Матричное интегродифференциальное уравнение Риккати для параболической системы
Розглянуто проблему мінімізації квадратичного функціонала на розв’язках системи лінійних параболічних рівнянь. Одночасно керування входять як в праві частини рівнянь системи, так і в крайові умови. Для дослідження сформульованої задачі оптимізації застосовано метод множників Лагранжа. Такий підхід с...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Проблемы управления и информатики |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207708 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Матричное интегродифференциальное уравнение Риккати для параболической системы / М.М. Копец // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 1. — С. 12-22. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-207708 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2077082025-10-14T00:12:46Z Матричное интегродифференциальное уравнение Риккати для параболической системы Матричне інтегродиференціальне рівняння Ріккаті для параболічної системи Matrix integro-differential Riccati equation for parabolic system Копец, М.М. Проблемы динамики управляемых систем Розглянуто проблему мінімізації квадратичного функціонала на розв’язках системи лінійних параболічних рівнянь. Одночасно керування входять як в праві частини рівнянь системи, так і в крайові умови. Для дослідження сформульованої задачі оптимізації застосовано метод множників Лагранжа. Такий підхід сприяв отриманню необхідних умов оптимальності. На основі цих умов виведено матричне інтегродиференціальне рівняння Ріккаті з частинними похідними. The minimization problem of the quadratic functional on solutions of the system of linear parabolic equations is considered. Simultaneosly the controls are included both into the right parts of equations of the system, and in the boundary conditions. The method of Lagrange multipliers is applied to research of the formulated optimization problem. Such approach enables one to obtain the necessary optimality conditions. On the basis of these conditions the matrix integro-differential Riccati equation with the partial derivatives is deduced. 2014 Article Матричное интегродифференциальное уравнение Риккати для параболической системы / М.М. Копец // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 1. — С. 12-22. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207708 517.977.56 10.1615/JAutomatInfScien.v46.i1.80 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем |
| spellingShingle |
Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Копец, М.М. Матричное интегродифференциальное уравнение Риккати для параболической системы Проблемы управления и информатики |
| description |
Розглянуто проблему мінімізації квадратичного функціонала на розв’язках системи лінійних параболічних рівнянь. Одночасно керування входять як в праві частини рівнянь системи, так і в крайові умови. Для дослідження сформульованої задачі оптимізації застосовано метод множників Лагранжа. Такий підхід сприяв отриманню необхідних умов оптимальності. На основі цих умов виведено матричне інтегродиференціальне рівняння Ріккаті з частинними похідними. |
| format |
Article |
| author |
Копец, М.М. |
| author_facet |
Копец, М.М. |
| author_sort |
Копец, М.М. |
| title |
Матричное интегродифференциальное уравнение Риккати для параболической системы |
| title_short |
Матричное интегродифференциальное уравнение Риккати для параболической системы |
| title_full |
Матричное интегродифференциальное уравнение Риккати для параболической системы |
| title_fullStr |
Матричное интегродифференциальное уравнение Риккати для параболической системы |
| title_full_unstemmed |
Матричное интегродифференциальное уравнение Риккати для параболической системы |
| title_sort |
матричное интегродифференциальное уравнение риккати для параболической системы |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Проблемы динамики управляемых систем |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207708 |
| citation_txt |
Матричное интегродифференциальное уравнение Риккати для параболической системы / М.М. Копец // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 1. — С. 12-22. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT kopecmm matričnoeintegrodifferencialʹnoeuravnenierikkatidlâparaboličeskojsistemy AT kopecmm matričneíntegrodiferencíalʹnerívnânnâríkkatídlâparabolíčnoísistemi AT kopecmm matrixintegrodifferentialriccatiequationforparabolicsystem |
| first_indexed |
2025-10-14T01:04:15Z |
| last_indexed |
2025-10-15T01:06:20Z |
| _version_ |
1846007961461194752 |
| fulltext |
© М.М. КОПЕЦ, 2014
12 ISSN 0572-2691
УДК 517.977.56
М.М. Копец
МАТРИЧНОЕ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
УРАВНЕНИЕ РИККАТИ
ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
В теории оптимального управления линейно-квадратическая задача играет
весьма существенную роль. Она возникает при построении оптимального управле-
ния по принципу обратной связи [1], при нахождении оптимальных фильтров Кал-
мана–Бьюси [2], в теории дифференциальных игр [3]. С каждой такой задачей
непосредственно связано матричное дифференциальное или алгебраическое урав-
нение Риккати. В случае когда исследуются системы с сосредоточенными парамет-
рами, это уравнение изучено достаточно полно. Для систем с распределенными па-
раметрами ситуация не столь однозначна. Например, в [4] рассматриваются опера-
торные уравнения Риккати, исследуемые методами функционального анализа.
В работах [5, 6] данный вопрос не рассматривается. Линейно-квадратической задаче
оптимального управления процессом, описываемым системой линейных диффе-
ренциальных уравнений с частными производными параболического типа, посвя-
щена настоящая статья. Предполагается, что управления являются как распреде-
ленными, так и граничными (посредством граничных условий). С помощью метода
множителей Лагранжа для рассматриваемой задачи оптимизации получено матрич-
ное интегродифференциальное уравнение Риккати с частными производными.
Постановка задачи
Пусть управляемый процесс описывается следующей системой дифференци-
альных уравнений с частными производными:
),,(),(
),(),(),(
2
2
xtxt
x
xt
x
xt
t
xt
DuCz
z
B
z
A
z
(1)
где A, B, C — заданные квадратные матрицы размерности ,nn D — извест-
ная прямоугольная матрица размерности ,mn )(),( 2 nLxtz и )(),( 2 mLxtu —
соответственно n- и m-мерная вектор-функции состояния и управления, подле-
жащие определению, множество имеет вид ]},,0[],,[:),{( 10 lxtttxt
),(
),(
2
nL
t
xtz
),(
),(
2
nL
x
xtz
).(
),(
22
2
nL
x
xtz
Для системы уравнений (1) за-
даны начальное условие
)(),( 0 xxt fz (2)
и граничные условия
),()0,(
)0,(
tt
x
t
FvEz
z
),(),(
),(
tlt
x
lt
HwGz
z
(3)
где E, G — заданные квадратные матрицы размерности ,nn F, H — заданные пря-
моугольные матрицы размерностей 1mn и 2mn соответственно, ),,0()( 2 lLx nf
),()( 102
1 ttLt
m
v — 1m -мерная вектор-функция и ),()( 102
2 ttLt
m
w — 2m -мер-
ная вектор-функция (граничные управления), их также необходимо найти. Пере-
менная t обозначает время ),( 10 ttt x — пространственная переменная
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 1 13
),0( lx действительные числа ,00 t 01 t и 0l заданы. Рассмотрим сле-
дующий функционал:
dxxtxxtdtttttI
lt
t
),()(),(
2
1
)]()()()([
2
1
),,,( 1
0
1
TTT
1
0
zMzLwwKvvzwvu
.)],(),(),(),(),(),([
2
1 1
0 0
TT
t
t
l
dtdxxtxtxtxtxtxt uQuzNz (4)
Здесь K, L — заданные квадратные симметрические положительно-определенные
матрицы размерностей 11 mm и 22 mm соответственно, )(xM и ),( xtN — из-
вестные квадратные симметрические неотрицательно определенные матрицы раз-
мерности ,nn ),( xtQ — заданная квадратная симметрическая положительно-оп-
ределенная матрица размерности .mm Функции ),(),( 2 mLxtu ),,()( 102
1 ttLt
m
v
),()( 102
2 ttLt
m
w называются допустимыми управлениями. Для фиксированных
допустимых управлений под решением краевой задачи (1)–(3) понимаем ее обоб-
щенное решение. Задача оптимального управления (1)–(4) состоит в определении
допустимых управлений ),,( xtu ),(tv )(tw и соответствующего им решения
),( xtz задачи (1)–(3), на которых функционал (4) принимает наименьшее возмож-
ное значение.
Необходимые условия оптимальности
Решение сформулированной выше задачи оптимального управления (1)–(4)
ищем с помощью метода множителей Лагранжа [7, с. 31]. Согласно этому методу
рассматривается вспомогательный функционал
1
0
),()(),(
2
1
)]()()()([
2
1
),,,,( 1
0
1
TTT
t
t
l
dxxtxxtdtttttJ zMzLwwKvvzwvup
1
0 0
TT )],(),(),(),(),(),([
2
1
t
t
l
dxdtxtxtxtxtxtxt uQuzNz
dxdt
t
xt
xtxt
x
xt
x
xt
xt
t
t
l
),(
),(),(
),(),(
),(
2
2
0
T
1
0
z
DuCz
z
B
z
Ap
1
0
)()0,(
)0,(
)0,(
t
t
T dttt
x
t
t FvEz
z
Ap
1
0
,)(),(
),(
),(T
t
t
dttlt
x
lt
lt HwGz
z
Ap (5)
где ),( xtp — неизвестная n-мерная вектор-функция, именуемая множителем Лаг-
ранжа. Такой прием дает возможность свести задачу (1)–(4) на условный экстре-
мум к задаче минимизации функционала (5) с учетом условия (2). Затем следует
найти выражение J для приращения функционала (5)
).,,,,(),,,,( zwvupzzwwvvuupp JJJ
В развернутом виде последнее соотношение запишем следующим образом:
dtttttttttJ
t
t
])]()([)]()([)]()([)]()([[
2
1 TTTT
1
0
wwLwwvvKvv
14 ISSN 0572-2691
dxxtxtxxtxt
l
)],(),([)()],(),([
2
1
11
0
1
T
1
T
zzMzz
1
0 0
TT )],(),()[,()],(),([[
2
1
t
t
l
xtxtxtxtxt zzNzz
dxdtxtxtxtxtxt )]],(),()[,()],(),([ TT
uuQuu
2
2
2
2
T
0
T ),(),(
)],(),([
1
0
x
xt
x
xt
xtxt
t
t
l
zz
App
)],(),([
),(),(
xtxtC
x
xt
x
xt
zz
zz
B
dxdt
t
xt
t
xt
xtxt
),(),(
)],(),([
zz
uuD
1
0
])]0,()0,([
)0,()0,(
)]0,()0,([ TT
t
t
dttt
x
t
x
t
tt FzzE
zz
App
1
0
),(),(
)],(),([ TT
t
t
x
lt
x
lt
ltlt
zz
App
dtttltlt )]()([)],(),([ wwHzzG
lt
t
dxxtxxtdttttt
0
11
TTT ),()(),(
2
1
)]()()()([
2
1 1
0
zMzLwwKvv
dxdtxtxtxtxtxtxt
t
t
l
)],(),(),(),(),(),([
2
1 T
0
T
1
0
uQuzNz
dxdt
t
xt
xtxtz
x
xt
x
xt
xt
t
t
l
),(
),(),(
),(),(
),(
2
2
0
T
1
0
z
DuC
z
B
z
Ap
1
0
1
0
.)(),(
),(
),()()0,(
)0,(
)0,( TT
t
t
t
t
dttlt
x
lt
ltdttt
x
t
t HwGz
z
ApFvEz
z
Ap (6)
После раскрытия скобок и приведения подобных членов соотношение (6) примет
следующий вид:
dtttttdtttttJ
t
t
t
t
)]()()()([
2
)]()()()([
2
TTTT
1
0
1
0
LwwwLwKvvvKv
1
0 0
T
11
T
1
0
1
T ),(),(),([
2
)],()(),(),()(),([
2
t
t
ll
xtxtxtdxxtxxtxtxxt zNzzMzzMz
dxdtxtxtxtxtxtxtxtxtxt )],(),(),(),(),(),(),(),(),( TTT
uQuuQuzNz
dxdt
t
xt
xtxt
x
xt
x
xt
xt
t
t
l
),(
),(),(
),(),(
),(
2
2
0
T
1
0
z
uDzC
z
B
z
Ap
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 1 15
dxdt
t
xt
xtxt
x
xt
x
xt
xt
t
t
l
),(
),(),(
),(),(
),(
2
2
0
T
1
0
z
DuCz
z
B
z
Ap
1
0
)()0,(
)0,(
)0,(T
t
t
dttt
x
t
t vFzE
z
Ap
1
0
)()0,(
)0,(
)0,(T
t
t
dttt
x
t
t FvEz
z
Ap
1
0
)(),(
),(
),(T
t
t
dttlt
x
lt
lt wHzG
z
Ap
dxxtxxtdttttt
lt
t
),()(),(
2
)]()()()([
2
1
0
1
T
2
TT
2 1
0
zMzwLwvKv
dtdxxtxtxtxtxtxt
t
t
l1
0 0
TT
2
)],(),(),(),(),(),([
2
uQuzNz
dxdt
t
xt
xtxt
x
xt
x
xt
xt
t
t
l
),(
),(),(
),(),(
),(
2
2
0
T2
1
0
z
uDzC
z
B
z
Ap
1
0
)()0,(
)0,(
)0,(T2
t
t
dttt
x
t
t vFzE
z
Ap
1
0
.)(),(
),(
),(T2
t
t
dttlt
x
lt
lt HwzG
z
Ap (7)
Соотношение (7) можно упростить следующим образом. Поскольку справедливо
равенство
x
xt
x
xt
x
xt
x
xt ),(),(),(),(
2
2
2
2
zz
B
zz
A
,
),(),(
)],(),([)],(),([ 0
zz
uuDzzC
t
xt
t
xt
xtxtxtxt
то, принимая во внимание уравнение (1), приходим к очевидному соотношению:
.
),(
),(),(
),(),(
2
2
0
z
uDzC
z
B
z
A
t
xt
xtxt
x
xt
x
xt
(8)
Аналогично устанавливаем справедливость равенств
,)()0,(
)0,(
0vFzE
z
tt
x
t
.)(),(
),(
0wHzG
z
tlt
x
lt
(9)
Дважды применяя формулу интегрирования по частям, получаем
dt
x
lt
ltdxdt
x
xt
xt
t
t
t
t
l
),(
),(
),(
),(
1
0
1
0
T
2
2
0
T z
Ap
z
Ap
16 ISSN 0572-2691
dtdx
x
xt
x
xt
dt
x
t
t
t
t
lt
t
),(),()0,(
)0,(
1
0
1
0 0
T
T z
A
pz
Ap
dtttdttlt
t
t
t
t
)()0,()(),(
1
0
1
0
TT
vAFpwAHp
dtttdtltlt
t
t
t
t
)0,()0,(),(),(
1
0
1
0
TT
zAEpzAGp
dtdxxt
x
xt
dtt
x
t
dtlt
x
lt
t
t
lt
t
t
t
),(
),(
)0,(
)0,(
),(
),( 1
0
1
0
1
0 0
2
T2TT
zA
p
zA
p
zA
p
dtttdttlt
t
t
t
t
)()0,()(),(
1
0
1
0
TT
vAFpwAHp
dtltlt
x
lt
t
t
),(),(
),(1
0
T
T
zAGpA
p
.),(
),(
)0,()0,(
)0,( 1
0
1
0 0
2
T2
T
T
dtdxxt
x
xt
dttt
x
t
t
t
lt
t
zA
p
zAEpA
p
(10)
Подобным образом после однократного применения формулы интегрирования по
частям имеем
dtltltdxdt
x
xt
xt
t
t
t
t
l
),(),(
),(
),(
1
0
1
0
T
0
T
zBp
z
Bp
.),(
),(
)0,()0,(
1
0
1
0 0
T
T dxdtxt
x
xt
dttt
t
t
lt
t
zB
p
zBp
(11)
Поскольку ,)()(),( 0 0ffz xxxt аналогично приходим к следующему равенству:
dxxtxtdxdt
t
xt
xt
lt
t
l
),(),(
),(
),( 1
0
1
T
0
T
1
0
zp
z
p
dxdtxt
t
xt
dxxtxt
t
t
ll
),(
),(
),(),(
1
0 0
T
0
0
0
T
z
p
zp
.),(
),(
),(),(
1
0 0
T
1
0
1
T dxdtxt
t
xt
dxxtxt
t
t
ll
z
p
zp
(12)
Кроме того, очевидны такие равенства:
),,()(),(2),()(),(),()(),( 11
T
11
T
11
T xtxxtxtxxtxtxxt zMzzMzzMz (13)
),,(),(),(2),(),(),(),(),(),( TTT xtxtxtxtxtxtxtxtxt zNzzNzzNz (14)
),,(),(),(2),(),(),(),(),(),( TTT xtxtxtxtxtxtxtxtxt uQuuQuuQu (15)
),()(2)()()()( TTT tttttt vKvKvvvKv (16)
).()(2)()()()( TTT tttttt wLwLwwwLw (17)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 1 17
С учетом соотношений (8)–(17) выражение (7) примет вид
dttwltttttJ
t
t
)](]),()([)(])0,()([[ TTTT
1
0
AHpLwvAFpKv
dxxtxtxxt
l
)],(),()(),([ 11
T
0
1
T
zpMz
),(
),(),(),(
),(),(),(
2
T
0
2
T2T
TT
1
0
xt
t
xt
x
xt
x
xt
xtxtxt
t
t
l
z
p
A
p
B
p
CpNz
dxdtxtxtxtxt )],(]),(),(),([ TT
uDpQu
dxdt
t
xt
xtxt
x
xt
x
xt
xt
t
t
l
),(
),(),(
),(),(
),(
2
2
0
T
1
0
z
DuCz
z
B
z
Ap
1
0
),(),(),(
)),( TT
Tt
t
dtltltlt
x
lt
zBpAGpA
p
1
0
)0,()0,()0,(
)0,( TT
Tt
t
dtttt
x
t
zBpAEpA
p
1
0
)()0,(
)0,(
)0,(T
t
t
dttt
x
t
t FvEz
z
Ap
1
0
)(),(
),(
),(T
t
t
dttlt
x
lt
lt HwGz
z
Ap
dxxtxxtdttttt
lt
t
),()(),(
2
)]()()()([
2
1
0
1
T
2
TT
2 1
0
zMzwLwvKv
.)],(),(),(),(),(),([
2
1
0 0
TT
2
dtdxxtxtxtxtxtxt
t
t
l
uQuzNz (18)
На основании соотношения (18) можно сформулировать следующее утверждение.
Теорема 1. Единственные оптимальные управления ),,( xtu )(tv и )(tw оп-
ределяются из системы соотношений:
),,(),(
),(),(),(
2
2
xtxt
x
xt
x
xt
t
xt
DuCz
z
B
z
A
z
(19)
),(),( 0 xxt fz ),()0,(
)0,(
tt
x
t
FvEz
z
),(),(
),(
tlt
x
lt
HwGz
z
(20)
),,(),(),(
),(),(),( TT
2
2
T xtxtxt
x
xt
x
xt
t
xt
zNpC
p
B
p
A
p
(21)
18 ISSN 0572-2691
),0,(][
)0,( TTTT t
x
t
pAEB
p
A
),,(][
)),( TTTT lt
x
lt
pAGB
p
A
(22)
,)0,()( TT
0pAFKv tt ,),()( TT
0pAHLw ltt (23)
,),(),()( 11 0pzM xtxtx .),(),(),( T
0pDuQ xtxtxt (24)
Доказательство. Равенство нулю первой вариации функционала (5) является
необходимым условием экстремума этого функционала. Очевидно, что такое ус-
ловие будет выполнено, если коэффициенты при ),(tv ),(tw ),,( 1 xtz
),,( xtz ),,( xtu ),,(T xtp ),0,(T tp ),,(T ltp )0,(tz и ),( ltz равны нулю
одновременно. Присоединяя к этим равенствам начальное условие (2) и краевые
условия (3), получим систему соотношений (19)–(24). В случае выполнения ра-
венств (19)–(24) выражение (18) примет вид
dxxtxxtdtttttJ
lt
t
),()(),(
2
)]()()()([
2
1
0
1
T
2
TT
2 1
0
zMzwLwvKv
.)],(),(),(),(),(),([
2
1
0 0
TT
2
dtdxxtxtxtxtxtxt
t
t
l
uQuzNz (25)
При условии, что ),,( xtu ),(tv )(tw не равны нулю одновременно, в силу
свойств матриц K, L, ),( xtQ имеем .0J Это означает, что на управлениях
),,( xtu )(tv и )(tw реализуется минимум функционала (4). Предположим, что
управления ),,(),(),( xtxtxt uuu ),(),(),( xtxtxt vvv и ),(),( xtxt ww
),( xtw также являются оптимальными управлениями. Тогда они также долж-
ны удовлетворять соотношениям (19) и, кроме того, должно выполняться равен-
ство .0 J Но из соотношения (20) следует, что это равенство возможно только
тогда, когда одновременно ,),( 0u xt 0 )(tv и .)( 0w t Отсюда следует, что
),,(),( xtxt uu ),,(),( xtxt vv и ),(),( xtxt ww , и теорема 1 полностью доказана.
Вывод матричного интегродифференциального уравнения Риккати
На основании равенства ),()(),( 11 xtxxt zMp можно предположить сущест-
вование следующей зависимости между ),( xtp и :),( xtz
,),(),,(),(
0
dyytyxtxt
l
zRp (26)
где матричнозначную функцию ),,( yxtR требуется найти. Непосредственно из
(26) имеем
,),(
),,(),(
0
2
2
2
2
dyyt
x
yxt
x
xt
l
z
Rp
(27)
.
),(
),,(),(
),,(),(
0
dy
t
yt
yxtyt
t
yxt
t
xt
l
z
Rz
Rp
(28)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 1 19
Поскольку справедливо соотношение ,),(),(),( T
0pDuQ xtxtxt имеем
).,(),(),( T1 xtxtxt pDQu
(29)
С учетом соотношений (19), (26) и (29) получаем равенство
.),(),,(),(),(
),(),(),(
0
T1
2
2
dsstsytytyt
y
yt
y
yt
t
yt
l
zRDDQCz
z
B
z
A
z
Поэтому равенство (28) примет вид
y
yt
yxt
y
yt
yxtyt
t
yxt
t
xt l ),(
),,(
),(
),,(),(
),,(),(
0
2
2
z
BR
z
ARz
Rp
.),(),,(),(),,(),(),,(
0
T1 dydsstsytytyxtytyxt
l
zRDDQRCzR (30)
После двукратного применения формулы интегрирования по частям находим
y
t
xt
y
lt
lxtdy
y
yt
yxt
l
)0,(
)0,,(
),(
),,(
),(
),,(
0
2
2
z
AR
z
AR
z
AR
)],()()[,()(),,(
),(),,(
0
lttlttlxtdy
y
yt
y
yxt
l
GzHwGzAHwR
z
A
R
)0,(
)0,,(
),(
),,(
)]0,()([)0,,( t
y
xt
lt
y
lxt
ttxt Az
R
Az
R
EzFvAR
)(),,(),(
),,(
0
2
2
tyxtdyyt
y
yxt
l
AHwRAz
R
)()0,,(),(),,(
),,(
txtltlxt
y
lxt
AFvRzAGRA
R
.),(
),,(
)0,()0,,(
)0,,(
0
2
2
dyyt
y
yxt
txt
y
xt
l
Az
R
zAERA
R
(31)
Аналогично получаем следующее соотношение:
),(),,(
),(
),,(
0
ltlxtdy
y
yt
yxt
l
BzR
z
BR
.),(
),,(
)0,()0,,(
0
dyyt
y
yxt
txt
l
Bz
R
BzR
(32)
После этого в двойном интеграле dydsstsytytyxt
ll
),(),,(),(),,(
0
T1
0
zRDDQR
сначала меняем порядок интегрирования, затем переобозначаем переменные ин-
тегрирования y на s и, наоборот, s на .y В результате получаем
20 ISSN 0572-2691
dydsstsytytyxt
ll
),(),,(),(),,(
0
T1
0
zRDDQR
dsdystsytytyxt
l l
),(),,(),(),,(
0 0
T1
zRDDQR
.),(),,(),(),,(
0 0
T1 dyytdsyststsxt
l l
zDDQR (33)
Поскольку dyytytt
l
0
),(),0,()0,( zRp и ,),(),,(),(
0
dyytyltlt
l
zRp то на ос-
новании равенств )0,()( TT1 tt pAFKv
и ),()( TT1 ltt pAHLw
имеем )(tv
dyytyt
l
0
TT1 ),(),0,( zRAFK и dyytyltt
l
0
TT1 ),(),,()( zRAHLw соот-
ветственно. С учетом этих замечаний получаем такие соотношения:
,),(),0,()0,,()()0,,(
0
TT1 dyytytxttxt
l
zRAFAFKRAFvR (34)
.),(),,(),,()(),,(
0
TT1 dyytyltlxttlxt
l
zRAHAHLRAHwR (35)
Принимая во внимание соотношения (31)–(35), имеем возможность переписать
равенство (30) следующим образом:
CRB
R
A
RRp
),,(
),,(),,(),,(),(
0
2
2
yxt
y
yxt
y
yxt
t
yxt
t
xt l
),,(),,(),0,()0,,( TT1TT1 yltlxtytxt RAHAHLRRAFAFKR
dyytdsyststsxt
l
),(),,(),(),,(
0
T1
zRDDQR
)0,()0,,()0,,(
)0,,(
txtxt
y
xt
zAERBRA
R
).,(),,(),,(
),,(
ltlxtlxt
y
lxt
zAGRBRA
R
(36)
С другой стороны, на основании равенств (19), (21) и (22) имеем
x
yxt
x
yxt
t
xt l ),,(),,(),( T
0
2
2
T R
B
R
A
p
,),(),()(),,(T dyytytyxyxt zNRC
(37)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 1 21
где )(x — дельта-функция Дирака. Сравнивая соотношения (36) и (37), получаем
x
yxt
y
yxt
x
yxt
t
yxt ),,(),,(),,(),,( T
2
2
2
2
T R
BA
RR
A
R
CRRCB
R
),,(),,(
),,( T yxtyxt
y
yxt
),,(),,(),0,()0,,( TT1TT1 yltlxtytxt RAHAHLRRAFAFKR
,),,(),(),,(),()(
0
T1
0RDDQRN
dsyststsxtytyx
l
(38)
,)0,()0,,()0,,(
)0,,(
0zAERBRA
R
txtxt
y
xt
,),(),,(),,(
),,(
0zAGRBRA
R
ltlxtlxt
y
lxt
которые приводят к граничным условиям для матричнозначной функции :),,( yxtR
,)0,,()0,,(
)0,,(
0AERBRA
R
xtxt
y
xt
(39)
.),,(),,(
),,(
0AGRBRA
R
lxtlxt
y
lxt
(40)
Из условия ),()(),( 11 xtxxt zMp и соотношения (26) получим равенство
).()(),,( 1 yyxyxt MR (41)
В результате изложенного выше приходим к такому утверждению.
Теорема 2. Матричнозначная функция ),,( yxtR является решением матрич-
ного интегродифференциального уравнения (38), удовлетворяет граничным усло-
виям (39), (40) и дополнительному условию (41). Если известна функция
),,,( yxtR то для нахождения оптимальных управлений ),,( xtu )(tv и )(tw ис-
пользуем следующие формулы:
,),(),,(),(),(
0
T1 dyytyxtxtxt
l
zRDQu
,),(),0,()(
0
TT1 dyytytt
l
zRAFKv .),(),,()(
0
TT1 dyytyltt
l
zRAHLw
Основные результаты настоящей статьи могут использоваться при исследо-
вании задач оптимального управления процессами, описываемыми системами
линейных дифференциальных уравнений с частными производными параболиче-
ского типа. Особый интерес представляет численная реализация полученных
алгоритмов.
22 ISSN 0572-2691
М.М. Копець
МАТРИЧНЕ ІНТЕГРОДЕФЕРЕНЦІАЛЬНЕ РІВНЯННЯ
РІККАТІ ДЛЯ ПАРАБОЛІЧНОЇ СИСТЕМИ
Розглянуто проблему мінімізації квадратичного функціонала на розв’язках
системи лінійних параболічних рівнянь. Одночасно керування входять як
в праві частини рівнянь системи, так і в крайові умови. Для дослідження
сформульованої задачі оптимізації застосовано метод множників Лагранжа.
Такий підхід сприяв отриманню необхідних умов оптимальності. На основі
цих умов виведено матричне інтегродиференціальне рівняння Ріккаті з час-
тинними похідними.
M.M. Kopets
MATRIX INTEGRO-DIFFERENTIAL RICCATI
EQUATION FOR PARABOLIC SYSTEM
The minimization problem of the quadratic functional on solutions of the system of
linear parabolic equations is considered. Simultaneosly the controls are included both
into the right parts of equations of the system, and in the boundary conditions. The
method of Lagrange multipliers is applied to research of the formulated optimization
problem. Such approach enables one to obtain the necessary optimality conditions.
On the basis of these conditions the matrix integro-differential Riccati equation with
the partial derivatives is deduced.
1. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. — М. : Наука, 1976. —
424 с.
2. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. — М. : Наука, 1971. — 396 с.
3. Жуковский В.И., Чикрий А.А. Линейно-квадратичные дифференциальные игры. — Киев :
Наук. думка, 1994 — 320 с.
4. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными
производными. — М. : Мир, 1972. — 414 с.
5. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными парамет-
рами. — М. : Наука, 1965 — 476 с.
6. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. — М. :
Наука, 1975 — 568 с.
7. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. — М. : Наука,
1977 — 480 с.
Получено 09.07.2013
Статья представлена к публикации членом редколлегии чл.-корр. НАН Украины А.А. Чикрием.
|