Преобразование двумерных стационарных уравнений магнитной гидродинамики в произвольной ортогональной системе координат в физические переменные. Струйные течения

Розглянуто двовимірні стаціонарні рівняння магнітної гідродинаміки в довільній ортогональній системі координат. За умови, що магнітне поле є ортогональним до поля швидкостей, отримано два інтеграли рівнянь магнітної гідродинаміки. З урахуванням цих інтегралів розглянуто течію «сонячний вітер», у які...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2012
Main Author:	Ладиков-Роев, Ю.П.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Series:	Проблемы управления и информатики
Subjects:	Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207519
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Преобразование двумерных стационарных уравнений магнитной гидродинамики в произвольной ортогональной системе координат в физические переменные. Струйные течения / Ю.П. Ладиков-Роев // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 4. — С. 100–109. — Бібліогр.: 5 назв. - рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-207519
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2075192025-10-09T00:02:55Z Преобразование двумерных стационарных уравнений магнитной гидродинамики в произвольной ортогональной системе координат в физические переменные. Струйные течения Перетворення двовимірних стаціонарних рівнянь магнітної гідродинаміки в довільній ортогональній системі координат у фізичні змінні. Струминні течії Transformation of Two-Dimensional Stationary Equation of Magnetohydrodynamics in Arbitrary Orthogonal Coordinate System into Physical Variables. Jet Streams Ладиков-Роев, Ю.П. Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами Розглянуто двовимірні стаціонарні рівняння магнітної гідродинаміки в довільній ортогональній системі координат. За умови, що магнітне поле є ортогональним до поля швидкостей, отримано два інтеграли рівнянь магнітної гідродинаміки. З урахуванням цих інтегралів розглянуто течію «сонячний вітер», у якій, на відміну від відомого розв’язку, враховано дипольне поле Сонця. Отримано також узагальнення рівнянь Греда–Шафранова та Брегга–Хоторна. Two-dimensional steady-state magnetohydrodynamic equations are considered in an arbitrary orthogonal coordinate system. New independent variables — the stream function and the magnetic flux function — are introduced, and their transformation is performed. The jet stream "solar wind" is analyzed with consideration of the Sun's dipole field. Generalizations of the Grad–Shafranov and Bragg–Hawthorne equations are obtained. 2012 Article Преобразование двумерных стационарных уравнений магнитной гидродинамики в произвольной ортогональной системе координат в физические переменные. Струйные течения / Ю.П. Ладиков-Роев // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 4. — С. 100–109. — Бібліогр.: 5 назв. - рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207519 530.1:517.9:62.50 10.1615/JAutomatInfScien.v44.i8.10 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами
spellingShingle	Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами Ладиков-Роев, Ю.П. Преобразование двумерных стационарных уравнений магнитной гидродинамики в произвольной ортогональной системе координат в физические переменные. Струйные течения Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто двовимірні стаціонарні рівняння магнітної гідродинаміки в довільній ортогональній системі координат. За умови, що магнітне поле є ортогональним до поля швидкостей, отримано два інтеграли рівнянь магнітної гідродинаміки. З урахуванням цих інтегралів розглянуто течію «сонячний вітер», у якій, на відміну від відомого розв’язку, враховано дипольне поле Сонця. Отримано також узагальнення рівнянь Греда–Шафранова та Брегга–Хоторна.
format	Article
author	Ладиков-Роев, Ю.П.
author_facet	Ладиков-Роев, Ю.П.
author_sort	Ладиков-Роев, Ю.П.
title	Преобразование двумерных стационарных уравнений магнитной гидродинамики в произвольной ортогональной системе координат в физические переменные. Струйные течения
title_short	Преобразование двумерных стационарных уравнений магнитной гидродинамики в произвольной ортогональной системе координат в физические переменные. Струйные течения
title_full	Преобразование двумерных стационарных уравнений магнитной гидродинамики в произвольной ортогональной системе координат в физические переменные. Струйные течения
title_fullStr	Преобразование двумерных стационарных уравнений магнитной гидродинамики в произвольной ортогональной системе координат в физические переменные. Струйные течения
title_full_unstemmed	Преобразование двумерных стационарных уравнений магнитной гидродинамики в произвольной ортогональной системе координат в физические переменные. Струйные течения
title_sort	преобразование двумерных стационарных уравнений магнитной гидродинамики в произвольной ортогональной системе координат в физические переменные. струйные течения
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207519
citation_txt	Преобразование двумерных стационарных уравнений магнитной гидродинамики в произвольной ортогональной системе координат в физические переменные. Струйные течения / Ю.П. Ладиков-Роев // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 4. — С. 100–109. — Бібліогр.: 5 назв. - рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT ladikovroevûp preobrazovaniedvumernyhstacionarnyhuravnenijmagnitnojgidrodinamikivproizvolʹnojortogonalʹnojsistemekoordinatvfizičeskieperemennyestrujnyetečeniâ AT ladikovroevûp peretvorennâdvovimírnihstacíonarnihrívnânʹmagnítnoígídrodinamíkivdovílʹníjortogonalʹníjsistemíkoordinatufízičnízmínnístruminnítečíí AT ladikovroevûp transformationoftwodimensionalstationaryequationofmagnetohydrodynamicsinarbitraryorthogonalcoordinatesystemintophysicalvariablesjetstreams
first_indexed	2025-10-09T01:09:53Z
last_indexed	2025-10-12T01:07:46Z
_version_	1845736260607410176
fulltext	© Ю.П. ЛАДИКОВ-РОЕВ, 2012 100 ISSN 0572-2691 УПРАВЛЕНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ УДК 530.1:517.9:62.50 Ю.П. Ладиков-Роев ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДВУМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ В ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОРТОГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ В ФИЗИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ. СТРУЙНЫЕ ТЕЧЕНИЯ Двумерные стационарные течения плазмы позволяют в произвольной ортого- нальной системе координат ),( 21 xx ввести функцию тока ),( 21 xx и магнитного потока ).,( 21 xx Для струйных течений граничные условия при равенстве полных давлений    8 2B p задаются на поверхностях const. Поэтому для решения за- дач с распространением струй идеальной плазмы удобно преобразовать уравнения магнитной гидродинамики (МГД) в новые независимые переменные: ),( 21 xx и ).,( 21 xx Рассмотрим произвольную ортогональную криволинейную систему ко- ординат ),( 21 xx с коэффициентами Ламе: ),,( 211 xxg ),,( 212 xxg ),,( 213 xxg в кото- рых определены векторы скорости: 321322121211 ),(),(),( exxVexxVexxVV   и век- торы магнитной индукции: ,),(),(),( 321322121211 exxBexxBexxBB   затем пре- образуем систему стационарных уравнений МГД идеальной плазмы к указанным выше переменным, имеющим физическую интерпретацию. Для двумерных ста- ционарных течений справедливы уравнения ,0div v  .0div B  В произвольной ортогональной системе координат эти уравнения имеют вид .0 )()(1 ,0 )()(1 2 312 1 321 321 2 312 1 321 321                       x ggB x ggB ggg x ggV x ggV ggg (1) Они позволяют ввести функции тока ),( 21 xx и магнитного потока ),( 21 xx с по- мощью равенств ; 1 221 1 xgg V    , 1 131 2 xgg V    , 1 232 1 xgg B    . 1 131 2 xgg B    (2) Напомним, что коэффициенты Ламе определяются с помощью элемента дли- ны дуги ds: .2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 dxgdxgdxgds  Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 4 101 В работе [1] уравнения МГД для плоского и осесимметричного случая и при отсутствии третьих компонент — ),( 213 xxV и ),( 213 xxB — преобразованы к пе- ременным  и . Здесь такую же операцию проведем для произвольной ортого- нальной системы координат при условии, что компоненты ),( 213 xxV и ),( 213 xxB отличны от нуля. Векторные уравнения стационарной МГД идеальной плазмы с учетом грави- тации Ggrad имеют следующий вид: ),rot( 4 1 gradgrad 2 grad)rot( 2 BBGp V VV     (3) ,0][rot BV  (4) ,0div v  .0div B  (5) Для упрощения введем обозначения: .rot,rot , 2 1 ,, 33 2 22112211 eJbeq V GpPeBeBbeVeVq               (6) Здесь ,1e  ,2e  3e  — базисные векторы. При этом . 11 rot , 11 rot 2 1 33 31 1 2 33 32 3 2 1 33 31 1 2 33 32 3 e x Bg gg e x Bg gg eJB e x Vg gg e x Vg gg eV               (7) Далее имеем   3 1 33 31 1 2 33 32 2 22112 1 33 31 1 2 33 32 33 3333333333 )( 11 rot ,rotrotrot]rotrot[rot e x Vg gg V x Vg gg V eVeVe x Vg gg e x Vg gg qeV eVeVqeVqqeVqeVqVV                               (8) или ).(grad 1 rot 33 3 33 Vgq g qeV   (9) Аналогично: ),(grad 1 rot 33 3 33 Bgb g beB   (10) ,grad)(rot 33 3 3 3333 Vg g V eVeV   (11) ,gradrot 33 3 3 3333 Bg g B eBeB   (12) ],[rot 1221 eVeVqq   ,][rot 1221 eBeBJbb   (13) .][rot][rot)(rotrot 3333 beVeBqbqBV   (14) 102 ISSN 0572-2691 В результате получим ,]grad[ 1 )(grad][rot 333 3 33 3 3 1221 eVgq g Vg g V eVeVVV   (15) ,]grad[ 1 )(grad][rot 333 3 33 3 3 1221 eBgb g Bg g B eBeBJBB   (16) .grad 1 1 ][rot][rot 3 3 3 3 2 3 3 312 1 3 3 321 3 21 3 2 132 1 231 21 23113233 e g B qg x g B ggV x g B ggV e gg e x gBV x gBV gg eBVeBVeBq                                                                         (17) Аналогично: ,grad][rot 3 3 3 333 e g V bgbeV           (18) , ][][ ][rot 2 1 3 1 2 3 e x bqg e x bqg bq           (19) .)( 31221 eBVBVbq   (20) Из уравнения (4) следует ,0gradgrad ][][ 3 3 3 3 3 3 1 3 2 3                                 g V bg g B qg x bqg x bqg   (21) откуда получим 3 1221 g a BVBV  .0gradgrad 3 3 3 3                   g B q g V b  (22) Здесь const.a Выражая ,1V 2V функцией тока ),,( 21 xx из (22) получим .321 211221 ggga xx D xxxx                  (23) Здесь и далее D обозначает якобиан. Уравнение МГД (3) в проекциях на оси криволинейных координат ,1x ,2x 3x вследствие (13), (14) приобретают следующий вид:  33 3 3 1221 grad][ Vg g V eVeV  ,grad)( 4 1 grad 33 3 3 1221          Bg g B eBeBJP  (24) .0grad 4 grad 33333            eBg b Vgq    (25) Уравнение (24) имеет только две проекции на 1e и .2e Спроектируем теперь уравнение (24) на уравнение тока и магнитно-силовой линии, для этого умножим Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 4 103 скалярно уравнение (24) соответственно на 332211 eVeVeVV   и  11eBB  .3322 eBeB   В результате получим                 2 33 2 2 1 33 1 1 3 3 2112 11 )( 4 1 grad x Bg g V x Bg g V g B JBVBVPq ,0 11 2 33 2 2 1 33 1 1 3 3               x Bg g B x Bg g B g V (26)             2 33 2 21 33 1 1 3 3 2112 1 )( x Vg B gx Vg g B g V BVBV .grad 11 2 33 2 2 1 33 1 1 3 3 PB x Vg g V x Vg g V g B              (27) Для адиабатических процессов имеем , Cp Cv Cp  . 21 2 G Vp P     (28) Воспользовавшись свойствами якобианов, получим , 10 321 2 21 2 21 2 21 1 ggga x xx D x D xx x Dxx x                                 (29) . 01 321 1 21 1 21 1 21 2 ggga x xx D x D xx x Dxx x                                 (30) Аналогично имеем , 10 321 2 21 2 21 1 ggga x xx D x Dxx x                          (31) . 01 321 1 21 1 21 2 ggga x xx D x Dxx x                          (32) Сравнивая (29), (30) с (2), находим ,1 11    x agV ,2 22    x agV ,1 11    x gaB .2 22    x gaB (33) С помощью (33) для произвольной функции ),( 21 xxf легко получить ,grad    f afq  ,grad    f afb  (34) а также ввиду 0 3    x имеем ,grad    f afV  .grad    f afB  С помощью равенств (33) можно определить qrot и :rotbJ  , 2 3                         qbq g  .)( 2 3                bq b gJ  (35) 104 ISSN 0572-2691 Учитывая (25)–(27), (35), получим систему уравнений, в которой независи- мыми переменными являются функции  и : ,0 44 1 421 33 3 333 3 3 22                                    bqgV g VgB g BbV G p                 2 )( 1 2 2 2 1 2 3 VVV G p (36) ,0)( 4 1 33 3 3 33 3 3                      bqgV g V gB g B  (37) .0 3 3 3 3                     g B g V (38) Сравнивая полученные уравнения с уравнениями из работы [1] при ,033 VB видим, что они, как и следовало ожидать, ничем не отличаются. Любое стационарное двумерное течение идеальной плазмы подчиняется урав- нениям (31)–(38). Их удобно использовать, когда граничные условия задаются на линиях тока const (как в струйных течениях или на границах магнитных по- верхностей ).const Легко видеть, что когда вектор скорости и вектор магнитной индукции орто- гональны и ,033 VB уравнения (36) и (37) имеют два интеграла: ),( 421 1 22      bq Gp  (39) ).( 21 2 2    q Gp  (40) Первый интеграл аналогичен интегралу Бернулли в обычной гидродинамике; что касается второго интеграла, то в обычной гидродинамике ему нет аналога. В случае, когда ,0rot B  т.е. ток отсутствует, из (35) при 033 VB следует .)( 2              B BV  (41) Подставляя (41) в (39), получаем интеграл Бернулли в обычной гидродинамике: ).( 21 1 2    V Gp  (42) Для безвихревого движения 0rot V  имеем . 2                VBV  (43) Подставляя (42) в (43), получаем ).( 21 2 2    V Gp  (44) Таким образом, в случае безвихревого движения вдоль магнитных поверхно- стей также выполняется интеграл Бернулли. В частном случае, когда векторы q  и b  коллинеарны, ,0a из (23) следует ),( f .    f qb  Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 4 105 Тогда из (39) при 033 VB получим .const1 21 22                     d dfV G p  (45) Уравнение (45) представляет собой интеграл Бернулли для случая коллине- арности векторов скорости q  и магнитной индукции .b  При этом нужно иметь в виду, что размерность функции ),( 21 xx отличается от размерности ),,( 21 xx ],[][  V поэтому величина 2         d df является безразмерной. Процессы с условием коллинеарности векторов q  и b  рассматривались в многочисленных работах, в частности в [2]. Рассмотрим теперь процессы, при которых все переменные зависят только от одной функции: ),,( 21 xx при этом ,021 VV ),,( 2133 xxVV  1B ),(),( 1211  BxxB ),(),( 22122  BxxBB )(),( 32133  BxxBB и т.д. Уравнения МГД (24), (25) в этом случае запишем .0)(grad)(grad)( 4 1 grad 33 3 3 33 3 3 2112    Vg g V gB g B eBeBP  (46) Уравнение (43) можно преобразовать, учитывая, что для произвольных функ- ций )(F ).( 11 grad 122132 22 1 11 eBeB F ge x F g e x F g F            (47) Кроме того,               2211 1221 11 )(grad x F gx F g eBeBFb  .0)()( 221131221     eBeBg F eBeB  (48) Подставляя (47) в (46), получаем . 4 1 4 1 241 3 3 33 3 3 33 3 2 3 2 3                                        g V gV g B gBJ g VBp (49) Для интегрирования уравнения (49) необходимо задать , 4 1 3 J g  4 33gB , 3 3            g B           3 3 33 g V gV в виде функций от . Вследствие теоремы Гельмгольца [3] о том, что вихри и аналогично токи не могут самовозбуждаться в идеальной жидкости, в стационарном случае они долж- ны задаваться «a priori». В простейшем случае ),( 213 xxB и ),( 213 xxV можно задать как ,313 gCB  .323 gCV  Что касается тока ,J то его в простейших случаях можно задать в ви- де 33CgJ  или  43CgJ подобно тому, как поступают при анализе вихре- вых процессов в гидродинамике, а также при расчете магнитного поля в «токама- ке». Уравнение (49) при 033  BV названо уравнением Грэда–Шафранова. Аналогичное уравнение можно получить также тогда, когда 021  BB и все характеристики зависят только от функции ).,( 21 xx 106 ISSN 0572-2691 В этом случае                     2 22 1 11 2 22 1 11 1111 grad e xg e xg F e x F g e x F g F  ).( 12213 eVeV F g      (50) Уравнения (24) запишем так: . 4421 3 3 33 3 3 33 3 2 3 2 3 2 2 2 1                                         g B gB g V gV g BVVVp (51) Это уравнение при 033  BV названо уравнением Брэгга–Хоторна. В качестве примера рассмотрим математическую модель струйного радиаль- ного течения идеальной плазмы в ортогональном магнитном поле с учетом сил гравитационного притяжения. В данном случае предполагается, что в сферической системе координат .0 rB (52) При этом уравнение индукции (24) упрощается: . sin   R a Br (53) Условие сохранения массы запишем в виде , 2 000 2 RVRV rr  (54) условие сохранения магнитного потока — ,0 sin    RB (55) откуда .sin)(sin 0 RB (56) Подставляя (54), (56) в (53), получим . sinsin sin)( 0 0 2 2 000      R aR R RVr (57) Из последнего равенства находим )(R и :),(  RB , sin )( 2 0    RV aR R ro (58) . sin2 00    RV aR B ro (59) Введем :),( 000   RBB . sin00 0    RV a B ro (60) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 4 107 С помощью (60) определим постоянную а: .sin 0000   RVBa r (61) Подставляя (61) в (59), получаем . sin sin 0 00 0       R R BB (62) Таким образом, все основные характеристики течения определяются через одну функцию. Этой функцией может быть плотность  или радиальная скорость ,r ко- торые связаны (54). Кроме того, из условия 0 и 0div   следует, что .0sin0     r R Значит, функция тока может зависеть от : ).( Рассматриваемая здесь струя заключена в секторе ),,( 0  на границах струи функция  является константой, поэтому граничные условия соответствуют условиям равенства полного давления при 0 и . Определить функции )(R и )(Rr можно с помощью интеграла (39). Из инте- грала (40), определив ),(R находим функцию ).(2  Из интеграла (39) получаем . 421421 0 2 0 0 2 0 2 0 221 0 2 0                      B R GcB R Gc SS (63) Выражая плотность через скорость ,r с помощью (54) можно определить производную : dR dV . 2 2 02 )1(2 0 1 02 0 2 )1(2 0 1 02 0                                                   V V c R R V V cV R G R R V V c R V dR dV AS S (64) Здесь Ac обозначает скорость волн Альфвена при 0RR  и произвольном значе- нии : , sin sin 4 2 0 2 0 2 02     B cA . 2 0 0   Из (47) видно, что скорость струи возрастает при условии, что квадрат скоро- сти отрыва плазмы R G вследствие архимедовой силы меньше скорости звука, а квадрат начальной скорости течения превышает квадрат скорости быстрой маг- нитозвуковой волны ).( 22 AS cc  Возвращаясь к интегралу (63), в котором скорость выражена плотностью в соответствии с (54), и переходя к безразмерным величинам с помощью равенств ,0xRR  ,0Wrr  ,0 , sin sin 0   S ,00 crS WC  ,0 ArA WC  ,2 0 0 2 gr W R G  для анализа получим уравнение .0)( 1 1 2 1 )( 1 222222 4 21 2          SxW x W x W Ag C 108 ISSN 0572-2691 При условии 0AW это уравнение было проинтегрировано Паркером [4] в его математической модели солнечного ветра и получено решение, при котором ско- рость ветра возрастает с увеличением радиуса, а плотность уменьшается, т.е. струя расширяется. Из (64) видно, что поведение струи существенно зависит от параметра . Рассмотрим частный случай .2 В результате получим кубическое уравнение .0 2 1 2 11 1)( 4 222232222              x W x WWsxWW AgCAC Полагая ; 2 11 1 2222 222 sxWW W x WW A AC AgC          , ][2 1 22224 sxWWx C AC   получим уравнение .023  CA При условии, что коэффициент B кубического уравнения  23 A 0 CB равен нулю, имеем асимптотическое решение [5]: ,1 A C  ,2 A C  .3 A Первый корень не имеет физического смысла, так как соответствует отрица- тельной плотности, а второй и третий — положительной плотности. Из выражения для корня 2 имеем . 2 11 12 21 2224 2                     AgC W x WWx Заметим, что плотность с ростом радиуса 1x убывает, а радиальная скорость возрастает. Третий корень, , 2 11 1 222 3        AgC W x WW соответствует возрас- тающей плотности и убывающей скорости. Из наблюдений солнечного ветра из- вестно, что скорость ветра возрастает, переходя через скорость звука, а плотность убывает, т.е. струя расширяется. Это имеет место и в рассматриваемом случае. В соответствии с (69) скорость возрастает, переходя через величину быстрой маг- нитозвуковой скорости (64). Следует также заметить, что на границах плазменной струи 0 и 1 по формуле (59) изменяется магнитное поле .B  Поэтому полное давление   8 2B p  будет иметь разное значение. Ближе к экватору при 0 магнитное давление меньше. Поскольку полное давление непрерывно на границе струи, то гидродинамическое давление должно возрасти, т.е. увеличится начальная плотность 0 или уменьшится начальная скорость. В связи с этим ре- альная плотность ближе к экватору должна уменьшиться, а скорость увеличиться. Начальная скорость также может изменяться за счет изменения плотности, вы- званного центробежной силой. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 4 109 Ю.П. Ладіков-Роєв ПЕРЕТВОРЕННЯ ДВОВИМІРНИХ СТАЦІОНАРНИХ РІВНЯНЬ МАГНІТНОЇ ГІДРОДИНАМІКИ В ДОВІЛЬНІЙ ОРТОГОНАЛЬНІЙ СИСТЕМІ КООРДИНАТ У ФІЗИЧНІ ЗМІННІ. СТРУМИННІ ТЕЧІЇ. Розглянуто двовимірні стаціонарні рівняння магнітної гідродинаміки в довіль- ній ортогональній системі координат ).,,( 321 xxx Виходячи з справедливості рівнянь ,0div v  ,0div B  введено функції струменя ),( 21 xx та магніт- ного потоку ),,( 21 xx які приймаються як нові незалежні змінні, і здійснюєть- ся перетворення ),,(11  xx ).,(22  xx За умови, що магнітне поле є ортогональним до поля швидкостей, отримано два інтеграли рівнянь магнітної гідродинаміки. З урахуванням цих інтегралів розглянуто течію «сонячний ві- тер», у якій, на відміну від відомого розв’язку, враховано дипольне поле Сонця. Отримано також узагальнення рівнянь Греда–Шафранова та Брегга–Хоторна. Yu. P. Ladikov-Roev TRANSFORMATION OF TWO-DIMENSIONAL STATIONARY EQUATION OF MAGNETOHYDRODYNAMICS IN ARBITRARY ORTOGONAL COORDINATE SYSTEM INTO PHYSICAL VARIABLES. JET STREAMS Two-dimensional steady-state magnetohydrodynamic equations are considered in an arbitrary orthogonal coordinate system ).,,( 321 xxx Due to equations ,0div v  ,0div B  the stream function ),( 21 xx and the magnetic flux function ),( 21 xx are introduced, which are taken as new independent variables, and the transformation ),,(11  xx ),(22  xx is performed. On the assumption that the magnetic field is orthogonal to the velocity field, two integrals of the magneto- hydrodynamic equations are obtained. With these two integrals taken into account, the jet stream “Sun wind” is considered, in which, in contrast to the well-known solu- tion, the dipole field of the Sun is allowed for. In addition, generalizations of the Grad–Shafranov equation and the Bragg–Hawthorne equation are obtained. 1. Ладиков-Роев Ю.П. Свойства плоских и осесимметричных стационарных течений в магнитной гидродинамике // Прикладная математика и механика. — 1962. — 24. — С. 1087–1091. 2. Ладиков-Роев Ю.П., Черемных О.К. Математические модели сплошных сред. — Киев : Наук. думка, 2010. — 550 с. 3. Ламб Г. Гидродинамика — М. : ОГИЗ Гостехиздат, 1947. — С. 253–259. 4. Parker E.N. Dynamics of the interplanetary gas and magnetic fields // Astrophys. J. — 1958. — 128. — P. 664–675. 5. Янке Е., Эмде Ф. Таблицы функций. — М. : Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1959. — 38 с. Получено 16.02.2012

Institution

Similar Items