Решения одностороннего квадратного матричного уравнения в случае комплексных собственных значений соответствующего матричного пучка

Запропоновано алгоритм побудови розв’язків одностороннього квадратного матричного рівняння у випадку комплексних власних значень відповідного матричного пучка. Наведено співвідношення, які можна розглядати як деякі аналоги відповідних рівностей для скалярного квадратного рівняння, що складають зміст...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2013
Автор:	Ларин, В.Б.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2013
Назва видання:	Проблемы управления и информатики
Теми:	Проблемы динамики управляемых систем
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207610
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Решения одностороннего квадратного матричного уравнения в случае комплексных собственных значений соответствующего матричного пучка / В.Б. Ларин // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 3. — С. 5–15. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-207610
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2076102025-10-12T00:14:32Z Решения одностороннего квадратного матричного уравнения в случае комплексных собственных значений соответствующего матричного пучка Розв’язки одностороннього квадратного матричного рівняння у випадку комплексних власних значень відповідного матричного пучка Solutions of the Unilateral Quadratic Matrix Equation in the Case of Complex Eigenvalues of the Corresponding Matrix Pencil Ларин, В.Б. Проблемы динамики управляемых систем Запропоновано алгоритм побудови розв’язків одностороннього квадратного матричного рівняння у випадку комплексних власних значень відповідного матричного пучка. Наведено співвідношення, які можна розглядати як деякі аналоги відповідних рівностей для скалярного квадратного рівняння, що складають зміст теореми Вієта. Ці розв’язки використовуються в задачі уточнення параметрів моделі за експериментальними оцінками власних значень даної системи. The algorithm of construction of solutions of the unilateral quadratic matrix equation in the case of complex eigenvalues of the corresponding matrix pencil is offered. The equalities which it is possible to consider as some analogs of the corresponding equalities for the scalar quadratic equation, which are the content of Vieta theorem, are provided. As the application, the problem of updating model parameters using experimentally received eigenvalues of this system is considered. 2013 Article Решения одностороннего квадратного матричного уравнения в случае комплексных собственных значений соответствующего матричного пучка / В.Б. Ларин // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 3. — С. 5–15. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207610 62-502 10.1615/JAutomatInfScien.v45.i5.10 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем
spellingShingle	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Ларин, В.Б. Решения одностороннего квадратного матричного уравнения в случае комплексных собственных значений соответствующего матричного пучка Проблемы управления и информатики
description	Запропоновано алгоритм побудови розв’язків одностороннього квадратного матричного рівняння у випадку комплексних власних значень відповідного матричного пучка. Наведено співвідношення, які можна розглядати як деякі аналоги відповідних рівностей для скалярного квадратного рівняння, що складають зміст теореми Вієта. Ці розв’язки використовуються в задачі уточнення параметрів моделі за експериментальними оцінками власних значень даної системи.
format	Article
author	Ларин, В.Б.
author_facet	Ларин, В.Б.
author_sort	Ларин, В.Б.
title	Решения одностороннего квадратного матричного уравнения в случае комплексных собственных значений соответствующего матричного пучка
title_short	Решения одностороннего квадратного матричного уравнения в случае комплексных собственных значений соответствующего матричного пучка
title_full	Решения одностороннего квадратного матричного уравнения в случае комплексных собственных значений соответствующего матричного пучка
title_fullStr	Решения одностороннего квадратного матричного уравнения в случае комплексных собственных значений соответствующего матричного пучка
title_full_unstemmed	Решения одностороннего квадратного матричного уравнения в случае комплексных собственных значений соответствующего матричного пучка
title_sort	решения одностороннего квадратного матричного уравнения в случае комплексных собственных значений соответствующего матричного пучка
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Проблемы динамики управляемых систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207610
citation_txt	Решения одностороннего квадратного матричного уравнения в случае комплексных собственных значений соответствующего матричного пучка / В.Б. Ларин // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 3. — С. 5–15. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT larinvb rešeniâodnostoronnegokvadratnogomatričnogouravneniâvslučaekompleksnyhsobstvennyhznačenijsootvetstvuûŝegomatričnogopučka AT larinvb rozvâzkiodnostoronnʹogokvadratnogomatričnogorívnânnâuvipadkukompleksnihvlasnihznačenʹvídpovídnogomatričnogopučka AT larinvb solutionsoftheunilateralquadraticmatrixequationinthecaseofcomplexeigenvaluesofthecorrespondingmatrixpencil
first_indexed	2025-10-12T01:11:38Z
last_indexed	2025-10-13T01:10:07Z
_version_	1845827005594992640
fulltext	© В.Б. ЛАРИН, 2013 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 3 5 ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ УДК 62-502 В.Б. Ларин РЕШЕНИЯ ОДНОСТОРОННЕГО КВАДРАТНОГО МАТРИЧНОГО УРАВНЕНИЯ В СЛУЧАЕ КОМПЛЕКСНЫХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ СООТВЕТСТВУЮЩЕГО МАТРИЧНОГО ПУЧКА Введение Известно, что различные инженерные задачи (см., например, [1–3]) связаны с теорией колебаний. Следует отметить теорию сильнодемпфированных си- стем [4], в которой центральное место занимают вопросы нахождения корней матричного (или операторного [4]) уравнения .001 2 2  AXAXA (1) В [5] матричное уравнение (1) называется односторонним квадратным матричным уравнением (ОКМУ). Здесь же отмечается широкий круг задач управления, в ко- торых необходимо найти решение ОКМУ. Естественно, что в разных задачах могут представлять интерес те или иные решения (1). В этой связи, как и в [4], со- поставим (1) матричный пучок .)( 01 2 2 AAAL  (2) Пусть размер матриц в (1) равен ,nn ,2 IA  здесь и далее I — единичная мат- рица соответствующего размера. Корень )( 1X уравнения (1) позволяет разложить пучок (2) на множители: ).)(()( 11 XIXIL   (3) Как отмечено в [4], при рассмотрении сильнодемпфированных пучков матрица 111 XAX   уже не будет корнем уравнения (1). Однако если ,0T 00  AA ,0T 11  AA то вместе с матрицей 1X корнем уравнения (1) будет и матрица ,T 112 XAX  т.е. имеет место соотношение .0T 211  XXA (4) Здесь и далее верхний индекс «Т» означает транспонирование. Как показано в [4], в рассматриваемом случае справедливо и соотношение .01 T 20  XXA (5) В [4] отмечается, что соотношения (4), (5) можно интерпретировать как аналог теоремы Виета для скалярного квадратного уравнения. 6 ISSN 0572-2691 Существенно, что в зависимости от собственных чисел пучка (2) можно рас- сматривать различные задачи факторизации, т.е. представления пучка (2) в фор- ме (3). Так, в [6], предполагая, что упорядоченные по модулю собственные значе- ния пучка (2) удовлетворяют соотношению ,1 nn (6) где  — некоторое число, рассмотрены алгоритмы построения решений (1) ),(  XX таких, что собственные значения X совпадают с ,,,1 n  а собственные зна- чения X — с .,, 21 nn    Таким образом, можно считать, что в рассмотрен- ном выше случае сильнодемпфированных систем задача определения  XX , со- ответствует задаче факторизации полинома (2) относительно окружности радиуса . Однако если среди собственных чисел пучка (2) есть комплексные с малой или нулевой действительной частью, то, вообще говоря, может не существовать решений (1) с отмеченными выше свойствами. Например, пусть в (1) ,2 IA  ,01 A },,{diag 2 2 2 10 A .2 1 2 2  В этом случае ,12,1  i ,24,3  i т.е. условие (6) выполняется. Однако уравнение (1) не имеет корня ,1X собственные значения которого совпадали бы с .2,1 Действительно, если бы существовал та- кой корень, то выполнялось бы равенство ,0 2 1 AX  а это невозможно, поскольку оба значения матрицы 1X равны ,2 1 в то время как собственные значения матрицы 0A равны ., 2 2 2 1  Таким образом, в рассмат- риваемом примере целесообразно выбрать в качестве решения (1) матрицу },,{diag 21  iiX собственные значения которой лежат в верхней полуплоскости ),0)((Im  или матрицу   XX , собственные значения которой лежат в нижней полуплоско- сти ).0)((Im  Другими словами, целесообразно рассмотреть задачу факториза- ции (2) не относительно окружности радиуса , а относительно действительной оси. В этой связи рассмотрим случай, когда в (1) ,2 IA  ,0T 00  AA но .T 11 AA  Покажем, что пучок (2) можно факторизовать следующим образом: ).)(()( * 211 XIXIL  (7) В (7) 21, XX — корни (1), верхний индекс «» означает операцию эрмитового со- пряжения (транспонирование и переход к комплексно-сопряженным величинам). Вследствие свойств матрицы 1A пучок (2) нельзя изменить, если заменить  на , а матрицы ,1A 0A — на матрицы ,* 1A :* 0A .)()( 01 2* 0 * 1 2 01 2 AAIAAIAAIL  Таким образом, согласно (7) ).)(())(()( * 12 * 21 XIXIXIXIL  (8) Сравнивая (8) с (2), можно получить соотношения ,0 ,0 1 * 20 * 211   XXA XXA (9) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 3 7 которые аналогично соотношениям (4), (5) можно рассматривать как некоторые аналоги соответствующих равенств для скалярного квадратного уравнения, состав- ляющего содержание теоремы Виета. Эти соотношения, в частности, могут исполь- зоваться для оценки точности вычисления корней уравнения (1) (см. пример 1). Ниже, предполагая, что все собственные значения пучка (2) комплексные, рассмотрим алгоритм построения решений (1), который базируется на процедуре вычисления матричной сигнум-функции [7]. Как приложение таких решений (1) рассмотрена итерационная процедура уточнения параметров слабодемпфированной механической системы по резуль- татам оценки собственных значений, которые, в свою очередь, могут быть по- лучены в результате обработки записей переходных процессов в этой системе (см. пример 2). 1. Одностороннее квадратичное матричное уравнение Перепишем уравнение (1) в виде . 0 0 0 102                                   X I AA I X X I A I (10) В (10) и далее 0 — нулевая матрица соответствующего размера. Отметим, что если матрица 2A обратима, то для нахождения решения (1) мож- но использовать метод матричной сигнум-функции [7]. В этом случае соотношение (10) можно записать так: ,                  X I HX X I . 0 1 1 20 1 2            AAAA I H (11) Введем понятие матричной сигнум-функции [7, 8]. Пусть матрица Z не имеет собственных значений на мнимой оси, т.е. имеет место представление , 0 0 1           v Z где матрица v имеет собственные значения только в левой полуплоскости, а мат- рица  — только в правой. Сигнум-функция матрицы Z определяется следующим образом: , 0 0 sgn 1            I I Z v где единичные блоки ,vI I имеют размеры блоков v и  соответственно. Отме- тим, что существует простая процедура вычисления ,sgn Z а именно, ,limsgn k k ZZ   ),( 2 1 1 1    kkk ZZZ .0 ZZ  (12) Предположим, что матрица H в (11) не имеет действительных собственных значе- ний. В этом случае собственные значения матрицы iH будут расположены сим- метрично относительно действительной оси. Пусть собственные значения иско- мой матрицы X лежат в верхней полуплоскости. Тогда собственные значения матрицы iX будут лежать в левой полуплоскости. Умножив левую и правую ча- сти (11) на i, перепишем это соотношение в виде 8 ISSN 0572-2691 .                     X I iHiX X I (13) Применим к обеим частям (13) процедуру (12). Ограничимся описанием только первого шага этой процедуры. Умножив (13) слева на ,)( 1iH а справа — на ,)( 1 iX получим .)()( 11                      iX X I X I iH (14) Складывая (13) и (14) и умножая результат на 1/2, имеем . 2 ))(( 2 ))(( 11                        X IiHiHiXiX X I Продолжая этот процесс и принимая, что ,)sgn( IiX  с учетом (13) получим .)(sgn                    X I iH X I (15) Соотношение (15) можно переписать так: .0))(sgn(           X I iHI (16) Аналогичные выкладки можно проделать и применительно к другому корню (1) — ).( X Поскольку собственные значения X лежат в нижней полуплоскости, то аналогичная процедура позволяет получить следующее соотношение, определя- ющее :X .0))(sgn(           X I iHI (17) Таким образом, нахождение решений  XX , уравнения (1) после вычисления сигнум-функции матрицы iH фактически сводится к решению системы линей- ных уравнений (16), (17). Продолжим рассматривать случай, когда матрица 2A обратима. При этом можно указать сравнительно простую процедуру уточнения решения (1), полу- ченного с помощью описанного выше алгоритма. Итак, пусть известно 0X — не- которое приближенное значение корня уравнения (1). Решение (уточненное) уравнения (1) будем искать в виде ,10 XXX  (18) где 1X — малая поправка ( — малый параметр). Подставляя (18) в (1) и прене- брегая членами порядка ,2 имеем .)( 0 1 201 1 2 2 00111 1 20 AAXAAXXXXAAX   (19) С помощью соотношения (19) для нахождения поправки 1X используем стан- дартную процедуру lyap.m пакета MATLAB. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 3 9 Пример 1. С помощью соотношения (9) оценим точность приведенного вы- ше алгоритма на примере [9]. Матрицы 012 ,, AAA имеют вид: , 10413180000 1324091300 180104131800 0913240913 0131801041318 0009131222 00013182252 03,02                          A , 012,90246,23040,10530,139500 12,90240014,011212,90240,07920,1053 6,23040012,90246,23040,10530,1395 0,105314,011212,90240013,851013,3326 0,139512,90246,23040012,68646,8154 00,07920,105313,851012,6864015,9831 00,10530,139513,33266,815415,98310 1                            A . 4320000 31203300 2043200 03312033 0320432 0003363 0003232 6000                            A В отличие от [9] в рассматриваемом примере в качестве матрицы 1A принята только кососимметрическая (гироскопическая) часть соответствующей матрицы [9]. Итак, преобразуем уравнение (1) к виду, в котором .2 IA  Для этого разло- жим матрицу 2A на множители Холецкого (процедура chol.m пакета MATLAB): .2 T 22 aaA  С учетом этого соотношения уравнение (1) можно записать так: ,0 ~~ 01 2  AZAZ (20) ,1 22  XaaZ ,)( ~ 1 21 T1 21  aAaA .)( ~ 1 20 T1 20  aAaA Очевидно, что матрица , ~ 1A как и матрица ,1A кососимметрическая. Поэтому для оценки точности определения с помощью алгоритма разд. 1, корней уравне- ния (20) можно использовать соотношение (9). В результате вычислений получе- ны значения корней ,, 21 ZZ которые удовлетворяют соотношениям (9) со следу- ющей точностью: ,101~ ~ 14 1 * 211   A ZZA 15 0 1 * 20 104~ ~   A ZZA (здесь  означает спектральную норму). Эта оценка точности позволяет говорить о нецелесообразности уточнения корней 21, ZZ с помощью алгоритма (19). 10 ISSN 0572-2691 2. Чувствительность собственных значений Рассмотрим возможность использования описанных выше решений уравне- ния (1) в задаче определения чувствительности собственных значений к измене- нию параметров системы и в задаче уточнения параметров модели [9, 10]. Пусть задана система (модель) движения, которая описывается следующим уравнением Лагранжа: .0 KqqBqM  (21) В этом уравнении q является n-мерным вектором обобщенных координат, матрица М считается фиксированной, а матрицы B, K зависят от параметров ,i j следующим образом: ,0 BBB  ,0 KKK  , 1 ii s i BB    . 1 jj p j KK    (22) В этих соотношениях матрицы ,iB ,...,,0 si  ,jK ,...,,0 pj  заданы. Необходимо найти зависимость от параметров ji  , (которые предполагаются малыми) изменений собственных значений системы (21). Другими словами, пусть известны i )2...,,1( ni  — собственные значения дифференциального уравнения (21) при нулевых значениях B и .K Необходи- мо найти зависимость приращений i этих собственных значений от ., ji  По- кажем, что в этой задаче можно эффективно использовать решения уравнения (1), предполагая, что все собственные значения i комплексные. Итак, пусть извест- ны решения (корни)  XX , уравнения (1), в котором ,2 MA  ,01 BA  .00 KA  Как отмечалось выше, объединение n собственных значений каждой из матриц X дает 2n собственных значений уравнения (1). Таким образом, доста- точно рассмотреть эту задачу только для n собственных значений ,i соответ- ствующих, например, матрице ,X которую далее будем обозначать X (собствен- ные значения матрицы X будут комплексно-сопряженными величинами по от- ношению к собственным значениям матрицы ).X Рассмотрим соотношения [10], которые определяют чувствительность соб- ственных значений. Как и в [10], предполагается, что среди собственных значе- ний i нет кратных. Обозначим ixD  матрицу чувствительности собственного значения i к изменению элементов klX матрицы X: .         kl i ix X D Эти матрицы согласно (15) [10] определяются следующим соотношением: ,])(...[)(]...[ B1TT1B 1   n nxx XIXIVDD (23) . 1...1 11 1 1                 n n n n V  В (23)  означает кронекеровское (тензорное) произведение (процедура kron.m пакета MATLAB), матрица V является матрицей Вандермонда, и для ее Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 3 11 определения можно использовать процедуру vander.m пакета MATLAB. Верхний индекс B, как и в [10], означает блочное транспортирование. Так, в случае матри- цы 22 соотношение (23) выглядит так: .)( T 1 2 1                X I IV D D x x Согласно (23), (24) из [10] имеют место следующие соотношения, которые можно использовать для контроля точности вычисления матриц :iXD  , 1 ID iX n i   .)( T 1 j ix j i n i XD   Использование в этой задаче решения уравнения (1) позволило вдвое снизить размер матрицы Вандермонда. Таким образом, если известна вариация матрицы X, обусловленная измене- нием того или иного параметра i( или ),j то, используя (23), можно найти со- ответствующую вариацию собственных значений .i Определим связь вариа- ции X матрицы X с параметрами ji  , , считая малыми ,X ,B .K Соглас- но (1) в линейном приближении имеет место следующее соотношение: .0)( 0  KBXXBXXXXM Предполагаем обратимость матрицы M, это соотношение можно переписать в виде уравнения Ляпунова относительно :X .)( 11 0 1 KMBXMXXXBMX   (24) В соответствии с (22) X можно представить как линейную комбинацию решений уравнений, аналогичных (24): . 1 i s 1i j kj p j вi XXX    (25) Здесь і вX и j kX являются решениями следующих уравнений, аналогичных (24): ,X)( 1і в0 1 XBMXXBMX i і в   (26) .)( 1 0 1 j j k j k KMXXXBMX   (27) Соотношения (23), (25)–(27) позволят построить зависимость  от парамет- ров ., ji  Пусть i r — вариация r-го собственного значения ,r обусловлена изменением параметра ,i а j r вариация r-го собственного значения r — изме- нением параметра .j Эти вариации определяются следующими соотношениями: ,rii i r f ),)((tr Ti rxвri DXf  (28) ,rjj j r  ))((tr T rx j krj DX  (29) ( tr — след матрицы). Другими словам, зависимость от параметров вариации r-го собственного значения r определяется следующим образом: . 11 rjj p j rii s i r f    (30) 12 ISSN 0572-2691 Приняв во внимание (30), обозначив ,][ T 1 n  ,][ T 1 s  ,][ T 1 p  получим следующее соотношение: , F ],[ rifF  ].[ rj (31) Элементы ,rif rj матриц ,F определяются (28), (29). Детализируем процедуру использования этого соотношения в рассматривае- мой задаче уточнения параметров модели, где вектор  считается известным, а векторы , подлежат определению. Отметим, что элементы i вектора  являются комплексными числами, определяющими изменение действительной и мнимой части соответствующего комплексного собственного значения ).( i В этой связи целесообразно представить вектор  в виде вектора размера 2n (вектор ), первые n компонент которого совпадают с действительной частью век- тора , а оставшиеся n компонент соответствуют мнимой части вектора . В свою очередь, это позволит переписать систему (31) в виде системы 2n линей- ных уравнений: ,Dz ],[  FD .][ TTT z (32) Таким образом, если число подлежащих уточнению параметров модели в (22) не превосходит 2n ),2( nps  то система (32) позволит найти соответствующие по- правки. Например, если nps 2 и матрица D обратима, то систему (32) можно переписать в виде .1 Dz (33) Поскольку эти линейные соотношения (31)–(33) справедливы для достаточно малых значений  и z, то процедура уточнения параметров  и  должна быть ите- рационной (см. пример 2). В отличие от [9] в рассматриваемой постановке задачи уточнения параметров модели предполагается только наличие «эксперименталь- ной» информации о собственных значениях системы (21) (что позволяет сформи- ровать вектор ) и не предполагается наличие аналогичной информации о соб- ственных векторах этой системы. Пример 2. Рассмотрим механическую систему, состоящую из двух масс, со- единенных пружинами и демпферами, движение которой описывается уравнени- ем (21). Матрицы, фигурирующие в (22), имеет вид },,{diag 21 mmM  , 211 11 0          bbb bb B , 211 11 0          ccc cc K , 11 11 1         B , 10 00 2       B ,11 BK  ,22 BK  (34) ,101 m ,12 m ,01 b ,02 b ,401 c ,52 c ,01  ,52  ,101  .52  Отметим, что в [11] (табл. 2) путем моделирования процедуры идентифика- ции системы (21), (22), (34) по результатам регистрации переходного процесса получены следующие оценки собственных значений этой системы: ,5532,73316,212 i ,8765,01745,034 i (35) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 3 13 которые будут использоваться как «экспериментальные» данные в задаче уточне- ния параметров модели. Таким образом, в рассматриваемой задаче в качестве начального приближения принимаются значения параметров, которые определя- ются матрицами 00,, KBM ).0( 2121  По экспериментальным дан- ным (оценкам (35)) необходимо определить матрицы ,, KB т.е. уточнить значе- ние параметров 2121 ,,,  или параметров модели: ,111  bb ,222  bb ,111  cc .222  cc (36) Как уже отмечалось, соотношение (33) справедливо для достаточно малых  и z. Поэтому в рассматриваемой задаче целесообразно использовать два итера- ционных цикла уточнения параметров. Подробно опишем первый, так как второй аналогичен. Итак, применив алгоритм разд. 2 к уравнению (1), в котором ,2 MA  ,01 BA  ,00 KA  согласно (16) получим следующее решение: , 6,4991 +05,25480 0,5255 01,11300          ii ii X (37) которое удовлетворяет (1) с точностью .10 14 В этой связи не возникает необхо- димости использования процедуры уточнения (19). Собственные значения матрицы ,X определяемой (37), следующие: ,6416,01 i i9705,62  . (38) С помощью (23) были найдены ,1xD 2xD и построена матрица D, фигуриру- ющая в (33): . 0,06640,078800 0,0580 0,000800 000,46280,5495 00 0,03720,0005               D Согласно (35), (38) вектор  в (33) имеет вид .0,5827]0,23492,33160,1745[ T По этим данным согласно (33) был найден вектор z и соответствующие оценки параметров ,,,, 2121 ccbb которые использовались как исходные данные во вто- ром итерационном цикле. Отметим, что во втором цикле матрицы ,X D и век- тор  имеют вид , 6,6387+2,49115,06511,6370 0,50650,13361,2526+0,0150          ii ii X , 0,06760,07740,19720,1745 0,04130,00110,00200,0010 0,00540,00100,46490,5492 0,00540,00100,03510,0008                 D .0,4926]0,04570,01620,0162[ T Результаты вычислений приведены в таблице. 14 ISSN 0572-2691 Таблица Оценки параметров I II III IV V 1b 0 0,3005 – 0,1081 0 0 2b 0 4,6816 5,1311 5,0042 5 1c 40 44,0283 49,7709 49,7096 50 2c 5 8,9937 9,9576 9,9379 10 d 3,4239 0,7004 0,0245 0,0245 0,0146 В таблице приняты следующие обозначения: 2121 ,,, ccbb — оценки парамет- ров системы, d — норма разности векторов, один из которых — вектор «экспе- риментально» полученных собственных значений (35), второй — вектор собствен- ных значений системы (21), параметры которой приведены в соответствующем столбце таблицы. Столбцы I–IV содержат оценки параметров системы. Так, столбец I соответствует начальному приближению ),( 00 KKBB  ; столбец II содержит оценки параметров, полученные после первой итерации; в столбце III приведены оценки, полученные после второй итерации. После второй итерации в результате использования соотношения (33) значение оценки 1b получилось отрицательным. В этой связи для получения оценок во второй итерации использовалось не соотно- шение (33), а процедура решения так называемой «задачи NNLS» [12] примени- тельно к системе (32) (процедура nnls.m пакета MATLAB). Эти результаты приве- дены в столбце IV. Точные значения параметров системы приведены в столбце V. Таким образом, сравнивая исходные значения оценок параметров системы (столбец I), значения оценок, полученные в результате двух итераций (столбец IV), и точные значения параметров системы (столбец V), в рассматриваемом примере можно кон- статировать высокую эффективность рассмотренной процедуры уточнения пара- метров модели. Заключение Алгоритм матричной сигнум-функции использован для построения решений ОКМУ в случае комплексных собственных значений соответствующего матрич- ного пучка. Приведены соотношения, которые можно рассматривать как некото- рые аналоги соответствующих равенств для скалярного квадратного уравнения, составляющих содержание теоремы Виета. В качестве приложения рассмотрена задача уточнения параметров модели по экспериментально полученным соб- ственным значениям этой системы. Эффективность предложенной процедуры уточнения демонстрируется на примере системы с двумя степенями свободы. В.Б. Ларін РOЗВ’ЯЗКИ ОДНОСТОРОННЬОГО КВАДРАТНОГО МАТРИЧНОГО РІВНЯННЯ У ВИПАДКУ КОМПЛЕКСНИХ ВЛАСНИХ ЗНАЧЕНЬ ВІДПОВІДНОГО МАТРИЧНОГО ПУЧКА Запропоновано алгоритм побудови розв’язків одностороннього квадратного матричного рівняння у випадку комплексних власних значень відповідного матричного пучка. Наведено співвідношення, які можна розглядати як деякі аналоги відповідних рівностей для скалярного квадратного рівняння, що складають зміст теореми Вієта. Ці розв’язки використовуються в задачі уточ- нення параметрів моделі за експериментальними оцінками власних значень даної системи. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 3 15 V.B. Larin SOLUTIONS OF THE UNILATERAL QUADRATIC MATRIX EQUATION IN THE CASE OF COMPLEX EIGENVALUES OF THE CORRESPONDING MATRIX PENCIL The algorithm of construction of solutions of the unilateral quadratic matrix equation in the case of complex eigenvalues of the corresponding matrix pencil is offered. It is brought the equalities which it is possible to consider as some analogs of the corre- sponding equalities for the scalar quadratic equation, which are the content of Vieta theorem. As the application, the problem of updating of parameters of model by us- ing experimentally received eigenvalues of this system is considered. 1. Lugovoi P.Z., Prokopenko N.Ya. Influence of reinforcement and elastic foundation on the vibra- tion of shallow shells with rectangular platform // Int. Appl. Mech. — 2011. — 47, N 6. — P. 714–719. 2. Karnaukhov V.G., Tkachenko Ya.V. Active damping of the resonant vibrations of a flexible cylin- drical panel with sensors and actuators // Ibid. — 2011. — 47, N 6. — P. 720–726. 3. Zakrzhevskii A.E., Khoroshilov V.S. Natural frequencies and modes of out-plane vibrations a fixed ring // Ibid. — 2011. — 47, N 6. — P. 745–753. 4. Крейн М.Г. Введение в геометрию индефинитных J-пространств и теорию операторов в этих пространствах // Вторая летняя математическая школа. — 1965. — Вып. I. — С. 15–92. 5. Bini D.A., Meini B., Poloni F. Transforming algebraic Riccati equations into unilateral quadratic matrix equations // Numer. Math. — 2010. — 116. — P. 553–578. 6. Ларин В.Б. О нахождении решения одностороннего квадратного матричного уравнения // Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2011. — № 6. — С. 16–24. 7. Aliev F.A., Larin V.B. Optimization of linear control systems: analytical methods and computa- tional algorithms. — Amsterdam : Gordon and Breach Science Publishers, 1998. — 261 p. 8. Kenney Ch.S., Laub A.J. The matrix sign function // IEEE Trans. Autom. Contr. — 1995. — 40, N 8. — P. 1330–1348. 9. Yuan Y. An iterative updating method for damped gyroscopic systems // Int. J. of Comput. and Mathemat. Sci. — 2010. — 4, N 2. — P. 63–71. 10. Ling Y.-L., Wang B.-Cn. First-and-second-order eigensensitivities of matrices with distinct eigen- values // Int. J. System Sci. — 1988. — 19, N 7. — P. 1053–1067. 11. Larin V.B., Apostoluyk A.S. Identification of linear time-invariant systems // Int. Appl. Mech. — 2011. — 47, N 6. — P. 754–760. 12. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов. — М. : Наука, 1986. — 230 с. Получено 08.10.2012

Решения одностороннего квадратного матричного уравнения в случае комплексных собственных значений соответствующего матричного пучка

Репозитарії

Схожі ресурси