Обработка аэрокосмических снимков с помощью интерстрипации функций двух переменных
Запропоновано використання математичної моделі поверхні у вигляді формул сплайн-інтерстрипації, яка використовує для відновлення поверхні її зображення на системі перетинних смуг для обробки результатів радіолокації поверхні. Якщо смуги вироджуються у лінії, то інтерстрипація переходить в інтерлінац...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Назва видання: | Проблемы управления и информатики |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207606 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Обработка аэрокосмических снимков с помощью интерстрипации функций двух переменных / О.Н. Литвин, С.Ю. Матвеева // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 2. — С. 111–123. — Бібліогр.: 40 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-207606 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2076062025-10-12T00:05:48Z Обработка аэрокосмических снимков с помощью интерстрипации функций двух переменных Обробка аерокосмічних знімків за допомогою інтерстрипації функцій двох змінних Aerospace Pictures Processing by Means of Interstripation of Functions of Two Variables Литвин, О.Н. Матвеева, С.Ю Космические информационные технологии и системы Запропоновано використання математичної моделі поверхні у вигляді формул сплайн-інтерстрипації, яка використовує для відновлення поверхні її зображення на системі перетинних смуг для обробки результатів радіолокації поверхні. Якщо смуги вироджуються у лінії, то інтерстрипація переходить в інтерлінацію. Інтерстрипація надає також можливість переходу від задання математичної моделі поверхні з використанням інтерстрипації функцій до інших широко використовуваних математичних моделей поверхонь (наприклад, системи DEM). For data processing of radio-location of surface it is suggested to use the mathematical model of surface as formulas of spline interstripation, that uses restoration of surface image of the system of intersecting stripes. If stripes degenerate in a line, then interstripation passes to interlineation. Interstripation also enables the transition from setting of mathematical model of surface applying interstripation functions to other widely-used mathematical models of surfaces (for example, with the use of the system DEM). 2013 Article Обработка аэрокосмических снимков с помощью интерстрипации функций двух переменных / О.Н. Литвин, С.Ю. Матвеева // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 2. — С. 111–123. — Бібліогр.: 40 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207606 519.6 10.1615/JAutomatInfScien.v45.i3.50 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Космические информационные технологии и системы Космические информационные технологии и системы |
| spellingShingle |
Космические информационные технологии и системы Космические информационные технологии и системы Литвин, О.Н. Матвеева, С.Ю Обработка аэрокосмических снимков с помощью интерстрипации функций двух переменных Проблемы управления и информатики |
| description |
Запропоновано використання математичної моделі поверхні у вигляді формул сплайн-інтерстрипації, яка використовує для відновлення поверхні її зображення на системі перетинних смуг для обробки результатів радіолокації поверхні. Якщо смуги вироджуються у лінії, то інтерстрипація переходить в інтерлінацію. Інтерстрипація надає також можливість переходу від задання математичної моделі поверхні з використанням інтерстрипації функцій до інших широко використовуваних математичних моделей поверхонь (наприклад, системи DEM). |
| format |
Article |
| author |
Литвин, О.Н. Матвеева, С.Ю |
| author_facet |
Литвин, О.Н. Матвеева, С.Ю |
| author_sort |
Литвин, О.Н. |
| title |
Обработка аэрокосмических снимков с помощью интерстрипации функций двух переменных |
| title_short |
Обработка аэрокосмических снимков с помощью интерстрипации функций двух переменных |
| title_full |
Обработка аэрокосмических снимков с помощью интерстрипации функций двух переменных |
| title_fullStr |
Обработка аэрокосмических снимков с помощью интерстрипации функций двух переменных |
| title_full_unstemmed |
Обработка аэрокосмических снимков с помощью интерстрипации функций двух переменных |
| title_sort |
обработка аэрокосмических снимков с помощью интерстрипации функций двух переменных |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Космические информационные технологии и системы |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207606 |
| citation_txt |
Обработка аэрокосмических снимков с помощью интерстрипации функций двух переменных / О.Н. Литвин, С.Ю. Матвеева // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 2. — С. 111–123. — Бібліогр.: 40 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT litvinon obrabotkaaérokosmičeskihsnimkovspomoŝʹûinterstripaciifunkcijdvuhperemennyh AT matveevasû obrabotkaaérokosmičeskihsnimkovspomoŝʹûinterstripaciifunkcijdvuhperemennyh AT litvinon obrobkaaerokosmíčnihznímkívzadopomogoûínterstripacíífunkcíjdvohzmínnih AT matveevasû obrobkaaerokosmíčnihznímkívzadopomogoûínterstripacíífunkcíjdvohzmínnih AT litvinon aerospacepicturesprocessingbymeansofinterstripationoffunctionsoftwovariables AT matveevasû aerospacepicturesprocessingbymeansofinterstripationoffunctionsoftwovariables |
| first_indexed |
2025-10-12T01:11:37Z |
| last_indexed |
2025-10-13T01:09:52Z |
| _version_ |
1845826989386104832 |
| fulltext |
© О.Н. ЛИТВИН, С.Ю. МАТВЕЕВА, 2013
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 2 111
КОСМИЧЕСКИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ
ТЕХНОЛОГИИ И СИСТЕМЫ
УДК 519.6
О.Н. Литвин, С.Ю. Матвеева
ОБРАБОТКА АЭРОКОСМИЧЕСКИХ
СНИМКОВ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕРСТРИПАЦИИ
ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Введение
В настоящее время наиболее применяемой для описания поверхности плане-
ты на практике является система DEM (digital elevation model), которая может за-
менять поверхность планеты или другого космического тела многогранной по-
верхностью, каждая грань которой является треугольником. Координаты вершин
этих треугольников задаются исследователем. Таким образом, при дистанцион-
ном зондировании планеты в пределах каждого такого треугольника структура
исследуемой части поверхности планеты считается однородной. На практике сто-
роны таких треугольников могут быть достаточно большими, поэтому такой под-
ход для описания поверхности планеты в ряде случаев требует более точного
описания отдельных ее частей. Кроме того, включение в описание поверхности
системой DEM некоторых линий или известных частей поверхностей является
сложной задачей, которая требует очень высокой точности экспериментальных
данных. Например, это касается включения в описание линий подводного течения
Гольфстрим или направлений движения ветров (в частности пассатов), или по-
верхности какой-либо пустыни и т.д. При включении их в описание поверхности
как единого целого необходимо работать с каждым треугольником — гранью
многогранной поверхности в системе DEM — отдельно.
Для данного исследования актуальна задача построения поверхности по не-
полной информации о ней, поступающей в виде изображения поверхности на поло-
сах (в частности, на вертикальных и горизонтальных), так как задача полного
покрытия снимками поверхности трудоемка и экономически затратна. Для распо-
знавания объектов большое значение имеет умение их идентифицировать (распо-
знавать) по неполной информации. Отметим также необходимость восстановления
некоторых линий или поверхностей по неполной информации о них при восстанов-
лении поверхности лопаток авиадвигателей, когда конструкторы считают, что ли-
ния или поверхность в некоторых частях должна иметь известную геометрическую
конфигурацию (например, линия должна быть частью окружности, поверхность
может быть в данной области частью эллипсоида и т.д.) [1]. Предлагаемый в рабо-
те метод интерстрипации может быть полезным при решении задачи автоматиза-
ции картографирования по неполной информации. Важными являются также воз-
можности применения предлагаемого метода для предварительной оценки разли-
ва горючесмазочных веществ в акватории морей и океанов. Прежде всего это
связано с тем, что получение полных данных о месте катастрофы затруднительно.
Например, центром «СканЭкс» получены и обработаны радарные космические
снимки со спутника Radarsat-1 места катастрофы в Керченском проливе, где в ре-
зультате штормового ветра (до 32 м/с) и волнения моря (6–7 баллов, высота волны
112 ISSN 0572-2691
5 м) 11 ноября 2007 года затонули четыре судна; и были сорваны с якорей и сели
на мель шесть судов, получили повреждения два танкера. В результате аварий по
данным МЧС России в море вылилось около 1300 т мазута. На снимках, сделан-
ных спустя трое суток спутником Radarsat-1 15 и 16 ноября 2007 года, после об-
работки хорошо видно положение пятен нефти на поверхности воды в акватории
Керченского пролива и южной части Азовского моря. Эти данные можно исполь-
зовать для планирования мероприятий по локализации и ликвидации аварийных
разливов, проведения защитных мероприятий (установка боновых заграждений) в
целях недопущения дальнейшего распространения загрязнения и защиты берего-
вой зоны. Однако отсутствие системы мониторинга не позволило провести опера-
тивную съемку непосредственно сразу после аварии, так как период ожидания в
случае единичных заказов для данного спутникового комплекса составляет не ме-
нее трех суток.
В работах [2–17] данные дистанционного зондирования Земли (ДЗЗ), аэрофо-
тосъемки, радиолокационные данные используются для исследования облачного
покрова, последствий наводнений и др. Если информация о наводнениях будет
задана не одной фотографией, а серией снимков с различных орбит спутников, то
мы считаем, что для восстановления развития области затопления целесообразно
использовать метод интерстрипации.
Эффективность использования геоинформационных систем (ГИС), широко
применяемых в последнее время на предприятиях нефтегазового комплекса, су-
щественно зависит от качества исходных данных. Наиболее перспективным
направлением развития этих систем является их интеграция с данными ДЗЗ. Од-
нако существует ряд проблем при автоматизации обработки данных ДЗЗ (боль-
шой объем аэрокосмических данных, форма их представления затрудняют, а под-
час делают невозможным проведение анализа обработанной информации и т.д.)
[18].
Решение указанных проблем может быть успешно осуществлено с помощью
соответствующих обобщений методов интерлинации функций двух и более пере-
менных, восстанавливающих поверхности между линиями с помощью их следов
на заданной системе линий, а также соответствующих обобщений методов интер-
флетации функций трех и более переменных, восстанавливающих функции между
поверхностями с помощью их следов на заданной системе поверхностей [19–25].
В работах [26–28] предложены и исследованы операторы интерлокации, кото-
рые позволяют восстанавливать функции двух и больше переменных по информа-
ции о них, заданной на системе некоторых непересекающихся областей — локусов.
В [29] отмечается актуальность задачи восстановления поврежденных пиксе-
лов. Для этой цели использованы карты Кахонена, интерполяция, сплайн-аппрокси-
мация, которые можно рассматривать как частные случаи нашего метода. Блоки пик-
селов аппроксимируются с помощью сплайнов-полиномов степени n. В теоретиче-
ской постановке, на наш взгляд, этот полином в соответствующем блоке не переходит
непрерывно в сплайн, построенный с помощью данных на известных пикселах.
Для автоматизации предложенного нами метода восстановления пикселов
можно воспользоваться методом идентификации поврежденных пикселов, изло-
женный в [29].
В [30] отмечается актуальность задачи восстановления поврежденных пленок
кинофильмов. Предложенные в этой работе методы и алгоритмы ориентированы
на практическое применение в программном обеспечении подготовки эфира и те-
левизионных трансляций, программно-аппаратных комплексов видеоредактиро-
вания, работы в видеоархивах, а также может использоваться для анализа данных,
полученных аэрофотосъемкой, спутниковой фотографией, лазерной локацией
и другими системами датчиков, данные которых можно представить в виде по-
следовательностей изображений.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 2 113
Предлагаемый нами метод легко обобщается на случай, когда с каждым пик-
селом связано три цвета (RGB-формат).
«Пропущенные пикселы» могут возникнуть во время съемки или передачи
данных, также случается замена значений яркости целой строки значениями со-
седней строки. Такие явления могут стать помехой при тематической обработке
снимка. Пропущенные пикселы можно восстановить интерполяцией с определен-
ной погрешностью [31].
Результаты сравнения методов интерполяции, интерлинации, интерфлетации,
интерстрипации и интерлокации представлены в таблице.
Таблица
Метод приближения Тип используемой информации
Интерполяция функций одной
или нескольких переменных
Значения функции f (x), x (x1, x2, x3) и ее производных (до фик-
сированного порядка) в некоторых заданных точках
Интерлинация функций двух
или больше переменных
Следы функции f (x), x (x1, x2, x3) и ее производных (до фик-
сированного порядка) на нескольких заданных линиях, n 2
Интерфлетация функций трех
и больше переменных
Следы функции f (x), x (x1, x2, x3) и ее производных (до фикси-
рованного порядка) на нескольких заданных поверхностях, n 3
Интерстрипация функций двух
переменных
Функции ,,1),,( Mkyxfk совпадают с f (x, y) на нескольких
полосах: MkSyxyxfyxf
kk ,1,),(),,(),(
Интерлокация
Функции заданной гладкости и нормализованности, нулями ко-
торых являются локусы — области, которые не пересекаются
Заметим, что операторы интерлокации, рассмотренные в [26–28], с точки
зрения авторов данной публикации, требуют дополнительных исследований, свя-
занных с проблемами, возникающими при исследовании погрешности приближе-
ния и ее оценкой, если приближаемая функция имеет непрерывные производные
до порядка 1r включительно и локусы пересекаются.
Поэтому особую ценность могут иметь также операторы приближения функ-
ций двух переменных между системой пересекающихся областей, которые явля-
ются системой пересекающихся полос. Ведь для такого случая можно построить
структуры операторов для восстановления ),( yxf между полосами, которые бу-
дут принадлежать заданному классу дифференцируемости и для которых можно
оценить погрешность приближения между полосами (при определенных ограни-
чениях на гладкость )).,( yxf
1. Операторы интерстрипации функций двух переменных
1.1. Восстановление поверхности между параллельными полосами. Счи-
таем, что все изображение поверхности известно нам лишь на системе парал-
лельных полос, которые, не уменьшая общности, будем считать горизонтальны-
ми: .,1]},,[,:),{(,2 nlbaxyyxD lll Если ,ll то эти полосы пе-
реходят в линии. Поверхность, которую мы хотим восстановить, считается
известной лишь на указанных полосах, т.е.
.,),,(),( ,2 bxayyxfyxf llly ll
(1)
Здесь ),( yxfz — расстояние от некоторой плоскости 0z до в точке ),( yx
или интенсивность освещенности поверхности в точке ),( yx и т.д., далее ,0a
,1b ,00 1n .
Введем в рассмотрение оператор (если ))(),(),( 2),0( RCyxf
y
yxf
q
q
q
114 ISSN 0572-2691
,1,1,10,),,(
,10,),,(
),(
11,,2
,2
2
nlxyyxfE
xyyxf
yxfL
llll
lll
(2)
где
,,)](),()(),([),( 1
0
,1,21
),0(
,,1
),0(
1,,2
ll
N
p
pll
p
pll
p
ll yyxfyxfyxfE
,0)(,)( 1
)(
,,1,
)(
,,1
l
r
plprl
r
pl
,,0,)(,0)( ,1
)(
,1,2
)(
,1,2
Nprprl
r
pll
r
pl
pr , — символ Кронекера. Функции ),(,,1 ypl )(,1,2 ypl — базисные полиномы
двухточечной эрмитовой интерполяции. Будем считать оператор ),(2 yxfL ма-
тематической моделью поверхности, которая на каждой из полос lD ,2 точно вос-
станавливает поверхность, а между полосами изображает поверхность с помощью
операторов .1,1),,(1,,2 nlyxfE ll
Если расстояние между полосами равняется нулю, оператор восстановления
можно записать в виде
.1,1,10,),,(),( ,22 nlxyyxfyxfL lll (3)
На практике функции ),(,2 yxf l , как правило, являются неизвестными и все
изображения поверхности на каждой полосе определяются матрицами ,)(iM
,,1 ri размерностей ,vd i ,,1 ri так, что ,,
)(
,112
qp
i
qkp
MM
i
,, 212 ii kkp
.1,,1 122 iii kkdvq Для этого случая авторы данной статьи провели те-
стирование описанного выше метода математического моделирования поверхно-
стей с помощью интерстрипации.
1.2. Восстановление поверхности по ее изображениям на взаимно-пер-
пендикулярных полосах. Будем считать, что задана система горизонтальных по-
лос ,,1]),,[,:),(( 11,2 nlxyyxD nlll а также система вертикаль-
ных полос .,1]},,[,:),{( 11,1 mkyxyxD nkkk
Поверхность, которую мы хотим восстановить, считается известной лишь на
указанных полосах:
,,),,(),( 11,1
nkkkx
yxyxfyxf
kk
.,),,(),( 11,2
mllly
xyyxfyxf
ll
Такие данные могут быть получены с помощью спутниковой радиолокации
DEM (DLR SRTM X диапазона, разрешение 25 м). При указанной радиолокации
система горизонтальных и вертикальных полос получается естественным образом
путем движения искусственного спутника вдоль этих полос.
При этом считаем, что ,0),(,2 yxf l ,ll yy ,0),(1 yxf k .kk xx
Пусть приближаемая функция имеет непрерывные производные до порядка
1N включительно. Введем в рассмотрение операторы
;11,),,(
,,),,(
),(
11,,1
11,1
1 mkxyxfE
yxyxf
yxfL
kkkk
nkkk
(4)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 2 115
,1,1,,),,(
,,),,(
),(
1111,,2
11,2
2
nlxyyxfE
xyyxf
yxfL
mllll
mlll
(5)
где
N
s
skk
s
skk
s
kk xyfxyfyxfE
0
,1,21
)0,(
,,1
)0,(
1,,1 )];(),()(),([),(
;)(,)( ,1
)(
,1,2,
)(
,,1 spk
p
skspk
p
sk
;,0,0)(,0)(
)(
,1,21
)(
,,1
Nqsk
p
skk
p
sk
;)](),()(),([),(
0
,1,21
),0(
,,1
),0(
1,,2
N
p
pll
p
pll
p
ll yxfyxfyxfE
;0)(,)( 1
)(
,,1,
)(
,,1
l
r
plprl
r
pl
.,0,)(,0)( ,1
)(
,1,2
)(
,1,2
nprprl
r
pll
r
pl
На их основе построим оператор
,1,1,1,1,,),,(
,,1]},,[,{),,(
,,1]},,[,{),,(
),(
11,,2,1
11,2,2
11,1,1
nlmkyxyxfE
nlxyDyxf
mkyxDyxf
yxOf
llkklk
nllll
nkkkk
(6)
).,(][),( 1,,21,,11,,21,,1,,2,1 yxfEEEEyxfE llkkllkklk (7)
Таким образом, операторы ),(,,2,1 yxfE lk можно использовать для построе-
ния математической модели поверхности в областях между полосами, построен-
ной с помощью известных данных аэрофотосъемки или радиолокационного зон-
дирования на взаимоперпендикулярных полосах. Для этого нужно учесть, что на
практике функции ),(,),( ,2,1 yxfyxf lk , как правило, неизвестны и все изображе-
ния поверхности на каждой полосе определяются соответствующими матрицами.
В данной работе предполагается, что в каждой точке заданных изображений на
полосах авторы считают качество изображения одним и тем же. На самом деле в
реальной ситуации необходимо учитывать, что изображение поверхности непо-
средственно под орбитой спутника более качественное, чем на больших расстояни-
ях от нее. Это существенно при использовании радиолокаторов бокового обзора.
Для учета наклона предлагается использовать томографические методы [32, 33].
Предложенный в настоящей работе метод интерстрипации позволяет исследо-
вать также случай, в котором полосы наклонные с изменяемой шириной, как в реаль-
ных изображениях Landsat-7/ETM+. Для этого в формулах (4)–(6) вместо kk ,
необходимо использовать )(),( xx kk для горизонтальных полос и вместо ii ,
— )(),( yy ii для вертикальных полос с соответствующими изменениями в опе-
раторах, позволяющих восстанавливать поверхность между указанными полосами.
Ниже (пример 1) метод интерстрипации используется для восстановления поверх-
ности для реальных данных, что подтверждает возможность использования метода
интерстрипации на реальных данных DEM (DLR SRTM X диапазона, разреше-
ние 25 м).
Пример 1. Приведем результаты обработки изображения, полученного с ис-
кусственного спутника Земли Landsat-7/ETM+ при использовании всего пяти вер-
116 ISSN 0572-2691
тикальных и пяти горизонтальных полос (рис. 1: а — изображение горизонталь-
ных полос; б — изображение вертикальных полос; в — восстановленное изобра-
жение );0( N г — оригинал изображения).
а б в г
Рис. 1
1.3. Интерстрипация для общего случая размещения полос без сохранения
класса дифференцируемости. Предположим, что задана система полос :iS
,),( iii yx ,,1 ni ,: iiii cybxa .122 ii ba Считаем известными
также рельефы поверхности )(),(: 2RCyxfzS над каждой полосой:
,),(),(
iSi yxfyxf .,1 ni По этой информации необходимо восстановить (воз-
можно, приближенно) функцию ).,( yxf Введем в рассмотрение такие обозначения:
,, pkpk SSS
,),(),(),(),(
,,,
,
pkpkpk SpSkSpk yxfyxfyxfyxf
,),(,),(
,),(,0
,),(,),(
),(
iiii
iii
iiii
i
yxyx
yx
yxyx
yx
),,(),(),( 2
,11
2
,1
/ yxyxyxG j
n
ijj
n
k
j
n
ijj
i
.,1 ni (8)
Очевидно,
,0
,,1
),(
ip
ip
yxG
pSi .1),(
1
yxGi
M
i
Эти свойства функций ),( yxGi дают возможность доказать справедливость
следующей теоремы.
Теорема 1 [8]. Оператор
),(),(),(),(),(}){;,( ,
1 ,
yxfyxGyxGyxfyxGfyxO pkpk
S
n
i
iii
pk
(9)
имеет такие свойства:
;,1),(}){;,()(),( 22 niRCfyxORCyxf ii
.,1,),(}){;,( nqyxffyxO
qp SqSi
Пример 2. Восстановим поверхность (рис. 2) по ее изображениям на системе
горизонтальных и вертикальных полос с помощью интерстрипации функций: а —
поверхность — оригинал; б — изображение вертикальных полос на поверхности;
в — изображение горизонтальных полос на поверхности; г — изображение вос-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 2 117
становленной поверхности (методом, описанным в п. 1.2) по информации о по-
верхности на пяти горизонтальных и пяти вертикальных полосах.
FN
F1
F3
F
а б в г
Рис. 2
Пример 3. Приведем результаты восстановления поверхности объекта —
Эйфелевой башни, о которой точно известно, что она является разрывной (рис. 3:
а — оригинал изображения поверхности; б — изображение пяти горизонтальных
полос; в — изображение пяти вертикальных полос; г — восстановленное изобра-
жение поверхности с помощью интерстрипации )).0( N
Ниже приведены результаты восстановления этой же поверхности с помо-
щью десяти горизонтальных и десяти вертикальных полос (рис. 4: а — оригинал
изображения поверхности; б — изображение десяти горизонтальных полос; в —
изображение десяти вертикальных полос; г — восстановленное изображение по-
верхности).
FN
F3
F1
F
а б в г
Рис. 3
FN
F3
F1
F
а б в г
Рис. 4
2. Некоторые вопросы практической реализации
Результаты восстановления позволяют утверждать, что предлагаемый метод
интерстрипации восстанавливает поверхность тем точнее, чем большее количе-
118 ISSN 0572-2691
ство полос используется для восстановления (или чем меньше расстояния между
полосами).
Итак, операторы }){;,( ifyxO позволяют восстанавливать неизвестную по-
верхность в точках между полосами по информации о ней на указанных полосах.
Для большего приближения к практике следует иметь в виду, что функции ),,( yxfi
,,1 ni могут быть заданы в виде набора снимков, полученных вдоль полосы,
причем снимки могут накладываться один на другой, т.е. иметь не только общие гра-
ницы, а и общие подобласти. Это значит, что для построения ),,( yxfi ,,1 ni
в точках 2R иногда для построения надо использовать сглаживающие алгоритмы, а
не только алгоритмы, которые точно восстанавливают поверхность, заданную в поло-
се ,iS .,1 ni Кроме того, надо уметь продолжать функции ),,( yxfi ,,1 ni за
пределы полос. Один из возможных алгоритмов такого продолжения: пусть полосе
iS соответствует местная система координат ,: iiii cybxa .: yaxb iii
Тогда функция (здесь )),( yxii
,),)(,)((
,),)(,)((
,),(),,(
),(
~
iiiiiiiii
iiiiiiiii
ii
i
byaxf
byaxf
Syxyxf
yxf
будет непрерывной в 2R и .),(),,(),(
~
ii Syxyxfyxf
Предлагаемый подход можно условно назвать глобальным, в то время как
использование билинейной или бикубической интерполяции является частным
случаем предлагаемого метода интерстрипации восстановления поверхности меж-
ду полосами.
На практике может возникнуть ситуация, когда информация о поверхности
задана на трех пересекающихся полосах (двух параллельных и одной перпенди-
кулярной). Ниже для этого случая предлагается метод для использования при вос-
становлении поверхности всей имеющейся информации.
Пусть изображение ),( yxf задано для ,1xx ,2xx Hyy 1 и для
.,1 Rxyy Тогда для восстановления предлагается использовать оператор
),(),(),(),( 1221 yxfOOyxfOyxfOyxOf ,
где
12
1
2
21
2
11 ),(),(),(
xx
xx
yxf
xx
xx
yxfyxfO
, ),(),( 12 yxfyxfO ,
12
1
12
21
2
1112 ),(),(),(
xx
xx
yxf
xx
xx
yxfyxfOO
.
Теорема 2 [8]. Функция ),( yxOf имеет следующие интерлинационные свойства:
),,(),( 11 yxfyxOf ),,(),( 11 yxfyxOf ).,(),( 22 yxfyxOf
Таким образом, с помощью функции ),( yxOf можно приближенно вычислять
значение функции ),( yxf в прямоугольнике },,:),{( 121 Hyyxxxyx
где H — заданное исследователем число.
В данной работе при практической реализации предлагаемых утверждений
авторы исследовали пять методов (M1–M5) вычисления производных первого по-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 2 119
рядка f
dx
d
и ,f
dy
d
а также вычисление смешанной производной
yx
f
2
при
условии, что функция ),( yxf попиксельно отображает интенсивность отражен-
ного от поверхности света (если изображение задается фотографией) или интен-
сивность отраженного от поверхности электромагнитного излучения (если изоб-
ражение получено с помощью радиолокатора).
М1. Для вычисления производной f
dx
d
в точке ),,( yx где x и y — номера пик-
селов по горизонтали и вертикали в изображении, предлагается использовать форму-
лу ),,(),1(),( yxfyxfyxf
dx
d
аналогично ).,()1,(),( yxfyxfyxf
dy
d
Этот метод имеет наибольшую погрешность, поскольку использует данные всего
на двух соседних пикселах.
М2. Построим интерполяционный полином
),(
))((
))((
)),(),,(),,(,,,,,(2 1
3121
32
321321 yxf
xxxx
xxxx
yxfyxfyxfxxxyxp
),(
))((
))((
),(
))((
))((
3
2313
12
2
3212
31 yxf
xxxx
xxxx
yxf
xxxx
xxxx
и найдем
)),(),,(),,(,,,,,( 321321 yxfyxfyxfxxxyxDX
)),,(),,(),,(,,,,,(2 321321 yxfyxfyxfxxxyxp
dx
d
затем —
)),,(),,(),,(,,,,(),( 32132111 yxfyxfyxfxxxxDXyxDXL
)),,(),,(),,(,,,,(),( 32132122 yxfyxfyxfxxxxDXyxDXS
)).,(),,(),,(,,,,(),( 32132133 yxfyxfyxfxxxxDXyxDXR
Этот метод нахождения производных использует значение интенсивности
изображения в трех соседних точках: .,, 321 xxx Он точнее, чем М1, но, учитывая,
что реальные данные на изображении могут соответствовать функции ),( yxf с
большими градиентами, рекомендуем интерполяцию по трем точкам заменить по-
линомиальной аппроксимацией с использованием большего количества точек.
М3. Для более точного нахождения производных задаются условия:
)(
))((
))((
),,,,,(2 1
3121
32
321 yc
xxxx
xxxx
cxxxyxp
),(
))((
))((
)(
))((
))((
3
2313
12
2
3212
31 yc
xxxx
xxxx
yc
xxxx
xxxx
),(),,,,,(2 13211 yxfcxxxyxp
),(),,,,,(2 23212 yxfcxxxyxp ,
),(),,,,,(2 33213 yxfcxxxyxp ,
,
2
),(),(
,,,,,
2
2 21
321
21 yxfyxf
cxxxy
xx
p
120 ISSN 0572-2691
,
2
),(),(
,,,,
2
,
2 32
321
32 yxfyxf
cxxxy
xx
p
в которых неизвестные ),(1 yc ),(2 yc )(3 yc определяются методом наименьших
квадратов. М3 позволяет получать более точные значения производных после
дифференцирования ,2p чем методы М1 и М2.
М4. Допустим, нужно возобновить производные по x в точках ),(
1
yX M и
),(
2
yX M при условии, что 2
12
MM XX . Для этого используем базисные ин-
терполяционные сплайны второй степени на неравномерной сетке узлов, явные
формулы для которой изложены в [34], при условии, что в узлах 11 21
,..., MM XX
не задается никакая информация о поверхности (такой случай может быть при ре-
ставрации снимков). Считаем также, что информация о поверхности задана
в точках MMM XXXX ,...,,,...,
211 (на практике достаточно использовать не все
значения ),(),...,,( 1 yXfyXf M , а только значения ),,(),,( 23 11
yXfyXf MM
),,( 11
yXf M )).,(
1
yXf M Аналогично при нахождении производной в точке
),(
2
yX M достаточно использовать только значения
).,(),,(),,(),,( 321 2222
yXfyXfyXfyXf MMMM Построим интерполяционный
сплайн второй степени с помощью явных формул [34]:
,если,0
,если,
)()())((
,если,
))((
)()()(
,если,
)(
,если,0
),(
4
43
24
13
43
2
34
2
4
24
3413
32
2423
13
2
2
32
2
3
13
21
12
2
1
1
Хх
XxХ
XX
XX
XX
XXXx
XX
XXXX
XxХ
XXXX
XXXx
ХХ
Хх
XX
XxХ
ХХ
Хх
Хх
XxS
где .)( T
4321 XXXXX Отметим, что он имеет непрерывную первую произ-
водную на всей оси, где
.если,0
,если,.
)(2
,если,
))((
))((2)(2
,если,
)(2
,если,0
),(
4
43
24
13
43
4
32
2423
132
32
3
21
12
1
1
Хх
XxХ
XX
XX
XX
Xx
XxХ
XXXX
XXXx
ХХ
Хх
XxХ
ХХ
Хх
Хх
XxS
dx
d
Запишем матрицу узлов, k-й столбец которой имеет такой вид: kXX
,)( T
321 kkkk XXXX .,1 Mk Введем обозначения ),,(),,( kXXxSkXXxSS
неизвестные )(yCk в формуле
M
k
k kXXxSSyCCXXxO
1
),,()(),,( находим из
условия ,min)(
)(yC
Cj где
M
p
M
k
k
kp kXXXXSSyCyByCj
1
2
1
2 )),,)(()()(())((
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 2 121
1
1
2
1
3211
,,
2
)()(
2
)()(M
p
M
k
pp
k
pp
kXX
XXXX
SSC
yByB
1
2
1
321
2
,,
2
)()(
2
)()(M
Mp
M
k
pp
k
pp
kXX
XXXX
SSC
yByB
.),,()(),(),(
2
1
2
1
2
12
1
1
21
2
kXXXSSyCyXf
XX
XX
yXf
XX
XX
qk
M
k
M
MM
Mq
M
MM
Mq
q
Здесь ]),(...,),,(),,([ 21
T yxfyxfyxfB M и ,3/)(
121
1 MMM XXXX 2X
.3/)(2
121 MMM XXX По матрице узлов находим производные по перемен-
ной x. Аналогично находятся производные по y и смешанные производные .
2
yx
x
М5. Для определения разрывов на реальных аэрокосмических изображениях
авторы предлагают использовать разрывные сплайны для восстановления реаль-
ных поверхностей по их аэрокосмическим снимкам или радиолокационным дан-
ным [35–37].
Пример 4. Рассмотрим реальный пример данных, полученных спускаемым ап-
паратом (СА) Венера 9 [38], в котором продемонстрированы возможности предлага-
емых методов для реставрации изображения (рис. 5: а — изображение, полученное
CА Венера 9; б — оригинал изображения поверхности; в — отреставрированное
изображение интерполяционным полиномом; г — отреставрированное изображение
аппроксимационным сплайном второй степени на неравномерной сетке узлов).
F11
F11
F12
F12
MX
MX
MY32
MY32
а б в г
Рис. 5
Предлагаемый метод интерстрипации запатентован автором в [39, 40].
Заключение
В настоящей работе предложена теория интерстрипации функций ),( yxf с по-
мощью данных о f на системе полос, полученных при аэрокосмической фотосъем-
ке или радиолокационном зондировании поверхности планеты. Функция ),( yxf
может быть интенсивностью освещения поверхности в точке ),,( yx расстоянием от
точки ),( yx до поверхности планеты и т.п. Теория интерлинации и интерфлетации
позволяет строить операторы, которые приближают ),(xf ),,( 321 xxxx , с по-
мощью нетрадиционных экспериментальных данных — следов приближаемых
функций и их производных на заданной системе линий или поверхностей, а ин-
122 ISSN 0572-2691
терстрипации — на заданной системе полос. На основе этой теории предложен
метод восстановления поверхности планеты между заданной системой полос
(параллельных или пересекающихся), если информация о поверхности задана в
точках указанных полос. Более детально исследован случай взаимно-перпенди-
кулярных полос (если полосы прилегают одна к другой, то это идеальный слу-
чай). Рассмотрены примеры, в которых считается, что полосы находятся непо-
средственно под орбитой спутника. Вычислительный эксперимент подтвердил
эффективность метода и то, что для большей точности восстановления поверхно-
сти нужно уменьшать максимальные расстояния между соседними полосами, как
вертикальными, так и горизонтальными (достаточно уменьшать расстояние только
между вертикальными или только горизонтальными полосами). Предложенные
операторы названы операторами интерстрипации и могут использовать снимки, по-
лученные с помощью аэрокосмической съемки, или данные сканирования поверх-
ности с помощью радиолокатора, размещенного на искусственном спутнике плане-
ты, который двигается вдоль соответствующих полос. Примерами таких оптиче-
ских и радиолокационных спутников могут быть, в частности, RASAT (Турция),
NigeriaSat-2 и NigeriaSat-X (Нигерия), EduSat (Италия), AprizeSat-5 и AprizeSat-6
(США), Terra (США), WorldView-2 (США), TerraSAR-Х (Германия), RADARSAT-
1/2 (Канада), СИЧ 2 (Украина) и др.
Авторы считают, что теория цифровой обработки данных о поверхности пла-
неты должна включить в свой арсенал теорию интерстрипации функций на си-
стеме пересекающихся полос.
О.М. Литвин, С.Ю. Матвєєва
ОБРОБКА АЕРОКОСМІЧНИХ ЗНІМКІВ
ЗА ДОПОМОГОЮ ІНТЕРСТРИПАЦІЇ
ФУНКЦІЙ ДВОХ ЗМІННИХ
Запропоновано використання математичної моделі поверхні у вигляді формул
сплайн-інтерстрипації, яка використовує для відновлення поверхні її зображен-
ня на системі перетинних смуг для обробки результатів радіолокації поверхні.
Якщо смуги вироджуються у лінії, то інтерстрипація переходить в інтерліна-
цію. Інтерстрипація надає також можливість переходу від задання математич-
ної моделі поверхні з використанням інтерстрипації функцій до інших досить
використовуваних математичних моделей поверхонь (наприклад, системи
DEM).
O.N. Lytvyn, S.Yu. Matveeva
AEROSPACE PICTURES PROCESSING
BY MEANS OF INTERSTRIPATION
OF FUNCTIONS OF TWO VARIABLES
For data processing of radio-location of surface it is suggested to use the mathemati-
cal model of surface as formulas of spline interstripation, that uses restoration of sur-
face image of the system of intersecting stripes. If stripes degenerate in a line, then
interstripation passes to interlineation. Interstripation also enables the transition from
setting of mathematical model of surface applying interstripation functions to other
widely-used mathematical models of surfaces (for example, with the use of the sys-
tem DEM).
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 2 123
1. Оператори інтерполяції функцій однієї змінної, що збігаються з нею на заданих відрізках
області наближення / О.О. Литвин, С.І. Кулик, О.В. Ткаченко, С.Ю. Матвєєва, О.О. Черняк
// Вісн. Нац. техн. ун-ту «Харківський політехнічний інститут». Тематичний випуск: Мате-
матичне моделювання в техніці та технологіях. — 2012. — № 27. — С. 130–133.
2. Скакун С. В. Система обработки радиолокационных спутниковых данных для картографи-
рования наводнений // Зб. наук. праць Харків. ун-ту повітряних сил. Радіотехніка, радіоло-
кація, електроніка. — 2009. — Вип. 4(22). — С. 29–34.
3. Скакун С.В. Оценка риска наводнений на основе разнородных геопространственных дан-
ных // Наукові праці ДонНТУ. Сер. Інформатика, кібернетика та обчислювальна техніка. —
2010. — Вип. 12 (165). — С. 94–98.
4. Solheim I., Solbo S., Indregard M., Lauknes I. User requirements and SAR-solutions for flood
mapping // 4th International Symposium on Retrieval of Bio- and Geophysical Parameters from
SAR Data for Land Applications, Innsbruck, Austria, 2001.
5. ESA Earth watch. — http://earth.esa.int/ew/floods/.
6. Yang C., Zhou C., Wan Q. Deciding the flood extent with RADARSAT SAR data and image fu-
sion // 20th Asian Conf. on Remote Sensing, 1999.
7. Evaluation of a remote sensing based regional flood/waterlog and drought monitoring model uti-
lising multi-source satellite data set including envisat data / G. Csornai, Zs. Suba, G. Nádor,
I. László, Á. Csekő, Cs. Wirnhardt, L. Tikász, L. Martinovich // Proc. of the 2004 Envisat & ERS
Symposium. — Salzburg, Austria. 6–10 September 2004 (ESA SP-572, April 2005).
8. De Chiara G., Bovolin V.P., Migliaccio M. Remote sensing technique to estimate the water sur-
face of artificial reservoirs Villani — problems and potential solutions // IEEE GOLD Remote
Sensing Conference 2006.
9. ERS SAR calibration. Derivation of the backscattering coefficient o in ESA ERS SAR PRI
Products / H. Laur, P. Bally, P. Meadows, J. Sanchez, D. Schaettler, E. Lopinto, D. Esteban //
ES-TN-RS-PM-HL09 05, November 2004. — Issue 2, Rev. 5f. — P. 1–53.
10. Gonzalez R.C., Woods R.E. Digital image processing. –— Upper Saddle River (New Jersey) :
Prentice Hall, 2002. — 793 p.
11. Moe K., Smith S., Prescott G., Sherwood R. Sensor Web technologies for NASA Earth science //
Proc. of 2008 IEEE Aerospace Conf. — 2008. — P. 1–7.
12. Report from the Earth science technology office (ESTO) advanced information systems technolo-
gy (AIST) sensor Web technology meeting. — San Diego, USA. February 13–14, 2007. —
http://esto.nasa.gov/sensorwebmeeting/ files/AIST_Sensor_Web_Meeting_Report_2007.pdf.
13. Jonkmana S.N., van Gelder P.H.A.J.M., Vrijling J.K. An overview of quantitative risk measures
for loss of life and economic damage // Journal of Hazardous Materials. — 2003. — 101, N 1. —
P. 1–30.
14. Schumann G., Di Baldassarre G. The direct use of radar satellites for event-specific flood risk
mapping // Remote Sensing Letters. — 2010. — 1, N 2. — P. 75–84.
15. See L., Abrahart R.J. Multi-model data fusion for hydrological forecasting // Computers & Geo-
sciences. — 2001. — 27, N 8. — P. 987–994
16. Irish R., Barker J., Goward S., Arvidson T. Characterization of the Landsat-7 ETM+ automated
cloud-cover assessment (ACCA) algorithm // Photogrammetric Engineering & Remote Sensing.
— 72, N 10. — P. 1179–1188.
17. Kussul N., Shelestov A., Skakun S. Grid system for flood extent extraction from satellite images //
Earth Science Informatics. — 2008. — 1, N 3–4. — P. 105–117.
18. Врагов А., Денисов А. Автоматизированная обработка аэрокосмических данных дистанци-
онного зондирования Земли. — http://www.oilcapital.ru/edition/technik/archives/technik/
technik_03_2003/63345/private/print_66314.shtml.
19. Литвин О.М., Матвєєва С.Ю. Інтерлінація та інтерфлетація функцій багатьох змінних та її
застосування у картографії // Національне картографування: стан, проблеми та перспективи
розвитку. — 2005. — Вип. 2. — С. 22–24.
20. Литвин О.М., Матвєєва С.Ю., Межуєв В.І. Метамодель для математичного моделювання
поверхні тіла на основі даних радіолокації // Управляющие системы и машины. — 2010. —
— № 3. — С. 33–47.
21. Литвин О.М., Матвєєва С.Ю. Метод відновлення поверхні між смугами за допомогою ін-
формації про поверхню на взаємноперпендикулярних смугах // Там же. — 2011. — № 1.—
С. 33–41.
22. Матвєєва С.Ю. Метод побудови цифрових карт за допомогою інтерлінації та інтерфлетації
функцій // Питання оптимізації обчислень. — 2005. — С. 145.
http://www.oilcapital.ru/edition/technik/archives/technik/%20technik_03_2003/63345/private/print_66314.shtml
http://www.oilcapital.ru/edition/technik/archives/technik/%20technik_03_2003/63345/private/print_66314.shtml
124 ISSN 0572-2691
23. Литвин О.М. Методи обчислень. Додаткові розділи : Навч. посіб. — Київ : Наук. думка,
2005. — 344 с.
24. Литвин О.М. Інтерлінація та інтерфлетація функцій і структурний метод В.Л. Рвачова //
Математичні методи та фізико-механічні поля. — 2007. — № 4. — С. 61–82.
25. Литвин О.М. Інтерлінація функцій та деякі її застосування. — Харків : Основа, 2002. —
544 с.
26. Рвачев В.Л., Шейко Т.И., Шапиро В. Обобщенные интерполяционные формулы Лагранжа–
Эрмита на произвольных локусах (интерлокационные операторы теории R-функций) //
Пробл. машиностроения. — 1998. — 1, № 3–4. — С. 150–166.
27. Рвачев В.Л., Шапиро В., Шейко Т.И. Применение метода R-функций к построению уравне-
ний локусов, обладающих симметрией // Электромагнитные волны и электронные систе-
мы. — 1999. — 4, № 4. — С. 4–20.
28. Уваров Р.О. Інтерлокаційні формули RFM та їх реалізація в системах POLYE: Автореф.
дис. ... канд. фіз.-мат. наук. — Харків, 2002. — 19 с.
29. Ларинов И.Б. Алгоритмы предварительной обработки графических объектов со статиче-
скими пропусками в системах технического зрения : Автореф. дис. ... канд техн. наук. —
Уфа, 2011. — 19 с.
30. Дамов М.В. Реконструкция изображений на основе пространственно-временного анализа
видеопоследовательностей : Автореф. дис. ... канд техн. наук. — Красноярск, 2011. — 23 с.
31. Обработка данных ДЗЗ — Этапы обработки данных. — http://mapexpert.com.ua/index_ru.
php?id=26&table=Menu.
32. Литвин О.М. , Литвин О.О. , Тарасюк А.П. Метод відновлення висоти колон на прямій за
допомогою світла, відбитого від колон під різними кутами // Обчислювальні методи і си-
стеми перетворення інформації. Зб. праць наук.-техн. конф. 7–8 жовтня 2010. — Львів,
2010. — С. 244–248.
33. Литвин О.М. , Литвин О.О. , Тарасюк А.П. Метод відновлення висоти колон у заданій об-
ласті за допомогою сумарних інтенсивностей світла, відбитого від колон під різними кута-
ми // XLIV наук.-практична конф. науково-педагогічних працівників, науковців, аспірантів
та співробітників УІПА, 4 частина. — Харків : УІПА, 2011. — С. 16–17.
34. Литвин О.М., Ткаченко О.В. Математичне моделювання процесів інтерполяційними
сплайнами на нерегулярній сітці вузлів // Доп. НАН України. — 2010. — № 1. — С. 34–39.
35. Литвин О.М. Першина Ю.І. Наближення розривних функцій кусково-лінійними інтерпо-
ляційними розривними сплайнами на трикутній сітці вузлів // Там же. — 2012. — № 1. —
С. 38–43.
36. Литвин О.М. Першина Ю.І. Побудова інтерполяційних, апроксимаційних та інтерлінацій-
них сплайнів з використанням трапецевидних елементів // Вісн. НТУ «ХПІ». Тематич-
ний випуск: Математичне моделювання в техніці та технологіях. — 2012. — № 2. —
С. 141–152.
37. Литвин О.М. Першина Ю.І. Наближення розривних функцій розривними сплайнами з ви-
користанням криволінійних трапецій // Інформатика та системні науки (ІСН-2012): Ма-
теріали Всеукр. наук.-практ. конф. 1–3 березня 2012 р. — Полтава, 2012. — С. 172–175.
38. Жизнь на Венере. — http://e-science.ru/forum/lofiversion/index.php/t36199.html.
39. Матвєєва С.Ю., Литвин О.М., Межуєв В.І. Спосіб відновлення зображення по часткових
даних, розташованих на двох парах взаємно-перпендикулярних смуг. Патент на корисну
модель № 67900. Зареєстровано в державному реєстрі патентів України на корисні моделі
01.08.2011.
40. Матвєєва С.Ю., Литвин О.М., Межуєв В.І. Спосіб відновлення зображення по часткових
даних, розташованих на паралельних смугах. Патент на корисну модель №67904. Зареєст-
ровано в державному реєстрі патентів України на корисні моделі 01.08.2011.
Получено 27.04.2012
После доработки 07.08.2012
http://mapexpert.com.ua/index_ru.%0bphp?id=26&table=Menu
http://mapexpert.com.ua/index_ru.%0bphp?id=26&table=Menu
|