О нестационарных дифференциальных играх группового сближения

Розглянуто ігрову задачу групового зближення для процесу, що описується системою нестаціонарних квазілінійних рівнянь. Параметри конфліктно-керованого процесу, області керування гравців та термінальна множина теж змінюються з часом. Отримано достатні умови закінчення гри за скінченний час в класі кв...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2013
1. Verfasser:	Кривонос, И.Ю.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2013
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Проблемы динамики управляемых систем
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207640
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	О нестационарных дифференциальных играх группового сближения / И.Ю. Кривонос // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 5. — С. 16-21. — Бібліогр.: 28 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-207640
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2076402025-10-12T00:07:39Z О нестационарных дифференциальных играх группового сближения Про нестаціонарні диференціальні ігри групового зближення On nonstationary differential games of the group approach Кривонос, И.Ю. Проблемы динамики управляемых систем Розглянуто ігрову задачу групового зближення для процесу, що описується системою нестаціонарних квазілінійних рівнянь. Параметри конфліктно-керованого процесу, області керування гравців та термінальна множина теж змінюються з часом. Отримано достатні умови закінчення гри за скінченний час в класі квазістратегій на основі методу розв’язуючих функцій. The game problem of pursuit is analyzed for a process, described by the system of nonstationary quasilinear equations. Sufficient conditions for the game termination in a class of quasistrategies are obtained on the basis of the method of resolving functions. Работа выполнена при поддержке ГФФИ Украины (проект Ф53.1/006). 2013 Article О нестационарных дифференциальных играх группового сближения / И.Ю. Кривонос // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 5. — С. 16-21. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207640 517.977 10.1615/JAutomatInfScien.v45.i9.50 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем
spellingShingle	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Кривонос, И.Ю. О нестационарных дифференциальных играх группового сближения Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто ігрову задачу групового зближення для процесу, що описується системою нестаціонарних квазілінійних рівнянь. Параметри конфліктно-керованого процесу, області керування гравців та термінальна множина теж змінюються з часом. Отримано достатні умови закінчення гри за скінченний час в класі квазістратегій на основі методу розв’язуючих функцій.
format	Article
author	Кривонос, И.Ю.
author_facet	Кривонос, И.Ю.
author_sort	Кривонос, И.Ю.
title	О нестационарных дифференциальных играх группового сближения
title_short	О нестационарных дифференциальных играх группового сближения
title_full	О нестационарных дифференциальных играх группового сближения
title_fullStr	О нестационарных дифференциальных играх группового сближения
title_full_unstemmed	О нестационарных дифференциальных играх группового сближения
title_sort	о нестационарных дифференциальных играх группового сближения
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Проблемы динамики управляемых систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207640
citation_txt	О нестационарных дифференциальных играх группового сближения / И.Ю. Кривонос // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 5. — С. 16-21. — Бібліогр.: 28 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT krivonosiû onestacionarnyhdifferencialʹnyhigrahgruppovogosbliženiâ AT krivonosiû pronestacíonarnídiferencíalʹníígrigrupovogozbližennâ AT krivonosiû onnonstationarydifferentialgamesofthegroupapproach
first_indexed	2025-10-12T01:12:57Z
last_indexed	2025-10-13T01:11:42Z
_version_	1845827104880459776
fulltext	© Ю.И. КРИВОНОС, 2013 16 ISSN 0572-2691 УДК 517.977 И.Ю. Кривонос О НЕСТАЦИОНАРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГРАХ ГРУППОВОГО СБЛИЖЕНИЯ Одним из важных разделов динамических игр [1–4] являются игровые задачи с группой преследователей [5–21]. Их особенность состоит в том, что при фор- мальной постановке задачи терминальное множество представляет собой объеди- нение выпуклых множеств, которое, вообще говоря, не выпукло. Это обстоятель- ство создает большие трудности при конструктивном решении задач группового сближения. В настоящее время существует два способа решения упомянутых задач. Пер- вый базируется на правиле экстремального прицеливания Н.Н. Красовского [2, 22] и реализует позиционное сближение [7–11]. Ключевую роль при этом в линейном случае играет аппарат опорных функций. Второй способ основан на методе разре- шающих функций [4, 23], по существу используя технику функционалов Минков- ского. Это направление представлено в [10, 12–21], где показана эффективность метода для различных задач группового сближения. Данная работа посвящена применению метода разрешающих функций для решения нестационарных квазилинейных задач группового сближения и направ- лена на дальнейшее развитие исследований [20, 21, 24–27]. В общем виде нестационарная квазилинейная задача группового сближения может быть сформулирована следующим образом. Задан конфликтно-управляе- мый процесс ),,,()( vutztAz iiiii  ,)( 0 0 ii ztz  ,00  tt ,in i Rz  ),(tUu ii  ),(tVv ,...,,1 i (1) где )(tAi — матричная функция порядка ,in элементы которой — измеримые функции, суммируемы на любом конечном интервале ].,[ 0 Tt Управления игро- ков iu и v в момент t выбираются из множеств )(tUi и )(tV соответственно, причем ),()( ip i RKtU  ),()( qRKtV  являющихся измеримыми по Лебегу мно- гозначными отображениями при ).,[ 0  tt Вектор-функции ),,( vut ii опреде- лены на множествах ,),[ 0 qp RRt i  ,...,,1 i и удовлетворяют условию Каратеодори [24]. Кроме того, ),()(),,( tUutavut iiiii  ),(tVv ),,[ 0  tt ,...,,1 i (2) где )(tai — локально суммируемые функции. Терминальное множество состоит из множеств ),(tM i  ,...,,1 i где ),()( 0 tMMtM iii  (3) 0 iM — линейные подпространства в ,in R а )(tMi — измеримые компактознач- ные отображения такие, что ii LtM )( при каждом ),,[ 0  tt ,...,,1 i где iL — ортогональные дополнения к 0 iM в пространстве .in R Иначе говоря,  Работа выполнена при поддержке ГФФИ Украины (проект Ф53.1/006). Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 17 в прямом произведении vnn RR ...1 выделено  подмножеств, зависящих от ,t вида ,...)(... 111 vii nn i nn RRtMRR    ,...,,1 i и их объединение представляет собой терминальное множество. Если движения преследователей и убегающего разделены и независимы, то по- падание пары фазовой траектории i-го преследователя и убегающего )(tzi на мно- жество )(tM i  обозначает, что i-й преследователь «поймал» убегающего в момент .t Цель группы преследователей )...,,1,( iui — с помощью выбора парамет- ров управлений iu вывести траекторию процесса (1) )(tzi на соответствующее множество )(tM i  хотя бы для одного }...,,1{ i за кратчайшее время. Цель убе- гающего — с помощью выбора параметра управления v уклонить все траектории ),(tzi ,...,,1 i процесса (1) от встречи с соответствующими множествами )(tM i  в конечный момент времени, а если это невозможно, то максимально оття- нуть момент этой встречи. Будем считать, что убегающий выбирает произвольные измеримые функции ),(tv принимающие значения из компактозначного отображения ).(tV Каждый из группы преследователей выбирает управление — измеримую функцию в виде ),(,,,()( 00  tii vtztutu ),()( tUtu ii  ,0tt  (4) где ),...,,( 00 10 vzzz  используя предысторию управления убегающего, и началь- ные положения всех игроков. Примем сторону группы преследователей и выясним, какой результат они могут гарантировать себе. При этом заметим, что игра группового преследования (1)–(3) может быть закончена в момент ),( 00 ztT из начального состояния ),,( 00 zt если существуют такие измеримые селекторы )(tui (4) многозначных отображений ),(tUi ,...,,1 i что для любого измеримого селектора ),(tv ),()( tVtv  ,0tt  хотя бы одна траектория )(tzi системы (1) попадет на соответ- ствующее множество )(tM i  в момент ).,( 00 ztTt  Перейдем к основной схеме решения задачи группового преследования (1)–(4). Обозначим через i ортопроектор, который действует из in R на ,iL ,...,,1 i и введем многозначные отображения ),),(,(),(),,( vUtvtW iiiii  ),,,(),( )( vtWtW i Vv i    ,0tt  ....,,1 i Здесь ),(  ti — матрицы Коши однородных систем (1). В силу допущений о параметрах конфликтно-управляемого процесса (1)–(3), а также свойств много- значных отображений [28] отображения ),,,( vtWi  ,...,,1 i измеримы по  и непрерывны по ,v а отображения ),,( tWi ,...,,1 i измеримы по . Условие Понтрягина. Многозначные отображения ),,( tWi ,...,,1 i при- нимают непустые значения для .0  tt 18 ISSN 0572-2691 Отображения ),,( tWi ,...,,1 i замкнутозначны и измеримы по , поэтому в силу теоремы об измеримом выборе [28] существуют измеримые по  селекторы ),,(  ti ),,(),(  tWt ii ,0tt  ,...,,1 i которые в силу (2) суммируемы по  на ],[ 0 tt при каждом .t Зафиксируем их и обозначим ,),(),()),(,,,( 0 0 0 0 0   t t iiiiiii dtzttttzt ....,,1 i По аналогии с общей схемой метода разрешающих функций [4] рассмотрим многозначные отображения ,))],(,,,()([)],(),,([:0{),,( 00  ttzttMtvtWvt iiiiiiA ,0tt  ),(Vv ,...,,1 i ,2),,(  R i vtA },0:{  rrR и их опорные функции в направлении 1 )}.,,(:sup{),,( vtvt ii  A Не будем фиксировать в обозначениях зависимость многозначных отображе- ний ),,( vti A и соответствующих разрешающих функций ),,( vti  от началь- ного состояния ),( 00 zt и выбранных селекторов ).,(  ti Функции ),,( vti  мо- гут принимать значения  для ],,[ 0 tt если ).()),(,,,( 00 tMttzt iii  Если это включение не выполнено, то они измеримы по , полунепрерывны сверху по v и BL -измеримы по совокупности ),( v при каждом 0tt  [23]. Рассмот- рим множество ,1))(,,(maxinf:)),(,,( 0 ...,,1)( 000             t t i viv dvtttztT (5) где )).,(...,),,((),( 1  ttt v Теорема. Пусть для игровой задачи группового преследования (1)–(4) вы- полнено условие Понтрягина и ),(co)( tMtM ii  ,...,,1 i .0tt  Тогда если для начального состояния ),( 00 zt процесса (1) существует набор таких измеримых по  селекторов ,)},({ 1  ti ,0tt  многозначных отображе- ний ),( tWi соответственно, что  )),(,,( 00 ztT и )),,(,,( 00   ztTT то хотя бы одна из траекторий процесса (1) может быть приведена на соответствую- щее множество (3) в момент .T При этом преследователи используют управле- ния типа )),(,,,()( 00  tii vtztutu ],,[ 0  Ttt ....,,1 i Доказательство. Пусть ),(v ),()(  Vv ],,[ 0  Tt — произвольная изме- римая функция, а    1)},({ Ti — набор фиксированных измеримых по  селекторов. Рассмотрим случай )()),(,,,( 0 0   TMTTzt iiii для всех ....,,1 i Вве- дем контрольную функцию ,))(,,(max1)( 0 ...,,1      dvTth t t i vi ].,[ 0  Ttt Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 19 Функция )(th абсолютно неперерывна, невозрастающая. Кроме того, ,1)( 0  th а в силу соотношения в (5) .0)(  Th Отсюда вытекает, что суще- ствует такой момент времени ,* t ],,( 0 *   Ttt что .0)( *  th Момент * t конеч- но зависит от выбранного управления убегающего ),(v ],,[ 0  Tt и активная фаза группового преследования проходит на интервале ).,[ * 0 tt Опишем способ управления каждым игроком в составе группы. Рассмотрим многозначные отображения   ),,(),(),,(),(:)({),( vTTvuTUuvU iiiiiiii ....,,1))]},,(,,,()([ 0 0   iTTztTM iiii (6) Аналогично рассуждениям [23] в подобной ситуации легко сделать вывод, что в силу свойств параметров конфликтно-управляемого процесса (1)–(4) отоб- ражения ),,( vUi  ,...,,1 i компактозначны и BL -измеримы. Поэтому со- гласно теореме измеримого выбора существуют BL -измеримые селекторы ),( vui  отображений ).,( vUi  Они суперпозиционно измеримы. Положим управ- ление каждого из группы преследователей на активном участке равными )),(,()(  vuu ii ,...,,1 i ).,[ 0   tt (7) Для ],[    Tt положим ,0),,(   vTi ....,,1 i Тогда из выражения (6) получим многозначные отображения },0),(),,(),(:)({),(0   TvuTUuvU iiiiiii ....,,1 i Соответствующие BL -измеримые селекторы этих отображений обозначим ),,(0 vui  а управления каждого из группы преследователей на пассивном участке положим равными )),(,()( 00  vuu ii ,...,,1 i ].,[ *  Tt (8) Если для некоторого ,i },...,,1{ i ),()),(,,,( 0 0   TMTTzt iiii то управление i-го преследователя на всем промежутке ],[ 0 Tt выберем в виде (8), а управление других 1 преследователей — произвольные измеримые селекто- ры соответствующих отображений ).(iU Покажем, что при указанном законе управления группой преследователей хотя бы для одного i будет выполнено включение ).()(     TMTz ii Из формулы Коши получим соотношения ,))(),(,(),(),()( 0 0 0     T t iiiiiiiii dvuTztTTz ....,,1 i (9) Рассмотрим случай ....,,1)()),(,,,( 0 0   iTMTTzt iiii Тогда из равенства 0)(   th вытекает, что существует такой индекс ,i что .0))(,,(1 * 0     t t i dvT (10) 20 ISSN 0572-2691 Из формулы Коши для заданного i и закона выбора управлений (7), (8) по- лучим включения                 t t iiiiii dvTTTztTz 0 ))(,,(1)),(,,,()( 0 0 .)())(,,( * 0     t t ii dTMvT (11) Поскольку ),(co)(   TMTM ii ))(,,(   vTi — неотрицательная функция и имеет место равенство (10), то ),()())(,,( 0     TMdTMvT i t t ii поэтому из (11) получим ).()(   TMTz iii Если же для некоторого i   )),(,,,( 0 0 TTzt iii ),(  TMi то из формулы (11) с учетом закона выбора управления (8) имеем ).()),(,,,()( 0 0   TMTTztTz iiiiii Тем самым теорема доказана. І.Ю. Кривонос ПРО НЕСТАЦІОНАРНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ ІГРИ ГРУПОВОГО ЗБЛИЖЕННЯ Розглянуто ігрову задачу групового зближення для процесу, що описується си- стемою нестаціонарних квазілінійних рівнянь. Параметри конфліктно-керо- ваного процесу, області керування гравців та термінальна множина теж зміню- ються з часом. Отримано достатні умови закінчення гри за скінченний час в класі квазістратегій на основі методу розв’язуючих функцій. I.Iu. Kryvonos ON NONSTATIONARY DIFFERENTIAL GAMES OF THE GROUP APPROACH The game problem of pursuit is analyzed for a process, described by the system of nonstationary quasilinear equations. Sufficient conditions for the game termination in a class of quasistrategies are obtained on the basis of the method of resolving func- tions. 1. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. — М. : Наука, 1988. — Т. 2. — 576 с. 2. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. — М. : Наука, 1970. — 420 с. 3. Пшеничный Б.Н.,Остапенко В.В. Дифференциальные игры. — Киев : Наук. думка, 1992. — 260 с. 4. Чикрий А.А. Конфликтно-управляемые процессы. — Киев : Наук. думка, 1992. — 384 с. 5. Григоренко Н.Л. Математические методы управления несколькими динамическими про- цессами. — М. : МГУ, 1980. — 198 с. 6. Благодатских А.И., Петров Н.Н. Конфликтное взаимодействие групп управляемых объек- тов. — Ижевск : Изд-во «Удмуртский университет», 2009. — 266 с. 7. Чикрий А.А., Раппопорт И.С. Линейная задача преследования несколькими управляемыми объектами // Кибернетика. — 1978. — № 3. — С. 54–61. 8. Чикрий А.А. Квазилинейная задача сближения с участием нескольких лиц // Прикладная математика и механика. — 1979. — № 3. — С. 451–455. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 21 9. Чикрий А.А. Квазилинейные дифференциальные игры со многими участниками // Докл. АН СССР. — 1979. —246, № 6. — С. 1306–1309. 10. Чикрий А.А. Дифференциальные игры с несколькими преследователями // Тр. Междунар. мат. Центра им. С. Банаха, Варшава. — 1985. — 14. — С. 81–107. 11. Chikrii A.A. Methods of group pursuit // Lecture Notes in Control and Information Sciences, Sto- chastic Optimization, Proceedings of the Int. Conf., Kiev, 1986. — P. 632–640. 12. Пшеничный Б.Н., Чикрий А.А., Раппопорт И.С. Эффективный метод решения дифференци- альных игр со многими преследователями // Докл. АН СССР. — 1981. — 256, № 3. — С. 530–535. 13. Пшеничный Б.Н., Чикрий А.А., Раппопорт И.С. Преследование несколькими управляемы- ми объектами при наличии фазовых ограничений // Там же. — 1981. — 257, № 1. — С. 785–789. 14. Пшеничный Б.Н., Чикрий А.А., Раппопорт И.С. Групповое преследование в дифференци- альных играх // Оптимизационные исследования и статистика. — 1982. — № 1. — С. 13–27. 15. Чикрий А.А. Групповое преследование при ограниченных координатах убегающего // При- кладная математика и механика. — 1982. — № 6. — С. 906–913. 16. Питцык М.В., Чикрий А.А. О задаче группового преследования // Там же. — 1982. — № 5. — С. 730–736. 17. Чикрий А.А., Чикрий Г.Ц. Групповое преследование в дифференциально-разностных играх // Дифференциальные уравнения. — 1984. — № 5. — С. 802–810. 18. Чикрий А.А., Шишкина Н.Б. О задаче группового преследования при наличии фазовых ограничений // Автоматика и телемеханика. — 1985. — № 2. — С. 59–68. 19. Чикрий А.А., Прокопович П.В. О задаче простого преследования группой одного убегающе- го // Кибернетика. — 1992. –– № 3. — С. 131–137. 20. Чикрий Ал.А. О проблеме группового преследования // Докл. НАН Украины. — 1997. — № 6. — С. 28–32. 21. Чикрий А.А., Барановская Л.В., Чикрий Ал.А. Обратные функционалы Минковского в не- стационарной задаче группового преследования // Изв. РАН. Теория и системы управле- ния. — 1997. — № 1. — С. 109–114. 22. Пшеничный Б.Н. Линейные дифференциальные игры // Автоматика и телемеханика. — 1968. — № 1. — С. 65–79. 23. Чикрий А.А. Об одном аналитическом методе в динамических играх сближения // Тр. Ма- тематического института им. В.А. Стеклова. — 2010. — 271. — С. 76–92. 24. Кривонос И.Ю., Чикрий Ал.А., Чикрий К.А. Об одной схеме сближения в нестационарных игровых задачах // Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2013. — № 4. — C. 8–15. 25. Chikrii A.A. Optimization of game interaction of fractional-order controlled systems // J. Optimi- zation Methods and Software. — 2008. — 3, N 1. — P. 39–73. 26. Кривонос Ю.Г., Матичин И.И., Чикрий А.А. Динамические игры с разрывными траектори- ями. — Киев : Наук. думка, 2005. — 220 с. 27. Chikrii A.A. Deviation problem in nonlinear differential games // Cybernetics. — 1975. — 11, N 3. — P. 412–416. 28. Aubin J.-P., Frankowska H. Set-valued analysis. — Boston; Basel; Berlin : Birkhauser, 1990. — 461 p. Получено 26.04.2013 Статья представлена к публикации членом редколлегии чл.-корр. НАН Украины А.А. Чикрием.

О нестационарных дифференциальных играх группового сближения

Institution

Ähnliche Einträge