Оптимальное управление одним классом стохастических распределенных систем типа Соболева с последействием

Вивчається задача оптимального стохастичного керування з квадратичним функціоналом якості для розподіленої системи з запізненням. Система описується лінійним стохастичним диференціально-операторним рівнянням, нерозв’язним відносно стохастичного диференціала. Основне припущення полягає в обмеженні на...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2013
Автори:	Власенко, Л.А., Руткас, А.Г.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2013
Назва видання:	Проблемы управления и информатики
Теми:	Оптимальное управление и методы оптимизации
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207643
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Оптимальное управление одним классом стохастических распределенных систем типа Соболева с последействием / Л.А. Власенко, А.Г. Руткас // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 5. — С. 53-63. — Бібліогр.: 26 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-207643
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2076432025-10-12T00:12:21Z Оптимальное управление одним классом стохастических распределенных систем типа Соболева с последействием Оптимальне керування одним класом стохастичних розподілених систем типу Соболєва з післядією Optimal control of a class of random distributed Sobolev type systems with aftereffect Власенко, Л.А. Руткас, А.Г. Оптимальное управление и методы оптимизации Вивчається задача оптимального стохастичного керування з квадратичним функціоналом якості для розподіленої системи з запізненням. Система описується лінійним стохастичним диференціально-операторним рівнянням, нерозв’язним відносно стохастичного диференціала. Основне припущення полягає в обмеженні на зростання резольвенти характеристичного операторного жмутка рівняння у деякій правій півплощині. Розглядається застосування абстрактних результатів до стохастичних диференціальних рівнянь з частинними похідними, що не належать типу Коші–Ковалевської, зокрема до стохастичної системи Нав’є–Стокса. The optimal stochastic control problem with quadratic quality functional for a delay distributed system is considered. The system is described by a linear stochastic differential operator equation, which is not solved for the stochastic differential. The main assumption is a restriction imposed on the resolvent growth of the characteristic operator pencil in a certain right half plane. Applications to stochastic partial differential equations that do not belong to the Cauchy–Kowalewskaya type are considered, in particular to a Navier–Stokes stochastic system. 2013 Article Оптимальное управление одним классом стохастических распределенных систем типа Соболева с последействием / Л.А. Власенко, А.Г. Руткас // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 5. — С. 53-63. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207643 517.977 10.1615/JAutomatInfScien.v45.i9.60 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Оптимальное управление и методы оптимизации Оптимальное управление и методы оптимизации
spellingShingle	Оптимальное управление и методы оптимизации Оптимальное управление и методы оптимизации Власенко, Л.А. Руткас, А.Г. Оптимальное управление одним классом стохастических распределенных систем типа Соболева с последействием Проблемы управления и информатики
description	Вивчається задача оптимального стохастичного керування з квадратичним функціоналом якості для розподіленої системи з запізненням. Система описується лінійним стохастичним диференціально-операторним рівнянням, нерозв’язним відносно стохастичного диференціала. Основне припущення полягає в обмеженні на зростання резольвенти характеристичного операторного жмутка рівняння у деякій правій півплощині. Розглядається застосування абстрактних результатів до стохастичних диференціальних рівнянь з частинними похідними, що не належать типу Коші–Ковалевської, зокрема до стохастичної системи Нав’є–Стокса.
format	Article
author	Власенко, Л.А. Руткас, А.Г.
author_facet	Власенко, Л.А. Руткас, А.Г.
author_sort	Власенко, Л.А.
title	Оптимальное управление одним классом стохастических распределенных систем типа Соболева с последействием
title_short	Оптимальное управление одним классом стохастических распределенных систем типа Соболева с последействием
title_full	Оптимальное управление одним классом стохастических распределенных систем типа Соболева с последействием
title_fullStr	Оптимальное управление одним классом стохастических распределенных систем типа Соболева с последействием
title_full_unstemmed	Оптимальное управление одним классом стохастических распределенных систем типа Соболева с последействием
title_sort	оптимальное управление одним классом стохастических распределенных систем типа соболева с последействием
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Оптимальное управление и методы оптимизации
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207643
citation_txt	Оптимальное управление одним классом стохастических распределенных систем типа Соболева с последействием / Л.А. Власенко, А.Г. Руткас // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 5. — С. 53-63. — Бібліогр.: 26 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT vlasenkola optimalʹnoeupravlenieodnimklassomstohastičeskihraspredelennyhsistemtipasobolevasposledejstviem AT rutkasag optimalʹnoeupravlenieodnimklassomstohastičeskihraspredelennyhsistemtipasobolevasposledejstviem AT vlasenkola optimalʹnekeruvannâodnimklasomstohastičnihrozpodílenihsistemtipusobolêvazpíslâdíêû AT rutkasag optimalʹnekeruvannâodnimklasomstohastičnihrozpodílenihsistemtipusobolêvazpíslâdíêû AT vlasenkola optimalcontrolofaclassofrandomdistributedsobolevtypesystemswithaftereffect AT rutkasag optimalcontrolofaclassofrandomdistributedsobolevtypesystemswithaftereffect
first_indexed	2025-10-12T01:13:07Z
last_indexed	2025-10-13T01:11:53Z
_version_	1845827116697911296
fulltext	© Л.А. ВЛАСЕНКО, А.Г. РУТКАС, 2013 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 53 ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ УДК 517.977 Л.А. Власенко, А.Г. Руткас ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОДНИМ КЛАССОМ СТОХАСТИЧЕСКИХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ ТИПА СОБОЛЕВА С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ Поведение управляемой системы с наследственностью (или последействием) при случайных возмущениях в ряде ситуаций может быть описано стохастическим дифференциальным уравнением с запаздыванием, например [1, 2]. Будем изучать задачу оптимального управления стохастической системой с распределенными параметрами. В гильбертовом пространстве системе отвечает линейное стохасти- ческое дифференциальное уравнение с запаздыванием, причем уравнение не яв- ляется разрешимым относительно стохастического дифференциала. К таким уравнениям приводит учет последействия и случайных возмущений в распреде- ленных системах, которые описываются уравнениями в частных производных ти- па Соболева или не типа Коши–Ковалевской [3, 4]. Уравнения в частных произ- водных, неразрешимые относительно старшей производной по времени, возника- ют в прикладных задачах гидродинамики, теории упругости, оптимального управления и др. [5–10]. Стохастические дифференциальные уравнения в частных производных, а также в абстрактных гильбертовых и банаховых пространствах являются удобной эволюционной моделью для многих реальных процессов: в ра- диофизике при описании явления дифракции в случайно-неоднородных средах, в химии при описании химических реакций с помощью функции зависимости от- носительного числа частиц реагента от времени и географической координаты внутри реактора, в релятивистской квантовой механике при описании эволюции бо- зонного (свободного) поля, в теплофизике для описания процесса теплопроводно- сти в случайной анизотропной среде. Эти и другие примеры содержатся в [11–14]. Используем следующую систему обозначений: HUYX ,,, — комплексные сепарабельные гильбертовы пространства, Y  , Y , — норма и скалярное произведение в пространстве Y; ],[ YX — пространство ограниченных линейных операторов из X в Y, ];[],[ YYY  E — единичный оператор; AKer — ядро опера- тора A; AIm — образ оператора A; A — сопряженный оператор к оператору A; );,( 02 YTtL — пространство интегрируемых по Бохнеру с квадратом на ],[ 0 Tt Y-значных функций; )],,([ 0 XTtC — пространство X-значных непрерывных на ],[ 0 Tt функций; },,{ PF — полное вероятностное пространство с неубываю- щим семейством -алгебр (потоком или фильтрацией) TtttF 0 }{ ,( FFF ts  Ttst 0 ); M — математическое ожидание относительно вероятностной меры P; 22 );( HYH  — гильбертово пространство Y-значных случайных величин 54 ISSN 0572-2691 ),( имеющих конечный абсолютный момент второго порядка , 2  Y M со скалярным произведением ;,, 2121 2 YH  M если 0F — -подалгебра -ал- гебры F, то );;( 02 FYH  — подпространство пространства ,2H состоящее из 0F -из- меримых случайных величин; )(tw — H-значный винеровский процесс, выходящий из нуля и согласованный с фильтрацией TtttF 0 }{ , с ядерным симметричным поло- жительным ковариационным оператором [11, 12, 15, 16]; YLYTtL ,,202 );;,(  — гильбертово пространство Y-значных измеримых случайных процесссов ),,( ty ,0 Ttt  , удовлетворяющих условию  T t Y dtty 0 2\|\|),(\|\|M , со скалярным произведением ;)(),(, 0 2 21,,21    T t YYL dttytyyy M tFYt LFYTtL ,,,202 );;;,(  — подпространство пространства ,,,2 YL  состоящее из неупреждающих случайных процессов, т.е. измеримых и согласованных с потоком .}{ 0 TtttF  В дальнейшем будем рассматривать только измеримые случайные процессы. Информацию об ис- пользуемом вероятностном аппарате (теории стохастических уравнений в смысле Ито в сепарабельных гильбертовых пространствах) см. в работах [11–13, 15, 16]. Используем эквивалентность сильной и слабой измеримости в сепарабельном пространстве [17]. 1. Постановка линейно-квадратичной задачи Постановки задач управления некоторыми классами стохастических сосредо- точенных систем с последействием приведены в [2]. Множество допустимых управлений — это неупреждающие случайные процессы, как и для стохастиче- ских систем управления без запаздывания [18, 19]. Мы рассматриваем систему управления с распределенными параметрами, которая описывается следующим стохастическим (в смысле Ито) дифференциальным уравнением типа Соболева с запаздыванием: .),()]()()([)()]([ 0 TtttdwdttKutfrtCydttBytAyd  (1) Здесь BA, — замкнутые линейные операторы из Y в X с плотными областями определения BA DD , соответственно, };0{ BA DDD  ],,[ XYC ],,[ XUK  ];,[ XH запаздывание ;0r ),( tf — X-значный неупреждающий случай- ный процесс такой, что );,(),( 02 XTtLf  P-п.н.; управление ),( tu — U-знач- ный неупреждающий случайный процесс такой, что );,(),( 02 UTtLu  P-п.н. Уравнение (1) — это стохастическое дифференциальное уравнение типа Соболе- ва, так как оно является неявным, т.е. неразрешимым относительно стохастиче- ского дифференциала )(tdy неизвестного случайного процесса )(ty (см. [3, 4]). Стохастическое дифференциальное уравнение (1) можно записать с помощью обобщенных производных в виде ,),()()()()(])([ 0 TtttwtKutfrtCytBytAy  где )(tw — обобщенная производная H-значного винеровского процесса, т.е. «белый шум». Относительно стохастических дифференциальных уравнений в смысле обобщенных случайных процессов см. [20, 21]. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 55 Для уравнения (1) зададим начальные условия ,],,[.п.в),,(),( 00  trtttgty (2) ,.п.в),(),0)(( 0 tAy (3) где )(tg ( 00 ttrt  ) — Y-значный случайный процесс, );,()( 002 YtrtLtg  P-п.н. и при },{min 00 rTttrt  случайный элемент ),( tg является rtF  -из- меримым; )( — 0t F -измеримая X-значная случайная величина. Начальная задача (1)–(3) исследовалась в [4]. Здесь, как и в [4], также не предполагается непрерывная стыковка начальных условий (2), (3) в момент времени :0t вооб- ще говоря, ),(),( 00  tytg и ),(),( 0 tAg а также ),( 0 tg может не принадлежать области определения AD оператора A. Случайный процесс );,()( 02 YTrtLty  P-п.н. назовем решением задачи (1)–(3), если )(ty при Ttt 0 является неупреждающим случайным процессом по отношению к се- мейству -алгебр ,}{ 0 TtttF  Dty ),( для почти всех ],,[ 0 Ttt  , ),(tAy );,()( 02 XTtLtBy  P-п.н., выполняется равенство ,],,[.п.в),()]()()([)()( 0 00   TtttwdssKusfrsCydssBytAy t t t t и начальное условие (2). Случайные процессы ),(),,(  tBytAy со значениями в пространстве X рассматриваются при .0 Ttt  Они являются неупреждающи- ми, так как XY , — сепарабельные пространства и BA, — замкнутые плотно определенные в Y операторы. Если ),( ty — решение задачи (1)–(3), то случай- ный процесс ),( tAy имеет непрерывную модификацию с вероятностью едини- ца, которую мы и рассматриваем в дальнейшем. Основное предположение при исследовании уравнения (1) состоит в ограни- чении на пучок операторов ,BA который существенно влияет на динамику уравнения (оценка (3) в [4]). Предполагаем, что в полуплоскости 1Re c суще- ствует резольвента ],[)( 1 YXBA   и справедлива следующая оценка с неко- торой постоянной :02 c .Re, 1 )( 1 21 c c BAA     (4) Тогда можно определить (подробнее см. в [3, 4]) ограниченные взаимно дополни- тельные проекторы 21, QQ в пространстве X как ,,)(lim 12 1 Re \|\| 1 1 QEQxBAAxQ c     (5) а также оператор G из X в Y и оператор W в Y вида ),Ker(, ;, 1 11 1 2 DABADDQBGBGQW DDDDBQAG W BAG      (6) причем оператор W является генератором аналитической полугруппы tS в ].[X Здесь 1G обозначает обратный к оператору G, а символ  — прямую сумму. В дальнейшем предполагается, что оператор 1G ограничен на своей области опре- деления, как это имеет место для задачи, приведенной в Приложении. Для формули- 56 ISSN 0572-2691 ровки результата существования и единственности решения начальной задачи (1)–(3) введем операторы FL, и случайные процессы :),(),,(0  tty ],[ },,{min,0 ,},{min),( )( ],,[),()()( ,,2 00 0 ,,2,,22 1 1 1 0 Y YX t t st LF Trttt TtTrtrtz tFz LLLtvQGdssvQSGtLv               (7) ).;;;,(),(,)()(),( ),;;;,(),( ,},{min,0 },,min{),,( ),( 02 1 020 0 00 0 0 0 t t t sttt t FYTtLtsdwSSGt FYTtLty TtTrt Trtttrtg ty                     (8) Сужения операторов L, F (7) на подпространства неупреждающих случайных процессов обозначим :, 00 FL ].[,, ];,[,, ,,,20,,,20 ,,,2,,,20,,,20 tt ttt FYFY FYFXFX LFLzFzzF LLLLvLvvL     (9) Интеграл   t t st sdwS 0 )( понимается в смысле интеграла Ито в сепарабельном гиль- бертовом пространстве по винеровскому процессу )(tw с ядерным симметричным положительным ковариационным оператором от неупреждающей оператор-функ- ции [15, 16]. При исследовании явных детерминированных систем управления с за- паздыванием оператор сдвига типа оператора F использовался в [22]; формула представления решения через начальные данные и управление получена в [23] для явных и неявных детерминированных систем. Подобные результаты для стоха- стических систем типа Соболева с запаздыванием получены в [4]. Здесь они оформлены в виде леммы 1. Если динамика детерминированного процесса описы- вается явным дифференциально-разностным уравнением с матричными коэффи- циентами (см. уравнение (10.3) в [24]), то решение этого уравнения может быть выражено в виде (2.1) [24] через начальные данные и блок управления. Лемма 1 [4]. Пусть справедлива оценка (4) и оператор 1G ограничен на своей области определения; ,Im 1 ADCQ  ,Im 1 ADKQ  ;Im AD значения случайной величины );;()( 02 tFXH  принадлежат AD P-п.н.; );;,(),( 002 YtrtLtg  и случайный элемент ),( tg является rtF  -измеримым; ),;;;,(),( 02 tFUTtLtu  ),;;;,(),( 02 tFXTtLtf  ADtfQ ),(1 для почти всех ],[ 0 Ttt и , ).;;;,(),( 021 1 tFXTtLtfQBG  Тогда задача (1)–(3) с точностью до стохасти- ческой эквивалентности имеет единственное решение ),,( ty причем ),(ty ),;;;,( 02 tFYTtL  ).;;;,(),( 02 tFXTtLtAy  В обозначениях (7)–(9) имеет место следующее представление: }.:{min ,],,[п.в.)]},()()([)({)()( 0 0 1 0 0000 lrtTln TtttKutftCyLtCFLty n k k      N (10) 2. Стохастическая оптимизация с квадратичным функционалом качества В дальнейшем предполагается, что выполняются условия леммы 1, обеспечи- вающие существование и единственность решения задачи (1)–(3). Управлению Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 57 );;;,(),( 02 tFUTtLtu  соответствует решение );()( utyty  задачи (1)–(3). По- ведение управляемой стохастической системы (1)–(3) характеризует функционал качества ,],,[)( 0           T t UY dtuNuyyRuJ M (11) где операторы ][YR и ][UN  неотрицательно-определенные и, более того, ,EN  .0 Будем изучать задачу оптимального стохастического управления, ко- торая заключается в нахождении управления ),;;;,(),( 02 tFUTtLtu  реализу- ющего минимум )(min ,,,2 uJ tFULu  (12) функционала качества (11) на решениях );()( utyty  стохастической системы (1)–(3). Управление ),( tu на котором достигается минимум (12) функционала ка- чества (11), будем называть оптимальным управлением, а соответствующее реше- ние );()( ** utyty  — оптимальным решением. В следующей теореме приведены достаточные условия существования и един- ственности (с точностью до стохастической эквивалентности) оптимального сто- хастического управления задачи (1)–(3), (11), (12). Теорема 1. Пусть справедлива оценка (4), оператор 1G ограничен на своей области определения; ,Im 1 ADCQ  ,Im 1 ADKQ  ;Im AD ),(tf ),;;;,( 02 tFXTtL  ADtfQ ),(1 для почти всех ],[ 0 Ttt и , ).;;;,(),( 021 1 tFXTtLtfQBG  Тогда для любых начальных данных ),(tg );;,( 002 YtrtL  в (2) и );;()( 02 tFXH  в (3) таких, что случайный эле- мент ),( tg является rtF  -измеримым и AD )( Р-п.н., существует един- ственное оптимальное управление );;;,()( 02* tFUTtLtu  , на котором достига- ется минимум (12) функционала качества (11). Доказательство. Представим функционал )(uJ (11) как квадратичную фор- му, определенную на гильбертовом пространстве ).;;;,( 02 tFUTtL  Введем слу- чайный процесс ),;;;,()]}()([)({)()( 02 1 0 00000 t n k k FYTtLtftCyLtCFLt     (13) где случайные процессы ),(),,(0  tty определены в (8) и операторы 00, FL — в (7), (9). Рассмотрим ограниченный линейный оператор L̂ из );;;,( 02 tFUTtL  в :);;;,( 02 tFYTtL  ).;;;,()(),()()(ˆ 020 1 0 00 t n k k FUTtLtvtKvLCFLtvL     (14) В силу леммы 1 для любого управления );;;,()( 02 tFUTtLtu  существует един- ственное решение );;;,();( 02 tFYTtLuty  задачи (1)–(3). С помощью случай- ного процесса )(0 t (13) и оператора L̂ (14) формулу (10) для решения );( uty перепишем в виде ).()(ˆ);( 0 ttuLuty  (15) Тогда для функционала )(uJ (11) имеет место представление .,,ˆRe2,)ˆˆ( ,ˆ),ˆ()( ,,,2,,,2,,,2 ,,,2,,,2 000 ** 00 tFYtFUtFU tFUtFY LLL LL RuRLuuNLRL uNuuLuLRuJ     58 ISSN 0572-2691 Самосопряженный оператор ,,],[ˆˆ 2 ,,,2 * ,,,2 ,,;2 tFULtFUt vvvLNLRL LFU     имеет ограниченный обратный ][ ,,,2 1 tFUL    , причем ./11  Поэтому можно определить случайный процесс ).,,;,()(ˆ)( 020 1 tFUTtLtRLtu   (16) Так как ,),()()( 2 **** ,,,2,,,2 tFUtFU LL uuuuuuuJuJ   то случайный процесс )( * tu (16) является единственным оптимальным управлением. Теорема доказана. Ориентируясь на схему исследования явных детерминированных систем с за- паздыванием [22], определим сопряженную систему и сопряженное состояние для стохастической системы типа Соболева с запаздыванием. Затем выразим опти- мальное управление через сопряженное состояние. Поскольку единственное оптимальное управление определяется по форму- ле (16), то с учетом (15) оптимальное управление )()( * tutu  и оптимальная траек- тория );();( utyuty  характеризуются выполнением следующего соотношения: .0)(ˆ  uRyLNu (17) Найдем выражение для сопряженного оператора ],[ˆ ,,,2,,,2 * tt FUFY LLL  к опера- тору ],[ˆ ,,,2,,,2 tt FYFU LLL  (14), где операторы 00, FL определены в (7), (9). Ор- тогональная проекция случайного процесса );;,()( 02 XTtLtv  на подпространст- во неупреждающих случайных процессов );;;,( 02 tFXTtL  при почти всех ],[ 0 Ttt определяется как условное математическое ожидание .)]([]\|)([ tvFtv tt MM  Тогда ),;;;,()(,)()()(ˆ 02 1 0 * 0 ** 0 * 0 ** t n k k FYTtLtztzLCFLKtzL     (18) ),()()()],([)( * 1* 2 * 1 1 * 0 tzGQdsszGSQtzLtzLtzL T t tst    M (19)       .},{max,0 },,{max),( )()],([)( 0 00*** 0 TttrT trTttrtz tzFtzFtzF tM (20) Здесь * tS — полугруппа с генератором ,W сопряженная к полугруппе ,tS .11  GG С помощью свойства ,1,...,0,)],()([)()( ,,,2 ** 0 0 * 0   nkLztzLCFLtzLCFL tFY k t k M выражение (18) запишем в виде ).;;;,()(,)]()([)(ˆ 02 1 0 ****** t n k k t FYTtLtztzLCFLKtzL     M Поэтому соотношение (17) записывается как ,0)]([)( *  tpKtNu tM (21) где ).()()( 1 0 **** tRyLCFLtp n k k     (22) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 59 Подобно детерминистической ситуации для явного уравнения с запаздывани- ем определим сопряженную систему, соответствующую стохастическому уравне- нию типа Соболева (1) с функционалом качества (11) (сравни с сопряженной си- стемой (18.13) в [22]): ,.п.в),,()()(][)]([ 0 * 1* * 1* 2 ** 1 TtttyRGrtpCGtpQWtpQ dt d   (23) .0)(,п.в.,0)( * 1  TpQrTtTtp (24) Уравнение (23) является уравнением типа Соболева с опережением и со случай- ной правой частью ).,( 1   tyRG Решение ),(),(),( 2 * 1  tpQtpQtp зада- чи (23), (24) будем понимать как слабое решение (учитывая, что * 2 * 1, QQ — вза- имно дополнительные проекторы): );,()( 02 XrTtLtp  P-п.н., )(* 1 tpQ )];,([ 0 XrTtC  P-п.н., для каждого WDb случайный процесс XbtpQ  ),(* 1 является абсолютно непрерывным P-п.н., P-п.н. удовлетворяются уравнения ,),(),(),(),( * 1* 1 * * 1* 1 * 1 * 1   btRyGQbrtpCGQWbtpQbtpQ dt d ,п.в.)],()([)( 0 * 1 2 * 2 TtttyRrtpCGQtpQ   (25) и условие (24). Проекция ),(),( 1 * 1  tptpQ — слабое решение явного уравнения )()()( 1 * 1 thtpWtp  (26) со случайной правой частью )].,(),([),()( * 1 1   tyRrtpCGQthth (27) В детерминистическом случае введенное определение слабого решения уравнения (26) совпадает с определением в [25]. Существование и единственность слабого решения ),( tp задачи (23),(24) доказывается в следующей лемме. Лемма 2. Пусть выполнены условия леммы 1 и ),( ty — решение задачи (1)–(3). Тогда существует единственное слабое решение ),( tp задачи (23), (24). На отрезке ],[ 0 Tt это решение допускает представление (22). Доказательство. Обозначим ,1,...,0,,00   nkkrTttt kn где n определено в (10). Последовательно однозначно строим решение ),(tp ),(),( * 2 * 1  tpQtpQ задачи (23), (24) на отрезках ],,[ Tt kn .,...,1 nk  А имен- но: компонента ),(),( 1 * 1  tptpQ является слабым решением уравнения (26) с условием ,0)(1 Tp компонента ),(* 2 tpQ определяется согласно формуле (25). Как и в детерминистическом случае [25], единственное слабое решение )(1 tp урав- нения (26) на отрезке ],[ Tt kn с условием 0)(1 Tp строится по формуле вариации постоянных для предварительно найденной правой части )(th (27): .)]()([)()( * 1* 1 * 1     T t ts T t ts dssyRrspCGSQdsshStp 60 ISSN 0572-2691 Ясно, что таким образом построенная функция )(tp является элементом прост- ранства );;,( 02 XTtL  . Принимая во внимание представления для сопряженных операторов L (19) и F (20), имеем )],)(()([)( * tpFCtyRLtp  .0 Ttt  Отсюда получаем, что )(tp на отрезке ],[ 0 Tt совпадает с функцией (22). Лемма доказана. Заметим, если A, B — ограниченные операторы, т.е. ],[, XYBA  , то уравне- ние (23) переписывается в виде .0),()()()]([ *  tyRrtpCtpBtpA dt d Сформулируем следующий результат. Теорема 2. Пусть выполняются такие предположения: справедлива оцен- ка (4); оператор 1G ограничен на своей области определения; ,Im 1 ADKQ  CQ1Im ,AD ;Im AD ),;;;,(),( 02 tFXTtLtf  ADtfQ ),(1 для почти всех ],[ 0 Ttt и , ),;;;,(),( 021 1 tFXTtLtfQBG  ),(tg );;,( 002 YtrtL  и случайный элемент ),( tg является rtF  -измеримым, );;()( 02 tFXH  и AD )( Р-п.н. Тогда задача (1)–(3), (21), (23), (24) имеет единственное решение );;,()()( 02* YTrtLtyty  и );;;,()( 02* tFYTtLty  , );;,()( 02 XrTtLtp  , ).;;;,()()( 02* tFUTtLtutu  Случайный процесс )(* tu является оптимальным управлением, а случайный процесс );()( ** utyty  — со- ответствующим оптимальным решением. Исключим u из (1) с помощью (21): .),()]]([)()([)()]([ 0 1 TtttdwdttpKKNtfrtCydttBytAyd t   M (28) Оптимальное управление )( tu находится через сопряженное состояние как )].([)( 1 tpKNtu tM  Таким образом, задача оптимального управления (11), (12) для стохастического уравнения с запаздыванием (1) с начальными условиями (2), (3) сведена к реше- нию системы стохастических уравнений с запаздыванием (28) и опережением (23) с начальными условиями (2), (3) и финальными условиями (24). Приложение Интерес представляют распределенные системы, описываемые стохастиче- скими дифференциальными уравнениями с частными производными не типа Ко- ши–Ковалевской. Например, такой является стохастическая система Навье–Сток- са, которая описывает движение несжимаемой жидкости под действием случай- ных внешних сил [11]. При исследовании детерминированных уравнений Навье– Стокса в двумерной области в [26] вводится функция тока, удовлетворяющая урав- нению в частных производных не типа Коши–Ковалевской [26, гл. 1, ф-ла (6.113)]. В линеаризованном случае это уравнение подобно следующему:   ),,(),(),(),( 2 xtfxtyxtyaxty t     (29) где  — двумерный лапласиан, ),,( 21 xxx  ,0 a — вещественное число. Для простоты исследуем систему управления, описываемую одномерным уравнени- ем (29), в котором учитывается эффект запаздывания и случайные внешние силы: Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 61                         dt x xty xtya x xty d 4 4 2 2 ),,( ),,( ),,( ].,0[],,0[),,,()],,(),,(),,([ TtxxtdwdtxtKuxtfxrtCy   (30) Как и для функции тока в [26], рассматриваем нулевые граничные условия: ].,0[,0 ),,(),0,( ),,(),0,( 2 2 2 2 Tt x ty x ty tyty          (31) Начальные условия для неявного уравнения с запаздывающим аргументом по времени имеют вид ].0,[],,0[),,(),,0(),,,(),,( 2 2 rtxxxya x xtgxty               (32) Здесь ),,( xtw — винеровский процесс со значениями в пространстве ),,0(2 L согласованный с потоком -алгебр ,}{ 0 TttF  вложенных в F, где },,{ PF — вероятностное пространство; функция ),(  x измерима относительно произведе- ния борелевской -алгебры ],0[  на ;0F функция ),,( xtg измерима и при фик- сированном ]0,[ rt  измерима по ),( x относительно произведения борелевской -алгебры ],0[  на ;rtF  функции ),,,( xtf ),,( xtu измеримы и при фикси- рованном ],0[ Tt  измеримы по ),( x относительно произведения борелевской -алгебры ],0[  на ;tF ,),( 0 2   dxxM ,),,( 0 0 2   T dtdxxtf  M ,),,( 0 0 2   T dtdxxtu  M ,),,( 0 0 2   r dtdxxtg  M )].,0([,, 2 LKC  Обо- значим ),0(2 nW пространство Соболева порядка n функций из ).,0(2 L Изучим задачу оптимального стохастического управления, которая заключается в нахож- дении управления ),,,( xtu минимизирующего критерий качества             T Lu dtdxxtuxtyuJuJ tFU 0 0 22 ]),,(),,([)(),(min ,,,2  M (33) на решениях ),,( xty смешанной задачи (30)–(32). В пространстве ),0(2 LYX  задача (30)–(33) записывается в абстрактной форме (1)–(3), (11), (12) с дифференциальными операторами }0)()0()()0(),,0()({, )( },0)()0(),,0()({),( )( 4 24 4 2 22 2     yyyyWxyD dx xyd By yyWxyDxya dx xyd Ay B A и единичными операторами R, N. Решение смешанной задачи (30)–(32) будем пони- мать в смысле решения соответствующей абстрактной задачи (1)–(3). Спектр опера- тора ),(0 xyyA  , 0 AA DD  состоит из счетного множества собственных чисел , 2 22    k k ,...;2,1k соответствующие собственные функции  xk xek   sin)( об- 62 ISSN 0572-2691 разуют ортонормированный базис в ).,0(2 L Если в качестве a взять оно из соб- ственных чисел , 0k то оператор A будет вырожденным и )}.({LinKer 0 xeA k Эту ситуацию в дальнейшем будем исследовать. Проверим выполнение условий теорем 1,2 для задачи (30)–(33). Пучок опера- торов BA определен на .BDD Его спектр состоит из счетного множества собственных чисел ),/(2 kkk a  ,0kk  которым соответствуют собствен- ные функции ).(xek На множестве регулярных точек 0 }{ kkk  определены резольвентные операторы :)],0([)(,)( 2 11 LBAABA   , )( )()( )()(, )( )( )()( 0 2 1 1 2 1            kk kk kkk k kk kk a xeya xyBAA a xey xyBA .}{,)()( 0 0 kkkkk dxxexyy    Отсюда получаем, что найдется полуплоскость ,Re 1c не содержащая спектр 0 }{ kkk  пучка ,BA и в этой полуплоскости справедлива оценка (4). Понятно, что 2Q (5) — оператор проектирования на AKer ортогонально ;AAD .21 QEQ  Оператор G допускает замкнутое расширение G на AD и существует ограничен- ный обратный )],0([ 2 1 LG  : ).( 1)( )(),()()( 22 1 2 2 0 xyQ aa xey xyGxyQaxAyxyG kk k kk        Cужение 1G на )}({Lin 0 xeAD k есть .1G Также предположим, что выполняются ограничения: ;Im,Im,Im ADKC  ;0)( 0 *  xek для почти всех ],[ 0 Ttt и  значения ),,( xtf как функции от t,  принадлежат ;AD функция ),,( 2 2    xt x f измерима и при фиксированном ],0[ Tt измерима по ),( x относительно произведения борелевской -алгебры ],0[  на ,tF ;),,( 0 0 2 2 2      T dtdxxt x f  M P-п.н. ,0)(),( 0 0   dxxex k ADx  ),( для п.в. . В силу леммы 1 существует единственное решение ),,( xty смешанной за- дачи (30)–(32). Применение теорем 1, 2 позволяет решить задачу минимизации функционала (33) на решениях ),,( xty смешанной задачи (30)–(32). Л.А. Власенко, А.Г. Руткас ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ ОДНИМ КЛАСОМ СТОХАСТИЧНИХ РОЗПОДІЛЕНИХ СИСТЕМ ТИПУ СОБОЛЄВА З ПІСЛЯДІЄЮ Вивчається задача оптимального стохастичного керування з квадратичним функ- ціоналом якості для розподіленої системи з запізненням. Система описується лінійним стохастичним диференціально-операторним рівнянням, нерозв’язним відносно стохастичного диференціала. Основне припущення полягає в обме- женні на зростання резольвенти характеристичного операторного жмутка рів- няння у деякій правій півплощині. Розглядається застосування абстрактних результатів до стохастичних диференціальних рівнянь з частинними похідни- ми, що не належать типу Коші–Ковалевської, зокрема до стохастичної системи Нав’є–Стокса. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 63 L.A. Vlasenko, A.G. Rutkas THE OPTIMAL CONTROL OF A CLASS OF SOBOLEV STOCHASTIC DISTRIBUTED SYSTEMS WITH AFTEREFFECT The optimal stochastic control problem with quadratic quality functional for a delay distributed system is considered. The system is described by a linear stochastic dif- ferential operator equation, which is not solved for the stochastic differential. The main assumption is a restriction imposed on the resolvent growth of the characteristic operator pencil in a certain right half plane. Applications to stochastic partial differ- ential equations that do not belong to the Cauchy–Kowalewskaya type are consid- ered, in particular to a Navier–Stokes stochastic system. 1. Гихман И.И., Скороход А.В. Управляемые случайные процессы. — Киев : Наук. думка, 1977. — 252 c. 2. Андреева Г.А., Колмановский В.Б., Шайхет Л.Е. Управление системами с последействием. — М. : Наука, 1992. — 336 с. 3. Власенко Л.А., Руткас А.Г. Стохастическое импульсное управление параболическими си- стемами типа Соболева // Дифференц. уравнения. — 2011.— 47, № 10. — С. 1482–1491. 4. Власенко Л.А., Руткас А.Г. Стохастические дифференциально-разностные уравнения типа Соболева с аддитивным белым шумом // Прикладна статистика. Актуарна та фінансова ма- тематика. — 2012. — № 1. — С. 105–114. 5. Миропольский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. — Ленинград : Гидрометеоиздат, 1981. — 304 с. 6. Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред. — М. : Наука, 1982. — 336 с. 7. Габов С.А., Свешников А.Г. Задачи динамики стратифицированных жидкостей. — М. : Наука, 1986. — 288 с. 8. Свешников А.Г., Альшин А.Б., Корпусов М.О., Плетнер Ю.Д. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. — М. : Физматлит, 2007. — 736 с. 9. Ляшко С.И. Обобщенное управление линейными системами. — Киев : Наук. думка, 1998. — 465 с. 10. Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Оптимальное управление неоднородными распределенными системами. — Киев : Наук. думка, 2003. — 506 с. 11. Крылов Н.В., Розовский Б.Л. Об эволюционных стохастических уравнениях // Итоги науки и техники: Современные проблемы математики. — М.: ВИНИТИ. — 1979. — 14. — C. 72– 147. 12. Розовский Б.Л. Эволюционные стохастические системы. — М.: Наука, 1983. — 208 с. 13. Da Prato G., Zabchyk J. Stochastic equations in infinite dimensions. — Cambridge University Press, 1992. — 454 p. 14. Holden H., Øksendal B., Ubøe J., Zhang T. Stochastic partial differential equations. — Boston; Basel; Berlin : Birkhäuser, 1996. — 230 p. 15. Стохастическое исчисление / С.В. Акулова, А.Ю. Веретенников, Н.В. Крылов, Р.Ш. Лип- цер, А.Н. Ширяев // Итоги науки и техники. Соврем. проблемы математики. Фундамен- тальные направления. — М.: ВИНИТИ, 1989. — 49. — С. 5–260. 16. Дороговцев А.Я. Периодические и стационарные режимы в бесконечномерных детермини- рованных и стохастических динамических системах. — Київ : Вища шк., 1992. — 320 с. 17. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. — М. : Изд-во иностр. лит., 1962. — 830 с. 18. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. — М. : Наука, 1974. — 696 с. 19. Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. — М. : Мир, 1978. — 320 с. 20. Dawson D.A. Generalized stochastic integrals and equations // Transactions of the American Mathematical Society. — 1970. — 147. — P. 473–506. 21. Розанов Ю.А. Марковские случайные поля. — М. : Наука, 1981. — 256 с. 22. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. — М. : Мир, 1972. — 415 с. 23. Vlasenko L.A. An optimal control problem for Sobolev retarded systems // Functional Differential Equations. — 2010. — 17, N 3–4. — P. 401–412. 24. Чикрий А.А. Эйдельман С.Д. Обобщенные матричные функции Миттаг–Леффлера в игро- вых задачах для эволюционных уравнений дробного порядка // Кибернетика и системный анализ. — 2000. — № 3. — С. 3–32. 25. Ball J.M. Strongly continuous semigroups, weak solutions, and the variation of constants formula // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1977. — 63, N 2. — P. 370–373. 26. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. — М. : Мир, 1972. — 588 с. Получено 20.05.2013 Статья представлена к публикации членом редколлегии чл.-корр. НАН Украины А.А. Чикрием.

Оптимальное управление одним классом стохастических распределенных систем типа Соболева с последействием

Репозитарії

Схожі ресурси