Групповое сближение при наличии фазовых ограничений

Досліджується нестаціонарна ігрова задача групового зближення за наявності фазових обмежень на положення втікача. Отримано достатні умови на параметри конфліктно-керованого процесу, які забезпечують закінчення гри за скінченний час з заданих початкових положень. Результати ілюструються на прикладі п...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2014
Hauptverfasser:	Бигун, Я.И., Кривонос, И.Ю., Чикрий, Ал.А., Чикрий, К.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2014
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Проблемы динамики управляемых систем
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207788
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Групповое сближение при наличии фазовых ограничений / Я.И. Бигун, И.Ю. Кривонос, Ал.А. Чикрий, К.А. Чикрий // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 2. — С. 7-13. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-207788
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2077882025-10-14T00:05:46Z Групповое сближение при наличии фазовых ограничений Групове зближення за наявності фазових обмежень Group approach under state constraints Бигун, Я.И. Кривонос, И.Ю. Чикрий, Ал.А. Чикрий, К.А. Проблемы динамики управляемых систем Досліджується нестаціонарна ігрова задача групового зближення за наявності фазових обмежень на положення втікача. Отримано достатні умови на параметри конфліктно-керованого процесу, які забезпечують закінчення гри за скінченний час з заданих початкових положень. Результати ілюструються на прикладі простого групового переслідування в ситуації «оточення». The nonstationary game problem of group approach under state constraints is studied. Sufficient conditions on parameters of a conflict-controlled process are obtained which make it feasible to terminate the game in a finite time beginning from given initial positions. The results are illustrated on an example of simple group pursuit under condition of “encirclement”. 2014 Article Групповое сближение при наличии фазовых ограничений / Я.И. Бигун, И.Ю. Кривонос, Ал.А. Чикрий, К.А. Чикрий // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 2. — С. 7-13. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207788 517.977 10.1615/JAutomatInfScien.v46.i4.10 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем
spellingShingle	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Бигун, Я.И. Кривонос, И.Ю. Чикрий, Ал.А. Чикрий, К.А. Групповое сближение при наличии фазовых ограничений Проблемы управления и информатики
description	Досліджується нестаціонарна ігрова задача групового зближення за наявності фазових обмежень на положення втікача. Отримано достатні умови на параметри конфліктно-керованого процесу, які забезпечують закінчення гри за скінченний час з заданих початкових положень. Результати ілюструються на прикладі простого групового переслідування в ситуації «оточення».
format	Article
author	Бигун, Я.И. Кривонос, И.Ю. Чикрий, Ал.А. Чикрий, К.А.
author_facet	Бигун, Я.И. Кривонос, И.Ю. Чикрий, Ал.А. Чикрий, К.А.
author_sort	Бигун, Я.И.
title	Групповое сближение при наличии фазовых ограничений
title_short	Групповое сближение при наличии фазовых ограничений
title_full	Групповое сближение при наличии фазовых ограничений
title_fullStr	Групповое сближение при наличии фазовых ограничений
title_full_unstemmed	Групповое сближение при наличии фазовых ограничений
title_sort	групповое сближение при наличии фазовых ограничений
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Проблемы динамики управляемых систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207788
citation_txt	Групповое сближение при наличии фазовых ограничений / Я.И. Бигун, И.Ю. Кривонос, Ал.А. Чикрий, К.А. Чикрий // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 2. — С. 7-13. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT bigunâi gruppovoesbliženieprinaličiifazovyhograničenij AT krivonosiû gruppovoesbliženieprinaličiifazovyhograničenij AT čikrijala gruppovoesbliženieprinaličiifazovyhograničenij AT čikrijka gruppovoesbliženieprinaličiifazovyhograničenij AT bigunâi grupovezbližennâzanaâvnostífazovihobmeženʹ AT krivonosiû grupovezbližennâzanaâvnostífazovihobmeženʹ AT čikrijala grupovezbližennâzanaâvnostífazovihobmeženʹ AT čikrijka grupovezbližennâzanaâvnostífazovihobmeženʹ AT bigunâi groupapproachunderstateconstraints AT krivonosiû groupapproachunderstateconstraints AT čikrijala groupapproachunderstateconstraints AT čikrijka groupapproachunderstateconstraints
first_indexed	2025-10-14T01:10:53Z
last_indexed	2025-10-15T01:09:36Z
_version_	1846008166741966848
fulltext	© Я.И. БИГУН, И.Ю. КРИВОНОС, Ал.А. ЧИКРИЙ, К.А. ЧИКРИЙ, 2014 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 2 7 ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ УДК 517.977 Я.И. Бигун, И.Ю. Кривонос, Ал.А. Чикрий, К.А. Чикрий ГРУППОВОЕ СБЛИЖЕНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ФАЗОВЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ  В теории динамических игр сближения–уклонения [1–4] традиционно труд- ными для исследования являются задачи с группами участников [2–6], а наличие фазовых ограничений [7] еще и усугубляет проблему. Это в равной степени отно- сится и к различной динамике конфликтно-управляемого процесса, включая функционально-дифференциальные системы [8] и процессы с дробными произ- водными [9–12]. Предложенный в работах [2, 13] метод разрешающих функций представляет собой эффективное средство для решения упомянутых задач. Данная статья, по- священная применению этого метода к изучению группового сближения для ква- зилинейных нестационарных систем при наличии изменяющихся во времени фа- зовых ограничений, продолжает исследования [2–6, 13–18]. Рассмотрим игровую задачу ),,,()( vutztAz iiiii  ,)( 0 0 ii ztz  ,00  tt ,in i Rz  (1) ),(tUu ii  ),(tVv ,,,1  i где in R — конечномерные евклидовы пространства, )(tAi — матричные функ- ции порядка ,in их элементы — измеримые функции, суммируемые на любом конечном интервале. Допустимые управления игроков ),(tui ,,,1  i )(tv — измеримые селекторы компактозначных измеримых отображений ),(tU i ).(tV Блоки управления ),,( vut ii удовлетворяют условию Каратеодори и условию роста ),(),,( tavut iii  ),(tUu ii  ),(tVv ),,[ 0  tt ,,,1  i (2) где функции )(tai локально суммируемы. Терминальное множество состоит из цилиндрических множеств ,* iM причем ),()( 0* tMMtM iii  ,,,1  i (3) где 0 iM — линейные подпространства в ,in R а )(tM i — измеримые компакто- значные отображения со значениями в ортогональных дополнениях iL к 0 iM в ,i n R ii LtM )( для .0tt   Работа выполнена при финансовой поддержке ГФФИ Украины (проект Ф53.1/006). 8 ISSN 0572-2691 Цель группы преследователей ),,1,(  iui — вывести траекторию )(tzi на соответствующее множество )(* tMi хотя бы для одного i при любом противо- действии убегающего ).(v При этом каждый из преследователей использует ин- формацию о предыстории управления убегающего и начальных состояниях всех участников игры )),(,,,()( 0 0  tii vtztutu ),,,( 00 1 0  zzz  ,0tt  .,,1  i (4) Рассмотрим конфликтно-управляемый процесс (1)–(3) и сформулируем усло- вия на его параметры, обеспечивающие решение поставленной задачи. Условие 1. Существует такой номер },,,1{,   Nkk что для всех },,...,1{,1   kNi k )},({)( tdtM ii  где ),(tdi ii Ltd ),[: 0 — непрерыв- ные функции, причем .1dim iL Таким образом, множества ),(* tM i ,,1 kNi при каждом 0tt  являются афинными многообразиями и .1dim 0  ii nM Учитывая специальную структуру терминального множества, перейдем к схе- ме метода. Для этого обозначим через i оператор ортогонального проектирова- ния с in R на ,iL ,Ni а через ),,(  ti ,,,1  i — матрицы Коши однород- ных систем (1). Рассмотрим многозначные отображения ),),(,(),(),,( vUtvtW iiiii  ,Ni и для kNi положим ,),,(),( )(    Vv ii vtWtW .0tt  Будем считать, что в дальнейшем выполнены следующие условия. Условие 2 (условие Понтрягина). Многозначные отображения ),,( tWi ,kNi принимают непустые значения для .0  tt Условие 3. Многозначные отображения ),,,( vtWi  ,,1 kNi являются одно- значными функциями ),,,( vti  которые измеримы по  и непрерывны по t и v, ,0tt  ).(Vv Поскольку отображения ),,( tWi ,kNi измеримы по  и замкнутозначны, в них существуют измеримые по  селекторы ),,(  ti ,kNi .0tt  Зафикси- руем их и обозначим ,),(),()),(,,,( 0 0 0 0 0   dtzttttzt t t iiiiiii .kNi С их помощью образуем многозначные отображения }))],(,,,()([)],(),,([:0{),,( 0 0  ttzttMtvtWvt iiiiiii A и их опорные функции в направлении 1 )},,,(:{sup),,( vtvt ii  A ,kNi ),(Vv .0tt  Введенные отображения ),,( vti A и функции ),,,( vti  ,kNi являются BL -из- меримыми по совокупности ),( v [16]. Пусть .,1 kNi Тогда обозначим 0 0 0 0 ),(),,( iiiii ztttzt  и введем раз- решающие функции по формуле Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 2 9           ).,,()( ),,,()(,1,, )),,()(,( )),,(,( ),,( 0 0 0 00 0 tzttd tzttdpLp tzttdp vtp vt iii iiiiii iiii ii i (5) Заметим, что функции ),,,( vti  ,,1 kNi могут принимать отрицательные значения. В этом случае их значения без потери для дальнейшего можно поло- жить равными нулю. Обозначив )),,(),...,,((),( 1*  ttt k k рассмотрим множество ,1))(,,(maxinf:)),(,,( 0 )( 000             dvtttztT t t i Niv k E (6) где E — совокупность измеримых селекторов отображения ).(tV Теорема. Пусть для игровой задачи (1)–(4) выполнены условия 1–3 и ),(tM i ,,...,1 ki  ,0tt  — выпуклозначные отображения. Тогда если для начального состояния ),( 00 zt процесса (1) существует набор таких измеримых по  селекторов ),,(  tk ),,(),(  tWt ii ,kNi ,0tt  что  )),(,,( 00 kztT и )),,(,,( 00   kztTT то либо найдется такой момент ,t ],,[ 0   Ttt что для некоторого ),()(,1   tdtzNi iiik либо для некоторого kNi справедливо включение ).()(   TMTz iii При этом игроки-пресле- дователи с номерами kN используют управления типа (4) на интервале ].,[ 0 Tt Доказательство. Пусть ),(v ),()(  Vv ],,[ 0  Tt — произвольная измери- мая функция, а ),,(   Tk ],,[ 0  Tt — набор вышеупомянутых измеримых селек- торов многозначных отображений ),,( TWi .kNi Поскольку ,,1   kk NNN рассмотрим контрольную функцию в виде                       t t i t t Ni i Ni dvtdvTth kk 00 ,1 ,,max,,,maxmax1 . (7) В силу условий 1, 3 и формулы (5) функция ),(th ],,[ 0  Ttt непрерывна. Кро- ме того, очевидно, ,1)( 0  th а 0)(  Th согласно формуле (6). Это означает, что существует такой момент ,t ],,[ 0   Ttt что .0)(  th Равенство нулю реализуется на некоторых индексах Ni согласно выражению (7) при . tt Достаточно рассмотреть один из таких индексов .i Если ,kNi  то ,0))(,,(1 0      t t i dvT (8) если же ,,1  kNi то      t t i dvt 0 0)))(,,(1 (9) в силу непрерывности функций ),,( vti  по t, .,1  kNi Опишем сначала случай ),()),(,,,( 0 0   TMTTzt iiii ,,...,1 ki  и закон управления каждым игроком из группы .kN Для этого рассмотрим многозначные отображения   ),,(),(),,(),(:)({),( vTTvuTUuvU iiiiiiii ,))]},(,,,()([ 0 0   TTztTM iiii ....,,1 ki  (10) 10 ISSN 0572-2691 Поскольку отображения ),,( vU i  ,...,,1 ki  компактозначны и BL -измеримы, в них существуют BL -измеримые селекторы ),,( vui  ,...,,1 ki  которые яв- ляются суперпозиционно измеримыми функциями [16]. Положим управления ка- ждого из группы преследователей )),(,()(  vuu ii ,...,,1 ki  ).,[ 0 tt Для ],[  Tt положим в (10) ,0),,(   vTi ,...,,1 ki  и выберем управления преследователей на «пассивном» участке согласно описанной выше процедурe. Если же для некоторого i, ,kNi ),()),(,,,( 0 0   TMTTzt iiii то управ- ление i-го преследователя на всем промежутке ],[ 0 Tt выберем аналогично «пас- сивному» промежутку в предыдущем случае с ,0),,(   vTi а управление дру- гих 1k преследователей — произвольные измеримые селекторы отображений ),,( vU i  .],[ 0  Tt Таким образом, если максимум в выражении для контрольной функции (7) достигается на индексе ,* kNi  то, учитывая равенство (8) и законы выбора управлений преследователей, с помощью формулы Коши легко показать, что )()( ***   TMTz iii [2]. В случае, когда равенство 0)( *  th реализуется на  ,1* kNi при ),,,()( * 0 0* * tzttd iii  получим ))(,,()),,()())((,,( 0 0 ***  vttzttdvt iiiii . Проинтегрируем это равенство от 0t до .t Тогда с учетом (9) получим .))(,,(),,()( 0 ** 0 0*   dvttzttd t t iiii Из формулы Коши и условия 3 имеем ).()( * tdtz iii  Случай ),,()( * 0 0* *** tzttd iii  невозможен, потому что максимум в (7) на таком  ,1* kNi не может достигаться в силу построения разрешающих функций (5), ко- торые принимают в этом случае значения . Рассмотрим задачу преследования группой управляемых объектов убегаю- щего в ситуации, когда последний не может покинуть пределы некоторого откры- того выпуклого множества, как частный случай рассмотренного выше процесса. Динамика преследователей и убегающего имеет вид ,),(,,)( ,...,,1),(,,)( 0tttVvRyvytBy kitUuRxuxtCx s ii r iiiii i     (11) где измеримые матричные функции )(tCi порядка ,ir а )(tB — порядка s, облас- ти управлений ),()( ir i RKtU  )()( sRKtV  — измеримые многозначные ото- бражения, причем координаты убегающего удовлетворяют ограничениям ,)...,,1,1,),(),(:()(  kipRptlypRytG i s iii s .0tt  (12) Здесь числовые функции ),(tli ,...,,1  ki будем считать непрерывными, а век- торы ,ip ,,1 kNi постоянными. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 2 11 Терминальное множество состоит из множеств ),(tM i  ,kNi которые выде- лены в пространствах srn RRR ii  и являются цилиндрическими множествами [2]. Процесс преследования считается законченным в момент t, если хотя бы один из преследователей ловит убегающего, т.е. для некоторого kNi пара ),(},{ tMyx ii  либо убегающий вынужден нарушить фазовые ограничения, что фиксируется соотношением )(),( tlyp ii  для некоторого kNNi \ в опреде- ленный момент времени t. Образуем пары i-й преследователь–убегающий и для kNi положим ,       y x z i i , )(0 0)( )(        tB tC tA i i , 0 0 ),,(              v u vut i ii а для kNNi \ — ,yzi  ),()( tBtAi  ,),,( vvut ii  },0),(:{0  iiii zpzM },)({)}({)( iiii ptltdtM  )}.(),(:{)( tlzpztM iiiii  Таким образом, задача группового преследования (11) с фазовыми ограничениями (12) сведена к задаче группового преследования без ограничений вида (1), (3). При этом каждое из фазовых ограничений можно отождествить со статическим игроком-преследователем, который не движется, но перекрывает оп- ределенные зоны фазового пространства при маневрах убегающего, чем усложня- ет его положение. Поскольку множество )(tG , ,0tt  открыто, выход траектории убегающего на границу этого множества означает его проигрыш. Игровые задачи такого типа называют «играми с линией смерти» [2]. Рассмотрим более общий случай. Пусть фазовые ограничения задаются с по- мощью выпуклозначного непрерывного отображения )(tG с открытыми образа- ми, ,0tt  а его замыкание )(tG определяется опорной функцией ).);(( ptGC Обозначим }));((:{)(  ptGCpK tG барьерный конус многозначного отображения ).(tG Тогда },1),);((),(:{)( )(tGKppptGCypytG  (13) и для любых векторов ,,...,1 mpp принадлежащих ,)(tGK множество }...,,1,1,),);((),(:{)( )( mipKpptGCypytG itGiiim  (14) содержит в себе множество )(tG для .0tt  Поэтому для решения задачи группового преследования (11) с ограничениями на состояние убегающего (13) достаточно рассмотреть многозначные ограничения (14). Из разрешимости задачи группового преследования (11) с ограничениями (14) при любых ,)(tGi Kp  ,,...,1 mi  вытекает разрешимость задачи (11) с выпуклыми ог- раничениями (13). Для иллюстрации предложенного подхода рассмотрим нестационарную за- дачу с простыми движениями: ,,1)(, ,2,...,,1,,1)(, s s iiiii Rytcvvy skiRxtbuux     (15) 12 ISSN 0572-2691 причем фазовые ограничения для убегающего },...,,1,1,,)(),(:{)(  kipRpltlypRytG i s iiii s (16) где il — положительные числа, а терминальное множество задается неравенствами ,)( iii tyx  .kNi (17) Здесь ),(tbi ),(tc ),(tli ),(ti ,kNi — измеримые ограниченные при 00  tt функции. Для нестационарной задачи группового преследования с фазовыми ограни- чениями (15)–(17) согласно схеме, описанной ранее, могут быть найдены разре- шающие функции ),,,( vti  ,Ni а время окончания игры (15)–(17) определя- ется неравенством .1))(,,(maxinf 0 )(   dvt t i Niv (18) Учитывая связь стационарной [2] и нестационарной (15)–(17) задач группового пре- следования с фазовыми ограничениями, получим следующее утверждение. Утверждение. Пусть ),,...,( 000 10 yxxz k — начальное состояние процесса (15)–(17). Тогда если выполнено одно из двух условий: 1) ,i ,kNi что ;0i 2) ,sk  причем },,...,,,...,co{int0 1 0 1 0 1  ppSzSz kkk то существует и конечен такой момент t, ,0t что выполнено неравенство (18). Доказательство вытекает из изложенной в настоящей работе схемы пресле- дования, а также утверждений монографии [2]. Я.Й. Бігун, І.Ю. Кривонос, О.А. Чикрій, К.А. Чикрій ГРУПОВЕ ЗБЛИЖЕННЯ ЗА НАЯВНОСТІ ФАЗОВИХ ОБМЕЖЕНЬ Досліджується нестаціонарна ігрова задача групового зближення за наявності фазових обмежень на положення втікача. Отримано достатні умови на пара- метри конфліктно-керованого процесу, які забезпечують закінчення гри за скін- ченний час з заданих початкових положень. Результати ілюструються на прик- ладі простого групового переслідування в ситуації «оточення». Ya.I. Bigun, I.Iu. Kryvonos, O.A. Chikrii, K.A. Chikrii GROUP APPROACH UNDER STATE CONSTRAINTS The nonstationary game problem of group approach under state constraints is studied. Sufficient conditions on parameters of a conflict-controlled process are obtained which make it feasible to terminate the game in a finite time beginning from given initial positions. The results are illustrated on an example of simple group pursuit under condition of “encirclement”. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2014, № 2 13 1. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. Т.2. — М. : Наука, 1988. — 576 с. 2. Chikrii A.A. Conflict controlled processes. — Boston; London; Dordrecht : Kluwer Academic Publ., 1997. — 424 p. 3. Айзекс Р. Дифференциальные игры. — М. : Мир, 1967. — 480 с. 4. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. — М. : Наука, 1970. — 420 с. 5. Pschenitchnyi B.N., Chikrii A.A., Rappoport J.S. Group pursuit in differential games // J. Leipzig Techn. High School., Germany. — 1982. — P. 13–27. 6. Чикрий А.А. Дифференциальные игры с несколькими преследователями // Тр. Междунар. мат. центра им. С. Банаха, Варшава. — 1985. — 14. — С. 81–107. 7. Chikrii A.A. Group pursuit under bounded evader coordinates // J. of Applied Mathematics and Mechanics. — 1982. — 46, N 6. — P. 726–732. 8. Осипов Ю.С. Альтернатива в дифференциально-разностной игре // Докл. АН СССР. — 1971. — 197, № 5. — С. 751–755. 9. Chikrii A.A. Optimization of game interaction of fractional-order controlled systems // Int. J. “Op- timization Methods and Software”. — 2008. — 23, N 1. — P. 39–73. 10. Чикрий А.А., Эйдельман С.Д. Игровые задачи управления для квазилинейных систем с дробными производными Римана–Лиувилля // Кибернетика и системный анализ. — 2001. — № 6. — С. 66–99. 11. Eiдеlman S.D., Chikrii A.A. Dynamic game problems of approach for fractional-order equations // Ukrainian Mathematical Journal. — 2000. — 52, N 11. — P. 1787–1806. 12. Chikrii A.A., Eiдеlman S.D. Game problems for fractional quasilinear systems // Computers and Mathematics with Applications. — 2002. — 44, N 7. — P. 835–851. 13. Чикрий А.А. Об одном аналитическом методе в динамических играх сближения // Тр. МИ РАН им. В.А. Стеклова. — 2010. — 271. — С. 76–92. 14. Кривонос И.Ю. О нестационарных дифференциальных играх группового сближения // Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2013. — № 5. — С. 16–21. 15. Chikrii A.A. Multi-valued mappings and their selections in game control problems. // J. Autom. and Inform. Science. — 1995. — 27, N 1. — P. 27–38. 16. Chikrii A.A., Rappoport J.S., Chikrii K.A. Multivalued mappings and their selectors in the theory of conflict-controlled processes // Cybernetics and Systems Analysis. — 2007. — 43, N 5. — P. 719–730. 17. Благодатских А.И., Петров Н.Н. Конфликтное взаимодействие групп управляемых объек- тов. — Ижевск : Изд-во «Удмуртский университет», 2009. — 266 с. 18. Григоренко Н.Л. Математические методы управления несколькими динамическими про- цессами. — М. : МГУ, 1980. — 198 с. Получено 04.09.2013

Групповое сближение при наличии фазовых ограничений

Institution

Ähnliche Einträge