Задача управляемости для некоторых линейных гиперболических уравнений
Розглянуто задачу керованості для лінійного гіперболічного рівняння з третьою граничною умовою. Задачу існування керування перевідного об’єкта з початкового стану в кінцевий зведено до розв’язування нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Отримано достатню умову, у разі виконання якої ця...
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Проблемы управления и информатики |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207657 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Задача управляемости для некоторых линейных гиперболических уравнений / Г.Ф. Гулиев, Т.М. Мустафаева // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 6. — С. 41-49. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-207657 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2076572025-10-12T00:01:45Z Задача управляемости для некоторых линейных гиперболических уравнений Задача керованості для деяких лінійних гіперболічних рівнянь The controllability problem for some linear hyperbolic equations Гулиев, Г.Ф. Мустафаева, Т.М. Проблемы динамики управляемых систем Розглянуто задачу керованості для лінійного гіперболічного рівняння з третьою граничною умовою. Задачу існування керування перевідного об’єкта з початкового стану в кінцевий зведено до розв’язування нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Отримано достатню умову, у разі виконання якої ця система не має розв’язків. Ця умова дає змогу відсіювати клас задач, які не мають розв’язків. The controllability problem for linear hyperbolic equations with the third boundary condition is considered. The problem of existence of control transferring the object from initial state to final state is reduced to solvability of infinite-dimensional system of linear algebraic equations. The sufficient condition is obtained on satisfying of which this system has no solution. This condition allows one to select the class of problems which have no solutions. 2013 Article Задача управляемости для некоторых линейных гиперболических уравнений / Г.Ф. Гулиев, Т.М. Мустафаева // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 6. — С. 41-49. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207657 517.97 10.1615/JAutomatInfScien.v45.i11.40 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем |
| spellingShingle |
Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Гулиев, Г.Ф. Мустафаева, Т.М. Задача управляемости для некоторых линейных гиперболических уравнений Проблемы управления и информатики |
| description |
Розглянуто задачу керованості для лінійного гіперболічного рівняння з третьою граничною умовою. Задачу існування керування перевідного об’єкта з початкового стану в кінцевий зведено до розв’язування нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Отримано достатню умову, у разі виконання якої ця система не має розв’язків. Ця умова дає змогу відсіювати клас задач, які не мають розв’язків. |
| format |
Article |
| author |
Гулиев, Г.Ф. Мустафаева, Т.М. |
| author_facet |
Гулиев, Г.Ф. Мустафаева, Т.М. |
| author_sort |
Гулиев, Г.Ф. |
| title |
Задача управляемости для некоторых линейных гиперболических уравнений |
| title_short |
Задача управляемости для некоторых линейных гиперболических уравнений |
| title_full |
Задача управляемости для некоторых линейных гиперболических уравнений |
| title_fullStr |
Задача управляемости для некоторых линейных гиперболических уравнений |
| title_full_unstemmed |
Задача управляемости для некоторых линейных гиперболических уравнений |
| title_sort |
задача управляемости для некоторых линейных гиперболических уравнений |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Проблемы динамики управляемых систем |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207657 |
| citation_txt |
Задача управляемости для некоторых линейных гиперболических уравнений / Г.Ф. Гулиев, Т.М. Мустафаева // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 6. — С. 41-49. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT gulievgf zadačaupravlâemostidlânekotoryhlinejnyhgiperboličeskihuravnenij AT mustafaevatm zadačaupravlâemostidlânekotoryhlinejnyhgiperboličeskihuravnenij AT gulievgf zadačakerovanostídlâdeâkihlíníjnihgíperbolíčnihrívnânʹ AT mustafaevatm zadačakerovanostídlâdeâkihlíníjnihgíperbolíčnihrívnânʹ AT gulievgf thecontrollabilityproblemforsomelinearhyperbolicequations AT mustafaevatm thecontrollabilityproblemforsomelinearhyperbolicequations |
| first_indexed |
2025-10-12T01:14:04Z |
| last_indexed |
2025-10-13T01:12:55Z |
| _version_ |
1845827182000078848 |
| fulltext |
© Г.Ф. ГУЛИЕВ, Т.М. МУСТАФАЕВА, 2013
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 6 41
УДК 517.97
Г.Ф. Гулиев, Т.М. Мустафаева
ЗАДАЧА УПРАВЛЯЕМОСТИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ
ЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Современные управляемые системы, как правило, являются достаточно слож-
ными. Поэтому приступая к изучению таких систем, целесообразно рассмотреть
принципиальные возможности каждой из них. В частности, большой интерес
представляет вопрос о том, можно ли с помощью допустимых управлений переве-
сти систему из одного заданного состояния в другое заранее заданное состояние.
Системы, обладающие таким свойством, обычно называют управляемыми систе-
мами. Отметим, что задачи управляемости для систем с распределенными пара-
метрами сложны в отличие от аналогичных задач в системе с сосредоточенными
параметрами. Для систем с распределенными параметрами вопросы управляемо-
сти рассмотрены в разных работах [1–9]. Например, в работе [5] такая задача о
неуправляемости рассмотрена для параболического уравнения.
Здесь исследуется задача управляемости для линейного гиперболического
уравнения с третьим краевым условием. Эта задача сводится к решению беско-
нечной системы линейных алгебраических уравнений.
Пусть управляемый процесс описывается гиперболическим уравнением
),,0(),(),,()()(
2
1,
2
2
TQtxtxfuxa
x
u
xa
xt
u
T
j
ij
ji i
(1)
где — ограниченная открытая область в ,2R a граница S области является ку-
сочно-гладкой; коэффициенты ,,,),( nijixaij — измеримые, ограниченные функ-
ции в и ),()( xaxa jiij 2
2
1
2
1,
)( i
i
jiij
ji
xa
,),( 2
21 R ,0const
0)( xa — измеримая, ограниченная функция; ).(2 TQLf
На границе S области решение уравнения удовлетворяет граничному условию
),,0(,),()()( TtSxtxgux
u
S
(2)
где )(x — измеримая, ограниченная, неотрицательная функция; )(2 SLg — за-
данная функция; функция )(t рассматривается как управление из );,0(2 TL —
нормаль к S;
u
— конормальная производная, т.е. ),(cos)(
2
1,
i
ji j
ij x
x
u
xa
u
.
В начальный момент времени 0t удовлетворяются условия
,),()0,(),()0,( 10
xxux
t
u
xuxu (3)
где )()(),()( 21
1
20 LxuWxu — заданные функции.
42 ISSN 0572-2691
Под обобщенным решением задачи (1)–(3) понимается функция ),(),( 1
2 QWtxu
которая для любой функции 0),(),(),( 1
2 TxQWtx удовлетворяет инте-
гральному тождеству
dxdtuxa
xx
u
a
tt
u
ji
ij
n
jiQT
)(
1,
,)()0,()(1
T TS Q
dxdtfdsgudxxxu
а также первому из начальных условий (3) в смысле
,0))(),((lim 2
0
0
dxxutxu
t
где ),0( TSST — боковая поверхность TQ [10].
Поставим задачу:
Пусть ,0, TT — произвольный, но фиксированный момент времени. Требу-
ется найти управление ),0()( 2 TLt такое, чтобы решение задачи (1)–(3) удов-
летворяло условиям
,),(),(),(),( 10
xxTx
t
u
xTxu (4)
где )()(),()( 21
1
20 LxWx — заданные функции.
Легко показать, что решение задачи (1)–(3) представляется в виде
1
),()(),(
n
nn xXtutxu (5)
где коэффициенты )(tun определяются по формулам
,)(),()(,)()(,)()(
...,,2,1,)()(sin)()(
1
)(sin)(
1
sincos)(
1100
0
0
1
0
dxxXtxftfdxxXxuudxxXxuu
ndsspstdXg
dsstsft
u
tutu
nnnnnn
n
t
n
Sn
nn
t
n
n
n
n
nnn
(6)
)(xXa n и n — собственные функции и собственные значения спектральной задачи
,0)(
,02
S
Xx
X
XLX
(7)
причем nnnn ,0,1 при n , где .)()(
2
1,
Xxa
x
X
xa
x
LX
j
ij
ji i
Функции )(0 x и )(1 x также представляются в виде ряда
,),()(
1
00
xxXx n
n
n
,),()(
1
11
xxXx n
n
n
где
.)()(;)()( 1100 dxxXxdxxXx nnnn
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 6 43
Тогда для того, чтобы решение ),( txu удовлетворяло условиям (4), необходи-
мо и достаточно, чтобы управление )(t удовлетворяло моментным соотношениям
T
nnn bdttTtg
0
1 ,)(sin)( ,)(cos)(
0
2
T
nnn bdttTtg ,,2,1 n (8)
где
;)()( dXgg n
S
n
;)(sin)(sincos
0
100
1 dTfTuTub n
T
nnnnnnnnn
...,2,1,)(cos)(cossin
0
101
2 ndTfTuTub n
T
nnnnnnnn (9)
В силу свойства замкнутости системы собственных функций )},({ xXn по-
стоянные ...,,2,1,, 21 nbb nn удовлетворяют условиям
,)(
1
21
n
nb .)(
1
22
n
nb
В пространстве ),0(2 TL рассмотрим множество H функций ),(tN пред-
ставимых в виде
...,2,1,)](cos)(sin[)(
1
NtTtTgt
N
n
nnnnn
N
Если замкнуть это множество в метрике пространства ),,0(2 TL то получим
подпространство ),,0(2 TLH состоящее из функций ),(t представимых так:
,)](cos)(sin[)(
1
n
nnnnn tTtTgt
где коэффициенты nn , удовлетворяют условию
nm
nm
nm
nm
nm
nm
nmnm TTgg
1,
)(sin
1
)(sin
1
))(cos1(
1
))(cos1(
1
TT nm
nm
nm
nm
nm
))(cos1(
1
))(cos1(
1
TT nm
nm
nm
nm
mn
TT nm
nm
nm
nm
nm )(sin
1
)(sin
1
1
2
1
22 )2cos1(
24
2sin
2 m
m
m
mm
m
m m
m
mm Tg
TT
g
.
4
2sin
21
22
m m
m
mm
TT
g (10)
44 ISSN 0572-2691
Тем самым устанавливается взаимно однозначное соответствие между функ-
циями Ht)( и последовательностями },,{ nn для каждой из которых схо-
дится ряд (10).
Поскольку H является полным подпространством пространства ),,0(2 TL
то по теореме из [11, с. 187] каждую функцию ),0()( 2 TLt можно однозначно
записать так:
,)(,)(),()()( HtqHttqtt
при этом .
222
q
Отсюда, в частности, следует, что
...,2,1,0)(sin)(
0
nttTtq n
T
,
...,2,1,0)(cos)(
0
nttTtq
T
n
Соответственно, вопрос о том, удовлетворяет ли конкретное управление )(t мо-
ментным соотношениям (8) , сводится к вопросу, удовлетворяет ли им его состав-
ляющая ),(t поскольку
,)(sin)()(sin)(
00
T
n
T
n ttTtttTt
.)(cos)()(cos)(
00
T
n
T
n ttTtttTt
Таким образом, справедлива следующая лемма.
Лемма. Для того чтобы управление ),0()( 2 TLt удовлетворяло момент-
ным соотношениям (8), необходимо и достаточно, чтобы этим соотношениям
удовлетворяла проекция )(t этого управления на подпространство .H
Если функцию
1
)](cos)(sin[)(
n
nnnnn tTtTgt
из H подставить в моментные соотношения (8), то получим бесконечную си-
стему линейных алгебраических уравнений относительно :},{ 1
nnn
TTgg nm
nm
nm
nm
nnm
n
)(sin
)(2
1
)(sin
)(2
1
1
)(2
)(cos1
)(2
)(cos1
nm
nm
nm
nm
n
TT
)(2
)(cos1
)(2
)(cos1
...,,2,1,)2cos1(
4
1
2sin
4
1
2
1
12
nm
nm
nm
nm
nnm
n
mm
m
mmm
m
m
TT
gg
mbTT
T
g
(11)
TT nm
nm
nm
nm
n )(sin
)(2
1
)(sin
)(2
1
...,2,1,
4
2sin
2
)2cos1(
4
1 22
mb
TT
Tg m
m
m
mmm
m
m
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 6 45
Введя матрицы
,
,
4
2sin
2
,,
)(2
)(sin
)(2
)(sin
1,
2
1,
11 }{
nmm
m
m
nm
nm
nm
nm
nm
nmmn
nm
TT
g
nm
TT
gg
MM
,
,)2cos1(
4
1
,,
)(2
)(cos1
)(2
)(cos1
}{
1,
2
1,
22
nm
m
m
m
nm
nm
nm
nm
nm
nmmn
nmTg
nm
TT
gg
MM
1,
2
1,
33
,
,
)(2
}{
4
2sin
2
,
)(sin
)(2
)(sin
nmm
m
m
nm
nm
nm
nm
nm
nmmn
nm
TT
g
nm
TT
gg
MM
и векторы ...),,...,,(...),,...,,(...),,...,,(...),,...,,( 22
1
211
1
1
11 nnnn bbbbbb
систему уравнений (11) можно записать в виде
,
.
121
232
bMM
bMM
(12)
Обозначив
32
21
MM
MM
M и ,
a ,
2
1
b
b
b получим уравнение относительно a:
.bMa (12)
Этот результат означает, что вопрос о существовании управления ),(t пере-
водящего объект из состояния (3) в состояние (4), сводится к вопросу о разреши-
мости системы (12) в классе последовательностей ,
n
na удовлетворяющих
условию (10). Обозначим этот класс последовательностей .Mh
Проанализируем систему (12).
В пространстве H берем пространство 22 ll последовательностей
2
1
n
n
z
z
z
таких, что
.])()[( 2221
1
nn
n
zz
В силу свойства замкнутости })({ xXn и принадлежности функций
),(),(),(),(),( 0010 txfxxxuxu и )(xg классу ,2L элементы матрицы M и пра-
вая часть уравнения (12) таковы, что справедливы соотношения
,
1
2
n
ng
1
21 ,)(
n
nb
1
22 .)(
n
nb
Теорема 1. Оператор M в уравнении (12) отображает 22 ll в 22 ll и явля-
ется положительным, но не положительно определенным.
46 ISSN 0572-2691
Доказательство. Пусть ,22
2
1 ll
z
z
z
а .Mzy Тогда
223122221122
zMzMzMzMMzy
][
223212222211 zMzMzMzMc
nm
m n nm
nm
nm
nm
nmn
TT
ggzc
1
2
1
1
)(2
)(sin
)(2
)(sin
n
n
nn
n
TT
gz
4
2sin
2
21
1
nm
m n nm
nm
nm
nm
nmn
TT
ggz
1
2
1
2
)(2
)(cos1
)(2
)(cos1
)2cos1(
4
122
1
Tgz n
n
nn
n
nm
m n nm
nm
nm
nm
nmn
TT
ggz
1
2
1
1
)(2
)(cos1
)(2
)(cos1
)2cos1(
4
121
1
Tgz n
n
nn
n
.
4
2sin
2)(2
)(sin
)(2
)(sin
1
22
1
2
1
2
n n
n
nn
nm
m n nm
nm
nm
nm
nmn
TT
gz
TT
ggz
Здесь и далее различные постоянные будем обозначать c.
Оценивая правую часть последнего неравенства, имеем
n
n
n
nm
nm nmnm
nm
T
gzggzc
4
1
2)(2
1
2
1 2
1
21
1,
2
21
1
222
1,
2
22
4
1
)(2
1
2
1
n n
n
nm
nm nmnm
nm gzggz
1
221
1,
2
21
4
1
)(2
1
2
1
n n
n
nm
nm nmnm
nm gzggz
n
n
n
nm
nm nmnm
nm
T
gzggz
4
1
2)(2
1
2
1 2
1
22
1,
2
22
.)()()(
1
2
1
222
1
2
1
222121
n
n
n
n
n
n
n
n ggzcggzzc
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 6 47
Легко можно проверить, что оператор M симметричен.
Докажем, что M обладает свойством
0),( zMz
при всех ,22 llz причем равенство достигается только на нулевом элементе.
Пусть
2
1
n
n
z
z
произвольный элемент из .22 ll Положим
1
21 )],(cos)(sin[)(
n
nnnnnn tTztTztp
N
n
nnnnnnN tTztTztp
1
21 )].(cos)(sin[)(
Тогда очевидно, что
122
1,
111
1,
2
,02
)()( nmmn
Nmn
nmnm
Nmn
TLN zzMzzMtptp
223
1,
212
1,
nmmn
Nmn
nmmn
Nmn
zzMzzM
0)()( 2
1
2221
2
2
1
2221
n
Nn
n
Nn
gzzgzzc
при .N Значит, последовательность }{ nzz принадлежит классу последо-
вательностей .Mh
Поскольку последовательность )}(cos),(sin{ tTtT nn минимальна в под-
пространстве H и справедливы соотношения
),(),(),(),(),()( 2232121221112
,02
zzMzzMzzMzzMzMztp
TL
,0223
1,
212
1,
122
1,
111
1,
nmmn
Nmn
nmmn
Nmn
nmmn
Nmn
nmnm
Nmn
zzMzzMzzMzzM
то оператор M положителен.
Докажем, что он не является положительно определенным в ,22 ll т.е. не
существует постоянное 0 такое, что справедливо неравенство
,),(
2
zzMz (13)
для всех .22 llz
С этой целью возьмем последовательность элементов ,22 llzN определя-
емых формулой
...},,0,1,0...,,0{
1
1
N
Nz ...}.,0,0,0...,,0{2 Nz
Тогда ,11 Nz 02 Nz и, кроме того,
,02sin
4
1
2
),(),( 2111
T
T
gzzMzMz n
n
NNNNN при N ,
что противоречит неравенству (13).
48 ISSN 0572-2691
На основании теоремы 1 наделив класс Mh скалярным произведением и нормой
),,(],[ Muu ,),(][ uMuu
получаем, что этот класс является полным гильбертовым пространством, содер-
жащим в себе 22 ll как всюду плотное множество. При этом уравнение (12)
имеет единственное решение в ,Mh лишь при выполнении условия ][),( aKab
(см. [5, теорема 9.2]), которое, вообще говоря, может и не принадлежать .22 ll
Тот факт, что Mh содержит все элементы из ,22 ll непосредственно следу-
ет из способа построения этого пространства: пространство 22 ll пополнено
предельными в метрике Mh элементами.
Следующая теорема дает некоторое представление о структуре множества после-
довательностей b, при которых уравнение (12) имеет решение в пространстве .Mh
Теорема 2. Если хотя бы одна из последовательностей ,
1
n
n
n
g
b
n
n
n
g
b
2
не
ограничена, то уравнение (12) не имеет решения в .Mh
Доказательство. Согласно [5, теорема 9.2] уравнение (12) имеет решение
тогда и только тогда, когда его правая часть удовлетворяет условию: существует
постоянная K такая, что
][),( aKab при всех .22 lla
Рассмотрим последовательность
...,,2,1...},,0,sign,0...,,0{ 11
1
1
Nbga NnN
N
N
...}.,0,0,0...,,0{2 Na
Так как
1
11
12
4
1
2
2sin
4
1
2
),(][
T
T
T
aaMa n
n
NNN
для любого N, а ,),( 112
nNN
N gbab то условие ][),( NN aKab не вы-
полняется, т.е. для сколь угодно большого p можно выбрать pN
a такой, что будет
выполняется неравенство
].[),( pp NN
apab
Теорема доказана.
Используя эту теорему, можно проанализировать различные задачи о перево-
де объекта из одного состояния в иное и указать достаточные условия, при вы-
полнении которых каждая из таких задач не имеет решения. Она полезна тем, что
позволяет «отсеивать» задачи, не имеющие решения.
Для иллюстрации полученных результатов рассмотрим следующий пример.
Пример. Пусть ],1,0[]1,0[ ,1T ,0)()(,1)()( 21122211 xaxaxaxa
,0),( txf .0)(,0)( xax Тогда собственные значения и собственные функ-
ция задачи (7) имеют вид
),,(, 21
2
2
2
1, 21
nnnnnnnn
.,,coscos)( 212211 NnnxnxnxXn
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 6 49
Отметим, что ,1)(0 xX когда .00
Пусть
границы.частиостальнойв,0
,0],1,0[,
)(,0)(,)(,0)(,0)( 21
2
1
11010
xxx
xgxxxxuxu
Легко вычислить, что
.)(
)1(2
]1)1[( /432
2
2
1
/23
1
1
1
nn
g
b
n
n
n
n
n
Поэтому последовательность
n
n
n
g
b1
не ограничена.
Г.Ф. Гулієв, Т.М. Мустафаєва
ЗАДАЧА КЕРОВАНОСТІ ДЛЯ ДЕЯКИХ
ЛІНІЙНИХ ГІПЕРБОЛІЧНИХ РІВНЯНЬ
Розглянуто задачу керованості для лінійного гіперболічного рівняння з третьою
граничною умовою. Задачу існування керування перевідного об’єкта з початко-
вого стану в кінцевий зведено до розв’язування нескінченної системи лінійних
алгебраїчних рівнянь. Отримано достатню умову, у разі виконання якої ця сис-
тема не має розв’язків. Ця умова дає змогу відсіювати клас задач, які не мають
розв’язків.
H.F. Guliyev, Т.М. Mustafayeva
THE CONTROLLABILITY PROBLEM FOR SOME
LINEAR HYPERBOLIC EQUATIONS
The controllability problem for linear hyperbolic equations with the third boundary
condition is considered. The problem of existence of control transferring the object
from initial state to final state is reduced to solvability of infinite-dimensional system
of linear algebraic equations. The sufficient condition is obtained on satisfying of
which this system has no solution. This condition allows one to select the class of
problems which have no solutions.
1. Lions J.L. Exact controllability, stabilization and perturbations for distributed systems // SIAM
Review. — 1988. — 30, N 1. — P. 1–68.
2. Guliyev H.F., Jabbarova K.Sh. Exact controllability problem for the second order linear hyper-
bolic equation // Differential Equation and Control Processes. — 2010. — N 3. — P. 10–19.
3. Ильин В.А. Граничное управление процессом на двух концах в терминах обобщенного ре-
шения волнового уравнения с конечной энергией // Дифференциальные уравнения. —
2000. — 36, № 11. — С. 1513–1528.
4. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимизация граничных управлений колебаниями струны //
Успехи мат. наук. — 2005. — 60, вып. 6. — С. 89–114.
5. Егоров.А.И. Основы теории управления. — М. : Физматлит, 2004. — 504 с.
6. Знаменская Л.Н. Управление упругими колебаниями. — М. : Физматлит, 2004. — 175 c.
7. Гасанов К.К., Гасымов Т.М. Об управляемости для волнового уравнения с неклассически-
ми краевыми условиями // Вестн. Бакинского ун-та. — 2009. — № 4. — С. 19–23.
8. Hasanov K.K., Gasumov T.M. Minimal energy control for the wave equation with non-classical
boundary condition // Appl. Comput. Math. — 2010. — 9, N 1. — P. 47–56.
9. Эмануилов О.Ю. Граничная управляемость гиперболическими уравнениями // Сибирский
математический журнал. — 2000. — 41, № 4. — С. 944–959.
10. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. — М. : Наука, 1973. — 408 с.
11. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. —
М. : Наука, 1981. — 544 c.
Получено 21.11.2012
После доработки 24.04.2013
|