Математическое моделирование динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии в условиях временной нелокальности

Виконано математичне моделювання динаміки локально-нерівноважного у часі процесу конвективної дифузії розчинних речовин при двовимірній усталеній плоско-вертикальній фільтрації з вільною поверхнею....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2012
1. Verfasser:	Булавацкий, В.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207482
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Математическое моделирование динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии в условиях временной нелокальности / В.М. Булавацкий // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 2. — С. 22–30. — Бібліогр.: 20 назв. - рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-207482
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2074822025-10-09T00:05:32Z Математическое моделирование динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии в условиях временной нелокальности Математичне моделювання динаміки процесу фільтраційно-конвективної дифузії за умов часової нелокальності Mathematical Modeling of the Process Dynamics of the Filtration-Convective Diffusion under Conditions of the Temporal Nonlocality Булавацкий, В.М. Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Виконано математичне моделювання динаміки локально-нерівноважного у часі процесу конвективної дифузії розчинних речовин при двовимірній усталеній плоско-вертикальній фільтрації з вільною поверхнею. The mathematical modeling of the dynamics of local nonequilibrium in time process of the convective diffusion of soluble substances at 2D stationary plainly-vertical filtration with a free surface is performeded. 2012 Article Математическое моделирование динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии в условиях временной нелокальности / В.М. Булавацкий // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 2. — С. 22–30. — Бібліогр.: 20 назв. - рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207482 517.9:519.6 10.1615/JAutomatInfScien.v44.i4.20 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем
spellingShingle	Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Булавацкий, В.М. Математическое моделирование динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии в условиях временной нелокальности Проблемы управления и информатики
description	Виконано математичне моделювання динаміки локально-нерівноважного у часі процесу конвективної дифузії розчинних речовин при двовимірній усталеній плоско-вертикальній фільтрації з вільною поверхнею.
format	Article
author	Булавацкий, В.М.
author_facet	Булавацкий, В.М.
author_sort	Булавацкий, В.М.
title	Математическое моделирование динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии в условиях временной нелокальности
title_short	Математическое моделирование динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии в условиях временной нелокальности
title_full	Математическое моделирование динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии в условиях временной нелокальности
title_fullStr	Математическое моделирование динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии в условиях временной нелокальности
title_full_unstemmed	Математическое моделирование динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии в условиях временной нелокальности
title_sort	математическое моделирование динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии в условиях временной нелокальности
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207482
citation_txt	Математическое моделирование динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии в условиях временной нелокальности / В.М. Булавацкий // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 2. — С. 22–30. — Бібліогр.: 20 назв. - рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT bulavackijvm matematičeskoemodelirovaniedinamikiprocessafilʹtracionnokonvektivnojdiffuziivusloviâhvremennojnelokalʹnosti AT bulavackijvm matematičnemodelûvannâdinamíkiprocesufílʹtracíjnokonvektivnoídifuzíízaumovčasovoínelokalʹností AT bulavackijvm mathematicalmodelingoftheprocessdynamicsofthefiltrationconvectivediffusionunderconditionsofthetemporalnonlocality
first_indexed	2025-10-09T01:07:32Z
last_indexed	2025-10-12T01:06:13Z
_version_	1845736162715500544
fulltext	© В.М. БУЛАВАЦКИЙ, 2012 22 ISSN 0572-2691 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ УДК 517.9:519.6 В.М. Булавацкий МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПРОЦЕССА ФИЛЬТРАЦИОННО- КОНВЕКТИВНОЙ ДИФФУЗИИ В УСЛОВИЯХ ВРЕМЕННОЙ НЕЛОКАЛЬНОСТИ Введение В настоящей работе изучается задача геоинформатики, состоящая в разра- ботке методики математического моделирования динамики локально-неравно- весного во времени процесса конвективной диффузии растворимых веществ при плоско-вертикальной установившейся фильтрации со свободной поверхностью. Такого рода задачи возникают, например, в связи с необходимостью рассоления и промывки почв при мелиорации земель, опреснения грунтовых вод и их очистки от засоления и загрязнения промышленными и бытовыми стоками [1, 2]. Теория и практика математического моделирования в таких задачах (в рамках классиче- ских моделей) достаточно хорошо разработана и апробирована [1–5]. (Следует отметить, что математически аналогичные постановки краевых задач встречаются также в теории тепломассопереноса движущихся растворов и газовых смесей.) Актуальной в настоящее время является проблема повышения степени адекват- ности классических количественных моделей процессов тепломассопереноса в системах со сложной пространственно-временнóй структурой, для которых харак- терны эффекты памяти, пространственной нелокальности и самоорганизации. В связи с этим стали пересматриваться основные положения классической теории тепломассопереноса [5–7], в частности, значительный прогресс при моделировании конвективно-диффузионного переноса в неравновесных условиях достигнут с ис- пользованием формализма интегро-дифференцирования дробного порядка [8–10]. Поскольку в указанных выше случаях систем со сложной пространственно-вре- менной структурой рассматриваемые математические модели базируются на диффе- ренциальных уравнениях дробного порядка, отсюда следует, что данные процессы переноса сильно нелокальные во времени и (или) пространстве [11]. Ниже выполнено математическое моделирование динамики локально-неравно- весного во времени процесса конвективной диффузии растворимых веществ при дву- мерной установившейся плоско-вертикальной фильтрации со свободной поверхно- стью. В качестве соответствующей фильтрационной схемы рассматривается схема распространения загрязнений из рек, каналов или хранилищ промстоков. 1. Построение математической модели процесса и постановка краевой задачи Рассматривая локально-неравновесный во времени процесс конвективной диффузии растворимых веществ в водонасыщенной пористой среде со сложной Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 2 23 пространственно-временнóй структурой, будем исходить из следующего обобще- ния классического диффузионного закона Фика: ),( 1 CCdDq t    (1) где q  — конвективно-диффузионный поток, C — концентрация растворимых веществ в жидкой фазе,   — скорость фильтрации, d — коэффициент диффузии, 1 tD — оператор дробного дифференцирования Римана–Лиувилля порядка 1 )10(  [8–10],  — оператор Гамильтона. Из соотношения (1) и уравнения «материального баланса» 0div     q t C  (2) ( — пористость среды) получаем уравнение ))(div( 1       CCdD t C t (3) или ),(div )(    CCdCDt (4) где )( tD — оператор регуляризованной дробной производной (по Капуто [12–14]) порядка ;  — оператор Лапласа. С учетом уравнения неразрывности 0div   из (4) окончательно получаем . )( CCdDt    (5) Отметим, что при 1 из (5) следует классическое уравнение конвективной диффузии [15] .CCdCt   (6) В первом приближении будем рассматривать уравнение (5) в потенциальном поле скоростей ,),(  yx  ,0div   (7) где  — потенциал скорости. Предположим, что для рассматриваемой фильтра- ционной схемы известна область комплексного потенциала течения  i ( — функция тока), а также решение соответствующей задачи фильтрации, т.е. известна характеристическая функция течения )( fz (для многих практически интересных фильтрационных схем такая функция приведена, например, в [1]). То- гда, переходя в (5) к новым независимым переменным — точкам области ком- плексного потенциала течения ),,(  перепишем это уравнение в виде ,),(),,( 2 2 2 2 2)(                           CCC dtCDt (8) где .222 yx  Рассмотрим фильтрационную схему, соответствующую задаче конвективной диффузии загрязнений из рек, каналов или поверхностных накопителей промыш- ленных стоков (рис. 1, а). 24 ISSN 0572-2691 x O L C H A Gz )(B y A(0) Gω φ ψ B(∞) C(Q) а б Рис. 1 Для нее область комплексного потенциала течения G имеет вид полуполосы (рис. 1, б) и решение соответствующей задачи фильтрации записывается в виде [16] , 2 sin 2 exp                  QQ Hx (9) , 2 cos 2 exp                  QQ Hy (10) где  — коэффициент фильтрации,        H L Q 2 — фильтрационный расход. Задачу исследования нелокального во времени процесса миграции загрязне- ний в правой части zG симметричной области фильтрации (рис. 1, а) математи- чески можно сформулировать как задачу отыскания решения уравнения (5) )),0(),,((  zGtyx при следующих краевых условиях: ,1CC AC  ,0 ,    CBABn C ,0 0  t C (11) где 1C — заданная концентрация растворимых веществ на входе фильтрационно- го потока, n — внешняя нормаль к соответствующей кривой. Поскольку область фильтрации zG — это область с частично неизвестной гра- ницей, то эффективным способом решения краевых задач для уравнения (5) является переход к новым переменным ),(  — точкам геометрически более простой обла- сти комплексного потенциала течения }10,0:),{( G (рис. 1, б). Тогда соответствующую краевую задачу для исследования динамики рассматри- ваемого миграционного процесса математически можно сформулировать для об- ласти комплексного потенциала в виде                           CCC dCDt 2 2 2 2 2)( ),( )),,0(),,((  Gt (12) ,1CC AC  ,0 ,    CBAB C .0 0  t C (13) Введем безразмерные переменные и параметры соотношениями , L x x  , L y y  , Q   , Q   , L H H  , 1C C C  , Q d d  , 0   , /1 2 0 t Q t            , 2 1 H Q   , Q L  , 2 0           H Q a (14) где L — масштабный параметр, 0 — характерный скоростной параметр. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 2 25 Переходя в (12), (13) к безразмерным переменным согласно (14) и опуская в дальнейшем знак «штрих» над безразмерными величинами, в области ),0( G получаем краевую задачу ,),(),,( 2 2 2 2 2)(                           CCC dtCDt (15) ,1),,0(  tC ,0 ),0,(    tC ,0 ),1,(    tC ,0)0,,( C (16) где . 2 cos 2 exp 1 2 sin 14 ),( 2 1 22 2                                         e a При этом переход из области комплексного потенциала в физическую область осуществляется по формулам , 2 sin 2 exp                  Hx . 2 cos 2 exp                  Hy (17) 2. Методика получения приближенного решения краевой задачи Ниже изложена конечно-разностная методика получения решения краевой зада- чи (15), (16). Введем в рассмотрение сеточную область ),1,0(:),,{( 1   miiht ijkih )},1,0(),1,0()5,0(2  Njjtnkkh jk где , 12 2 0 1    m h n h 1 2  — шаги сетки по геометрическим переменным  и  соответственно,  — шаг сетки по временнóй переменной, .const0  Ограничивая область комплексного потенциала справа некоторой прямой 0 )1( 0  и задавая на этой прямой дополнительное граничное условие (например, условие Неймана), поставим в соответствие рассматриваемой краевой задаче следующий аналог локально-одномерной [17] разностной схемы Самарско- го: ),( 2 2)(       CCdCt (18) ,ˆˆ 2 2)(     CdCt (19) где ,ˆ 1 jCC ,2/1 jCC ,jCC  ,2/2/1  jj tt )(  t — разностный аналог оператора дробного дифференцирования , )( tD определяемый соотношениями [18] , )2( 1 , )( 0 )( st j s j s t yby      ],)()1([ 111)(   sjsjb j s (20) ,/)( 1 ,   ss st yyy )( — гамма-функция [19]. Отметим, что в классе достаточно гладких функций имеем   uDt )( )( )(   Out [18]. 26 ISSN 0572-2691 Расписывая в (18) разностные операторы и приводя подобные члены, получа- ем на полуцелом слое 2/1jt систему уравнений j ik j kiik j ikik j kiik CSCBCA      2/1 ,1 2/12/1 ,1 ),,0;,1;,1( Njnkmi  (21) где ,5,0 11 2            h d h A ik ik ,5,0 11 2            h d h S ik ik , )2(21 ikikik SAB      , 2 )2(2 1 )( 1 0                          j ik s ik s ikj s j s j ik C CC . 2 1 2 1 11 1)(                        sjsjj s Решение системы (21) ищем в виде j ki j kiki j ik CC ,1 2/1 ,1,1 2/1      ),,0;,1;,1( Njnkmi  (22) где прогоночные коэффициенты вычисляются по формулам ,,1 ikikik ik ki SB A    )( ,1 ,1 j ik j ikik ik kij ki S A      ).,0;,1;,1( Njnkmi  (23) Стартовые значения прогоночных коэффициентов определяются с учетом раз- ностного аналога граничного условия при .1:0 0  j k C Отсюда имеем ,01  k 1 1  j k ).,0;,1( Njnk  (24) При этом из разностного аналога однородного граничного условия второго рода в точке 2/1 ,1 2/1 0 :     j km j mk CC ),0;,1( Njnk  с учетом (22) находим km j kmj km C ,1 ,12/1 ,1 1       ).,0;,1( Njnk  (25) Этим заканчивается решение на полуцелом временнóм слое. На целом временнóм слое из (19) получаем j ik j kiik j ikik j kiik CPCQCP      1 1, 11 1, ),,0;,1;,1( Njnkmi  (26) где , 2 2 2 h d P ik ik   ,2 )2(21 ikik PQ      , 2 1 )2( 2/1 1 2/1 )( 0                      j ik s ik s ikj s j s j ik C CC . 2 1 )1( 1 11)(                  sjsjj s Решение системы (26) запишем в виде j ki j kiki j ik CC 1, 1 1,1, 1 ~~      ),,0;,1;,1( Njnkmi  (27) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 2 27 где ,~ ~ 1, ikikik ik ki PQ P               ik j ikj ikki j ki P ~~~ 1,1, ).,0;,1;,1( Njnkmi  (28) С учетом разностного граничного условия 1 1 1 0   j i j i CC ),0;,1( Njmi  получа- ем стартовые значения прогоночных коэффициентов ,1~ 1 i 0 ~ 1  j i ),,0;,1( Njmi  (29) а с учетом условия 1 1, 1     j ni j in CC ),0;,1( Njmi  находим 1, 1,1 1, ~1 ~       ni j nij niC ).,0;,1( Njmi  (30) Эти соотношения позволяют вычислить решение на целом временнóм слое. При этом устойчивость метода прогонки для (21) и (26) вытекает из факта диагональ- ного преобладания в матрицах коэффициентов этих систем алгебраических урав- нений. Последующий переход в физическую область zG осуществляется соглас- но соотношениям (17). Заметим, что в случае переменного коэффициента диффузии ),(  dd со- ответствующая рассматриваемой задаче краевая задача конвективной диффузии в области комплексного потенциала течения G формулируется для уравнения                                 CC d C dCDt ),(2)( (31) при краевых условиях вида (15). Для решения задачи (31), (15) можно использо- вать, например, разностную схему ),)(( 2 0 2)(      CCdCt (32) ,)ˆ(ˆ 2 2)(     CdCt (33) где для сеточных функций dd , приняты стандартные обозначения ),(5,0 ,1 ikkiik ddd   ).(5,0 1, ikkiik ddd   После тривиальных преобразований соотношений (32), (33) снова приходим к си- стеме вида (21) с очевидными изменениями: ,5,0 1 ,1 1 2             h d h A kiik ik ,5,0 11 2            h d h S ikik ik (34) и к системе j ik j kiik j ikik j kiik CRCQCP      1 1, 11 1, ),,0;,1;,1( Njnkmi  (35) где , 2 2 1, 2 h d P kiik ik   , 2 2 , 2 h d R kiik ik   . )2(21 ikikik RPQ      28 ISSN 0572-2691 Все дальнейшие соотношения, приведенные выше при решении задачи (15), (16), остаются в рассматриваемом случае без изменений, за исключением соотношений для вычисления 1, ~  ki и , ~ 1, j ki   которые находятся тривиальным образом анало- гично изложенному выше. 3. Результаты численных экспериментов и выводы Численное моделирование динамики локально-неравновесного во времени процесса миграции растворимых веществ в рамках рассматриваемой некласси- ческой конвективно-диффузионной математической модели выполнено относи- тельно безразмерных переменных, определяемых соотношениями (14). Некото- рые из полученных при этом результатов графически изображены на рис. 2–4. На рис. 2 показана динамика полей концентраций вдоль линии тока 5,0 для классической модели (кривые 3, 3') и модели с учетом временнóй нелокальности (кривые 1, 2, 1, 2) для различных значений порядка дробной производной (1, 1 — ,85,0 2, 2' — )9,0 и времени (1, 2, 3 — ;9,1t 1, 2, 3 — ).5,6t На рис. 3 представлена такая же динамика полей концентраций, но вдоль линии тока 0 (соответственно, оси ординат 0x в физической области) при 28,0t (кривые 1, 2, 3) , 5,6t (кривые 1, 2, 3) и различных значениях пара- метра : 1, 1 — ,85,0 2, 2' — ,9,0 3, 3 — .1 Распределения полей кон- центраций растворителя вдоль оси симметрии фильтрационного потока при пере- менном коэффициенте диффузии в фиксированный момент времени 32,3t для различных значений показателя : 1 — ,85,0 2 — ,9,0 3 — 1 представле- ны на рис. 4. Анализ результатов численных экспериментов позволяет сделать следующие выводы об особенностях динамики полей концентраций растворимых веществ при фильтрации со свободной поверхностью в условиях заметного влияния вре- меннóй нелокальности. 0 0 1 2 3 4 5 0,2 0,4 0,6 0,8 0 C φ 1 2 3 1 2 3 Рис. 3 1. На поздних стадиях процесса име- ет место явление запаздывания в фор- мировании поля концентраций при мо- делировании диффузионного процесса на основе модели, учитывающей времен- нýю нелокальность по сравнению со слу- чаем моделирования данного процесса на основе общепринятой [20] математи- ческой модели (рис. 2–4). 2. Чем меньше показатель порядка дробной производной , тем больше 0 0 1 2 3 4 5 0,2 0,4 0,6 0,8 0 C φ 1 2 3 1 2 3 Рис. 2 0 0 1 2 3 4 5 0,2 0,4 0,6 0,8 1 C φ 1 2 3 1,2 1,4 Рис. 4 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 2 29 величина запаздывания в формировании поля концентраций, описываемого не- классической математической моделью по сравнению со случаем классической модели (кривые 1, 2, 3 и 1, 2, 3, на рис. 2, 3). 3. Учет переменности коэффициента диффузии в неклассической математи- ческой модели не нарушает сформулированных выше закономерностей динамики полей концентраций в процессе конвективной диффузии при плоско-вертикаль- ной установившейся фильтрации со свободной поверхностью (см. рис. 4). 4. В рамках рассматриваемой фильтрационной схемы независимо от типа ис- пользуемой математической модели конвективной диффузии (без учета вре- меннóй нелокальности процесса или с ее учетом) наибольшая скорость продви- жения фронта концентрации растворителя имеет место (при прочих равных усло- виях) вдоль оси симметрии фильтрационного потока 0x (см. рис. 2, 3). Заключение Учет явления временнóй нелокальности процесса фильтрационно-конвектив- ной диффузии в пористых средах со сложной внутренней структурой указывает на возможное существенное запаздывание в процессе формирования диффузион- ного поля концентраций по сравнению со случаем описания процесса в рамках традиционной математической модели [20]. Игнорирование явления временнóй нелокальности процесса (аномальной) конвективной диффузии растворимых ве- ществ при разработке инженерных решений, например в области проектирования систем экологически безопасного функционирования поверхностных накопителей промышленных или бытовых стоков в сложных горно-геологических условиях и геосредах фрактальной структуры, может привести к ошибкам в прогнозах сте- пени безопасности указанных объектов. Автор выражает благодарность Р.А. Векличу за помощь в проведении чис- ленных экспериментов. В.М. Булавацький МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ДИНАМІКИ ПРОЦЕСУ ФІЛЬТРАЦІЙНО- КОНВЕКТИВНОЇ ДИФУЗІЇ ЗА УМОВ ЧАСОВОЇ НЕЛОКАЛЬНОСТІ Виконано математичне моделювання динаміки локально-нерівноважного у часі процесу конвективної дифузії розчинних речовин при двовимірній усталеній плоско-вертикальній фільтрації з вільною поверхнею. V.М. Bulavatsky MATHEMATICAL MODELING OF THE PROCESS DYNAMICS OF THE FILTRATION-CONVECTIVE DIFFUSION UNDER CONDITIONS OF THE TEMPORAL NONLOCALITY The mathematical modeling of the dynamics of local nonequilibrium in time process of the convective diffusion of soluble substances at 2D stationary plainly-vertical filtration with a free surface is performeded. 30 ISSN 0572-2691 1. Лаврик В.И., Никифорович Н.А. Математическое моделирование в гидроэкологических исследованиях. — Киев : Фитосоциоцентр, 1998. — 288 с. 2. Булавацкий В.М. Специальные краевые задачи подземной гидродинамики. — Киев : Наук. думка, 1993. — 133 с. 3. Бомба А.Я., Булавацький В.М., Скопецький В.В. Нелінійні математичні моделі процесів гео- гідродинаміки. — Київ : Наук. думка, 2007. — 292 с. 4. Бомба А.Я., Барановський С.И., Присяжнюк І.М. Нелінійні сингулярно збурені задачі типу «конвекція–дифузія». — Рівне : НУВГП, 2008. — 252 с. 5. Булавацький В.М., Кривонос Ю.Г., Скопецький В.В. Некласичні математичні моделі проце- сів тепло- та масопереносу. — Киев : Наук. думка, 2005. — 283 с. 6. Соболев С.Л. Локально-неравновесные модели процессов переноса // Успехи физических наук. — 1997. — 167, № 10. — С. 1095–1106. 7. Хасанов М.М., Булгакова Г.Т. Нелинейные и неравновесные эффекты в реологически слож- ных средах. — Москва; Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2003. — 288 с. 8. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and applications of fractional differential equa- tions. — Amsterdam : Elsevier, 2006. — 523 p. 9. Gorenflo R., Mainardi F. Fractional calculus: integral and differential equations of fractional or- der // Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics / Eds. A. Carpinteri, F. Mainardi. — Wien : Springer Verlag, 1997. — P. 223–276. 10. Podlubny I. Fractional differential equations. — New York : Academ. Press, 1999. — 341 p. 11. Бондаренко А.Н., Иващенко Д.С. Методы численного решения краевых задач теории ано- мальной диффузии // Сибирские электронные математические известия. — 2008. — 5. — С. 581–594. — (http://semr.math.nsc.ru). 12. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. — М. : Физматлит, 2003. — 272 с. 13. Чикрий А.А., Матичин И.И. Об аналоге формулы Коши для линейных систем произвольно- го дробного порядка // Доп. НАН Украины. — 2007. — № 1. — С. 50–55. 14. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и не- которые их приложения. — Минск : Наука и техника, 1987. — 688 с. 15. Ляшко И.И., Демченко Л.И., Мистецкий Г.Е. Численное решение задач тепло- и массопе- реноса в пористых средах. — Киев : Наук. думка, 1991. — 264 с. 16. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. — М. : Наука, 1977. — 664 с. 17. Самарский А.А. Теория разностных схем. — М. : Наука, 1977. — 656 с. 18. Таукенова Ф.И., Шхануков–Лафишев М.Х. Разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка // Журн. вычисл. математики и мат. фи- зики. — 2006. — 46, № 10. — С. 1871–1881. 19. Арсенин В.Я. Математическая физика. Основные уравнения и специальные функции. — М. : Наука, 1966. — 386 с. 20. Богаенко В.А., Булавацкий В.М., Скопецкий В.В. Параллельный алгоритм расчета фильтра- ционно-конвективной диффузии загрязнений из водоносных горизонтов // Управляющие системы и машины. — 2008. — № 5. — С. 18–23. Получено 19.05.2011 Статья представлена к публикации членом редколлегии академиком НАН Украины Ю.Г. Кривоносом

Математическое моделирование динамики процесса фильтрационно-конвективной диффузии в условиях временной нелокальности

Institution

Ähnliche Einträge