О модификации метода Прони в задаче определения параметров синусоид

Розглянуто модифікацію методу Проні стосовно задачі визначення параметрів синусоїд, і на цій основі запропоновано відповідний алгоритм визначення оцінок параметрів синусоїд. Цей підхід менш трудомісткий, оскільки не використовує процедуру інтегрування системи диференціальних рівнянь. На прикладах по...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2012
Main Authors:	Апостолюк, А.С., Ларин, В.Б.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Series:	Проблемы управления и информатики
Subjects:	Методы идентификации и адаптивного управления
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207527
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	О модификации метода Прони в задаче определения параметров синусоид / А.С. Апостолюк, В.Б. Ларин // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 5. — С. 43–49. — Бібліогр.: 10 назв. - рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-207527
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2075272025-10-12T00:02:20Z О модификации метода Прони в задаче определения параметров синусоид Про модифікацію методу Проні в задачі визначення параметрів синусоїд On the Modification of Prony’s Method in the Problem of Determining Parameters of Sinusoids Апостолюк, А.С. Ларин, В.Б. Методы идентификации и адаптивного управления Розглянуто модифікацію методу Проні стосовно задачі визначення параметрів синусоїд, і на цій основі запропоновано відповідний алгоритм визначення оцінок параметрів синусоїд. Цей підхід менш трудомісткий, оскільки не використовує процедуру інтегрування системи диференціальних рівнянь. На прикладах показано ефективність запропонованого алгоритму. A modification of Prony’s method as applied to the problem of determining of parameters of sinusoids is offered. On this basis, the corresponding algorithm of determining of estimates of parameters of sinusoids is proposed. The proposed approach seems to be less difficult because it is not related to the procedure of integration of the system of differential equations. The efficiency of presented algorithm is shown on the examples. 2012 Article О модификации метода Прони в задаче определения параметров синусоид / А.С. Апостолюк, В.Б. Ларин // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 5. — С. 43–49. — Бібліогр.: 10 назв. - рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207527 517.977.58 10.1615/JAutomatInfScien.v44.i9.40 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Методы идентификации и адаптивного управления Методы идентификации и адаптивного управления
spellingShingle	Методы идентификации и адаптивного управления Методы идентификации и адаптивного управления Апостолюк, А.С. Ларин, В.Б. О модификации метода Прони в задаче определения параметров синусоид Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто модифікацію методу Проні стосовно задачі визначення параметрів синусоїд, і на цій основі запропоновано відповідний алгоритм визначення оцінок параметрів синусоїд. Цей підхід менш трудомісткий, оскільки не використовує процедуру інтегрування системи диференціальних рівнянь. На прикладах показано ефективність запропонованого алгоритму.
format	Article
author	Апостолюк, А.С. Ларин, В.Б.
author_facet	Апостолюк, А.С. Ларин, В.Б.
author_sort	Апостолюк, А.С.
title	О модификации метода Прони в задаче определения параметров синусоид
title_short	О модификации метода Прони в задаче определения параметров синусоид
title_full	О модификации метода Прони в задаче определения параметров синусоид
title_fullStr	О модификации метода Прони в задаче определения параметров синусоид
title_full_unstemmed	О модификации метода Прони в задаче определения параметров синусоид
title_sort	о модификации метода прони в задаче определения параметров синусоид
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Методы идентификации и адаптивного управления
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207527
citation_txt	О модификации метода Прони в задаче определения параметров синусоид / А.С. Апостолюк, В.Б. Ларин // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 5. — С. 43–49. — Бібліогр.: 10 назв. - рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT apostolûkas omodifikaciimetodapronivzadačeopredeleniâparametrovsinusoid AT larinvb omodifikaciimetodapronivzadačeopredeleniâparametrovsinusoid AT apostolûkas promodifíkacíûmetodupronívzadačíviznačennâparametrívsinusoíd AT larinvb promodifíkacíûmetodupronívzadačíviznačennâparametrívsinusoíd AT apostolûkas onthemodificationofpronysmethodintheproblemofdeterminingparametersofsinusoids AT larinvb onthemodificationofpronysmethodintheproblemofdeterminingparametersofsinusoids
first_indexed	2025-10-12T01:08:20Z
last_indexed	2025-10-13T01:08:40Z
_version_	1845826914432843776
fulltext	© А.С. АПОСТОЛЮК, В.Б. ЛАРИН, 2012 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 5 43 УДК 517.977.58 А.С. Апостолюк, В.Б. Ларин О МОДИФИКАЦИИ МЕТОДА ПРОНИ В ЗАДАЧЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ СИНУСОИД Введение В различных прикладных задачах теории колебаний [1, 2] возникают вопро- сы определения параметров синусоид (см., например, [3–5] и ссылки в них). Ниже излагается модифицированный (применительно к задаче определения параметров синусоид) метод Прони [6–9], и на этой основе предлагается соответствующий алгоритм определения оценок параметров синусоид. В отличие от алгоритма [5], предлагаемый подход представляется менее трудоемким, так как не связан с про- цедурой интегрирования системы дифференциальных уравнений. На примерах [5] демонстрируется эффективность предлагаемого алгоритма. 1. Задача идентификации параметров синусоид [5] Рассмотрим следующую задачу: наблюдается сигнал , 1 0 i n i yay    (1) где ),(sincossin 21 iiiiiiii tatatay  iaa ,0 ) , ,1( ni  — константы, величина n считается заданной. Нужно оце- нить неизвестные параметры ,0a },,{ iiia  или ,0a },,{ 21 iii aa  , основываясь только на измерениях сигнала y. Предположим вначале, что в (1) 00 a (далее это ограничение будет снято). В этом случае функция ),(ty определяемая (1), удовлет- воряет дифференциальному уравнению ,0)2( 2 1 )2(     jn j n j n ydy (2) с начальными условиями ),0()0( 2 )2( jn jn xy    .2,,1 nj  Характеристическое уравнение для (2) имеет вид .02 2 1 2     jn j n j n d (3) Вследствие того, что сигнал (1) является суммой синусоид, коэффициенты jd в (3) при нечетных степенях  будут нулевыми. Другими словами, полином (3) будет полиномом степени n относительно ,2 причем корни этого полинома )( 2 i будут равны .2 i Отметим, что дифференциальное уравнение (2) можно записать в виде си- стемы n2 дифференциальных уравнений первого порядка: ,Axx  ,])0()0()0([)0( T 1210  nxxxx  (4) ],0001[,  CCxy 44 ISSN 0572-2691 . 0100 0010 12             dd A n     Здесь и далее верхний индекс «Т» означает транспонирование. 2. Метод Прони [8, 9] Рассмотрим дискретную последовательность значений )( jty сигнала (1) в рав- ноотстоящие моменты времени ,)1( sj Tjt  , ,2 ,1 j где sT — заданный (фиксированный) интервал времени. Согласно (4) имеем ).0()( xCety jAt j  (5) Пусть 02 12 1 2   n nn  (6) — характеристический полином матрицы .s AT e Согласно (5), (6) имеем   )()()( 21212 knknkn tytyty  )},0()]()(){[( 2 12 1 2 xeIeeC ksAT n nsATnsAT    . ,1 ,0 k (7) Здесь и далее I — единичная матрица соответствующего размера. Поскольку матрица sAT e обращает в нуль свой характеристический полином, можно утверждать, что .0 Другими словами, получена система линейных уравнений (7), определяющая коэффициенты i как функции наблюдаемого сигнала ).( jty Отметим, что корни полиномов (3) и (6) i( и j соответственно) связаны соотношением .s Ti j e   (8) Таким образом, исходную задачу определения параметров iiia  , , можно разбить на две задачи, а именно, задачу определения коэффициентов полинома (6) из системы линейных уравнений (7), что согласно (8) позволяет определить ,i и вторую задачу, которая состоит в определении амплитуд 21, ii aa из системы линейных уравнений ),cossin()( 21 1 jiijii n i j tataty   .,1,0 j (9) Эта декомпозиция исходной задачи составляет суть метода Прони и построенных на его основе алгоритмов (см. [8, 9] и ссылки на литературу). 3. Модификация метода Прони Как отмечалось выше, характеристический полином (3), с одной стороны, явля- ется полиномом степени n относительно .2 С другой стороны, полином (6) имеет степень ,2n причем в общем случае все его коэффициенты ненулевые. В этой связи целесообразно преобразовать (6). Очевидно, что (6) можно переписать следующим образом: ).( 2 1 j n j    (10) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 5 45 Пусть корни (3) упорядочены так, что ,ii i .1 ij i  Согласно (8) имеем ,sincos sisij TiT  .sincos1 sisij TiT   (11) Приняв во внимание (11), полином (10) запишем так: ,)cos2()1cos2( 1 2 1    n si n i n si n i TT (12) , 1   .1 1 n nn    Отметим, что корнями полинома  будут ,cos2 sii T (13) зная которые согласно (13) можно найти .i Таким образом, задача состоит в нахождении n коэффициентов i полинома . Определив согласно (12) характеристический полином  как функ- цию коэффициентов ,i как это сделано при выводе (7), можно найти систему линейных уравнений, определяющих коэффициенты i как функции наблюдае- мых значений сигнала ).( jty Снимем предположение, что в (1) .00 a В этом случае порядок системы (2) и степень характеристического полинома (3) возрастут на единицу, причем харак- теристический полином (3) будет иметь один нулевой корень. Соответственно возрастет на единицу степень полинома (6), который будет иметь дополнитель- ный корень, равный единице. Очевидно, что в этом случае характеристический полином  связан с полиномом (6) следующим образом: .)1(  (14) Соотношение (14) позволяет получить систему уравнений, определяющих ,i и в случае, когда .00 a Проиллюстрируем эту процедуру, когда в (1) .1n Имеем ,1 .0)(1 1 223  (15) Выберем из последовательности (15) первые четыре члена, которые обозначим ).4(),3(),2(),1( yyyy В соответствии с (15) получим .0))2()3(()1()2()3()4( 1  yyyyyy (16) Уравнение (16) позволяет определить 1 и найти 1 из соотношения /2.cos 11  sT (17) Получив из (17) оценку ,1 можно записать систему (4 уравнения), опреде- ляющую константы 12110 ,, aaa , которые фигурируют в (1): .4,3,2,1),)1((cos))1((sin)( 1121110  iTiaTiaaiy ss (18) 4. Выбор интервала sT Очевидно, что величина интервала ,sT с одной стороны, ограничена услови- ем . siT С другой стороны, в соответствии с (13) точность нахождения пара- метров i будет определяться как точностью определения корня ,i так и вели- 46 ISSN 0572-2691 чиной .sT В результате решения уравнения ,0 коэффициенты i в котором получены с определенной погрешностью, будем иметь некоторые оценки )( i корней ,i которые сопровождаются погрешностями :i .iii  (19) Естественно, что согласно (13) следствием погрешностей i в (19) будут погреш- ности )( i определения параметров :i .])[(cos2 siii T (20) Предполагая, что в (20) погрешности i и i малы, можно записать следующее соотношение: issii TT  )(sin2 или . )(sin2 sis i i TT    (21) Считая, что погрешность i не зависит от ,sT с учетом (21) можно выбрать ин- тервал ,sT который минимизирует .i Отсюда в первом приближении в каче- стве оценки оптимального значения sT можно принять значения, которые макси- мизируют )(sin siT , т.е. .2/ siT (22) Другими словами, соотношение (22) позволяет указать ,sT которому соответ- ствует «достаточно хорошая» оценка .i Так, в первом приближении при нахож- дении значения i можно руководствоваться условием минимизации абсолютной величины значения .i В некоторых задачах (см. примеры) можно упростить и эту процедуру, а именно, принимать для оценок всех параметров i значение ,sT ми- нимизирующее максимальное абсолютное значение корней ,i т.е. значение ,sT при котором достигается минимум следующего выражения: }).,,{(max 1 nabs   (23) Отметим, что аналогичные вопросы (оптимизация величины )sT подробно рассмотрены в [8], где есть дальнейшие ссылки. 5. Примеры Пример 1 [5]. Наблюдаемый сигнал имеет вид ),/44(sin32)(  tty (24) т.е. в обозначениях (1) ,20 a ,31 a ,41 .4/1  Результаты наблюдения сигнала (24) в дискретные моменты времени jt определяются следующим соотношением: ,v)/44(sin32)( jjj tty  (25) где, как и в (5), ,)1( sj Tjt   ,2,1j . Помеха jv моделируется некоррелиро- ванной последовательностью случайных чисел, имеющих равномерное распреде- ление со следующими параметрами: ,0v  j .v 22  j Здесь  — символ ма- тематического ожидания. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 5 47 С помощью численного моделирования оценим эффективность рассмотрен- ного в разд. 4 алгоритма выбора sT и точность оценок параметров 1101 , , ,  aa в зависимости от интервала sT и дисперсии . Для удобства, представим sT сле- дующим образом: ,kdTs   ,2 ,1k , (26) d — фиксированный интервал времени. Для определения 1 и ,1 рассматривая в качестве исходных данных эле- менты последовательности (25), используем соотношения (16), (17), а для опреде- ления 110 , , aa — соотношение (18). В данном примере достаточно ограни- читься первыми четырьмя членами последовательности (25) (которые в (16) обо- значены )).4( ),3( ),2( ),1( yyyy Очевидно, что имеет место следующая связь этих величин с элементами последовательности (25): ),)1(()( sTiyiy  .4 ,3 ,2 ,1i (27) Принимается, что в (26) .1,0d Результаты моделирования при 01,0 и 1,0 приведены в табл. 1 и 2 соответственно. Таблица 1 k Значения параметров  1 0a 1a 1 1 1,6141 6,3164 3,456 1,675 0,32 2 1,4443 3,8195 2,0121 2,9405 0,8969 3 0,7382 3,9759 2,012 2,9897 0,8085 4 – 0,0518 3,9917 2,0005 3,0047 0,7965 5 – 0,8278 3,995 2,0058 2,9995 0,8666 6 – 1,4692 3,9932 2,0019 2,9919 0,8003 Таблица 2 k Значения параметров  1 0a 1a 1 1 0,3254 14,0738 4,133 0,7002 – 2,9681 2 1,9757 0,7799 4,1638 7,1049 2,9949 3 0,865 3,7452 2,144 2,8933 1,0369 4 0,0095 3,9151 2,0062 3,0448 0,9018 5 – 0,7856 3,9489 2,0588 2,9937 0,7042 6 – 1,4154 3,9284 2,0249 2,8993 0,9418 Судя по этим результатам, можно констатировать эффективность предложенной в разд. 4 процедуры выбора .sT Так, в табл. 1, 2 минимальное значение оценки  со- ответствует 4k ).4( dTs  Для этого значения sT при 01,0 (см. табл. 1) полу- чены достаточно точные оценки .,,, 1110 aa При 1,0 (см. табл. 2) значение 4k также отвечает минимальному значению , однако оценки 1110 ,,, aa менее точны. Для их уточнения можно использовать, например, нелинейный ана- лог метода Прони [10]. Как отмечено в [5], в этом примере алгоритм [5] не позво- ляет получить оценки параметров сигнала, если .01,0 Пример 2 [5]. Наблюдаемый сигнал имеет вид ),/32,1(sin4)/6(sin2  tty (28) т.е. в обозначениях (1) ,11  ,2,12  ,00 a ,21 a ,42 a /6,1  /3.2  48 ISSN 0572-2691 Аналогом (25) будет следующее соотношение: ,v)3/2,1(sin4)6/(sin2)( jjjj ttty  (29) где параметры помехи jv аналогичны принятым в (25). В этом примере ,01,0 .2,0d Выберем из последовательности (29) шесть первых членов: )6(,),1( yy  (связь )(iy и элементов последовательности (29) аналогична принятой в (27)). Система уравнений, определяющая коэффициенты 21,  в (12), имеет вид ,0)3())2()4(()1()3(2)5( 21  yyyyyy .0)4())3()5(()2()4(2)6( 21  yyyyyy Уравнения, определяющие 21, ii aa в (1), аналогичны (18):  ))1((cos))1((sin)( 112111 ss TiaTiaiy ).)1((cos))1((sin 222221 ss TiaTia  .6,,2,1 i Для выбора величины sT использовался упрощенный критерий, описанный в разд. 4, а именно, выбиралось то значение ,sT которое соответствует минимальному зна- чению )).(),((max 21  absabs (30) Результаты моделирования приведены в табл. 3. Таблица 3 k Значения параметров  1 2 1a 2a 1 2 1 2,2301 1,1379 15,708–2,375i 5,7301 0,0038 0,8944 1,5708 2 1,8023 1,1209 4,3586 5,7054 0,0218 0,9091 – 1,4507 3 1,6101 1,0584 1,694 5,1623 0,5609 0,9648 0,4357 4 1,495 0,9082 1,246 2,0917 3,626 0,9875 0,8541 5 1,2223 0,9133 1,1994 1,4779 4,3143 0,7385 0,9403 6 0,8025 0,9649 1,1909 1,6346 4,302 0,5375 1,0099 7 0,351 0,996 1,1934 1,9047 4,1315 0,4811 1,0571 8 0,6776 1,0061 1,1978 2,0521 4,0042 0,4898 1,0709 9 1,1165 1,0006 1,2009 2,1136 3,9358 0,5093 1,0683 10 0,653 1,0086 1,2017 2,1453 3,895 0,5403 1,0487 Как следует из результатов, приведенных в табл. 3, минимальное значение , которое определяется (30), достигается при 7k ).4,1( sT Такой выбор величи- ны sT позволяет получить при этом уровне помехи довольно точные оценки па- раметров сигнала (28). Отметим, что в [5] параметры этого сигнала определялись при отсутствии помехи ).0(  Заключение Предложена модификация метода Прони применительно к задаче определе- ния параметров синусоид, и на этой основе предложен соответствующий алго- ритм определения оценок параметров синусоид. В отличие от алгоритма, рас- смотренного в [5], предлагаемый подход представляется менее трудоемким, так как не связан с процедурой интегрирования системы дифференциальных уравне- ний. На примерах демонстрируется эффективность предлагаемого алгоритма. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 5 49 О.С. Апостолюк, В.Б. Ларін ПРО МОДИФІКАЦІЮ МЕТОДУ ПРОНІ В ЗАДАЧІ ВИЗНАЧЕННЯ ПАРАМЕТРІВ СИНУСОЇД Розглянуто модифікацію методу Проні стосовно задачі визначення парамет- рів синусоїд, і на цій основі запропоновано відповідний алгоритм визначення оцінок параметрів синусоїд. Цей підхід менш трудомісткий, оскільки не ви- користовує процедуру інтегрування системи диференціальних рівнянь. На прикладах показано ефективність запропонованого алгоритму. A.S. Apostolyuk, V.B. Larin MODIFICATION OF PRONY’S METHOD IN THE PROBLEM OF DETERMINING OF PARAMETERS OF SINUSOIDS A modification of Prony’s method as applied to the problem of determining of pa- rameters of sinusoids is offered. On this basis, the corresponding algorithm of deter- mining of estimates of parameters of sinusoids is proposed. The proposed approach seems to be less difficult because it is not related to the procedure of integration of the system of differential equations. The efficiency of presented algorithm is shown on the examples. 1. Mikhlin Yu.V., Mitrokhin S.G. Nonlinear oscillatory processes in wheeled vehicles // Int. Appl. Mech. — 2011. — 46, N 11. — P. 1311–1318. 2. Nikitina N.V. Complex oscillations in systems subject to periodic perturbation // Ibid. — 2011. — 46, N 11. — P. 1319–1326. 3. Нuа Y., Sarkar Т.К. Matrix pencil method for estimating parameters of exponentially damped / undamped sinusoids in noise // IEEE Trans. Acoustics, Speech and Signal Proc. —1990. — 38, N 5. — P. 814–824. 4. Frazho A.E., Yagci B., Sumali H. On sinusoid estimation in nonstationary noise // IEEE Trans. Automat. Control. — 2004. — 49, N 5. — P. 777–781. 5. Hou M. Parameter identification of sinusoids // Ibid. — 2012. — 57, N 2. — P. 467–472. 6. Apostolyuk A.S., Larin V.B. On linear stationary system identification at regular and irregular measurements // Appl. and Comp. Math. — 2009. — 8, N 1. — P. 42–53. 7. Apostolyuk A.S., Larin V.B. Measurement data handling in identification of mechanical systems // Int. Appl. Mech. — 2011. — 46, N 10. — P. 1164–1176. 8. Ларин В.Б., Апостолюк А.С. Задача идентификации линейных стационарных систем. Часть 1. Метод Прони // Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2011. — № 4. — С. 21–37. 9. Ларин В.Б., Апостолюк А.С. Задача идентификации линейных стационарных систем. Часть 2. Обобщения метода Прони // Там же. — 2011. — № 5. — С. 27–43. 10. Larin V.B., Apostolyuk A.S. Identification of linear time-invariant systems // Int. Appl. Mech. — 2011. — 47, N 6. — P. 754–760. Получено 04.04.2012

О модификации метода Прони в задаче определения параметров синусоид

Institution

Similar Items