Об одном методе стабилизации в системах прямого регулирования нейтрального типа
На основі прямого методу Ляпунова з використанням функціонала Ляпунова– Красовського розглянуто задачу стабілізації до стану абсолютної стійкості нелінійних процесів прямого регулювання нейтрального типу. Результати сформульовано у вигляді матричних алгебраїчних нерівностей....
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Назва видання: | Проблемы управления и информатики |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207679 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об одном методе стабилизации в системах прямого регулирования нейтрального типа / А.В. Шатырко, Д.Я. Хусаинов // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 6. — С. 23-31. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-207679 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2076792025-10-12T00:01:31Z Об одном методе стабилизации в системах прямого регулирования нейтрального типа Про один метод стабілізації в системах прямого регулювання нейтрального типу On a stabilization method in neutral type direct control systems Шатырко, А.В. Хусаинов, Д.Я. Методы обработки информации На основі прямого методу Ляпунова з використанням функціонала Ляпунова– Красовського розглянуто задачу стабілізації до стану абсолютної стійкості нелінійних процесів прямого регулювання нейтрального типу. Результати сформульовано у вигляді матричних алгебраїчних нерівностей. By employing the direct Lyapunov method, using Lyapunov–Krasovskii functional approach, stabilization problem of nonlinear Lurie-type direct control systems of neutral type is considered. Conditions are constructed in terms of matrix algebraic inequalities. 2013 Article Об одном методе стабилизации в системах прямого регулирования нейтрального типа / А.В. Шатырко, Д.Я. Хусаинов // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 6. — С. 23-31. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207679 517.929.4 10.1615/JAutomatInfScien.v45.i12.10 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Методы обработки информации Методы обработки информации |
| spellingShingle |
Методы обработки информации Методы обработки информации Шатырко, А.В. Хусаинов, Д.Я. Об одном методе стабилизации в системах прямого регулирования нейтрального типа Проблемы управления и информатики |
| description |
На основі прямого методу Ляпунова з використанням функціонала Ляпунова– Красовського розглянуто задачу стабілізації до стану абсолютної стійкості нелінійних процесів прямого регулювання нейтрального типу. Результати сформульовано у вигляді матричних алгебраїчних нерівностей. |
| format |
Article |
| author |
Шатырко, А.В. Хусаинов, Д.Я. |
| author_facet |
Шатырко, А.В. Хусаинов, Д.Я. |
| author_sort |
Шатырко, А.В. |
| title |
Об одном методе стабилизации в системах прямого регулирования нейтрального типа |
| title_short |
Об одном методе стабилизации в системах прямого регулирования нейтрального типа |
| title_full |
Об одном методе стабилизации в системах прямого регулирования нейтрального типа |
| title_fullStr |
Об одном методе стабилизации в системах прямого регулирования нейтрального типа |
| title_full_unstemmed |
Об одном методе стабилизации в системах прямого регулирования нейтрального типа |
| title_sort |
об одном методе стабилизации в системах прямого регулирования нейтрального типа |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Методы обработки информации |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207679 |
| citation_txt |
Об одном методе стабилизации в системах прямого регулирования нейтрального типа / А.В. Шатырко, Д.Я. Хусаинов // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 6. — С. 23-31. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT šatyrkoav obodnommetodestabilizaciivsistemahprâmogoregulirovaniânejtralʹnogotipa AT husainovdâ obodnommetodestabilizaciivsistemahprâmogoregulirovaniânejtralʹnogotipa AT šatyrkoav proodinmetodstabílízacíívsistemahprâmogoregulûvannânejtralʹnogotipu AT husainovdâ proodinmetodstabílízacíívsistemahprâmogoregulûvannânejtralʹnogotipu AT šatyrkoav onastabilizationmethodinneutraltypedirectcontrolsystems AT husainovdâ onastabilizationmethodinneutraltypedirectcontrolsystems |
| first_indexed |
2025-10-12T01:15:33Z |
| last_indexed |
2025-10-13T01:14:21Z |
| _version_ |
1845827271503380480 |
| fulltext |
© А.В. ШАТЫРКО, Д.Я. ХУСАИНОВ, 2013
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 6 23
УДК 517.929.4
А.В. Шатырко, Д.Я. Хусаинов
ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ СТАБИЛИЗАЦИИ
В СИСТЕМАХ ПРЯМОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА
Введение
Здесь рассматриваются системы регулирования, описываемые дифференци-
ально-разностными уравнениями с последействием нейтрального типа. Постановка
задач абсолютной устойчивости, т.е. асимптотической устойчивости в целом нели-
нейных систем регулирования возникла в технических системах и описана, напри-
мер, в работах [1–9]. Она связана с получением условий асимптотической устойчи-
вости в целом нулевого решения системы дифференциальных уравнений с нели-
нейностью «секторного вида». Для исследования задач абсолютной устойчивости
используются два подхода. Первый из них получил название «частотный метод»,
и развивался, например, в работах [3–6]. Второй основывается на прямом методе
Ляпунова с использованием функций Ляпунова типа Лурье–Постникова [1, 2, 10].
При дальнейшем развитии задач абсолютной устойчивости рассматривались ди-
намические системы, описываемые разностными и дифференциально-разностны-
ми уравнениями с запаздывающим аргументом [8, 9, 11–13]. Абсолютная устой-
чивость с использованием второго метода Ляпунова в системах с последействием
нейтрального типа исследовалась в работах [8, 11, 13–17].
В данной работе, являющейся фактически развитием идей предложенных
в [18] для систем регулирования с запаздыванием, рассматриваются системы ре-
гулирования, описываемые уравнениями нейтрального типа. Предполагается, что
система не является абсолютно устойчивой. Тогда, возможно, целесообразно ста-
билизировать систему до необходимого качества [18, 19]. Приводится решение
задачи стабилизации. Стабилизация выполняется с использованием управления
в виде обратной связи по текущим фазовым координатам и координатам с запаз-
дыванием.
Далее здесь мы будем использовать такие обозначения: ),(max )(min —
максимальное и минимальное собственные числа соответствующих симметричных
матриц. Под векторными и матричными нормами будем понимать следующие:
,)()(
2/1
1
2
n
i
i txtx },)({max)(
0
stxtx
s
},)(,)({max)(
0,1
stxstxtx
s
.)}({ 2/1T
max AAA
Абсолютную устойчивость в пространстве 0C и 1C будем понимать в смысле
определений, введенных в [13–15].
Условия абсолютной устойчивости и стабилизация
Будем рассматривать системы нелинейных уравнений вида
)),(()()()]()([ tbftBxtAxtDxtx
dt
d
),()( T txct .0t (1)
24 ISSN 0572-2691
Здесь ;)( nRtx A, B, D — квадратные матрицы с постоянными коэффициентами,
;, nRcb 0 — постоянное запаздывание; )(f — непрерывная функция,
удовлетворяющая условию Липшица и «условию сектора»:
,)(0 2 kf .0k (2)
Матрица D удовлетворяет так называемому условию устойчивости разност-
ного оператора: .1D Под решением системы будем понимать кусочно-непре-
рывно дифференцируемую функцию ),(tx которая тождественно удовлетворяет
системе (1) и начальным условиям ),()( ttx ),()( ttx где )(t — произ-
вольная непрерывная векторная функция, определенная при .0 t
При исследовании абсолютной устойчивости систем уравнений (1) будем ис-
пользовать функционал Ляпунова–Красовского вида [14]
,)()}()()()({)()()]([
)(
0
2
T
1
T)(T
tt
t
st dfdssxGsxsxGsxetHxtxtxV
),()( T txct ,0 (3)
с положительно определенными матрицами H, ,1G .2G
Для большей наглядности полученных результатов и предложенных идей
предварительно рассмотрим процесс регулирования, описываемый скалярным
дифференциально-разностным уравнением
)),(()()()]()([ 21 tbftxatxatdxtx
dt
d
).()( tcxt (4)
Здесь ,1a ,2a b, d — постоянные, ;1d начальные условия задаются скаляр-
ными функциями ),()( ttx ),()( ttx .0 t Нелинейная функция регу-
лирования )(f удовлетворяет условию Липшица и «условию сектора» (2).
Функционал Ляпунова–Красовского (3) в этом скалярном случае будет
иметь вид
,)()}()({)(]),([
)(
0
2
2
2
1
)(2
tt
t
st dfdssxgsxgethxttxV (5)
,0h ,01 g ,02 g ,0 .0
Введем в рассмотрение следующую матрицу:
,
0
0
],,,,,[
1
44
1
34
1
24
1
14
1
34
1
33
1
13
1
24
1
22
1
12
1
14
1
13
1
12
1
11
211
ssss
sss
sss
ssss
gghS
,2 2
2
111
1
11 gaghas ,2212
1
12 gaahas ,)( 21
1
13 daahds
,)(
2
1
121
1
14 cabgahbs ,2
2
21
1
22 gages
,
2
1
22
1
24
cbgas
,2
2
2
1
33 gdges
,
2
1
2
1
34
cbgds .
1
2
21
44
k
cbgbs (6)
Условия абсолютной устойчивости системы регулирования нейтрального ти-
па получены в работах [13–15]. Применительно к скалярному уравнению (4) их
можно сформулировать следующим образом.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 6 25
Теорема 1. Пусть параметры уравнения (4), постоянные ,0h ,01 g ,02 g
,0 0 функционала Ляпунова–Красовского (5) и величина 0 таковы, что
матрица ],,,,[ 211 gghS положительно определенная. Тогда процесс регулиро-
вания (4) абсолютно устойчив в метрике 1C для произвольного запаздывания .0
Проверка условий устойчивости (вариант 1). Согласно критерию Силь-
вестра [20, 21], необходимым и достаточным условием положительной опреде-
ленности симметричной матрицы ],,,,[ 211 gghS является положительность
ее главных диагональных миноров, т.е.
,01
11
1
1 s (7)
,0)( 21
12
1
22
1
11
1
2 sss (8)
,0)()(
0
0 1
33
21
12
1
22
21
13
1
33
1
22
1
11
1
33
1
13
1
22
1
12
1
13
1
12
1
11
1
3 sssssss
ss
ss
sss
(9)
])()([
0
0 21
34
1
33
21
24
1
44
1
33
1
22
1
11
1
44
1
34
1
24
1
14
1
34
1
33
1
13
1
24
1
22
1
12
1
14
1
13
1
12
1
11
1
4 sssssss
ssss
sss
sss
ssss
])([ 1
12
21
34
1
24
1
34
1
13
1
44
1
33
1
12
1
12 sssssssss
])([ 1
34
1
24
1
12
1
44
1
22
1
13
21
24
1
14
1
34
1
22
1
13 sssssssssss
])([ 1
34
1
24
1
12
1
44
1
22
1
13
21
24
1
14
1
34
1
22
1
13 sssssssssss
.0][ 1
24
1
33
1
12
1
34
1
22
1
13
1
14
1
33
1
22
1
14 ssssssssss (10)
Исследовав неравенства (7)–(10) в области ,0h ,01 g ,02 g ,0 ,0
0 пространства изменения параметров функционала Ляпунова–Красовского,
приходим к выводу об асимптотической устойчивости уравнения.
Проверка условий устойчивости (вариант 2). Возможен иной подход, ос-
нованный на исследовании матриц меньшей размерности. Приведем некоторые
вспомогательные сведения.
Утверждение 1 ([20]). Пусть эрмитова матрица S представлена в виде
,
*
CB
BA
S
причем матрицы A и C квадратные. Для положительной определенности матрицы
S необходимо и достаточно, чтобы были положительно определенными матрицы
A и .1* BABC
Утверждение 2 ([21]). Если матрица A невырождена, то обратной к матрице
DC
BA
M
является матрица
111
111111
1
RCAR
BRACABRAA
M ,
где .1BCADR
26 ISSN 0572-2691
С помощью приведенных утверждений сформулируем следующие условия
абсолютной устойчивости.
Лемма 1. Для того чтобы процесс регулирования (4) был абсолютно устой-
чив достаточно, чтобы постоянные ,0h ,01 g ,02 g ,0 0 функцио-
нала Ляпунова–Красовского (5) и величина 0 были таковы, чтобы выполня-
лись условия (7), (8) и матрица
1
44
1
34
1
34
1
33
211 ],,,,,[
~
ss
ss
gghS
1
24
1
11
1
24
1
12
1
14
1
14
1
12
1
24
1
22
1
14
1
13
1
12
1
24
1
12
1
14
1
13
1
12
1
24
1
12
1
14
1
22
21
13
21
12
1
22
1
11 )()()(
)()(
)(
1
sssssssssssssss
sssssss
sss
была положительно определенной.
Доказательство. Представим матрицу ],,,,,[ 211 gghS в виде
,
)(
],,,,,[
1
22
T1
12
1
12
1
11
211
SS
SS
gghS ,
1
22
1
12
1
12
1
111
11
ss
ss
S ,
0 1
24
1
14
1
131
12
s
ss
S .
1
44
1
34
1
34
1
331
22
ss
ss
S
Тогда согласно утверждению 1 для положительной определенности матрицы
],,,,,[ 211 gghS необходимо и достаточно, чтобы были положительно опре-
деленными матрицы
1
11S и ,)()( 1
12
11
11
T1
12
1
22 SSSS т.е. выполнялись неравенства
(7), (8) и была положительно определенной матрица
.
0
0
)(
1
],,,,,[
~
1
24
1
14
1
13
1
11
1
12
1
12
1
22
1
24
1
14
1
13
21
12
1
22
1
11
1
44
1
34
1
34
1
33
211
s
ss
ss
ss
ss
s
sssss
ss
gghS
Раскрыв произведение матриц, получим требуемое утверждение.
Предположим, что процесс регулирования (4) не является абсолютно устой-
чивым или не найдены параметры ,0h ,01 g ,02 g ,0 ,0 при кото-
рых выполняется система неравенств (7)–(10) (либо условия леммы 1). Рассмот-
рим задачу стабилизации, т.е. нахождения параметров ,1c 2c управления ),(tu
при которых уравнение
),())(()()()]()([ 21 tutbftxatxatdxtx
dt
d
)()()( 21 txctxctu (11)
с обратной связью уже будет асимптотически устойчивым. Перепишем уравне-
ние (11) в виде
)),(()()()()()]()([ 2211 tbftxcatxcatdxtx
dt
d
).()( tcxt (12)
В этом случае матрица, определяющая полную производную функционала вдоль
решений, будет иметь вид
,
0
0
],,,,,,,[
1
44
1
34
2
24
2
14
1
34
1
33
2
13
2
24
2
22
2
12
2
14
2
13
2
12
2
11
21212
ssss
sss
sss
ssss
ccgghS (13)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 6 27
,)2(2 2
2
111
1
11
2
11 gcachcss ,)( 22112212
1
12
2
12 gcccacahcss
,)( 21
1
13
2
13 dccss ,
2
1
12
1
14
2
14 ccbgss
,)2( 2
2
222
1
22
2
22 gccass .
2
1
22
1
24
2
24
cbgass (14)
Нахождение условий стабилизации (вариант 1). Как следует из критерия
Сильвестра [20, 21], необходимым и достаточным условием положительной опре-
деленности матрицы ],,,,,,,[ 21212 ccgghS является положительность глав-
ных диагональных миноров, т.е.
,0)2(2 2
2
111
1
11
2
1 gcachcs (15)
)]2(][)2(2[ 2
222
1
222
2
111
1
112
22
2
12
2
12
2
112
2 ccasgcachcs
ss
ss
,0)]([ 2112212
1
12 cccacahcs (16)
1
33
2
222
1
222
2
111
1
11
2
33
2
13
2
22
2
12
2
13
2
12
2
11
2
3 )]2(][)2(2[
0
0 sccasgcachcs
ss
ss
sss
])2([])([ 2
2
222
1
22
2
21
1
13 gccasdccs
,0)]([ 1
33
2
2112212
1
12 scccacahcs (17)
])()([
0
0 22
34
2
33
22
24
2
44
2
33
2
22
2
11
1
44
1
34
2
24
2
14
1
34
1
33
2
13
2
24
2
22
2
12
2
14
2
13
2
12
2
11
2
4 sssssss
ssss
sss
sss
ssss
])([ 2
12
22
34
2
24
2
34
2
13
2
44
2
33
2
12
2
12 sssssssss
])([ 2
34
2
24
2
12
2
44
2
22
2
13
22
24
2
14
2
34
2
22
2
13 sssssssssss
.0][ 2
24
2
33
2
12
2
34
2
22
2
13
2
14
2
33
2
22
2
14 ssssssssss (18)
В неравенстве (18) зависимости 2
ijs определяются по (14).
Задача стабилизации состоит в нахождении параметров ,1c ,2c при которых
уравнение (12) будет абсолютно устойчивым. Область изменения параметров ,1c ,2c
при которых процесс регулирования (12) абсолютно устойчив определяется неравен-
ствами (15)–(18) в пространстве изменения параметров ),( 21 cc управления ).(tu
Нахождение условий стабилизации (вариант 2). Если использовать резуль-
таты леммы 1, то условия положительной определенности можно сформулировать
следующим образом.
Лемма 2. Для того чтобы процесс регулирования (4) был стабилизируем, до-
статочно, чтобы нашлись постоянные ,1c ,2c ,01 g ,02 g при которых бы
выполнялись неравенства (15), (16) и матрица
28 ISSN 0572-2691
2
44
2
34
2
34
2
33
212 ],,,,,[
~
ss
ss
gghS
2
24
2
11
2
24
2
12
2
14
2
14
2
12
2
24
2
22
2
14
2
13
2
12
2
24
2
12
2
14
2
13
2
12
2
24
2
12
2
14
2
22
22
13
22
12
2
22
2
11 )()()(
)()(
)(
1
sssssssssssssss
sssssss
sss
была бы положительно определенной.
Вернемся к рассмотрению нелинейной системы прямого регулирования (1).
Обозначим
,
)()()(
)(
)(
],,,,,[
3
44
T3
34
T3
24
T3
14
3
34
3
33
T3
13
3
24
3
22
T3
12
3
14
3
13
3
12
3
11
213
SSSS
SSS
SSS
SSSS
GGHS (19)
,2
T
1
T3
11 AGAGHAHAS ,2
T3
12 BGAHBS
,)( T3
13 DBAHDS ,)(
2
1 T
2
T3
14 cIAbGAHbS
,2
T
1
3
22 BGBGeS
,
2
1
2
T3
24
cbGBS
,2
T
2
3
33 DGDGeS ,
2
1
2
T3
34
cbGDS ,
1T
2
T3
44
k
bcbGbS (20)
— нулевая матрица, I — единичная матрица, .
Условия абсолютной устойчивости, сформулированные в работах [13–16],
имеют следующий вид.
Теорема 2. Пусть существуют положительно определенные матрицы ,1G
,2G H и параметры ,0 0 функционала Ляпунова–Красовского (3), а также
0 такие, что матрица ],,,,,[ 213 GGHS положительно определенная. То-
гда система регулирования (1) абсолютно устойчива в метрике 1C для произ-
вольного запаздывания .0
Для проверки абсолютной устойчивости системы (1) требуется вычислить
матрицу ],,,,,[ 213 GGHS и проверить ее положительную определенность.
Для проверки положительной определенности можно воспользоваться критерием
Гурвица [20, 21].
Матрица ],,,,,[ 213 GGHS имеет достаточно большую размерность. По-
этому, воспользовавшись результатами утверждений 1 и 2, получим следующее.
Представим матрицу ],,,,,[ 213 GGHS так:
,~
)
~
(
~~
],,,,,[
3
22
T3
12
3
12
3
11
213
SS
SS
GGHS
,
)(
~
3
22
T3
12
3
12
3
113
11
SS
SS
S ,
~
3
24
3
14
3
133
12
S
SS
S .
)(
~
3
44
T3
34
3
34
3
333
22
SS
SS
S
Лемма 3. Для того чтобы система регулирования (3) была абсолютно устой-
чивой, достаточно, чтобы положительно определенные матрицы ,1G ,2G H, по-
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 6 29
стоянные ,0 0 функционала Ляпунова–Красовского (3) и величина 0
были таковыми, чтобы матрицы 3
11
~
S и 3
12
13
11
T3
12
3
22
~
)
~
()
~
(
~
SSSS были положитель-
но определенными.
Таким образом, проверка абсолютной устойчивости сводится к проверке по-
ложительной определенности двух матриц n-го порядка. Для вычисления обрат-
ной матрицы 13
11)
~
( S можно воспользоваться утверждением 2, а лемму 3 пере-
формулировать в более конструктивном с вычислительной точки зрения виде.
Лемма 4. Для того чтобы система регулирования (3) была абсолютно устой-
чивой, достаточно, чтобы положительно определенные матрицы ,1G ,2G H, по-
стоянные ,0 0 функционала Ляпунова–Красовского (3) и величина 0
были таковыми, чтобы матрицы 3
11
~
S и
113
11
2
12
1
13
12
13
11
13
11
3
12
13
12
13
11
13
11
T
3
24
3
14
3
13
3
44
T3
34
3
34
3
33
)(
)()()()(
)( RSSR
RSSSSRSSS
S
SS
SS
SS
S
,
T
3
24
3
14
3
13
S
SS
3
12
13
11
3
12
3
22 )( SSSSR
были положительно определенными.
Пусть не существуют (или не найдены) матрицы ,1G ,2G H и параметры
,0 0 функционала (3), при которых выполняются условия теоремы 2. То-
гда возникает задача стабилизации, т.е. построения обратной связи в виде управ-
ления ),(tu при котором система
)),(()()()()]()([ tbftutBxtAxtDxtx
dt
d
),()()( 21 txCtxCtu ),()( T txct 0t (21)
будет абсолютно устойчивой.
Перепишем систему (21) в виде
)).(()()()()()]()([ 21 tbftxCDtxCAtDxtx
dt
d
(22)
Введем следующую матрицу:
,
)()()(
)(
)(
],,,,,,,[
3
44
T3
34
T4
24
T4
14
3
34
3
33
T4
13
4
24
4
22
T4
12
4
14
4
13
4
12
4
11
21214
SSSS
SSS
SSS
SSSS
CCGGHS
,12
T
112
T
2
T
11
T
1
3
11
4
11 CGCCGAAGCHCHCSS
,22
T
122
T
2
T
12
3
12
4
12 CGCCGABGCHCSS
,)( T
21
3
13
4
13 DCCSS ,
2
1 T
122
T
1
3
14
4
14 cCbGCSS
,22
T
222
T
2
T
2
3
22
4
22 CGCCGBBGCSS ,
2
1
2
T
2
3
24
4
24
cbGCSS
— нулевая матрица.
30 ISSN 0572-2691
Условия стабилизации будут иметь следующий вид.
Лемма 5. Для того чтобы система регулирования (1) была стабилизируе-
мой, достаточно, чтобы нашлись матрицы 1C и ,2C при которых матрица
],,,,,,,[ 21214 CCGGHS была положительно определенной.
С использованием утверждений 1 и 2 проверку положительной определенно-
сти матрицы ],,,,,,,[ 21214 CCGGHS можно заменить проверкой положи-
тельной определенности двух матриц меньшей размерности.
Представим матрицу ],,,,,,,[ 21214 CCGGHS так:
,~
)
~
(
~~
],,,,,,,[
4
22
T4
12
4
12
4
11
21214
SS
SS
CCGGHS
,
)(
~
4
22
T4
12
4
12
4
114
11
SS
SS
S ,
~
4
24
4
14
4
134
12
S
SS
S .
)(
~
4
44
T4
34
4
34
4
334
22
SS
SS
S
Лемма 6. Для того чтобы система регулирования (1) была стабилизируемой,
достаточно, чтобы существовали матрицы 1C и 2C такие, чтобы матрицы 4
11
~
S
и
4
12
14
11
T4
12
4
22
~
)
~
()
~
(
~
SSSS были положительно определенными.
Замечание. Доказательства лемм 2–6 идеологически и технически подобны до-
казательству леммы 1, поэтому с целью экономии места они в работе не приведены.
Заключение
В работе рассмотрены системы регулирования, описываемые дифференци-
ально-разностными уравнениями с последействием нейтрального типа. Предпола-
гается, что решение системы не является абсолютно устойчивым. На основании
прямого метода Ляпунова, с использованием функционала Ляпунова–Красов-
ского, приведено решение задачи стабилизации системы до состояния абсолют-
ной устойчивости. Стабилизация проводится с использованием управления в виде
обратной связи по текущим фазовым координатам и координатам с запаздывани-
ем. Результаты сформулированы в виде конструктивных матричных алгебраиче-
ских неравенств.
А.В. Шатирко, Д.Я. Хусаінов
ПРО ОДИН МЕТОД СТАБІЛІЗАЦІЇ В СИСТЕМАХ
ПРЯМОГО РЕГУЛЮВАННЯ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПУ
На основі прямого методу Ляпунова з використанням функціонала Ляпунова–
Красовського розглянуто задачу стабілізації до стану абсолютної стійкості не-
лінійних процесів прямого регулювання нейтрального типу. Результати сфор-
мульовано у вигляді матричних алгебраїчних нерівностей.
A.V. Shatyrko, D.Ya. Khusainov
ON ONE STABILIZATION METHOD AT NEUTRAL
TYPE DIRECT CONTROL SYSTEMS
By employing the direct Lyapunov method, using Lyapunov–Krasovskii functional
approach, stabilization problem of nonlinear Lurie-type direct control systems of
neutral type is considered. Conditions are constructed in terms of matrix algebraic in-
equalities.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 6 31
1. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. — М.;
Л. : Гостехиздат, 1951. — 251 с.
2. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. — М. :
Изд-во АН СССР, 1963. — 261 с.
3. Пятницкий Е.С. Новые исследования по абсолютной устойчивости систем автоматическо-
го регулирования // Автоматика и телемеханика. — 1968. — № 6. — С. 5–36.
4. Баркин А.И. Оценки качества нелинейных систем регулирования. — М. : Наука, 1982. —
256 с.
5. Баркин А.И. Абсолютная устойчивость систем управления. — М. : Книжный дом «Либро-
ком», 2012. — 176 с.
6. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным
состоянием равновесия. — М. : Наука, 1978. — 400 с.
7. Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределенности: гарантированные результаты в
задачах управления и идентификации. — Киев : Наук. думка, 2006. — 264 с.
8. Chukwu E.N. Stability and time-optimal control of hereditary systems with application to the eco-
nomics dynamics of US. — 2nd Edition. — World Sc. Publ. Co., 2001. — 495 p.
9. Liao X., Yu P. Absolute stability of nonlinear control systems. — New York : Springer Science +
Business Media B.V., 2008. — 390 p.
10. Кореневский Д.Г. Устойчивость динамических систем при случайных возмущениях пара-
метров. Алгебраические критерии. — Киев : Наук. думка, 1989. — 208 с.
11. Хусаинов Д.Я., Шатырко А.В. Метод функций Ляпунова в исследовании устойчивости
дифференциально-функциональных систем. — Киев : Изд-во Киев. ун-та, 1997. — 236 с.
12. Шатирко А.В. Хусаінов Д.Я. Дослідження інтервальної стійкості диференціальних систем
регулювання із запізненням за допомогою функціоналів Ляпунова–Красовського // Вісн.
Київ. нац. ун-ту імені Тараса Шевченка. Сер. Фіз.-мат. науки. — 2009. — Вип. 3.—
С. 212–221.
13. Шатирко А.В., Хусаінов Д.Я. Стійкість нелінійних систем регулювання з післядією. — Ки-
їв : ДП «Інформац.-аналіт. агентство», 2012. — 73 с.
14. Шатирко А.В., Хусаінов Д.Я. Абсолютна інтервальна стійкість диференціальних систем ре-
гулювання нейтрального типу // Зб. праць Ін-ту математики НАН України. Проблеми ди-
наміки та стійкості багатовимірних систем. — 2009. — 6, № 3. — С. 232–247.
15. Шатырко А.В. Абсолютная интервальная устойчивость систем регулирования нейтрально-
го типа // Доп. НАНУ. — 2011. — № 2. — С. 18–23.
16. Шатырко А.В., Хусаинов Д.Я. Исследование абсолютной устойчивости нелинейных систем
специального вида с последействием методом функций Ляпунова // Международный науч-
но-технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2011. — № 4. —
С. 7–20.
17. Liu Mei-gin. Stability analysis of neutral type nonlinear delayed systems: an LMI approach //
J. Zhejiang University. Sci. A. — 2006. — N 7. — P. 237–244.
18. Shatyrko A., Diblik J., Khusainov D., Ruzickova M. Stabilization of Lur’e-type nonlinear control
systems by Lyapunov–Krasovskii functionals // Advances in Difference Equations. — doi:
10.1186/1687-1847-2012:229.
19. Dong Y., Liu J. Exponential stabilization of uncertain nonlinear time-delay systems // Ibid. —
doi:10.1186/1687-1847-2012:180.
20. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. — М. : Мир, 1989. — 655 с.
21. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М. : Наука, 1968. — 552 с.
Получено 02.04.2013
Статья представлена к публикации членом редколлегии чл.-корр. НАН Украины А.А. Чикрием.
|