Самопересечение фазовых траекторий как мера размерности вложения хаотических аттракторов. Часть 1

Метою даного дослідження є перевірка гіпотези про можливість використання самоперетину фазових траєкторій для визначення розмірності вкладення хаотичних атракторів. Розроблено алгоритм пошуку можливих самоперетинів інтегральних кривих. Проблема відсутності інформації про поведінку траєкторії між точ...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2012
Автори:	Городецкий, В.Г., Осадчук, Н.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Назва видання:	Проблемы управления и информатики
Теми:	Проблемы динамики управляемых систем
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207525
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Самопересечение фазовых траекторий как мера размерности вложения хаотических аттракторов. Часть 1 / В.Г. Городецкий, Н.П. Осадчук // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 5. — С. 15–26. — Бібліогр.: 32 назви. - рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-207525
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2075252025-10-12T00:22:07Z Самопересечение фазовых траекторий как мера размерности вложения хаотических аттракторов. Часть 1 Самоперетин фазових траєкторій як міра розмірності вкладення хаотичних атракторів. Частина 1 Self-Intersection of Phase Trajectories as a Measure for Embedding Dimension of Chaotic Attractors. Part I Городецкий, В.Г. Осадчук, Н.П. Проблемы динамики управляемых систем Метою даного дослідження є перевірка гіпотези про можливість використання самоперетину фазових траєкторій для визначення розмірності вкладення хаотичних атракторів. Розроблено алгоритм пошуку можливих самоперетинів інтегральних кривих. Проблема відсутності інформації про поведінку траєкторії між точками, отриманими в просторі на основі спостережуваного часового ряду, вирішується шляхом заміни інтегральної кривої на ламану. The purpose of this paper is to check the possibility to use self-intersections of phase trajectories for determining the embedding dimension for chaotic attractors. We developed an algorithm to search possible self-intersections of the integral curves. The problem of the lack of information about the behavior of the trajectory, in the space, between the data points obtained from the time series is solved with replacing the curve by a polygonal line. 2012 Article Самопересечение фазовых траекторий как мера размерности вложения хаотических аттракторов. Часть 1 / В.Г. Городецкий, Н.П. Осадчук // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 5. — С. 15–26. — Бібліогр.: 32 назви. - рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207525 517.9; 523.2 10.1615/JAutomatInfScien.v44.i9.20 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем
spellingShingle	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Городецкий, В.Г. Осадчук, Н.П. Самопересечение фазовых траекторий как мера размерности вложения хаотических аттракторов. Часть 1 Проблемы управления и информатики
description	Метою даного дослідження є перевірка гіпотези про можливість використання самоперетину фазових траєкторій для визначення розмірності вкладення хаотичних атракторів. Розроблено алгоритм пошуку можливих самоперетинів інтегральних кривих. Проблема відсутності інформації про поведінку траєкторії між точками, отриманими в просторі на основі спостережуваного часового ряду, вирішується шляхом заміни інтегральної кривої на ламану.
format	Article
author	Городецкий, В.Г. Осадчук, Н.П.
author_facet	Городецкий, В.Г. Осадчук, Н.П.
author_sort	Городецкий, В.Г.
title	Самопересечение фазовых траекторий как мера размерности вложения хаотических аттракторов. Часть 1
title_short	Самопересечение фазовых траекторий как мера размерности вложения хаотических аттракторов. Часть 1
title_full	Самопересечение фазовых траекторий как мера размерности вложения хаотических аттракторов. Часть 1
title_fullStr	Самопересечение фазовых траекторий как мера размерности вложения хаотических аттракторов. Часть 1
title_full_unstemmed	Самопересечение фазовых траекторий как мера размерности вложения хаотических аттракторов. Часть 1
title_sort	самопересечение фазовых траекторий как мера размерности вложения хаотических аттракторов. часть 1
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Проблемы динамики управляемых систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207525
citation_txt	Самопересечение фазовых траекторий как мера размерности вложения хаотических аттракторов. Часть 1 / В.Г. Городецкий, Н.П. Осадчук // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 5. — С. 15–26. — Бібліогр.: 32 назви. - рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT gorodeckijvg samoperesečeniefazovyhtraektorijkakmerarazmernostivloženiâhaotičeskihattraktorovčastʹ1 AT osadčuknp samoperesečeniefazovyhtraektorijkakmerarazmernostivloženiâhaotičeskihattraktorovčastʹ1 AT gorodeckijvg samoperetinfazovihtraêktoríjâkmírarozmírnostívkladennâhaotičnihatraktorívčastina1 AT osadčuknp samoperetinfazovihtraêktoríjâkmírarozmírnostívkladennâhaotičnihatraktorívčastina1 AT gorodeckijvg selfintersectionofphasetrajectoriesasameasureforembeddingdimensionofchaoticattractorsparti AT osadčuknp selfintersectionofphasetrajectoriesasameasureforembeddingdimensionofchaoticattractorsparti
first_indexed	2025-10-12T01:08:11Z
last_indexed	2025-10-13T01:08:33Z
_version_	1845826906246610944
fulltext	© В.Г. ГОРОДЕЦКИЙ, Н.П. ОСАДЧУК, 2012 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 5 15 УДК 517.9; 523.2 В.Г. Городецкий, Н.П. Осадчук САМОПЕРЕСЕЧЕНИЕ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ КАК МЕРА РАЗМЕРНОСТИ ВЛОЖЕНИЯ ХАОТИЧЕСКИХ АТТРАКТОРОВ. Часть 1 Введение Определение размерности вложения — одна из задач, которые решаются при исследовании различных систем, в том числе систем с хаотической динамикой. Ча- ще всего эта задача рассматривается при известной одной из переменных некоторой динамической системы, так называемой «наблюдаемой переменной». В [1, 2] пред- ложен метод, позволяющий заменить неизвестную динамическую систему дру- гой, с аналогичными свойствами, в частности, с такой же размерностью вложе- ния .Ed При этом переменные новой системы )(txi получаются последователь- ным сдвигом во времени наблюдаемой переменной )(ty на величину, кратную некоторому , т.е. для системы, имеющей m переменных: ).)1(()(),...,2()(),()(),()( 321  mtytxtytxtytxtytx m (1) Существует ряд методов, позволяющих оценить величину размерности вло- жения на основе анализа системы (1). Широкое применение нашли алгоритмы на основе метода ложных ближайших соседей (false nearest neighbors — FNN) [3–5]. К недостаткам этого метода можно отнести, например, отсутствие точного крите- рия различия близких и удаленных точек. Полученные в последнее время усо- вершенствования данного алгоритма [6–8] не устраняют упомянутую проблему. В работе [9] для повышения точности анализа рядов с шумом предложено использовать две оценки близости точек: для основной составляющей сигнала и для шума. Но, к сожалению, авторы не дают рекомендаций по выбору этих вели- чин. T. Aittokallio и др. [10] предлагают графический подход с использованием статистических распределений, что, по мнению авторов, должно облегчить рас- пределение соседей на ложные и истинные. В обзоре [11] проанализированы методы Gao и Zheng [12], Liebert и др. [13] и метод характеристической длины. Первый из них предполагает, что если точки с номерами i и j являются реальными соседями, то точки с номерами i  k и j  k также останутся соседями при небольших k. Если же i- и j-я точки — ложные со- седи (т.е. размерность пространства )Edd  , то точки с номерами i  k и j  k должны удалиться одна от другой. В методе [13] при размерности d рассматрива- ется некоторая точка и k ее ближайших соседей, которые выстраиваются в поряд- ке близости к ней. Эта же процедура повторяется при размерности .1d Если по- следовательность соседей не изменяется, то значит, ,Edd  а если нарушается, то .Edd  В основе метода характеристической длины лежит использование ве- личины времени разделения — времени, за которое соседние точки удаляются на некоторое расстояние. Естественно, что если эти точки — ложные соседи, то уда- ление произойдет быстрее, чем для реальных соседей. В [14] предлагается повы- сить точность метода FNN путем объединения отдельных точек в полосы (strands) и оценивать близость между ними, а не между отдельными точками. Этот метод, как и [11–13], требует субъективного задания некоторых расчетных параметров. Хорошие практические результаты дает метод усредненных ложных соседей (averaged false neighbors — AFN) [15–17]. Если в методе FNN численный крите- 16 ISSN 0572-2691 рий разделения точек на близкие и удаленные выбирается субъективно, то в ме- тоде AFN его величина рассчитывается как среднее значение по всем точкам ат- трактора. Субъективность остается при определении точки насыщения результи- рующей характеристики и при выборе величины временной задержки, которая может повлиять на результат. При определении размерности вложения с помощью корреляционного инте- грала [18, 19] также отсутствует однозначность при вычислении величины .Ed Более новые модификации этого метода [20, 21], несомненно, повышают его точ- ность, но проблема субъективности в оценке результатов по-прежнему остается. В работе [22] используется локальная полиномиальная аппроксимация экспе- риментального временного ряда для предсказания его поведения. При этом сте- пень аппроксимирующего полинома связана с числом независимых переменных. С увеличением числа переменных ошибка аппроксимации падает, причем суще- ственное снижение ошибки наблюдается при .Edd  Метод аппроксимации применяется также в работах [23–27]. Такой подход предполагает использование некоторой итерационной вычислительной процедуры для нахождения коэффици- ентов полиномов регрессии, что может привести к большим временным затратам и погрешностям. В методе [28] используется универсальная локальная модель. Для определе- ния параметров реконструкции применяется минимизация ошибки одношагового предсказания. Хотя, как отмечают авторы, «предсказание на небольшом проме- жутке времени — не лучший критерий выбора модели нелинейной динамической системы», например, если нас интересует глобальная динамика модели в виде си- стемы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Все описанные методы имеют сильные и слабые стороны и не всегда дают результаты, соответствующие действительности. Поэтому задача определения размерности вложения остается актуальной. При этом можно идти по пути со- вершенствования известных методов либо предлагать новые подходы. Задача данного исследования — оценить возможность использования самопересечения фазовых траекторий для определения .Ed На этой идее основан метод интеграль- ной локальной деформации (integral local deformation — ILD), предложенный в [29]. 1. Основная идея метода Если в результате эксперимента (в том числе и численного) получен дис- кретный точечный ряд, то строго говорить о наличии или отсутствии самопересе- чений интегральной кривой, полученной на основе этого ряда, невозможно, если поведение кривой в промежутках между точками неизвестно. Метод ILD предпо- лагает, что расстояния между близкими точками на соседних участках интеграль- ной кривой за небольшие промежутки времени меняются незначительно. Если же участки траектории пересекаются, а не проходят параллельно один другому, то со временем эти расстояния будут явно увеличиваться. При обнаружении возможно- го самопересечения траектории можно утверждать, что мы имеем дело лишь с ее проекцией, так как самопересечение самой траектории невозможно. Следователь- но, размерность пространства нужно увеличивать. Поиск возможных самопересечений траектории можно упростить. Пусть ),...,,...,( 1 mkkk yyyYy  (2) — автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений с гладкими правыми частями ).,...,1( mk  Очевидно, что самопересечение интегральных кривых такой системы невозможно, а ее решения )(tyk являются гладкими функ- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 5 17 циями. Примеры таких систем — системы Лоренца, Ресслера и другие известные системы с хаотической динамикой. Допустим, наблюдаемой является переменная 1y системы (2), а недостающие переменные получим аналогично (1): ...),2()(),()(),()( 131211  tytxtytxtytx (3) Так как наблюдаемая переменная должна быть представлена точечным вре- менным рядом, заменим функцию времени )()( 11 tytx  на дискретный ряд ),(1 ix где временной промежуток между двумя соседними точками (с номерами i и )1i равен шагу дискретизации .t Обозначим интегральную кривую системы (3) через ),(tC а ее точки, соот- ветствующие моментам времени i и 1i через )(iC и )1( iC соответственно. Предлагается заменить кривую )(tC ломаной ),()( tLiL  в которой соседние точ- ки соединяются отрезками прямых, и анализировать возможность самопересече- ния в пространстве этой ломаной вместо интегральной кривой. Поэтому рассмат- риваемый метод будем называть методом ломаных (МЛ). Условия, при выполне- нии которых решение поставленной задачи с помощью МЛ будет корректным, рассмотрим ниже. 2. Требования к шагу дискретизации Пусть )(tC — интегральная кривая системы (3), а ее проекция на координат- ную плоскость 21Oxx (рис. 1, а) имеет вид ).(tc Заменим гладкую функцию )(1 tx на дискретный ряд )(1 ix с некоторым шагом дискретизации .t Применим опи- санную выше процедуру замены кривой )(tC на ломаную ).()( tLiL  В результа- те кривая )(tc (рис 1, а) превратится в ломаную )(1 il (рис. 1, б). Как видно из ри- сунка, эта ломаная не имеет самопересечений. При увеличении шага t вдвое дискретное представление проекции инте- гральной кривой (рис. 1, в) будет иметь половину точек по сравнению с рис. 1, б. Как видно, в этом случае при замене )(tc на )(2 il появляются пересечения, что при расчете методом ломаных может привести к увеличению размерности .Ed Рассмотрим случай, при котором проекция интегральной кривой имеет вид, показанный на рис. 2, а. При выбранном шаге ,t как видно из рис. 2, б, имеют место самопересечения как кривой ),(tc так и ломаной ).(1 il При увеличении ша- га вдвое (рис. 2, в) самопересечение пропадает, что может привести к снижению Ed при расчете. Анализ рис. 1 и 2 показывает, что существует некоторое достаточно малое значение шага t такое, что при tt  факт пересечения отрезков кривой )(tc может быть однозначно определен по факту пересечения отрезков ломаной ).(il При переходе от анализа поведения проекций на плоскости к выявлению возможного самопересечения кривой )(tC в пространстве следует отметить, что необходимым условием такого самопересечения является наличие самопересече- ния всех ее проекций на координатные плоскости в один и тот же момент време- ни, а при использовании МЛ самопересечения на всех координатных плоскостях должны находится в пределах одного и того же временного интервала .t x1 x2 c(t) x1 x2 l1(i) x1 x2 l2(i) 18 ISSN 0572-2691 а б в Рис. 1 x1 x2 c(t) x1 x2 l1(i) x1 x2 l2(i) а б в Рис. 2 Для того чтобы оценить влияние величины t на возможность выявления самопересечения интегральной кривой в пространстве с помощью МЛ, рассмот- рим рис. 3, а. Пусть при шаге t точки, соответствующие моментам времени ,i ,2,1,,2,1  jjjii располагаются на фрагментах проекций кривой ),(tC как показано на рисунке. При замене отрезков кривых на отрезки прямых (пунктир) находим точки пересечения проекций 12M и .13M Как видно из рисунка, эти точки принадлежат разным временным промежуткам: точка 12M — интервалу )2,1(  ii или ),2,1(  jj а точка 13M — интервалу )1,( ii или ),1,( jj т.е. при использовании МЛ в трехмерном пространстве самопересечение зафиксиро- вано в этом случае не будет. Если взять величину шага t2 , то при замене отрезков кривой на отрезки пря- мой (пунктирные линии, рис. 3, б), обе проекции точки пересечения — 12P и 13P — будут принадлежать одному и тому же временному интервалу )2,( ii или ),2,( jj который равен .2 t Следовательно, анализ МЛ обнаружит возможное пересечение, что может привести к повышению расчетной размерности. x1 x2 M12 x1 x3 l(i) c(t) c12(i) c12( j) c12(i1) c12( j1) c13(i2) c12( j2) c12(i2) M13 c13(i) c13( j) c13( j1) c13(i1) c13( j2) а x1 x2 P12 x1 x3 c12( j) c12(i1) c12( j1) c13(i2) c12( j2) c12(i2) P13 c13(i) c13( j) c13( j1) c13(i1) c13( j2) l(i) c(t) c12(i) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 5 19 б Рис. 3 3. Основные соотношения Факт пересечения отрезков ломаной можно установить, используя уравнение прямой, проходящей через две точки. Пусть точка кривой )(ic имеет на плоско- сти 21Oxx координаты ),(1 ix ),(2 ix а точка )1( ic — координаты ),1(1 ix ).1(2 ix Уравнение прямой, проходящей через эти точки, будет иметь вид . )()1( )( )()1( )( 11 11 22 22 ixix ixx ixix ixx      (4) Аналогично для прямой, проходящей через точки j и ,1j получим . )()1( )( )()1( )( 11 11 22 22 jxjx jxx jxjx jxx      (5) Очевидно, что в точке пересечения значения 1x и 2x для обеих прямых должны быть одинаковы. Введем обозначения ),()1()( 111 ixixix  ),()1()( 111 jxjxjx  ),()1()( 222 ixixix  )()1()( 222 jxjxjx  и, учитывая их, составим систему из уравнений (4), (5). В результате получим                  . )( )( )( )( , )( )( )( )( 1 11 2 22 1 11 2 22 jx jxx jx jxx ix ixx ix ixx После преобразований эта система примет вид:      ),()()( ),()()( 2112 2112 jAxjxxjx iAxixxix (6) где ),()()()()( 2112 ixixixixiA  ).()()()()( 2112 jxjxjxjxjA  Решив си- стему уравнений (6) относительно 1x по методу Крамера, получим ,/11 x где , )()( )()( 12 12 jxjx ixix    . )()( )()( 1 1 1 jxjA ixiA    Так как точка пересечения двух отрезков прямых должна принадлежать обо- им отрезкам, то, очевидно, должны выполняться условия )1()( 111  ixxix (7) при увеличении координаты 1x со временем или )1()( 111  ixxix (7) при уменьшении 1x . Также для второго отрезка необходимо, чтобы )1()( 111  jxxjx (8) или .)1()( 111  jxxjx (8) 20 ISSN 0572-2691 Описанная процедура проводится для всех пар точек i и j временного ряда. Затем повторяется для другой пары координат, например ),,( 31 xx ),( 32 xx и т.д. При этом для обнаружения факта возможного пересечения необходимо, чтобы условия (7) или (7) и (8) или (8) выполнялись для всех пар координат при одних и тех же номерах i и j. Если хотя бы для одной пары i и j условия выполняются, то самопересечение при таком количестве координат возможно. Поэтому необходи- мо увеличивать размерность пространства, пока хотя бы для одной из пар коор- динат пересечения будут невозможны при любых i и j. Более детально алгоритм рассматривается в Приложении. Очевидно, что описанная процедура позволяет определить необходимые, но недостаточные условия самопересечения интегральной кривой. Выполнение нера- венств (7) или (7) и (8) или (8) означает, что на интервалах )1,( ii и )1,( jj возможны самопересечения проекций кривой )(tC на разные координатные плоскости, но это не означает, что эти самопересечения произойдут в один и тот же момент времени. Следовательно, самопересечения пространственной инте- гральной кривой в этом случае может и не быть. Из-за отсутствия информации о поведении кривой )(tC между известными соседними точками мы не можем вы- делить из всех возможных самопересечений те, которые реально существуют, и те, которые обусловлены погрешностью метода из-за замены )(tC на )(tL . По- следний вид возможных самопересечений можно назвать ложными самопересе- чениями по аналогии с методом ложных соседей. Также очевидно, что при выполнении требований к величине шага (разд. 2) наличие ложных пересечений может привести лишь к увеличению расчетного значения размерности вложения Ed по отношению к ее истинному значению. Таким образом, истинная величина размерности вложения не может превысить расчетную, полученную на основе МЛ, а последний позволяет определить верх- нюю границу ,Ed что важно с точки зрения практического применения, так как при оценке величины размерности вложения в данном случае отсутствует субъек- тивность. 4. Результаты анализа систем Приведенный алгоритм использован для анализа всех переменных системы Ресслера [30]:         ),( , ),( 133 212 321 cxxbx axxx xxx    (9) где a  0,15; b  0,2; c 10. Рассматривался режим установившихся хаотических ко- лебаний с 66 квазипериодами на временном интервале c.400t Первоначально временной ряд содержал 80001N точку, а величина начального шага дискрети- зации при этом составила .c105)1/( 3 0  Ntt Затем из исходного ряда ис- ключалась каждая вторая точка, т.е. шаг дискретизации увеличивался вдвое и т.д. до значения .8 0tt  Для каждого ряда определялась размерность вложения Ed методом ломаных. Временная задержка  выбиралась согласно рекомендациям [5, 29, 31]. Как известно, наиболее распространенные методы выбора величии- ны  — с использованием автокорреляционной функции и функции взаимной ин- формации — часто дают противоречивые результаты. Поэтому многие авторы ре- комендуют использовать для этого геометрический подход. В соответствии с ним для всех временных рядов в этой работе временная задержка выбиралась, исходя Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 5 21 из практического соотношения: ,4/T где T — квазипериод установившихся хаотических колебаний. На рис. 4 представлена в логарифмическом масштабе за- висимость ),( tdE  причем она имеет одинаковый вид для всех переменных си- стемы (9): ,1x ,2x .3x Как видно из графика, при малых шагах, равных 0t и ,2 0t расчетная размерность вложения точно соответствует известной теорети- ческой. При росте величины t расчетное значение Ed возрастает благодаря увеличению количества ложных пересечений. Так же анализировалась система Лоренца [32]:         ) , ),( 3213 31212 121 bxxxx xxxrxx xxx    (10) с параметрами ,10 ,3/8b .28r Временные ряды переменных ,1x ,2x 3x первоначально содержали по 80 тыс. то- чек, а шаг дискретизации — 0,001 с. За- тем число точек уменьшалось аналогично эксперименту с системой Ресслера. Ре- зультаты представлены на рис. 5. В результате исследования потока )sin()sin()( tttx  (11) с параметрами N  80000, ,c0025,00 t c6,1 получена зависимость, показан- ная на рис. 6. Так же исследовалась система бо- лее высокого порядка (12), представля- ющая собой два связанных генератора Ван-дер-Поля:            ,)1( , ,)1( , 324 2 34 43 312 2 12 21 xcxxbxx xx xxxaxx xx     (12) где ,5a ,1,0b .50c При указанных значениях коэффициентов решения систе- мы имеют хаотический характер. Расчеты проводились для переменной 1x на вре- менном интервале 200 c, содержащем 172 квазипериода. На рис. 7 представлена за- висимость ).( tdE  Начальной точке )0)/((log 02  tt соответствует число точек временного ряда N  160001, отсюда 3 0 1025,1 t c. Из графика видно, что при 000 4,2, tttt  полученные значения Ed соответствуют количеству пе- ременных системы (12). Начиная с ,8 0tt  расчетная величина Ed растет. Мы также проанализировали зависимость полученных результатов от длины ряда. Количество точек в ряду менялось от 10 тыс. до 160 тыс. — для системы (12) и от 10 тыс. до 80 тыс. — для всех остальных рядов. Оказалось, что для всех пере- 0 1 2 3 )/(log 02 tt  0 1 2 3 4 5 6 7 dE Рис. 4 )/(log 02 tt  dE 1 0 2 3 1 4 5 3 4 dE 3 4 x2 x1 x3 dE 3 4 5 Рис. 5 22 ISSN 0572-2691 менных системы Ресслера и переменных 1,x 2x системы Лоренца во всем диапа- зоне изменения длины ряда .3Ed На рис. 8, а представлена зависимость )(Nd E для переменной )(3 tx системы (10), на рис. 8, б — для потока (11) и на рис. 8, в — для переменной )(1 tx системы (12). Для всех графиков .10000min N 0 1 2 3 )/(log 02 tt  0 1 2 3 4 5 6 7 dE 4 8 9 10 Рис. 7 Заключение Как видно из результатов разд. 4, предлагаемый алгоритм дает правдопо- добные результаты для различных си- стем, демонстрирующих как регулярную, так и хаотическую динамику. Преимуще- ство подхода заключается в отсутствии субъективности, наличие которой харак- терно для традиционных методов, таких как метод FNN, так и более поздних. На основании анализа приведенных выше результатов можно сформулиро- вать рекомендации по применению ме- тода ломаных для гладких временных рядов. При выполнении сформулирован- ных выше требований к шагу временного ряда (разд. 2) алгоритм позволяет полу- чить значение ,RE dd  где Rd — ис- тинное значение размерности вложения. Если график )( tdE  при малых значениях шага имеет ярко выражен- ный участок, где const,Ed то это значение может быть истинной вели- чиной размерности вложения (как, например, на рис. 4). Приложение На основе приведенных выше соотношений (разд. 3) можно представить ал- горитм определения размерности вложения в форме псевдокода. 1. Выполняется ввод исходного числового ряда 1x (длина ряда — N точек) и величины сдвига . Принимается начальная величина размерности вложения .2Ed Создаются массивы )(iv и )( jv для хранения номеров пересекающихся отрезков. Оба массива изначально пустые. 0 1 2 3 )/(log 02 tt  3 4 5 dE 4 Рис. 6 dE 0 2 3 1 4 3 4 )/(log min2 NN а dE 0 2 3 1 4 3 4 )/(log min2 NN б dE 0 2 3 1 4 3 4 )/(log min2 NN в Рис. 8 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 5 23 2. Для всех ],,2[ Edi  по (3) формируются векторы переменных .ix 3. Если ,2Ed то выполняется п. 9, иначе п. 4. 4. Для всех пар ,1],1,,1[,  jiNji  выполняются пп. 5, 6. 5. Для )1(),(),1(),(),1(),(),1(),( 22112211  jxjxjxjxixixixix составляется система уравнений (6) и находится ее решение ., 21 xx 6. Если для найденного решения 21, xx выполняются условия (7) или (7) и (8) или (8), то номера отрезков ji, добавляются к концам массивов номеров отрезков )(iv и )( jv соответственно. 7. Если после выполнения пп. 4–6 массивы )(iv и )( jv непустые, то выполня- ется п. 8, иначе п. 15. 8. Размерность вложения Ed увеличивается на единицу и выполняется п. 2. 9. Для ],,1[ vNk  (где vN — количество номеров отрезков в массиве )(iv или ))( jv выполняются пп. 10–12. 10. Для всех пар значений ],,,1[, 21 Edpp  21 pp  выполняются пп. 11, 12. 11. Принимаются значения , )(i kvi  )( j kvj  , и для ),( 1 ixp ),1( 1 ixp ),( 2 ixp ),1( 2 ixp ),( 1 jxp ),1( 1 jxp ),( 2 jxp )1( 2 jxp составляется система уравнений (6) и находится ее решение ., 21 xx 12. Если для найденного решения 21, xx не выполняются условия (7) и (7) или (8) и (8), то номера отрезков ji, удаляются из массивов номеров отрезков )(iv и )( jv соответственно и происходит переход к следующему значению k. 13 Если после выполнения пп. 10–12 массивы )(iv и )( jv непустые, то вы- полняется п. 14, иначе п. 15. 14. Размерность вложения Ed увеличивается на единицу и выполняется п. 2. 15. Значение Ed выводится как результат. Так как согласно алгоритму при 2d выполняется поиск пересечения сре- ди всех возможных пар отрезков ломаной линии, а при 2d проверяется нали- чие одновременных пересечений только среди ранее найденных пар пересекаю- щихся отрезков, то можно предположить, что основную часть времени при ис- пользовании метода ломаных занимают вычисления для размерности 2d . В этом случае вычисления выполняются в двух вложенных циклах, количество итераций в каждом определяется количеством точек N в числовом ряде. Поэтому количество обрабатываемых пар отрезков пропорционально .2N Тогда время вы- числения можно приблизительно определить по формуле ,2Nkt cc  (13) где ck — коэффициент пропорциональности, зависящий от быстродействия вы- числительной системы (таблица). 24 ISSN 0572-2691 Таблица Числовой ряд Количество точек, N Время вычислений, tc , c Коэффициент про- порциональности, kc y2 из (9) 10000 9 9 ∙108 y2 из (9) 20000 38 9,5 ∙108 y2 из (9) 40000 151 9,4375 ∙108 y2 из (9) 80000 602 9,4063 ∙108 y1 из (12) 10000 10 1∙107 y1 из (12) 20000 38 9,5 ∙108 y1 из (12) 40000 152 9,5 ∙108 y1 из (12) 80000 607 9,4843 ∙108 y1 из (12) 160000 2429 9,4882 ∙108 В таблице приведены экспериментальные данные, подтверждающие спра- ведливость соотношения (13). Вычисления производились на персональном ком- пьютере с одноядерным процессором частотой 3 ГГц и ОЗУ 512 Мб. Как видно из расчетов, значения ck для всех временных рядов (правая колонка таблицы) прак- тически совпадают. В.Г. Городецький, М.П. Осадчук CАМОПЕРЕТИН ФАЗОВИХ ТРАЄКТОРІЙ ЯК МІРА РОЗМІРНОСТІ ВКЛАДЕННЯ ХАОТИЧНИХ АТРАКТОРІВ. Частина 1 Метою даного дослідження є перевірка гіпотези про можливість використання самоперетину фазових траєкторій для визначення розмірності вкладення хао- тичних атракторів. Розроблено алгоритм пошуку можливих самоперетинів ін- тегральних кривих. Проблема відсутності інформації про поведінку траєкторії між точками, отриманими в просторі на основі спостережуваного часового ря- ду, вирішується шляхом заміни інтегральної кривої на ламану. V.G. Gorodetskyi, N.P. Osadchuk SELF-INTERSECTION OF PHASE TRAJECTORIES AS A MEASURE FOR EMBEDDING DIMENSION OF CHAOTIC ATTRACTORS. Part I The purpose of this paper is to check the possibility to use self-intersections of phase trajectories for determining the embedding dimension for chaotic attractors. We de- veloped an algorithm to search possible self-intersections of the integral curves. The problem of the lack of information about the behavior of the trajectory, in the space, between the data points obtained from the time series is solved with replacing the curve by a polygonal line. 1. Pakkard N.H., Crutchfield J.P., Farmer J.D., Shaw R.S. Geometry from time series // Phys. Rev. Lett. — 1980. — 45, N 9. — Р. 712–716. 2. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence / D.A. Rand, L.S. Young (Eds.) // Dynamical System and Turbulence. Lecture Notes in Mathematics. — 1981. — 898. — P. 366–381. 3. Kennel M., Brown R., Abarbanel H. Determining embedding dimension for phase-space recon- struction using a geometrical construction // Phys. Rev. A. — 1992. — 45, N 6. — P. 3403–3411. 4. Kennel M., Abarbanel H. Local false nearest neighbors and dynamical dimensions from observed chaotic data // Phys. Rev. E. — 1993. — 47, N 5. — P. 3057–3068. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 5 25 5. Abarbanel H., Brown R., Sidorovich J., Tsimring L.S. The analysis of observed chaotic data in physical systems // Rev. of Modern Phys. — 1993. — 65, N 4. — P. 1331–1392. 6. Jiang X., Adeli H. Fuzzy clustering approach for accurate embedding dimension identification in chaotic time series // Integrated Computer-aided Engineering. — 2003. — 10, N 3. — P. 287–302. 7. Kulesh M., Holschneider M., Kurennaya K. Adaptive metrics in the nearest neighbours method // Phys. D : Nonlinear Phenom. — 2008. — 237. — P. 283–291. 8. Thread-based implementations of the false nearest neighbours method // M. Carrion, E.A. An- tunez, M.A. Castillo, J.A. Guerrero, J.M. Canals / Parallel Computing. — 2009. — 35. — P.523–534. 9. Rhodes C., Morari M. False-nearest-neighbors algorithm and noise-corrupted time series // Phys. Rev. E. — 1997. — 55, N 5. — P. 6162–6170. 10. Improving the false nearest neighbors method with graphical analysis / T. Aittokallio, M. Gyllen- berg, J. Hietarinta, T. Kuusela, T. Multamaki // Ibid. — 1999. — 60, N 1. — P. 416–421. 11. Cellucci C.J., Albano A.M., Rapp P.E. Comparative study of embedding methods // Ibid. — 2003. — 67. — 066210. 12. Gao J., Zheng Z. Local exponential divergence plot and optimal embedding of a chaotic time se- ries // Phys. Lett. A. — 1993. — 181, N 2. — P. 153–158. 13. Liebert W., Pawelzik K., Schuster H.G. Optimal embeddings of chaotic attractors from topologi- cal considerations // Europhys. Lett. — 1991. — 14, N 6. — P. 521–526. 14. Kennel M.B., Abarbanel H.D.I. False neighbors and false strands: A reliable minimum embedding dimension algorithm // Phys. Rev. E. — 2002. — 66. — 026209. 15. Cao L. Practical method for determining the minimum embedding dimension of a scalar time se- ries // Phys. D: Nonlinear Phenom. — 1997. — 110. — P. 43–50. 16. Cao L., Mees A., Judd K., Froyland G. Determining the minimum embedding dimension of in- put–output time series data // Internat. J. Bifur. Chaos. — 1998. — 8, N 7. — P. 1491–1504. 17. Ramdani S., Casties J.-F., Bouchara F., Mottet D. Influence of noise on the averaged false neigh- bors method for analyzing time series // Phys. D: Nonlinear Phenom. — 2006. — 223. — P. 229– 241. 18. Grassberger P., Procaccia I. Measuring the strangeness of strange attractors // Ibid. — 1983. — 9. — P. 189–208. 19. Grassberger P., Procaccia I. Characterization of strange attractors // Phys. Rev. Lett. — 1983. — 50, N 5. — P. 2591–2593. 20. Corana A., Bortolan G., Casaleggio A. Most probable dimension value and most flat interval methods for automatic estimation of dimension from time series // Chaos, Solitons and Fractals. — 2004. — 20. — P. 779–790. 21. Harikrishnan K.P., Misra R., Ambika G., Kembhavi A.K. A non-subjective approach to the GP al- gorithm for analysing noisy time series // Phys. D: Nonlinear Phenom. — 2006. — 215. — P. 137–145. 22. Ataei M., Lohmann B., Khaki-Segigh A., Lucas C. Model based method for estimating an attractor dimension from uni/multivariate chaotic time series with application to Bremen climatic dynam- ics // Chaos, Solitons and Fractals. — 2004. — 19. — P. 1131–1139. 23. Zhang B., Chen M., Zhou D., Li Z. Particle-filter-based estimation and prediction of chaotic states // Ibid. — 2007. — 32, N 4. — P. 1491–1498. 24. Su L.-y. Prediction of multivariate chaotic time series with local polynomial fitting // Computers and Mathematics with Applications. — 2010. — 59, N 2. — P. 737–744. 25. Tanaka N., Okamoto H., Naito M. An optimal metric for predicting chaotic time series // Jpn. Journal of Applied Physics. — 1983. — 34 (Part 1). — P. 416–431. 26. Tanaka N., Okamoto H., Naito M. Estimating the active dimension of the dynamics in a time se- ries based on an information criterion // Phys. D: Nonlinear Phenom. — 2001. — 158. — P. 19–31. 27. McNames J. Local averaging optimization for chaotic time series prediction // Neurocomputing. — 2002. — 48. — P. 279–297. 28. Small M., Tse C.K. Optimal embedding parameters: a modeling paradigm // Phys. D : Nonlinear Phenom. — 2004. — 194, N 3-4. — P. 283–296. 29. Busug Th., Phister G. Optimal delay time and embedding dimension for delay-time coordinates by analysis of the global static and local dynamical behavior of strange attractors // Phys. Rev. A. — 1992. — 45, N 10. — P. 7073–7084. 30. Rössler O.E. An equation for continuous chaos // Phys. Lett. A. — 1976. — 57, N 5. — P. 397–398. 26 ISSN 0572-2691 31. Small M. Applied nonlinear time series analysis: applications in physics, physiology and finance. — World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2005. — 245 p. 32. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // Journal Atmos. Sci. — 1963. — 20, N 2. — P. 130–141. Получено 26.01.2012

Самопересечение фазовых траекторий как мера размерности вложения хаотических аттракторов. Часть 1

Репозитарії

Схожі ресурси