Оценки основных характеристик алгоритмов вычисления частотной характеристики линейной стационарной модели объекта управления на некоторых классах функций
Побудовано ефективні за точністю алгоритми наближеного обчислення частотної характеристики лінійної моделі об’єктів керування з постійними параметрами на класах функцій різного степеня гладкості та отримано оцінки їх основних характеристик (точності та швидкодії). Розглянуто також найбільш наближені...
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2014
|
| Назва видання: | Проблемы управления и информатики |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207715 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оценки основных характеристик алгоритмов вычисления частотной характеристики линейной стационарной модели объекта управления на некоторых классах функций / В.К. Задирака, Е.Н. Коломыс, Л.В. Луц, С.С. Мельникова // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 1. — С. 97-110. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-207715 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2077152025-10-14T00:12:04Z Оценки основных характеристик алгоритмов вычисления частотной характеристики линейной стационарной модели объекта управления на некоторых классах функций Оцінки основних характеристик алгоритмів обчислення частотної характеристики лінійної стаціонарної моделі об'єкта управління на деяких класах функцій Estimation of basic algorithms for calculation of frequency characteristic of linear stationary model of controlled object on some classes of functions Задирака, В.К. Коломыс, Е.Н. Луц, Л.В. Мельникова, С.С. Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Побудовано ефективні за точністю алгоритми наближеного обчислення частотної характеристики лінійної моделі об’єктів керування з постійними параметрами на класах функцій різного степеня гладкості та отримано оцінки їх основних характеристик (точності та швидкодії). Розглянуто також найбільш наближені до практики інтерполяційні класи функцій. The article is devoted to the construction of effective with respect to accuracy algorithms of approximate calculation of frequency characteristic of linear model of controlled objects with permanent parameters on classes of functions of varying degrees of smoothness and provide estimates of their main characteristics (accuracy and speed). Also the most approximate to the practice of the interpolation function classes are considered. 2014 Article Оценки основных характеристик алгоритмов вычисления частотной характеристики линейной стационарной модели объекта управления на некоторых классах функций / В.К. Задирака, Е.Н. Коломыс, Л.В. Луц, С.С. Мельникова // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 1. — С. 97-110. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207715 519.644; 519.711 10.1615/JAutomatInfScien.v46.i2.20 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| spellingShingle |
Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Задирака, В.К. Коломыс, Е.Н. Луц, Л.В. Мельникова, С.С. Оценки основных характеристик алгоритмов вычисления частотной характеристики линейной стационарной модели объекта управления на некоторых классах функций Проблемы управления и информатики |
| description |
Побудовано ефективні за точністю алгоритми наближеного обчислення частотної характеристики лінійної моделі об’єктів керування з постійними параметрами на класах функцій різного степеня гладкості та отримано оцінки їх основних характеристик (точності та швидкодії). Розглянуто також найбільш наближені до практики інтерполяційні класи функцій. |
| format |
Article |
| author |
Задирака, В.К. Коломыс, Е.Н. Луц, Л.В. Мельникова, С.С. |
| author_facet |
Задирака, В.К. Коломыс, Е.Н. Луц, Л.В. Мельникова, С.С. |
| author_sort |
Задирака, В.К. |
| title |
Оценки основных характеристик алгоритмов вычисления частотной характеристики линейной стационарной модели объекта управления на некоторых классах функций |
| title_short |
Оценки основных характеристик алгоритмов вычисления частотной характеристики линейной стационарной модели объекта управления на некоторых классах функций |
| title_full |
Оценки основных характеристик алгоритмов вычисления частотной характеристики линейной стационарной модели объекта управления на некоторых классах функций |
| title_fullStr |
Оценки основных характеристик алгоритмов вычисления частотной характеристики линейной стационарной модели объекта управления на некоторых классах функций |
| title_full_unstemmed |
Оценки основных характеристик алгоритмов вычисления частотной характеристики линейной стационарной модели объекта управления на некоторых классах функций |
| title_sort |
оценки основных характеристик алгоритмов вычисления частотной характеристики линейной стационарной модели объекта управления на некоторых классах функций |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207715 |
| citation_txt |
Оценки основных характеристик алгоритмов вычисления частотной характеристики линейной стационарной модели объекта управления на некоторых классах функций / В.К. Задирака, Е.Н. Коломыс, Л.В. Луц, С.С. Мельникова // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 1. — С. 97-110. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT zadirakavk ocenkiosnovnyhharakteristikalgoritmovvyčisleniâčastotnojharakteristikilinejnojstacionarnojmodeliobʺektaupravleniânanekotoryhklassahfunkcij AT kolomysen ocenkiosnovnyhharakteristikalgoritmovvyčisleniâčastotnojharakteristikilinejnojstacionarnojmodeliobʺektaupravleniânanekotoryhklassahfunkcij AT luclv ocenkiosnovnyhharakteristikalgoritmovvyčisleniâčastotnojharakteristikilinejnojstacionarnojmodeliobʺektaupravleniânanekotoryhklassahfunkcij AT melʹnikovass ocenkiosnovnyhharakteristikalgoritmovvyčisleniâčastotnojharakteristikilinejnojstacionarnojmodeliobʺektaupravleniânanekotoryhklassahfunkcij AT zadirakavk ocínkiosnovnihharakteristikalgoritmívobčislennâčastotnoíharakteristikilíníjnoístacíonarnoímodelíobêktaupravlínnânadeâkihklasahfunkcíj AT kolomysen ocínkiosnovnihharakteristikalgoritmívobčislennâčastotnoíharakteristikilíníjnoístacíonarnoímodelíobêktaupravlínnânadeâkihklasahfunkcíj AT luclv ocínkiosnovnihharakteristikalgoritmívobčislennâčastotnoíharakteristikilíníjnoístacíonarnoímodelíobêktaupravlínnânadeâkihklasahfunkcíj AT melʹnikovass ocínkiosnovnihharakteristikalgoritmívobčislennâčastotnoíharakteristikilíníjnoístacíonarnoímodelíobêktaupravlínnânadeâkihklasahfunkcíj AT zadirakavk estimationofbasicalgorithmsforcalculationoffrequencycharacteristicoflinearstationarymodelofcontrolledobjectonsomeclassesoffunctions AT kolomysen estimationofbasicalgorithmsforcalculationoffrequencycharacteristicoflinearstationarymodelofcontrolledobjectonsomeclassesoffunctions AT luclv estimationofbasicalgorithmsforcalculationoffrequencycharacteristicoflinearstationarymodelofcontrolledobjectonsomeclassesoffunctions AT melʹnikovass estimationofbasicalgorithmsforcalculationoffrequencycharacteristicoflinearstationarymodelofcontrolledobjectonsomeclassesoffunctions |
| first_indexed |
2025-10-14T01:04:53Z |
| last_indexed |
2025-10-15T01:06:42Z |
| _version_ |
1846007984296034304 |
| fulltext |
© В.К. ЗАДИРАКА, Е.Н. КОЛОМЫС, Л.В. ЛУЦ, С.С. МЕЛЬНИКОВА, 2014
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 1 97
УДК 519.644; 519.711
В.К. Задирака, Е.Н. Коломыс, Л.В. Луц, С.С. Мельникова
ОЦЕНКИ ОСНОВНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
АЛГОРИТМОВ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЧАСТОТНОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ
МОДЕЛИ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ
НА НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ФУНКЦИЙ
Введение. Задача построения математической модели (ММ) функционирова-
ния объекта управления (ОУ) сводится к определению такого алгоритма его
функционирования, который обеспечивал бы «близость» в некотором смысле вы-
ходных данных модели к выходным данным объекта. Качество модели естественно
характеризуется значением некоторой функции расхождения функционирования
модели и объекта
MYY 0
и условием ,0 , где MYY ,0 — выход-
ные данные соответственно объекта и модели, а норма берется в том пространстве,
которому принадлежат значения .0 MYY Число должно согласовываться с точ-
ностью входной информации, экономическими расходами на построение модели
и другими характеристиками [1].
Для анализа качества математической модели ОУ, как правило, определяют
вероятностные и динамические характеристики построенной ММ. К вероятност-
ным характеристикам относят оценки корреляционных функций, спектральной
плотности, математического ожидания и дисперсии, к динамическим — частот-
ную характеристику (ЧХ), передаточную функцию, разгонную характеристику
и импульсную переходную функцию [1].
Эта публикация является продолжением работы [2] и применяет полученные
результаты для вычисления ЧХ на конкретных классах функций.
Постановка задачи. Рассмотрим линейные модели ОУ с одним входом
и выходом. Пусть )(tx и )(ty — некоторые регистрируемые соответственно вхо-
ды
и выходы объекта и представляют собой функции времени t, которые, в зависимо-
сти от известной априорной информации о них, можно «погрузить» в некоторые
классы функций 1F и 2F соответственно. Уравнение динамики для объектов
с постоянными параметрами (стационарных) имеет вид [1]
,)()()()()(
0
t
duutxukdtkxty , tu (1)
где )( tk — импульсная переходная функция (ИПФ) объекта. В случае линей-
ной стационарной модели объекта, взяв преобразование Фурье от обеих частей
соотношения (1), в силу теоремы о свертке двух функций получим
),()()(Υ iXii
где ),( iX ),(Υ i )( i — преобразование Фурье соответственно ),(tx )(ty
и ).( tk
Частотной характеристикой линейной модели объекта называется отношение
.
)(
)(Υ
)(
iX
i
i (2)
98 ISSN 0572-2691
Зная частотную характеристику )( i и преобразование Фурье входа )( iX
при ненулевых начальных условиях ),0)(( iX можно найти преобразова-
ние Фурье выходной величины );(Υ i применив к нему обратное преобразование
Фурье, получим
.)()(
2
1
)(
deiiXty ti
Таким образом, частотная характеристика полностью характеризует динами-
ческие свойства ОУ и поэтому является одной из ее важнейших характеристик.
Частотная характеристика и ИПФ связаны между собой с помощью прямого
и обратного преобразования Фурье
.)(
2
1
)(,)()(
0
dueiukdueuki uiui
Для вычисления оценки частотной характеристики )( i предложен сле-
дующий подход. Пусть ),,,()( 11 FANiRiRX — результат приближенного
вычисления преобразования Фурье )( iX с помощью квадратурной формулы ,1А
которая использует N значений функции ,)( 1Ftx ),( jj txx ;1,0 Nj
),,,()( 22 FANiRiRY — результат приближенного вычисления преобразова-
ния Фурье )( iΥ с помощью квадратурной формулы ,2А которая использует
N значений функции ,)( 2Fty .1,0),( Njtyy jj
Обозначим )()( iRiX XX и )()( iRiY YY — абсолютные по-
грешности методов вычисления соответственно )( iX с помощью квадратурной
формулы 1А и )( i — с помощью квадратурной формулы ,2А которые можно
оценить следующим образом:
,)()(max
,)()(max
2
1
)(
)(
Yy
Fty
Y
Xx
Ftx
X
EiRiY
EiRiX
(3)
где ,XE YE — соответственно оценки погрешностей квадратурных формул
1А и 2А приближенного вычисления преобразования Фурье )( iX и )( i на
классах 1F и 2F [2–4].
Запишем выражение для вычисления оценки частотной характеристики :)( i
.
)(
)(
)(
iR
iR
i
X
Y
R (4)
Для оценки погрешности вычисления )( i с помощью )( iR спра-
ведливо соотношение
).,()()(max 21
)(
)(
2
1
FFEii R
Fty
Ftx
(5)
В работе [2] доказана следующая теорема.
Теорема 1. Для оценки погрешности вычисления )( i с помощью
)( iR с точностью до величин первого порядка малости относительно X и Y
справедливо соотношение
.
)()()(
)(
iRiRiR
iR
X
X
Y
Y
X
Y
(6)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 1 99
Соотношение (4) дает общий подход к построению алгоритма )( iR — при-
ближенного вычисления частотной характеристики ),( i в случае, когда использу-
ются квадратурные формулы 1А и 2А вычисления оценки преобразования Фурье.
В работах [3, 4] построены эффективные по точности и (или) быстродейст-
вию на классах iF квадратурные формулы вычисления оценок преобразования
Фурье как интегралов от быстроосциллирующих функций и получены оценки их
точности, когда ,, Li CF ,10 ,LC ,,LrW ,1r ,2,1i где ,LC —
класс функций, которые удовлетворяют условию Гельдера с константой L и пока-
зателем , :10 ,)()(
xxLxfxf ];,[, baxx LC — класс
функций Липшица (класс ,,LC );1 ,1,, rW Lr — класс функций, которые
имеют )1( r -ю непрерывную производную, и при этом .)()1(
L
r Cxf
Отмечено, что повышение «потенциальной разрешимости» квадратурных
формул вычисления оценок преобразования Фурье можно осуществить сужени-
ем класса F подынтегральных функций Ftf )( на класс ,NF когда 1
0}{ N
it
и 1
0
1
0 )}({}{ N
i
N
i tff фиксированы (например, функция задана таблицей значе-
ний из ее области определения). Использование оптимальных по точности на
классах NF и близких к ним квадратурных формул вычисления интегралов от
быстроосциллирующих функций позволяет повысить качество предложенных ал-
горитмов. Всего оптимальные квадратурные и кубатурные формулы построены
для 45 классов ),,( ,NN FFF подынтегральных функций [4].
В данной работе рассматривается интерполяционный класс функций NLC , [3] —
класс функций LC с заданными фиксированными значениями if в узлах фикси-
рованной сетки ,it .1,0 Ni
Используя приведенные в [3, 4] квадратурные формулы и полученные оценки
их точности на классах F и NF в соотношении (4), можно построить эффективную
оценку )( iR частотной характеристики )( i на конкретных классах функций.
Построение оценок алгоритмов вычисления частотной
характеристики на конкретных классах функций
Рассмотрим случаи, которые наиболее часто встречаются на практике.
Случай 1. Функции ,)( LCtx LCty )( ]).,[( bat
Пусть LCtx )( , задана таблицей значений в узлах равномерной сетки t
,at ,/)( Nabt .,0 N В работах [3, 4] для приближенного вычисле-
ния интегралов
,sin)()(,2 tdttxI
b
a
x tdttxI
b
a
x cos)()(,3
(7)
построены оптимальные по точности при N квадратурные формулы типа
средней точки
,sin)(
1
0
1,2
2/1
2/1
N t
t
dttxR .cos)(
1
0
1,3
2/1
2/1
N t
t
dttxR (8)
При этом справедливы cледующие оценки погрешности метода:
,)(
2
)(
1
2
1,2
P
N
ab
LE ,)(
2
)(
2
2
1,3
P
N
ab
LE (9)
где
100 ISSN 0572-2691
,
cos)(4/)(sin))4/)(((cos4
)(
21
N
babLNabNabbL
P
(10)
.
4/)(sin))4/)(((sin4sin)(
)(
22
NabNabbL
N
babL
P (11)
На практике, как правило, достаточно использовать эти оценки с точностью
до главного члена относительно величины ,/1 N т.е.
,
2
)( 2
1,2
N
abL
E
.
2
)( 2
1,3
N
abL
E
(12)
Справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Пусть ,)( LCtx LCty )( — финитные функции, определенные
на отрезке ],,[ bat и для приближенного вычисления преобразования Фурье )(tx
и )(ty используются соответственно квадратурные формулы типа средней точки:
,)(
1
0
,1
2/1
2/1
N t
t
X dt
ti
exiR (13)
,)(
1
0
,1
2/1
2/1
N t
t
Y dt
ti
eyiR (14)
где ),/(2 ab ),( txx ),( tyy ,att ,/)( Nabt 2/1t
,2/tt ,2/2/1 ttt ;1,0 N ,01 t ,0 at .2/11 btt NN
Тогда при N для алгоритма
)(
)(
)(
,1
,1
iR
iR
i
X
Y
R вычисления оценки
частотной характеристики
)(
)(
)(
iX
i
i справедлива следующая оценка по-
грешности метода:
,
)2/)((sin4
)()(2
2
2
Nabm
abМML
x
yx
(15)
где
,min
1,0
xm
N
x ,max
1,0
xM
N
x ,max
1,0
yM
N
y (16)
при всех значениях x для которых .0)( txx Время реализации алгоритма
)( iR (4) с учетом времени реализации квадратурных формул (13), (14) можно
оценить соотношением
.42)65()14( 53211 NNNT (17)
При этом 1 — время выполнения одной операции сложения двух чисел, 2 —
время выполнения одной операции умножения двух чисел, 3 — время выполне-
ния операции деления одного числа на другое, 4 — время выполнения операции
двоичного сдвига числа, 5 — время вычисления функции xsin или .cosx
Доказательство. Поскольку из условий теоремы LCFF 21 и для при-
ближенного вычисления ),(tx )(ty используются квадратурные формулы одного
типа: ),(,1 iR X ),(,1 iR Y то для нахождения оценки погрешности метода
)()(max
)(
)(
ii R
Cty
Ctx
L
L
воспользуемся соотношением [2]
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 1 101
,
)(
)()(
2
,1
,1,1
iR
iRiR
X
YX
(18)
где ).,(max YX
Для упрощения следующих выкладок аргумент i опустим.
Поскольку
),Im()Re(sin)(cos)()( ,1,1,1 xx
b
a
b
a
ti
b
a
x IiIdtttxidtttxdtetxI
1
0
1
0
1
0
,1
2/1
2/1
2/1
2/1
2/1
2/1
sincos
N N t
t
N t
t
t
t
X dttxidttxdttiexR
),Im()Re( ,1,1 XX RiR
то, рассматривая отдельно вычисление действительной и мнимой части ),(tx при-
дем к вычислению интегралов (7) с помощью квадратурных формул (8), а значит,
и к возможности воспользоваться оценками (12). Соответственно можно предста-
вить ).Im()Re( XXX i
Используя (12), получим
.
2
)(2
2
)(
2
)(
)(Im)(Re
2
2
2
2
2
22
N
abL
N
abL
N
abL
XXX
В условиях теоремы . YX
Для того чтобы найти )(/))()(( 2
,1,1,1 iRiRiR XYX , сначала вычислим
действительную и мнимую части интеграла
2/1
2/1
t
t
dt
ti
e :
,cos
2
sin
2
)sin(sin
1
cos 2/12/1
2/1
2/1
t
t
ttdtt
t
t
.sin
2
sin
2
)cos(cos
1
sin 2/12/1
2/1
2/1
t
t
ttdtt
t
t
Тогда
1
0
1
0
,1 )sin(cos
2
sin
22/1
2/1
NN t
t
X tit
t
xdt
ti
exR
1
02
sin
2 N
ti
ex
t
, (19)
1
0
1
0
,1
2
sin
22/1
2/1
N
ti
N t
t
Y ey
t
dt
ti
eyR . (20)
Учитывая (16), оценим
1
0
,1
2
sin
2 N
tix
X e
tM
R ,
102 ISSN 0572-2691
,
2
sin
2 1
0
,1
N
tix
X e
tm
R .
2
sin
2 1
0
,1
N
tiy
Y e
tm
R
Рассмотрим
ti
biaiN
ti
e
eet
e
t
12
sin
2
sin
1
0
titi
bibaiat
sincos0sin0cos
sincossincos
2
sin
2
cos
2
sin
2
sin
2
sin
2
cos
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
tt
i
tt
baab
i
baab
t
.)2/)(sin(
2
exp
2
exp
2
sin
2
sin
2
sin ab
t
ii
ba
ii
t
ab
t
Отсюда получим оценку (15):
1
0
2
2
2
2
sin2
)(
2
)(2
N
ti
x
yx
x
yx
e
t
m
MM
N
abL
R
RR
.
)2/)(sin(4
))((2
2
2
Nabm
abMML
x
yx
Учитывая (19), (20), получим следующее соотношение для вычисления :)( iR
.
2
sin
2
2
sin
2
)(
)(
)(
1
0
1
0
1
0
1
0
N
ti
N
ti
N
ti
N
ti
X
Y
R
ex
ey
ex
t
ey
t
iR
iR
i (21)
Чтобы вычислить )( iR по формуле (21), нужно выполнить 14 N опера-
ций сложения, 65 N операций умножения, 2 операции деления, N2 раз вычис-
лить функцию xsin и N2 раз — xcos . Отсюда получаем оценку (17).
Теорема доказана.
Случай 2. Функции ,)( ,NLCtx NLCty ,)( ]).,[( bat
Пусть NLCtx ,)( задана таблицей фиксированных значений x в узлах рав-
номерной сетки : ,att ,/)( Nabt .,0 N В работах [3, 4] для
приближенного вычисления интегралов (7) построены оптимальные по точности
при N квадратурные формулы
,sin)()(
1
0
*
22,2
1
N t
t
dtttxR ,cos)()(
1
0
*
22,3
1
N t
t
dtttxR (22)
где
Для частот Nrr /2 для вычисления )( iR можно использовать алгоритм быстрого
преобразования Фурье (БПФ) [1].
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 1 103
],,[
,,
,
~~
,
,
~~~
),(sign)(
,
~
,
)(
1
11
11
*
2
NN
NNN
ttt
tttx
tttx
tttxttLx
tttx
tx
(23)
),( txx ,att ,/)( Nabt ,
22
~ 1
L
xtt
t
,
22
~~ 1
L
xtt
t
,1 xxx ,1,0 N )./(2 ab
При этом имеют место такие оценки погрешности метода:
,)(
2
)(
cos
4
sin
4
sin
4
,)(
2
)(
sin
4
sin
4
sin
4
2
122
2
0
22,3
1
122
2
0
22,2
P
tt
L
xtL
E
P
tt
L
xtL
E
N
N
(24)
где
,
cos)(4/)(sin))4/)((cos(2
)(1
N
babNabNabbL
P
.
4/)(sin))4/)((sin(2sin)(
)(2
NabNabb
N
babL
P
Справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Пусть ,)( , NLCtx NLCty ,)( — финитные функции, опреде-
ленные на отрезке ],,[ bat и для приближенного вычисления преобразования
Фурье )(tx и )(ty используются соответственно оптимальные по точности на
классе функций NLC , квадратурные формулы
,)(
1
0
*
2,2
1
N t
t
X dt
ti
etxR (25)
,)(
1
0
*
2,2
1
N t
t
Y dt
ti
etyR (26)
где )(*
2 tx определяется соотношением (23):
,],[
,,
,
~~
,
,
~~~
),(sign)(
,
~
,
)( 1
11
11
*
2
NN
NNN
ttt
tttx
tttx
tttxttLx
tttx
tx
(27)
,],[
,
,,
,),(sign)(
,
)( 1
11
11
*
2
NN
NNN
ttt
ttty
ttty
tttyttLy
ttty
ty
(28)
),( txx ),( tyy ,att ,/)( Nabt ,
22
~ 1
L
xtt
t
,
22
~~ 1
L
xtt
t
,
22
,
22
11
L
ytt
t
L
ytt
t
,1 xxx ,1 yyy ,1,0 N
104 ISSN 0572-2691
.)/(2 ab
Тогда при N для алгоритма
)(
)(
)(
,2
,2
iR
iR
i
X
Y
R вычисления оценки частот-
ной характеристики
)(
)(
)(
iX
i
i справедлива следующая оценка погрешности
метода:
,
2
,2
,2,2
X
YX
R
RR
(29)
где
2
0
2
0
2222
2 4
sin
4
sinsin,
4
sin
4
sinsinmax
4 N N
L
y
N
ab
L
x
N
abL
,
4
sin
4
exp
2
N
ab
N
ab
N
ab
i
L
(30)
2/12/1
2
42
sin)(sign
1 2
0
,2
titi
N
X e
L
ie
N
ab
L
L
x
xR
,)( 01
aibi
N exexi (31)
2/12/1
2
42
sin)(sign
1 2
0
,2
titi
N
Y e
L
iey
N
ab
L
L
y
yR
.)( 01
aibi
N eyeyi (32)
При этом время реализации алгоритма )( iR (4) с учетом реализации квадра-
турных формул (25)–(28) с помощью соотношений (31), (32) можно оценить соот-
ношением
,455)611()111( 543212 NNNT (33)
где 1 – 5 определены в теореме 2.
Доказательство. Поскольку из условий теоремы ,,21 NLCFF и для при-
ближенного вычисления ),(tx )(ty применяются квадратурные формулы одного
типа ),(,1 iR X ),(,1 iR Y то для нахождения оценки погрешности метода
)()(max
)(
)(
ii R
Cty
Ctx
L
L
воспользуемся соотношением (18)
,
)(
)()(
2
,2
,2,2
iR
iRiR
X
YX
где .),(max YX
Для упрощения следующих выкладок в дальнейшем аргумент i будем
опускать. Поскольку
),Im()Re(sin)(cos)()( ,1,1,1 xx
b
a
b
a
ti
b
a
x IiIdtttxidtttxdtetxI
1
0
*
2,2
2/1
2/1
)(
N t
t
X dt
ti
etxR
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 1 105
)Im()Re(sin)(cos)( ,2,2
1
0
*
2
1
0
*
2
2/1
2/1
2/1
2/1
XX
N t
t
N t
t
RiRdtttxidtttx
,
то, рассматривая отдельно вычисление действительной и мнимой части ),(tx при-
дем к вычислению интегралов (7) по квадратурным формулам (22), (23), а значит,
и к возможности воспользоваться оценками (24). Из этих соображений
2
)(
cos
4
sin
4
sin
4
)(Im)(Re 122
2
0
2
tt
L
xtL
i
N
XXX
2
0
1
122
22 )(
2
)(
sin
4
sin
4
sin
4
)(
N
P
tt
L
xtL
iP
2
exp
4
sin
4
sin
4 122
2
0
2
tt
i
L
xtL N
N
ab
ie
Nab
N
ab
bii
L bi4/)(sin2
4
exp
2
exp
4
sin
4
sin
4 122
2
0
2
tt
i
L
x
N
abL N
.
4
sin
2
4
exp
N
ab
N
ab
N
ab
iie
L bi
Отсюда получим следующую оценку:
.
4
sin
4
exp
2
4
sin
4
sin
4 22
2
0
2 N
ab
N
ab
N
ab
i
L
L
x
N
abL N
X
(34)
Аналогично можно получить оценку
.
4
sin
4
exp
2
4
sin
4
sin
4 22
2 N
ab
N
a
N
ab
i
L
L
y
N
abL
Y
(35)
Учитывая (34), (35), имеем оценку (30)
),(max YX
L
y
N
ab
L
x
N
abL NN
4
sin
4
sin,
4
sin
4
sinmax
4 22
2
0
22
2
0
2
.
4
sin
4
exp
2
N
ab
N
ab
N
ab
i
L
Перейдем к нахождению приближенного вычисления преобразований Фурье
входа и выхода. Для этого сначала вычислим действительную и мнимую части
интегралов (25), (26):
2
0
0
1
0
*
2
2
sin)(signsin
1
cos)(
1 NN t
t
L
x
xaxdtttx
,sinsin
2
cos)( 1̀2/12/1
bxt
L
txtL N
106 ISSN 0572-2691
2
0
0
1
0
*
2
2
sin)(signcos
1
sin)(
1 NN t
t
L
x
xaxdtttx
,coscos
2
sin)( 1̀2/12/1
bxt
L
txtL N
2
0
0
1
0
*
2
2
sin)(signsin
1
cos)(
1 NN t
t
L
y
yaydttty
,sinsin
2
cos)( 1̀2/12/1
byt
L
tytL N
2
0
0
1
0
*
2
2
sin)(signcos
1
sin)(
1 NN t
t
L
y
yaydttty
.coscos
2
sin)( 1̀2/12/1
byt
L
tytL N
Следовательно,
1
0
*
2
1
0
*
2
1
0
*
2,2
111
sin)(cos)()(
N t
t
N t
t
N t
t
X dtttxidtttxdttietxR
2/1
42
sin)(sign
1 2
0
ti
N
ex
N
ab
L
L
x
x
.)(
2
01̀
2/1
aibi
N
ti
exexie
L
i
Аналогично
2/1
42
sin)(sign
1 2
0
,2
ti
N
Y ey
N
ab
L
L
y
yR
.)(
2
01̀
2/1
aibi
N
ti
eyeyie
L
i
Итак, получили (31), (32).
Чтобы вычислить )( iR с помощью формул (31), (32), нужно выполнить
111 N операций сложения, 611 N операций умножения, 5 операций деления,
5 операций двоичного сдвига числа, 13 N раз вычислить функцию xsin и
1N раз — xcos . Отсюда получаем оценку (33).
Теорема доказана.
Случай 3. Функция ,)( LCtx функция LWty ,2)( ( [ , ]t a b ).
В этом случае справедлива следующая теорема.
Теорема 4. Пусть ,)( LCtx LWty ,2)( — финитные функции, определен-
ные на отрезке ],[ bat и заданы таблицей значений ,}{ 0
Nx ,}{ 0
Ny
Ny 0}{
в узлах равномерной сетки ,att ,/)( Nabt N,0 . Пусть для при-
ближенного вычисления преобразований Фурье )(tx и )(ty используется соот-
ветственно оптимальная по точности при N на классе LC квадратурная
формула
1
0
,1
21
21
N
t
t
X dt
ti
exR (36)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 1 107
и оптимальная по порядку точности на классе LW ,2 квадратурная формула
,)(
1
0
,3,3
1
N t
t
yY dt
ti
etSR (37)
где )(,3 tS y — эрмитовый кубический сплайн, ytS y )(,3 , ytS y )(,3 , .,0 N
Тогда при N для алгоритма
)(
)(
)(
,1
,3
iR
iR
i
X
Y
R вычисления оценки
частотной характеристики
)(
)(
)(
iX
i
i справедлива следующая оценка по-
грешности метода:
,
,1,3,1
,3
X
X
Y
Y
X
Y
RRR
R
(38)
где
,
2
)(2 2
N
abL
X
,
16
)(
2
5
N
abL
Y
,
2
sin
2 1
0
,1
N
ti
X ex
t
R (39)
bi
N
N
tiai
Y eyieyeyiR
22
1 1
1
0,3
,
22
1
1
0
bi
N
N
tiai eyieyieyit (40)
,sin)cos1(
2
)(
12
2
tt
tt
,)cos1(
)(
6
sin
2
1
1
2
t
t
t
tt
t
t
t
t
sin
3
cos2
)(
4
2
,
t
t
t
t
sin
)(
12
)cos1(
)(
6
1
32
.
При этом время реализации алгоритма )( iR (4) с учетом реализации квад-
ратурных формул (36), (37) с помощью соотношений (39), (40) можно оценить со-
отношением
543213 )52(124)307()186( NNNT , (41)
где 1 – 5 определены в теореме 2.
Доказательство. Сначала найдем оценки величин ,X .y Оценка по-
грешности квадратурной формулы XR ,1
N
abL
X
2
)(2 2
доказана в теореме 2.
Оценим погрешность квадратурной формулы :,3 YR
.))()(( ,3
b
a
ti
yY dtetytS
Воспользовавшись неравенством Гельдера, получим
108 ISSN 0572-2691
.))()((
22
,3
b
a
ti
b
a
yY dtedttytS
В [5] доказано, что
16
)(
)()())()((
2
],[,3
2
,3
2
tL
tytSdttytS
baLy
b
a
y
.
16
)(
2
2
N
abL
Тогда
ab
N
abL
dtedttytS
b
a
ti
b
a
yY 2
2
22
,3
16
)(
))()((
.
16
)(
2
5
N
abL
Теперь для нахождения оценки (38)–(40) осталось вычислить вы-
ражения (36), (37):.
1
0
1
0
,1 )sin(cos
2
sin
22/1
2/1
NN t
t
X tit
t
xdt
ti
exR
1
02
sin
2 N
ti
ex
t
.
Найдем .)(
1
0
,3,3
1
N t
t
yY dt
ti
etSR
В [6] определены такие выражения:
)(
1
cos)( 1010
1
0
,3
1
NN
N t
t
y yByAtyByAtdttS
,sincos
1
1
1
1
tytty
NN
где ,sincos
2
aaA
,sincos
2
bbB
,sin
2
cos1 aaA
1B
;sin
2
cos bb
)(
1
sin)( 1010
1
0
,3
1
NN
N t
t
y yByAtyByAtdttS
,cossin
1
1
1
1
tytty
NN
где ,sin
2
cos aaA
,sin
2
cos bbB
,sincos
2
1 aaA
1B
bb
sincos
2
.
Подставив их в (37), найдем
1
0
,3,3
1
)sin)(cos(
N t
t
yY dttittSR
titi
N
titi eieyeiey
22
1
0
bibi
N
aiai eieyeieyt
22
0
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 1 109
,
1
1
1
1
N
ti
N
ti
eytiey
откуда и следует соотношение (40).
Чтобы вычислить )( iR с помощью формул (39), (40), нужно выполнить
186 N операций сложения, 307 N операций умножения, 4 операции деления,
12 операций двоичного сдвига числа, 3N раз вычислить функцию xsin
и 2N раз — .cosx Отсюда получаем оценку (41).
Теорема 4 доказана.
Заключение. В настоящей работе рассматривается линейная модель объекта
управления, для которой частотные характеристики можно определять как ее ос-
новные динамические характеристики. Статья посвящена построению алгоритмов
приближенного вычисления частотной характеристики линейной модели ОУ
с постоянными параметрами на некоторых конкретных классах функций и полу-
чению оценок их основных характеристик (точности и быстродействия). Предло-
женные подходы построения )( iR можно использовать также для линейных
моделей объектов управления с m входами и n выходами:
,,1,)(),()(
1
, njdxtkty
m
s
t
ssjj
где ),(, tk sj — ИПФ по js-му каналу, которая определяется как реакция на j-м
выходе на возмущение )()( uuxs при 0px (для всех ),sp а также не-
которых типов нелинейных объектов [1].
В.К. Задірака, О.М. Коломис, Л.В. Луц, С.С. Мельникова
ОЦІНКИ ОСНОВНИХ ХАРАКТЕРИСТИК
АЛГОРИТМІВ ОБЧИСЛЕННЯ ЧАСТОТНОЇ
ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛІНІЙНОЇ СТАЦІОНАРНОЇ
МОДЕЛІ ОБ’ЄКТА КЕРУВАННЯ НА ДЕЯКИХ
КЛАСАХ ФУНКЦІЙ
Побудовано ефективні за точністю алгоритми наближеного обчислення частот-
ної характеристики лінійної моделі об’єктів керування з постійними парамет-
рами на класах функцій різного степеня гладкості та отримано оцінки їх основ-
них характеристик (точності та швидкодії). Розглянуто також найбільш набли-
жені до практики інтерполяційні класи функцій.
V.K. Zadiraka, E.N. Kolomys, L.V. Luts, S.S. Melnikova
ESTIMATION OF BASIC ALGORITHMS
FOR CALCULATION OF FREQUENCY
CHARACTERISTIC OF LINEAR STATIONARY
MODEL OF CONTROLLED OBJECT
ON SOME CLASSES OF FUNCTIONS
The article is devoted to the construction of effective with respect to accuracy algo-
rithms of approximate calculation of frequency characteristic of linear model of con-
trolled objects with permanent parameters on classes of functions of varying degrees
of smoothness and provide estimates of their main characteristics (accuracy and
speed). Also the most approximate to the practice of the interpolation function
classes are considered.
110 ISSN 0572-2691
1. Методы алгоритмизации непрерывных производственных процессов / В.В. Иванов, А.И. Бе-
резовский, В.К. Задирака и др. — М. : Наука, 1975. — 400 с.
2. Задірака В.К., Коломис О.М., Луц Л.В., Мельникова С.С. Ефективні за точністю алгоритми
обчислення оцінки частотної характеристики лінійної моделі об’єктів керування з постій-
ними параметрами // Искусственный интеллект. — 2013. — № 3. — С. 47–57.
3. Задирака В.К. Теория вычисления преобразования Фурье. — Киев : Наук. думка, 1983. —
216 с.
4. Оптимальні алгоритми обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій та їх засто-
сування / І.В. Сергієнко, В.К. Задірака, О.М. Литвин, С.С. Мельникова, О.П. Нечуйвітер. —
Т. 1. Алгоритми. — 447 с.; Т. 2. Застосування. — Київ : Наук. думка, 2011. — 348 с.
5. Завьялов А.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. — М. : Наука.
1980. — 352 с.
6. Коломыс Е.Н., Луц Л.В., Людвиченко В.А., Мельникова С.С. Оценки вычислительной слож-
ности некоторых алгоритмов аппроксимации функций рядами Фурье с заданной точностью
// Управляющие системы и машины. — 2013. — № 5. — C. 14–26.
Получено 25.06.2013
|