Об одной геоинформационной дробно-дифференциальной модели переменного порядка
Побудовано дробово-диференціальну математичну модель змінного порядку для дослідження динаміки локально-нерівноважних у часі геоміграційних процесів сольових розчинів. Відповідно до цієї моделі поставлено нелінійну крайову задачу, розвинуто методику її чисельного розв’язання та наведено результати ч...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Проблемы управления и информатики |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207499 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об одной геоинформационной дробно-дифференциальной модели переменного порядка / В.М. Булавацкий, Ю.Г. Кривонос // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 3. — С. 66–71. — Бібліогр.: 21 назв. - рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-207499 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2074992025-10-09T00:05:27Z Об одной геоинформационной дробно-дифференциальной модели переменного порядка Про одну геоінформаційну дробово-диференціальну модель змінного порядку On One Geoinformation Fractional Differential Model of Variable Order Булавацкий, В.М. Кривонос, Ю.Г. Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Побудовано дробово-диференціальну математичну модель змінного порядку для дослідження динаміки локально-нерівноважних у часі геоміграційних процесів сольових розчинів. Відповідно до цієї моделі поставлено нелінійну крайову задачу, розвинуто методику її чисельного розв’язання та наведено результати чисельних експериментів. The fractional differential mathematical model of the variable order for research of dynamics of local-nonequilibrium in time geomigration processes of salt solutions is constructed. The nonlinear boundary-value problem, appropriate to this model, is set, the technique of its numerical solution is developed, and the results of numerical experiments are given. 2012 Article Об одной геоинформационной дробно-дифференциальной модели переменного порядка / В.М. Булавацкий, Ю.Г. Кривонос // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 3. — С. 66–71. — Бібліогр.: 21 назв. - рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207499 517.954:532.546 10.1615/JAutomatInfScien.v44.i6.10 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| spellingShingle |
Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Булавацкий, В.М. Кривонос, Ю.Г. Об одной геоинформационной дробно-дифференциальной модели переменного порядка Проблемы управления и информатики |
| description |
Побудовано дробово-диференціальну математичну модель змінного порядку для дослідження динаміки локально-нерівноважних у часі геоміграційних процесів сольових розчинів. Відповідно до цієї моделі поставлено нелінійну крайову задачу, розвинуто методику її чисельного розв’язання та наведено результати чисельних експериментів. |
| format |
Article |
| author |
Булавацкий, В.М. Кривонос, Ю.Г. |
| author_facet |
Булавацкий, В.М. Кривонос, Ю.Г. |
| author_sort |
Булавацкий, В.М. |
| title |
Об одной геоинформационной дробно-дифференциальной модели переменного порядка |
| title_short |
Об одной геоинформационной дробно-дифференциальной модели переменного порядка |
| title_full |
Об одной геоинформационной дробно-дифференциальной модели переменного порядка |
| title_fullStr |
Об одной геоинформационной дробно-дифференциальной модели переменного порядка |
| title_full_unstemmed |
Об одной геоинформационной дробно-дифференциальной модели переменного порядка |
| title_sort |
об одной геоинформационной дробно-дифференциальной модели переменного порядка |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207499 |
| citation_txt |
Об одной геоинформационной дробно-дифференциальной модели переменного порядка / В.М. Булавацкий, Ю.Г. Кривонос // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 3. — С. 66–71. — Бібліогр.: 21 назв. - рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT bulavackijvm obodnojgeoinformacionnojdrobnodifferencialʹnojmodeliperemennogoporâdka AT krivonosûg obodnojgeoinformacionnojdrobnodifferencialʹnojmodeliperemennogoporâdka AT bulavackijvm proodnugeoínformacíjnudrobovodiferencíalʹnumodelʹzmínnogoporâdku AT krivonosûg proodnugeoínformacíjnudrobovodiferencíalʹnumodelʹzmínnogoporâdku AT bulavackijvm ononegeoinformationfractionaldifferentialmodelofvariableorder AT krivonosûg ononegeoinformationfractionaldifferentialmodelofvariableorder |
| first_indexed |
2025-10-09T01:08:37Z |
| last_indexed |
2025-10-12T01:07:31Z |
| _version_ |
1845736244326170624 |
| fulltext |
© В.М. БУЛАВАЦКИЙ, Ю.Г. КРИВОНОС, 2012
66 ISSN 0572-2691
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И
ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
УДК 517.954:532.546
В.М. Булавацкий, Ю.Г. Кривонос
ОБ ОДНОЙ ГЕОИНФОРМАЦИОННОЙ
ДРОБНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ
ПЕРЕМЕННОГО ПОРЯДКА
Введение
В настоящее время особую актуальность приобретают задачи геоинформати-
ки, связанные с вопросами математического моделирования динамики систем,
описывающих пространственно-временные процессы геофильтрации и массопе-
реноса, представляющие значительный интерес, прежде всего, при изучении
вопросов охраны подземных вод и водозаборов от загрязнений, являющихся ре-
зультатом действия техногенных факторов. Как правило, математическое модели-
рование геофильтрационных процессов выполняется в предположении насыщен-
ности массивов геопористой среды чистой водой [1–3], однако в настоящее время
особую актуальность приобретают исследования в области математического мо-
делирования динамики геофильтрационных процессов в пористых средах, насы-
щенных солевыми растворами [4–8]. Это в значительной мере обусловлено рядом
проблем экологии, в частности, знание особенностей динамики геофильтрацион-
ных и массообменных процессов в пористых, насыщенных солевыми растворами
массивах, играет важную роль при решении задач охраны грунтов и грунтовых
вод от загрязнений токсичным содержимым поверхностных накопителей про-
мышленных и бытовых стоков [3, 4, 7]. Следует отметить, что в сложных горно-
геологических условиях существенно проявляются эффекты неравновесности
геофильтрационного процесса и процессов тепломассопереноса, что обусловлено
рядом причин, в частности сложностью структуры среды, ее микронеоднород-
ностью, кавернозностью и др. [4, 9–11]. Это приводит к необходимости разработ-
ки методов математического моделирования динамики локально-неравновесных
геофильтрационных процессов, процессов диффузии растворимых веществ и меж-
фазного теплообмена в геопористой среде. Отметим также, что различным аспек-
там разработки методов математического моделирования локально-неравновес-
ных процессов переноса в насыщенных геопористых средах посвящено большое
количество работ, например, [2, 4–6, 9–13]. В частности, в [13] построена матема-
тическая модель для исследования динамики процесса фильтрации солевых рас-
творов в геопористой среде в условиях сильной временнóй нелокальности (учет
влияния свойств памяти среды). Ниже эта модель обобщается на случай времен-
нóй нелокальности, описываемой дробно-дифференциальными уравнениями пе-
ременного порядка.
1. Построение математической модели процесса
и постановка краевой задачи
Как показано в [13], математическая модель геофильтрации солевых раство-
ров с учетом осмотических явлений в условиях сильной временнóй нелокальности
базируется на системе уравнений дробного порядка вида
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 3 67
,),(
2
2
2
2
)(
x
C
x
p
txpDt
(1)
,),(
2
2
)(
x
C
x
C
x
pk
x
C
dtxCDt
(2)
где p — давление, C — концентрация солей в жидкой фазе, k — коэффициент
фильтрации геопористой среды, d — коэффициент диффузии, — вязкость жид-
кости, — коэффициент осмоса [7], — пористость среды, ,)( 1*
1
k
,/ *
1
*
1 — коэффициент упругоемкости [3, 9],
)(
tD — оператор регуляри-
зованной дробной производной (по Капуто [14–16]) порядка ,const(
).10
Отметим, что в случае однородной геопористой среды предположение
const в соотношениях (1), (2) представляется достаточно оправданным. Одна-
ко в гетерогенном поровом пространстве, где неоднородность пространства явля-
ется причиной переменной проницаемости в различных его точках, представляет-
ся более оправданной модель, у которой порядок соответствующей производ-
ной является функцией геометрической, временнóй (или обеих сразу) перемен-
ных [17, 18]. Ниже при моделировании динамики локально-неравновесного во
времени процесса массопереноса солевых растворов в геопористых средах (в
частности, фрактальной структуры) положим ).1)(0()( xx Тогда система
уравнений модели принимает вид
,),(
2
2
2
2
))((
x
C
x
p
txpD
x
t
(3)
.),(
2
2
))((
x
C
x
C
x
pk
x
C
dtxCD
x
t
(4)
В рамках модели, базирующейся на системе уравнений (3), (4), моделирова-
ние динамики полей давлений и концентраций при геофильтрации солевых рас-
творов с учетом временнóй нелокальности геофильтрационного процесса, напри-
мер, в случае массива конечной мощности l с проницаемыми границами сводится
к решению в области ),0(),0( l системы уравнений (3), (4) с краевыми усло-
виями:
,0),0( tp ,0),( tlp ,)0,( 0pxp (5)
,),0( 0CtC ,0
),(
x
tlC
,0)0,( xC (6)
где 0p — начальное давление в геопористой среде, 0C — заданное значение
концентрации солей на входе фильтрационного потока.
2. Методика получения приближенного решения
краевой задачи и вычислительный алгоритм
Ниже кратко излагается конечно-разностная методика построения прибли-
женного решения краевой задачи (3)–(6).
Введем в рассмотрение сеточную область ),1,0(:),{( miihxtx ijih
)},0( njjt j ,(h — шаги сетки по геометрической переменной и времени
68 ISSN 0572-2691
соответственно). На основе монотонной разностной схемы А.А. Самарского [19]
поставим в соответствие рассматриваемой задаче систему разностных уравнений,
записываемую в стандартных обозначениях [19, 20] в виде
,ˆˆˆ
, xxxxh
CppL
(7)
,)ˆ(ˆˆˆˆ 2
, 0
x
xxxxh
CCuCuCCL
(8)
где
,
R
d
,
2
1
d
uh
R ),(
2
1
uuu .0
x
p
k
u
При этом в соотношениях (7), (8) оператор
,h
L обозначает дискретный ана-
лог производной переменного порядка .
))(( x
tD
Аналогично [21] с учетом опреде-
ления производной по Капуто получаем
d
t
xu
txuD
s
s
i
i
t
t j
i
j
si
jit
1
)(
),(
)1(
1
),(
10
1
)(
1
)(
),(),(
)1(
1
10
1
s
s
i
t
t j
j
s
sisi
i t
dtxutxu
),,()(
)2(
1
1,
0
1),(
jih
j
s
s
i
s
i
ji
s
i
txuLuub
i
(9)
где ,)()1(
11),( ii sjsjb ji
s
)( — гамма-функция.
Отметим, что в классе достаточно гладких функций справедливо соотноше-
ние ),(
,
)(
OuLuD
ht
i а также, что порядок аппроксимации рассматриваемой
разностной схемы ).( 2 hO
Расписывая в соотношениях (7), (8) соответствующие разностные операторы
и приводя подобные члены, получаем следующие системы алгебраических урав-
нений:
11
1
11
1
~~~~
j
i
j
ii
j
ii
j
ii FpApSpA ),,0;,1( njmi (10)
11
1
11
1
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i FCBCSCA ),,0;,1( njmi (11)
где обозначено:
,
~
21
~
,
)2(~
2 ii
i
i AS
h
A
i
1
0
1),(1
)(
~
j
s
s
i
s
i
ji
s
j
i
j
i ppbpF
),2)(2(
1
1
11
12
j
i
j
i
j
ii CCC
h
i ,)(
1
j
i
j
ij
i u
hh
A
,)(
1
j
i
j
ij
i u
hh
B ,
)2(
j
i
j
i
i
j
i BAS
i
.)(
4
)(
)2(
21
1
1
12
1
0
1),(1
j
i
j
i
j
s
s
i
s
i
ji
s
j
i
i
j
i CC
h
CCbCF
i
(При 0j сумма в последнем соотношении считается равной нулю.)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 3 69
Система (11) нелинейная и для ее решения используем итерационный метод.
Соответствующий итерационный процесс строится следующим образом:
1
)(
1
1
)1(
1
)1(
1
1
)1(
j
i
s
j
i
s
j
i
j
i
s
j
i
j
i
s
j
i FCBCSCA ),,0;,1( njmi (12)
где s — номер итерации. В качестве начальной итерации берется значение функ-
ции C из предыдущего временнóго слоя. Критерий окончания итерационного
процесса имеет вид
,max
1
)(
1
)1(
),(
j
i
s
j
i
s
ji
CC
где 0 — заданная точность. Система уравнений (12) на каждой итерации
решается методом прогонки [19, 20]. Разностные уравнения системы (10), являясь
трехточечными, также эффективно решаются методом прогонки (соответствую-
щие прогоночные соотношения и прогоночные коэффициенты приведены в [13]).
При этом устойчивость метода прогонки для указанных систем обусловлена
диагональным преобладанием в матрицах коэффициентов этих систем алгебраи-
ческих уравнений.
С учетом изложенного вычислительный алгоритм для приближенного реше-
ния рассматриваемой задачи сформулируем следующим образом.
1. На данном временном слое вычисляем значение концентрации C в соот-
ветствии с (11), используя значение давления p из предыдущего временного слоя.
2. С учетом найденных на данном временном слое значений C, вычисляем
значения давления p на этом слое согласно (10). Этим решение задачи на рассмат-
риваемом временнóм слое завершается.
3. Переходим на следующий временной слой и повторяем вычисления, начи-
ная с шага 1.
3. Результаты численных экспериментов и выводы
Численное моделирование динамики полей фильтрационных давлений и по-
лей концентраций в геофильтрационном потоке в рамках рассматриваемой дроб-
но-дифференциальной модели переменного порядка, учитывающей временную
нелокальность геофильтрационного процесса, выполнено относительно перемен-
ных и параметров, определяемых соотношениями:
,
l
x
x ,
)(/1
2
t
l
t
x
,
0C
C
C ,
0p
p
p ,
d
d
,0
C
,0
kp
k
0
0
p
C
(знак «штрих» у соответствующих величин в дальнейшем опускается).
Некоторые из полученных результатов расчетов графически изображены на
рис. 1–4.
На рис. 1 показана динамика полей концентраций при переменном )(x
)1(32,0 xx )10( x (кривые 1–5) и фиксированном 6,0 (кривые 1'–5')
значениях показателя .
Динамика соответствующих фильтрационных давлений при переменном (кри-
вые 1–5) и постоянном (кривые 1'–5') значениях показана на рис. 2.
Графики на рис. 1, 2 соответствуют таким значениям временнóго параметра t:
1,1 — ;25,0t 2,2 — ;5,0t 3,3 — ;1t 4,4 — ;5,1t 5,5 — .5,2t
70 ISSN 0572-2691
На рис. 3 приведены сравнительные кривые динамики поля фильтрационных
давлений в случае модели, соответствующей закону Дарси (кривые 1'–5') и
дробно-дифференциальной модели переменного порядка, соответствующей зави-
симости )10()1(32,0)( xxxx (кривые 1–5).
Сопоставление картин полей давлений для случаев )1(32,0)( xxx (кри-
вые 1–5) и )10()1(395,0)( xxxx (кривые 1'–5') показано на рис. 4.
Графики на рис. 3, 4 соответствуют таким значениям параметра t : 1,1 —
;03,0t 2,2 — ;1,0t 3,3 — ;2,0t 4,4 — ;23,0t 5,5 — .4,0t
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
x
1
p
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,12
0,14
0,1
1
2
3
4 5
1
2
4
3
5
Рис. 2
0 0,1 0,2 0,3 0,3 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
x
1
p
0
1
2
3
4
5
1
2
4
3
5 0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
Рис. 4
Анализ результатов численных экспериментов позволяет сделать следующие
выводы об особенностях динамики полей фильтрационных давлений и концен-
траций при фильтрации солевых растворов в геопористой среде в условиях суще-
ственного влияния временной нелокальности процесса переноса.
1. Наблюдается немонотонный характер поведения фронта концентраций в
случае переменного (сначала замедленное развитие процесса, а затем — уско-
ренное) по сравнению со случаем фиксированного значения показателя дробно-
сти (см. рис. 1).
2. При общем подобии картин рассеивания напоров в поровой жидкости с те-
чением времени для переменного и постоянного порядков производной , может
иметь место существенное различие в абсолютных значениях величин этих напо-
ров (см. рис. 2).
3. Геометрическое подобие кривых имеет место также при сравнении графи-
ков давлений в рамках дробно-дифференциальной и основанной на законе филь-
трации Дарси [3, 7] моделей, причем наблюдается немонотонный характер дина-
мики процесса рассеивания полей давлений в том смысле, что в начале процесса
1
2 3
4
5
1
2
4
3
5
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
x
C
0,1
1
Рис. 1
0 0,1 0,2 0,3 0,3 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
x
1
p
0
1
2
3
4
5
1
2
4
3
5 0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
Рис. 3
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 3 71
имеем ускоренное, а затем замедленное рассеивание полей давлений в рамках
дробно-дифференциальной модели по сравнению с моделью, соответствующей
закону Дарси (см. рис. 3).
4. Варьированием )(x в некотором смысле можно управлять моделировани-
ем геомиграционного процесса. Например, изменение направления выпуклости
кривой )(x с выпуклости кверху (соответствующие графики давлений в фикси-
рованные моменты времени даются кривыми 1–5 на рис. 4) на выпуклость книзу
(графики давлений — кривые 1'–5' на том же рисунке) приводит к заметному из-
менению динамики процесса рассеивания полей давлений, причем в начальной
стадии указанный процесс протекает ускоренно, а затем (стабилизируясь) суще-
ственно замедляется (кривые 3'–5' на рис. 4). Это позволяет моделировать филь-
трационно-консолидационные явления в таких насыщенных солевыми раствора-
ми геопористых средах, для которых характерны короткие промежутки протека-
ния первичного уплотнения и наличие длительной стадии вторичной
консолидации.
Заключение
Для математического моделирования динамики процесса геомиграции соле-
вых растворов с учетом осмотических явлений в условиях сильной временнóй не-
локальности построена дробно-дифференциальная модель переменного порядка,
разработана методика численного моделирования динамики миграционного про-
цесса солевых растворов в геопористых массивах конечной мощности и приведе-
ны результаты численных экспериментов.
В.М. Булавацький, Ю.Г. Кривонос
ПРО ОДНУ ГЕОІНФОРМАЦІЙНУ
ДРОБОВО-ДИФЕРЕНЦІАЛЬНУ МОДЕЛЬ
ЗМІННОГО ПОРЯДКУ
Побудовано дробово-диференціальну математичну модель змінного порядку
для дослідження динаміки локально-нерівноважних у часі геоміграційних про-
цесів сольових розчинів. Відповідно до цієї моделі поставлено нелінійну кра-
йову задачу, розвинуто методику її чисельного розв’язання та наведено резуль-
тати чисельних експериментів.
V.M. Bulavatsky, Yu.G. Krivonos
ON ONE GEOINFORMATION
FRACTIONAL DIFFERENTIAL MODEL
OF THE VARIABLE ORDER
The fractional differential mathematical model of the variable order for research of
dynamics of local-nonequilibrium in time geomigration processes of salt solutions is
constructed. The nonlinear boundary-value problem, appropriate to this model is set,
the technique of its numerical solution is developed and the results of numerical ex-
periments are given.
1. Бомба А.Я., Барановський С.І., Присяжнюк І.М. Нелінійні сингулярно збурені задачі типу
«конвекція–дифузія». — Рівне : НУВГП, 2008. —252 с.
2. Бомба А.Я., Булавацький В.М., Скопецький В.В. Нелінійні математичні моделі процесів гео-
гідродинаміки. — Київ : Наук. думка, 2007. — 292 с.
72 ISSN 0572-2691
3. Ляшко И.И., Демченко Л.И., Мистецкий Г.Е. Численное решение задач тепло- и массопе-
реноса в пористых средах. — Киев : Наук. думка, 1991. — 264 с.
4. Булавацький В.М., Кривонос Ю.Г., Скопецький В.В. Некласичні математичні моделі проце-
сів тепло- та масопереносу. — Київ : Наук. думка, 2005. — 283 с.
5. Булавацкий В.М., Скопецкий В.В. Обобщенная математическая модель динамики консоли-
дационных процессов с релаксацией // Кибернетика и системный анализ. — 2008. —
№ 5. — С. 25–34.
6. Булавацкий В.М., Скопецкий В.В. Об одной неизотермической консолидационной матема-
тической модели геоинформатики // Международный научно-технический журнал «Про-
блемы управления и информатики». — 2010. — № 6. — С. 35–45.
7. Власюк А.П., Мартинюк П.М. Математичне моделювання консолідації грунтів в процесі
фільтрації сольових розчинів. — Рівне : Вид-во УДУВГП, 2004. — 211 с.
8. Власюк А.П., Мартинюк П.М. Математичне моделювання консолідації грунтів при фільт-
рації сольових розчинів в неізотермічних умовах. — Рівне : Вид-во НУВГП, 2008. — 416 с.
9. Молокович Ю.М., Непримеров Н.И., Пикуза В.И., Штанин А.В. Релаксационная фильтра-
ция. — Казань : Изд-во Казанск. ун-та, 1980. — 136 с.
10. Хасанов М.М., Булгакова Г.Т. Нелинейные и неравновесные эффекты в реологически слож-
ных средах. — Москва-Ижевск : Ин-т компьютерных исследований, 2003. — 288 с.
11. Соболев С.Л. Локально-неравновесные модели процессов переноса // Успехи физ. наук. —
1997. — 167, № 10. — С. 1095–1106.
12. Булавацкий В.М., Скопецкий В.В. Приближенное решение одной динамической задачи гео-
информатики // Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и
информатики». — 2010. — № 3. — С. 68–77.
13. Булавацкий В.М. Математическая модель геоинформатики для исследования динамики ло-
кально-неравновесных геофильтрационных процессов // Там же. — 2011. — № 6. —
С. 76–83.
14. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and applications of fractional differential equa-
tions. — Amsterdam: Elsevier, 2006. — 523 p.
15. Podlubny I. Fractional differential equations. — New York : Academ. Press, 1999. — 341 p.
16. Чикрий А.А., Матичин И.И. Представление решений линейных систем с дробными прои-
зводными Римана–Лиувилля, Капуто и Миллера–Росса // Проблемы управления и инфор-
матики. — 2008. — № 3. — С. 133–142.
17. Sun H.G., Chen W., Chen Y.Q. Variable-order fractional differential operators in anomalous dif-
fusion modeling // Physica A. — 2009. — 388. — P. 4586–4592.
18. Sun H.G., Chen W., Li C., Chen Y.Q. Fractional differential models for anomalous diffusion //
Ibid. — 2010. — 389. — P. 2719–2724.
19. Самарский А.А. Теория разностных схем. — М. : Наука, 1977. — 656 с.
20. Samarskii A.A., Vabishchevich P.N. Computational heat transfer. Vol. 2. — New York : Wiley,
1995. — 422 p.
21. Liu F., Zhuang P., Ahn V., Turner I. A fractional-order implicit difference approximation for the
space-time fractional diffusion equation // ANZIAM Journ. — 2006. — N 47. — P. 48–68.
Получено 23. 02. 2012
|