О функциональной форме первого прямого метода Понтрягина и сравнении гарантированных времен в игровых задачах динамики
Розглянуто ігрову задачу зближення для нестаціонарних керованих процесів на основі двох схем методу розв’язуючих функцій: основної схеми і схеми з фіксованими селекторами термінальної множини, та першого прямого методу Понтрягіна. Завдяки встановленню функціональної форми першого прямого методу наве...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Назва видання: | Проблемы управления и информатики |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207639 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О функциональной форме первого прямого метода Понтрягина и сравнении гарантированных времен в игровых задачах динамики / К.А. Чикрий // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 5. — С. 5-15. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-207639 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2076392025-10-12T00:06:18Z О функциональной форме первого прямого метода Понтрягина и сравнении гарантированных времен в игровых задачах динамики Про функціональну форму першого прямого методу Понтрягіна та порівняння гарантованих часів в ігрових задачах динаміки On functional form of Pontryagin's first direct method and comparison of guaranteed times in dynamic game problems Чикрий, К.А. Проблемы динамики управляемых систем Розглянуто ігрову задачу зближення для нестаціонарних керованих процесів на основі двох схем методу розв’язуючих функцій: основної схеми і схеми з фіксованими селекторами термінальної множини, та першого прямого методу Понтрягіна. Завдяки встановленню функціональної форми першого прямого методу наведено достатні умови рівності гарантованих часів закінчення гри відповідно до згаданих методів. The game problem of pursuit is separately analysed on the basis of two schemes of the method of resolving functions (namely, the main scheme and specific scheme with fixed selections of the terminal set) as well as Pontryagin’s first direct method. Due to establishment of a functional form of the latter it becomes possible to derive sufficient conditions providing equality of the guaranteed game termination times for all above-mentioned methods. 2013 Article О функциональной форме первого прямого метода Понтрягина и сравнении гарантированных времен в игровых задачах динамики / К.А. Чикрий // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 5. — С. 5-15. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207639 517.977 10.1615/JAutomatInfScien.v45.i9.40 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем |
| spellingShingle |
Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Чикрий, К.А. О функциональной форме первого прямого метода Понтрягина и сравнении гарантированных времен в игровых задачах динамики Проблемы управления и информатики |
| description |
Розглянуто ігрову задачу зближення для нестаціонарних керованих процесів на основі двох схем методу розв’язуючих функцій: основної схеми і схеми з фіксованими селекторами термінальної множини, та першого прямого методу Понтрягіна. Завдяки встановленню функціональної форми першого прямого методу наведено достатні умови рівності гарантованих часів закінчення гри відповідно до згаданих методів. |
| format |
Article |
| author |
Чикрий, К.А. |
| author_facet |
Чикрий, К.А. |
| author_sort |
Чикрий, К.А. |
| title |
О функциональной форме первого прямого метода Понтрягина и сравнении гарантированных времен в игровых задачах динамики |
| title_short |
О функциональной форме первого прямого метода Понтрягина и сравнении гарантированных времен в игровых задачах динамики |
| title_full |
О функциональной форме первого прямого метода Понтрягина и сравнении гарантированных времен в игровых задачах динамики |
| title_fullStr |
О функциональной форме первого прямого метода Понтрягина и сравнении гарантированных времен в игровых задачах динамики |
| title_full_unstemmed |
О функциональной форме первого прямого метода Понтрягина и сравнении гарантированных времен в игровых задачах динамики |
| title_sort |
о функциональной форме первого прямого метода понтрягина и сравнении гарантированных времен в игровых задачах динамики |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Проблемы динамики управляемых систем |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207639 |
| citation_txt |
О функциональной форме первого прямого метода Понтрягина и сравнении гарантированных времен в игровых задачах динамики / К.А. Чикрий // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 5. — С. 5-15. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT čikrijka ofunkcionalʹnojformepervogoprâmogometodapontrâginaisravneniigarantirovannyhvremenvigrovyhzadačahdinamiki AT čikrijka profunkcíonalʹnuformuperšogoprâmogometodupontrâgínataporívnânnâgarantovanihčasívvígrovihzadačahdinamíki AT čikrijka onfunctionalformofpontryaginsfirstdirectmethodandcomparisonofguaranteedtimesindynamicgameproblems |
| first_indexed |
2025-10-12T01:12:53Z |
| last_indexed |
2025-10-13T01:11:39Z |
| _version_ |
1845827101400236032 |
| fulltext |
© К.А. ЧИКРИЙ, 2013
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 5
ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
УДК 517.977
К.А. Чикрий
О ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ФОРМЕ ПЕРВОГО
ПРЯМОГО МЕТОДА ПОНТРЯГИНА
И СРАВНЕНИИ ГАРАНТИРОВАННЫХ ВРЕМЕН
В ИГРОВЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ
В работе дается представление первого прямого метода Понтрягина в виде
функциональной формы в терминах разрешающих функций [1, 2]. Этот факт поз-
воляет сравнить гарантированные времена завершения дифференциальной игры
упомянутых методов в классе контруправлений и дать достаточные условия их
совпадения для любых начальных состояний квазилинейного конфликтно-управ-
ляемого процесса. Статья примыкает к исследованиям [1–15].
1. Задача сближения и схемы метода разрешающих функций
Пусть движение объекта в вещественном евклидовом пространстве nR опи-
сывается системой квазилинейных дифференциальных уравнений
),,,()( vutztAz ,)( 00 ztz ),(tUu ),(tVv .00 tt (1)
Здесь )(tA — матричная функция порядка n, с измеримыми по t и локально сум-
мируемыми элементами. Области управления игроков )(tU и )(tV являются из-
меримыми компактозначными отображениями. Блок управления ),,( vut являет-
ся функцией Каратеодори [3], удовлетворяющей условию
),()(),,( tUutavut ),(tVv ),,[ 0 tt (2)
где )(ta — локально суммируемая функция.
Задано цилиндрическое терминальное множество
),()( 0 tMMtM
,0tt (3)
0M — линейное подпространство из ,nR )(tM — измеримое компактозначное
отображение из ортогонального дополнения L к 0M в nR .
Рассматривается задача о сближении [1, 5–8, 11] траектории (1) с множе-
ством (3) с помощью стробоскопических стратегий О. Хайека [5], определяющих
контруправления Н.Н. Красовского [6] для первого игрока ).(u Допустимые
управления игроков — измеримые селекторы отображений )(tU и ).(tV
Опишем кратко основную схему метода разрешающих функций и схему с фик-
сированными селекторами терминального множества [3].
Обозначим через ортопроектор, действующий из nR в L, а через ),( t —
переходную матрицу однородной системы (1).
6 ISSN 0572-2691
Введем многозначные отображения
),),(,(),(),,( vUtvtW ,),,(),(
)(
Vv
vtWtW ,0tt ).(Vv
Условие Понтрягина. Многозначное отображение .),( 0tttW
Поскольку отображение ),( tW компактозначно и измеримо по [2], то в нем
существует измеримый по селектор ),( t [16, 17].
Обозначим
dtzttttzt
t
t
),(),()),(,,,(
0
0000
и введем определяющее многозначное отображение
},))],(,,,()([)],(),,([:0{),,( 00 ttzttMtvtWvt A ,0tt ),(Vv
.)},,(:{sup),,( vtvt A
Известно [2], что разрешающая функция ),,( vt — BL -измерима по ),( v
и, следовательно, суперпозиционно измерима.
Рассмотрим множество на положительной полуоси R
t
t
v
dvtttztT
0
1))(,,(inf:)),(,,(
)(
000
и обозначим ))}.,(,,(:{inf)),(,,( 0000 ztTttztt Точная нижняя грань берется
по всевозможным измеримым селекторам многозначного отображения ).(tV
Условие 1. Если )),(,,( 00 ztTT и ),()),(,,,( 00 TMTTzt ,T то
функция
),,,(inf),(
)(
vTT
Vv
,0tT
измерима по и справедливо равенство
.),,(inf))(,,(inf
00
)()(
T
t
Vv
T
t
v
dvTdvt
Условие 2. При )()),(,,,( 00 TMTTzt справедливо равенство
,)],,(,0[),,( 0tTvTvT A ).(Vv
Теорема 1. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (1)–(3) выполнено
условие Понтрягина. Тогда если для заданного начального состояния ),( 00 zt су-
ществует такой измеримый по селектор ),,( t ),,(),( tWt ,0 tt
что ,)),(,,( 00 ztTT причем выполнены условия 1, 2 и )(co)( TMTM ,
то траектория системы (1) может бать приведена на множество (3) в момент T
с помощью контруправления вида
)),(,,,()( 00 tvtztutu ].,[ 0 Ttt
Доказательство теоремы 1 аналогично [4, с.228]. Она завершает описание
основной схемы метода разрешающих функций при сближении в классе
контруправлений.
Рассмотрим вариант метода при сближении с фиксированным селектором
многозначного отображения ( )M t [3].
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 7
Пусть ),(tm )()( tMtm — произвольный измеримый селектор, который
существует в силу измеримости и компактозначности отображения )(tM соглас-
но теореме измеримого выбора [17].
Обозначим
,)),(,,,(),( 00 mtztmt ),()( tMtmm
введем многозначное отображение
)},(),,(),(:0{),,,( tvtWmtmvtA
и функцию
)},,,,(:{sup),,,( mvtmvt A ,0tt ),(Vv ).(tMm
Рассмотрим множество
1)),(,,(infsup:)),(,,(
0
)()(
000 dmvtttzt
t
t
vtMm
T
и функцию времени
))}.,(,,(:{inf)),(,,( 0000 ztttzt T
Обозначив )),,(,,( 00* zt введем маргинальное отображение
.)),(,,(inf)),(,,(infmax:)()(
*
0
*
0*
*
)(
*
)()(
**
t
v
t
vMm
dmvdmvMmM
Условие 3. Если для )(
*
Mm при выбранном селекторе ),(
*
,0),(
*
m
то выполнены соотношения:
а) функция )),(,,(inf
*
)(
mv
v
измерима по , ;],[
*0 t
б) функция
dmv
Vv
t
)),(,,(inf
*
*
0
полунепрерывна сверху по m;
в) имеет место равенство
.)),(,,(inf)),(,,(inf
**
)(
*
0
*
0
dmvdmv
Vv
tt
v
Условие 4. Отображение ,),,,(
*
mvA ),(Vv ),( *Mm ),(
*
Mm яв-
ляется выпуклозначным.
Теорема 2. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (1)–(3) выполнено
условие Понтрягина, условия 3, 4 и ,)),(,,( 00 zt где ),( 00 zt — началь-
ное состояние, а ),( — выбранный селектор. Тогда проекция траектории )(tz
может быть приведена в любую точку множества )(
*
M в момент
*
с помощью
некоторого контруправления.
Доказательство теоремы 2 аналогично [4].
Заметим при этом, что [4]
)),(,,()),(,,( 0000 ztztt
при любых начальных состояниях ),( 00 zt и селекторах ),( в условиях тео-
рем 1, 2.
2. Гарантированное время первого прямого метода Понтрягина
Сравним теперь гарантированные времена основной схемы метода разреша-
ющих функций и схемы с фиксированными селекторами телесной части терми-
нального множества со временем первого прямого метода Понтрягина [7, 8]. Для
этого рассмотрим последний более подробно.
8 ISSN 0572-2691
Для конфликтно-управляемого процесса (1)–(3) введем функцию Понтряги-
на, предполагая выполненным условие Понтрягина,
.),()(),(:),(
0
00000
dtWtMzttttztP
t
t
(4)
Здесь интеграл от многозначного отображения — интеграл Аумана [18–20].
Если включение в фигурных скобках не выполняется при ,0tt то положим
.),( 00 ztP Так как ),( 00 ztP — числовое множество, то при условии его непу-
стоты и замкнутости введем функцию
)}.,(:{min),( 0000 ztPttztp
Справедливо утверждение.
Теорема 3. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (1)–(3) выполнено
условие 1, ),( 00 ztP и ).,( 00 ztPP Тогда траектория процесса (1) может
быть приведена на терминальное множество (3) в момент P с помощью некоторо-
го контруправления.
Доказательство. Из включения в (4) имеем
.),()(),(
0
00 dPWPMztP
P
t
Согласно определению интеграла Аумана последнее означает, что существует такая
точка )(PMm и измеримый селектор ),,( P ),,(),( PWP ],,[ 0 Pt что
.),(),(
0
00 dPWmztP
P
t
(5)
Рассмотрим многозначное отображение
],,[),(},0),(),,(),(:)({),( 00 PtVvPvuPUuvU (6)
которое BL -измеримо и компактнозначно [2] в силу предположений о парамет-
рах конфликтно-управляемого процесса (1)–(3). По теореме об измеримом выбо-
ре [16] в нем существует BL -измеримый селектор ),(0 vu , который является
суперпозиционно измеримой функцией [2].
Пусть ),(v ),()( Vv ],,[ 0 Pt — произвольная измеримая функция. То-
гда управление преследователя выберем в виде
)),(,()( 00 vuu ].,[ 0 Pt
Из формулы Коши и соотношений (5), (6) получим ).()( PMmPz
Из теоремы 3, которая обобщает первый прямой метод на нестационарные кон-
фликтно-управляемые процессы (1)–(3), вытекают вполне естественные следствия.
Следствие 1. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (1)–(3) выполне-
но условие Понтрягина. Тогда для того, чтобы
,),()(),(
0
00 dtWtMztt
t
t
,0tt
необходимо и достаточно, чтобы существовал такой измеримый селектор ),,( t
),,(),( tWt ],,[ 0 tt что
).()),(,,,( 00 tMttzt (7)
В схеме метода разрешающих функций выполнение включения (7) означает,
что ,),,( vt ,0 tt ).(Vv Эта ситуация полностью соответствует
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 9
первому прямому методу и игра в этом случае может быть закончена за время t
с помощью контруправлений без каких-либо предположений, кроме условия
Понтрягина.
Следствие 2. Пусть для динамической игры (1)–(3) выполнено условие Понт-
рягина. Тогда существует такой селектор ),,( что
.,),()),(,,()),(,,( 00000000 ztztpztztt (8)
Для того чтобы найти условия равенства в соотношениях (8), выразим схему
первого прямого метода Понтрягина в форме разрешающих функций [9]. Для это-
го рассмотрим многозначное отображение
))],(,,,()([)],(),([:0 00 ttzttMttW
и его опорную функцию в направлении 1:
)},,(:{sup),( tBt .0tt
Здесь ),( t — измеримый по селектор многозначного отображения ),,( tW
а функция )),(,,,( 00 ttzt введена ранее.
Если ),()),(,,,( 00 tMttzt то согласно теореме о характеризации и об-
ратном образе [17] отображение ),( tB измеримо по , ].,[ 0 tt Соответственно
на основании теоремы об опорной функции [17] можно сделать вывод об измери-
мости по функции ).,( t
Если ),()),(,,,( 00 tMttzt то ),,0[),( tB а ),(t для всех ,
].,[ 0 tt
Введем множество
,1),(:)),(,,(
0
000
dtttztP
t
t
которое будем считать пустым, если неравенство в фигурных скобках не выпол-
няется при всех .0tt Если )),(,,( 00 ztP — непустое и замкнутое множество,
то положим
.))},(,,(:{min)),(,,( 0000 ztPttztp
Теорема 4. Пусть для динамической игры (1)–(3) выполнено условие Понт-
рягина и существует такой селектор ,),( что ,)),(,,( 00 ztP причем
)),(,,( 00* ztPP и ).(co)(
** PMPM Тогда траектория процесса (1) может
быть приведена на терминальное множество в момент
*
P с помощью
контруправления.
Доказательство. Пусть ),(v ),()( Vv ],,[
*0 Pt — произвольная изме-
римая функция. Рассмотрим случай ).()),(,,,(
***00 PMPPzt Обозначив
*
t —
ноль контрольной функции
,),(1)(
0
*
dPth
t
t
],,[
*0 Ptt
введем многозначное отображение
),(),,(),(:)({),(
**
PvuPUuvU
))]},,(,,,()()[,(
**00**
PPztPMP (9)
10 ISSN 0572-2691
где
.,0
,),,(
),(
**
*0*
* Pt
ttP
P В силу теорем о характеризации и обратном
образе оно BL -измеримо при ),(Vv ],,[
*0 Pt и к тому же замкнутозначно.
По теореме об измеримом выборе в нем существует BL -измеримый селектор
),,( vu который является суперпозиционно измеримой функцией [2]. Управле-
ние преследователя положим равным
)),(,()( vuu ].,[
*0 Pt
При )()),(,,,(
***00 PMPPzt управление первого игрока на всем проме-
жутке ],[
*0 Pt выберем в виде измеримой функции )),(,()( 00 vuu где
),(0 vu — BL -измеримый селектор отображения ),( vU с нулевой разреша-
ющей функцией.
При )()),(,,,(
***00 PMPPzt из формулы Коши и выражения (9) полу-
чим включение
.)(),(),(1)),(,,,()(
*****00*
*
0
*
0
dPMPdPPPztPz
t
t
t
t
Поскольку 0)( * th и ),(co)(
**
PMPM то ).()(
**
PMPz
Если же ),()),(,,,(
***00 PMPPzt то такое же включение вытекает из
формулы Коши и правила выбора управления первого игрока.
Теорема 5. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (1)–(3), находящегося
в начальном состоянии ),,( 00 zt выполнено условие Понтрягина и ),(co)( tMtM
.0tt Тогда
).,()),(,,(min 0000
),(
ztpztp
Доказательство. В силу следствия 2 достаточно доказать неравенство
).,()),(,,(),( 0000 ztpztp
В свою очередь, зафиксировав селектор ),( , согласно следствию 1 достаточно
рассмотреть случай ),()),(,,,( 00000 pMppzt где )).,(,,( 000 ztpp
Пусть .1),(
0
0
0 dp
p
t
Согласно теореме 4 динамическая игра (1)–(3) может быть за-
кончена в момент .0p Покажем, что она может быть закончена в момент ).,( 00 ztp
Из выражения (9) и отображения ),( 0 pB получим соотношение
,))],(,,,()()[,()],(),([ 00000000 ppztpMpppW ],,[ 00 pt (10)
где
,,0
,),,(
),(
0*
*00
0
pt
ttp
p а
*
t — ноль контрольной функции ).(th
Сдвинув множества, принимающие участие в пересечении (10), на вектор
),,( 0 p и, учитывая выражение для )),,(,,,( 0000 ppzt получим
,),(),(),()(),(),( 0000000
0
0
pdpzppMppW
p
t
].,[ 00 pt
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 11
Проинтегрируем оба отображения в пересечении. Тогда
dzppMpdpW
p
t
p
t
]),()([),(),( 00000
0
0
0
0
.),(),(1
0
0
0
0
00
dpdp
p
t
p
t
(11)
Учитывая, что ,1),(
0
0
0 dp
p
t
а ),(co)( 00 pMpM получим из (11)
dztppMdpW
p
t
]),()([),( 00000
0
0
или
.),()(),(
0
0
00000 dpWpMztp
P
t
Отсюда в силу соотношения (4) вытекает неравенство
.),( 000 pztp
Таким образом, в силу произвольности селектора ),( теорема доказана.
Схему метода с многозначным отображением ),( tB и разрешающей функцией
),( t называют функциональной формой первого прямого метода Понтрягина [9].
Используя функциональную форму как связующее звено между упомянуты-
ми методами, установим достаточные условия совпадений функций времени
)),,(,,( 00 ztt )),(,,( 00 zt и ),( 00 ztp [14] для любых начальных состояний
при определенных селекторах ).,( Предварительно введем многозначное отоб-
ражение
)},,(),,())),(,,,()(,,(:)({),,( 00 tvtWttztmvttMmvtM
),(Vv ],,[ 0 tt
значениями которого есть точки отображения ),(tM которые принимают участие
в пересечении, определяющем ),,( vt A при .),,( vt
Очевидно, что многозначное отображение ),,( vt M может быть определено
и в другой форме как маргинальное отображение
,),,,(max),,(:)(),,(
)(
mvtvttMmvt
tMm
M ,0 tt ).(Vv
Теорема 6. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (1)–(3) выполнено
условие Понтрягина и условие выпуклозначности 2, а терминальное множество
)(tM есть переменное афинное многообразие, т.е. )},({)( tmtM .0tt Тогда
).,()),(,,(min 0000
),(
ztpztt
Доказательство. Как и в предыдущем случае, в теореме 5 в силу след-
ствий 1, 2 достаточно доказать неравенство
),()),(,,(),( 0000 zttztp (12)
12 ISSN 0572-2691
в случае ),()),(,,,( ***
00 tmttzt где .)),(,,( 00
* zttt В дальнейшем
зафиксируем селектор ),( и момент .*t В силу теоремы 1 динамическая игра
(1)–(3) может быть закончена в момент *t в классе стробоскопических стратегий,
причем если ),()),(,,,( ***
00 tmttzt то процесс преследования реализуется
с помощью разрешающей функции
),,,(inf
)(
1
),( *
)(*
** vt
t
t
Vv
где .),,(inf)(
*
0
*
)(
*
dvtt
t
t
Vv
Поскольку в силу выпуклозначности отображения ),,,( * vt A ),(Vv ],,[ *
0 tt
),(),,(),( *** Vvvtt A ],,[ *
0 tt
то из соотношения для ),,( vt A при условии )()( ** tmtM получим включение
),,(),())],(,,,()()[,( ****
00
*** ttWttzttmt ].,[ *
0 tt
Проинтегрируем левую и правую части от 0t до .*t Тогда
.),(),())],(,,,()([),(
*
0
*
0
*
0
****
00
***
t
t
t
t
t
t
dtdtWttzttmdt
Учитывая выражение для )),(,,,( **
00 ttzt и соотношение ,1),(
*
0
** dt
t
t
получим
,),()(),( **
00
*
*
0
dtWtmztt
t
t
из которого вытекает, что за время *t динамическая игра (1)–(3) может быть закон-
чена согласно схеме первого прямого метода, что доказывает неравенство (12),
а заодно и утверждение теоремы.
Замечание 1. Вместо условия )},({)( tmtM ,0tt в теореме 6 необходимо
более слабое предположение
),()}({),,( VvtmvtM ,0 tt
где ),()( 0ztmtm зависит от стартовой точки .0z
Анализ доказательства теоремы 6 показывает, что это справедливо.
Теорема 7. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (1)–(3), находяще-
гося в начальном состоянии ),,( 00 zt выполнены условие Понтрягина и условия 3
и 4 при некотором селекторе ),( . Тогда если для выбранного селектора ),(
,)),(,,( 00 zt то проекция траектории процесса (1) на L может быть
приведена в любую точку множества )( M в момент с помощью некоторого
контруправления, причем
).,()),(,,(min 0000
),(
ztpzt
(13)
Доказательство. Пусть ),( Mm ),( — выбранный селектор, а ),(v
),()( Vv ],,[ 0 t — произвольная измеримая функция. Рассмотрим случай
.0),( mt
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 13
Обозначим
.),,,(inf),(
0
dmvm
t
Vv
Учитывая, что ,1),( m положим
).,,,(inf
),(
1
),,(
)(
mv
m
m
Vv
В силу условий 3 и 4 функция ),,( m
является измеримым селектором мно-
гозначного отображения ),,,( mvA , ),()( Vv ].,[ 0 t
Построим управление первого игрока. Для этого рассмотрим многозначное
отображение
)},,(),,(),(),,(),(:)({),,( **
*
**
* mmvuUumvU
),(Vv ].,[ 0 t
Из этого выражения и теоремы об обратном образе вытекает, что отображение
),,(* mvU замкнутозначно и BL -измеримо по ).,( v Согласно теореме изме-
римого выбора в нем существует BL -измеримый селектор ),,,(* mvu который
является суперпозиционно измеримой функцией. Положим управление первого
игрока равным
),),(,(),( ** mvumu ].,[ 0 t
В случае 0),( mt процедура построения управления первого игрока такая же.
Учитывая закон выбора управления, из формулы Коши при 0),( mt получим
),()(),,(1),()( ***
*
**
*
0
Mmmdmmz
t
M
а при 0),( mt равенство mz )( выплывает автоматически.
Для доказательства соотношения (13) в силу неравенства (8) и теоремы 5 до-
статочно доказать неравенство
),()),(,,(),( 0000 ztztp
в случае .0),( mt Зафиксируем селектор ),( и покажем, что из факта завер-
шения игры в момент
* согласно схеме разрешающих функций вытекает воз-
можность завершения игры в этот момент по первому прямому методу.
Поскольку ),,,,(),,( mvm
A ),(Vv ],[ *0 t , и выполнено
условие 4, то
).,(),(),(),,( ****
* Wmm
Проинтегрировав левую и правую части от 0t до * и учитывая соотношение
,1),,(
*
0
*
*
dm
t
получим нужное включение
dWmzm
t
*
0
),(),,( *0* .
В заключительной части приведем утверждение, которое обобщает теорему 6
и показывает, что одним из достаточных условий совпадения гарантированных
14 ISSN 0572-2691
времен метода разрешающих функций и первого прямого метода Понтрягина, кро-
ме условия выпуклозначности, есть неединственность точки касания множества
)(tM в пересечении выражения для ),,( vt (иначе говоря, )},,,({),,( vtmvt M
а некоторое более общее условие в дальнейшем назовем условием обобщенного
полного выметания.
Теорема 8. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (1)–(3), находящего-
ся в начальном состоянии ),,( 00 zt выполнено условие Понтрягина, а также для се-
лекторов ),( таких, что )),(,,( 00 ztT и )),,(,,( 00 ztTT ),,( 00 ztpT
выполнены условия:
1) )],,,(,0[),,( vTvT A ),(Vv 0tT (выпуклозначность);
2) ),()(),()]()(),,([
)(
TMTWTMvTW T
Vv
T
0tT (обобщен-
ное полное выметание), где ),,,(inf
)(
1
)(
)(
vT
T Vv
T
dvTT
T
t
Vv
),,(inf)(
0
)(
;
3) )(co)( TMTM (выпуклость).
Тогда ).,()),(,,(min 0000
),(
ztpztt
Доказательство. Как и в теоремах 5 и 6, достаточно доказать неравенство (12).
Поскольку ),,,()( vTT A ),(Vv ,0tT то в силу условия выпук-
лозначности имеем
,))],(,,()()[()],(),,([ 00 TztTMTvTW T ),(Vv ,0tT
что эквивалентно включению
)(),()),(,,()()()(),,(0 00 VvTTztTMvTW TT
или
).,()),(,,()()]()(),,([0 00
)(
TTztTMvTW T
Vv
T
С учетом условия обобщенного полного выметания, получим
).,()),(,,()()()(),(0 00 TTztTMTW TT
Проинтегрировав левую и правую части последнего включения и учитывая усло-
вие выпуклости, имеем
.),()(),(
0
00 dTWTMztT
T
t
Это означает, что в силу соотношения (4) справедливо неравенство (12).
К.А. Чикрій
ПРО ФУНКЦІОНАЛЬНУ ФОРМУ ПЕРШОГО
ПРЯМОГО МЕТОДУ ПОНТРЯГІНА
ТА ПОРІВНЯННЯ ГАРАНТОВАНИХ ЧАСІВ
В ІГРОВИХ ЗАДАЧАХ ДИНАМІКИ
Розглянуто ігрову задачу зближення для нестаціонарних керованих процесів
на основі двох схем методу розв’язуючих функцій: основної схеми і схеми з фі-
ксованими селекторами термінальної множини, та першого прямого методу
Понтрягіна. Завдяки встановленню функціональної форми першого прямого
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 15
методу наведено достатні умови рівності гарантованих часів закінчення гри
відповідно до згаданих методів.
K.A. Chikrii
FUNCTIONAL FORM OF THE PONTRYAGIN’S
FIRST DIRECT METHOD AND COMPARISON
OF GUARANTEED TIMES IN DYNAMIC
GAME PROBLEMS
The game problem of pursuit is separately analysed on the basis of two schemes of
the method of resolving functions (namely, the main scheme and specific scheme
with fixed selections of the terminal set) as well as Pontryagin’s first direct method.
Due to establishment of a functional form of the latter it becomes possible to derive
sufficient conditions providing equality of the guaranteed game termination times for
all above-mentioned methods.
1. Chikrii A.A. conflict-controlled processes. — Boston; London; Dordrecht : Kluwer, 1997. —
424 p.
2. Чикрий А.А. Об одном аналитическом методе в динамических играх сближения // Тр. МИ
РАН им. В.А. Стеклова. — 2010. — 271. — С. 76–92.
3. Кривонос И.Ю., Чикрий Ал.А., Чикрий К.А. Об одной схеме сближения в нестационарных
игровых задачах // Международный научно-технический журнал «Проблемы управления
и информатики». — 2013. — № 4. — С. 8–15.
4. Чикрий А.А. Гарантированный результат в игровых задачах управления движением // Тр.
Ин-та математики и механики УрО РАН. –– 2010. –– 16, № 5. –– С. 223–232.
5. Hajek O. Pursuit games // Mathematics in Science and Engineering. — 120. — New York :
Academ. Press, 1975. — 266 p.
6. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. — М. : Наука, 1970. — 420 с.
7. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. — Т. 2. — М.: Наука, 1988. — 576 с.
8. Никольский М.С. Первый прямой метод Л.С. Понтрягина в дифференциальных играх. —
М. : Изд-во МГУ, 1984. — 65 с.
9. Чикрий А.А., Питцык М.В., Шишкина Н.Б. Первый прямой метод Л.С. Понтрягина и неко-
торые эффективные способы преследования // Кибернетика. — 1986. — № 5. — С. 53–61.
10. Chikrii A.A. The problem of avoidance for controlled dynamic objects // Int. J of Math., Game
theory and Algebra, Nova Sci. Publ. — 1997. — 7. — P. 81–95.
11. Пшеничный Б.Н., Остапенко В.В. Дифференциальные игры. –– Киев : Наук. думка, 1992.
— 260 с.
12. Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределенности: гарантированные результаты
в задачах управления и идентификации. –– Киев : Наук. думка, 2006. –– 264 с.
13. Онопчук Ю.Н., Чикрий Ал.А. Аналитический метод решения нестационарных дифференци-
альных игр сближения // Кибернетика и системный анализ. –– 2013. –– № 4. –– С. 78–101.
14. Чикрий А.А., Раппопорт И.С., Чикрий К.А. Сравнение гарантированных времен при управ-
лении движением в условиях конфликта // Там же. –– 2008. –– № 4. –– С. 89–100.
15. Химич А.Н., Чикрий К.А. Игровые задачи сближения для динамических процессов с им-
пульсными воздействиями. // Там же. –– 2009. –– № 1. –– С. 135–156.
16. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. — М. : Наука, 1974. — 480 с.
17. Aubin J.-P., Frankowska H. Set-valued analysis. — Boston; Basel; Berlin : Birkhauser, 1990. —
461 p.
18. Aumann R.J. Integrals of set valued functions // J. Math. Anal. Appl. — 1965. — 12. — P. 1–12.
19. Pshenichnyi B.N., Chikrii A.A., Rappoport J.S. Group pursuit in differential games // J. Leipzig
Techn. High School. — 1982. — P. 13–27.
20. Chikrii A.A. Quasilinear controlled processes under conflict // Journal of Math. Sciences. — 1996.
— 80, N 1. — P. 1489–1518.
Получено 19.04.2013
|