О некоторых модификациях условия Понтрягина в нестационарных квазилинейных играх

Запропоновано два типи умов на параметри конфліктно-керованого процесу, що послаблюють класичну умову Понтрягіна. В кожному випадку в умову додатково включено термінальну множину. В одному з типів умову подано двома співвідношеннями, в яких ключову роль відіграє певна матрична функція....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2013
Hauptverfasser:	Кривонос, И.Ю., Чикрий, Ал.А., Чикрий, К.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2013
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Проблемы динамики управляемых систем
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207656
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	О некоторых модификациях условия Понтрягина в нестационарных квазилинейных играх / И.Ю. Кривонос, Ал.А. Чикрий, К.А. Чикрий // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 6. — С. 17-22. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-207656
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2076562025-10-12T00:03:49Z О некоторых модификациях условия Понтрягина в нестационарных квазилинейных играх Про деякі модифікації умови Понтрягіна в нестаціонарних квазілінійних іграх Some modifications to the Pontryagin's condition in nonstationary quasilinear games Кривонос, И.Ю. Чикрий, Ал.А. Чикрий, К.А. Проблемы динамики управляемых систем Запропоновано два типи умов на параметри конфліктно-керованого процесу, що послаблюють класичну умову Понтрягіна. В кожному випадку в умову додатково включено термінальну множину. В одному з типів умову подано двома співвідношеннями, в яких ключову роль відіграє певна матрична функція. Two types of conditions on parameters of the conflict-controlled process are suggested, relaxing classic Pontryagin’s condition. The terminal set is supplementary entered into the both conditions, one of them is described with two relationships for which certain matrix function plays a key role. Работа выполнена при поддержке ГФФИ Украины (проект Ф53.1/006). 2013 Article О некоторых модификациях условия Понтрягина в нестационарных квазилинейных играх / И.Ю. Кривонос, Ал.А. Чикрий, К.А. Чикрий // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 6. — С. 17-22. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207656 517.977 10.1615/JAutomatInfScien.v45.i11.30 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем
spellingShingle	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Кривонос, И.Ю. Чикрий, Ал.А. Чикрий, К.А. О некоторых модификациях условия Понтрягина в нестационарных квазилинейных играх Проблемы управления и информатики
description	Запропоновано два типи умов на параметри конфліктно-керованого процесу, що послаблюють класичну умову Понтрягіна. В кожному випадку в умову додатково включено термінальну множину. В одному з типів умову подано двома співвідношеннями, в яких ключову роль відіграє певна матрична функція.
format	Article
author	Кривонос, И.Ю. Чикрий, Ал.А. Чикрий, К.А.
author_facet	Кривонос, И.Ю. Чикрий, Ал.А. Чикрий, К.А.
author_sort	Кривонос, И.Ю.
title	О некоторых модификациях условия Понтрягина в нестационарных квазилинейных играх
title_short	О некоторых модификациях условия Понтрягина в нестационарных квазилинейных играх
title_full	О некоторых модификациях условия Понтрягина в нестационарных квазилинейных играх
title_fullStr	О некоторых модификациях условия Понтрягина в нестационарных квазилинейных играх
title_full_unstemmed	О некоторых модификациях условия Понтрягина в нестационарных квазилинейных играх
title_sort	о некоторых модификациях условия понтрягина в нестационарных квазилинейных играх
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Проблемы динамики управляемых систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207656
citation_txt	О некоторых модификациях условия Понтрягина в нестационарных квазилинейных играх / И.Ю. Кривонос, Ал.А. Чикрий, К.А. Чикрий // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 6. — С. 17-22. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT krivonosiû onekotoryhmodifikaciâhusloviâpontrâginavnestacionarnyhkvazilinejnyhigrah AT čikrijala onekotoryhmodifikaciâhusloviâpontrâginavnestacionarnyhkvazilinejnyhigrah AT čikrijka onekotoryhmodifikaciâhusloviâpontrâginavnestacionarnyhkvazilinejnyhigrah AT krivonosiû prodeâkímodifíkacííumovipontrâgínavnestacíonarnihkvazílíníjnihígrah AT čikrijala prodeâkímodifíkacííumovipontrâgínavnestacíonarnihkvazílíníjnihígrah AT čikrijka prodeâkímodifíkacííumovipontrâgínavnestacíonarnihkvazílíníjnihígrah AT krivonosiû somemodificationstothepontryaginsconditioninnonstationaryquasilineargames AT čikrijala somemodificationstothepontryaginsconditioninnonstationaryquasilineargames AT čikrijka somemodificationstothepontryaginsconditioninnonstationaryquasilineargames
first_indexed	2025-10-12T01:13:59Z
last_indexed	2025-10-13T01:12:52Z
_version_	1845827178224156672
fulltext	© И.Ю. КРИВОНОС, Ал.А. ЧИКРИЙ, К.А. ЧИКРИЙ, 2013 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 6 17 УДК 517.977 И.Ю. Кривонос, Ал.А. Чикрий, К.А. Чикрий О НЕКОТОРЫХ МОДИФИКАЦИЯХ УСЛОВИЯ ПОНТРЯГИНА В НЕСТАЦИОНАРНЫХ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ИГРАХ Одним из эффективных средств для исследования динамических игровых за- дач [1–4] является метод разрешающих функций (МРФ) [5, 6]. Основная схема метода строится в предположении, что выполнено условие Понтрягина, а терми- нальное множество выпукло. В работе [7] указано, как для нестационарных игр [8] можно избавиться от предположения о выпуклозначности терминального множе- ства. Здесь предлагается два способа ослабления условия Понтрягина [1, 5, 6, 9, 10]. Один из них предполагает включение в условие терминального множества. Второй способ состоит в том, что условие Понтрягина распадается на два предположения о параметрах конфликтно-управляемого процесса. 1. Нестационарная дифференциальная игра сближения Динамика конфликтно-управляемого процесса задается соотношением ),(),(,)(,),,,()( 00 tVvtUuztzRzvutztAz n  .00  tt (1) Здесь )(tA — матричная функция порядка n с измеримыми и локально суммируе- мыми по t элементами; )(tU и )(tV — измеримые компактозначные отображе- ния; ),,( vut — блок управления, являющийся функцией Каратеодори [7] и удо- влетворяющий условию роста ),,[),(),()(),,( 0  tttVvtUutavut (2) где )(ta — локально суммируемая функция. Задано цилиндрическое терминальное множество ),()( 0 tMMtM  ),,[ 0  tt (3) где 0M — линейное подпространство из ;nR )(tM — измеримое компактознач- ное отображение со значениями из .0  ML Рассматривается задача о сближении системы (1) с терминальным множе- ством (3) в классе управлений вида ]}.,[),()({)()),(,,()( 000 ttssVsvvvztutu tt  (4) Допустимыми управлениями игроков являются измеримые селекторы многознач- ных отображений )(tU и ).(tV Цель первого игрока )(u — вывести траекторию процесса (1) на множество (3) в конечный момент времени. Второй игрок этому противодействует. 2. Модель с включением терминального множества в условие Понтрягина Ниже предлагается схема метода разрешающих функций, которая ориенти- рована на тот случай, когда прямые образы многозначного отображения )(tM те-  Работа выполнена при поддержке ГФФИ Украины (проект Ф53.1/006). 18 ISSN 0572-2691 лесны в L и достаточно «большие». Тогда можно ослабить условие Понтрягина, а сами множества )(tM использовать как дополнительные области управления первого игрока. Рассмотрим конфликтно-управляемый процесс (1)–(3). Пусть ),,(  t ,0 tt  измеримая почти везде ограниченная скалярная функ- ция, принимающая неотрицательные значения [5]. Рассмотрим многозначные отображения )},(:),,({)),(,(  UuvuvU ),),(,(),(),,( vUtvtW  ),(),(),,(),,( tMtvtWvtF  ),,,(),( )( vtFtF Vv    где  — ортопроектор, ;: LRn  ),(  t — матрица Коши однородной систе- мы (1). Обозначим },:),{( 0  ttt }.),(:),{(dom  tFtF Условие 1. Имеет место равенство .dom F Отображение ),( tF замкнутозначно и измеримо по  [7]. Поэтому в силу теоремы об измеримом выборе [11] существует измеримый селектор ),,(  tF ),,(),(  tFtF ,0tt  который является суммируемой по  на ],[ 0 tt функ- цией при каждом t. Обозначим .),(),()),(,,,( 0 0000   dtzttttzt t t FFF Введем многозначное отображение )},(),,()),(,,,(:0{),,( 00  tvtFttztvt FFFFA и его опорную функцию в направлении 1 )}.,,(:{sup),,( vtvt FF  A При 0)),(,,,( 00  ttzt FF очевидно, что ),,0[),,(  vtFA а значит,  ),,( vtF при любых ),(Vv ].,[ 0 tt Если же ,0)),(,,,( 00  ttzt FF то отображение ),,( vtF A BL -измеримо по ),,( v ),(Vv ],[ 0 tt [6], а функция ),,( vtF  тоже BL -измерима по ),( v согласно теореме об опорной функции [11]. Рассмотрим множество .1))(,,(inf:)),(,,( 0 )( 000            t t F v FF dvtttztT Если неравенство в фигурных скобках не выполняется при всех ,0tt  то по- ложим .)),(,,( 00 FF ztT Теорема 1. Пусть для игровой задачи (1)–(3) существует такая измеримая по t скалярная неотрицательная функция ),,(  t ,),( t что выполняется условие 1. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 6 19 Тогда, если для заданного начального состояния ),( 00 zt существует такой измеримый по  селектор ),(  tF многозначного отображения ),,( tF ,),( t что  )),(,,( 00 FF ztT и )),,(,,( 00  FFF ztTT причем ,1),( 0   FT t F dT (5) а ),(co)( FF TMTM  то траектория процесса (1) может быть приведена на тер- минальное множество в момент FT при помощи управления вида (4). Доказательство. Пусть ),(v ),()(  Vv ],,[ 0 FTt — произвольная изме- римая функция. Рассмотрим случай, когда .0)),(,,,( 00  FFFF TTzt Конт- рольная функция ,))(,,(1)( 0   t t FFF dvTth ],,[ 0 FTtt абсолютно непрерывна и не возрастает. Поскольку 1)( 0 thF и по определению ,0)( FFF ThT то существует такой момент ,t ],,( 0 FTtt  что .0)( thF Рассмотрим многозначное отображение  )),(,,,(),,(:)({),( 00 FFFFFFF TTztvTUuvU )},,()(),(),,(),(  FFFFF TTMTvuT (6) где         .,0 ,),,,( ),,( 0 F FF FF Tt ttvT vT В силу свойств параметров конфликтно-управляемого процесса и разрешаю- щей функции ),,( vTFF  из теоремы об обратном образе [11] вытекает, что отображение ),( vUF  BL -измеримо при ),(Vv ].,[ 0 FTt А поэтому со- гласно теореме измеримого выбора в нем существует BL -измеримый селектор ),,( vuF  который является суперпозиционно измеримой функцией [6]. Управление первого игрока положим равным )),(,()(  vuu FF ].,[ 0 FTt При 0)),(,,,( 00  FFFF TTzt управление первого игрока на всем проме- жутке ],[ 0 FTt выберем в виде измеримой функции )),(,()( 00  vuu FF где ),(0 vuF  — BL -измеримый селектор отображения ),( vUF  с нулевой раз- решающей функцией. Определив управление, проследим за соответствующей траекторией. При 0)),(,,,( 00  FFF TTzt из формулы Коши и выражения (6) получим включение .)(),())(,,(1)),(,,,()( 0 * 0 00            dTMTdvTTTztTz F T t F t t FFFFFF F Поскольку ,0)( thF )(co)( FF TMTM  и выполнено равенство (5), то ).()( FF TMTz  Если же ,0)),(,,,( 00  FFF TTzt то соответствующее вклю- чение вытекает из формулы Коши и правила выбора управления первого игрока. Замечание 1. Если в условиях теоремы 1 выполнено дополнительное предпо- ложение выпуклозначности отображения ),,,( vTFF A т.е. )],,,(,0[),,( vTvT FFFF A ),(Vv ],,[ 0 FTt то траектория процесса (1) может быть приведена на терминальное множество в момент FT при помощи контруправления [5, 6]. 20 ISSN 0572-2691 3. Модифицированное условие Понтрягина В задаче преследования объектов с разной инерционностью условие Понтря- гина [1] не выполняется на некотором интервале времени. Эту ситуацию иногда может исправить предыдущая схема. Ниже будет предложен способ решения за- дачи, который отличается от предыдущего. Он состоит в том, чтобы «помочь» преследователю на тех участках, где не выполнено условие Понтрягина, а потом вернуть «долг», используя телесность терминального множества. Таким образом, условие Понтрягина преобразуется в два условия, которые иногда называют мо- дифицированным условием Понтрягина. Для реализации этой идеи рассмотрим измеримую по t и  матричную функцию ),,( tB .0  tt Ее значения — это квадратные матрицы порядка k (k — размерность вектора ,v )).(Vv Введем многозначные отображения ),),(),(,(),(),,(* vtBUtvtW  .),,(),( )( **    Vv vtWtW Условие 2. Существует измеримая по своим аргументам матричная функция ),( tB с ограниченными элементами, такая что многозначное отображение ),(* tW принимает непустые значения при .0  tt Положим ),),(,,(),,(),,,(* vtBuvuvut  ,0tt  ),(Uu ),(Vv и рассмотрим многозначное отображение ,))(),(,,(),()()( ** 0   dVUtttMtM t t где  — геметрическая разность Минковского [1, 5]. Условие 3. Для измеримой по t и  матричной функции ),,( tB ,0 tt  многозначное отображения )(tM  принимает непустые значения при .0tt  В силу свойств конфликтно-управляемого процесса (1)–(3) многозначное отображение ),,(* vtW  измеримо по t и  и непрерывно по ,v а отображение ),(* tW — измеримо по t и . Учитывая, что отображение ),(* tW замкнуто- значно, по теореме об измеримом выборе в нем существует измеримый селектор ),,(*  t ),,(),( **  tWt .0tt  Зафиксируем его и обозначим .),(),()),(,,,( 0 0000 *    dtzttttzt t t Согласно схеме метода разрешающих функций введем многозначное отоб- ражение }))],(,,,()([)],(),,([:0{),,( 00 *   ttzttMtvtWvt A и его опорную функцию в направлении 1 )}.,,(:sup{),,( vtvt   A Как и в предыдущем случае, многозначное отображение ),,( vt A и функция ),,( vt  BL -измеримы по ),,( vt ,0 tt  ),(Vv если   )),(,,,( 00 ttzt ).(* tM Если же такое включение имеет место, то ),0[),,(  vtA и, соот- ветственно,  ),,( vt при ),(Vv .0 tt  Рассмотрим множество .1))(,,(inf:)),(,,( 0 )( 000              t t v dvtttztT Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2013, № 6 21 Теорема 2. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (1)–(3) существует такая матричная функция ),,( tB ,0  tt что выполняются условия 2 и 3. Тогда, если существует такой измеримый по  селектор ),,(  t 0t , t многозначного отображения ),,(  tW что  )),(,,( 00 ztT и )),,(,,( 00   ztTT причем ),(co)(   TMTM то задача сближения для про- цесса (1)–(3) может быть решена в классе управлений (4) в момент .T Доказательство. Пусть ),(v ),()(  Vv ],,[ 0  Tt — произвольная изме- римая функция. Рассмотрим случай )()),(,,,( * 00   TMTTzt и с помощью контрольной функции ,))(,,(1)( 0    t t dvTth ],,[ 0  Ttt определим момент переключения ,t ,0)( *  th с активного на пассивный учас- ток [5]. Рассмотрим многозначное отображение   )),(,,(),(:)({),( vTBuTUuvU ))]},,(,,,()()[,,( * 00 **   TTztTMvT где          .],(,0 ],,[),,,( ),,( * 0 Tt ttvT vT Как и в аналогичной ситуации выше, отображение ),(* vU  BL -измеримо и замкнутозначно согласно теореме измеримого выбора в нем существует BL -из- меримый селектор ),,(* vu  являющийся суперпозиционно измеримой функцией. Управление первого игрока положим таким: )),(,()( **  vuu ].,[ * 0 Tt При )()),(,,,( ***** 00 * TMTTzt  управление первого игрока на всем промежутке ],[ * 0 Tt выберем в виде измеримой функции )),(,()( * 0 * 0  vuu где ),(* 0 vu  — BL -измеримый селектор отображения ),(* vU  с нулевой раз- решающей функцией. При )()),(,,,( ***** 00 * TMTTzt  воспользуемся формулой Коши для системы (1), прибавляя и вычитая от ее правой части величины ,))(),(),(,(),( * 0 *   dvTBuT T t .),( * 0 **  dT T t Тогда с учетом выражения для ),(* vU  получим            * 0 ))(,,(1)),(,,,()( *** 00 T t dvTTTztTz .))(),(,,(),()())(,,( * 0 * 0 ***** *    T t T t dvuTTdTMvT Поскольку ,1))(,,( * 0  dvT T t а )( TM — выпуклое множество, то в силу условия 3 ).()( TMTz  22 ISSN 0572-2691 Если ),()),(,,,( ***** 00 * TMTTzt  то по определению геометрической разности это включение эквивалентно соотношению ),()())(),(,,(),(),(),( 0 * 00 * * 0 * 0   vTMdvuTTdTztT T t T t которое с учетом закона выбора управления и формулы Коши переходит во включение ).()(   TMTz Замечание 2. Если в условиях теоремы 2 имеет место равенство )],,,(,0[),,( vTvT  A ),(Vv ],,[ 0  Tt то траектория процесса (1) может быть приведена на множество (3) в момент T при помощи контруправления. І.Ю. Кривонос, О.А. Чикрій, К.А. Чикрій ПРО ДЕЯКІ МОДИФІКАЦІЇ УМОВИ ПОНТРЯГІНА В НЕСТАЦІОНАРНИХ КВАЗІЛІНІЙНИХ ІГРАХ Запропоновано два типи умов на параметри конфліктно-керованого процесу, що послаблюють класичну умову Понтрягіна. В кожному випадку в умову до- датково включено термінальну множину. В одному з типів умову подано двома співвідношеннями, в яких ключову роль відіграє певна матрична функція. I.Iu. Kryvonos, O.A. Chikrii, K.A. Chikrii ON SOME MODIFICATIONS OF PONTRYAGIN’S CONDITION IN NONSTATIONARY QUASILINEAR GAMES Two types of conditions on parameters of the conflict-controlled process are suggest- ed, relaxing classic Pontryagin’s condition. The terminal set is supplementary entered into the both conditions, one of them is described with two relationships for which certain matrix function plays a key role. 1. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. Т. 2. — М. : Наука, 1988. — 576 с. 2. Пшеничный Б.Н., Остапенко В.В. Дифференциальные игры. — Киев : Наук. думка, 1992. — 260 с. 3. Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределенности: гарантированные результаты в задачах управления и идентификации. — Киев : Наук. думка, 2006. — 264 с. 4. Чикрий А.А., Дзюбенко К.Т. Билинейные марковские процессы поиска движущихся объек- тов // Проблемы управления и информатики. — 1997. — № 1. — С. 92–106. 5. Чикрий А.А. Конфликтно-управляемые процессы. — Киев : Наук. думка, 1992. — 384 с. 6. Чикрий А.А. Об одном аналитическом методе в динамических играх сближения // Тр. МИРАН им. В.А. Стеклова. — 2010. — 271. — С. 76–92. 7. Кривонос И.Ю., Чикрий Ал.А., Чикрий К.А. Об одной схеме сближения в нестационарных игровых задачах // Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2013. — № 4. — С. 8–15. 8. Chikrii A.A., Rappoport J.S., Chikrii K.A. Multivalued mappings and their selectors in the theory of conflict-controlled processes // Cybernetics and Systems Analysis. — 2007. — 43, N 5. — P. 719–730. 9. Кривонос Ю.Г., Матичин И.И., Чикрий А.А. Динамические игры с разрывными траектори- ями. — Киев : Наук. думка, 2005. — 220 с. 10. Пилипенко Ю.В., Чикрий А.А. Колебательные конфликтно-управляемые процессы // Приклад- ная математика и механика. — 1993. — 57, № 3. — С. 3–14. 11. Aubin J.-P., Frankowska H. Set-valued analysis. — Boston; Basel; Berlin : Birkhauser, 1990. — 461 p. Получено 11.03.2013

О некоторых модификациях условия Понтрягина в нестационарных квазилинейных играх

Institution

Ähnliche Einträge