Численный метод решения диффузионной системы Лотке–Вольтерра с разрывными коэффициентами для задачи конкуренции компаний

Розглянуто систему квазілінійних параболічних рівнянь типу Лотке–Вольтерра (дифузійна модель) з розривними коефіцієнтами для задачі конкуренції компаній. З використанням інтегро-інтерполяційного методу побудовано явні тришарові різницеві схеми, що відповідають принципу максимуму. На тестових приклад...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2012
Hauptverfasser:	Акименко, В.В., Ефименко, А.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Проблемы динамики управляемых систем
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207481
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Численный метод решения диффузионной системы Лотке–Вольтерра с разрывными коэффициентами для задачи конкуренции компаний / В.В. Акименко, А.А. Ефименко // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 2. — С. 13–21. — Бібліогр.: 15 назв. - рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-207481
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2074812025-10-09T00:15:23Z Численный метод решения диффузионной системы Лотке–Вольтерра с разрывными коэффициентами для задачи конкуренции компаний Чисельний метод розв’язання дифузійної системи Лотке–Вольтерра з розривними коефіцієнтами для задачі конкуренції компаній Numerical Method for Solving the Diffusive Lotka–Volterra System with Discontinuous Coefficients for the Problem of Companies Competition Акименко, В.В. Ефименко, А.А. Проблемы динамики управляемых систем Розглянуто систему квазілінійних параболічних рівнянь типу Лотке–Вольтерра (дифузійна модель) з розривними коефіцієнтами для задачі конкуренції компаній. З використанням інтегро-інтерполяційного методу побудовано явні тришарові різницеві схеми, що відповідають принципу максимуму. На тестових прикладах для групи з трьох конкуруючих компаній проілюстровано збіжність різницевих розв’язків методом сіток, що згущуються. The model of companies competition of the system of quasi-linear parabolic equations of Lotke–Volterra type (diffusive model) with discontinuous coefficients is considered. Using the integral-interpolation method the explicit three-layer difference schemes (consistent with the principle of maximum) are built. For the tests examples for a group of three competitive companies the convergence of numerical solutions is illustrated by the method of thickened nets. 2012 Article Численный метод решения диффузионной системы Лотке–Вольтерра с разрывными коэффициентами для задачи конкуренции компаний / В.В. Акименко, А.А. Ефименко // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 2. — С. 13–21. — Бібліогр.: 15 назв. - рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207481 519.7 10.1615/JAutomatInfScien.v44.i4.80 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем
spellingShingle	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Акименко, В.В. Ефименко, А.А. Численный метод решения диффузионной системы Лотке–Вольтерра с разрывными коэффициентами для задачи конкуренции компаний Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто систему квазілінійних параболічних рівнянь типу Лотке–Вольтерра (дифузійна модель) з розривними коефіцієнтами для задачі конкуренції компаній. З використанням інтегро-інтерполяційного методу побудовано явні тришарові різницеві схеми, що відповідають принципу максимуму. На тестових прикладах для групи з трьох конкуруючих компаній проілюстровано збіжність різницевих розв’язків методом сіток, що згущуються.
format	Article
author	Акименко, В.В. Ефименко, А.А.
author_facet	Акименко, В.В. Ефименко, А.А.
author_sort	Акименко, В.В.
title	Численный метод решения диффузионной системы Лотке–Вольтерра с разрывными коэффициентами для задачи конкуренции компаний
title_short	Численный метод решения диффузионной системы Лотке–Вольтерра с разрывными коэффициентами для задачи конкуренции компаний
title_full	Численный метод решения диффузионной системы Лотке–Вольтерра с разрывными коэффициентами для задачи конкуренции компаний
title_fullStr	Численный метод решения диффузионной системы Лотке–Вольтерра с разрывными коэффициентами для задачи конкуренции компаний
title_full_unstemmed	Численный метод решения диффузионной системы Лотке–Вольтерра с разрывными коэффициентами для задачи конкуренции компаний
title_sort	численный метод решения диффузионной системы лотке–вольтерра с разрывными коэффициентами для задачи конкуренции компаний
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Проблемы динамики управляемых систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207481
citation_txt	Численный метод решения диффузионной системы Лотке–Вольтерра с разрывными коэффициентами для задачи конкуренции компаний / В.В. Акименко, А.А. Ефименко // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 2. — С. 13–21. — Бібліогр.: 15 назв. - рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT akimenkovv čislennyjmetodrešeniâdiffuzionnojsistemylotkevolʹterrasrazryvnymikoéfficientamidlâzadačikonkurenciikompanij AT efimenkoaa čislennyjmetodrešeniâdiffuzionnojsistemylotkevolʹterrasrazryvnymikoéfficientamidlâzadačikonkurenciikompanij AT akimenkovv čiselʹnijmetodrozvâzannâdifuzíjnoísistemilotkevolʹterrazrozrivnimikoefícíêntamidlâzadačíkonkurencííkompaníj AT efimenkoaa čiselʹnijmetodrozvâzannâdifuzíjnoísistemilotkevolʹterrazrozrivnimikoefícíêntamidlâzadačíkonkurencííkompaníj AT akimenkovv numericalmethodforsolvingthediffusivelotkavolterrasystemwithdiscontinuouscoefficientsfortheproblemofcompaniescompetition AT efimenkoaa numericalmethodforsolvingthediffusivelotkavolterrasystemwithdiscontinuouscoefficientsfortheproblemofcompaniescompetition
first_indexed	2025-10-09T01:07:29Z
last_indexed	2025-10-12T01:06:07Z
_version_	1845736156932603904
fulltext	© В.В. АКИМЕНКО, А.А. ЕФИМЕНКО, 2012 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 2 13 УДК 519.7 В.В. Акименко, А.А. Ефименко ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ДИФФУЗИОННОЙ СИСТЕМЫ ЛОТКЕ–ВОЛЬТЕРРА С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ДЛЯ ЗАДАЧИ КОНКУРЕНЦИИ КОМПАНИЙ Введение Жизненный цикл товаров (услуг, инноваций, проектов и т.д.) во многих эко- номических работах описывается с помощью логистических моделей, основанных на задаче Коши для уравнения Бернулли [1, 2], начально-краевых задачах для ква- зилинейных уравнений параболического типа (модели диффузии инноваций, диффузии продаж и т.д.) [3–5]. Решение диффузионных моделей благодаря стаби- лизирующему действию оператора диффузии более устойчиво по сравнению с моделями, основанными на обыкновенных дифференциальных уравнениях и по- этому диффузионные имеют бóльшую практическую ценность и более широкое применение. Важнейшим аспектом моделирования динамики объемов продаж то- варов, динамики инноваций является оценка и учет их конкурентоспособности. Процесс конкуренции можно рассматривать внутри жизненного цикла отдельной группы товаров. Формально модель конкуренции получается как результат рас- щепления логистической модели, описывающей жизненный цикл всей совокуп- ной группы товаров, на систему логистических моделей [4], каждая из которых описывает жизненный цикл отдельного конкурирующего товара с помощью нели- нейных дифференциальных уравнений типа Лотке–Вольтерра. Определение пара- метров модели может осуществляться благодаря современным экономическим исследованиям в области анализа и оценки конкуренции [6–8]. Несмотря на то, что данные работы содержат только статические модели, они могут существенно дополнять логистические модели конкурентоспособности предприятий. Диффу- зионные модели Лотке–Вольтерра в настоящее время достаточно часто исполь- зуются в различных приложениях для описания процессов конкуренции [9–12]. Большой интерес в экономических приложениях представляют задачи управ- ления процессом конкурентоспособности компаний на классе разрывных функ- ций управления, что приводит к необходимости рассматривать уравнения систе- мы Лотке–Вольтерра с разрывными коэффициентами. Однако методы решения систем данного типа разработаны недостаточно. В настоящей статье на основе ин- тегро-интерполяционного метода рассмотрен один подход к построению условно устойчивой явной трехслойной разностной схемы, удовлетворяющей принципу максимума [13] и обладающей условной аппроксимацией второго порядка при некоторых ограничениях на параметры разностной схемы. Несмотря на достаточ- но жесткие ограничения на шаг по времени, полученные разностные схемы не требуют проведения линеаризации квазилинейных уравнений и позволяют эф- фективно моделировать процесс конкуренции в случае систем большой размерно- сти при участии многих компаний на рынке. Приведены иллюстративные результа- ты численного моделирования конкуренции трех компаний, полученные на тесто- вых модельных примерах с разрывными коэффициентами уравнений, и показана сходимость разностного решения методом сгущающихся сеток. Диффузионная модель Лотке–Вольтерра для задачи конкуренции компаний Рассмотрим логистическую модель, основанную на начально-краевой задаче для квазилинейного уравнения параболического типа, описывающую процесс диф- 14 ISSN 0572-2691 фузии инновации [3, 4] (товара, услуги и т.д.). Обозначим многомерную область (цилиндр) ),,0( TQT  где },1,10{ msxx s  — ареал моделирова- ния процесса диффузии, 0T — нормированное время моделирования, T — сумма боковой поверхности цилиндра TS и его нижнего основания .0 Для сто- имости ),( txR предоставленных на рынке всеми компаниями инновационных од- нотипных товаров и услуг в данном секторе экономики рассмотрим логистиче- скую диффузионную задачу: ,ˆ))(( 1 0 ss xx m s t RaRRtR    (1) ,0 1 0    s ss x xxR ),,1( ms  ).( 0 xR t   (2) Здесь 0)(0  t — объем рынка в данном секторе экономики, выраженный в де- нежном эквиваленте (sales value), 0constˆ a — модельный коэффициент диф- фузии, )...,,( 1 mxx — начальное распределение потребленной стоимости товаров и услуг по ареалу , удовлетворяющее условию ).0()...,,(0 01  mxx Всюду далее будем предполагать, что объем рынка — монотонная, неубывающая функ- ция .0/0  dtd Зададим на  совокупность n конкурирующих между собой компаний, предоставляющих однотипные инновационные товары и услуги стоимостью }{ )(kR ,,1( nk  k — номер компании). В диффузионной модели центры конку- рентов располагаются в  на равноудаленных расстояниях друг от друга, поэтому размерность области  принимает значение )1(  nm [4]. С учетом модели кон- куренции Лотке–Вольтерра расщепим задачу (1), (2) на n задач для },{ )(kR полу- чим модель конкуренции для системы квазилинейных диффузионных уравнений: ,ˆ)())(( )( 1 )( 1 )()( 0 )( k xx m s s ks n ks s kkk t ss RaRtRRRtR      (3) ,0 1 0 )(    s s s x x k x R ),,1( ms  ,)( 0 )( k t kR   (4) где )(tks — безразмерный коэффициент конкуренции между компаниями ),()(( tt skks  ]),1;1[)(  tks ),,(),( )( 1 txRtxR k n k    .)( 1 k n k    Сумма урав- нений (3) дает уравнение (1). Компания с номером )(k доминирует (более конку- рентоспособна) над компанией с номером :)(s ),()( sk  если .1)(0  tks Это условие приводит к неравенству )),,((maxlim)),((maxlim )()( txRtxR s xt k xt   т.е. с течением времени (k)-я компания вытесняет с рынка (s)-ю компанию. Разностная схема для системы (1)–(4) с разрывными коэффициентами Моделирование процесса конкуренции в большинстве случаев обусловлено необходимостью изучения управляющих воздействий на рынок товаров и услуг и на повышение конкурентоспособности отдельных компаний. Управление в эко- номических системах данного типа осуществляется за счет выделения инвестиций в фиксированные моменты времени, что приводит к появлению разрывных функ- ций-коэффициентов ),(0 t )(tks в уравнениях (1), (3). Для численного решения Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 2 15 уравнений с разрывными коэффициентами существует несколько методов, описан- ных в [13]. Воспользуемся интегро-интерполяционным методом построения кон- сервативных разностных схем для уравнений в частных производных с разрывными коэффициентами, апробированном также в работах [14, 15]. Для квазилинейных уравнений параболического типа (1), (3) используем явные трехслойные разност- ные схемы из [14, 15] c дополнительными условиями в начальный момент времени: ,00 ttR .00 )( t k tR (5) Учитывая методологию построения устойчивых трехслойных схем из [14, 15], сделаем замену функций в уравнениях (1), (3) ,)ˆ(exp 0 YtR  ,)ˆ(exp )( 0 )( kk YtR  получаем новую систему: ,ˆ))ˆ(expˆ)(( 1 000    m s xxt ss YaYYttY (6) ,0 1 0    s ss x xxY ),,1( ms  ),( 0 xY t   (7) ,ˆ)()ˆ(exp))ˆ(expˆ)(( )( 1 )( 1 0 )()( 000 )( k xx m s s ks n ks s kkk t ss YaYttYYYttY      (8) ,0 1 0 )(    s s s x x k x Y ),,1( ms  ),()( 0 )( xY k t k   . (9) где ).,(),( )( 1 txYtxY k n k    Запишем дополнительное начальное условие (5) для трехслойных схем: ),(ˆ 00 xY tt   ).(ˆ )( 00 )( xY k t k t   (10) Аппроксимируем область ),0( TQT  с помощью равномерной сетки }.,0,,,1,,0,),...,,({ 11 1 JjjtmsNihixtxx jsssssijmiihh smm   На каж- дом j-м временнóм слое в окрестности точки , sis xx  ),,1( ns  ,jtt  введем интерполяционные функции для задачи (6)–(10):     )2(/))(((),( ..1....1.. 1 .. 111 s j iii j iiiis m s j iij hYYxxYtxY nsnssn )),2(/)2()( 2 ..1........1.. 2 111 s j iii j iii j iiiis hYYYxx nsnsnss   (11) где j ii n Y 1 — сеточная функция, определенная на . 1  mhh  В промежуточных точках между временнми слоями 5,0 jtt и 5,0 jtt при sis xx  ),1( ns  определим интерполяционные значения: .2/)(),...,,( ,2/)(),...,,( 1 5,0 1 5,0 111 111       j ii j iijii j ii j iijii nnn nnn YYtxxY YYtxxY   (12) Проинтегрируем уравнения (6), (8) по t от 5,0jt до 5,0jt )1,0(  Jj в точке , sis xx  ),,1( ns  подставим (11), (12) и получим разностные схемы:      dtYYttYY j ii j ii t t j ii j ii nn j j nn  11 5,0 5,0 11 ))ˆexp(ˆ)(()(5,0 000 11 16 ISSN 0572-2691 ,)2(ˆ 2 11 1 111      s j iii j iii j iii m s hYYYa nsnsns  (13)      dtYYttYY jk ii j ii t t jk ii jk ii nn j j nn )( 000 1)(1)( 11 5,0 5,0 11 ))ˆ(expˆ)(()(5,0         5,0 5,0 11 ))()ˆ(exp( 1 )( 0 )( j j nn t t n ks s js iiks jk ii dtYttY  2)( 1 )()( 1 1 )2(ˆ 111      s jk iii jk iii jk iii m s hYYYa nsnsns  . (14) Схемы (13), (14) принадлежат классу явных трехслойных схем второго по- рядка точности по sh и . Граничные условия (7), (9) аппроксимируем c помощью интерполяционных формул с порядком точности ).( 2 shO Для построения устой- чивого разностного решения введем в (13), (14) сглаживающие разностные опера- торы (15), (16) соответственно: ),2( 11 11111   j ii j ii j ii j ii j ii nnnnn YYYwY  (15) ).2( 1)()(1)()()()( 11111   jk ii jk ii jk ii jk ii jk ii k nnnnn YYYwY  (16) Полученный результат вместе с начальными и граничными условиями запи- шем в следующем виде:                   j ii j ii j s m s j j ii j ii j iij ii nn n nn n wYeha w Yw Y     11 1 11 1 2 1 1 1 ˆ22 )1( )1( ,)( )1( ˆ2 )1( 2 11 1.. 11 11 1           s j iii j iii m s j ii j ii j ii hYY w a w Y nsns nn n    (17) ,)3/1()3/4( 210 111   snsnsn i j iii j iii j ii YYY  (18) ,)3/1()3/4( 21 111   ssnssnssn Ni j iiNi j iiNi j ii YYY  (19) , 11 0 nn iiii Y   ,)ˆ1( 11 0 1 nn iiii Y   (20)      1)( )( )( 1)( 1 1 1 1 )1( )1( jk iijk ii jk iijk ii n n n n Y w w Y                   )1( ˆ22 )( )( )()( 1 2 1 1 1 111 jk ii jk iijk ii j ii jjs ii j ks m ks s s m s j n n nnn w Y wYeYha    ,)( )1( ˆ2 2)( 1 )( 1 1 )( 11 1         s jk iii jk iii m s jk ii hYY w a nsns n   (21) ,)3/1()3/4( 2 )( 1 )( 0 )( 111   snsnsn i jk iii jk iii jk ii YYY  (22) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 2 17 ,)3/1()3/4( 2 )( 1 )()( 111   ssnssnssn Ni jk iiNi jk iiNi jk ii YYY  (23) , )(0)( 11 k ii k ii nn Y   .)ˆ1( )( 0 1)( 11 k ii k ii nn Y   (24) В (17), (21) использовались обозначения ,)ˆ)(( 00 1 5,0 5,0 dtt j j t t j      ,)()ˆ(exp 0 1 5,0 5,0 dttt ks t t j ks j j      (25) ).ˆ(/))5,0(ˆ(exp))ˆ(exp1( 000  j j te Шаблонные операторы в (25) обеспечивают консервативность разностных схем (17), (21) в случае разрывных коэффициентов системы (1), (3). Используя принцип построения трехслойных явных разностных схем типа «ромб» Дюфорта и Франкела [13], наложим ограничения на коэффициенты , 1 j ii n w  jk ii n w )( 1 и приме- ним к полученной схеме теорему принципа максимума из [13], откуда следуют ограничения на параметры разностной сетки ,sh : ,ˆ2 2 1 11    s m s j ii jjj ii haYew nn  (26) ,ˆ2 2 11 )()( 111       s m s j ii j m ks s js ii j ks jjk ii haYeYw nnn  (27) 1 1  j ii n w  , ,1 )( 1  jk ii n w  (28) ,0 )1( ˆ2 )1( )1( 1 1 2 11 1           m s sj ii j ii j ii h w a w w nn n   (29) .0 )1( ˆ2 )1( )1( 1 2 1 )()( )( 11 1           s m s jk ii jk ii jk ii h w a w w nn n   (30) Выражения (26), (27) определяют значения коэффициентов сглаживающих операторов (15), (16). Из них следует условная аппроксимация схем (17), (21) с порядком .2 1 22 1 2             s m s s m s hhO Для выполнения условий (28) рассмотрим оценку разности : j ks                        dtYYtYYe js ii j ks m ks s j ii t t m ks s js ii j ks j ii j nn j j nn )( 1 0 1 1 )( 11 5,0 5,0 11 )ˆ(exp0                         dttdtYYt j j nn j j t t m ks s js ii j ii t t )ˆexp(ˆ2)ˆ(exp 00 1 1 )( 0 1 5.0 5.0 11 5,0 5,0  18 ISSN 0572-2691                 0 0 0 5,00005,005,000 ˆ 1 1 ! )ˆ( )ˆ(expˆ2)ˆ/())ˆ(exp)ˆ((expˆ2 n ttt n n jjj ).ˆ(expˆ2)ˆ(expˆ2 )!1( )ˆ( )ˆ(expˆ2 005,000 0 0 5,000 Tt n t j n n j          Учитывая, что стоимость ),( txR предоставленных на рынке всеми компани- ями однотипных товаров и услуг в данном секторе экономики не превышает мак- симального объема рынка 0̂ и используя (26), (27), получаем из условий (28) ограничения на шаг по времени : .ˆ2))ˆ(exp21(ˆ 1 2 1 00              s m s haT (31) Неравенство (31) гарантирует выполнение не только условий (28), но и усло- вий (29), (30). Действительно, подставив (26), (27) в (29), (30), после несложных преобразований получим неравенства ,0ˆˆ 2 1 2 1 11       s m s j ii jj s m s j ii haYehaw nn  .0ˆˆ 2 1 )( 1 2 1 )( 111                      s m s js ii j ks m ks s j ii jj s m s jk ii haYYehaw nnn  Отсюда следует выполнение (29), (30). Таким образом, при выполнении усло- вий (26)–(30) решение разностной задачи (17)–(25) удовлетворяет принципу максимума в любой момент времени ].,0[ Tt Сходимость разностной схемы (17)–(25) изучается в следующем разделе численно, методом сгущающихся сеток на тестовых примерах. Численное тестирование разностной схемы на модельных примерах задачи конкуренции компаний Рассмотрим двумерный случай системы (6)–(10) для трех конкурирующих компаний ,2m .3n Приведенный ниже алгоритм можно распространить и на случай большей размерности для большего числа компаний. Центры конкуриру- ющих компаний ),( )( 2 )( 1 ss xx расположим в  на равноудаленных расстояниях. Рассмотрим модель конкуренции со следующими параметрами: ,3n ,2m ,10 4a ,1T ,1ˆ 0  ,25,0 )1( 1 x ,25,0 )1( 2 x ,75,0 )2( 1 x ,25,0 )2( 2 x ,5,0 )3( 1 x .7,0 )3( 2 x Запишем начальные условия: ))),)()((500(exp01,0)(0(),( 2)( 22 2)( 110 )( 021 )( ssss xxxxxx  ),,(),( 21 )( 3 1 21 xxxx s s    где )( 0 s  — начальные значения доли рынка s-й компании. Ниже приведены зна- чения коэффициентов конкуренции между компаниями sk (коэффициенты ).skks  Для данного тестового примера установим эмпирическую зависи- мость разрывных коэффициентов задачи (6)–(10), исходя из качественных сооб- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 2 19 ражений о поведении параметров. Предположим, что в условиях растущего рынка услуг 0/0  dtd в моменты времени ,3,0 Tt  Tt 7,0 осуществляется управле- ние, скачкообразно изменяющее рост объема рынка и конкурентоспособность компаний. При этом первая и третья компании увеличивают свою конкурентоспо- собность, а вторая уменьшает ее:          ,];7,0[,ˆ ],7,0;3,0[)),/50(arctg)/2)(1((ˆ ],3,0;0[,ˆ )( 0 110 10 0 TTt TTtTt Tt t           .];7,0[, ],7,0;3,0[)),/50(arctg)/2)(1(( ],3,0;0[, )( 0 11 0 1 0 TTt TTtTt Tt t sk sk sk sk Рассмотрим значения параметров: ,1,0 )1( 0  ,15,0 )2( 0  ,2,0 )3( 0  ,7,00 12  ,2,00 13  ,5,00 23  .7,01  Для вычисления коэффициентов из (25) применялся метод трапеций. Расчеты проводились для различных наборов параметров сгущающейся разностной сетки. Поскольку использование достаточно жесткого условия (31) в практических рас- четах может привести к росту объема вычислений и ошибки округления чисел, то шаг по времени  выбирался алгоритмически в программе таким образом, чтобы для всех jt выполнялись условия (28)–(30). Для проверки сходимости разностного решения зафиксируем набор точек области  для начальных значений параметров разностной сетки ,)1( , )1( 1h : )1( 2h },~,~{ 21 21 ii xx ,,1 11 Ni  .,1 22 Ni  Каждый после- дующий набор параметров разностной сетки ,)(l , )( 1 l h )( 1 l h формируется таким об- разом, чтобы построенный набор узлов области  включал в себя первоначальное множество узлов. После получения решения задачи (6)–(10) выполняем преобразо- вание ,)ˆ(exp 2121 0 j iij j ii YtR  jk iij jk ii YtR )( 0 )( 2121 )ˆ(exp  и переходим к разностным функциям — решению задачи (1)–(5). Оценка разности решений для двух различ- ных наборов разностной сетки определяются с помощью невязок: , )),,,,~,~(( )),,,,~,~(),,,,~,~(( 5,0 2)( 2 )( 1 )( 21 1 1 1 1 5,0 2)1( 2 )1( 1 )1( 21 )( 2 )( 1 )( 21 1 1 1 1 2121 2 2 1 1 2121 2 2 1 1                               lll Jii J ii N i N i lll Jii lll Jii N i N i hhtxxR hhtxxRhhtxxR . )),,,,~,~(( )),,,,~,~(),,,,~,~(( 5,0 2)( 2 )( 1 )( 21 )( 1 1 1 1 5,0 1 1 2)1( 2 )1( 1 )1( 21 )()( 2 )( 1 )( 21 )( 1 1)( 21 2 2 1 1 1 1 2121 2 2                                lll Jii s N i N i N i lll Jii slll Jii s N is hhtxxR hhtxxRhhtxxR Результаты численного моделирования для задачи (1)–(5) для различных набо- ров параметров сетки при )()( 2 )( 1 lll hhh  приведены в таблице. На рис. 1 пред- ставлены графики: 1 — )(0 jt — объем рынка услуг; 2 — ))(max )( , 3 1 21 21 jk ii iik j RR     — максимальное значение стоимости предоставленных всеми компаниями услуг; 20 ISSN 0572-2691 3 — ),(max )1( , )1( 21 21 j ii ii j RR  4 — ),(max )3( , )3( 21 21 j ii ii j RR  5 — )(max )2( , )2( 21 21 j ii ii j RR  — максимальные значения стоимостей предоставленных каждой компанией услуг. На рис. 2, 3 представлены графики поведения разностного решения задачи для различных срезов по времени и пространственным переменным, 0 21ii R и J ii R 21 — начальное и финальное распределение функции стоимости предоставленных все- ми компаниями услуг по ареалу  для набора параметров сетки .1l Таблица l )(l )(lh  )1( )2( )3( 1 2102,2  2100,1  — — — — 2 3100,6  3100,5  0,75 0,67 0,69 0,68 3 3106,1  3105,2  0,36 0,33 0,34 0,33 4 4109,3  31025,1  0,14 0,14 0,16 0,15 0,0 0,8 1 1,2 0,0 0,2 0,0 0,2 0,0 1,0 t 1 2 3 4 5 0,6 0,4 0,2 Рис. 1 J ii R 21 0,0 0,1 0,4 0,5 0,0 0,25 0,50 0,75 1,0 0,0 0,25 0,50 0,75 1,0 0,2 0,3 Рис. 3 Заключение Тестовые расчеты показали, что численные решения системы (2), (5)–(8), по- лученные интегро-интерполяционным методом, являются неотрицательными ограниченными функциями. Сглаживающие шаблонные функционалы в (25) обеспечивают гладкое поведение решения системы в рассматриваемой области. Метод сгущающихся сеток не выявляет аномалий в поведении разностного реше- ния при уменьшении параметров разностной сетки и демонстрирует сходимость решения к некоторой разностной функции на рассмотренных тестовых примерах. Построенная разностная схема аппроксимирует исходную начально-краевую за- дачу для системы квазилинейных параболических уравнений, и это дает основа- ние говорить о применимости данного подхода к моделированию процессов кон- куренции с помощью диффузионной системы типа Лотке–Вольтерра. Отметим, что использование явной трехслойной разностной схемы для системы (2), (5)–(8) позволяет в режиме реального времени моделировать сложные многомерные про- цессы конкуренции компаний на достаточно мелких разностных сетках. 0 21ii R 0,0 0,05 0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 1,0 0,1 0,15 0,6 0,8 Рис. 2 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 2 21 В.В. Акіменко, A.А. Єфіменко ЧИСЕЛЬНИЙ МЕТОД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ДИФУЗІЙНОЇ СИСТЕМИ ЛОТКЕ–ВОЛЬТЕРРА З РОЗРИВНИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ ДЛЯ ЗАДАЧІ КОНКУРЕНЦІЇ КОМПАНІЙ Розглянуто систему квазілінійних параболічних рівнянь типу Лотке–Вольтерра (дифузійна модель) з розривними коефіцієнтами для задачі конкуренції компа- ній. З використанням інтегро-інтерполяційного методу побудовано явні триша- рові різницеві схеми, що відповідають принципу максимуму. На тестових при- кладах для групи з трьох конкуруючих компаній проілюстровано збіжність різ- ницевих розв’язків методом сіток, що згущуються. V.V. Akimenko, A.A. Yefimenko NUMERICAL METHOD OF RESOLVING THE DIFFUSIVE LOTKE–VOLTERRA MODEL FOR THE PROBLEM OF COMPANIES COMPETITION The model of companies competition of the system of quasi-linear parabolic equa- tions of Lotke–Volterra type (diffusive model) with discontinuous coefficients is considered. Using the integral-interpolation method the explicit three-layer difference schemes (consistent with the principle of maximum) are built. For the tests examples for a group of three competitive companies the convergence of numerical solutions is illustrated by the method of thickened nets. 1. Московкин В.М. Михайлов В. Математические основы концепции жизненного цикла в эко- номике // Бизнес информ. — 2002. — № 11–12. — С. 36–40. 2. Московкин В.М., Журавка А.В. Моделирование конкурентно-кооперационных взаимодей- ствий // Там же. — 2002. — № 5–6. — С. 27–34. 3. Московкин В. Основы концепции диффузии инноваций // Там же. — 1998. — № 17–18. — С. 41–48. 4. Акименко В.В., Сугоняк И.И. Нелинейное моделирование многомерного процесса диффу- зии инноваций на основе метода расщепления // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 4. — С. 120–133. 5. Акіменко В.В., Сугоняк І.І. Динамічні моделі життєвого циклу інновацій в умовах невизначе- ності // Вісник Київ. ун-ту. Сер: фіз.-мат. науки. — 2007. — № 3. — С. 149–155. 6. Азоев Г.Л. Конкуренция: анализ, стратегия и практика. — М. : Центр экономики и марке- тинга, 1996. — 234 с. 7. Мошнов В.А. Комплексная оценка конкурентоспособности предприятия. — http://www.cfin.ru/ management/strategy/estimate_competitiveness.shtml 8. Роман М.И. Научные основы управления конкурентоспособностью. — Владимир, 2001. 9. Korman Ph. Dynamics of the Lotka–Volterra systems with diffusion // Applicable Analysis. — 1992. — 44, N 3-4. — P. 191–207. 10. Takeuchi Y. Global dynamical properties of Lotka–Volterra systems. — Singapore : World Scientific Publishing, 1996. — 297 p. 11. Maini P.K., Malaguti L., Marcelli C., Matucci S. Diffusion-aggregation processes with mono- stable reaction terms // Discrete and Continuous Dynamical Systems. Series B. — 2006. — 6, N 5. — P. 1175–1189. 12. Madzvamuse A., Gaffney E.A., Maini P.K. Stability analysis of non-autonomous reaction- diffusion systems: the effects of growing domains // Journal Mathematical Biology. — 2010. — 61. — P. 133–164. 13. Самарский А.А. Теория разностных схем. — М. : Наука, 1989. — 616 c. 14. Акименко В.В., Митрохин С.А. Модель оптимального управления нелинейным процессом фильтрации для задачи подтопления территорий // Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2010. — № 4. — С. 73–89. 15. Акименко В.В., Черемных О.К. Моделирование вихревых течений на фоне двумерного про- цесса конвективного тепломассобмена // Проблемы управления и информатики. — 2004. — № 2. — С. 64–80. Получено 18.05.2011 После доработки 30.06.2011 http://www.cfin.ru/%0bmanagement/strategy/estimate_competitiveness.shtml http://www.cfin.ru/%0bmanagement/strategy/estimate_competitiveness.shtml

Численный метод решения диффузионной системы Лотке–Вольтерра с разрывными коэффициентами для задачи конкуренции компаний

Institution

Ähnliche Einträge