Необходимые условия оптимальности в одной дискретной задаче управления с нелокальными краевыми условиями

Необходимые условия оптимальности в одной дискретной задаче управления с нелокальными краевыми условиями

Розглянуто задачу оптимального керування, описану системою нелінійних різницевих рівнянь із нелокальними крайовими умовами. Застосовано модифіковану процедуру методу приросту, доведено необхідну умову оптимальності типу дискретного принципу максимуму Понтрягіна....

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2012
Автор: Мансимов, К.Б.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Назва видання:Проблемы управления и информатики
Теми:
Оптимальное управление и методы оптимизации
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207530
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Необходимые условия оптимальности в одной дискретной задаче управления с нелокальными краевыми условиями / К.Б. Мансимов // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 5. — С. 71–79. — Бібліогр.: 19 назв. - рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-207530
record_format dspace
spelling irk-123456789-2075302025-10-12T00:02:22Z Необходимые условия оптимальности в одной дискретной задаче управления с нелокальными краевыми условиями Необхідні умови оптимальності в одній дискретній задачі керування з нелокальними крайовими умовами Necessary Optimality Conditions in One Discrete Control Problem with Nonlocal Boundary Conditions Мансимов, К.Б. Оптимальное управление и методы оптимизации Розглянуто задачу оптимального керування, описану системою нелінійних різницевих рівнянь із нелокальними крайовими умовами. Застосовано модифіковану процедуру методу приросту, доведено необхідну умову оптимальності типу дискретного принципу максимуму Понтрягіна. An optimal control problem described by a system of nonlinear difference equations with nonlocal boundary conditions is considered. Applying the modified procedures of the increment method, the necessary optimality condition of type of Pontryagin’s discrete maximum principle is proved. The case of degeneration of the discrete maximum principle is studied separately. 2012 Article Необходимые условия оптимальности в одной дискретной задаче управления с нелокальными краевыми условиями / К.Б. Мансимов // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 5. — С. 71–79. — Бібліогр.: 19 назв. - рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207530 517.977 10.1615/JAutomatInfScien.v44.i9.70 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Оптимальное управление и методы оптимизации
Оптимальное управление и методы оптимизации
spellingShingle Оптимальное управление и методы оптимизации
Оптимальное управление и методы оптимизации
Мансимов, К.Б.
Необходимые условия оптимальности в одной дискретной задаче управления с нелокальными краевыми условиями
Проблемы управления и информатики
description Розглянуто задачу оптимального керування, описану системою нелінійних різницевих рівнянь із нелокальними крайовими умовами. Застосовано модифіковану процедуру методу приросту, доведено необхідну умову оптимальності типу дискретного принципу максимуму Понтрягіна.
format Article
author Мансимов, К.Б.
author_facet Мансимов, К.Б.
author_sort Мансимов, К.Б.
title Необходимые условия оптимальности в одной дискретной задаче управления с нелокальными краевыми условиями
title_short Необходимые условия оптимальности в одной дискретной задаче управления с нелокальными краевыми условиями
title_full Необходимые условия оптимальности в одной дискретной задаче управления с нелокальными краевыми условиями
title_fullStr Необходимые условия оптимальности в одной дискретной задаче управления с нелокальными краевыми условиями
title_full_unstemmed Необходимые условия оптимальности в одной дискретной задаче управления с нелокальными краевыми условиями
title_sort необходимые условия оптимальности в одной дискретной задаче управления с нелокальными краевыми условиями
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2012
topic_facet Оптимальное управление и методы оптимизации
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207530
citation_txt Необходимые условия оптимальности в одной дискретной задаче управления с нелокальными краевыми условиями / К.Б. Мансимов // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 5. — С. 71–79. — Бібліогр.: 19 назв. - рос.
series Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv AT mansimovkb neobhodimyeusloviâoptimalʹnostivodnojdiskretnojzadačeupravleniâsnelokalʹnymikraevymiusloviâmi
AT mansimovkb neobhídníumovioptimalʹnostívodníjdiskretníjzadačíkeruvannâznelokalʹnimikrajovimiumovami
AT mansimovkb necessaryoptimalityconditionsinonediscretecontrolproblemwithnonlocalboundaryconditions
first_indexed 2025-10-12T01:08:31Z
last_indexed 2025-10-13T01:08:52Z
_version_ 1845826926301675520
fulltext © К.Б. МАНСИМОВ, 2012 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 5 71 УДК 517.977 К.Б. Мансимов НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ОДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ Введение. В работах 1–8 и других публикациях получены различные необ- ходимые условия оптимальности первого порядка, исследованы особые случаи и предложены на основе построенных формул приращений второго порядка чис- ленные алгоритмы построения оптимальных управлений в задачах управления, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями с нелокальны- ми краевыми условиями. Отметим работы 7, 8, в которых, с помощью метода матричных импульсов, доказано необходимое условие оптимальности особых в смысле принципа макси- мума Понтрягина управлений. В 4, 5 изучены задачи оптимального управления нагруженными дифферен- циальными уравнениями с многоточечными краевыми условиями. Но многие ре- альные процессы описываются разностными уравнениями (см., например, 9–14). В 9–19 и других работах получены различные необходимые условия опти- мальности первого порядка и исследованы особые случаи в задачах оптимального управления, описываемые системой обыкновенных разностных уравнений с ло- кальным начальным условием. В настоящей работе впервые изучается задача оптимального управления дис- кретными системами с нелокальными краевыми условиями. Выводится необхо- димое условие оптимальности первого порядка в форме дискретного принципа максимума и исследуется особый, в смысле принципа максимума Понтрягина, случай в задаче управления, описываемой разностным нелинейным уравнением с линейными нелокальными краевыми условиями. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о минимуме функционала )),(,)(()( 10 txtxuJ  (1) определенного на решениях краевой задачи },1,,1,{,))(),(,()1( 100  tttTttutxtftx  (2) .)()( 1100  txLtxL (3) Здесь )(tx — r-мерный вектор фазовых переменных, )(tu — r-мерный вектор управляющих воздействий, 10 , LL — заданные )( nn -матрицы,  — заданный n-мерный постоянный вектор, ),,( uxtf — заданная n-мерная вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по x до второго порядка включительно, ),( 10 xx — заданная дважды непрерывно дифференцируемая скалярная функция, 10 , tt — заданные числа, причем раз- ность 01 tt  — натуральное число. Управление )(tu называется допустимым управлением, если оно получает свои значения из заданного непустого и ограниченного множества ,rRU  т.е. если ,)( rRUtu  .Tt (4) 72 ISSN 0572-2691 Предполагается, что каждому допустимому управлению соответствует един- ственное решение краевой задачи (2), (3). Для вывода необходимых условий оптимальности надо предварительно по- строить формулу для приращения критерия качества. Формула приращения второго порядка для критерия качества. Пусть )(tu — фиксированное, а )()()( tututu  — произвольное допустимое управ- ление, )(tx и )()()( txtxtx  — соответствующие им решения краевой зада- чи (2), (3). Тогда ясно, что приращение траектории )(tx будет решением следу- ющей краевой задачи: .0)()( ,,))(),(,())(),(,()1( 1100   txLtxL Tttutxtftutxtftx (5) Пусть ),(t )(t — пока неизвестные соответственно n-мерная и )( nn матричные функции, а nR — пока неопределенный постоянный вектор, 10, — пока неопределенные постоянные )( nn -матрицы. Введем функцию Гамильтона–Понтрягина ).,,(),,,( uxtfuxtH  Справедливы тождества ,))](),(),(,())(),(),(,([)1()( 11 1 0 1 0       t tt t tt ttutxtHttutxtHtxt (6)    11 0 )1()()1( t tt txttx .)))(),(,())(),(,(()()))(),(,())(),(,(( 11 0     t tt tutxtftutxtfttutxtftutxtf (7) Тогда, используя соотношения (5)–(7), приращение критерия качества (1) можно записать в виде     1 11 1 0 )1()())(())(()()()( t tt txttxtxuJuJuJ       11 1 0 1 0 )1()()1( 2 1 ))](),(),(,())(),(),(,([ t tt t tt txttxttutxtHttutxtH     11 0 )))(),(,())(),(,(()()))(),(,())(),(,(( 2 1 t tt tutxtftutxtfttutxtftutxtf  )()( 2 1 )()( 2 1 )()( 110000001100 txLtxtxLtxtxLtxL .)()( 2 1 )()( 2 1 11110011 txLtxtxLtx  (8) Введем обозначения: )),(),(,())(),(,())(),(,( tutxtftutxtftutxtfu  )),(),(,())(),(,())(),(,( tutxtftutxtftutxtf xxxu  )),(),(),(,())(),(),(,())(),(),(,( ttutxtHttutxtHttutxtHu  )).(),(),(,())(),(),(,())(),(),(,( ttutxtHttutxtHttutxtH xxxu  Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 5 73 Легко видеть (см., например [18, 19]), что ,)()1()()1()()1()1()( 1 0011 1 1 0 1 0       t tt t tt txttxttxttxt (9)    )()1()()()1()()1()()1( 000111 11 0 txttxtxttxtxttx t tt .)()1()( 11 0     t tt txttx (10) Далее по формуле Тейлора можно показать, что  xuxtfuxtfuxtfuxtfuxtf x ),,()),,(),,((),,(),,( .)(0)),,(),,(( 1 xxuxtfuxtf xx  (11) С учетом соотношений (9)–(11) из (8), применяя формулу Тейлора, получаем:               )( ))(),(( )( 2 1 )( ))(),(( )( ))(),(( )( 02 0 10 2 01 1 10 0 0 10 tx x txtx txtx x txtx tx x txtx uJ        )( ))(),(( )()( ))(),(( )( 0 01 10 2 11 10 10 2 0 tx xx txtx txtx xx txtx tx          )()1()])()(([0)( ))(),(( )( 2 1 11 2 10212 1 10 2 1 txttxtxtx x txtx tx       11 00 1 0 1 0 ))(),(),(,()()1()()1( t tt u t tt ttutxtHtxttxt       )())(),(),(,()())(),(),(,( 11 1 0 1 0 txttutxtHtxttutxtH t tt x t tt xu             1 2 21 2 2 1 0 1 0 )( ))(),(),(,( )( 2 1 )( ))(),(),(,( )( 2 1 t tt u t tt tx x ttutxtH txtx x ttutxtH tx     )()1()( 2 1 )()1()( 2 1 ))((0 000111 1 2 3 1 0 txttxtxttxtx t tt       11 1 0 1 0 ))(),(,()())(),(,(( 2 1 )()1()( 2 1 t tt ux t tt tutxtftxtutxtftxttx  )())((0))())(),(,( 1 ttxtxtutxtfxu  ))((0))())(),(,())(),(,()())(),(,(( 1 txtxtutxtftutxtftxtutxtf xuux  )()( 2 1 )()( 2 1 )()( 110000001100 txLtxtxLtxtxLtxL .)()( 2 1 )()( 2 1 11110011 txLtxtxLtx  (12) 74 ISSN 0572-2691 Группируя подобные члены, имеем             )()1( ))(),(( )( 000 0 10 txLt x txtx uJ             )()1( ))(),(( 111 1 10 txLt x txtx              )()1( ))(),(( )( 2 1 00002 0 10 2 0 txLt x txtx tx                          )( ))(),(( )( 2 1 )( ))(),(( )( 2 1 001 01 10 2 1110 10 10 2 0 txL xx txtx txtxL xx txtx tx                 1 11112 1 10 2 1 1 0 )())](),(,()1([)()1( ))(),(( )( 2 1 t tt x txtutxtHttxtL x txtx tx       11 1 0 1 0 ))(),(),(,()())(),(),(,( t tt u t tt xu ttutxtHtxttutxtH                 1 2 21 0 )())(),(,()())(),(,( ))(),(),(,( )1()( 2 1 t tt xx txtutxtfttutxtf x ttutxtH ttx       1 2 3 1 1 0 1 0 ))((0)())(),(,()())(),(),(,( 2 1 t tt t tt xu txtxtutxtftttutxtf       1 3 1 1 0 1 0 )())((0 2 1 )())(),(,()())(),(,()( 2 1 t tt t tt xxu ttxtxtutxtfttutxtftx     11 0 ))(),(,()())(),(,()( 2 1 )())(),(,( t tt uxx tutxtfttutxtftxtxtutxtf       11 1 0 1 0 )())(),(,( 2 1 ))(),(,()())(),(,( 2 1 t tt u t tt uu ttutxtftutxtfttutxtf     1 1 1 0 ))((0)())(),(,( 2 1 )())(),(,( t tt uxu txttutxtftxtutxtf     11 0 ))(),(,()())(),(,()( 2 1 t tt uxu tutxtfttutxtftx     11 0 )())(),(,()())(),(,()( 2 1 t tt xuxu txtutxtfttutxtftx       1 1 1 1 1 0 1 0 )())((0 2 1 ))((0)())(),(,()( 2 1 t tt t tt xu ttxtxttutxtftx .))((0)())(),(,()))(),(,()())(),(,(( 3 txtxtutxtftutxtftxtutxtf xuux  (13) Если предположить, что ),(t ),(t , ,0L 1L являются решениями задач )),(),(),(,()1( ttutxtHt x  , ))(),(( )1( 0 10 00 x txtx Lt    (14) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 5 75 , ))(),(( )1( 1 10 10 x txtx Lt    )),(),(),(,())(),(,()())(),(,()1( ttutxtHtutxtfttutxtft xxxx  , ))(),(( )1( 002 0 10 2 0 L x txtx t     ,0 ))(),(( 10 10 10 2    L xx txtx (15) ,0 ))(),(( 01 01 10 2    L xx txtx , ))(),(( )1( 112 1 10 2 1 L x txtx t     то формула приращения (14) критерия качества (1) примет вид       11 1 0 1 0 ))(),(,()())(),(,( 2 1 ))(),(),(,()( t tt uu t tt u tutxtfttutxtfttutxtHuJ     11 0 )())(),(,()())(),(,( 2 1 t tt xu txtutxtfttutxtf     11 0 )())(),(,()())(),(,()( 2 1 t tt uxu txtutxtfеtutxtftx .)())(),(),(,( 11 0     t tt xu txttutxtH (16) Здесь по определению     1 2 102 1 0 )())(),(,()())(),(,()( 2 1 )])()(([0 t tt xxu txtutxtfttutxtftxtxtx       11 1 1 0 1 0 )())(),(,()( 2 1 )())(),(,()())((0 2 1 t tt x t tt x ttutxtftxtxtutxtfttx     11 0 )())(),(,()())(),(,( 2 1 ))(),(,( t tt xuuu txtutxtfttutxtftutxtf       1 1 1 2 3 1 0 1 0 ))((0)())(),(,( 2 1 ))((0 t tt u t tt txttutxtftx       11 1 0 1 0 ))(),(,()( 2 1 ))(),(,()())(),(,()( 2 1 t tt xuuxu t tt tutxtftxtutxtfttutxtftx     1 1 1 0 ))((0)())(),(,()( 2 1 )())(),(,()( t tt xuxu txttutxtftxtxtutxtft     ))(),(,()())(),(,(()())((0 2 1 1 1 1 0 tutxtftxtutxtfttx ux t tt .))((0))())(),(,( 1 txtxtutxtfxu  76 ISSN 0572-2691 Необходимые условия оптимальности. Предположим, что множество }),),(,(:{)),(,( UvvtxtfUtxtf  (17) выпуклое. Тогда специальное приращение допустимого управления )(tu можно определить по формуле .,)();();( Tttutvtu  (18) Здесь ]1,0[ — произвольное число, ,,);( TtUtv  — такое произвольное допу- стимое управление, что )),(),(,())(),(,( )();( tutxtftutxtf tvtv   где Utv )( — произвольное допустимое управление, соответствующее ,);( Utv  .Tt Пусть );(  tx — специальное приращение траектории ),(tx соответствую- щее специальному приращению (18) управления ).(tu Лемма 1. Для );(  tx справедливо разложение ),;(0)();(  ttytx (19) где )(ty — решение задачи (аналог уравнения в вариациях) .0)()( ,))(),(,()())(),(,()1( 1100 )(   tyLtyL tytxtftytutxtfty tvx (20) Принимая во внимание разложение (19) из (16), после некоторых несложных преобразований получим следующую формулу для специального приращения функционала качества :)(uJ      1 )( 1 0 ))(),(),(,())(());()(()( t tt tv ttutxtHtuJtutuJuJ       1 )()( 2 1 0 ))(),(,()())(),(,( 2 t tt tvtv tutxtfttutxtf         1 )( 21 )( 2 1 0 1 0 )())(),(,( 2 )())(),(),(,( t tt tv t tt xtv ttutxtftyttutxtH ).(0))(),(,()())(),(,()( 2 1 )())(),(,( 2 1 )( 1 0     t tt tvxx tutxtfttutxtftytytutxtf (21) Из разложения (21) сразу следует утверждение. Теорема 1. Если множество (17) выпуклое, то для оптимальности допусти- мого управления )(tu в задаче (1)–(3) необходимо, чтобы неравенство 0))(),(),(,( 1 )( 1 0    t tt tv ttutxtH (22) выполнялось для всех ,)( Utv  .Tt Неравенство (22) представляет собой аналог дискретного принципа макси- мума [9–14] для рассматриваемой задачи и является необходимым условием оп- тимальности первого порядка. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 5 77 Изучим случай вырождения условия максимума Понтрягина (22). Следуя [16–19], введем определение. Определение. Допустимое управление )(tu назовем особым в смысле прин- ципа максимума Понтрягина в задаче (1)–(4), если для всех ,)( Utu  ,Tt имеем .0))(),(),(,( 1 )( 1 0    t tt tv ttutxtH (23) Из разложения (21) в силу (23) следует, что вдоль особого оптимального управления )(tu выполняется соотношение    11 0 ))(),(,()())(),(,( t tt vv tutxtfttutxtf       11 1 0 1 0 )())(),(,()()())(),(,()())(),(,( t tt x t tt xv ttutxtftytytutxtfttutxtf ,0)())(),(),(,(2))(),(,( 1 )( 1 0     t tt xtvv tyttutxtHtutxtf (24) где )(ty — решение линейной краевой задачи (20). Неравенство (24) является неявным необходимым условием оптимальности особых в смысле принципа максимума Понтрягина управлений. Опираясь на не- го, удается получить необходимые условия оптимальности, явно выраженные па- раметрами задачи (1)–(3). Пусть ),( tF — )( nn матричная функция, являющаяся решением задачи ,)),(),(,(),()1,( tuxftFtF x  EttF  )1,( (E — )( nn единичная функция). Лемма 2. Решение линейной неоднородной разностной краевой задачи (20) до- пускает представление       11 0 1 0 )).(),(,(),())(),(,(),()()( t t v t t v uxftFuxftFtty (25) Здесь по определению .))1,(()1,()( 1 1 01100 LttFLLttFt  Используя представление (25), получаем    1 )( 1 0 )())(),(),(,( t tt xtv tyttutxtH                 1 1 1)( 1 0 1 0 ))(),(,(),()())(),(),(,( t tt t t vxtv uxftFtttutxtH .))(),(,(),())(),(),(,( 1 1 )()( 1 0 0                 t tt t t vxtv uxftFttutxtH 78 ISSN 0572-2691    1 )( 1 0 )())(),(,()())(),(,( t tt xtv tytutxtfttutxtf         1 )(1)( 11 0 1 0 ))](),(,(),()())(),(,()())(),(,([ t tt vxtv t t uxftFttutxtfttutxtf .))(),(,(),())(),(,()())(),(,( 1 1 )()( 1 0 0                 t tt t t vxtv uxftFtutxtfttutxtf Принимая во внимание эти тождества в неравенстве (24), имеем    1 )()( 1 0 )())(),(,()())(),(,( t tt tvtv tytutxtfttutxtf                  1 1 )(1)( 1 0 1 0 ))(),(,(),()())(),(),(,(2 t tt t t vxtv uxftFtttutxtH                  1 1 )()( 1 0 0 ))(),(,(),())(),(),(,(2 t tt t t vxtv uxftFttutxtH         ))](),(,(),()())(),(,()())(),(,([ )(1)( 1 11 0 1 0 uxftFttutxtfttutxtf vxtv t tt t t                    1 1 )()( 1 0 0 )(),(,),())(),(,()())(),(,( t tt t t vxtv uxftFtutxtfttutxtf         1 1 )(1)( 1 0 1 0 ))(),(,()())(),(,()(),())(),(,( t tt t t tvxv tutxtfttutxtfttFuxf .0))(),(,()())(),(,(),())(),(,( 1 1 )()( 1 0 1 0                  t tt t t tvxv tutxtfttutxtftFuxf (26) Таким образом, доказано следующее утверждение. Теорема 2. Для оптимальности особого в смысле принципа Понтрягина управления )(tu в задаче (1)–(4) необходимо, чтобы неравенство (26) выполня- лось для всех ,)( Utv  .Tt К.Б. Мансімов НЕОБХІДНІ УМОВИ ОПТИМАЛЬНОСТІ В ОДНІЙ ДИСКРЕТНІЙ ЗАДАЧІ КЕРУВАННЯ З НЕЛОКАЛЬНИМИ КРАЙОВИМИ УМОВАМИ Розглянуто задачу оптимального керування, описану системою нелінійних різ- ницевих рівнянь з нелокальними крайовими умовами. Застосовуючи модифіко- вану процедуру методу приросту, доведено необхідну умову оптимальності ти- пу дискретного принципу максимуму Понтрягіна. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2012, № 5 79 K.B. Mansimov NECESSARY OPTIMALITY CONDITIONS IN ONE DISCRETE CONTROL PROBLEM WITH NONLOCAL BOUNDARY CONDITIONS An optimal control problem described by a system of nonlinear difference equations with nonlocal boundary conditions is considered. Applying the modified procedures of the increment method, the necessary optimality condition of type of Pontryagin’s discrete maximum principle is proved. The case of degeneration of discrete maxi- mum principle is studied separately. 1. Васильев О.В., Терлецкий В.А. Оптимальное управление краевой задачей // Тр. Математи- ческого института РАН. — 1995. — 211. — С. 121–130. 2. Васильева О.О., Мизуками К. Оптимальное управление краевой задачей // Изв. вузов. Ма- тематика. — 1994. — № 12. — С. 33–41. 3. Васильева О.О., Мизуками К. Динамические процессы, описываемые краевой задачей: не- обходимые условия оптимальности и методы решения // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2000. — № 1. — С. 95–100. 4. Ахмедов Ф.Ш. К теории необходимых условий экстремума локальных и нелокальных задач оптимизации : Автореф. дисс. … канд. физ.-мат. наук. — Баку. — 1985. — 23 с. 5. Ахмедов Ф.Ш., Алиев К.М., Мансимов К.Б. Об одной нелокальной задаче управления // Научные известия Сум. ГУ. Раздел естественных и технических наук. — 2006. — № 2. — С. 21–28. 6. Vasilyeva O. Optimal control in the class of smooth and bounded functions // 15th Triennial World Congress, Barcelona, Spain. — 2002. — P. 36–41. 7. Vasilyeva O.O., Mizukami K. Optimality criterian for singular controller: Linear boundary condi- tions // Journ. Math. Anal. and Appl. — 1997. — 213. — P. 620–641. 8. Vasilyeva O. Maximum principle and its extension for bounded control problems with boundary conditions // Intern. Journ. Math. and Math. Sci. — 2004. — 35. — P. 1855–1879. 9. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. — Минск : Изд-во БГУ, 1981. — 400 с. 10. Мордухович Б.Ш. Метод метрических аппроксимаций в задачах оптимизации и управле- ния. — М. : Наука, 1988. — 360 с. 11. Ащепков Л.Т. Оптимальное управление разрывными системами. — Новосибирск : Наука, 1987. — 226 c. 12. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными парамет- рами. — М. : Наука, 1965. — 476 c. 13. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. — М. : Наука, 1973. — 256 с. 14. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. — М. : Наука, 1973. — 448 с. 15. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Оптимизация линейных систем. — Минск : Изд-во БГУ, 1973. — 272 с. 16. Мансимов К.Б. Дискретные системы. — Баку : Изд-во БГУ, 2002. — 114 с. 17. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Мансимов К.Б. Необходимые условия оптимальности высоко- го порядка (обзор): Препр. / ИМАН БССР. — Минск, 1982. — 48 с. 18. Габасов Р., Кириллова Ф.М. К теории необходимых условий оптимальности для дискрет- ных систем // Автоматика и телемеханика. — 1969. — № 12. — С. 39–47. 19. Габасов Р., Кириллова Ф.М. К теории необходимых условий оптимальности в дискретных системах управления // Управляемые системы. — 1979. — Вып. 18. — С. 14–25. Получено 02.11.2011

Схожі ресурси