Общая схема получения необходимых условий оптимальности для непрерывных задач оптимального разбиения множеств
Сформульовано у загальному вигляді детерміновані багатопродуктові задачі оптимального розбиття множини з обмеженнями у термінах теорії функцій множин. Розглянуто задачі з обмеженнями у вигляді нерівностей, а також у вигляді рівностей та нерівностей. Для цих задач отримано необхідні умови оптимальнос...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Назва видання: | Проблемы управления и информатики |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207528 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Общая схема получения необходимых условий оптимальности для непрерывных задач оптимального разбиения множеств / Е.М. Киселева, А.А. Жильцова, В.А. Строева // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 5. — С. 50–63. — Бібліогр.: 5 назв. - рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-207528 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2075282025-10-12T00:14:52Z Общая схема получения необходимых условий оптимальности для непрерывных задач оптимального разбиения множеств Загальна схема отримання необхідних умов оптимальності для неперервних задач оптимального розбиття множин General Scheme to Obtain Necessary Optimality Conditions for Continuous Optimal Set Partitioning Problems Киселева, Е.М. Жильцова, А.А. Строева В.А. Оптимальное управление и методы оптимизации Сформульовано у загальному вигляді детерміновані багатопродуктові задачі оптимального розбиття множини з обмеженнями у термінах теорії функцій множин. Розглянуто задачі з обмеженнями у вигляді нерівностей, а також у вигляді рівностей та нерівностей. Для цих задач отримано необхідні умови оптимальності як у формальному, так і у конструктивному вигляді, який може застосовуватися для конкретних класів задач. Використання теорем продемонстровано на прикладі детермінованої багатопродуктової нелінійної задачі оптимального розбиття множини із розміщенням центрів підмножин та обмеженнями у вигляді рівностей та нерівностей. General continuous determined multiproduct optimal set partitioning problems are formulated in terms of set function theory. The problems with constraints in the form of inequalities and those with constraints in the form of both equalities and inequalities are considered. For these problems, the necessary optimality conditions are obtained both in the general and constructive form, which can be easily applied to specific problem classes. The theorem applications are illustrated by an example of a determined multiproduct nonlinear optimal set partitioning problem with subset center placement and constraints in the form of equalities and inequalities. 2012 Article Общая схема получения необходимых условий оптимальности для непрерывных задач оптимального разбиения множеств / Е.М. Киселева, А.А. Жильцова, В.А. Строева // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 5. — С. 50–63. — Бібліогр.: 5 назв. - рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207528 519.8 10.1615/JAutomatInfScien.v44.i9.50 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Оптимальное управление и методы оптимизации Оптимальное управление и методы оптимизации |
| spellingShingle |
Оптимальное управление и методы оптимизации Оптимальное управление и методы оптимизации Киселева, Е.М. Жильцова, А.А. Строева В.А. Общая схема получения необходимых условий оптимальности для непрерывных задач оптимального разбиения множеств Проблемы управления и информатики |
| description |
Сформульовано у загальному вигляді детерміновані багатопродуктові задачі оптимального розбиття множини з обмеженнями у термінах теорії функцій множин. Розглянуто задачі з обмеженнями у вигляді нерівностей, а також у вигляді рівностей та нерівностей. Для цих задач отримано необхідні умови оптимальності як у формальному, так і у конструктивному вигляді, який може застосовуватися для конкретних класів задач. Використання теорем продемонстровано на прикладі детермінованої багатопродуктової нелінійної задачі оптимального розбиття множини із розміщенням центрів підмножин та обмеженнями у вигляді рівностей та нерівностей. |
| format |
Article |
| author |
Киселева, Е.М. Жильцова, А.А. Строева В.А. |
| author_facet |
Киселева, Е.М. Жильцова, А.А. Строева В.А. |
| author_sort |
Киселева, Е.М. |
| title |
Общая схема получения необходимых условий оптимальности для непрерывных задач оптимального разбиения множеств |
| title_short |
Общая схема получения необходимых условий оптимальности для непрерывных задач оптимального разбиения множеств |
| title_full |
Общая схема получения необходимых условий оптимальности для непрерывных задач оптимального разбиения множеств |
| title_fullStr |
Общая схема получения необходимых условий оптимальности для непрерывных задач оптимального разбиения множеств |
| title_full_unstemmed |
Общая схема получения необходимых условий оптимальности для непрерывных задач оптимального разбиения множеств |
| title_sort |
общая схема получения необходимых условий оптимальности для непрерывных задач оптимального разбиения множеств |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Оптимальное управление и методы оптимизации |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207528 |
| citation_txt |
Общая схема получения необходимых условий оптимальности для непрерывных задач оптимального разбиения множеств / Е.М. Киселева, А.А. Жильцова, В.А. Строева // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 5. — С. 50–63. — Бібліогр.: 5 назв. - рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT kiselevaem obŝaâshemapolučeniâneobhodimyhuslovijoptimalʹnostidlânepreryvnyhzadačoptimalʹnogorazbieniâmnožestv AT žilʹcovaaa obŝaâshemapolučeniâneobhodimyhuslovijoptimalʹnostidlânepreryvnyhzadačoptimalʹnogorazbieniâmnožestv AT stroevava obŝaâshemapolučeniâneobhodimyhuslovijoptimalʹnostidlânepreryvnyhzadačoptimalʹnogorazbieniâmnožestv AT kiselevaem zagalʹnashemaotrimannâneobhídnihumovoptimalʹnostídlâneperervnihzadačoptimalʹnogorozbittâmnožin AT žilʹcovaaa zagalʹnashemaotrimannâneobhídnihumovoptimalʹnostídlâneperervnihzadačoptimalʹnogorozbittâmnožin AT stroevava zagalʹnashemaotrimannâneobhídnihumovoptimalʹnostídlâneperervnihzadačoptimalʹnogorozbittâmnožin AT kiselevaem generalschemetoobtainnecessaryoptimalityconditionsforcontinuousoptimalsetpartitioningproblems AT žilʹcovaaa generalschemetoobtainnecessaryoptimalityconditionsforcontinuousoptimalsetpartitioningproblems AT stroevava generalschemetoobtainnecessaryoptimalityconditionsforcontinuousoptimalsetpartitioningproblems |
| first_indexed |
2025-10-12T01:08:24Z |
| last_indexed |
2025-10-13T01:08:44Z |
| _version_ |
1845826918674333696 |
| fulltext |
© Е.М. КИСЕЛЕВА, А.А. ЖИЛЬЦОВА, В.А. СТРОЕВА, 2012
50 ISSN 0572-2691
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
УДК 519.8
Е.М. Киселева, А.А. Жильцова, В.А. Строева
ОБЩАЯ СХЕМА ПОЛУЧЕНИЯ
НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ
ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ЗАДАЧ
ОПТИМАЛЬНОГО РАЗБИЕНИЯ МНОЖЕСТВ
Введение
В монографии [1] заложены основы для развития теории непрерывных задач
оптимального разбиения множеств (ОРМ) n-мерного евклидова пространства, яв-
ляющихся неклассическими задачами бесконечномерного математического пр о-
граммирования с булевыми переменными.
В [1] сформулирован ряд новых классов математических моделей оптималь-
ного разбиения множества на подмножества, а именно:
детерминированные линейные и нелинейные, однопродуктовые и много-
продуктовые задачи ОРМ при ограничениях как с заданным положением центров
подмножеств, так и с отысканием оптимального варианта их расположения;
задачи оптимального разбиения множеств в условиях неопределенности, для
снятия неопределенности в таких задачах ОРМ предлагается применять либо мате-
матический аппарат стохастического бесконечномерного математического про-
граммирования (если часть исходной информации имеет вероятностный характер),
либо аппараты нечетких множеств и нечеткой логики (если параметры, входящие
в описание моделей, являются нечеткими, неточными, недостоверными и т.д.);
динамические задачи оптимального разбиения с критерием оптимальности,
который зависит от фазовых траекторий и управления некоторой заданной управ-
ляемой системы;
непрерывные задачи о шаровом покрытии, сводящиеся к задачам ОРМ.
Для решения сформулированных классов задач разбиения предложен единый
подход, в основе которого лежит следующая идея. Исходные задачи ОРМ, кото-
рые математически сформулированы как бесконечномерные задачи оптимизации,
сводятся определенным образом (например, через функционал Лагранжа) к вспо-
могательным конечномерным негладким задачам максимизации либо негладким
максиминным задачам, для численного решения которых применяются современ-
ные эффективные методы недифференцируемой оптимизации, а именно, различ-
ные модификации r-алгоритма Шора.
На основе предложенного единого подхода теоретически обоснованы методы
и алгоритмы для некоторых классов задач оптимального разбиения.
Центральным этапом в математическом обосновании предложенных методов
ОРМ является формулирование необходимых условий оптимальности, на кото-
рых основываются разработанные численные алгоритмы решения задач ОРМ.
Ранее в каждом из рассмотренных типов задач ОРМ такие условия были
получены с использованием своего теоретического аппарата, в зависимости от
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 5 51
специфики данной конкретной задачи. Однако в связи с интенсивным развитием
в настоящее время теории оптимального разбиения множеств (можно смело отм е-
тить, что существует не менее 500 как отечественных, так и зарубежных публика-
ций по этой тематике, а также по темам, примыкающим к рассматриваемой) и воз-
можностью широкого применения разработанных методов ОРМ как для некото-
рых теоретических задач оптимизации, так и для практических классов задач,
сводящихся к задачам оптимального разбиения множеств. Возникла необходимость
создания единой теоретической базы для получения необходимых (и достаточных)
условий оптимальности общего вида, которые легко могли бы быть конкретизир о-
ваны как для изученных классов задач ОРМ, так и для вновь возникающих.
В настоящей работе авторы представляют результаты исследований, направ-
ленных на создание единой теоретической базы для построения общих необходи-
мых условий оптимальности для широкого класса задач ОРМ, используя аппарат
теории функций множеств. Предшествующие работы авторов [2–4] посвящены
созданию соответствующих необходимых условий для подкласса однопродукто-
вых задач оптимального разбиения множеств с ограничениями. Использование
доказанных теорем продемонстрировано на примере детерминированных линей-
ных непрерывных задач оптимального разбиения множеств с ограничениями при
заданном положении центров подмножеств [2].
В данной статье рассматриваются общая постановка и общие необходимые
условия оптимальности для детерминированной многопродуктовой задачи ОРМ с
ограничениями. В качестве иллюстрации выбрана многопродуктовая детер мини-
рованная нелинейная задачи ОРМ с ограничениями и неизвестным заранее поло-
жением центров подмножеств. В предшествующих работах [5] применялся мно-
гоэтапный нетривиальный метод построения необходимых условий оптимально-
сти для многопродуктовых нелинейных задач ОРМ. Данная работа показывает,
как можно получить аналогичный результат, непосредственно применив доказан-
ную общую конструктивную теорему, сформулированную в терминах теории
функций множеств.
1. Основные понятия и теоремы
Пусть — непрерывное, ограниченное, измеримое по Лебегу множество из
n-мерного евклидового пространства ,nR ),Σ,( — измеримое пространство,
— (псевдо) алгебра множества . В качестве меры будем рассматривать меру
Лебега.
Определение. Разбиением множества nR на N подмножеств назовем си-
стему его подмножеств NΩ,,Ω1 , для которых выполняется три условия:
1) Ω,Ω i ;,1 Ni
2) Ω;Ω
1
i
N
i
3) ,0)Ωμ(Ω ki ;ki .1, N,ki
Пусть
N
Ω — пространство всех возможных разбиений множества на N
подмножеств. При этом разбиения, отличающиеся только множествами нулевой
меры, будем считать равными элементами .Ω
N
Очевидно .ΣΩ
NN Для элементов пространства ,ΣN
а значит, и для эле-
ментов
N
Ω введем метрику
,)ΩΔ(Ωμ})Ω...,,Ω{},Ω...,,ρ({Ω i
2
1
11 i
N
i
NN
где под обозначением ii ΩΔΩ понимается симметрическая разность множеств.
52 ISSN 0572-2691
В работе [6] построено метрическое пространство на базе ,ΣΩ
NN где
ΣΣΣ N — декартово произведение N алгебр множества , и удалось
установить такие его свойства, как ограниченность, плотность в себе, хаусдорфо-
вость, замкнутость.
Многопродуктовая задача ОРМ с ограничениями в виде неравенств. Пусть
,:...,,, 1
Ω1 RGGF Nj
m
jj ,...,,1 Mj — псевдонепрерывные функции разбиения.
Задача 1. Пусть
)),Ω...,,Ω(()Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( 1
1
1
11
1
j
N
jj
M
j
M
N
M
N FF
(1)
)),Ω...,,Ω(()Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( 1
1
1
11
1
j
N
jj
i
M
j
M
N
M
Ni GG
....,,1 mi (2)
Найти минимум функции разбиения F на
},...,,1,0)Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω(:)()Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω{( 1
11
1Ω1
11
1 miGU M
N
M
Ni
MNM
N
M
N
т.е.
min)Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( 1
11
1 M
N
M
NF
при условиях
,0)Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( 1
11
1 M
N
M
NiG ,...,,1 mi
.)()Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( Ω1
11
1
MNM
N
M
N
Сформулируем для данной задачи теорему, аналогичную теореме, устанав-
ливающей необходимые условия оптимальности для однопродуктовой задачи
ОРМ с ограничениями в виде неравенств [2].
Теорема 1. (Необходимые условия оптимальности для задачи 1.) Пусть
)μ,Σ,Ω( — конечное безатомное пространство с мерой и функции
1
Ω1 )(:...,,, RGGF MN
m вида (1), (2) — дифференцируемые функции множеств
на .)()Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( Ω
**
1
*1*1
1
MNM
N
M
N Если )Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( **
1
*1*1
1
M
N
M
N —
локальный минимум задачи 1, то существуют неотрицательные числа
,...,,, **
1
*
0 m не все равные нулю, такие, что
0, ***
1
**
1
ΩΩ
)(
Ω...,,Ω
*
1
)(
Ω...,,Ω
*
0
11
k
i
k
i
k
N
kk
N
k
ijk
j
m
j
ik
N
i
M
k
DGDF (3)
для всех ,)()Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( Ω1
11
1
MNM
N
M
N
,0)Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( **
1
*1*1
1
* M
N
M
NjjG ,...,,1 mj (4)
где
)(
Ω...,,Ω **
1
ik
k
N
kDF — частная производная функции множеств kF по і-му аргумен-
ту на );Ω...,,Ω( **
1
k
N
k
)(
Ω...,,Ω **
1
ijk
k
N
kDG — частная производная функции множеств
k
jG
по і-му аргументу на ),Ω...,,Ω( **
1
k
N
k
,...,,1 Ni ,...,,1 mj ....,,1 Mk
Доказательство. Для сокращения записи используем такие обозначения:
)(
...,,
)(
* **
1
ikik
k
N
kDFDF
,
)(
...,,
)(
* **
1
ijkijk
k
N
kDGDG
и соответственно ,)(ikDF
)(ijkDG —
для произвольного ,)()Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( Ω1
11
1
MNM
N
M
N ,...,,1 Ni ,...,,1 mj
....,,1 Mk
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 5 53
Определим множества 1, mRBA следующим образом:
,
,...,,1,,)Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω(
,,
:Σ)Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω(:)...,,(
*
*
ΩΩ
)(
*
11
**
1
*1*1
1
ΩΩ
)(
*
11
0
1
11
10
mjDGGv
DFv
vv
A
k
i
k
i
k
i
k
i
ijk
N
i
M
k
M
N
M
Njj
ik
N
i
M
k
NMM
N
M
Nm
}....,,0,0:)...,,{( 0 mjvvvB jm
Продемонстрируем, что A и B — непересекающиеся выпуклые множества.
Множество B, очевидно, выпукло. Для того чтобы показать выпуклость A, доста-
точно показать выпуклость такого множества:
.
,...,,1,,
,,
:)...,,Ω...;;Ω..,,.Ω(:)...,,(
*
*
ΩΩ
)(
*
11
ΩΩ
)(
*
11
0
1
11
10
1
mjDGv
DFv
Ωvv
A
k
i
k
i
k
i
k
i
ijk
N
i
M
k
j
ik
N
i
M
k
NMM
N
M
Nm
Действительно, допустим, что 1A выпукло. Для выпуклости A необходимо
показать, что для Avv 21, элемент ,)1( 21 Avv ].1,0[
Поскольку ,, 21 Avv то
,,:)...,,...;;...,,( *
)(
*
11
1
01
11
1 k
i
k
i ΩS
ik
N
i
M
k
NMM
N
M
N DFvSSSS
,,)Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( *
)(
*
11
**
1
*1*1
1
1
k
i
k
i ΩS
ijk
N
i
M
k
M
N
M
Njj DGGv
,...,,1 mj
,,:)...,,...;;...,,( *Ω
)(
*
11
2
01
11
1 k
i
k
iR
ik
N
i
M
k
NMM
N
M
N DFvRRRR
,,)Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( *Ω
)(
*
11
**
1
*1*1
1
2
k
i
k
iR
ijk
N
i
M
k
M
N
M
Njj DGGv
....,,1 mj
Обозначим ),Ω...,,Ω...;;Ω...,,(Ω **
1
*1*1
1
M
N
M
Nj
k
j
k
j Gvv ;2,1k ....,,1 mj
Можно утверждать, что )...,,( 11
1
1
0
1
mvv,vv и .)...,,( 1
22
1
2
0
2 Avv,vv m Если
1A выпукло, то ему принадлежит также элемент ,)1( 21 vv т.е.
,,)1(:)Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( *ΩΩ
)(
*
11
2
0
1
01
11
1 k
i
k
i
ik
N
i
M
k
NMM
N
M
N DFvv
,,)1( *ΩΩ
)(
*
11
21
k
i
k
i
ijk
N
i
M
k
jj DGvv
....,,1 mj
54 ISSN 0572-2691
Учитывая введенные выше обозначения, получим
,,)Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω()1( *ΩΩ
)(
*
11
**
1
*1*1
1
21
k
i
k
i
ijk
N
i
M
k
M
N
M
Njjj DGGvv
,..,,1 mj
а это означает, что элемент ,)1( 21 Avv ],1,0[ т.е. множество A выпукло.
Сосредоточимся на доказательстве выпуклости множества .1A
Рассмотрим множества
,
...,,1,,
,,
:)Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω(:)...,,(
*
*
ΩΩ
)(
*
11
ΩΩ
)(
*
11
0
1
11
10
2
mjDGv
DFv
vv
A
k
i
k
i
k
i
k
i
ijk
N
i
M
k
j
ik
N
i
M
k
NMM
N
M
Nm
....,,1,...,,1,
...,,1,,
,,:ΣΩ:)...,,(
ΩΩ
)(
ΩΩ
)(
00
MkNi
mjχχDGu
χχDFuuu
C
k*
i
k
i
k*
i
k
i
ijk
*j
ik
*
k
im
k
i
Положим в лемме Ляпунова 2 из [7] в качестве множество *Ω\Ω k
i
k
i и по-
лучим согласно лемме, что каждое k
iC выпукло.
Множество
MkNiCccCCA k
i
k
i
k
i
N
i
M
k
M
N ..,,1,..,,1,:...
11
1
12 так-
же выпукло. Это следует непосредственно из определения выпуклости, поскольку
каждый элемент 2A можно представить в виде суммы элементов .k
iC
Множество 1
21
mRAA выпукло, а значит, выпукло и множество A.
Далее покажем, что A и B не пересекаются. Предположим противное, т.е., что
существует ,)...,,...;;...,,( 1
11
1
NMM
N
M
N SSSS для которого
....,,1,0,)Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω(
,0,
*
*
Ω
)(
*
11
**
1
*1*1
1
Ω
)(
*
11
mjDGG
DF
k
i
k
i
k
i
k
i
S
ijk
N
i
M
k
M
N
M
Nj
S
ik
N
i
M
k
(5)
Для ,,,1 Ni Mk ,,1 обозначим ,\ *k
i
k
i
k
i SS
,\* k
i
k
i
k
i SS
так
что .*Ω k
i
k
i
k
i
k
i SSS
Поскольку mGGF ...,,, 1 — дифференцируемые функции, то они имеют част-
ные производные ,)()(
*
ikik
fDF ,
)(
1
)1(
*
ikik
gDG …, ,)()(
*
ik
m
imk
gDG ,,,1 Ni
.,,1 Mk Покажем, что существуют семьи
k
i
k
i SS )( и ,)( k
i
k
i SS ко-
торые удовлетворяют равенствам
,)...,,,,1()...,,,,1( )()(
1
)()()(
1
)(
)(
dggfdggf ik
m
ikik
S
ik
m
ikik
S k
i
k
i
,...,,1 Ni ,...,,1 Mk (6)
для ].1,0[
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 5 55
Действительно, при условии, что функции ,...,,, )()(
1
)( ik
m
ikik ggf ,,,1 Ni
,,,1 Mk интегрируемы, вектор-функция
dgdgdfd
ikikik
m
)()()( ...,,,,1)(
1
вполне аддитивна и лишена скачков, а значит, согласно лемме Ляпунова 1 из [7]
на любом множестве R существует спрямляющая функция )(x для )( на R.
А это, в свою очередь означает, что ),(]))([( Rx .])([ Rx
Другими словами, рассматривая в качестве по очереди множества k
iS и
,k
iS нашли семьи ,)( k
i
k
i SS ,,,1 Ni ,,,1 Mk удовлетворяющие
условиям (6). Пусть ),(\])([)( * k
i
k
i
k
i
k
i SSS ,,,1 Ni .,,1 Mk
Покажем, что
],,[)](,[ ** k
i
k
i
k
i
k
i SS ,,,1 Ni .,,1 Mk (7)
Исходя из определения метрики, введенной для пространства ,Ω
N и постро-
ения множеств ,),( k
i
k
i SS ,,,1 Ni ,,,1 Mk получим:
)),(())(())()(()](,[ * k
i
k
i
k
i
k
i
k
i
k
i SSSSS
).()()(],[ * k
i
k
i
k
i
k
i
k
i
k
i SSSSS (8)
Исходя из леммы Ляпунова 1 из [7], спрямляющая функция )(x будет
спрямляющей для каждой из функций-компонент вектора ),( т.е. она будет
спрямляющей и для компоненты ,1
d равной ).( Тогда
),())(( k
i
k
i SS ),())(( k
i
k
i SS ,,,1 Ni .,,1 Mk (9)
Сравнивая (8) и (9), получим искомое равенство (7).
Рассмотрим выражение
*)(
)(
11
**1
1
1
1 ,)...,,())(...,),(( k
i
k
iS
ik
N
i
M
k
M
N
M
N fFSSF
dfSSo ik
S
N
i
M
k
K
N
kk
N
k
M
k k
i
k
i
)(
Ω\)(11
1
**
1
1 *
))](...,),((),Ω...,,Ω[(
.))](...,),((),Ω...,Ω[( 1
**
1
1
)(
)(\Ω11 *
K
N
kk
N
k
M
k
ik
S
N
i
M
k
SSodf
k
i
k
i
По построению множеств ),(k
iS ,,,1 Ni ,,,1 Mk получим, что
),(Ω\)( * k
i
k
i
k
i SS ).()(\Ω * k
i
k
i
k
i SS
Функция )(x является спрямляющей для всех функций ,...,,, )()(
1
)( ik
m
ikik ggf
поэтому
dfFSSF ik
S
N
i
M
k
M
N
M
N
k
i
)(
11
**1
1
1
1 )Ω...,,Ω())(,...),((
))](...,),((),Ω...,,Ω[( 1
**
1
1
)(
11
K
N
kk
N
k
M
k
ik
S
N
i
M
k
SSodf
k
i
56 ISSN 0572-2691
)],...,(),,...,[(, 1
**
1
1
)(
11
K
N
kk
N
k
M
k
SS
ik
N
i
M
k
SSΩΩof k
i
k
i
)]....,,(),...,,Ω[(, 1
**
1
1
)(
11
*
K
N
kk
N
k
M
k
ΩS
ik
N
i
M
k
SSΩof k
i
k
i
Аналогично
),(,)Ω...,,Ω())(...,),(( *
)(
11
**1
1
1
1
ogGSSG k
i
k
i
j ΩS
ik
N
i
M
k
M
N
M
Nj
...,,1 mj
Учитывая (5), из последних равенств следует существование )1,0( такого, что
для любого ),0( выполняются неравенства 0)Ω...,,Ω()...,,( **1
1
1
1 M
N
M
N FSSF
и ,0)Ω...,,Ω())(...,),(( **1
1
1
1 M
N
M
Nj GSSG ,..,,1 mj а это противоречит тому,
что )Ω...,,Ω( **1
1
M
N — локальный минимум.
Таким образом, A и B — непересекающиеся выпуклые множества и могут
быть отделены гиперплоскостью.
Рассмотрим множество :A
.
,...,,1,,)Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω(
,,
:)()Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω(:)...,,(
*
*
ΩΩ
)(
*
11
**
1
*1*1
1
)(
*
11
0
Ω1
11
10
mjDGGv
DFv
vv
A
k
i
k
i
k
i
k
i
ijk
N
i
M
k
M
N
M
Njj
ΩΩ
ik
N
i
M
k
MNM
N
M
Nm
Очевидно, что ,AA поскольку .Σ)( Ω
NMMN
Гиперплоскость, разделяющая A и B, разделяет также A и B, т.е. существуют
числа **
1
*
0 ...,,, m , не все равные нулю, и такие, что
jj
m
j
v*
0
, если Avv m )...,,( 0 и ,*
0
jj
m
j
v если .)...,,( 0 Bvv m (10)
Можно показать, что .0 По теореме отделимости ,,* u где
.][][ BAu Вектор )0,,0( принадлежит [B] и также A (если в качестве k
iΩ
рассмотреть ),Ω *k
i т.е. .0,*
Таким образом, неравенство
)Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω(, **
1
*1*1
1
*
1
)(
*
11
*
0 *
M
N
M
Njj
m
j
ΩΩ
ik
N
i
M
k
GDF k
i
k
i
0, *ΩΩ
)(
*
*
111
k
i
k
i
ijk
j
N
i
M
k
m
j
DG (11)
выполняется для всех .)()Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( Ω1
11
1
MNM
N
M
N
Если положить, что ,ΩΩ *k
i
k
i ,,,1 Ni ,,,1 Mk то получим
.0)Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( **
1
*1*1
1
*
1
M
N
M
Njj
m
j
G (12)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 5 57
Локальный минимум принадлежит допустимому множеству, а значит,
,0)Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( **
1
*1*1
1 M
N
M
NjG ...,,1 mj (13)
Гиперплоскость, разделяющая A и В, разделяет также их замыкания. Рас-
смотрим элемент ].[)0,,0,1( B Из (21) следует, что ,0*
0 т.е. .0*
0
Аналогично для векторов ][)0,,1,,0( B можно продемонстрировать,
что ,0* j ...,,1 mj
Учитывая (13), получим .0)Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( **
1
*1*1
1
*
1
M
N
M
Njj
m
j
G Сравни-
вая последнее равенство с неравенством (12), получим ...;Ω...,,Ω( *1*1
1
*
1
Njj
m
j
G
,0)Ω...,,Ω; **
1 M
N
M т.е. условие (4) доказываемой теоремы выполнено.
Таким образом, неравенство (11) перепишется в виде
0,, ** ΩΩ
)(
*
*
111
ΩΩ
)(
*
11
*
0
k
i
k
i
k
i
k
i
ijk
j
N
i
M
k
m
j
ik
N
i
M
k
DGDF
для всех .)()Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( Ω1
11
1
MNM
N
M
N Эта запись эквивалентна усло-
вию (3).
Теорема доказана.
Конструктивные необходимые условия оптимальности общего вида для
задачи 1. Обозначим
,
)(
1
)(
0
ijk
*
*
j
m
j
ik
*
*k
i DGDFf
,,,1 Ni .,,1 Mk (14)
Тогда условие (3) теоремы 1 будет иметь вид
.0, *ΩΩ
11
k
i
k
i
k
i
N
i
M
k
f (15)
Учтем, что
fdfdf
ABBA
BA
\\
,
для любых множеств А и В и интегрируемой функции f.
Благодаря тому, что каждый элемент )Ω...,,Ω( **
1
k
N
k
и )Ω...,,Ω( 1
k
N
k
является
разбиением множества , можно воспользоваться преобразованиями, описанны-
ми в [2]. Для (15) получим
,0
**111
dfdf k
p
k
i
N
ip
p
N
i
M
k k
p
k
i
k
p
k
i
для всех .)()Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( Ω1
11
1
MNM
N
M
N
Используя свойства разбиений )Ω...,,Ω( 1
k
N
k
, несложно доказать (см. [2]), что
при этом выполняется
,
**
dfdf k
p
k
i
k
p
k
i
k
p
k
i
,...,,1 Ni ,...,,1 Np ;ip ,...,,1 Mk
для всех .)()Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( Ω1
11
1
MNM
N
M
N
58 ISSN 0572-2691
Благодаря тому, что каждая из )1( N групп таких неравенств для каждого k
выполняется для всех ,Ω...,,Ω1
k
N
k можно утверждать, что таким соотношением
связаны интегралы от функций k
if и
k
pf на любом подмножестве множества
*Ωk
p , а это, в свою очередь, возможно только при условии
*Ωk
px ),()( xfxf k
i
k
p ,...,,1, Npi ;ip ....,,1 Mk (16)
Условие (16) является конструктивным аналогом условия (3) теоремы 1.
Будем говорить, что )Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( **
1
*1*1
1
M
N
M
N удовлетворяет условию
регулярности для задачи 1, если существует ,)()...,,...;;...,,( Ω1
11
1
MNM
N
M
N RRRR
для которого
,0,)Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( *Ω
)(
*
11
**
1
*1*1
1
k
i
k
iR
ijk
N
i
M
k
M
N
M
Nj DGG ....,,1 pj (17)
Условие регулярности (17) позволяет сформулировать условия Куна–Таккера
для задачи 1.
Следствие 1. Пусть выполнены все условия теоремы 1 и ...;Ω...,,Ω( *1*1
1 N
)Ω...,,Ω...; **
1
M
N
M удовлетворяют условиям регулярности (17). Тогда существуют
числа ,...,, **
1 m которые в совокупности с 1*
0 удовлетворяют условиям (3), (4).
Многопродуктовая задача ОРМ с ограничениями в виде равенств и не-
равенств. Для функций 1
Ω1 :...,,, RGGF N
m вида (1), (2) рассмотрим непре-
рывную задачу оптимального разбиения множества с ограничениями в виде ра-
венств и неравенств.
Задача 2. Найти минимум функции множеств F на U:
,0)Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω(:)()Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω{( 1
11
1Ω1
11
1 M
N
M
Ni
MNM
N
M
N GU
}...,,1,0)Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω(,...,,1 1
11
1 mpiGpi M
N
M
Ni ,
т.е.
min)Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( 1
11
1 M
N
M
NF
при условиях:
,0)Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( 1
11
1 M
N
M
NiG ,...,,1 pi
,0)Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( 1
11
1 M
N
M
NiG ,...,,1 mpi
.)()Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( Ω1
11
1
MNM
N
M
N
Будем говорить, что )Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( **
1
*1*1
1
M
N
M
N удовлетворяет условию
регулярности для задачи 2, если существует ,)()...,,...;;...,,( Ω1
11
1
MNM
N
M
N RRRR
для которого
,0,)Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( *Ω
)(
*
11
**
1
*1*1
1
k
i
k
iR
ijk
N
i
M
k
M
N
M
Nj DGG ;...,,1 pj (18)
,0,)Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( *Ω
)(
*
11
**
1
*1*1
1
k
i
k
iR
ijk
N
i
M
k
M
N
M
Nj DGG ....,,1 mpj (19)
Следуя разработанному подходу, сформулируем теорему, определяющую не-
обходимые условия оптимальности для многопродуктовой задачи ОРМ с ограни-
чениями в виде равенств и неравенств.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 5 59
Теорема 2. (Необходимые условия оптимальности для задачи 2.) Пусть
)μΣ,Ω,( — конечное безатомное пространство с мерой и функции :...,,, 1 mGGF
1
Ω )( RMN вида (1), (2) — дифференцируемые функции разбиения на
.)()Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( Ω
**
1
*1*1
1
MNM
N
M
N Если )Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( **
1
*1*1
1
M
N
M
N —
локальный минимум задачи 2 и выполняются условия регулярности для задачи 2
в виде (18), (19), то существуют числа **
1 ψ...,,ψ m такие, что
0, ***
1
**
1
ΩΩ
)(
Ω...,,Ω
*
1
)(
Ω...,,Ω
11
k
i
k
i
k
N
kk
N
k
ijk
j
m
j
ik
N
i
M
k
DGDF
для всех ,)()Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( Ω1
11
1
MNM
N
M
N
,0)Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω(ψ **
1
*1*1
1
* M
N
M
NjjG ,...,,1 mj
,0...,, **
1 p
**
1 ...,, mp — произвольного знака.
Доказательство. Рассмотрим задачу min)Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( 1
11
1 M
N
M
NF
при условиях
,0)Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( 1
11
1 M
N
M
NiG ,...,,1 mi
,0)Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( 1
11
1 M
N
M
NiG ,...,,1 mpi
.)Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( Ω1
11
1
NM
N
M
N
Данная задача эквивалентна задаче 1, а значит, )Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( **
1
*1*1
1
M
N
M
N —
ее локальный минимум. Применим для данной задачи теорему 1. Согласно ей
найдутся числа ,0...,,,...,,, **
1
**
1
*
0 pmmmm не все равные нулю, такие,
что выполняются условия
)(
Ω...,,Ω
*
1
)(
Ω...,,Ω
*
0
11
**
1
**
1
ijk
j
m
j
ik
N
i
M
k
k
N
kk
N
k DGDF
0, ***
1
ΩΩ
)(
Ω...,,Ω
*
1
k
i
k
i
k
N
k
ijk
pjm
m
pj
DG (20)
для всех ,)Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( Ω1
11
1
NM
N
M
N
;...,,1,0)Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω(
;...,,1,0)Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω(
**
1
*1*1
1
*
**
1
*1*1
1
*
mpjG
mjG
M
N
M
Njpjm
M
N
M
Njj
(21)
....,,1,0)Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω(
;...,,1,0)Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω(
**
1
*1*1
1
**
1
*1*1
1
mpjG
mjG
M
N
M
Nj
M
N
M
Nj
(22)
Покажем, что при выполнении условий регулярности вида (18), (19) выпол-
няется .0*
0 Рассмотрим элемент ,)()...,,...;;...,,( Ω1
11
1
MNM
N
M
N RRRR для ко-
торого выполняются условия (18), (19). Обозначим
,,)Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( *Ω
)(
*
11
**
1
*1*1
1 k
i
k
iR
ijk
N
i
M
k
M
N
M
Njj DGGr
....,,1 mj
60 ISSN 0572-2691
Рассмотрим элемент
....,,,...,,,, 11Ω
)(
*
11
*
mpmR
ik
N
i
M
k
rrrrDFa k
i
k
i
Элемент a принадлежит множеству A (см. доказательство теоремы 1), ко-
торое выпукло и, в свою очередь, отделимо от выпуклого множества вида
}....,,0,0:)...,,{( 0 pmmjvvvB jpmm
По теореме отделимости существует отделяющая гиперплоскость
,,* u где ].[][ BAu Также показано, что .0 Таким образом, для
элемента a выполняется неравенство
)...,,(, **1
1
1
Ω
)(
*
11
0 *
M
Njj
p
j
R
ik
N
i
M
k
GDF k
i
k
i
)...,,()(, **1
1
1
Ω
)(
*
111
*
M
Njpjmj
m
pj
R
ijk
j
N
i
p
j
M
k
GDG k
i
k
i
.0,)( *
)(
*
111
k
i
k
iR
ijk
pjmj
N
i
m
pj
M
k
DG
Предположим, что .0*
0 Последнее неравенство и условия (18), (19) дают
0.,)...,,(0 *
)(
*
*
111
*1*1
1
*
1
k
i
k
iR
ijk
j
N
i
p
j
M
k
Njj
p
j
DGG
Это противоречие доказывает, что ,0*
0 а значит, можно положить .1*
0
Обозначим ,**
jj ;...,,0 pj ,***
pjmjj ....,,1 mpj Учиты-
вая введенные обозначения, условия (20)–(22), а также то, что ,1*
0 легко про-
демонстрировать, что условия теоремы выполнены.
Теорема доказана.
Конструктивные необходимые условия оптимальности для задачи 2 анало-
гичны конструктивным условиям, описанным выше для задачи 1, поскольку, как
можно убедиться, природа ограничений задачи в процессе их построения не ис-
пользована. Единственным отличием будет знак коэффициентов **
1 ...,, m и зна-
чение 1*
0 в выражении (14).
Замечание. Следует отметить, что условия регулярности (17)–(19) фактиче-
ски обозначают, что допустимое множество решений содержит внутренние точки
и оптимальный элемент — его внутренняя точка.
Интересным представляется тот факт, что в ходе разработки общей теории
для получения необходимых условий оптимальности для задач ОРМ на базе ап-
парата теории функций множеств не использовалось условие сильной регулярно-
сти, которое входит в используемую ранее схему построения решения на базе
сведения задачи к задаче бесконечномерной оптимизации функционала для ха-
рактеристических функций [1, 8, 9]. В наших обозначениях условие сильной регу-
лярности было бы записано в виде ,0k
if ,...,,1 Ni ,...,,1 Mk для почти всех
x (где
k
if определяется выражением (14)). Условие сильной регулярности в
работе [5], на которую опирается построенная ранее общая схема решения задач
ОРМ, позволяет гарантировать однозначное отнесение точки к одному из по д-
множеств, образующих разбиение, за исключением точек множества меры ноль
(образующих границы подмножеств). Использование в ходе построения необхо-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 5 61
димых условий оптимальности непосредственно функций разбиения множества
вместо функционалов, где аргументами выступают действительные функции,
позволяет не вводить подобные дополнительные ограничения.
2. Конкретизация необходимых условий оптимальности
на примере одного из классов задач ОРМ
Проиллюстрируем использование доказанных теорем на конкретном примере
построения необходимых условий оптимальности для многопродуктовой нели-
нейной задачи ОРМ с размещением центров подмножеств и ограничениями в ви-
де равенств и неравенств.
Задача 3. Пусть
))...,,(),Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω(( 11
11
1 N
M
N
M
NF
.)(),()(
ΩΩ11
dxxxcdxx k
i
kkk
i
N
i
M
k k
i
k
i
Найти ))...,,(),Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω((min 11
11
1
)}...,,(),Ω...,,Ω...;;Ω,...,Ω({ 11
11
1
N
M
N
M
NF
N
M
N
M
N
при ограничениях
,)(
Ω1
i
k
M
k
bdxx
k
i
,...,,1 pi ,)(
Ω1
i
k
M
k
bdxx
k
i
,...,,1 Npi
где ;)()Ω...,,Ω...;;Ω...,,Ω( Ω1
11
1
MNM
N
M
N ,ΩN ,Ωi ,...,,1 Ni Ω;x
),(k
i ,...,,1 Ni ,...,,1 Mk — действительные, ограниченные, выпуклые, два-
жды непрерывно-дифференцируемые функции; ),( i
k xc — действительные,
ограниченные функции, определенные на ,ΩΩ измеримые по аргументу при
любом фиксированном ;ΩN Nbb ...,,1 — заданные действительные неотрица-
тельные числа, причем выполнено условие разрешимости
,)(
11Ω
i
N
i
k
M
k
bdxxS
,0 Sbi ....,,1 Ni
Обозначим ,)(
Ω
dxxY kk
i
k
i
,...,,1 Ni ....,,1 Mk Предположим, что для
задачи 3 выполняются условия регулярности вида (18), (19). Тогда выраже-
ние (14) имеет такой вид:
),()()(),( * xxdxxcf k
i
kk
iY
k
i
kk
i k
i
,...,,1 Ni ,...,,1 Mk
где k
iY k
i
d — частная производная функции )(k
i по аргументу ,k
iY действитель-
ные числа ,0...,, **
1 p
**
1 ...,, Np произвольного знака.
Тогда для каждого
NΩ условие (16) имеет такой вид:
*k
ix ).),((min),( *
...,,1
*
p
k
pY
p
k
Np
i
k
iY
i
k
k
p
k
i
dxcdxc
Аналогичный результат получен ранее [5] методом сведения задачи 3 к задаче
бесконечномерного математического программирования с булевым значением пер е-
менных характеристических функций подмножеств, составляющих разбиения.
Характеристическая функция подмножества
k
i вводится следующим образом:
,Ω\Ω,0
,Ω,1
)(
k
i
k
ik
i
x
x
x
,...,,1 Ni ,...,,1 Mk
и задача 3 переписывается в следующем виде.
62 ISSN 0572-2691
Задача 4. Найти вектор-функцию 1* )( почти всюду (п.в.) для Ω,x та-
кую, что
)),((min)),((
,
*
1
II
N
,дляп.в.))(...,),(...;);(...,),(()( 11
11
11
xxxxxx M
N
M
N
,...,,1,)()(,...,,1,)()(
11
Npibdxxxpibdxxx i
k
i
k
M
k
i
k
i
k
M
k
где
,...,,1,...,,1,дляп.в.10)(:)(1 MkNixxx k
i
,...,,1,дляп.в.1)(
1
Mkxxk
i
N
i
,)(),()))((()),((
Ω11
dxxxcYI k
i
k
i
kk
i
k
i
k
i
N
i
M
k
,)()())((
Ω
dxxxY k
i
kk
i
k
i ,...,,1 Ni ....,,1 Mk
От задачи 4 относительно переменных с булевыми значениями производится
переход к задаче со значениями )(xk
i из отрезка [0, 1]:
Задача 5. Найти вектор-функцию ,)( 2*
такую, что
)),((min)),((
,
*
2
II
N
,дляп.в.))(...,),(...;);(...,),(()( 1
11
12
xxxxxx M
N
M
N
,...,,1,)()(,...,,1,)()(
11
Npibdxxxpibdxxx i
k
i
k
M
k
i
k
i
k
M
k
где
,...,,1,...,,1,,1)(0:)( MkNixxx k
i
,...,,1,дляп.в.1)(
1
Mkxxk
i
N
i
2 — слабо компактное множество гильбертова пространства
NML
2 с нормой
.)]([)(
2/1
2
11
dxxk
i
N
i
M
k
Заключение
В данной статье предложена общая схема построения необходимых условий
оптимальности для непрерывных детерминированных задач оптимального разби-
ения множеств.
Доказанные теоремы устанавливают необходимые условия оптимальности в
общем и в конструктивном виде, позволяя непосредственно выписывать их конкре т-
ный вид для очень широкого класса как многопродуктовых, так и однопродуктовых
(как частный случай), как линейных, так и нелинейных задач оптимального разбие-
ния множества с ограничениями как в виде неравенств, так и в виде равенств, с фик-
сированным положением центров или же с отысканием их оптимального положения.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2012, № 5 63
Для каждого конкретного класса задач построение необходимых условий оп-
тимальности сведется к проверке выполнения условий теорем 1 или 2, нахожде-
ния соответствующих частных производных для выражения (14) и выписывания
конкретного вида условий (4), (16).
О.М. Кісельова, О.О. Жильцова, В.О. Строєва
ЗАГАЛЬНА СХЕМА ОТРИМАННЯ НЕОБХІДНИХ
УМОВ ОПТИМАЛЬНОСТІ ДЛЯ НЕПЕРЕРВНИХ
ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО РОЗБИТТЯ МНОЖИН
Сформульовано у загальному вигляді детерміновані багатопродуктові задачі
оптимального розбиття множини з обмеженнями у тер мінах теорії функцій
множин. Розглянуто задачі з обмеженнями у вигляді нерівностей, а також у ви-
гляді рівностей та нерівностей. Для цих задач отримано необхідні умови опти-
мальності як у формальному, так і у конструктивному вигляді, який може за-
стосовуватися для конкретних класів задач. Використання теорем продемон-
стровано на прикладі детермінованої багатопродуктової нелінійної задач і
оптимального розбиття множини із розміщенням центрів підмножин та обме-
женнями у вигляді рівностей та нерівностей.
E.M. Kiseleva, A.A. Zhiltsova, V.A. Stroyeva
GENERAL SCHEME TO OBTAIN NECESSARY
OPTIMALITY CONDITIONS FOR CONTINUOUS
OPTIMAL SET PARTITIONING PROBLEMS
General continuous determined multiproduct optimal set partitioning problems are
formulated in terms of set function theory. The problems with constrains in the fo rm
of inequalities and those with constrains in the form of both equalities and inequali-
ties are considered. For these problems, the necessary optimality conditions are o b-
tained both in the general and constructive form, which can be easily applied to the
specific problem classes. The theorems application is illustrated by example of de-
termined multiproduct nonlinear optimal set partitioning problem with subset cen t er
arrangement and constrains in form of equalities and inequalities.
1. Киселева Е.М., Шор Н.З. Непрерывные задачи оптимального разбиения множеств: теория,
алгоритмы, приложения. — Киев : Наук. думка, 2005. — 564 с.
2. Киселева Е.М., Жильцова А.А. Необходимые условия оптимальности для непрерывных за-
дач разбиения множества в терминах теории функций множеств // Проблемы управления и
информатики. — 2008.— № 6. — С. 55 – 66.
3. Кісельова О.М., Жильцова О.О. Необхідні умови оптимальності в багатопродуктовій задачі
ОРМ у термінах теорії функцій множин // Питання прикладної математики і математично-
го моделювання. — Дніпропетровськ : ДНУ, 2009. — С. 150 –159.
4. Кісельова О.М., Жильцова О.О. Необхідні та достатні умови оптимальності в задачах оп-
тимального розбиття множин в термінах функцій множин. Двоїста задача // Там же. —
2009. — С. 117 –129.
5. Киселева Е.М., Строева В.А. Алгоритм решения нелинейной непрерывной многопродукто-
вой задачи оптимального разбиения множеств с размещением центров подмножеств //
Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». —
2012. — № 1. — С. 40 –53.
6. Киселева Е.М., Жильцова А.А. Некоторые свойства пространства разбиений непрерывного
множества // Питання прикладної математики і математичного моделювання. — Днепро-
петровск : ДНУ, 2009. — С. 84 –91.
7. Ляпунов А.А. О вполне аддитивных функциях // Известия АН. Сер. математическая. —
1940. — № 6. — С. 465 – 478.
8. Трухаев Р.Н., Хоменюк В.В. Теория неклассических вариационных задач. — Л. : ЛГУ, 1 9 7 1. —
168 с.
9. Кісельова О.М., Гарт Л.Л. Елементи теорії функцій множин. — Дніпропетровськ : ДНУ,
2006. — 176 с.
Получено 14.05.2012
|