theory // Skandinavisk
Aktuarietidskrift. — 1932. — 15. — P. 137–158.
3. Altman E. Financial ratios, discriminant analysis and the prediction of corporate bankruptcy //
J. of Finance. — 1968. — 23. — P. 589–609.
4. Merton R. On the pricing of corporate debt: the risk structure of interest rates // Ibid. — 1974. —
29. — P. 449–470.
5. Duffie D., Pan J. An overview of value at risk // J. of Derivatives. — 1997. — 4. — P. 7–49.
6. Artzner P., Delbaen F., Eber J.M., Heath D. Coherent measures of risk // Mathematical Finance.
— 1999. — 9, N 3. — P. 203–228.
7. Gonchar N.S. Mathematical foundations of information economics. — Kiev : In-t for Theoretical
Physics, 2008. — 468 p.
Получено 17.09.2010
После доработки 01.06.2011
|