3D-коэффициенты Фурье на классе дифференцируемых функций и сплайн-интерфлетация

Розглянуто та досліджено кубатурні формули обчислення 3D-коефіцієнтів Фур’є з використанням інтерфлетації на класі диференційовних функцій. Інформація про функцію задана її слідами на системі взаємно перпендикулярних площин. Доведено, що оцінку похибки кубатурних формул можна виразити відповідними о...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2012
Автори:	Литвин, О.Н., Нечуйвитер, О.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Назва видання:	Проблемы управления и информатики
Теми:	Методы обработки информации
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207487
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	3D-коэффициенты Фурье на классе дифференцируемых функций и сплайн-интерфлетация / О.Н. Литвин, О.П. Нечуйвитер // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 2. — С. 93–103. — Бібліогр.: 5 назв. - рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-207487
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2074872025-10-09T00:03:14Z 3D-коэффициенты Фурье на классе дифференцируемых функций и сплайн-интерфлетация 3D-коефіцієнти Фур’є на класі диференційовних функцій і сплайн-інтерфлетація 3D Fourier Coefficients on the Class of Differentiable Functions and Spline-Interflatation Литвин, О.Н. Нечуйвитер, О.П. Методы обработки информации Розглянуто та досліджено кубатурні формули обчислення 3D-коефіцієнтів Фур’є з використанням інтерфлетації на класі диференційовних функцій. Інформація про функцію задана її слідами на системі взаємно перпендикулярних площин. Доведено, що оцінку похибки кубатурних формул можна виразити відповідними оцінками похибки квадратурних формул. Cubature formulas for calculating 3D Fourier coefficients are presented using interflatation on the class of differentiable functions. Information about the function is specified by the traces on the system of mutually perpendicular planes. It is proved that the error of cubature formulas is evaluated by means of corresponding estimates of quadrature formulas error. 2012 Article 3D-коэффициенты Фурье на классе дифференцируемых функций и сплайн-интерфлетация / О.Н. Литвин, О.П. Нечуйвитер // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 2. — С. 93–103. — Бібліогр.: 5 назв. - рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207487 621.391:517.518:510.52 10.1615/JAutomatInfScien.v44.i3.40 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Методы обработки информации Методы обработки информации
spellingShingle	Методы обработки информации Методы обработки информации Литвин, О.Н. Нечуйвитер, О.П. 3D-коэффициенты Фурье на классе дифференцируемых функций и сплайн-интерфлетация Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто та досліджено кубатурні формули обчислення 3D-коефіцієнтів Фур’є з використанням інтерфлетації на класі диференційовних функцій. Інформація про функцію задана її слідами на системі взаємно перпендикулярних площин. Доведено, що оцінку похибки кубатурних формул можна виразити відповідними оцінками похибки квадратурних формул.
format	Article
author	Литвин, О.Н. Нечуйвитер, О.П.
author_facet	Литвин, О.Н. Нечуйвитер, О.П.
author_sort	Литвин, О.Н.
title	3D-коэффициенты Фурье на классе дифференцируемых функций и сплайн-интерфлетация
title_short	3D-коэффициенты Фурье на классе дифференцируемых функций и сплайн-интерфлетация
title_full	3D-коэффициенты Фурье на классе дифференцируемых функций и сплайн-интерфлетация
title_fullStr	3D-коэффициенты Фурье на классе дифференцируемых функций и сплайн-интерфлетация
title_full_unstemmed	3D-коэффициенты Фурье на классе дифференцируемых функций и сплайн-интерфлетация
title_sort	3d-коэффициенты фурье на классе дифференцируемых функций и сплайн-интерфлетация
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Методы обработки информации
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207487
citation_txt	3D-коэффициенты Фурье на классе дифференцируемых функций и сплайн-интерфлетация / О.Н. Литвин, О.П. Нечуйвитер // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 2. — С. 93–103. — Бібліогр.: 5 назв. - рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT litvinon 3dkoéfficientyfurʹenaklassedifferenciruemyhfunkcijisplajninterfletaciâ AT nečujviterop 3dkoéfficientyfurʹenaklassedifferenciruemyhfunkcijisplajninterfletaciâ AT litvinon 3dkoefícíêntifurênaklasídiferencíjovnihfunkcíjísplajnínterfletacíâ AT nečujviterop 3dkoefícíêntifurênaklasídiferencíjovnihfunkcíjísplajnínterfletacíâ AT litvinon 3dfouriercoefficientsontheclassofdifferentiablefunctionsandsplineinterflatation AT nečujviterop 3dfouriercoefficientsontheclassofdifferentiablefunctionsandsplineinterflatation
first_indexed	2025-10-09T01:07:49Z
last_indexed	2025-10-12T01:06:31Z
_version_	1845736181834186752
fulltext	© О.М. ЛИТВИН, О.П. НЕЧУЙВИТЕР, 2012 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 2 93 УДК 621.391:517.518:510.52 О.Н. Литвин, О.П. Нечуйвитер 3D-КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ НА КЛАССЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ И СПЛАЙН-ИНТЕРФЛЕТАЦИЯ Введение На данный момент методы компьютерной томографии — наиболее эффек- тивные методы исследования внутренней структуры трехмерного тела без его разрушения. При решении задачи трехмерной компьютерной томографии исполь- зуется метод, который обобщает прямой метод Фурье с двумерного на трехмер- ный случай. В этом методе искомая функция от трех переменных представляется в виде ряда Фурье. Выбор метода при решении задачи приближенного вычисле- ния коэффициентов этого ряда объясняется видом задания начальных данных. В случае когда данные — это следы функции на плоскостях, для приближенного вычисления 3D-коэффициентов Фурье строятся кубатурные формулы с использо- ванием интерфлетации функций [1]. В [2–4] изложен общий подход к построению операторов финитного трех- мерного дискретно-неперерывного и дискретного преобразования Фурье на осно- ве метода Файлона, трилинейных сплайнов (линейных по каждой переменной) и сплайн-интерфлетации на классе дифференцированных функций в случае, когда заданы значения функции в узлах. Случай, когда данные — это следы функции на плоскостях, рассматривается впервые. Получены оценки погрешности кубатур- ных формул. Показано, что оценку погрешности кубатурной формулы можно вы- разить через соответствующие оценки погрешности квадратурных формул. Постановка задачи: 1) построить кубатурные формулы для вычисления 3D-коэффициентов Фурье с использованием интерфлетации функций на клас- се действительных функций трех переменных, определенных на 3]1,0[G и таких, что ,),,()0,0,( Mzyxf r  ,),,()0,,0( Mzyxf r  ,),,(),0,0( Mzyxf r  , ~ ),,(),,( Mzyxf rrr  ,2,1r в случае, когда информация о функции задана ее следами на плоскостях , kxk , jy j , szs ,,0,, sjk ;/1  2) полу- чить оценки погрешности кубатурных формул; 3) показать, что оценку погрешно- сти построенных кубатурных формул можно получить разными способами, напри- мер, выразить через соответствующие погрешности квадратурных формул. 1. Некоторые оценки погрешности вычисления коэффициентов Фурье функции одной переменной Для решения поставленной задачи воспользуемся вспомогательными утвер- ждениями. Лемма 1. Пусть ],1,0[)( 1Cxg  .)( Mxg  Для функции одной переменной справедливо неравенство , 3 2sin))()(( 11 0     MdxmxxgSxg k x xk k k  где ,)()()( 1 1         k k k kk xx xg xx xgxgS . 1 ,],,[ 1    kxxxx kkk 94 ISSN 0572-2691 Доказательство. Пусть               ., ,, ),( 1 1 ,0 k k k k k xx xx xx xx xG Справедливо следующее неравенство:            xdmxdxGgdxmxxgSxg k x x x x k k k x x k k k k k k 1 0 0 1 0 1 11 2sin),()(2sin))()((               1 0 0 1 0 0 1 11 1 ),(),()(  k x x x x k k x x x x k k k k k k k k k dxdxGMdxdxGg                          dxd xx d xx M k k k k x x x x k x x k k 1 1 1 1 0  dxxxxxM k k x x kk k         1 ))(( 2 1 1 0  336 2 21 0 3           MMM k   , где .)( Mxg  Лемма 1 доказана. Лемма 2. Пусть ],1,0[)( 2Cxg  .)( Mxg  Для функции одной перемен- ной справедливо неравенство , 12 2sin))()(( 21 0 1     MdxmxxgSxg k x xk k k  где ,)()()( 1 1         k k k kk xx xg xx xgxgS ,],[ 1 kk xxx . 1 ,   kxk Доказательство. Пусть                ,),( ,),( ),( ~ 11 1 0 kk k kk k k xxx xx xxx xx xG тогда выполняется равенство          k k k k xx xg xx xgxg )()()( 1 1 .),( ~ )( !1 )( !1 )( 1 1 0 11                 x x x x k kk x x kk k k kk dxGgd x g xx d x g xx Поэтому    dxmxxgSxg k x xk k k 2sin))()(( 11 0  Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 2 95                   1 0 1 1 1 2sin)()()(  k x x k k k k k k dxmx xx xg xx xgxg . 1212 ),( ~ ),( ~ )( 21 0 31 0 0 1 0 0 1 11 1                   MM dxdxGMdxdxGg kk x x x x k k x x x x k k k k k k k k k  Лемма доказана. 2. Способы получения оценки погрешности вычисления коэффициентов Фурье функции трех переменных Пусть ),(),,(),,( 0 1 xpzyxfzyxfO k k k    ),(),,(),,( 0 2 ypzyxfzyxfO j j j    ),(),,(),,( 0 3 zpzyxfzyxfO s s s    ,,0,, sjk где )(),(),( zpypxp sjk — сплайны порядка 0, 1, 2, 3, для которых выполняются следующие свойства: ,,0,,,)(,)(,)(   ssjjkk zpypxp ),,,(),,(),,;( 11 zyxfOzyxfzyxfR  ),,,(),,(),,;( 22 zyxfOzyxfzyxfR  ).,,(),,(),,;( 33 zyxfOzyxfzyxfR  Оператор сплайн-интерфлетации ),,( zyxOf представляется операторами ),,,( zyxfO ,3,2,1 следующим образом:  ),,(),,(),,(),,( 321 zyxfOzyxfOzyxfOzyxOf ).,,(),,(),,(),,( 321313221 zyxfOOOzyxfOOzyxfOOzyxfOO  Лемма 3. Для остатка dzpzdynydxmxzyxOfzyxffR     2sin2sin2sin)),,(),,(()( 1 0 1 0 1 0 справедливо равенство .2sin2sin2sin),,()( 321 1 0 1 0 1 0 dzpzdynydxmxzyxfRRRfR     Доказательство. Поскольку  ),,(),,(),,(),,(),,(),,( 321 zyxfOzyxfOzyxfOzyxfzyxOfzyxf  ),,(),,(),,(),,( 321313221 zyxfOOOzyxfOOzyxfOOzyxfOO 96 ISSN 0572-2691  ),,(][ 321313221321 zyxfOOOOOOOOOOOOI  ),,(][ 321313221321 zyxfOOOIIOOIOOIOOOIOIOI ),,,(),,()])()([( 123321 zyxfRRRzyxfOIOIOI  то     1 0 1 0 1 0 2sin2sin2sin)),,(),,(()( dzpzdynydxmxzyxOfzyxffR   .2sin2sin2sin,,321 1 0 1 0 1 0 dzpzdynydxmxzyxfRRR     Лемма доказана. Пусть             dxmxxpzyxfzyxfzyfR k k k 2sin)(),,(),,(),;( ~ 0 1 0 1  ,2sin)),,(),,(( 1 1 0 dxmxzyxfOzyxf               dynyypzyxfzyxfzxfR j j j 2sin)(),,(),,(),;( ~ 0 1 0 2  ,2sin)),,(),,(( 2 1 0 dynyzyxfOzyxf               dzpzzpzyxfzyxfyxfR s s s 2sin)(),,(),,(),;( ~ 0 1 0 3  .2sin)),,(),,(( 3 1 0 dzpzzyxfOzyxf   Лемма 4. Для остатка )( fR справедливо равенство     1 0 1 0 1 0 2sin2sin2sin)),,(),,(()( dzpzdynydxmxzyxOfzyxffR .),,( ~~~ 321 zyxfRRR Доказательство. Рассмотрим ).,,;( ~~~ 321 zyxfRRR Имеем ),,);,,;( ~~ ( ~ ),,;( ~~~ 321321 zyzyxfRRRzyxfRRR  где  ),);,( ~ ( ~ ),,;( ~~ 3232 zxyxRRzyxfRR ,2sin)(),( ~ ),( ~ 1 0 0 33             dynyypyxRyxR j jj  или                   dzpzzpzyxfzyxfzyxfRR s s s 2sin)(),,(),,(),,;( ~~ 1 0 0 1 0 32  .2sin)(2sin)(),,(),,( 0 1 0 0 dynyypzdzpzpzyxfzyxf j j s s sjj                       Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 2 97 Подставляя выражение ),,;( ~~ 32 zyxfRR в ),,,;( ~~~ 321 zyxfRRR , получаем:  ),);,,;( ~~ ( ~ ),,;( ~~~ 321321 zyzyxfRRRzyxfRRR              dxmxxpzyxfRRzyxfRR k k k 2sin)(),,;( ~~ ),,;( ~~ 1 0 0 3232                             1 0 1 0 1 0 0 2sin)(),,(),,( dzpzzpzyxfzyxf s s s                             0 1 0 0 2sin)(2sin)(),,(),,( j js s sjj dynyypzdzpzpzyxfzyxf                           0 1 0 0 2sin)(),,(),,( k s s skk dzpzяpzyxfzyxf                          0 0 1 0 0 )(2sin)(),,(),,( k j js s sjkjk ypzdzpzpzyxfzyxf                   1 0 1 0 1 0 0 )(),,(),,(2sin)(2sin xpzyxfzyxfdxmxxnydyp k k kk       )()(),,()(),,()(),,( 0 000 ypxpzyxfzpzyxfypzyxf jk k j jks s sj j j         )()(),,()()(),,( 0 00 0 zpypzyxfzpxpzyxf sj s j sjsk k s sk                dzdydxpznymxzpypxpzyxf sjk k j s sjk 2sin2sin2sin)()()(),,( 0 0 0    ).,,;(2sin2sin2sin)),,(),,(( 1 0 1 0 1 0 zyxfRdzdydxpznymxzyxOfzyxf     Лемма доказана. 3. Кубатурные формулы приближенного вычисления 3D-коэффициентов Фурье В качестве )(),(),( zpypxp sjk будем рассматривать линейные базисные сплайны. Введем обозначения:                   ;,0 ,, )( ,,0 ,, )( 1 10 1 20 1 10 1 10 yy yyy yy yh xx xxx xx xh          ,,0 ,, )( 1 10 1 30 zz zzz zz zh ;1,1 ,,0 ,, ,, ,,0 )( 1 1 1 1 1 1 1                          k xx xxx xx xxx xx xx xh k kk k kk k k k 98 ISSN 0572-2691 ;1,1 ,,0 ,, ,, ,,0 )( 1 1 1 1 1 1 2                          j yy yyy yy yyy yy yy yh j jj j jj j j j ;1,1 ,0 ,, ,, ,,0 )( 1 1 1 1 1 1 3                          s zz zzz zz zzz zz zz zh s ss s ss s s s                       ,, ,,0 )( ,, ,,0 )( 1 1 2 1 1 1         yyy yy yy yh xxx xx xx xh            ,, ,,0 )( 1 1 3     zzz zz zz zh . 1 ,,,   szjykx sjk Пусть ),,( zyxOf — оператор сплайн-интерфлетации:        0 0 32 0 1 )(),,()(),,()(),,(),,( j j ssjj k kk zhzyxfyhzyxfxhzyxfzyxfO           0 31 0 2 0 1 0 )()(),,()()(),,( k sksk s j k kjk j zhxhzyxfyhxhzyxf .)()()(),,()()(),,( 32 0 0 0 1 0 32 0 zhyhxhzyxfzhyhzyxf sj k j s ksjk j sjsj s              Лемма 5. Для ),,( zyxfO выполняются следующие свойства: 1) ),( 1 ),,(),,( 3 3 r r OOzyxfOzyxf         ,]1,0[),,( 3 Gzyx ;2,1r 2) ;,0),,,(),,(  kzyxfzyxfO kk 3) ;,0),,,(),,(  jzyxfzyxfO jj 4) .,0),,,(),,(  szyxfzyxfO ss Доказательство леммы 5 изложено в [1]. Для вычисления интегралов ,2sin2sin2sin),,(),,( 1 0 1 0 1 0 3 1     dzdydxpznymxzyxfpnmI ,2cos2cos2cos),,(),,( 1 0 1 0 1 0 3 2     dzdydxpznymxzyxfpnmI     1 0 1 0 222 1 0 3 3 ),,(),,( dzdydxeeezyxfpnmI pzinyimxi применяются формулы: ,2sin2sin2sin),,(),,( 1 0 1 0 1 0 3 1     dzdydxpznymxzyxfOpnm ,2cos2cos2cos),,(),,( 1 0 1 0 1 0 3 2     dzdydxpznymxzyxfOpnm .),,(),,( 1 0 1 0 222 1 0 3 3     dzdydxeeezyxfOpnm pzinyimxi Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 2 99 Подставив выражение для оператора сплайн-интерфлетации, получим соот- ветствующие кубатурные формулы, например:       1 0 1 0 0 1 0 1 3 1 2sin2sin2sin)(),,(),,(  k kk dzpzdynydxmxxhzyxfpnm       1 0 1 0 0 1 0 2 2sin2sin2sin)(),,(  j jj dzpzdxmxdynyyhzyxf       1 0 1 0 0 1 0 3 2sin2sin2sin)(),,(  s ss dxmxdynydzpzzhzyxf       1 0 0 1 0 2 1 0 1 0 2sin2sin)(2sin)(),,(   k jk j jk dzpzdynyyhdxmxxhzyxf       1 0 0 1 0 3 1 0 1 0 2sin2sin)(2sin)(),,(   k sk s sk dynypzdzzhdxmxxhzyxf        1 0 0 3 1 0 1 0 2 0 2sin2sin)(2sin)(),,(   j sj s sj dxmxdzpzzhdynyyhzyxf .2sin)(2sin)(2sin)(),,( 1 0 3 1 0 2 1 0 1 0 0 0 dzpzzhdynyyhdxmxxhzyxf sjk k j s sjk           Теорема. Для кубатурной формулы ),,(3 1 pnm вычисления ),,(3 1 pnmI справедлива оценка при ),,(max2 pnm , 1 ])!2[( ~ 8 ])!2[( ~ 8 )( 33 3 3 r r r M r M fR     .2,1r Доказательство. Имеем следующую оценку (лемма 3):     1 0 1 0 1 0 2sin2sin2sin)),,(),,(()( dzdydxpznymxzyxfOzyxffR ,2sin2sin2sin)),,(),,(( 1 0 1 0 1 0 1 1 1                    k j s x x y y z z k k j j s s pzdxdydznymxzyxOfzyxf                          ,, )!1( )( ,, )!1( )( ),( 1 1 1 1 1 1 1 1 k r k kk k k r k kk k k xx r x xx xx xx r x xx xx xG                          ,, )!1( )( ,, )!1( )( ),( 1 1 1 1 1 1 1 2 j r j jj j j r j jj j j yy r y yy yy yy r y yy yy yG 100 ISSN 0572-2691                          ,, )!1( )( ,, )!1( )( ),( 1 1 1 1 1 1 1 3 s r j ss s s r s ss s s zz r y zz zz yz r z zz zz zG .2,1r Таким образом, .),(),(),( ~ )( 321 1 0 1 0 1 0 111111 dzdydxxGyGxGMfR sjk z z y y x x z z y y x xsjk s s j j k k s s j j k k          Заметим, что                                 dxd r x xx xx d r x xx xx dxG k k k k k k k k x x x x r k kk k x x r k kk k x x x x 1 11 1 )!1()!1( ),( 1 1 1 1 1 1 1                       11 )1)(2( )( )1)(2( )( ! 1 2 1 2 k k k k x x r k x x r k rr xx rr xx r )!2( 2 )2)(1()2)(1(! 1 122                    rrrrrr rrr . Аналогично вычисляются следующие интегралы: , )!2( 2 ),( 1 2 1 1         r dydyG ry y j y y j j j j , )!2( 2 ),( 1 3 1 1         r dzdzG rz z s z z s s s s поэтому                   )!2( 2 )!2( 2 )!2( 2~ )( 111 0 1 0 1 0 1 rrr MfR rr k j s r   . ])!2[( ~ 8 ])!2[( 8~ 333 3 r r r M r M      Теорема доказана. Замечание. Доказать теорему можнo на основании леммы 4, используя оцен- ки погрешностей квадратурных формул из леммы 1 и леммы 2, т.е. при ,1r 3 ~ 1   MR (лемма 1) и согласно лемме 4 имеем , 27 ~ 3 ~ ),,;( ~~~ )( 33 3 321  M MzyxfRRRfR    а при ,2r 12 ~ 2 1   MR (лемма 2) и согласно лемме 4 имеем . 1728 ~ 12 ~ ),,;( ~~~ )( 63 6 321  M MzyxfRRRfR    4. Численный эксперимент Пример 1. Пусть  )222sin()222(sin( 4 1 ),,( yzxzyxzyxf ,))222sin()222sin( zyxxyz  Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 2 101 тогда ,2),,()0,0,1( zyxf ,2),,()0,1,0( zyxf ,2),,()1,0,0( zyxf .8),,()1,1,1( zyxf Если вычислять интеграл )3,2,1(3 1I по кубатурной формуле )3,2,1(3 1 при ,19 то .107,466497650,00058328+66502350,00058328 )3,2,1()3,2,1()( 13 3 1 3 1   IfR . Функция ),,( zyxf представима в виде ,2sin2sin2sin),,( zyxzyxf  поэтому если положить ,,,,2sin)( zyxuuug  то можно получить следующие результа- ты вычислений для ,2sin))()((),,( ~ 11 0 suduugSugsugR k k u u k k i      ,3,2,1i при :19 3597615,0,00014888)1,,( ~ 1 xgR 8217309,0,00006901)2,,( ~ 2 ygR 277933.0,00004578)3,,( ~ 3 zgR Значит,  )3,,( ~ )2,,( ~ )1,,( ~ )3,2,1()3,2,1()( 321 3 1 3 1 zgRygRxgRIfR .104,7=2779330,0000457882173090,0000690135976150,00014888= 13 Пример 2. Пусть  )222cos()222(cos( 4 1 ),,( xzyzyxzyxf )),222cos()222cos( zyxyxz  тогда ,4),,()0,0,2( zyxf ,4),,()0,2,0( zyxf ,4),,()2,0,0( zyxf .64),,()2,2,2( zyxf Если вычислять интеграл )4,4,3(3 1I по кубатурной формуле )4,4,3(3 1 при ,25 то .109,31177660,0002443311776990,00024433 )4,4,3()4,4,3()( 14 3 1 3 1   IfR Функция ),,( zyxf представима в виде ,2cos2cos2cos),,( zyxzyxf  поэтому ес- ли взять ,2cos)( uug  ,,, zyxu  то можно получить следующие результаты вы- числений для ,2sin))()((),,( ~ 11 0 dusuugSugsugR k k u u k k i      ,3,2,1i при :25 9504778,0,00010748)3,,( ~ 1 xgR 5861002,0,00003075)4,,( ~ 2 ygR 5861002.0,00003075)4,,( ~ 3 zgR Значит,  )4,,( ~ )4,,( ~ )3,,( ~ )4,4,3()4,4,3()( 321 3 1 3 1 zgRygRxgRIfR .103,9=58610020,0000307558610020,0000307595047780,00010748= 14 Таким образом, численный эксперимент подтверждает теоретический результат. 102 ISSN 0572-2691 Пример 3. В работе [5] изложены общий метод вычисления трехмерных коэффициентов Фурье     1 0 1 0 1 0 )(2 ,),,( dzdydxezyxfС pznymxi mnp ,,, NpnmN  на основе методов восстановления коэффициента поглощения на системе параллельных плоскостей, а также метод вычисления коэффициентов Фурье для параллельных срезов с помощью алгоритма, использующего операто- ры интерлинации с заданными проекциями на фиксированной системе линий. Те- стировался метод для трещины (имеет вид параллелепипеда) в шаре радиуса 1 с центром в точке (0,5; 0,5;0,5), т.е. для функции             ),5,05,05,0(,0 ,5,0)5,0()5,0()5,0(,0 ),5,05,05,0(5.0 )5,0()5,0()5,0(,1 ),,( 2222 2 222 czbyax zyx czbyax zyx zyxf в случае известных двумерных сечений (рисунок, где а — );1,0,,( yxf б — );2,0,,( yxf в — );3,0,,( yxf г — );4,0,,( yxf д — )).5,0,,( yxf a б в г д Коэффициенты Фурье     1 0 1 0 1 0 )(2 ,),,( dydzdxezyxfС pznymxi mnp ,,, NpnmN  могут быть приближенно вычислены способом, изложенным в данной работе, т.е. .,,,),,( 1 0 1 0 1 0 )(2      NpnmNdydzdxezyxOfС pznymxi mnp Пусть             ),2,05,02,05,02,05,0(,0 ,5,0)5,0()5,0()5,0(,0 ),2,05,02,05,02,0 5,0(5.0)5,0()5,0()5,0(,1 ),,( 2222 2222 zyx zyx zy xzyx zyxf ),,( zyxOf — оператор интерфлетации,  ),,(),,(),,(),,( 321 zyxfOzyxfOzyxfOzyxOf ),,,(),,(),,(),,( 321313221 zyxfOOOzyxfOOzyxfOOzyxfOO  где )(),(),( zpypxp sjk — кусочно-постоянные функции, тогда при 9 полу- чены следующие результаты: ,6453660,0000027309196250,00614827=123 iС  .56050840,0000009887844770,00496333=233 iС  Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 2 103 Заключение В настоящей статье рассматриваются и исследуются кубатурные формулы вычисления 3D-коэффициентов Фурье с использованием интерфлетации функций на классе действительных функций трех переменных, определенных на 3]1,0[G и таких, что ,),,()0,0,( Mzyxf r  ,),,()0,,0( Mzyxf r  ,),,(),0,0( Mzyxf r  , ~ ),,(),,( Mzyxf rrr  ,2,1r в случае, когда информация о функции задана ее следами на плоскостях , kxk , jy j ,,0,,,  sjkszs ./1  Получе- ны оценки погрешности кубатурных формул. Доказано, что оценку погрешности построенных кубатурных формул можно также получить через соответствующие оценки погрешности квадратурных формул. Численный эксперимент подтвержда- ет теоретический результат. О.М. Литвин, О.П. Нечуйвітер 3D-КОЕФІЦІЄНТИ ФУР’Є НА КЛАСІ ДИФЕРЕНЦІЙОВНИХ ФУНКЦІЙ І СПЛАЙН-ІНТЕРФЛЕТАЦІЯ Розглянуто та досліджено кубатурні формули обчислення 3D-коефіцієнтів Фур’є з використанням інтерфлетації на класі диференційовних функцій. Ін- формація про функцію задана її слідами на системі взаємно-перпендикулярних площин. Доведено, що оцінку похибки кубатурних формул можна виразити відповідними оцінками похибки квадратурних формул. О.N. Lytvyn, О.P. Nechuiviter 3D FOURIER COEFFICIENTS ON THE CLASS OF DIFFERENTIABLE FUNCTIONS AND SPLINE-INTERFLATATION Cubature formulas of the calculation of 3D Fourier coefficients are presented by using interflatation on the class of differentiable functions. Information about func- tion is specified by the traces on the system of mutually perpendicular planes. It is proved that the error of cubature formulas is evaluated by means of corresponding es- timates of quadratures formulas error. 1. Литвин О.М. Інтерлінація функцій та деякі її застосування. — Харків : Основа, 2002. — 544 с. 2. Литвин О.М., Удовиченко В.М. Оператори фінітного тривимірного перетворення Фур’є // Радиоэлектроника и информатика. — 2004.— № 4(29). — С. 130–133. 3. Литвин О.М., Удовиченко В.М. Оператори фінітного тривимірного дискретно-неперервно- го перетворення Фур’є на основі методу Файлона та трилінійних сплайнів, точні на триго- нометричних поліномах заданого порядку // Інформаційно-керуючі системи на залізнично- му транспорті. — 2005. — 51, 52, № 1, 2. — С. 19–23. 4. Литвин О.М., Удовиченко В.М. Тривимірні фінітні перетворення Фур’є та Хартлі з викори- станням інтерфлетації функцій // Вестн. Нац. техн. ун-та «ХПИ». Сб. науч. тр. Тем. выпуск «Автоматика и приборостроение». — 2005. — 38. — С. 90–130. 5. New method of restoration of internal structure 3D bodies by means of projections which arrive from a computer tomograph / O.M. Lytvyn, Yu.I. Pershina, O.O. Lytvyn, S.I. Kulyk, N.A. Shu- meyko // Proceedings of the 6th World Congress on Industrial Process Tomography (6–9 Sep- tember 2010). — Beijing, China, 2010. — P. 429–436. Получено 11.05.2011 После доработки 05.07.2011

3D-коэффициенты Фурье на классе дифференцируемых функций и сплайн-интерфлетация

Репозитарії

Схожі ресурси