Идентификация многомерных систем по параметрам установившегося режима

Розроблено удосконалений метод ідентифікації багатовимірних лінійних систем з моделлю у просторі стану за наближеними параметрами усталеного режиму, які визначаються інтегруванням експериментально отриманих вихідних сигналів при гармонічному збудженні на вході. Метод дозволяє відновлювати модель мак...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2012
Main Authors:	Губарев, В.Ф., Мельничук, С.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Series:	Проблемы управления и информатики
Subjects:	Методы идентификации и адаптивного управления
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207526
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Идентификация многомерных систем по параметрам установившегося режима / В.Ф. Губарев, С.В. Мельничук // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 5. — С. 26–43. — Бібліогр.: 5 назв. - рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-207526
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2075262025-10-12T00:06:39Z Идентификация многомерных систем по параметрам установившегося режима Ідентифікація багатовимірних систем за параметрами усталеного режиму Identification of Multidimensional Systems by Parameters of Steady-State Parameters Губарев, В.Ф. Мельничук, С.В. Методы идентификации и адаптивного управления Розроблено удосконалений метод ідентифікації багатовимірних лінійних систем з моделлю у просторі стану за наближеними параметрами усталеного режиму, які визначаються інтегруванням експериментально отриманих вихідних сигналів при гармонічному збудженні на вході. Метод дозволяє відновлювати модель максимально допустимої за умовами стійкості розмірності, що апроксимує вихід реальної системи з точністю, узгодженою з похибкою отримуваних даних. Advanced method for identification of multivariable linear systems described by statespace model using approximate steady-state parameters which are defined by integration of experimental outputs under harmonic inputs is developed. Method allows to reconstruct model of the maximal admissible by stability condition dimention which allows to approximate the output of real system providing an accuracy which is in agreement with errors in available data. 2012 Article Идентификация многомерных систем по параметрам установившегося режима / В.Ф. Губарев, С.В. Мельничук // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 5. — С. 26–43. — Бібліогр.: 5 назв. - рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207526 681.5 10.1615/JAutomatInfScien.v44.i9.30 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Методы идентификации и адаптивного управления Методы идентификации и адаптивного управления
spellingShingle	Методы идентификации и адаптивного управления Методы идентификации и адаптивного управления Губарев, В.Ф. Мельничук, С.В. Идентификация многомерных систем по параметрам установившегося режима Проблемы управления и информатики
description	Розроблено удосконалений метод ідентифікації багатовимірних лінійних систем з моделлю у просторі стану за наближеними параметрами усталеного режиму, які визначаються інтегруванням експериментально отриманих вихідних сигналів при гармонічному збудженні на вході. Метод дозволяє відновлювати модель максимально допустимої за умовами стійкості розмірності, що апроксимує вихід реальної системи з точністю, узгодженою з похибкою отримуваних даних.
format	Article
author	Губарев, В.Ф. Мельничук, С.В.
author_facet	Губарев, В.Ф. Мельничук, С.В.
author_sort	Губарев, В.Ф.
title	Идентификация многомерных систем по параметрам установившегося режима
title_short	Идентификация многомерных систем по параметрам установившегося режима
title_full	Идентификация многомерных систем по параметрам установившегося режима
title_fullStr	Идентификация многомерных систем по параметрам установившегося режима
title_full_unstemmed	Идентификация многомерных систем по параметрам установившегося режима
title_sort	идентификация многомерных систем по параметрам установившегося режима
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Методы идентификации и адаптивного управления
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207526
citation_txt	Идентификация многомерных систем по параметрам установившегося режима / В.Ф. Губарев, С.В. Мельничук // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 5. — С. 26–43. — Бібліогр.: 5 назв. - рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT gubarevvf identifikaciâmnogomernyhsistempoparametramustanovivšegosârežima AT melʹničuksv identifikaciâmnogomernyhsistempoparametramustanovivšegosârežima AT gubarevvf ídentifíkacíâbagatovimírnihsistemzaparametramiustalenogorežimu AT melʹničuksv ídentifíkacíâbagatovimírnihsistemzaparametramiustalenogorežimu AT gubarevvf identificationofmultidimensionalsystemsbyparametersofsteadystateparameters AT melʹničuksv identificationofmultidimensionalsystemsbyparametersofsteadystateparameters
first_indexed	2025-10-12T01:08:15Z
last_indexed	2025-10-13T01:08:37Z
_version_	1845826910743953408
fulltext	© В.Ф. ГУБАРЕВ, С.В. МЕЛЬНИЧУК, 2012 26 ISSN 0572-2691 МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ И АДАПТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ УДК 681.5 В.Ф. Губарев, С.В. Мельничук ИДЕНТИФИКАЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ ПО ПАРАМЕТРАМ УСТАНОВИВШЕГОСЯ РЕЖИМА Введение Построение математической модели линейного стационарного объекта по ча- стотным характеристикам, выделяемым из экспериментально полученных выход- ных сигналов при гармоническом возбуждении системы на входе, — одно из ак- тивно изучаемых направлений теории идентификации. Первые работы появились более 60-ти лет тому назад. Однако существенное продвижение в этом направле- нии достигнуто в последние годы благодаря усилиям российских ученых А.Г. Александрова и Ю.Ф. Орлова. Они опубликовали цикл работ, посвященных мо- дификациям этого метода для разных по структуре моделей, а также использова- нию разных подходов к процедуре идентификации и формированию на входе ис- пытательных сигналов [1–5]. Из-за определенных трудностей, возникающих при практическом примене- нии этого метода, особенно в случае многомерных систем, нельзя говорить о за- вершенности исследований. Особенно это касается плохой обусловленности об- ращаемых матриц в разработанных алгоритмах. Число обусловленности этих мат- риц с увеличением их размерности чрезвычайно возрастает. Для систем размерности шесть с параметрами, благоприятными для идентификации, число обусловленности обращаемых матриц — порядка .108 Тогда, как показывают вы- числительные эксперименты, даже при отсутствии возмущений на входе и помех на выходе приходится значительно увеличивать длительность процесса наблюде- ния для более точного определения параметров, используемых для идентифика- ции. А увеличение размерности системы и числа экспериментальных данных, в свою очередь, приводит к тому, что на результаты идентификации оказывают существенное влияние вычислительные погрешности, неизбежные при проведе- нии расчетов с использованием компьютеров. Это обстоятельство в выполненных ранее исследованиях и разработках не принималось во внимание, поэтому не ис- ключалась возможность получения в пределе модели произвольной сложности, соответствующей детерминированному случаю. Кроме того, разработанные современные методы частотной идентификации в основном ориентированы на случаи, когда априори известен порядок модели идентифицируемой системы, т.е. рассматривалась параметрическая идентифика- ция. Совершенно очевидно, что для объектов очень большой или бесконечной размерности (как например, в системах с распределенными параметрами) с уче- том указанных выше особенностей восстанавливать можно только аппроксими- рующие конечномерные модели, имеющие порядок, меньший, чем у исходной си- стемы, даже в тех случаях, когда ее размерность априори известна. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 5 27 Указанные свойства метода и возникающие отсюда проблемы послужили основ- ным мотивом проведения численно-аналитических исследований процесса иденти- фикации многомерных систем на основе частотных характеристик для разработки усовершенствованного и в достаточной мере обоснованного метода решения задачи структурно-параметрической идентификации, что и сделано в данной работе. 1. Постановка задачи Пусть идентифицируемым объектом является стационарная линейная систе- ма, которую можно описать уравнениями , BuAxx , DuCxy ],,[ 0 Ttt (1) где )(txx  — вектор текущего внутреннего состояния системы априори неиз- вестной размерности N, а )(tyy  — вектор текущих измерений, размерность ко- торого M известна, известна также размерность R входного воздействия );(tuu  элементы матриц ),( NNA  ),( RNB  ),( NMC  ),( RMD  как и размерность N, неизвестны и подлежат восстановлению по данным на интервале наблюдения ];,[ 0 t )(t и )(t — возмущения и шумы на входе и выходе. Под описа- ние (1) попадают и бесконечномерные системы, когда A, B, C, D представляют четверку линейных операторов, осуществляющих отображение одних бесконеч- номерных линейных пространств в другие так, что матричная передаточная функция BAsICDG 1)()s(  может быть иррациональной. Тогда речь может идти о рациональной аппроксимации системы с помощью конечномерных матриц A, B, C, D [6]. Идентификация системы осуществляется в условиях неопределенности. Реа- лизации )(t и )(t в экспериментах априори неизвестны. Предполагается толь- ко, что они ограничены неравенствами ,)( int  ,)( outt  (2) где  — некоторая заданная норма в функциональных пространствах, которым принадлежат )(t и ).(t В [5] полагается, что возмущения )(t и шумы измере- ний )(t представляются соотношениями ,,1,)(sin)( ,,1),(sin)( 0 0 Mmtt Nntt q mqmqmqm nqnqnq q n           (3) где )(tn — априори неизвестное возмущение на n-м входе, а )(tm — неизвест- ная помеха на m-м выходе; nq и mq — неизвестные априори частоты; фазы nq и mq — случайные числа из интервала ]2/,0[  . Амплитуды nq и mq хотя и неизвестны, но всегда таковы, что выполняются ограничения (2). Иногда полагают, что неравенства (2) справедливы, но сами значения in и out априори неизвестны. При идентификации по параметрам установившегося состояния устойчивых систем на вход подается гармоническое воздействие, реализуемое различными способами. Рассматривались одночастотные возбуждения системы разной часто- ты в последовательности отдельных экспериментов, а также в одном эксперименте с последовательным приложением полигармонического воздействия к каждому входу многомерного объекта [2] или с параллельным возбуждением всех входов [5]. В данной работе исходные данные для идентификации взяты из независимых экспериментов с многократным по разным входам одночастотным возбуждением 28 ISSN 0572-2691 или полигармоническим воздействием на каждый отдельный вход при нулевом сигнале на остальных входах. Не исключается использование параллельного ис- пытательного полигармонического сигнала, подаваемого одновременно на все входы. Однако в последнем случае, как это следует из оценок параметров устано- вившегося движения, получается худший результат. Тогда при одночастотном возбуждении имеем ),(sin)( 0 0 ttutu srsrs  ,,1 Rr  ,,1 Ss  (4) а для полигармонического сигнала, подаваемого отдельно на каждый вход r, ),(sin)( 0 0 1 ttutu rsrs S s r   ,,1 Rr  (4) где 0t — время начала возбуждения; 0 rsu и rss  , — амплитуды и частоты гар- монического воздействия на изучаемую систему. При этом S должно быть не меньше ожидаемого порядка аппроксимирующей модели. Кроме того, все часто- ты в выражениях (4) и (4) не должны быть одинаковыми при разных s, т.е. ks  и rkrs  при ks  (в (4) при разных r , но при одинаковых s, rs могут совпадать). В случае одночастотного воздействия на разные входы можно подавать сигналы одной и той же частоты. Под описание (4) подпадает случай с параллельным испытанием, если )(tu — вектор-функции с компонентами )(tur и все частоты rs разные как на одном входе, так и на разных. Для того чтобы найти оценку матриц DCBA ,,, и порядок аппроксимирую- щей модели, воспользуемся основным постулатом теории реализаций о том, что описание (1) определяет по данным входам и выходам множество эквивалентных моделей, связанных между собой неособым преобразованием. Тогда достаточно построить модель для одной из возможных реализаций на этом множестве. В ка- честве такой реализации предлагается использовать каноническую жорданову форму. Она в наиболее общем и удобном виде приводит к соотношениям вход– выход. Эти соотношения для системы, находящейся в покое до момента 0tt  (т.е. при нулевых начальных условиях), начиная с которого прикладывается вход- ное воздействие )(tu , получается из формулы Коши и записывается в виде ),()()()()( 0 ttDudButCty t t   (5) где )(  t — переходная матрица, формируемая из фундаментальных решений, )(t — вектор ограниченной неопределенности, содержащий возмущения, по- грешности измерения и немоделируемую динамику при построении аппроксими- рующих моделей многомерных систем. Аналитическое выражение фундаментальной матрицы легко получить для представления матрицы A в жордановой форме [7]. Для простоты изложения ме- тода рассмотрим случай, когда в системе отсутствуют кратные корни. Тогда она имеет следующей блочно-диагональный вид: ],,,,,,,,,,[diag 2121 PpQq JJJJA   где q — действительные собственные значения, а блоки          pp pp pJ со- ответствуют комплексно-сопряженным собственным значениям. Систему считаем устойчивой, т.е. ,0q ,0 p ,0 p ,,1 Qq  .,1 Pp  Соотношение (5) для жордановой реализации согласно [7] можно записать для каждого отдельного выхода )(tym в следующем виде: Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 5 29      )(cos[)()( 011 )( 0 )( 11 tfduegty p rc mp tP p R r r t t r mq Q q R r m q ),()()(])(sin 1 )( ttudduetf mrmr R r r t p rs mp p     ,,1 Mm  (6) где для простоты последующего рассмотрения принято ;00 t ,)( qrmq r mq bcg  ,)()()()( s pr s mp c pr c mp rc mp bcbcf  ;)()()()( с pr s mp s pr с mp rs mp bcbcf  (6) mqc — элемент матрицы C, стоящий на пересечении m-й строки и q-го столбца, а qrb — элемент матрицы B, принадлежащий r-му столбцу и q-й строке; бло- ку pJ соответствует двумерная вектор-строка ),( )s()( mp c mpmp ccc  и двумерный век- тор-столбец . )( )(          s pr c pr pr b b b Соотношение (6) вместе с (6) соответствует множественной реализации с жордановым представлением матрицы A. Из него можно выделять различные канонические представления. Например, взяв для одного из столбцов матрицы B значения элементов равными ,1qrb ,0)( c prb ,1)( s prb получим управляемую каноническую реализацию, а выбрав для одной из строк матрицы C значения ,1mqc ,1)( c mpc 0)( s mpc , получим наблюдаемую каноничную реализацию. Если система возбуждается отдельно на каждом входе, т.е. в серии последо- вательных экспериментов, то в (6) сумма по r не учитывается. Кроме того, при любом из указанных способов возбуждения системы характеристики установив- шегося движения будут определяться отдельно по каждому входу и выходу. По- этому запишем отклик системы )()( ty r m на m-м выходе при воздействии (4) на r-м входе. В результате получим           qe g uty rsq r mqrs Q q rs S s r m 22 )( 11 )( )(      t p rs mp rc mpp rs mp rc mp P p petfftff ]cos)(sin)([ 3223 1             tff g rs rs mp rc mp P prsq r mqq Q q sin)( 41 1 22 )( 1 ,cos)( 32 1 22 )( 1                tff g rs rs mp rc mp P prsq r mqrs Q q ,,1 Mm  ,,1 Rr  (7) где , )()( ),,( 222211 prsp p prsp p rspp       , )()( ),,( 222222 prsp prs prsp prs rspp       , )()( ),,( 222233 prsp p prsp p rspp       . )()( ),,( 222244 prsp prs prsp prs rspp       30 ISSN 0572-2691 В (7) для простоты описания предлагаемого метода был рассмотрен случай с .0D При одночастотном воздействии на каждом отдельном входе в (7) отсут- ствует суммирование по s. Параметры установившегося режима можно получить, если пропустить выход (7) через фильтры Фурье, которые в методе конечно- частотной идентификации [5] определяются соотношениями ,sin)( 2 )(ˆ )( 0 0 )( dttty u rl r m rl r ml      ,cos)( 2 )(ˆ )( 0 0 )( dttty u rl r m rl r ml      .,1 Sl  (8) При любом фиксированном, но большом , из (8) получаем приближенную оценку этих параметров. Подставляя (7) в (8), а также учитывая возмущения и шумы (3), имеющиеся в системе, получим ),()()(ˆ )( 2 )( 1 )( 0 )(  r ml r ml rr ml ml ),()()(ˆ )( 4 )( 3 )( 0 )(  r ml r ml rr ml ml (9) где ),( 2 1 )( 41 1 22 )( 1 )( 0 rs mp rc mp P prlq r mqq Q q r ff g ml       )( 2 1 )( 32 1 22 )( 1 )( 0 rs mp rc mp P prlq r mqrl Q q r ff g ml       определяют точные параметры установившегося движения, а i )4,1( i означают их выражения при ;rlrs  )( )( 1  r ml и )( )( 3  r ml определяют погрешности оценива- ния, возникающие за счет конечного  при интегрировании (7); )( )( 2  r ml и )( )( 4  r ml — ошибки, возникающие при интегрировании с тем же  возмущений на входе и шумов на выходе (3). Выражения для )( )( 1  r ml и )( )( 3  r ml имеют следующий вид:        rl rl r rl rl r r ml mlml t 2sin 2 )( )2cos1( 2 )( )( )( 0 )( 0)( 1                     rlrs rlrs rlrs rlrsr rs S ls s msu )(sin)(sin )( 1 )( 0 0 1                  rlrs rlrs rlrs rlrsr ml )(cos1)(cos1 )( )( 0         ]sin)cos1([ )(21 1 22 )( 0 1 rlqrlrl Q q rlq r q rs S s msG u           ))(cos1( )( )()()( 22 21 1 prl prlp r pprl r pp P p pe msFmsF      )(sin )( )()()( 22 21 prl prlp r pp r pprl pe msFmsF      ))(cos1( )( )()()( 22 21 prl prlp r pprl r pp pe msFmsF ;)(sin )( )()()( 22 21           prl prlp r pp r pprl pe msFmsF (10)        rl rl r rl rl r r ml mlml 2sin 2 )( )2cos1( 2 )( )( )( 0 )( 0)( 3 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 5 31                     rlrs rlrs rlrs rlrsr rs S ls s msu )(cos1)(cos1 )( 1 )( 0 0 1                  rlrs rlrs rlrs rlrsr ms )(sin)(sin )( )( 0         ]sin)cos1([ )(21 22 )( 11 0 rlrlrlq rlq r q Q q S s rs mlG u           ))(cos1( )( )()()( 22 21 1 prl prlp r pp r pprl P p pe msFmsF      )(sin )( )()()( 22 21 prl prlp r pprl r pp pe msFmsF      ))(cos1( )( )()()( 22 21 prl prlp r pp r pprl pe msFmsF ,)(sin )( )()()( 22 21            prl prlp r pprl r pp pe msFmsF (10) где , 0 0 0 rl rs rs u u u  ),/()( 22)()( rsq r mqrs r q gmsG  ,)( 23 1 rs mp rc mp r p ffmsF  )(2 msF r p .32 rs mp rc mp ff  Выражения для )( )( 2  r ml и )( )( 4  r ml приведем только для случая помех на выходе, т.е. для .0)(  Для многомерных систем это оправдано, поскольку ос- новные погрешности тогда связаны с немоделируемой динамикой, а эта погреш- ность содержится в выражениях )( )( 1  r ml и ),( )( 3  r ml к которым следует добавить часть слагаемых в выражениях )( )( 0 ml r  и ),( )( 0 ml r  которые не вошли в аппрок- симирующую модель. Тогда можно записать               rlmq mqrlmq mq q r ml ])([sin1 )( 0 )( 2                             rlmq mqrlmq mq q r ml rlmq mqrl rlmq mqrlmq ])([cos1 )( , )( sin2])[(sin 0 )( 4 22 (11) . )( cos2])[(cos 22               rlmq mqmq rlmq mqrlmq В (11) предполагалось, что , mqrl ,,1 Sl  .,1,0 q В противном слу- чае появляются ошибки, которые не зависят от  и не могут быть устранены при  . Поэтому при возможности частоты ,rs ,,1 Ss  желательно выбирать так, чтобы они не совпадали с .mq Из выражений (10) и (10) видно, что при зна- чениях 0 rsu порядка единицы для экспериментов с одночастотным возбуждением будем иметь меньшую погрешность для одного и того же  по сравнению с мно- 32 ISSN 0572-2691 гочастотным входным сигналом. Поэтому, чтобы иметь одинаковую погрешность оценивания )(ˆ )( 0 ml r  и )(ˆ )( 0 ml r  в экспериментах с многочастотным входным воздействием, следует  брать большим, чем в экспериментах с одночастотным возбуждениям. Экспериментатор должен определять, что выгоднее. Кроме того, по выражениям (10), (10) и (11) в каждом конкретном случае можно проводить более детальный анализ получаемых погрешностей. Таким образом, задача идентификации состоит в том, чтобы по характери- стикам )(ˆ )(  r ml , ),(ˆ )(  r ml получаемым на выходе фильтров Фурье (8), на вход ко- торых подаются измеренные в экспериментах сигналы )(~ )( ty r m , отличающиеся от (6) наличием в них погрешностей, оценить размерность модели системы, ее соб- ственные значения и параметры ,,,)( rs mp rc mp r mq ffg а затем из (6) и параметры кано- нической жордановой формы. 2. Метод решения В принципе полученные характеристики установившегося движения в опреде- ленных случаях можно непосредственно использовать для решения задачи иденти- фикации. Если априори заданы размерности Q и P, то из (9) при известных )( )( 0 ml r  и ),( )( 0 ml r  а точнее, из их приближенных значений )(ˆ )(  r ml и )(ˆ )(  r ml можно найти q ),,1( Qq  p и p ),1( Pp  , а также параметры ,)(r mqg ., rs mp rc mpf При этом должно выполнятся условие .2QPS  Однако такой путь приводит к необ- ходимости решать нелинейную систему алгебраических уравнений, что создает до- полнительные трудности. Кроме того, для многомерных систем, как показывают выполненные в дальнейшем исследования, в силу объективных обстоятельств, свя- занных с плохой обусловленностью обращаемых матриц, можно находить только аппроксимирующие модели размерности, меньшей, чем у системы, генерирующей данные. Поэтому предлагается разбить решение задачи идентификации на два этапа так, чтобы уйти от решения нелинейных уравнений. На первом определяется поря- док аппроксимирующей модели и ее собственные значения, т.е. параметры pq  , и .p На втором этапе при известных собственных значениях определяются коэф- фициенты rs mp rc mp r mq ffg ,,)( из уравнений (9), (9), ставшими для этих переменных линейными. Коэффициенты qrmq bс , и )()()()( ,,, s mp c mp s pr c pr ссbb определяются на основе (6) с учетом выделяемого канонического представления. 2.1. Системы с одним входом и выходом. Сначала опишем метод для про- стого случая системы с одним входом и одним выходом, но при этом система мо- жет быть достаточно большой размерности. Выберем нечетное число гармоник входного сигнала, т.е. ,12  LS и пусть передаточная функция системы есть дробно-рациональная функция ).(/)( pWpV Примем как постулат, что размер- ность системы также равна .12 L Тогда согласно [5] справедлива следующая си- стема уравнений: ,0)())()(()( )( 0 )( 0  s rr sm jWmsjmsjV .12,1  Ls (12) Здесь j — мнимая единица, хотя система с одним входом и выходом, в (12) сохра- нены обозначения (7)–(9). Если вместо точных )( )( 0 ms r  и )( )( 0 ms r  взять их приближенные выраже- ния, определяемые (8), (9), то при больших  получаем систему линейных уравне- ний относительно коэффициентов полиномов )(pV и )( pW с приближенными коэффициентами и правой частью. При этом число обусловленности матрицы си- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 5 33 стемы, как это вытекает из дальнейших исследований, растет довольно быстро с увеличением L, т.е. задача (12) при неточных характеристиках )( )( 0 ms r  , )( )( 0 ms r  в этом случае некорректно поставлена. Поэтому найдем регуляризиро- ванное решение. Для этого выполним ряд преобразований. При 0mrd имеем .)()()( ,)()()( 012 2 12 12 0112 12 2 2 wwjwjwjjW vvjvjvjjV sL L sL L ss sL L sL L ss         (13) Если порядок полинома )(sV меньше ,2L то это получится автоматически за счет старших коэффициентов 122 , LL VV и т.д., которые могут быть равными нулю при их вычислении. Подставив (13) в (12), получим ),()1( 12 2 0 sgv l l s l L l   ),()1( 212 12 1 0 sgv l l s l L l       ,12,1  Ls (14) где ,)1()1()()1()()( 12 12 1 0 12)( 02 2 0 )( 01                 l l s l L l L s Lr l l s l L l r wmswmssg .)1()()1()1()()( 2 2 0 )( 012 12 1 0 12)( 02 l l s l L l r l l s l L l L s Lr wmswmssg                  Выберем нечетные частоты 12,,5,3,1  LS  и рассмотрим систему урав- нений ),()1( 12 2 0 sgv l l s l L l   .12,,5,3,1  Ls  (15) Разрешим ее относительно .2lv Определитель этой системы равен ),()1( )1(1 )1(1 )1(1 22 0 2 12 2 12 2 3 2 3 2 1 2 1 1 ji ji L L l L L L L LL LL            ,12,,5,3,1,  Lji  поскольку он берется для матрицы Вандермонда. Аналогично из четных частот формируем систему уравнений ),()1( 212 12 1 0 sgv l l s l L l       Ls 2,,6,4,2  , (16) определитель которой равен ),()1( )1( )1( )1( 22 2 1 1 0 12 2 13 22 12 4 13 44 12 2 13 22 2 ji ji l L l l L l L L L LL LL LL                 .2,,4,2, Lji  Разрешая систему (15) относительно ,2lv а систему (16) относительно 12 lv , можно получить соотношения ),12()1( 1 1 12,1 0 2       jgv l j jl L j l ,/ 1 1 12,1 1 12,1      l j l j ,,0 Ll  (17) ,/),22()1( 2 1 22,2 1 22,22 1 22,2 1 0 12             l j l j l j jl L j l jgv .1,0  Ll (18) 34 ISSN 0572-2691 Определители 1 12,1  l j и 1 22,2  l j получаются из определителей 1 и 2 вы- черкиванием )1( l -го столбца и j-й строки. Поскольку все частоты s известны точно, значения этих определителей можно вычислить с высокой точностью. Если теперь подставить (17) в первое уравнение системы (14) с четными часто- тами ,2,,6,4,2 Ls  а (18) — во второе уравнение системы (14) с нечетными ча- стотами, то можно получить линейную систему уравнений для нахождения коэффи- циентов полинома ).(pW После проведения соответствующих группировок получим                l rl s rl jjs j L j l L l wmsjmh 20 2 0 2 2222, 1 00 )()22,()1()1(                  120 12 0 12 2222, 1 00 )()22,()1()1( l rl s rl jjs j L j L l l wmsjmh ,)()22,()1()1( 0 12 0 12 2222, 1 1 0                 msjmh rL s rL jjs j L j L (19) ,12,,3,1  Ls                l rl s rl jjs j L j l L l wmsjmh 20 2 0 2 1212, 00 )()12,()1()1(                    120 12 0 12 1212, 1 0 1 0 )()12,()1()1( l rl s rl jjs j L j l L l wmsjmh ,)()12,()1()1( 0 12 0 12 1212, 0            msjmh rL s rL jjs j L j L ,2,,4,2 Ls  где ,1 22,2 12 1 0 22,         l j l s L l jsh ,1,0  Lj ,1 12,1 2 0 12,      l j l s L l jsh .,0 Lj  Аналогично получаются уравнения для iw при четном числе гармоник вход- ного сигнала, т.е. для .2LS  Окончательно они имеют вид                 l rl s rl jjs j L j l L l wmsjmh 20 2 0 2 22 * 22, 1 0 1 0 )()22,()1()1(                 12 1 0 0 12 0 12 22 * 22, )()22,()1( l L j rl s rl jjs j wmsjmh ,)()22,()1()1( 1 0 0 2 0 2 22 * 22,            L j rL s rL jjs jL msjmh ;12,,3,1  Ls  (20)                 )()12,()1()1( 0 2 0 2 12 * 12, 1 0 1 0 msjmh rl s rl jjs j L j l L l                   120 12 0 12 12 * 12, 1 1 0 )()12,()1( l rl s rl jjs j L j wmsjmh ,)()12,()1()1( 1 0 0 2 0 2 12 * 12,            L j rL s rL jjs jL msjmh ;2,,4,2 Ls  где ,1 22,4 12 1 0 * 22,         l j l s L l jsh ,1,0  Lj ,1 12,3 2 1 0 * 12,        l j l s L l jsh ,1,0  Lj ,/ 3 1 12,3 1 12,3      l j l j ,1,0  Ll ,/ 4 1 12,4 1 12,4      l j l j ,1,0  Ll Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 5 35 , )1(1 )1(1 )1(1 22 12 14 12 2 12 22 3 14 3 2 3 22 1 14 1 2 1 3           L L L LL LL LL     , )1( )1( )1( 22 2 13 22 12 4 13 44 12 2 13 22 4        L L L LL LL LL     1 12,3  l j и 1 22,4  l j получаются из 3 и 4 вычеркиванием )1( l -го столбца и j-й строки. Представим обе системы (19) и (20) в виде матричного уравнения ),()()( SgSwS  (21) где )(S — матрица размерности ,SS  при нечетном S она соответствует си- стеме (19), а при четном — (20); вектор )(Sw является искомым с компонентами lw2 ),0( Ll  и 12 lw ),1( Ll  в нечетном случае, или с компонентами lw2 ),0( Ll  и 12 lw )1,1(  Ll — в четном; )(Sg — вектор, соответствующий правым частям уравнений (19) либо (20). При любом конечном  имеем приближенные выражения матрицы )(S и пра- вой части )(Sg . При наличии возмущений в H и g с учетом (10), (10), (11) и  mqs (21) можно записать в виде , 1 ),( 1 10 10 ggSw           (22) где 0 и 0g соответствуют точным значениям )( )( 0 ms r  и ),( )( 0 ms r  а матрицы 1 и вектор 1g определяются соотношениями (10), (10) и (11). При больших  зависимость 1 и 1g от  имеет осциллирующий характер. Поэтому в (22) можно брать их усредненные значения. Тогда согласно [8] относительная по- грешность оценивания ),( Sw определяется неравенством , 1)(æ )( )(),( 0 1 0 10 0 0                        g g Sw SwSw (23) где )(æ 0 — число обусловленности квадратной матрицы .0 Соотноше- ние (23) справедливо для любой векторной и согласованной с ней матричной нормы. Получаемая оценка будет устойчивой, если .1 )(æ 0    (24) Чтобы выполнить это условие, нужно установить, как ведет себя число обу- словленности с увеличением размерности системы, генерирующей точные дан- ные. Сделать это можно с помощью сингулярного (SVD) разложения матри- цы 0 либо H, т.е. представлением ее в виде , VU где U и V — ортогональные квадратные матрицы размерности S, а  — матрица сингулярных чисел, расположенных на диагонали в невозрастающем порядке. То- гда обусловленность матрицы H в спектральной норме 2  определяется соот- ношением , )H( )H( )H(æ 1 2 S   (25) где )H(1 — максимальное, а )H(S — минимальное сингулярные числа мат- рицы H. Имеющиеся в [8] соотношения эквивалентности позволяют оценивать 36 ISSN 0572-2691 обусловленность H и в других нормах. Однако в данном анализе не принимались во внимание вычислительные погрешности, которые неизбежны при проведении расчетов на ЭВМ. Если их учесть, то (23) примет вид ,1 1 )(æ 0         с (26) где с — ошибка при вычислениях. Как показывают численные эксперименты, эта ошибка зависит от соотношения между S и размерностью системы N, генери- рующей данные. Чем больше S по отношению к N, тем эта ошибка больше. Наилучший результат получается при ,NS  т.е. не следует сразу переходить к большим S. В этом случае без принятия специальных мер для с справедлива оценка ,1010 1815  с и она остается справедливой практически при любом N. При проведении указанных оценок, а также во всех исследованиях методом чис- ленного моделирования вариации rs mp rc mp r mq ffg ,,)( осуществлялись в интервале ].1,1[ Это допустимо, поскольку всегда можно ),,(max )( , rs mp rc mp r mq qp ffg в (17) вынести за пределы фигурной скобки и объединить с ,0 rsu что эквивалентно про- порциональному увеличению (уменьшению) амплитуды входных гармоник, а все коэффициенты rs mp rc mp r mq ffg ,,)( после деления их на максимальное значение станут нормированными на единицу. В свою очередь характеристики )( )( 0 ms r  и )( )( 0 ms r  не зависят от этой эквивалентной амплитуды и таким образом сохраня- ется общность рассмотрения. С помощью численного моделирования исследовалась предельно достижи- мая сложность модели (ее размерность), определяемая вычислительной погреш- ностью ,с т.е. для точных )( )( 0 ms r  и ),( )( 0 ms r  получаемых при  . На рис. 1 и рис. 2 показаны распределения сингулярных чисел, полученных для этого случая при 7,4  SN (рис. 1) и при 9,8  SN (рис. 2). На рис. 1 хорошо ви- ден разрыв между «существенными» четырьмя сингулярными числами, соответ- ствующими генерирующей системе, и «несущественными», порожденными вы- числительной погрешностью, что позволяет установить размерность модели, сов- падающую с размерностью исследуемой системы. Увеличение размерности исходной системы до 8 (см. рис. 2) привело к со- кращению разрыва до критического, когда совпадение размерности устанавливается благодаря тому, что число обусловленности æ, определяемое по 8 сингулярным чис- лам, оказалось меньше ,1015 а по 9 — больше ,1015 т.е. порядка вычислительной по- грешности, что приводит согласно (26) к неустойчивому решению. 1610 1210 810 410 010 410 1 2 3 4 5 6 7 Рис. 1 1610 1210 810 410 010 410 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Рис. 2 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 5 37 Многочисленные эксперименты показали, что из-за вычислительных ошибок размерность модели не может быть больше 10, поскольку при больших значениях порядка модели задача идентификации будет давать неустойчивые решения. При этом предполагается, что длительность эксперимента должна быть больше 1510 )10( 15 . Проведение экспериментов такой длительности практически нере- ально, поэтому повышать вычислительную точность не имеет смысла. Здесь следует заметить, что указанное значение  нужно брать не в абсолютных (например, в c), а в относительных (безразмерных) величинах, выбираемых так, что ,0  где  — безразмерное время, которое фигурирует в приведенных оценках, а ).,(min , 0 pq pq  Более реалистичной является ситуация, когда .1015 Тогда предельно до- пустимое число обусловленности будет оцениваться неравенством (23), а оно для заданного  согласно (24) будет определять размерность модели, которую нельзя превышать. Ясно, что ее значение будет меньше 10, и чем меньше , тем меньше допустимый порядок модели. Таким образом, при корректном решении задачи идентификации получается аппроксимирующая модель, которая для систем малой размерности может иметь одинаковый с ней порядок, а в остальных случаях раз- мерность модели будет меньше, чем у исследуемой системы. При этом отклики на выходе модели и системы на одно и то же входное воздействие будут достаточно близкими с погрешностью порядка ./1  Уравнения (8), (9), (19), (20), SVD-преобразование матрицы H и результаты численного моделирования позволяют в конструктивной форме предложить на их основе следующий метод идентификации систем. 1. На исследуемом объекте проводятся эксперименты, в которых на его вход подается гармонический сигнал и измеряется реакция на него. Предпочтение отда- ется сигналам с одной гармоникой разной частоты, поскольку при одном и том же  в этом случае получаются более точные оценки характеристик по сравнению с многочастотным сигналом. Длительность эксперимента  следует брать макси- мально допустимой. По измеренным в экспериментах выходным сигналам и фор- мулам (8) вычисляются характеристики установившегося состояния. 2. Последовательным усложнением модели решаем задачу структурной идентификации. Начинаем с размерности два )2( S и по двум частотам с вы- численными для них частотными характеристиками находим матрицу H, исполь- зуя для этого (13)–(21). Осуществляем ее сингулярное разложение и определяем по ним из (25) число обусловленности ).(æ2  Проверяем выполнимость усло- вия (24). С учетом того, что при увеличении размерности модели на единицу чис- ло обусловленности увеличивается примерно на два порядка, (24) можно уточ- нить и записать в виде .10 )(æ 22    (27) Если (27) выполняется, то переходим к модели третьего порядка, для которой берем три частоты. Повторяем те же действия, что и для модели второго порядка, а по выполнению или невыполнению (27) делаем заключение. Если оно не вы- полняется, то структурная идентификация заканчивается и порядок два дает раз- мерность модели либо совпадающую с генерирующей системой, либо корректно ее аппроксимирующую. Если же (27) выполняется, то переходим к следующей модели четвертого порядка. Эти действия продолжаются до тех пор, пока нера- венство (27) не перестанет выполняться. Тогда модель предшествующего порядка полностью определяет ее максимально допустимую размерность, при которой решение задачи идентификации остается малочувствительным по отношению к возмущениям в H и g. 38 ISSN 0572-2691 Заметим, что в описанной процедуре определялась модель максимально до- пустимой размерности .aS Однако это не исключает возможности построения редуцированной модели системы меньшей размерности. Тогда ее матрицу )( rS можно определять по спектральной норме отклонения матрицы )( rS от матри- цы максимальной размерности ),( aS которая устанавливается равенством ,12  srsrsm (28) где 1 rS — следующее за rS сингулярное число, которое определяет размер- ность редуцированной модели. Соотношение (28) можно использовать также для приближенной оценки отклонения модели системы, соответствующей точным ча- стотным характеристикам, от максимально допустимой модели размерности .aS 3. На следующем этапе решается задача параметрической идентификации. Из уравнения (21) находятся коэффициенты полинома .)( 0 i i S i swsW a   Соб- ственные значения q и pp j вычисляются из характеристического уравне- ния .0)( sW Величины rc mp r mq fg ,)( и rs mpf находятся из переопределенной линей- ной системы уравнений (9), (9) с использованием подходящих процедур усредне- ния или итеративного уточнения. Коэффициенты модели )()()()( ,,,,, s mp s pr c mp c prmqqr cbcbcb вычисляются согласно (6) для желаемого канониче- ского представления. Переопределенная система линейных уравнений для отыскания ,,)( rc mp r mq fg rc mpf вытекает из (9) и в матричном представлении имеет вид , (29) где ),,,,,,,,,,,( 2211 )( 2 )( 1 rs mP rc mP rs m rc m rs m rc mmQ r m r m aaa ffffffggg  ,ˆ,ˆ( )( 2 )( 1 r m r m  ),ˆ,,ˆ,ˆ,ˆ, )()( 2 )( 1 )( r mS r m r m r mS aa   aaa PQS 2 — размерность модели, а матри- ца  составлена из соответствующих коэффициентов при rs mp rc mp r mq ffg ,,)( в выра- жениях )( )( 0 ml r  и ).( )( 0 ml r  В принципе (29) можно решать методом наимень- ших квадратов (МНК), но, как и в случае с матрицей H, число обусловленности  растет достаточно быстро с увеличением ,aS а при МНК число обусловленности равно примерно квадрату числа обусловленности любой квадратной системы, по- лучаемой из (29) вычеркиванием произвольных лишних уравнений, т.е. в резуль- тате можем получить неустойчивое решение. Поэтому предпочтительными будут другие процедуры усреднения, не приводящие к такому значительному увеличе- нию обусловленности. После вычисления rs mp rc mp r mq ffg ,,)( анализируем их на принадлежность модам реальной системы или фиктивным модам, порождаемым неточностью данных. Те значения )(r mqg или пары ),,( rs mp rc mp ff которые дают величину отклика на выходе порядка или меньше расхождения выходных сигналов модели и объекта, считаем фиктивными и соответствующие им моды исключаем из модели. Для комплексных пар требуется, чтобы это условие выполнялось одновременно для rc mpf и .rs mpf Продемонстрируем, как работает предложенный и описанный выше метод на примере системы шестого порядка. Генерирующая исходная система имела соб- ственные значения ,51  ,62  ,111 j j5,0322  и зна- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 5 39 чения векторов ),1,1,1,1,1,1(c )1,1,1,1,1,1(b для жордановой реализации. В табл. 1 приведены результаты оценивания описанным методом для точных харак- теристик установившегося состояния ,(  N — размерность модели). Приведе- ны также значения числа обусловленности матриц H и  (cond и )cond и от- носительная характерная погрешность y выходов модели и системы при одном и том же входном воздействии на них. Таблица 1 N ppq  ˆˆ,ˆ mB mĈ cond cond y 3 i i 9823,00334,1 ,9823,00334,1 ,2055,4            1 1 1          1377,1 1133,1 6815,3 54,0859 20,5241 0,0044 4 i i 9990,09983,0 ,9990,09983,0 ,2446,3 ,8972,5               1 1 1 1            0021,1 9882,0 4968,2 5142,1 3100054,5  190,8984 4103564,1  5 i i 0004,10000,1 ,0004,10000,1 ,4104,2 ,9988,2 ,7247,5                    1 1 1 1 1                 9974,0 0012,1 6027,0 8986,2 7053,1 6101244,1  3103910,4  5105920,1  6 ,0000,10000,1 ,0000,10000,1 ,5000,00000,3 ,5000,00000,3 ,0000,5 ,0000,6 i i i i                       1 1 1 1 1 1                  0000,1 0000,1 0000,1 0000,1 0000,1 0000,1 8100311,1  4106131,3  14106794,4  7 i i i i 0000,10000,1 ,0000,10000,1 ,5000,00000,3 ,5000,00000,3 ,0000,5 ,0000,6 ,4420,5                         1 1 1 1 1 1 1                    0000,1 0000,1 0000,1 0000,1 0000,1 0000,1 0000,0 17106037,1  6109394,1  Неустойчивость Вектор b̂ модели всегда выбирался еди- ничным, соответствующим канонической ре- ализации. Модели третьего, четвертого и пя- того порядков являются редуцированными с соответствующими оценками y их аппрок- симирующих свойств. Точное значение раз- мерности системы N легко восстанавливается по приращению сингулярных чисел для мо- делей шестого и седьмого порядков, что хо- рошо видно из рис. 3, где представлены при- ращения порядков сингулярных чисел 1 lg   S S при последовательном увеличении S, т.е. размерности модели. В табл. 2 представлены результаты итеративного процесса идентификации той же системы, но уже по приближенным значениям )(ˆ )(  r ml и ),(ˆ )(  r ml .,1 Sl  При значении 510 получена аппроксимирующая модель максимально допу- 1 2 3 4 5 6 7 0 4 5 6 7 8 9 10 Рис. 3 40 ISSN 0572-2691 стимой размерности, равной пяти. Дальнейшее увеличение aS приводит к не- устойчивому решению. Таблица 2 N ppq  ˆˆ,ˆ mB mĈ cond cond y stat y 3 i i 9822,00334,1 9822,00334,1 2059,4            1 1 1          1379,1 1134,1 6813,3 52,2474 20,5499 0,0044 0,0037 4 i i 9989,09984,0 9989,09984,0 2503,3 9104,5               1 1 1 1            0025,1 9889,0 5064,2 5037,1 3100193,5  190,7605 4101977,1  4100059,1  5 i i 0017,10002,1 0017,10002,1 7036,1 1092,3 7494,5                      1 1 1 1 1                 9887,0 0042,1 1118,0 4500,2 6689,1 5106950,9  3101200,2  4100018,1  5106361,8  6 Неустойчивость 7101692,6  4105939,1  2.2. Системы с 1),2,(  rMm и ).2,1,( Rrm  Описанный метод рас- пространяется и на многосвязные системы. Достаточно легко это сделать для си- стем с одним входом и М выходами, а также для R входов и одним выходом. В первом случае следует взять управляемую каноническую форму с компонента- ми вектора b, равными ,11 qb ,0 )( 1  c pb ,1 )( 1  s pb а во втором — наблюдаемую ка- ноническую реализацию с ,11 qс ,1 )( 1  c pc .0 )( 1  s pc Тогда для управляемой кано- нической реализации имеем ,)1( mqmq cg  ,)s(1 mp c mp cf  ,)(1 c mp s mp cf  а для наблюдае- мой , )2( 1 qrq bg  ,)c( 1 pr rc p bf  .)s(1 pr rs p bf  Затем для каждого отдельного выхода или входа методом, описанным для системы с одним входом и выходом, решается зада- ча идентификации и определяется структура и параметры этого скалярного случая. Затем формируются матрицы A и C или A и B. Для этого сортируются собственные значения ppq  ,, для всех полученных решений. Если все собственные значе- нию оказались разными, то матрица A формируется из них всех в виде ],,,,,,,[diag 2121 PQ JJJA   .         pp pp pJ (30) Матрица C при управляемой реализации в каждой ее строке содержит эле- менты )()( ,, c mp s mpmq ccс для идентифицированных мод по соответствующему выходу и нули для остальных мод. Аналогично составляется матрица B по каждому ее столбцу, в которых при возбуждаемых модах стоят коэффициенты ,,, )()( s pr c prqr bbb а при невозбуждаемых — нули. Если имеются совпадающие собственные значения на разных выходах, то они входят в матрицу (30) только один раз, а матрицы C или B формируются анало- гично предыдущему. Когда же имеем достаточно близкие собственные значения, то целесообразно их усреднить и взять как совпадающие собственные значения. После этого повторно решить задачу определения коэффициентов ,mqс )()( , c mp s mp cc или ,,, )()( s pr c prqr bbb при уточненных собственных значениях. Матрицы A, B, C форми- руются аналогично случаю с совпадающими собственными значениями. Как пример реализации описанной процедуры идентификации была взята гене- рирующая система в управляемой форме, которая имела диагональную матрицу A Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 5 41 шестого порядка с теми же собственными значениями, что и в примере, рассмотрен- ном ранее и результатами, приведенными в табл. 1. При этом матрица C имела вид . 111111 010101 111111          C В результате при 510 по первому выходу (первая строка матрицы C) идентифицировалась модель четвертого порядка с двумя действительными и дву- мя комплексно-сопряженными собственными значениями. По второму выходу была получена модель третьего порядка с двумя комплексно-сопряженными и од- ним действительным собственным значением. Наконец, по третьему выходу по- лучена модель четвертого порядка, у которой собственные значения были ком- плексно-сопряженными. Однако одна пара была исключена, поскольку для них коэффициенты )(cc и )(sc были на уровне погрешностей по выходу. В результате аппроксимирующая модель для этого выхода стала моделью второго порядка. Комплексно-сопряженные собственные значения для всех трех выходов оказались близкими и для них проведено усреднение. В результате получили матрицу A пя- того порядка и соответствующую ей матрицу C, которые приняли вид ],,91,5,17,4,25,3[diag 1JA  , 00,19,0 99,000,1 1       J . 0849,10238,1000 0196,00208,109851,10 9875,00348,15388,104429,2          C Общий случай многосвязной системы с R входами и M выходами в рамках данной статьи не рассматривался, поскольку есть проблемы, для разрешения ко- торых требуются дополнительные исследования. Заключение Разработанный в настоящей статье метод построения математической модели линейной стационарной системы по характеристикам установившегося движения, который определяется по экспериментальным данным, ориентирован прежде всего на практическое применение, поскольку более реалистичными являются предполо- жения о неопределенности в данных, учитываются реальные возможности экспе- риментальных исследований и наличие ошибок при вычислениях. В отличие от ме- тодов идентификации, основанных на статистической теории, позволяющих нахо- дить модели, близкие к детерминированному случаю с несмещенными оценками, в развиваемом подходе модели как по структуре, так и по параметрам могут суще- ственно отличаться от детерминированного случая. При этом, однако, можно гово- рить о сохранении определенных свойств, которые позволяют хорошо аппроксими- ровать исследуемую систему. Прежде всего и генерирующая система, и модель да- ют на любое входное воздействие близкий отклик на выходе с погрешностью, определяемой ограничениями на входные возмущения и помехи на выходе, а также длительностью эксперимента, т.е. система и модель по выходу практически эквива- лентны. Это с большой достоверностью позволяет утверждать, что для выходных переменных на основе идентифицированной модели возможно прогнозирование реакции системы на любое входное воздействие с высокой точностью. Более того, есть все основания говорить о пригодности этих моделей для решения на их основе задач синтеза управления, но только по желаемым характеристикам выходных (из- меряемых) переменных. При этом динамические свойства внутренних переменных состояния модели и системы могут существенно отличаться. Тем не менее синтези- ровать управление можно по аппроксимирующей модели, а проверять его качество следует по реакции на ступенчатое входное воздействие для замкнутой обратной связью реальной системы и модели. Задача управления будет иметь корректное ре- шение, когда переходные процессы и стационарные состояния модели и системы с 42 ISSN 0572-2691 точностью до погрешностей оценивания совпадают. Если они отличаются, то это означает, что входной сигнал при идентификации был недостаточно информативен. Переменные состояния модели по отношению к переменным, характеризую- щим внутренние процессы в системе, можно трактовать как обобщенные, каждая из которых включает свою группу мод реального объекта. В этом заключается концептуальная близость рассмотренного метода с другим известным методом идентификации, получившим название МГУА, который связан с именем выдаю- щегося ученого академика А.Г. Ивахненко. Идея выбирать частоты входного гармонического сигнала так, чтобы они не совпадали с частотами помех измерений возмущающего воздействия, имеет пря- мую аналогию с широко используемым в методах стохастической идентификации предположением о статистической независимости входного воздействия и дей- ствующих на систему возмущений и шумов на выходе, что позволяет получать несмещенные оценки при количестве данных, стремящихся к бесконечности. В нашем случае без учета вычислительных погрешностей это достигается при  . К важному свойству метода следует отнести также его возможность находить не только предельно достижимую по условиям устойчивости аппроксимирующую модель, но и строить редуцированные модели меньшей размерности с оценкой их погрешности по выходным переменным. Предлагаемый в статье метод идентификации позволяет находить с его по- мощью устойчивые приближенные решения, согласованные по точности с по- грешностью исходных данных. Авторы признательны академику В.М. Кунцевичу за ценные замечания. В.Ф. Губарєв, С.В. Мельничук ІДЕНТИФІКАЦІЯ БАГАТОВИМІРНИХ СИСТЕМ ЗА ПАРАМЕТРАМИ УСТАЛЕНОГО РЕЖИМУ Розроблено удосконалений метод ідентифікації багатовимірних лінійних систем з моделлю у просторі стану за наближеними параметрами усталеного режиму, які визначаються інтегруванням експериментально отриманих вихідних сигналів при гармонічному збудженні на вході. Метод дозволяє відновлювати модель макси- мально допустимої за умовами стійкості розмірності, що апроксимує вихід реаль- ної системи з точністю, узгодженою з похибкою отримуваних даних. V.F. Gubarev, S.V. Melnichuk IDENTIFICATION OF MULTIVARIABLE SYSTEMS USING STEADY-STATE PARAMETERS Advanced method for identification of multivariable linear systems described by state- space model using approximate steady-state parameters which are defined by integra- tion of experimental outputs under harmonic inputs is developed. Method allows to reconstruct model of the maximal admissible by stability condition dimention which allows to approximate the output of real system providing an accuracy which is in agreement with errors in available data. 1. Александров А.Г. Метод частотных параметров // Автоматика и телемеханика. — 1989. — 50, № 12. — С. 3–5 2. Александров А.Г. Конечно-частотная идентификация: многомерный объект // Международ- ная конференция по проблемам управления. Избр. тр. — М. : ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН. — 1999. — 1. — С. 15–28. 3. Орлов Ю.Ф. Идентификация по частотным параметрам // Дифференциальные уравнения. — 2006. — 42, № 3, — С. 425–428. 4. Орлов Ю.Ф. Структурная идентификация многомерного объекта // Там же. — 2006. — 42, № 4. — С. 567–569. 5. Орлов Ю.Ф. Идентификация по частотным параметрам при параллельных испытаниях // Автоматика и телемеханика. — 2007. — 68, № 1. — С. 20–40. 6. Губарев В.Ф. Рациональная аппроксимация систем с распределенными параметрами // Ки- бернетика и системный анализ. — 2008. — № 2. — С. 99–116. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 5 43 7. Губарев В.Ф. Метод итеративной идентификации многомерных систем по неточным дан- ным // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 5. — С. 16–31. 8. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. — М. : Мир, 1999. — 548 с. Получено 08.02.2012

Идентификация многомерных систем по параметрам установившегося режима

Institution

Similar Items