Построение оценок решений в модели противоопухолевого иммунитета с импульсными возмущениями

Запропоновано модель протипухлинного імунітету з імпульсними збуреннями щодо популяції проліферуючих клітин. Отримано асимптотичні оцінки розв’язків рівнянь. Оцінки будуються на основі імпульсних диференціальних нерівностей для функцій типу Ляпунова....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2013
Hauptverfasser:	Марценюк, В.П., Багрий-Заяц, О.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2013
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Управление в биологических и природных системах
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207653
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Построение оценок решений в модели противоопухолевого иммунитета с импульсными возмущениями / В.П. Марценюк, О.А. Багрий-Заяц // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 5. — С. 142-148. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-207653
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2076532025-10-12T00:16:52Z Построение оценок решений в модели противоопухолевого иммунитета с импульсными возмущениями Побудова оцінок розв’язків в моделі протипухлинного імунітету з імпульсними збуреннями Construction of estimates of solutions in the model of antitumor immunity with impulse disturbances Марценюк, В.П. Багрий-Заяц, О.А. Управление в биологических и природных системах Запропоновано модель протипухлинного імунітету з імпульсними збуреннями щодо популяції проліферуючих клітин. Отримано асимптотичні оцінки розв’язків рівнянь. Оцінки будуються на основі імпульсних диференціальних нерівностей для функцій типу Ляпунова. A model of antitumor immunity with impulsive perturbations with respect to the population of proliferating cells is proposed. The asymptotic estimates for solutions of the equations are obtained. The estimates are based on impulsive differential inequalities for Lyapunov-type functions. 2013 Article Построение оценок решений в модели противоопухолевого иммунитета с импульсными возмущениями / В.П. Марценюк, О.А. Багрий-Заяц // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 5. — С. 142-148. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207653 519.876.2:611.0184 10.1615/JAutomatInfScien.v45.i10.90 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Управление в биологических и природных системах Управление в биологических и природных системах
spellingShingle	Управление в биологических и природных системах Управление в биологических и природных системах Марценюк, В.П. Багрий-Заяц, О.А. Построение оценок решений в модели противоопухолевого иммунитета с импульсными возмущениями Проблемы управления и информатики
description	Запропоновано модель протипухлинного імунітету з імпульсними збуреннями щодо популяції проліферуючих клітин. Отримано асимптотичні оцінки розв’язків рівнянь. Оцінки будуються на основі імпульсних диференціальних нерівностей для функцій типу Ляпунова.
format	Article
author	Марценюк, В.П. Багрий-Заяц, О.А.
author_facet	Марценюк, В.П. Багрий-Заяц, О.А.
author_sort	Марценюк, В.П.
title	Построение оценок решений в модели противоопухолевого иммунитета с импульсными возмущениями
title_short	Построение оценок решений в модели противоопухолевого иммунитета с импульсными возмущениями
title_full	Построение оценок решений в модели противоопухолевого иммунитета с импульсными возмущениями
title_fullStr	Построение оценок решений в модели противоопухолевого иммунитета с импульсными возмущениями
title_full_unstemmed	Построение оценок решений в модели противоопухолевого иммунитета с импульсными возмущениями
title_sort	построение оценок решений в модели противоопухолевого иммунитета с импульсными возмущениями
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Управление в биологических и природных системах
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207653
citation_txt	Построение оценок решений в модели противоопухолевого иммунитета с импульсными возмущениями / В.П. Марценюк, О.А. Багрий-Заяц // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 5. — С. 142-148. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT marcenûkvp postroenieocenokrešenijvmodeliprotivoopuholevogoimmunitetasimpulʹsnymivozmuŝeniâmi AT bagrijzaâcoa postroenieocenokrešenijvmodeliprotivoopuholevogoimmunitetasimpulʹsnymivozmuŝeniâmi AT marcenûkvp pobudovaocínokrozvâzkívvmodelíprotipuhlinnogoímunítetuzímpulʹsnimizburennâmi AT bagrijzaâcoa pobudovaocínokrozvâzkívvmodelíprotipuhlinnogoímunítetuzímpulʹsnimizburennâmi AT marcenûkvp constructionofestimatesofsolutionsinthemodelofantitumorimmunitywithimpulsedisturbances AT bagrijzaâcoa constructionofestimatesofsolutionsinthemodelofantitumorimmunitywithimpulsedisturbances
first_indexed	2025-10-12T01:13:46Z
last_indexed	2025-10-13T01:12:34Z
_version_	1845827159793336320
fulltext	© В.П. МАРЦЕНЮК, О.А. БАГРИЙ-ЗАЯЦ, 2013 142 ISSN 0572-2691 УПРАВЛЕНИЕ В БИОЛОГИЧЕСКИХ И ПРИРОДНЫХ СИСТЕМАХ УДК 519.876.2:611.0184 В.П. Марценюк, О.А. Багрий-Заяц ПОСТРОЕНИЕ ОЦЕНОК РЕШЕНИЙ В МОДЕЛИ ПРОТИВООПУХОЛЕВОГО ИММУНИТЕТА С ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ Введение. В работе [1] предложена упрощенная модель противоопухолевого иммунитета с учетом влияния поврежденного органа-мишени на иммунный ответ на основе динамики Гомперца. В работе [2] рассмотрена модель Рихарда для опи- сания роста популяций пролиферирующих клеток и модель иммунной системы Г.И. Марчука [3]. В то же время практические задачи, связанные с лазеротерапев- тическим (лазероиндуцированная интерстициальная термотерапия) лечением, требуют рассмотрения более сложного класса импульсных моделей [4]. Постановка задачи. Рассмотрим модель ),()( )( 1)( )( tLtF tL tL dt tdL L n L L                    ),)(()()()( )( 0CtCtFtLm dt tdC C  (1) )),())(()( )( tFtLtCb dt tdF Lff  ),()( )( tmtL dt tdm m         )()( ,0)()( )10(),()( tpmtm tFtC PtpLtL ,nTt  .Nn Заданы начальные условия системы (1): ).3,1(0)(),],0,([))(),(),(),(( 4 4321   ioRCCssss i (2) Система (1) рассматривается в биологически значимой области }.0,,,),,,{(  mFCLmFCLD Значения переменных и коэффициентов модели описаны в работе [1]. Применение метода анализа системы импульсных дифференциальных неравенств. Корректное построение моделей динамических систем в биологии и медицине связано с исследованием ограниченных решений, к тому же задачи ана- лиза динамических систем нуждаются в конструктивных оценках решений моделей. Отметим, что импульсные дифференциальные уравнения в общем случае мо- гут не иметь никакого решения, даже когда соответствующие дифференциальные Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 143 уравнения достаточно гладкие. В работе [5] получены условия, гарантирующие локальное существования и непрерывность решений таких систем. Следователь- но, представляет интерес исследование решений конкретных примеров импульс- ных моделей. Поэтому цель данной статьи — рассмотреть оценки решений си- стемы (1), (2) в терминах параметров модели в явном виде. Рассмотрим модель противоопухолевого иммунитета. Положим ),,0[ R },0{ 44  xRxR .int 4  R Обозначим T 4321 ),,,( fffff  отображение, оп- ределенное правыми частями уравнений системы (1). Пусть   RRRVV 4 0 :{ непрерывные на }.0t В настоящей статье также используется обозначение )( tg для записи правостороннего предела функции )(g в точке t. Определение 1 [6]. Пусть .0VV  Тогда для 4),(   RRXt верхняя правая производная для решений системы (1) определяется как )].,()),(,([ 1 suplim),( 0 XtVxthfXhtV h XtVD h    Определение 2 [7, с. 365]. Функция 0VV  называется ультимативно ограни- ченной, если существует постоянная 0B такая, что .)(lim BtV t   Решением системы (1) является кусочно-непрерывная функция. Непрерывность правых частей гарантирует существование и единственность решений системы (1) [4]. Лемма 1 [5]. Для системы импульсных дифференциальных неравенств ),()()( )( tqtmtp dt tdm  ,ktt  ...,,2,1k ,)()()( kkkk btmtdtm  ,ktt  ,0tt  где ],[, RRPCqp  и kk bd ,0 — постоянные, имеет место неравенство                                k t t j tttttt t t k ttt bdsspddsspdtmtm jkkk )(exp)(exp)()( 0000 0 .0,)()(exp 0             tdssqdwwpd t s k tts t t k Лемма 2. Существует постоянная 01 0               C C L L L C такая, что LtL )( и CtC )( для любого решения системы (1) при достаточно большом значении t. Доказательство. Обозначим ).()( )( )(1     tCtL m tV L Тогда ,01 VV  поскольку , )( 1)( )(                   n L L tL tL dt tdL .0 )(   LLdt tdL К тому же ).()( nTLnTL  Отсюда LtL )( для достаточно больших значений t. Вычислим верхнюю правую произвольную )(1 tV для решений системы (1). Имеем                          )()( )()( 1)( )( )()( 11 tLtF mtL tL m tVtVD L L n LL L C 144 ISSN 0572-2691     )()( )( )()()()( 0 tCtL m CtCtLtFm C L CCC                                0 )( 1)( )( C tL tL m C L C n L L L                                  0 )( 1)( C tL tL C L L C n LL L .:11)( 100 MCCtL C LL C L L L C LL C L L                            Следовательно, ,)()( 111 MtVtVD C  ,nTt  ,Nn ),()( 11 tVtV  ,nTt  .Nn В соответствии с леммой 1 для ])1(,[ TnnTt  имеем    dsMsttVtV C t C 1 0 11 ))(exp()exp()0()(    dsstMtV C t CC )exp()(exp)exp()0( 0 11       )(exp)(exp)0( 11 1 t MM tV C CC C                                      001 1)(exp1)0( CtCV L C CL L C L C CL L .1)(exp1)0( 001 CtCV C L L L C C L L L                                      Отсюда .1)(lim 01 CtV C L L L t                Итак, )(1 tV — ультимативно ограниченная функция. В соответствии с опре- делением )(1 tV существует постоянная 01 0               C C L L L C такая, что LtL )( и CtC )( для любого решения системы (1) при достаточно большом значении t. Лемма 3. Существует постоянная 0    m L m такая, что LtL )( и mtm )( для любого решения системы (1) при достаточно большом значении t. Доказательство. Имеем ),()()( )( tmtmtL dt tdm mLm  ,nTt  ,Nn ),()( tmtm  ,nTt  .Nn Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 145 В соответствии с леммой 1 для ])1(,[ TnnTt  получаем    dsdwtmtm Lm t s m ))(exp)(exp)0()(    dssttm m t Lm ))(exp()(exp)0( 0     1)((exp 1 )(exp)(exp)0( tttm m m mLm .)(exp)0()(exp)(exp)0( m L m m L m m L m L m tmttm                     Отсюда .)(lim m L t tm     Следовательно, имеется постоянная m L m    такая, что LtL )( и mtm )( для любого решения системы (1) при достаточно большом значении t. Лемма 4. Существуeт постоянная 02    f F M такая, что CtC )( и FtF )( для любого решения системы (1) при достаточно большом значении t. Здесь по- стоянная 2M может быть задана в явном виде. Доказательство. Обозначим ).()( )( )(2 tFtC m tV L     Тогда .02 VV  В соответствии с леммой 2 CtC )( для достаточно больших значений t. Вычислим верхнюю правую производную )(2 tV для решения системы (1). Имеем        ))(( )( )()()( )( )()( 022 CtC m tFtLm m tVtVD C LL f     )()( )( )())(()( tFtC m tFtLtCb f L fLff        )( )( )())(( )( 0 tC m tCbCtC m L ffC L ).( )( ))(( )( 0 tCbC m tC m fC L Cf L        Затем рассмотрим три случая зависимости f от C и используем оценки .1)()(  mm Случай 1. Предположим, что .Cf  Тогда        CfC m L CfC L f bCtVtVD 022 )( )()()( . )( )( 1,20 MCb C m L fCf L C              146 ISSN 0572-2691 Случай 2. Если ,Cf  то . )( )( )( )()( 2,20022 MbCtCbC m tVtVD CfC m L fC L f        Случай 3. Предположим, что .Cf  Тогда        CfC m L CfC m L f bCtVtVD 022 )( )( )( )()( . )( )( )( 3,20 MCb C m L fCf m L C              Следовательно, ,)()( 222 MtVtVD f  ,nTt  ,Nn ),()( 2 tVtV  ,nTt  .Nn Если          .если, ,если, ,если, f3,2 f2,2 f1,2 2 C C C M M M M В соответствии с леммой 1 для ])1(,[ TnnTt  имеем             dsMdwtVtV f t s t f 2 0 22 )(exp)(exp)0()(    dsstMtV f t f )((exp)(exp)0( 0 22     ]1)(exp[ 1 )(exp)(exp)0( 22 ttMtV f f ff .)(exp)0( 22 2 f f f M t M V              Отсюда .)(lim 2 2 ft M tV    Следовательно, )(2 tV — ультимативно ограниченная функция. В соответ- ствии с определением )(2 tV существует постоянная 02    f F M такая, что CtC )( и FtF )( для любого решения системы (1) при достаточно большом значении t. Теорема. Существуют положительные постоянные такие, что ,)( LtL  ,)( CtC  mtm )( и FtF )( для любого решения системы (1) при достаточ- но большом значении t. При этом постоянные mFC  ,, явно зависят от посто- янной .L Доказательство следует из лемм 2–4. Численный пример. Рассмотрим реализацию условий леммы 3 на примере графического решения системы нелинейных дифференциальных уравнений с за- паздыванием (1). Значения параметров системы нелинейных дифференциальных уравнений приведены в таблице. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 5 147 Таблица Параметр Название параметра Значение L Коэффициент, обусловливающий вероятность встречи антиген–антитело 0,00396 L Максимальное количество патологических клеток 14 L Коэффициент, определяющий вероятность нейтрализации (разрушения) кле- ток патологического образования антителом 0,008 )(m Непрерывная функция )1)(0(  m , характеризующая нарушение нормально- го функционирования иммунной системы из-за значительного повреждения органа-мишени 1  Коэффициент, обусловливающий вероятность встречи антиген–антитело 1  Фаза запаздывания (время, за которое осуществляется формирование каскада плазматических клеток) 1,75 C Коэффициент, обратный времени жизни плазматических клеток 0,5 fb Скорость производства антител одной плазматической клеткой 1 f Коэффициент, обратно пропорциональный времени распада антител 0,17 m Коэффициент, учитывающий скорость восстановления поврежденного органа 0,12  Число специфических антител, необходимое для нейтрализации одного антигена 10  Коэффициент, определяющий скорость гибели клеток за счет повреждающего действия антигенов 10 n Параметр модели Рихарда 3  Время действия лечащего фактора 0,02  Периодичность лечащего воздействия 2  Общее время 10 1t Время окончания терапевтического действия 10 Существует постоянная 0    m L m такая, что LtL )( и mtm )( для любого решения системы (1) при до- статочно большом значении t. Рост численности популяции патологиче- ских клеток LtL )( показан на рис. 1. На рис. 2 изображена cтепень поврежденности органа .)( mtm  Рост численности популяций па- тологических клеток ),(tL плазмати- ческих клеток ),(tС антител )(tF и степень поврежденности органа )(tm показаны на рис. 3. Лазеротерапия может сдержи- вать стремительный рост патологи- ческих образований и не позволяет им выходить за пределы, которые определены в условиях сформули- рованных лемм. Результаты могут иметь следующее клиническое объяснение. Для снижения уровня патологических клеток к некоторо- му заданному значению (в работе обозначено L ) планируются режи- 10,02 10,71 11,41 12,11 12,81 13,5 14,2 L(t) L(t)L t – 1,75 0 ,57 2 ,9 5 ,22 7 ,54 9 ,48 Рис. 1 10,02 m(t) m(t)m t – 1,75 0 ,71 5 ,63 – 2,17 0 ,3 2,78 5,25 7,72 3 ,17 8 ,09 9 ,35 Рис. 2 m(t) t – 1,75 0 ,75 5 ,74 – 3,53 6,55 9,91 3 ,24 8 ,23 – 0,17 3,19 13,27 16,63 F(t) L(t) С(t) Рис. 3 148 ISSN 0572-2691 мы лазеротерапии. При этом периодичность проведения сеансов лазеротера- пии (T) и их интенсивность (выражается с помощью части поражаемых лазе- ротерапией клеток p) выбираются с учетом предложенных в работе оценок mFC  ,, . Заключение. Таким образом, в настоящей работе предложена модель проти- воопухолевого иммунитета с импульсными возмущениями в популяции пролифе- рирующих клеток. В отличие от моделей, рассматриваемых ранее, она приемлема для описания влияния лечения лазеротерапией. Для решений модели получены асимптотические оценки в явном виде. Такие оценки найдены в результате решения импульсных дифференциальных нера- венств для функций типа Ляпунова. Они могут использоваться при качественном исследовании систем и при построении оптимальных схем лечения. В.П. Марценюк, О.А. Багрій-Заяць ПОБУДОВА ОЦІНОК РОЗВ’ЯЗКІВ В МОДЕЛІ ПРОТИПУХЛИННОГО ІМУНІТЕТУ З ІМПУЛЬСНИМИ ЗБУРЕННЯМИ Запропоновано модель протипухлинного імунітету з імпульсними збуреннями щодо популяції проліферуючих клітин. Отримано асимптотичні оцінки розв’яз- ків рівнянь. Оцінки будуються на основі імпульсних диференціальних нерів- ностей для функцій типу Ляпунова. V.P. Marceniuk, O.A. Bagrij-Zayats ESTIMATING THE SOLUTIONS IN THE MODEL OF ANTITUMOR IMMUNITY WITH IMPULSIVE DISTURBANCES A model of antitumor immunity with impulsive perturbations with respect to the population of proliferating cells is proposed. The asymptotic estimates for solutions of the equations are obtained. The estimates are based on impulsive differential ine- qualities for Lyapunov-type functions. 1. Марценюк В.П. Построение и изучение устойчивости модели противоопухолевого имму- нитета // Кибернетика и системный анализ. — 2004. — № 5. — С. 123–130. 2. Марценюк В.П., Андрущак І.Є., Багрій-Заяць О.А. Про умови асимптотичної стійкості в мо- делях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда // Математичне та комп’ютерне моделювання. Сер.: Технічні науки. — 2012. — Вип. 6. — С.131–142. 3. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. — М. : Наука, 1980. — 264 с. 4. Haddad W.M., Chellaboina V.S., Nersesov S.G. Impulsive and hybrid dynamical systems: stabi- lity, dissipativity and control. — Princeton : Princeton University Press, 2008. — 504 p. 5. Lakshmikantham V., Bainov D.D., Simeonov P.S. Theory of impulsive differential equations. — Singapure : World Sci. Publ. Co., 1989. — 279 p. 6. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М. : Мир, 1984. — 421 с. 7. Kato J., Yoshizawa T. Remarks on global properties in limiting equations // Funkcialaj Ekvacioj. — 1981. — 24. — P. 363–371. Получено 19.01.2013 После доработки 19.03.2013 http://www.google.com.ua/search?hl=ru&tbo=p&tbm=bks&q=inauthor:%22Wassim+M.+Haddad%22 http://www.google.com.ua/search?hl=ru&tbo=p&tbm=bks&q=inauthor:%22VijaySekhar+Chellaboina%22 http://www.google.com.ua/search?hl=ru&tbo=p&tbm=bks&q=inauthor:%22Sergey+G.+Nersesov%22 http://www.google.com.ua/search?hl=ru&tbo=p&tbm=bks&q=inauthor:%22V.+Lakshmikantham%22 http://www.google.com.ua/search?hl=ru&tbo=p&tbm=bks&q=inauthor:%22Dimit%C5%ADr+Ba%C4%ADnov%22 http://www.google.com.ua/search?hl=ru&tbo=p&tbm=bks&q=inauthor:%22Pavel+S.+Simeonov%22 http://www.google.com.ua/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=0CCgQFjAB&url=http%3A%2F%2Fbookinist.net%2Fbooks%2Fbookid-143087.html&ei=_pqPUMLxD8Xzsgblv4GIBw&usg=AFQjCNFFad1Y03J8ACkoOwWRSfDlRNwkWA

Построение оценок решений в модели противоопухолевого иммунитета с импульсными возмущениями

Institution

Ähnliche Einträge