Об использовании метода Шура для решения одностороннего квадратного матричного уравнения

Запропоновано алгоритм побудови розв’язку одностороннього квадратного матричного рівняння. Алгоритм базується на перетворенні Келі матричної в’язки і алгоритмі Шура, який використовується для знаходження розв’язку алгебраїчного рівняння Ріккаті. Даний алгоритм дозволяє знаходити розв’язок і у випадк...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2014
1. Verfasser:	Ларин, В.Б.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2014
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Проблемы динамики управляемых систем
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207707
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Об использовании метода Шура для решения одностороннего квадратного матричного уравнения / В.Б. Ларин // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 1. — С. 5-11. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-207707
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2077072025-10-14T00:20:19Z Об использовании метода Шура для решения одностороннего квадратного матричного уравнения Про використання методу Шура для вирішення одностороннього квадратного матричного рівняння On the use of Schur method for solving the unilateral quadratic matrix equation Ларин, В.Б. Проблемы динамики управляемых систем Запропоновано алгоритм побудови розв’язку одностороннього квадратного матричного рівняння. Алгоритм базується на перетворенні Келі матричної в’язки і алгоритмі Шура, який використовується для знаходження розв’язку алгебраїчного рівняння Ріккаті. Даний алгоритм дозволяє знаходити розв’язок і у випадку виродженої матриці, яка є коефіцієнтом при старшому степені цього рівняння. Як показано на прикладі, запропонований алгоритм ефективний і у випадку, коли всі матричні коефіцієнти цього рівняння є виродженими. Ефективність алгоритму демонструється на прикладах, які розглядалися іншими авторами. The algorithm for solving the unilateral quadratic matrix equation is offered. The algorithm is based on the Cayley transformation of the matrix pencil and Schur method, usually used for finding solution of the algebraic Riccati equation. The given algorithm allows to find solution also in the case of singular matrix, which is coefficient at the higher degree of this equation. As shown, by example, the offered algorithm is effective also in the case when all coefficients of this equation are singular matrices. Efficiency of algorithm is shown on the examples which were considered by other authors. 2014 Article Об использовании метода Шура для решения одностороннего квадратного матричного уравнения / В.Б. Ларин // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 1. — С. 5-11. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207707 62-502 10.1615/JAutomatInfScien.v46.i1.10 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем
spellingShingle	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Ларин, В.Б. Об использовании метода Шура для решения одностороннего квадратного матричного уравнения Проблемы управления и информатики
description	Запропоновано алгоритм побудови розв’язку одностороннього квадратного матричного рівняння. Алгоритм базується на перетворенні Келі матричної в’язки і алгоритмі Шура, який використовується для знаходження розв’язку алгебраїчного рівняння Ріккаті. Даний алгоритм дозволяє знаходити розв’язок і у випадку виродженої матриці, яка є коефіцієнтом при старшому степені цього рівняння. Як показано на прикладі, запропонований алгоритм ефективний і у випадку, коли всі матричні коефіцієнти цього рівняння є виродженими. Ефективність алгоритму демонструється на прикладах, які розглядалися іншими авторами.
format	Article
author	Ларин, В.Б.
author_facet	Ларин, В.Б.
author_sort	Ларин, В.Б.
title	Об использовании метода Шура для решения одностороннего квадратного матричного уравнения
title_short	Об использовании метода Шура для решения одностороннего квадратного матричного уравнения
title_full	Об использовании метода Шура для решения одностороннего квадратного матричного уравнения
title_fullStr	Об использовании метода Шура для решения одностороннего квадратного матричного уравнения
title_full_unstemmed	Об использовании метода Шура для решения одностороннего квадратного матричного уравнения
title_sort	об использовании метода шура для решения одностороннего квадратного матричного уравнения
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Проблемы динамики управляемых систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207707
citation_txt	Об использовании метода Шура для решения одностороннего квадратного матричного уравнения / В.Б. Ларин // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 1. — С. 5-11. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT larinvb obispolʹzovaniimetodašuradlârešeniâodnostoronnegokvadratnogomatričnogouravneniâ AT larinvb provikoristannâmetodušuradlâviríšennâodnostoronnʹogokvadratnogomatričnogorívnânnâ AT larinvb ontheuseofschurmethodforsolvingtheunilateralquadraticmatrixequation
first_indexed	2025-10-14T01:04:11Z
last_indexed	2025-10-15T01:12:07Z
_version_	1846008324672192512
fulltext	© В.Б. ЛАРИН, 2014 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 1 5 ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ УДК 62-502 В.Б. Ларин ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ МЕТОДА ШУРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОДНОСТОРОННЕГО КВАДРАТНОГО МАТРИЧНОГО УРАВНЕНИЯ Введение Различные прикладные задачи [1–3] связаны с теорией колебаний. Здесь следует отметить теорию сильно демпфированных систем [4], в которой центральное место занимают вопросы нахождения корней матричного (или операторного [4]) уравнения .001 2 2  AXAXA (1) В [5] матричное уравнение (1) называется односторонним квадратным мат- ричным уравнением (ОКМУ). Естественно, что в разных задачах могут представ- лять интерес те или иные решения (1). В связи с этим, как и в [4], сопоставим уравнению (1) матричный пучок .)( 01 2 2 AAAL  (2) Пусть ,2 IA  где I — единичная матрица соответствующего размера. Корень )( 1X уравнения (1) позволяет разложить пучок (2) на множители: ).)(()( 11 XIXIL   (3) Как отмечено в [4], при рассмотрении сильно демпфированных пучков матрица 111 XAX   уже не будет корнем уравнения (1). Однако если ,0T 00  AA ,0T 11  AA то вместе с матрицей 1X корнем уравнения (1) будет и матрица ,T 112 XAX  т.е. имеет место соотношение .0T 211  XXA (4) Здесь и далее верхний индекс «Т» означает транспонирование. Как показано в [4], в рассматриваемом случае справедливо и соотношение .01 T 20  XXA (5) В [4] отмечается, что соотношения (4), (5) можно интерпретировать как аналог теоремы Виета для скалярного квадратного уравнения. Рассмотрим случай [6], когда матрицы в (1) действительные и ,2 IA  ,0T 00  AA но .T 11 AA  Кроме того, предположим, что пучок (2) не имеет действительных собственных значений. Покажем, что пучок (2) можно фактори- зовать относительно действительной оси следующим образом: ).)(()( 1 * 21 XIXIL  (6) В (6) матрица 1X является корнем уравнения (1) и ее собственные значения рас- положены в верхней полуплоскости (как будет показано ниже, матрица 2X также 6 ISSN 0572-2691 является корнем (1)), верхний индекс «» означает операцию Эрмитового сопря- жения (транспонирование и переход к комплексно-сопряженным величинам). От- метим, что, вследствие свойств матрицы ,1A пучок (2) не изменить, если заме- нить  на –, а матрицы ,1A 0A — на матрицы ,* 1A :* 0A .)()( 01 2* 0 * 1 2 01 2 AAIAAIAAIL  (7) Таким образом, согласно (6), (7) ).)(())(()( 2 * 11 * 2 XIXIXIXIL  (8) Сравнивая (8) с (2), можно получить следующие соотношения [6]: .0 ,0 1 * 20 * 211   XXA XXA (9) Легко убедиться в том, что матрица 2X является корнем (1). Согласно (9) имеем . ,0 12 * 1 01 * 1 AXX AXX   (10) Подставив выражение для * 1X из второго соотношения (10) в первое, получим ,0021 2 2  AXAX т.е. 2X является корнем (1). Поэтому соотношение (9), как и соотношения (4), (5), можно рассматривать как некоторые аналоги соответствующих равенств для ска- лярного квадратного уравнения, составляющих содержание теоремы Виета. Эти соотношения, в частности, могут использоваться для оценки точности вычисле- ния корней уравнения (1) ( см. [6, пример 1], [7, табл. 2]). В [5] описывается широкий круг задач управления, в которых необходимо найти решение ОКМУ. В частности, в [5] показано, что нахождение решения не- симметричного матричного алгебраического уравнения Риккати (НАУР) 0ˆ  QYABYYDY (11) может быть сведено к нахождению решения (1), в котором , 0 0 0        Q A A , 01          B DI A , 0 00 2         I A так как в этом случае решения (1), (11) связаны следующим соотношением: . 0 0         Y DYA X Здесь и далее 0 — нулевая матрица соответствующего размера. Отметим, что со- гласно [5] заслуживают внимания решения (11), при которых соответственные значения матрицы DYA расположены в правой полуплоскости. Для нахождения решения (1) предложен ряд алгоритмов [5–13]. Так, в [11] для нахождения решения (1) используется метод Шура [14–16]. Однако в [11] пред- полагается, что в (1) матрица 2A имеет обратную. Ниже будет использовано пре- образование Кэли матричного пучка [17], что позволит снять требование обрати- мости матрицы .2A Предположим, что все собственные значения пучка (2) дейст- вительные (этот случай имеет место, например, в важной прикладной задаче (см. лемму 1.2 [18])). В соответствии со сделанным выше замечанием, при по- строении решения (11) отыщем то решение (1), при котором собственные значе- ния матрицы DYA расположены в правой полуплоскости. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 1 7 Метод Шура Ряд алгоритмов нахождения корней (матриц X размера )nn матричных уравнений сводится к построению решения следующей системы: .S X I F X I M             (12) В (12) матрицы FM , (размера )22 nn определяются коэффициентами этих матричных уравнений. Спектр матрицы S (размера )nn определяется тем или иным набором n из 2n собственных значений матричного пучка .FM  (13) Другими словами, предполагается, как и в [5], что инвариантное подпространство пучка (13), соответствующее собственным значениям матрицы S, определяется столбцами матрицы .      X I Перепишем уравнение (1) в виде, аналогичном (12): . 0 0 0 102                          X I AA I X X I A I (14) Здесь и далее 0 — нулевая матрица соответствующего размера. Таким образом, в обозначениях (12) имеем         10 0 AA I M ,        20 0 A I F , .XS  (15) Пусть в (13) матрицы FM , определяются (15). Отметим, что если матрица 2A обратима, то для решения (1) можно использо- вать метод Шура [14–16]. В этом случае соотношение (14) можно записать так:             X I HX X I ,          1 1 20 1 2 0 AAAA I H . (16) Пусть ортогональная матрица U приводит матрицу H к верхней треугольной фор- ме (форме Шура), т.е. ,THUUT  (17) где T — верхняя треугольная матрица. Для нахождения того или иного реше- ния (1) необходимо, чтобы диагональные элементы матрицы T были упорядочены тем или иным способом, например по убыванию модуля (элемент )1,1(T матрицы T имеет максимальный модуль). Разобьем матрицы TU , на квадратные блоки:        2221 1211 UU UU U ,        22 1211 0 t tt T . В соответствии с (17), приняв во внимание, что ,T IUU  имеем 11 21 11 21 11 t U U U U H             или .1 1121 1 1111111 1121                UU I HUtU UU I (18) Сравнивая (16) и (18), получим соотношения, позволяющие находить решения (1): ,1 1121  UUX (19) .1 111111  UtUX (20) 8 ISSN 0572-2691 Отметим, что только (19) соответствует известному соотношению, которое ис- пользуется для нахождения решения алгебраического уравнения Риккати [14]. Для нахождения матриц из (19) в (20) можно использовать процедуры schur.m, schord.m пакета MATLAB. Случай вырожденной матрицы А2 Если предположить, что матрица 2A не имеет обратной, то для использова- ния метода Шура необходимо подвергнуть матричный пучок (13) преобразова- нию Кэли [17]. Предположим, что среди собственных значений )...,,( 21 n пуч- ка (13) нет комплексных. Построим преобразование Кэли пучка (13) с параметром : ).()( 1 FMFMZ   (21) Параметр  в (21) удовлетворяет соотношению ,0 где  — максимальное конечное собственное значение пучка (13). Отметим, что при таком выборе пара- метра  )(  матрица )( FM  имеет обратную. Таким образом, ,iz собст- венные значения матрицы Z, связаны с ,i собственными значениями матричного пучка (13), следующим образом: .    i i iz (22) Отметим, что если собственные значения i (исключая лежащие на бесконечно- сти) упорядочены так, что ,1 ii   то этой последовательности i будет соот- ветствовать последовательность ,iz такая что .1 ii zz  Другими словами, если, например, последовательность iz упорядочена с помощью процедуры sort(real).m пакета MATLAB так, что ,1 ii zz  то можно утверждать, что этой последова- тельности будет соответствовать последовательность .1 ii   Отметим, что в соотношении (19) используется только информация о собст- венных векторах, определяющих искомое подпространство, но не применяется информация о соответствующих собственных значениях. Это делает возможным использование (19) в нашей задаче, поскольку собственные значения матрицы Z и пучка (13) не совпадают. Такого рода сортировка собственных значений будет использована ниже для нахождения решения (1) с помощью метода Шура, в частности, для нахождения решения (11), при котором собственное значение матрицы DYA лежит в правой полуплоскости. Таким образом, можно сформулировать алгоритм нахождения решения (1). 1. Формирование, согласно (15), из матричных коэффициентов (1) матриц F, M. 2. Выбор величины параметра  ).(  3. Вычисление матрицы Z согласно (21). 4. Нахождение решения (1) с помощью метода Шура (соотношение (19)), описанного в предыдущем разделе (матрице Н соответствует матрица Z и т.д.). Для упорядочения диагональных элементов верхней треугольной матрицы (аналог матрицы Т в (17)) можно использовать процедуру sort(real).m пакета MATLAB (см. таблицу из примера 1). Примеры Пример 1. Матрицы из (1) вырожденные: , 00 01 2       A , 10 00 1        A . 55 55 0         A Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 1 9 При этих исходных данных, использовав для построения решения (1) описанный выше алгоритм, который базируется на методе Шура, получим следующее: . 55 10        X Собственные значения матрицы Х таковы: .3820,1;6180,3 21  Найденному решению соответствует следующее значение нормы невязки: .106,1nev 1501 2 2    X AXAXA Для иллюстрации описанного выше процесса сортировки собственных значений в таблице приведены собственные значения пуч- ка (13) ),( mE матрицы Z )( zE и результат )( uE сортировки последовательности zE процедуры sort(real).m пакета MATLAB (значение параметра  принято равным 5). Отметим, что, как следст- вие сингулярности матриц 1A в (1), использова- ние традиционных алгоритмов [5] в этом приме- ре проблематично. Пример 2 (Test 2 [8]). Матрицы из (11) имеют такой вид: , 31 13 10 3          A ,AB  , 11 11 10 3        D .DQ  (23) Как отмечено во введении, матрицы из (1) через исходные данные (23) выража- ются следующим образом: , 0 0 0        Q A A , 01          B DI A . 0 00 2         I A Собственные значения пучка (13) таковы: .0,0,0,0,104,104,Inf,Inf 33   В этом и последующих примерах принимается, что ,2,1  где  — максималь- ное (конечное) собственное значение пучка (13), т.е. в данном примере принято, что .108,4 3 Использовав описанный выше алгоритм, получим следующее выражение для матрицы Y: . 500,0500,0 500,0500,0       Y (24) Собственные значения )0040,0,000,0( 21  матрицы          0020,00020,0 0020,00020,0 DYA расположены в правой полуплоскости. Решению (24) соответствует величина не- вязки ,106,1nev 9 которая в этом и последующих примерах определяется, как и в [5], следующим соотношением: .nev      YABYQYDY QYABYYBY Таблица mE zE uE 1,3820 1 – 6,2361 3,6180 – 6,2361 – 1,7639 inf – 1,7639 – 1 0 – 1 1 10 ISSN 0572-2691 Как отмечено в [9], при использовании традиционных алгоритмов для решения этого примера, может потребоваться значительное число итераций (согласно [9, табл. 5.2] число итераций может достигать ).105 4 Пример 3 (Test 3 [8]). Исходные данные определяются матрицами (23), за исключением матрицы В, которая принимается в таком виде: . 002,100100 100002,100         B Результаты аналогичны полученным в примере 2. Так, полученному решению со- ответствует .103,1nev 9 Пример 4 (Test 1 [5]). Матрицы ,,,, nnRQDBA  фигурирующие в (11), оп- ределяются следующими соотношениями: ,TqeDA  ,TeqB  ,TqqD  ,TeeQ  ,)1,,1,1( Te ,),,,( T 21 nqqqq  , 2 i i i c q              . )1( 1 где),,,,(diag , )1( 1 где),,,,(diag 21 21 i in i in c ddddD c   Предполагается, что ,10,10  c ,10 12  n ,1 1   i n i c ,0ic .,,2,1 ni  Как и в [5], выбираем ,10 10 .101 8c Принимаем ,15n , 1 n ci  ,1 i i ,8,0 ,7,0 .,1 ni  При этих исходных данных, используя метод Шура, получим решение (11), которому соответствует .103nev 9 Отметим, что использование в этом примере алгоритма [19] потребовало 4105  итераций для полу- чения решения, которому соответствует .105nev 10 Заключение Предложен алгоритм решения ОКМУ, который базируется на преобразовании Кэли матричного пучка и алгоритме Шура, обычно используемом для нахождения решения алгебраического уравнения Риккати. В отличие от метода Шура [11], дан- ный алгоритм позволяет находить решения ОКМУ в случае вырожденной матрицы, являющейся коэффициентом при старшей степени ОКМУ. Как показано на примере, предложенный алгоритм позволяет находить решения ОКМУ и в случае, когда все матричные коэффициенты ОКМУ являются вырожденными. Эффективность алго- ритма демонстрируется на примерах, которые рассматривались другими авторами. В.Б. Ларін ПРО ВИКОРИСТАННЯ МЕТОДУ ШУРА ДЛЯ ПОБУДОВИ РОЗВ’ЯЗКУ ОДНОСТОРОННЬОГО КВАДРАТНОГО МАТРИЧНОГО РІВНЯННЯ Запропоновано алгоритм побудови розв’язку одностороннього квадратного матричного рівняння. Алгоритм базується на перетворенні Келі матричної в’язки і алгоритмі Шура, який використовується для знаходження розв’язку алгебра- їчного рівняння Ріккаті. Даний алгоритм дозволяє знаходити розв’язок і у випад- ку виродженої матриці, яка є коефіцієнтом при старшому степені цього рівняння. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 1 11 Як показано на прикладі, запропонований алгоритм ефективний і у випадку, коли всі матричні коефіцієнти цього рівняння є виродженими. Ефективність ал- горитму демонструється на прикладах, які розглядалися іншими авторами. V.B. Larin ON THE USE OF SCHUR METHOD FOR SOLVING THE UNILATERAL QUADRATIC MATRIX EQUATION The algorithm for solving the unilateral quadratic matrix equation is offered. The al- gorithm is based on the Cayley transformation of the matrix pencil and Schur meth- od, usually used for finding solution of the algebraic Riccati equation. The given al- gorithm allows to find solution also in the case of singular matrix, which is coeffi- cient at the higher degree of this equation. As shown, by example, the offered algorithm is effective also in the case when all coefficients of this equation are singu- lar matrices. Efficiency of algorithm is shown on the examples which were consid- ered by other authors. 1. Barsegyan V.P., Movsisyan L.A. Optimal control of the vibration of elastic systems described by the wave equation // Int. Appl. Mech. — 2012. — 48, N 2. — P. 234–240. 2. Kirichok I.F. Forced resonant vibrations and self-heating of a flexible circular plate with piezoactuators // Ibid. — 2012. — 48, N 5. — P. 583–591. 3. Shui’ga N.A., Levchenko V.V., Makievskii O.I. Nonaxisymmetric electroelastic vibrations of piezoceramic ring plates with radially cut electrodes // Ibid. — 2012. — 48, N 4. — P. 438–446. 4. Крейн М.Г. Введение в геометрию индефинитных J-пространств и теорию операторов в этих пространствах // Вторая летняя математическая школа. — 1965. — Вып. I. — C. 15–92. 5. Bini D.A., Meini B., Poloni F. Transforming algebraic Riccati equations into unilateral quadratic matrix equations // Numer. Math. — 2010. — 116. — P. 553–578. 6. Ларин В.Б. Решения одностороннего квадратного матричного уравнения в случае ком- плексных значений соответствующего матричного пучка // Международный научно-техни- ческий журнал «Проблемы управления и информатики». — 2013. — № 3. — С. 5–15. 7. Ларин В.Б. О нахождении решения одностороннего квадратного матричного уравнения // Там же. — 2011. — № 6. — С. 16–24. 8. Bini D., Iannazzo D., Latouche G., Mein D. On the solution of algebraic Riccati equations arising in fluid queues // Linear Algebra and its Applications. — 2006. — 413. — P. 474–494. 9. Kitching C. Return probabilities for stochastic fluid flows / The University of Melbourne, Department of Mathematics and Statistics, Honours Thesis, November — 2006. — 132 p. 10. Larin V.B. The unilateral quadratic matrix equation and problem of updating of parameters of model // TWMS Journ. Pure Appl. Math. — 2012. — 3, N 2. — Р. 202–209. 11. Larin V.B. The unilateral quadratic matrix equation and problem of eigensensitivities of matrices // Appl. Comput. Math. — 2012. — 11, N 3. — Р. 337–347. 12. Алиев Ф.А., Ларин В.Б. Алгоритм решения одностороннего квадратного матричного урав- нения, базирующийся на соотношении Баса // Докл. НАН Азербайджана. — 2012. — № 5. — С. 19–25. 13. Aliev F.A., Larin V.B. Algorithm based on the Bass relation for solving the unilateral quadratic matrix equation // Appl. Comput. Math. — 2013. — 12, N 1. — P. 3–7. 14. Laub A.J. A Schur method for solving algebraic Riccati equations // IEEE Trans. Automat. Contr. — 1979. — 24. — P. 913–921. 15. Aliev F.A., Bordyug B.A., Larin V.B. Comments on a stability-enhancing scaling procedure for Schur–Riccati solvers // Systems & Control Letters. — 1990. — 14. — 453 p. 16. Aliev F.A., Larin V.B. Optimization of linear control systems: analytical methods and computa- tional algorithms. — Amsterdam : Gordon and Breach Science Publishers, 1998. — 261 p. 17. Алиев Ф.А., Бордюг Б.А., Ларин В.Б. Вычисление оптимального стационарного регулятора // Технич. кибернетика. — 1985. — № 2. — С. 143–151. 18. Juang J., Li W.-W. Nonsymmetric algebraic Riccati equations and Hamiltonian-like matrices // SIAM J. Matrix Anal. Appl. — 1998. — 20, N 1. — P. 228–243. 19. Lu Lin-Zhang. Solution form and simple iteration of a nonsymmetric algebraic Riccati equation arising in transport theory // Ibid. — 2005. — 26, N 3. — P. 679–685. Получено 26.09.2013

Об использовании метода Шура для решения одностороннего квадратного матричного уравнения

Institution

Ähnliche Einträge