Стохастическая модель полного цикла оптимальной эколого-экономической динамики

Запропоновано стохастичну математичну модель повного циклу оптимальної еколого-економічної динаміки, проведено її дослідження та на модельному прикладі здійснено числове моделювання....

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2013
Main Authors:	Бойчук, М.В., Семчук, А.Р.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2013
Series:	Проблемы управления и информатики
Subjects:	Экономические и управленческие системы
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207607
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Стохастическая модель полного цикла оптимальной эколого-экономической динамики / М.В. Бойчук, А.Р. Семчук // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 2. — С. 125–139. — Бібліогр.: 25 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-207607
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2076072025-10-12T00:20:20Z Стохастическая модель полного цикла оптимальной эколого-экономической динамики Стохастична модель повного циклу оптимальної еколого-економічної динаміки Stochastic Model of a Full Cycle of the Optimal Ecological and Economic Dynamics Бойчук, М.В. Семчук, А.Р. Экономические и управленческие системы Запропоновано стохастичну математичну модель повного циклу оптимальної еколого-економічної динаміки, проведено її дослідження та на модельному прикладі здійснено числове моделювання. A stochastic mathematical model of a full optimal ecological and economic dynamics is proposed, the investigation of the considered model is performed, and numerical modeling on the modeling example is carried out. 2013 Article Стохастическая модель полного цикла оптимальной эколого-экономической динамики / М.В. Бойчук, А.Р. Семчук // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 2. — С. 125–139. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207607 519-863:330-115 10.1615/JAutomatInfScien.v45.i4.70 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Экономические и управленческие системы Экономические и управленческие системы
spellingShingle	Экономические и управленческие системы Экономические и управленческие системы Бойчук, М.В. Семчук, А.Р. Стохастическая модель полного цикла оптимальной эколого-экономической динамики Проблемы управления и информатики
description	Запропоновано стохастичну математичну модель повного циклу оптимальної еколого-економічної динаміки, проведено її дослідження та на модельному прикладі здійснено числове моделювання.
format	Article
author	Бойчук, М.В. Семчук, А.Р.
author_facet	Бойчук, М.В. Семчук, А.Р.
author_sort	Бойчук, М.В.
title	Стохастическая модель полного цикла оптимальной эколого-экономической динамики
title_short	Стохастическая модель полного цикла оптимальной эколого-экономической динамики
title_full	Стохастическая модель полного цикла оптимальной эколого-экономической динамики
title_fullStr	Стохастическая модель полного цикла оптимальной эколого-экономической динамики
title_full_unstemmed	Стохастическая модель полного цикла оптимальной эколого-экономической динамики
title_sort	стохастическая модель полного цикла оптимальной эколого-экономической динамики
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Экономические и управленческие системы
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207607
citation_txt	Стохастическая модель полного цикла оптимальной эколого-экономической динамики / М.В. Бойчук, А.Р. Семчук // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 2. — С. 125–139. — Бібліогр.: 25 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT bojčukmv stohastičeskaâmodelʹpolnogociklaoptimalʹnojékologoékonomičeskojdinamiki AT semčukar stohastičeskaâmodelʹpolnogociklaoptimalʹnojékologoékonomičeskojdinamiki AT bojčukmv stohastičnamodelʹpovnogocikluoptimalʹnoíekologoekonomíčnoídinamíki AT semčukar stohastičnamodelʹpovnogocikluoptimalʹnoíekologoekonomíčnoídinamíki AT bojčukmv stochasticmodelofafullcycleoftheoptimalecologicalandeconomicdynamics AT semčukar stochasticmodelofafullcycleoftheoptimalecologicalandeconomicdynamics
first_indexed	2025-10-12T01:11:37Z
last_indexed	2025-10-13T01:09:56Z
_version_	1845826994176000000
fulltext	© М.В. БОЙЧУК, А.Р. СЕМЧУК, 2013 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 2 125 ЭКОНОМИЧЕСКИЕ И УПРАВЛЕНЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ УДК 519-863:330-115 М.В. Бойчук, А.Р. Семчук СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОЛНОГО ЦИКЛА ОПТИМАЛЬНОЙ ЭКОЛОГО-ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ Введение В работе [1] предложена модель оптимальной эколого-экономической дина- мики при экологическом равновесии в детерминированном варианте и проведено ее исследование с использованием достаточных условий оптимальности. Но в этой модели не учтены такие показатели, как валовая продукция с ее ограничени- ем и производственное потребление, а производственная функция считалась ли- нейной однородной, и не описан алгоритм определения краевых управлений. Как известно, эколого-экономические показатели — случайные величины. При упрощении математической модели некоторые показатели не учитываются в модели и приходится иметь дело со случайными процессами. Поэтому актуаль- но как в теоретическом, так и в практическом плане исследование стохастических эколого-экономических систем. В настоящее время оптимизация динамических систем в условиях неопреде- ленности проходит по двум направлениям. 1. Исследуются стохастические динамические системы, в которых в детер- минированные математические модели включаются случайные процессы [2]: ви- неровские, пуассоновские и др. При этом исследование оптимизации полученных стохастических динамических систем проводится с использованием достаточных условий оптимальности без ограничений на состояние систем [3–5]. 2. Исследование динамических систем, в которых проводится сведение апри- орной неопределенности к параметрической, когда вероятностные законы распре- деления для исследуемых ситуаций, величин и наблюдаемых процессов известны с точностью до конечного числа параметров, т.е. когда известны случайные рас- пределения реализации неизвестных параметров и начальных условий. Исследо- вания стохастических систем при неточной исходной информации о начальных условиях и параметрах проводились в работах [6–16] и др. В них получены стоха- стические необходимые условия оптимальности и формулы для градиентов функ- ционалов в пространстве оптимизируемых параметров, позволяющие для реше- ния динамических задач оптимизации использовать численные методы конечной оптимизации. Настоящая статья относится к первому направлению. В ней предложена сто- хастическая модель оптимальной эколого-экономической динамики в условиях экологического равновесия с винеровским процессом с учетом таких показателей, как производственное потребление и валовая продукция (полный цикл макроэко- номики роста [17], с ограничением на конечное состояние системы и производ- ственной функцией степени однородности ).2;0(v 126 ISSN 0572-2691 Проведено исследование предложенной модели, описаны алгоритмы опреде- ления правого управления, соответствующей правой траектории и правого мо- мента переключения управления и на модельном примере проведено численное моделирование. Сперва построим детерминированную модель, а затем на ее основе формали- зуем стохастическую модель. Построение детерминированной модели Для построения детерминированной модели эколого-экономической динамики в условиях экологического равновесия используются такие основные допущения. 1. Амортизационные отчисления основного производственного сектора (ма- териальное производство) ovА и дополнительного производственного сектора (очистные работы) dvА в каждый момент времени ],[ 0 Ttt прямо пропорцио- нальны величине соответствующего капитала: ),()( tKtА ovovov  ),()( tKtА dvdvdv  (1) где dvov  , — нормы амортизации, );1;0(,  dvov dvov KK , — соответствен- но капиталы основного производственного и дополнительного секторов. 2. Трудовые ресурсы — это экзогенная переменная с постоянным темпом ро- ста :const ,)( )( 0 0tt eLtL   ].,[,const 00 TttL  (2) 3. Инвестиции в материальное производство и очистные работы полностью используются на прирост и амортизацию соответствующего капитала: ),()()( tAtKtI ovovov   (3) ),()()( tAtKtI dvdvdv   ],,[ 0 Ttt (4) где dttdKtK /)()(  — прирост капитала (чистые инвестиции — прибыль). 4. Общие валовые инвестиции распределяются только в материальное произ- водство и очистные работы: ),()()( tItItI dvov  ].,[ 0 Ttt (5) 5. Валовая продукция Х составляет конечный выпуск продукции Y и произ- водственное потребление W: ),()()( tWtYtX  ].,[ 0 Ttt (6) Пусть производственное потребление — часть валовой продукции Х с коэф- фициентом пропорциональности )1;0(consta : ),()( taXtW  ].,[ 0 Ttt (7) Тогда конечный выпуск продукции равняется ),()1()( tXatY  ],,[ 0 Ttt (8) причем валовая продукция ограничена производственной функцией F [17]: )),(),(()(0 tLtKFtX ov ].,[ 0 Ttt (9) Производственная функция F зависит от размеров капитала материального производства vKo и трудовых ресурсов L и является дважды непрерывно- дифференцируемой, монотонно возрастающей, вогнутой по каждому из аргумен- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 2 127 тов и однородной степени )2;0(v )()1,/(),( kfLLKFLLKF v ov v ov  [18]. Удельная производственная функция (на одного работника) f удовлетворяет тре- бованиям: дважды непрерывно-дифференцируемая по фондовооруженности ovov LKk / , монотонно возрастающая, вогнутая при .0k 6. Экономическая система находится в состоянии устойчивого экологическо- го равновесия [19], т.е. в таком состоянии, когда объем загрязнения Z не зависит от времени: ,const)( min  ZtZ ].,[ 0 Ttt (10) Будем считать, что произведенное загрязнение, устраненное загрязнение и загрязнение, от которого природа самоочищается, задаются соответственно функ- циями )),(( tYq ))(( tKp dv и )).(( tZ Тогда получим общее выражение для загряз- нения [19]: ,))](())(())(([)( 0 dttZtKptYqtZ dv t t   ].,[ 0 Ttt (11) С учетом (11) экологическое равновесие (10) означает, что производная по времени от объема загрязнения равняется нулю .0)( tZ Имеем равенство ,0))(())(())((  tZtKptYq dv ].,[ 0 Ttt (12) Из (10) и (12) следует, что в состоянии экологического равновесия выполня- ется равенство ,)())(( 0min  ZtZ ].,[ 0 Ttt (13) т.е. объем самоочищенного загрязнения — постоянная величина. В состоянии экологического равновесия функции )(Yq и )( dvKp можно считать линейными: ,)( 10 YqqYq  .)( 10 dvdv KppKp  (14) С учетом (14) условие экологического равновесия (12) запишем ,)()( 011 rtKptYq dv  ],,[ 0 Ttt (15) где 0000 qpr  отображает баланс потока загрязнения и очищения в услови- ях отсутствия экономической деятельности. 7. Валовые инвестиции I, непроизводственное потребление С, правитель- ственные затраты ,rU налоги pO и сальдо aS в совокупности составляют ко- нечный выпуск Y : ),()()()()()( tStOtUtCtItY apr  ].,[ 0 Ttt Пусть суммарные правительственные затраты, налоги и сальдо — часть ко- нечного выпуска продукции Y: ),()()()( twYtStOtU apr  ],,[ 0 Ttt (16) где ).1;0(const w Тогда суммарные инвестиции и потребление равны: ),()1)(1()()1()()( tXawtYwtCtI  ].,[ 0 Ttt (17) 8. Будем считать, что непроизводственное потребление С составляет часть от части величины конечного выпуска продукции Yw)1(  с нормой потребления s: ),()1)(()( tYwtstC  ],1,0[s ].,[ 0 Ttt (18) Соответственно для общих валовых инвестиций І из (17) имеем ),())(1)(1)(1()())(1)(1()( tXtswatYtswtI  ].,[ 0 Ttt (19) 128 ISSN 0572-2691 Уточним модель экономической динамики в условиях экологического равно- весия, используя соотношения (1)–(19). Из (15) имеем выражение для прироста капитала дополнительного сектора (очистных работ): ),()1()()( 1 1 1 1 tX p q atY p q tKdv   ].,[ 0 Ttt (20) Из соотношений (1), (4), (8), (15) и (20) выводится зависимость для валовых инвестиций очистных работ: , ])()1([)()1()( 01 11 1 rtXaq p tX p q atІ dv dv     ],,[ 0 Ttt (21) а соотношения (5), (19), (21) — для валовых инвестиций материального производства:    ])()1([)()1()()](1)[1)(1()( 01 11 1 rtXaq p tX p q atXtsawtI dv ov  . ],[,)()1()())(1)(1()1( 0 1 0 1 1 1 1 Ttt p r tX p q atX p q tswa dvdv            (22) С учетом (1), (3) и (22) получим уравнение динамики основного производ- ственного капитала ovK в условиях экологического равновесия при ограничениях на валовую продукцию X и норму потребления s:         )())(1)(1()1()()( 1 1 tX p q tswatKtK dv ovovov  ].,[ ,1)(0 )),(, )(()(0,)()1( 0 1 0 1 1 TtttstLtKFtX p r tX p q a ov dv     (23) Введем экономические удельные показатели, такие как фондовооружен- ность материального производства LKk ov/ , удельное потребление  LCc / LXswa /)1)(1)(1(  , удельную валовую продукцию LXx / и используем ра- венства ,xx L X L X L X           .kk L K L K L K           После этого из (23) получим математическую модель эколого-экономической си- стемы в условиях экологического равновесия в удельных показателях: .)( ,)( ,)( ],,[ )),(()(0 ,1)(0 ,)()())(1)(1()1( )()1()()()( 0000 0 )()1(1 0 )(1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 T ttvv ttdv dv ov kTkxtxktk TtttkfeLtxts eL p r tx p q tswa tx p q atktk               (24) В модели (24) первое соотношение — это уравнение динамики фондовоору- женности материального производства k, второе — ограничение на норму по- требления s, третье — ограничение на удельную валовую продукцию x, получен- ное с использованием однородности степени )2;0( производственной функции ).()1,/(),( )( 0 0 kfeLLKFLLKF tt ovov   Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 2 129 Четвертое соотношение — начальное состояние фондовооруженности материаль- ного производства k в начальный момент ,0t пятое — начальное состояние удельной валовой продукции 0x в начальный момент времени ,0t шестое — ограничение на конечное состояние фондовооруженности Tk материального производства, которое характеризует потребление при .Tt  Построение стохастической модели Перейдем к постановке стохастической модели экономической динамики в условиях экологического равновесия. Пусть },,{ PF — вероятностное про- странство с потоком -алгебр ,]},[,{ 0  TtttFF с множеством элемен- тарных событий  и мерой (вероятностью) Р; IR),()(  tt (IR — множе- ство действительных чисел) — tF -измеримый стандартный винеровский про- цесс [2] с нулевым математическим ожиданием 0)(  tM и дисперсией ,1)(  t , ].,[ 0 Ttt На вероятностном пространстве },,{ PF задан случайный процесс фондо- вооруженности материального производства }.],,[),,()({ 0  Ttttktk Предполагается, что динамика фондовооруженности материального производства эколого-экономической системы в условиях экологического равновесия описыва- ется дифференциальной моделью в форме Ито [2] )(( t — обобщенная производ- ная от случайности :))(t        )()())(1)(1()1()()1()()()( 1 1 1 1 tx p q tswatx p q atktk dvov  ),()( )(1 0 1 0 0 ttneL p r ttdv      ],,[ 0 Ttt (25) с известными начальными условиями на фондовооруженность, валовую продук- цию и ограничением на конечное состояние фондовооруженности системы ,)( 00 ktk  ,)( 00 xtx  ,)( TkTk  (26) где функция ),(tn ],,[ 0 Ttt — кусочно-непрерывная, 0k — случайная величина из , 0t F а 0x и Tk — детерминированные величины. Слагаемое n в модели динамики фондовооруженности (25) характеризует приращение фондовооруженности и имеет нормальное (гауссово) распределение случайности: случайность  — стандартный винеровский процесс, а n — некото- рый заданный коэффициент. Проведем экономическое обоснование уравнения динамики фондовооружен- ности (25). Пусть осуществляется наблюдение за приращением фондоворуженно- сти .k По закону больших чисел из теории вероятностей известно, что на боль- ших выборках наблюдений приращение k подчинено нормальному (гауссовому) закону распределения вероятностей. В наблюдения за приращением фондовоору- женности предположительно входит помеха в виде слагаемого. Эта помеха не за- висит от состояния приращения фондовооруженности и предыдущих значений приращения фондовооруженности, а ее распределение не зависит от времени — хаотическое (броуновское) движение. 130 ISSN 0572-2691 Такой процесс для помехи есть винеровский процесс [2], поэтому ее можно представить как приращение  некоторой случайной величины . Приращение  имеет нормальный закон распределения вероятностей, а случайность  — неиз- вестный. Предположим, что случайность  — стандартный винеровский процесс с ну- левым математическим ожиданием 0M и единичной дисперсией .12 M Ко- эффициент n при приращении  — заданная детерминированная кусочно- непрерывная функция на ].,[ 0 Tt Поэтому, чтобы получить стохастическую мо- дель (25) динамики фондовооруженности, необходимо в правую часть детерми- нированной модели динамики фондовооруженности (24) добавить слагаемое при- ращения случайности  с известным коэффициентом n, где  — стандартный ви- неровский процесс. Запишем ограничения на норму потребления и валовую продукцию: ,1)(0  ts )),(()(0 )()1(1 0 0 tkfeLtx ttvv  ].,[ 0 Ttt (27) Задача состоит в том, чтобы максимизировать среднее интегральное дискон- тируемое потребление .max)()()1)(1()( , ))(( 0 )( 0 0 0 0 xs tt T t tt T t dttxtseMwaLdttCeM    (28) Здесь M — математическое ожидание; 0const  — норма дисконта. В математическом плане (25)–(28) — задача оптимального управления, в ко- торой фазовой траекторией выступает фондовооруженность k, а управлениями — норма потребления s и удельная валовая продукция x. Исследование стохастической модели управления Для задачи (25)–(28) без ограничения на конечное состояние системы Tk за- пишем уравнение Беллмана [3] — стохастическое достаточное условие           )()1()()(),(inf 1 1 , tx p q atkktV t ov xs                 ),()()())(1)(1()1( )(1 0 1 0 1 1 0 ktV k eL p r tx p q tswa ttdv dv ,0)()1)(1(),()(5,0 ))(( 02 2 2 0           tsxewaLktV k tn tt ,0),( TkTV (29) где неизвестная функция V непрерывно-дифференцируемая один раз по времени t и два раза по фондовооруженности k на декартовом произведении }.0{],[ 0  kTt На уровне оптимизации переменные xs и x функционально независимые, по- этому из задачи (29) можно выделить задачу оптимизации по переменной :xs 10 ))(( 0 inf ),( 0             s tt eL k ktV xs , решением которой есть управление по норме потребления: А) s — произвольное из ],1;0[ если ;/ ))(( 0 0tt eLkV   Б) ,0s если ;/ ))(( 0 0tt eLkV   В) ,1s если ;/0 ))(( 0 0tt eLkV   ].,[ 0 Ttt Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 2 131 Конкретизируем эти случаи, в каждом выделим задачу оптимизации по вало- вой продукции x. Случай А. Проинтегрируем по k уравнение ./ ))(( 0 0tt eLkV   С помо- щью условия 0),( TkTV получим .),( ))(( 0 ))(( 0 00 T tTtt keLkeLktV   Подставим функцию V в уравнение Беллмана (29). Поскольку переменные x и x функционально независимые на уровне оптимизации, то по валовой продукции x можно выделить задачу оптимизации ),(0 ,inf)]()1[( )()1(1 0 1 11 0 kfeLx xpqw ttvv x ДВ     (30) решением которой при выполнении неравенства 0)1()( 1 1  w p q dv (31) есть магистральное управление по валовой продукции )),(()( )()1(1 0 0 tkfeLtx tt M  ].,[ 0 Ttt (32) По начальному состоянию валовой продукции 0x вычисляется начальное со- стояние системы 0 ~ k из нелинейного алгебраического уравнения ). ~ ( 0 1 00 kfLx v (33) Это уравнение имеет решение , ~ 0k поскольку функция )0( kf непрерывно-диф- ференцируемая и монотонно возрастающая )0)0((  kf и решение 0 ~ k можно найти одним из численных методов решения нелинейных уравнений [20]. Подставив (32) в уравнение (29) вместо x, получим начальную задачу для определения оптимизационной траектории ),(tkB :],[ 0 Ttt . ~ )(],,[}, )](1[))(()1( )()({)))((()1()( 000 )(1 0 1 10 1 11 )()1()1( 0 1)()1()1( 01 1 1 1 0 0 0 ktkTtteLpr pqwtkfeLa tktkfeLpqatk B tt dv dvB tt BovB tt B       (34) Определив траекторию Bk из задачи (34) одним из численных методов [20], подставив Bk вместе с )( )()1(1 0 0 kfeLx ttvv  в уравнение динамики (25) и ис- пользовав равенство для стандартного винеровского процесса [2] 0)(  MM , (35) определим управление по норме потребления s при Bkk  как среднюю величину             ))(()1)(1( ))](()1(1)[( )( )1( 1)( )()1(1 0 )()1(1 0 1 11 1 1 0 0 tkfeLaw tkfeLpqatk pw q ts B tt B tt B dv  , ))(()1)(1( )()( )()1(1 0 )(1 0 1 10 0 0          tkfeLaw eLprtk B tt tt dvBov ].,[ 0 Ttt 132 ISSN 0572-2691 Тогда магистральное управление по норме потребления Ms есть непрерывная функция на ],[ 0 Tt и вычисляется по формуле           ,1)(0 если),( ,1)( если,1 ,0)( если,0 )( tsts ts ts tsM ].,[ 0 Ttt (36) По магистральным управлениям по норме потребления Ms и валовой про- дукции Mx одним из численных методов [21] определяем стохастическую маги- стральную фондовооруженность Mk из начальной задачи   )()({))](()1(1[)( 1)()1(1 0 1 11 0 tktkfeLpqatk ov ttvv   ))(()]())(1)(1)[(1( )()1(1 0 1 11 0 tkfeLvpqtswa ttvv dvM )},()( )(1 0 1 10 0 ttneLpr tt dv    .)( 00 ktk  (37) Средняя магистральная фондовооруженность определяется из задачи (37) при ,0)( tn ],[ 0 Ttt (поскольку имеет место равенство (35)) и начальном условии .)( 00 Mktk  Функция )0( kf дважды непрерывно-дифференцируемая, монотонно воз- растающая, вогнутая, а функция n кусочно-непрерывная и Ms непрерывная на ],,[ 0 Tt поэтому для задачи (37) выполняется условие регулярности   )()({)))((()1( 1)()1(1 01 1 1 1 0 tktkfeLpqa ov ttvv   )](1))[(()1( 1 11 )()1(1 0 0 vpqwtkfeLa dv ttvv ,const))((const} 21 )(1 0 1 10 0   kfkeLpr tt dv ),1(const)( 2 3 222  knkfk ,0const,const,const 321  которое гарантирует существование и единственность решения задачи (37) в смысле стохастической эквивалентности [21–23]. Итак, определены магистральные управления по норме потребления Ms и ва- ловой продукции Mx и соответствующие стохастическая и средняя магистраль- ные фондовооруженности Mk системы (25)–(28) без ограничения на конечное со- стояние системы. Случай Б. В этом случае 0s и .0/  kV Поэтому магистральное управ- ление по норме потребления .0 ssM Подставим 0s в уравнение Беллма- на (29). Выделим по валовой продукции x задачу оптимизации, которая имеет вид задачи (30). Соответственно при выполнении неравенства (31) решением этой за- дачи оптимизации есть магистральное управление по валовой продукции Mx и описывается выражением (32). Тогда согласно магистральным управлениям по норме потребления Ms и ва- ловой продукции Mx соответствующая стохастическая магистральная фондово- оруженность Mk определяется из стохастической начальной задачи (37), а сред- няя магистральная фондовооруженность — из задачи (37) при ,0)( tn ],,[ 0 Tt и начальном условии .)( 00 Mktk  Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 2 133 Таким образом, в случае Б система (25)–(28) без ограничения на конечное со- стояние системы имеет пару магистральных управлений по норме потребления Ms и валовой продукции Mx и соответствующие стохастическую и среднюю ма- гистральные фондовооруженности .Mk Случай В. Здесь 1s и .0/  kV Магистральное управление по норме по- требления .1 ssM Подставим 1s в уравнение Беллмана (29) и выделим по переменной x задачу оптимизации ,inf)(1 11 x dv xpq  ),(0 )()1(1 0 0 kfeLx ttvv  решением которой есть магистральное управление по валовой продукции .0Mx Это означает, что выпуск валовой продукции отсутствует — нет производства. С практической точки зрения, такой случай нас не интересует. Итак, система (25)–(28) без ограничения на конечное состояние имеет две па- ры магистральных управлений по норме потребления и валовой продукции и со- ответствующие две пары стохастических и средних магистральных фондовоору- женностей. Это означает, что система имеет два эколого-экономических режима для выбора на магистральном отрезке времени (периоде) приоритетного режима среди режимов накопления капитала при отсутствии потребления и более-менее равномерного распределения благ между накоплением капитала и потреблением. Осталось проверить выполнение ограничения на конечное состояние фондо- вооруженности системы (25)–(28). В случае выполнения неравенства для средней фондовооруженности Mk в момент времени T TM kTMk )( запишем стохастический и средний оптималь- ный процесс )}(),(),({ optoptopt tktxts задачи (25)–(28): . ],[),()( )),(()()(),()( 0opt )()1(1 0optopt 0 Ttttktk tkfeLtxtxtsts M M tt MM    (38) При выполнении неравенства для средней фондовооруженности в момент времени T TM kTMk )( необходимо определить правое управление по норме по- требления ,rights соответствующую правую траекторию фондовооруженности rightk и правый момент переключения управления .right Правое управление по норме потребления необходимо построить в случае вы- полнения неравенства для средней фондовооруженности в момент T .)( TM kTMk  При этом правая траектория фондовооруженности должна монотонно возрастать, а для этого необходимо выполнение положительности прироста фондовооруженно- сти (стохастического неравенства):   )()({))](()1(1[ 1)()1(1 0 1 11 0 tktkfeLpqa ov ttvv   ))(()]())(1)(1)[(1( )()1(1 0 1 11 0 tkfeLvpqtswa ttvv dv ,0)}()( 0 )(1 0 1 10 0   ttneLpr ttv dv  (39) где 00  — заданное достаточно малое число. 134 ISSN 0572-2691 Согласно результатам [24] стохастическое неравенство (39) можно заменить средним приростом фондовооруженности, ограниченным снизу:   )()({))](()1(1[ 1)()1(1 0 1 11 0 tktkfeLpqa ov tt   ))(()]())(1)(1)[(1( )()1(1 0 1 11 0 tkfeLpqtswa tt dv .)}()( 0 )(1 0 1 10 0   tMtneLpr tt dv  (40) С использованием равенства (35) для винеровского процесса  неравен- ство (40) примет вид   )()({))](()1(1[ 1)()1(1 0 1 11 0 tktkfeLpqa ov tt   ))(()]())(1)(1)[(1( )()1(1 0 1 11 0 tkfeLpqtswa tt dv .} 0 )(1 0 1 10 0   tt dv eLpr (41) Сформируем задачу нелинейного программирования для определения право- го управления по норме потребления ,rights в которую входят критерий цели ),(max y (42) неравенство (41), ограничения на управление по норме потребления и среднее со- стояние фондовооруженности ),(0 ts ,1)()(  tyts ,)()( TM ktktMk  ,0y ].,[ 0 Ttt (43) Неравенство ,)()( TM ktktMk  ],,[ 0 Ttt означает, что среднее состояние фондовооруженности на правом периоде (T — магистральный период) rightk должно находиться в диапазоне между средней магистральной фондовооружен- ностью MMk и конечным состоянием системы .Tk Если задача (41)–(43) не имеет решения для выбранного эколого- экономического режима, то это означает, что конечное состояние по фондово- оруженности Tk недостижимо и необходимо перейти к решению задачи нели- нейного программирования для другого эколого-экономического режима. А если и для второго эколого-экономического режима задача нелинейного программиро- вания не имеет решения, то необходимо ослабить требования на исходную ин- формацию системы (25)–(28). Пусть задача нелинейного программирования (41)–(43) имеет решение rights и, решив ее одним из численных методов [25], найдем правое управление по нор- ме потребления ,rights которое и есть непрерывной функцией на ],[ 0 Tt для вы- бранного эколого-экономического режима. Соответствующая стохастическая правая траектория фондовооруженности rightk и правый момент переключения управления right определяются из такой стохастической задачи: ]},,[ ,)()()({)( ,)( ],,[ )},()( ))(()]())(1)(1)[(1( )()({))](()1(1[)( 0 0 )(1 0 1 10 )()1(1 0 1 11 1)()1(1 0 1 11 0 0 0 TttktMktktMkDkkTk TttttneLpr tkfeLpqtswa tktkfeLpqatk TMMrightT tt dv tt dvright ov tt           (44) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 2 135 где 0 — заданное достаточно малое число, rights — решение задачи (41)–(43). В (44) первое равенство — это уравнение движения стохастической правой фон- довооруженности, второе — состояние стохастической правой фондовооруженно- сти в момент времени ,Tt  а третье — состояние стохастической правой фондо- вооруженности в момент времени rightt  и должно находиться в -окрестности средней магистральной фондовооруженности. Третье соотношение задачи (44) как раз есть условие для определения правого момента переключения управле- ния ,right а средняя правая траектория по фондовооруженности вычисляется из задачи (44) при ,0)( tn ],,[ 0 Ttt причем правый момент переключения управ- ления right при вычислении может иметь большую погрешность. Для более точ- ного вычисления right необходимо решить задачу оптимального быстродействия. Правый момент переключения управления. Формализуем задачу опти- мального быстродействия. Пусть )(ks — момент первого достижения множе- ства D системой ,)( ,)( ],,[ ,1)()( )},()( ))(()]())(1)(1)[(1( )()({))](()1(1[)( )(1 0 1 10 )()1(1 0 1 11 1)()1(1 0 1 11 0 0 0 Trightrightright tt dv tt dv ov tt kTkDkTttsts ttneLpr tkfeLpqtswa tktkfeLpqatk           (45) формально начинающей движение в обратном направлении оси t из точки Tkk  при .Tt  Задача оптимального быстродействия заключается в выборе такого управления по норме потребления s, при котором среднее время достижения D движущейся точкой минимально: ),(min)( 1 kMk s sss ПР ПР    (46) где right — искомый правый момент переключения управления, rights — реше- ние задачи (41)–(43); множество D из задачи (44) — -окрестность средней ма- гистральной фондовооруженности. Для задачи (45), (46) запишем уравнение Беллмана [3]: .)( ,0))(,( ),,( ,1)()( ,01),()]()1( 1)[(5,0),( )()()1)(1()1()( )]()1(1[),(inf 2 2 21 11 )()1(1 0 2)(1 0 1 10 )()1(1 0 1 1 11 11 )()1(1 0 00 0 0                                        DkMkVTttsts ktV k kfpqa eLtnktV k eLpr kfeL p q swak kfpqaeLktV t rightrightrightrightright tttt dv tt ovov tt s (47) 136 ISSN 0572-2691 Из этой задачи определяем правое управление по норме потребления:          ,0/если],1),([изоепроизвольн ,0/если,1 ,0/если ),( )( kVts kV kVts ts right right right . ],[ Tt right (48) Чтобы управление по норме потребления  rights равнялось rights (решение задачи (41)–(43)), необходимо выполнение неравенства ,0/  kV поэтому искомую функцию V ищем в виде ),(),( ))(( 0 ))(( 0 00 rightM ttt MkelLkelLktV right   .0l (49) Подставив (49) в уравнение Беллмана (47), и положив ,rightss  rightt  и ),( rightMMkk  получим нелинейное алгебраическое уравнение для определе- ния правого момента переключения управления :right   qaeLMkelL tvv rightM t rightright )1(1[)()( )()1(1 0 ))(( 0 00   ))(1)(1)[(1()()({))](( 11 1 rightrightrightMovrightM swaMkMkfp   ))(()]( )()1(1 0 1 11 0 rightM tvv dv MkfeLvpq right ,01} ))(( 0 )(1 0 1 10 00   tt dv rightright elLeLpr (50) которое можно решить одним из численных методов [20], причем выбором числа 0l можно добиться, чтобы ).,( 0 Ttright Соответствующая стохастическая правая траектория по фондовооруженности rightk — непрерывно-дифференцируемая функция на ],[ 0 Tt и определяется од- ним из численных методов [21] из такой начальной стохастической задачи: . )()( , )}()())(( )]())(1)(1)[(1()()({ ))](()1(1[)( )(1 0 1 10 )()1(1 0 1 11 1)()1(1 0 1 11 00 0 rightМright tt dv tt dvrightov right ttv right kk ttneLprtkfeL pqtswatk tkfeLpqatk          (51) Средняя правая траектория по фондовооруженности определяется из задачи (51) при ,0)( tn ],,[ 0 Ttt и среднем начальном условии ).()( rightMright Mkk  Оптимальный процесс. Согласно результатам [3] стохастический и средний оптимальный процесс задачи (25)–(28) принимает вид ].,[ )),(()( ],,[ если),( ),,[ если),( )( ],,[ если),( ),,[ если),( )( 0 )()1(1 0 00 0 TtttkfeLtx Ttts ttts ts Tttk tttk tk opt ttvv opt rightright rightM opt rightright rightM opt                 (52) При этом оптимальная траектория по фондовооруженности optk и оптимальное управление по валовой продукции optx — кусочно-дифференцируемые функции, а оптимальное управление по норме потребления opts — кусочно-непрерывная функция на ].,[ 0 Tt Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 2 137 Алгоритм вычисления оптимального процесса решения задачи (25)–(28) 1. Выбрать необходимый эколого-экономический режим (из случаев А и Б). 2. Проверить, все ли режимы перебраны среди двух режимов. Если да, то вы- ход из алгоритма. Если перебраны не все режимы из двух режимов, перейти на блок 3. 3. Для выбранного режима найти магистральное управление по норме по- требления .Ms 4. Вычислить стохастическую и среднюю магистральную фондовооружен- ность Mk из решения задачи (37). 5. Проверить выполнение неравенства для средней магистральной фондово- оруженности .)( TM kTMk  При выполнении этого неравенства необходимо про- вести расчет стохастического и среднего оптимального процесса по формулам (38). Выход из алгоритма. Если выполняется неравенство ,)( TM kTMk  то переход на блок 6. 6. Определить правое управление по норме потребления rights из решения задачи нелинейного программирования (42), (43). Если решение rights не суще- ствует, то перейти к следующему режиму и на блок 2. Если решение rights существует, вычислить его. 7. Вычислить правый момент переключения управления right из решения нелинейного уравнения (50). 8. Определить стохастическую и среднюю правую траекторию по фондово- оруженности rightk из решения начальной задачи (51). 9. Вычислить стохастический и средний оптимальный процесс по формулам (52). Выход из алгоритма. Модельный пример численного моделирования стохастической системы Входная информация: ,7778,2)( 5,0kkf  ,05,0dv ,04,0ov ,1,0 ,01,0 ,15,01 q ,16,01 p ,90 L ,90 r ,2000 k ,400Tk ,1,0w ,0,1v ,20,0a ,00 t .20T При вычислениях выбрали первый режим (случай А). Приведем некоторые данные значений оптимального управления по норме потребления (таблица). Таблица Оптимальное управление по норме потребления при различных значениях t t  0 t  2 t  4 t  6 t 8 t  10 t  12 t  14 t  16 t  18 t  20 0,5085 0,5087 0,5089 0,5090 0,5092 0,5094 0,5095 0,0237 0,0137 0,0068 0,0008 Правый момент переключения управлений равняется ,5397,13right при- чем начальные задачи (34), (37) и (51) решались с помощью формул Рунге–Кутта с шагом 1,0t [21], а задача нелинейного программирования (41)–(43) — с по- мощью метода Эрроу–Гурвица [25]. С экономической точки зрения, стохастическая эколого-экономическая си- стема к моменту переключения 5397,13right движется по магистральной фон- довооруженности, а в момент 5397,13right сходит с магистрали и движется по правой траектории фондовооруженности. На отрезке времени ]20 ;5397,13[ большая часть инвестиций идет на накопление капитала (в среднем 99,33 %), а очень малая — на потребление (в среднем 0,67 %). 138 ISSN 0572-2691 Замечание. Для решения задачи (25)–(28) можно применить иной подход. После определения магистрального управления по валовой продукции ))(()( )()1(1 0 0 tkfeLtx ttvv M  подставить это соотношение в уравнение движе- ния (25), найти производную k и записать новое уравнение движения системы. Сформировать новую задачу оптимального управления вместе с условиями (26)–(28). К новой задаче оптимального управления применить стохастические достаточные условия оптимальности. Заключение Магистральное и правое управления по норме потребления и правый момент переключения управления носят детерминированный характер, магистраль и пра- вая траектория фондовооруженности — стохастический. Для системы (25)–(28) определены два эколого-экономических режима для выбора приоритетного режима на магистральном периоде среди режимов накоп- ления капитала при отсутствии потребления и более-менее равномерном распре- делении между накоплением капитала и потреблением. Результаты данного исследования способствуют не только усовершенствова- нию и развитию общей теории моделирования, но и расширяют экономико- математический аппарат исследования экономических и управленческих задач. М.В. Бойчук, А.Р. Семчук СТОХАСТИЧНА МОДЕЛЬ ПОВНОГО ЦИКЛУ ОПТИМАЛЬНОЇ ЕКОЛОГО-ЕКОНОМІЧНОЇ ДИНАМІКИ Запропоновано стохастичну математичну модель повного циклу оптимальної еколого-економічної динаміки, проведено її дослідження та на модельному прикладі здійснено числове моделювання. M.V. Boychuk, A.R. Semchuk STOCHASTIC MODEL OF A FULL CYCLE OF THE OPTIMAL ECOLOGICAL AND ECONOMIC DYNAMICS A stochastic mathematical model of a full optimal ecological and economic dynamics is proposed, the investigation of the considered model is performed the numerical modeling on the modeling example is carried out. 1. Григорків В.С., Якутова О.Ю., Тимку С.М. Модель оптимальної еколого-економічної ди- наміки // Доп. НАН України. — 2003. — № 9. — С. 59–64. 2. Скороход А.В. Лекції з теорії випадкових процесів. — Київ : Либідь, 1990. — 168 с. 3. Андреева Е.А., Колмановский В.Б., Шайхет Л.Е. Управление системами с последействием. — М. : Наука, 1992. — 336 с. 4. Бойчук М.В., Семчук А.Р. Стохастична модель оптимізації економіки із нелінійним еколо- го-економічним критерієм та запізненням // Вісн. Чернівецьк. торговельно-економічного ін-ту. — 2011. — Вип. IV, № 44. Економічні науки. — С. 373–395. 5. Бойчук М.В., Семчук А.Р. Стохастична модель оптимізації економіки із лінійним за спожи- ванням еколого-економічним критерієм та запізненням // Зб. наук. праць. Сер. екон.: фор- мування ринкової економіки в Україні. — 2011. — Вип. 25. — С. 12–26. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 2 139 6. Тригуб М.В., Ясинский В.В. Управление нелинейными стохастическими системами // Проб- лемы управления и информатики. — 2001. — № 2. — С. 72–81. 7. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Костюкова О.И. Синтез оптимальных управлений для дина- мических систем при неполной и неточной информации об их состояниях // Тр. МИАН. — 1995. — 211. — С. 140–142. 8. Третьяков В.Е., Целищева И.В., Шишкин Г.И. Оптимальное управление системами с не- полной и неточной информацией // Тр. ИММ. — 1992. — 2. — С. 176–187. 9. Krasovskii N.N., Tarasova S.I., Tretyakov V.E., Shishkin G.I. Control with information deficit // Probl. of Contr. and Inform. Theory. — 1986. — 15, N 3. — P. 203–218. 10. Chen S.B. The robust optimal control of uncertain systems – state method // Automat. Contr. IEEE. Transact. on Automat. Contr. — 1993. — 38, N 6. — P. 951–957. 11. Ka-Veng Yuen and James L.Beck. Reliability – based robust control for uncertain dynamical sys- tems using feedback of incomplete noisy response measurements // Earthquake Engineering and Structural Dynamics. — 2003. — 32. — P. 751–770. 12. Quincampoix M., Veliov V.M. Optimal control of uncertain systems with incomplete information for the disturbances // SIAM J. on Contr. and Optimizat. — 2004. — 43, N 4. — P. 1373–1399. 13. Сергиенко И.В., Козерацкая Л.Н., Лебедева Т.Т. Исследование устойчивости и параметри- ческий анализ оптимизационных задач. — Киев : Наук. думка,1995. — 170 с. 14. Sergienko I.V., Deineka V.S. Optimal control of distributed systems with conjugation conditions. — New York : Kluwer, 2005. — 400 p. 15. Айда-заде К.Р., Регимов А.Б. О решении задач оптимального управления на классе кусоч- но-постоянных функций // Автоматика и вычисл. техника. — 2007. — № 1. — С. 27–36. 16. Кунцевич В.М., Кунцевич А.В. Анализ и синтез одного класса нелинейных систем управле- ния при ограниченных возмущениях в условиях неопределенности // Проблемы управле- ния и информатики. — 2000. — № 6. — С. 5–14. 17. Основы теории оптимального управления / Под. ред. В.Ф. Кротова. — М. : Высш. шк., 1990. — 430 с. 18. Бойчук М.В., Бойчук В.М. Моделювання виробничих функцій за допомогою диференціаль- них моделей другого порядку // Наук. вісник Буковинської держ. фінанс. академії. Вип. 3, ч. І : Економічні науки. — Чернівці : Технодрук, 2008. — С. 351–356. 19. Крелле В. Экономический рост в условиях истощения природных ресурсов и защиты окру- жающей среды // Системные исследования. Методологические проблемы. Ежегодник. — 1987. — М. : Наука, 1988. — С. 198–228. 20. Ясинський В.К. Основи обчислювальних методів. — Чернівці : Золоті литаври, 2005. — 396 с. 21. Юрченко І.В., Ясинська Л.І., Ясинський В.К. Методи стохастичного моделювання систем. — Чернівці : Прут, 2002. — 416 с. 22. Гихман И.И., Скороход А.В. Управляемые случайные процессы. — Киев : Наук. думка, 1977. — 432 с. 23. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. — Киев : Наук. дум- ка, 1977. — 364 с. 24. Ермольев Ю.М. Методы стохастического программирования. — М. : Наука, 1976. — 240 с. 25. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. — М. : Высш. шк., 1986. — 319 с. Получено 27.02.2012 После доработки 23.07.2012

Стохастическая модель полного цикла оптимальной эколого-экономической динамики

Institution

Similar Items