Численный подход к параметрической идентификации динамических систем
Запропоновано підхід до числового розв’язання коефіцієнтно-обернених задач відносно систем лінійних неавтономних диференціальних рівнянь зі звичайними похідними. Для ідентифікації коефіцієнтів використовуються результати спостережень різного характеру. Підхід використовує спеціальне зображення розв’...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Проблемы управления и информатики |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207791 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Численный подход к параметрической идентификации динамических систем / К.Р. Айда-заде, В.М. Абдуллаев // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 2. — С. 41-55. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-207791 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2077912025-10-14T00:08:31Z Численный подход к параметрической идентификации динамических систем Чисельний підхід до параметричної ідентифікації динамічних систем Numerical approach to parametric identification of dynamic systems Айда-заде, К.Р. Абдуллаев, В.М. Методы идентификации и адаптивного управления Запропоновано підхід до числового розв’язання коефіцієнтно-обернених задач відносно систем лінійних неавтономних диференціальних рівнянь зі звичайними похідними. Для ідентифікації коефіцієнтів використовуються результати спостережень різного характеру. Підхід використовує спеціальне зображення розв’язку крайової задачі відносно початкової лінійної системи диференціальних рівнянь з нелокальними умовами. З його допомогою задача параметричної ідентифікації зводиться до розв’язання допоміжних крайових задач з нелокальними умовами і однієї системи алгебраїчних рівнянь. Підхід застосовано для розв’язання коефіцієнтно-обернених задач, описаних рівняннями з частинними похідними, в яких ідентифіковні коефіцієнти залежать лише від однієї змінної: тимчасової або просторової. Наведено результати числових експериментів та їх аналіз. An approach to numerical solution to coefficient inverse problems with respect to systems of linear nonautonomous ordinary differential equations is proposed. To identify the coefficients, we use the results of observations which have different characteristics. The approach makes use of a special representation of the solution to the boundary value problem with respect to the initial linear system of differential equations, with nonlinear conditions with the use of which the problem is reduced to solution to auxiliary boundary value problems with nonlocal conditions and to a system of algebraic equations. The approach is extended to solution to coefficient inverse problems described by partial differential equations. In these problems, the identifiable parameters depend only on a time or spatial variable. The results of carried out numerical experiments and their analysis is given. 2014 Article Численный подход к параметрической идентификации динамических систем / К.Р. Айда-заде, В.М. Абдуллаев // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 2. — С. 41-55. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207791 519.622.2 10.1615/JAutomatInfScien.v46.i3.40 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Методы идентификации и адаптивного управления Методы идентификации и адаптивного управления |
| spellingShingle |
Методы идентификации и адаптивного управления Методы идентификации и адаптивного управления Айда-заде, К.Р. Абдуллаев, В.М. Численный подход к параметрической идентификации динамических систем Проблемы управления и информатики |
| description |
Запропоновано підхід до числового розв’язання коефіцієнтно-обернених задач відносно систем лінійних неавтономних диференціальних рівнянь зі звичайними похідними. Для ідентифікації коефіцієнтів використовуються результати спостережень різного характеру. Підхід використовує спеціальне зображення розв’язку крайової задачі відносно початкової лінійної системи диференціальних рівнянь з нелокальними умовами. З його допомогою задача параметричної ідентифікації зводиться до розв’язання допоміжних крайових задач з нелокальними умовами і однієї системи алгебраїчних рівнянь. Підхід застосовано для розв’язання коефіцієнтно-обернених задач, описаних рівняннями з частинними похідними, в яких ідентифіковні коефіцієнти залежать лише від однієї змінної: тимчасової або просторової. Наведено результати числових експериментів та їх аналіз. |
| format |
Article |
| author |
Айда-заде, К.Р. Абдуллаев, В.М. |
| author_facet |
Айда-заде, К.Р. Абдуллаев, В.М. |
| author_sort |
Айда-заде, К.Р. |
| title |
Численный подход к параметрической идентификации динамических систем |
| title_short |
Численный подход к параметрической идентификации динамических систем |
| title_full |
Численный подход к параметрической идентификации динамических систем |
| title_fullStr |
Численный подход к параметрической идентификации динамических систем |
| title_full_unstemmed |
Численный подход к параметрической идентификации динамических систем |
| title_sort |
численный подход к параметрической идентификации динамических систем |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Методы идентификации и адаптивного управления |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207791 |
| citation_txt |
Численный подход к параметрической идентификации динамических систем / К.Р. Айда-заде, В.М. Абдуллаев // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 2. — С. 41-55. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT ajdazadekr čislennyjpodhodkparametričeskojidentifikaciidinamičeskihsistem AT abdullaevvm čislennyjpodhodkparametričeskojidentifikaciidinamičeskihsistem AT ajdazadekr čiselʹnijpídhíddoparametričnoíídentifíkacíídinamíčnihsistem AT abdullaevvm čiselʹnijpídhíddoparametričnoíídentifíkacíídinamíčnihsistem AT ajdazadekr numericalapproachtoparametricidentificationofdynamicsystems AT abdullaevvm numericalapproachtoparametricidentificationofdynamicsystems |
| first_indexed |
2025-10-14T01:11:10Z |
| last_indexed |
2025-10-15T01:09:48Z |
| _version_ |
1846008179021840384 |
| fulltext |
© К.Р. АЙДА-ЗАДЕ, В.М. АБДУЛЛАЕВ, 2014
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 2 41
УДК 519.622.2
К.Р. Айда-заде, В.М. Абдуллаев
ЧИСЛЕННЫЙ ПОДХОД К ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ
ИДЕНТИФИКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Введение
В данной работе предлагается подход к численному решению задач парамет-
рической идентификации относительно динамических процессов, описываемых
системами линейных неавтономных дифференциальных уравнений с обыкновен-
ными производными. Для идентификации постоянных во времени коэффициентов
проводятся дополнительные эксперименты, в ходе которых осуществляются замеры
состояния объекта, которые могут иметь точечный, суммарный и интегральный во
времени характер, что обусловлено возможностями измерительной системы.
Отметим, что с подобными обратными задачами приходится сталкиваться на
этапе параметрической идентификации математических моделей практически для
всех динамических процессов, для которых предполагается строить системы ав-
томатического или автоматизированного управления. В связи с этим различным
аспектам исследования коэффициентно-обратных задач посвящено множество
публикаций [1–15].
Наиболее часто используемым методом параметрической идентификации яв-
ляется приведение обратной задачи к задаче параметрического оптимального уп-
равления и решение ее численными методами первого порядка. Проблема примене-
ния такого подхода связана с необходимостью построения итерационных процедур,
например градиентного спуска, на каждой итерации которого необходимо решать
исходную и сопряженную систему дифференциальных уравнений [9]. Другой под-
ход предполагает использование фундаментальной матрицы решений системы
дифференциальных уравнений и приведение исходной задачи к алгебраической
системе уравнений [13, 14]. Применение этого подхода для неавтономных и неод-
нородных систем дифференциальных уравнений сталкивается с вычислительной
сложностью построения и использования фундаментальной матрицы решений.
В настоящей работе исследуется подход, использующий специальное пред-
ставление решения краевой задачи относительно исходной линейной неавтоном-
ной системы дифференциальных уравнений с нелокальными условиями, с помо-
щью которого задача параметрической идентификации сводится к решению
вспомогательных краевых задач с нелокальными условиями и одной системы ал-
гебраических уравнений. Он применяется и для решения коэффициентно-обрат-
ных задач, описываемых уравнениями с частными производными, в которых иден-
тифицируемые коэффициенты зависят лишь от одной переменной: временной или
пространственной.
Приводятся результаты численных экспериментов и их анализ.
1. Постановка задачи
Рассматривается задача идентификации параметров динамической системы
),()()()()( tFCtBtxtAtx .],( 0 Ttt (1)
Здесь
nRtx )( — фазовое состояние системы;
l
l RCCCC *
21 ),...,,( — ис-
комые параметры; )(),(),( tFtBtA — заданные матричные непрерывные функции
по t, ],,( 0 Ttt соответственно размерности ),1(),(),( nlnnn * — знак
транспонирования.
42 ISSN 0572-2691
Будем предполагать, что ntA )(rang при ],[ 0 Ttt , а n-мерные вектор-функ-
ции ,,...,2,1),( litBi — столбцы матрицы ),(tB удовлетворяют условию линейной
независимости, т е. равенство ,0)(
1
n
l
i
i
i tB
],,[ 0 Ttt где n0 — n-мерный нуле-
вой вектор, выполняется лишь при ,0 i .,..,2,1 li
Для идентификации параметров C проведено N экспериментов при заданных
нелокальных (неразделенных) условиях:
,)( 0
1
0
j
m
k
j
k
jj
k RtxR
,,...,2,1 Nj (2)
где
j
k
R и
j
R
0
— квадратная матрица и вектор размерности n; ],(
0
jjj
k
Ttt
зада-
ны, ,,...,2,1 Nj .,...,2,1 0mk
Предположим, что фигурирующие в (1), (2) матричные, векторные функции
и параметры таковы, что для любого заданного вектора C задача (1), (2) имеет
решение, причем единственное [16, 17].
Замечание 1. Очевидно, если в условии (2) ,rang 1 nR
j
а
j
kR , ,,...,2,1 0mk —
нулевые матрицы ,,...,2,1 Nj то (2) представляет собой начальное условие Коши.
Замечание 2. Частный случай нелокальных условий вида (2) встречается,
например, в «почти циклических» процессах, для которых могут иметь место
условия
},,....2,1{,)()( 1 nrtxrtx jj
k
jj
k
где
jj rr , — заданные параметры, которые для строго циклических процессов
принимают значения ,1
jr .0
jr
Пусть в ходе экспериментов проводились наблюдения за промежуточными
состояниями динамической системы. Решение дифференциальных уравнений (1)
при каждом j-м условии из (2) будем обозначать .)( nj Rtx При проведении на-
блюдений возможны следующие виды результатов измерения состояния [2, 3, 7]:
а) разделенные многоточечные условия вида:
,)(
j
i
j
i
j xtx
,,1,,1 jj sim ,,...,1 Nj (3)
здесь jm — число наблюдаемых координат фазового состояния )(tx в моменты
времени
j
s
j
j
tt
,...,1 в j-м эксперименте при ],[ 0
jj
Ttt (не умаляя общности, пред-
полагается, что в каждом j-м эксперименте наблюдается jm первых компонент
вектора состояния NjRtx n ,...,2,1,)( ); js — число моментов времени наблю-
дения в j-м эксперименте;
N
j
jjsmL
1
— общее число дополнительных наблю-
дений для определения вектора С;
б) неразделенные многоточечные нелокальные условия
,
~
)(~
2
1
j
s
k
j
k
jj
k tx
,,...,1 Nj (4)
где заданные матрицы ,~ j
k ,
~ j ,,1 Nj размерностей ),( nL )1( L соответ-
ственно;
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 2 43
в) интегральные условия
,)()(
0
j
T
t
jj
j
dx ,,...,1 Nj (5)
где заданные матрицы ),( j ,j ,,...,1 Nj размерностей ),( nL )1( L соот-
ветственно;
г) условия смешанного вида при наличии неизвестных параметров:
,)
~
()()( 3
1
2
1
1
21 1
jj
s
k
j
k
jj
k
s
i
t
t
jj
i Ctxdx
j
i
j
i
(6)
где ],;[
~
, 0 Tttt
j
k
j
i ,,...,2,1 1si , ,,...,2,1 2sk заданы,
j
k
j
i t
21
),( — матрицы
размерности ),( nL j3 — матрица размерности ),( lL — L-мерный вектор,
.,...,1 Nj .
Для всех возможных видов измерения будем предполагать, что проводимые
эксперименты независимы, причем выполнено условие .lL Дополнительные
условия (4)–(6) называют условиями переопределения [7, 8].
Отметим, что вопросы существования, единственности рассмотренной зада-
чи с нелокальными условиями исследовались многими авторами, начиная с работ
Ч. Валле-Пуссена, Я.Д. Тамаркина и др. [16, 17]. К сожалению, полученные необ-
ходимые и достаточные условия существования и единственности решения зада-
чи используют выражения фундаментальный матрицы решений и не носят конст-
руктивный характер. На практике факт выполнения этих условий определяется
в процессе численного решения задачи.
2. Метод решения
Решение задачи (1), (2) )(tx j для каждого j-го эксперимента будем искать
в виде
,)()()(
1
0
i
l
i
ijjj Ctxtxtx
],,( 0
jj
Ttt ,,...,1 Nj (7)
где произвольные вектор-функция )(0 tx j и )(txij должны удовлетворять условиям
,)( 0
1
0
0
j
m
k
j
k
jj
k RtxR
,0)(
0
1
n
m
k
j
k
ijj
k txR
.....,2,1 li (8)
Несложно проверить, что в этом случае )(tx j
из (7) удовлетворяет услови-
ям (2) для всех Nj ,...,1 и произвольных ,iC .....,2,1 li Можно показать, что,
если функции ),(txij
,,...,1,0 li являются при ],( 0
jj
Ttt решениями следую-
щих задач:
),()()()( 00 tFtxtAtx jj ,)( 0
1
0
0
j
m
k
j
k
jj
k RtxR
(9)
),()()()( tBtxtAtx iijij ,0)(
0
1
n
m
k
j
k
ijj
k txR
(10)
то функция ),(tx j
определенная формулой (7), удовлетворяет условиям (1), (2) для
произвольных значений вектора C, .,...,2,1 Nj
44 ISSN 0572-2691
Действительно, продифференцировав (7) и подставив в (1), после несложных
преобразований получим
)]()()()([ 00 tFtxtAtx jj
,0)]()()()([
1
i
l
i
iijij CtBtxtAtx ],,( 0
jj
Ttt .,...,2,1 Nj
Учитывая произвольность функций )(0 tx j и ),(txij ,,...,2,1 li требуя от
них равенства нулю выражений, стоящих в квадратных скобках, получим, что эти
функции должны быть решениями задач (9), (10).
Несложно показать единственность представления вида (7) для решения за-
дачи (1), (2) для произвольных значений вектора C. Пусть ее решение будет запи-
сано и в другом виде: ,)(~)(~)(
1
0
l
i
i
jijj Ctxtxtx где )(~),(~
00
0 txtx jij удовлетво-
ряют условиям (8).
Рассмотрим разность представлений решения:
.)](~)([)](~)([)(
1
00
l
i
i
ijijjjj Ctxtxtxtxtz (11)
Подставив )(tz j в (1), (2), после некоторых преобразований получим задачу
с нелокальными условиями относительно однородного уравнения
),()()( tztAtz ,0)(
0
1
n
m
k
j
k
jj
k tzR
,,...,2,1 Nj
для которой очевидно, что ],;[,0)( 0
jjj Ttttz является решением, а учитывая
условия, наложенные на данные, участвующие в уравнении (1), это решение един-
ственное для всех j, .,...,2,1 Nj Из (11) и произвольности значений параметров
,iC ,,...,2,1 li следует, что ,,...,1,0),(~)( litxtx ijij ],,[ 0 Ttt .,...,2,1 Nj
Из (9), (10) получаем, что для решения задачи (1), (2) в виде (7) необходимо
решить )1( lN систем дифференциальных уравнений n-го порядка с неразделен-
ными условиями. Для этого можно использовать численный метод, предложен-
ный в [18, 19].
Замечание 3. Если выполнены условия, указанные в замечании 1, то вспомо-
гательные задачи (9), (10) представляют собой задачи Коши, что существенно об-
легчает дальнейшее решение исходной задачи.
Используя значения решений задач (9), (10) в моменты времени, которые
участвуют в проводимых измерениях одного из видов (3)–(6), получим систему L
линейных алгебраических уравнений относительно вектора ,lRC которую в об-
щем случае запишем
.GQC (12)
Здесь матрица ,,...,1,,...,1)),(( ljLiqQ ij вектор
*
21 ),...,,( LgggG опреде-
ляются видом и результатами проводимых наблюдений. Если ,lL то решение
следует непосредственно из (12): .1GQC Если ,lL под решением (12) будем
понимать вектор
,)( *1* GQQQC (13)
называемый нормальным решением переопределенной системы [7].
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 2 45
Несложно получить элементы матрицы Q для каждого из видов (3)–(6) ре-
зультатов измерения. Для измерений (3) система (12) имеет вид
),()( 0
1
j
i
jj
ik
l
k
j
i
kj txxCtx
,,1,,1 jj sim ,,...,1 Nj ,
1
N
j
jjsmL
,
)()()(
)()()(
)()()(
)()()(
21
2
1
2
21
2
11
1
1
1
21
1
11
1
1
11
21
11
11
1
111
111
N
lN
mN
N
mN
N
m
l
mmm
l
mmm
l
txtxtx
txtxtx
txtxtx
txtxtx
Q
NNN
.
)()(
)()(
)()(
)()(
0
2
01
12
1
1
1
01
1
1
1
01
11
1
1
11
NNNN s
N
ms
N
m
mm
txtx
txtx
txtx
txtx
G
Для измерений вида (4) система (12) определяется следующим образом:
,
1
j
i
l
i
j
iC
,,...,2,1 L ,,...,2,1 Nj (14)
здесь .)(~~
,)(~
22
1
0
1
s
k
j
k
jj
k
jj
s
k
j
k
ijj
k
j
i txtx
В случае измерения (5) система (12) имеет вид
,
1
j
l
i
i
j
iC
,,...,2,1 L ,,...,2,1 Nj (15)
здесь dxdx
T
t
jjjj
T
t
ijjj
i .)()(,)()(
00
0**
В случае измерения вида (6) система (12) представляется так:
,
~~
1
j
l
k
k
j
kC
,,...,2,1 L ,,...,2,1 Nj (16)
,)
~
()()(~
1
3*
1
2*
1
1*
21 1
L
p
j
pj
s
q
kjj
q
s
i
t
t
kjj
i
j
i txdx
i
i
.)
~
()()(
~ 21 1
1
02*
1
01*
j
s
q
jj
q
s
i
t
t
jj
i
jj txdx
i
i
Для решения рассматриваемой задачи параметрической идентификации
можно предложить другой подход. Пользуясь условием независимости функций
,,...,2,1),( litBi и формулой Коши
,,...,2,1,)(),()(),(),()(
00
00 NjCdtBtdFtxtttx
t
t
t
t
jjj
jj
где ),( t — фундаментальная матрица решений системы (1). Подставляя ее в име-
ющиеся условия (2) и в какие-либо заданные дополнительные условия из (3)–(6), по-
лучим линейную систему порядка )( lNn относительно векторов ,0
j
x ,,...,2,1 Nj
и C. Для этой системы алгебраических уравнений, пользуясь свойствами фунда-
ментальной матрицы, можно исследовать существование и единственность реше-
ния относительно искомых векторов [16, 17]. Но этот подход для численного ре-
46 ISSN 0572-2691
шения конкретных задач сталкивается с существенной проблемой построения
фундаментальной матрицы ),( t в случае, если система (1) неавтономна, т.е.
const,)( tA ],[ 0 Ttt [13, 18].
3. Численное решение класса задач параметрической идентификации
относительно дифференциальных уравнений с частными производными
Предлагаемый в работе подход, применяя метод прямых, можно использовать
для решения некоторых задач идентификации относительно дифференциальных
уравнений с частными производными, в которых идентифицируемые коэффициен-
ты зависят от одной независимой переменной: временной или пространственной.
Для иллюстрации рассмотрим следующую задачу восстановления коэффици-
ентов для параболического уравнения:
}.0,0:),{(),(
),,();,(),(),(
),(
),(
),(
),(
),(
212
2
Ttaxtxtx
txfCtxFtxutx
x
txu
tx
x
txu
tx
t
txu
(17)
Здесь
,)(),();,(
1
l
i
ii tCtxBCtxF (18)
),( txBi — заданные непрерывные линейно-независимые функции.
Требуется определить l-мерную вектор-функцию .))(),...,(),(()( *
21 tCtCtCtC l
Для идентификации )(tC имеются результаты N экспериментов, проведенных
при различных начальных и краевых условиях:
,0),()0,( axxxu jj (19)
,0),(),(),(),0( 21 Ttttauttu
jjjj (20)
где .,...,2,1 Nj При каждом эксперименте проводились наблюдения за состоя-
нием процесса. Пусть ),( txu j
— состояние процесса в точке x в момент времени
t при j-м эксперименте, .,...,2,1 Nj
Дополнительные условия, необходимые для определения вектор-функции ),(tC
полученные по результатам наблюдений за процессом при каждом j-м экспери-
менте, могут иметь различный вид, зависящий от метода измерения [2, 3, 7]:
а) разделенные многоточечные условия вида
;0,,...,2,1),(),( TtLittxu
j
ii
j (21)
б) нелокальные точечные неразделенные условия:
);(),~()(~
0
1
2
ttxut
j
s
k
k
jj
(22)
в) интегральные условия
);(),(),( 0
0
tdxtxutx
j
a
jj (23)
г) условия смешанного вида с участием неизвестного вектора параметров )(tC
).()()(),~()(),(),( 0
3
1
2
1
1
21 1
ttCttxutdxtxutx
jj
s
jj
s
i
x
x
jj
i
j
i
j
i
(24)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 2 47
Здесь ,0),( tx ),,(1 tx ),,(2 tx ),,( txf ),(x )(),( 21 tt — заданные не-
прерывные функции; ],,0[~, axx jj
i ,,...,2,1 1si ,,...,2,1 2s заданы; ),(~ tj
),,( txj ),(0 t
j
),,(
1
tx
j
i ),(2 tj
),(3 tj ,,...,2,1 1si ,,...,2,1 2s
,,...,2,1 Nj — заданные непрерывные по совокупности аргументов L-мерные
вектор-функции; функции ),(xj )(),( 21 tt
jj
удовлетворяют условиям согласо-
вания ).0()(),0()0( 21
jjjj a Задача состоит в нахождении непрерывной
вектор-функции ),(tC удовлетворяющей условиям (18), (19) и одному из допол-
нительных условий (21)–(24) в зависимости от вида измерения.
Рассматриваемую задачу идентификации исследовали многие авторы [1–15].
Были получены необходимые условия существования и единственности реше-
ния [10–12]. С помощью предложенных в работах [8, 9] методов решения этой за-
дачи использовали сведение ее к задаче оптимального управления, для решения
которой применялись итерационные методы. В работах [13, 14] задача сводилась
к интегральному уравнению, решение которого представляет вычислительную
сложность. Ниже задача (17)–(24) приведена к задаче параметрической идентифи-
кации относительно системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
В целях приведения задачи (17)–(19) к рассмотренной выше задаче и приме-
нения предложенного подхода используем метод прямых. В области проведем
прямые , ktt k ,,...,1,0 Mk ./ MT
Производную
kttt
txu
),(
в (17) аппроксимируем разностным отношением
,,...,2,1),(
),(),(),( 1 MkO
txutxu
t
txu kk
tt k
и далее используем обо-
значения:
),,()()(
k
k txuxU ),()(
k
k tCC ),(1
)(
1 k
k
t ),(2
)(
2 k
k
t ,
),(
),(
)(
~ )(
k
kk
tx
txB
xB
,
),(
1
),(
),(~
,
),(
),(
)(
~ 2)(
2
1)(
1
kk
kk
k
kk
txtx
tx
x
tx
tx
x
.
),(
)(
),(
),(
)(
~ )1(
)(
k
k
k
kk
tx
xU
tx
txf
xf
В результате получим уравнения второго порядка с обыкновенными производными:
).()(
,,...,2,1),(
~
)(
~
)()(
~
)()(
~
)(
)0(
)(
1
)()()()(
2
)()(
1
)(
xxU
MkxfCxBxUxxUxxU k
l
i
k
i
k
i
kkkkk
(25)
Из (19) получаем условия
,,...,2,1,)(,)0(
)(
2
)()(
1
)( MkaUU
kkkk (26)
а дополнительные условия имеют следующий вид:
а) разделенные многоточечные условия
;,...,1,)(
)()( lixU
jk
ii
jk (27)
б) нелокальные точечные неразделенные условия
;)~(~ )(
0
1
)()(
2
jk
s
i
i
jkjk xU
(28)
48 ISSN 0572-2691
в) интегральные условия
;)()(
)(
0
0
)()( jk
a
jkjk dxxUx (29)
г) условия смешанного вида при наличии неизвестного вектора парамет-
ров :)(tC
.)~()()(
)(
0
)()(3
1
)()(2
1
)()(1
21 1
jkkjk
s
jkjk
s
i
x
x
jkjk
i CxUdxxUx
j
i
j
i
(30)
Уравнения (25) при каждом ,,...,2,1, Mkk приведем к системе двух диф-
ференциальных уравнений первого порядка:
),()(
,,...,2,1),(
~
)(
~
)(
~
)()(
~
),()(
)0(
1
)(
1
)()()(
2
)(
1
)(
1
)(
2
)(
2
)(
2
)(
1
xxU
MkxfCxBxUxxUxU
xUxU
k
l
i
k
i
k
i
kkkkk
kk
(31)
.,...,2,1,)(,)0( )(
2
)(
1
)(
1
)(
1 MkaUU kkkk (32)
Записав условия (32) в виде (2), предполагая, что ,01 t at 2 ,2( 0 m
),1N ,
0
0
0
11
2
1
1
RR видим, что задача (31), (32) совпадает с рассмотрен-
ной выше задачей, следовательно, для ее решения можно использовать предло-
женный подход.
Теперь рассмотрим другую задачу параметрической идентификации относи-
тельно процесса (17)–(19), в которой
.)(),();,(
1
l
i
ii xCtxBCtxF (33)
Здесь идентифицируемой является вектор-функция ,))(),...,(),(()( *
21 xCxCxCxC l
для определения которой дополнительные условия могут быть:
а) разделенными многоточечными:
;0,,...,1),(),( axlixtxu
j
ii
j (34)
б) нелокальными точечными неразделенными:
);(),()(~
0
1
2
xtxux
j
s
i
i
jj
(35)
в) интегральными:
);(),(),( 0
0
xdttxutx
j
T
jj (36)
г) смешанного вида с участием неизвестного вектора параметров )(xC :
).()()()
~
,()(),(),( 0
3
1
2
1
1
21 1
xxCxtxuxdttxutx
jj
s
jjj
s
i
t
t
jj
i
j
i
j
i
(37)
Здесь ],;[
~
, 0 Tttt
j
k
j
i ,,...,2,1 1si 2,...,2,1 s заданы; ),(~ xj ),,( txj ),(0 x
j
),,(
1
tx
j
i ),(2 xj
),(3 xj ,,...,2,1 1si ,,...,2,1 2s ,,...,2,1 Nj — заданные
непрерывные по совокупности аргументов L-мерные вектор-функции.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 2 49
Рассматриваемая задача заключается в нахождении функций ),(xCi ,,...,2,1 li
и ),,( txu удовлетворяющих условиям (17)–(19), (33) и одному из условий (34)–(37).
В области проведем прямые ,khxx k ,,...,1,0 Mk ./ Mah Введем
обозначения ),,()()( txutU k
k ),,()()( txBtB k
k ),( kk x ),()(
k
k xCC )()( tk
),,( txk ),,()( 1
)(
1 txt k
k
),,()( 2
)(
2 txt k
k
),,()()( txftf k
k .1,...,1 Mk
Аппроксимировав в (17) производные
kxxx
txu
2
2 ),(
и
kxxx
txu
),(
разнос-
тным отношением
,1,...,1),(
2
)()(),( 2
)1()1(
MkhO
h
tUtU
x
txu kk
xx k
,1,...,1),(
)()(2)(),( 2
2
)1()()1(
2
2
MkhO
h
tUtUtU
x
txu kkk
xx k
получим систему дифференциальных уравнений с обыкновенными производными
)1( M -го порядка:
],,0(),()(),()(
,1,...,2,1),()()()(
))()((
2
)(
))()(2)((
)(
)(
2
)(
1
)0(
)(
1
)()()()(
2
)1()1(
)(
1)1()()1(
2
)(
)(
TtttUttU
MktfCtBtUt
tUtU
h
t
tUtUtU
h
t
tU
M
k
l
i
k
i
k
i
kk
kk
k
kkk
k
k
(38)
с условиями
,)0( )()( kkU .1,...,2,1 Mk (39)
После некоторых обозначений получим задачу, эквивалентную (1), (2):
.)0(
,1,...,2,1),()()()(
~
)(
)()(
)()()(
kk
kkk
U
MktFCtBtUtAtU
Дополнительные условия (34)–(37) примут вид:
а) разделенные многоточечные условия (34)
;,...,1,)(
)()( litU
jk
ii
jk (40)
б) нелокальные точечные неразделенные условия (35)
;)(~ )(
0
1
)()(
2
jk
s
i
i
jkjk tU
(41)
в) интегральные условия (36)
;)()(
)(
0
0
)()( jk
T
jkjk dttUt (42)
г) условия смешанного вида (37)
.)
~
()()(
)(
0
)()(3
1
)()(2
1
)()(1
21 1
jkkjk
s
jjkjk
s
i
t
t
jkjk
i CtUdttUt
j
i
j
i
(43)
Задача (38), (39) при наблюдениях (40)–(43) является частным случаем рассмот-
ренной выше задачи параметрической идентификации относительно (1), (2) при ка-
50 ISSN 0572-2691
ком-либо одном из условий (3)–(6), так как вместо нелокальных условий (2) име-
ем начальные условия Коши (39). Поэтому для ее численного решения можно ис-
пользовать предложенный подход.
Предлагаемый в работе подход также можно распространить на случай ре-
шения задач параметрической идентификации относительно других видов диф-
ференциальных уравнений с частными производными.
4. Результаты численных экспериментов
Были проведены многочисленные эксперименты на тестовых задачах с приме-
нением предложенных в данной работе формул и схем численного решения. Ре-
зультаты показали достаточную практическую эффективность описанного подхода.
Задача 1. Приведем результаты численных экспериментов для линейной сис-
темы дифференциальных уравнений третьего порядка:
,4cos2sinsin312
32)()(2)(3)(
3
3213211
ttttttt
tCtCtCttxtxttxtx
,12cos2sin)1(2sin42
32)()(2)()(
23
3213212
tttttttt
tCCtCtxttxttxtx
(44)
].1,0(,12sincos42cos22sin210
2)(2)()()(
2
213213
tttttttt
tCCttxtxtxtx
Несложно проверить, что согласно критерию Грамма вектор-функции )(1 tB
*)1;2;( tt , ,)2;3;2()( *
2 tttB *
3 )0;;3()( tttB при ]1;0[t линейно неза-
висимы, а вектор-функция
*2 )12sin;2cos;1sin()(~ ttttttx и вектор
**
321 )0,5;0,4;0,3()
~
,
~
,
~
(
~
CCCC — точные решения поставленной задачи.
Пусть для определения неизвестного вектора ,3, lRC l проводился один
эксперимент (т.е. )1N с начальными условиями
,)0,1;0,3;0,1()0( *x (45)
при котором наблюдались следующие три промежуточных состояния :)3( L
.9320,1)6,0(,3211,3)4,0(,3099,1)25,0( 321 xxx (46)
В табл. 1–3 приведены численные результаты решения задачи. Для решения
задач Коши использовался метод Рунге–Кутта четвертого порядка с шагом .005,0
В проводимых экспериментах точные значения наблюдаемых компонент вектора
*
321 ),,( xxxx в (46) зашумлялись случайными помехами по формуле x~
)),12(1( x ,3,2,1 где — случайная величина, равномерно рас-
пределенная на отрезке ],1;0[ ,3,2,1 — уровень помех. В табл. 2 приведены
точные и полученные значения параметров C при 0 (без помех), ,01,0 0,03;
в табл. 3 — полученные решения задачи Коши (44), (45) при уровне помех, рав-
ных 1%, 3 %, соответствующих значениям , равным 0,01, 0,03. Отметим, что
приводимые в табл. 1 результаты решения вспомогательных задач Коши (9), (10)
не зависят от результатов наблюдений (46).
Значения компонент точного решения задачи (44), (45) в табл. 3 не приведе-
ны, так как с точностью приводимых в таблице значащих после запятой цифр они
полностью совпадали с результатами приближенного решения при нулевом уров-
не помех.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 2 51
Таблица 1
t
Численные решения вспомогательных задач (9), (10)
0
1x 0
2x 0
3x 1
1x 1
2x 1
3x 2
1x 2
2x 2
3x 3
1x 3
2x 3
3x
0,0 1,000 3,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
0,1 0,940 1,883 0,615 0,004 0,005 0,099 0,020 0,300 0,070 0,015 0,005 0,001
0,2 0,551 0,722 0,351 0,015 0,020 0,191 0,080 0,603 0,280 0,065 0,021 0,009
0,3 0,193 0,504 1,897 0,030 0,045 0,269 0,180 0,912 0,623 0,154 0,049 0,032
0,4 1,340 1,822 3,999 0,046 0,079 0,327 0,320 1,230 1,086 0,294 0,092 0,078
0,5 2,978 3,264 6,623 0,063 0,123 0,361 0,503 1,559 1,651 0,502 0,155 0,155
0,6 5,245 4,867 9,733 0,080 0,176 0,368 0,731 1,899 2,296 0,801 0,245 0,275
0,7 8,363 6,679 13,301 0,097 0,237 0,348 1,013 2,250 2,997 1,230 0,371 0,450
0,8 12,684 8,771 17,326 0,118 0,306 0,302 1,363 2,610 3,732 1,847 0,549 0,699
0,9 18,773 11,256 21,859 0,145 0,379 0,232 1,805 2,979 4,478 2,742 0,800 1,045
1,0 27,539 14,320 27,036 0,186 0,455 0,146 2,382 3,360 5,220 4,059 1,158 1,526
Таблица 2
Значения
параметров
Точные
Полученные при разных уровнях помех
0 01,0 03,0
1C 3,000000 3,000007 3,000904 3,002698
2C 4,000000 4,000000 4,007954 4,023863
3C 5,000000 5,000000 4,939015 4,817043
Таблица 3
t
Решения задачи 1 при разных уровнях помех
0 01,0 03,0
1x
2x
3x
1x
2x
3x
1x
2x
3x
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,0000
1,1098
1,2387
1,3855
1,5494
1,7294
1,9246
2,1342
2,3573
2,5933
2,8415
3,0000
3,0950
3,1801
3,2553
3,3211
3,3776
3,4253
3,4649
3,4967
3,5216
3,5403
1,0000
1,1987
1,3894
1,5646
1,7174
1,8415
1,9320
1,9855
1,9996
1,9739
1,9093
1,0000
1,1091
1,2354
1,3776
1,5341
1,7029
1,8817
2,0673
2,2557
2,4406
2,6130
3,0000
3,0971
3,1836
3,2596
3,3252
3,3804
3,4254
3,4599
3,4837
3,4962
3,4960
1,0000
1,1992
1,3912
1,5679
1,7215
1,8454
1,9339
1,9821
1,9869
1,9459
1,8579
1,0000
1,1075
1,2288
1,3617
1,5034
1,6498
1,7957
1,9336
2,0523
2,1352
2,1561
3,0000
3,1012
3,1906
3,2681
3,3334
3,3861
3,4254
3,4500
3,4577
3,4453
3,4075
1,0000
1,2004
1,3949
1,5743
1,7299
1,8534
1,9375
1,9755
1,9616
1,8901
1,7552
Задача 2. Пусть в задаче, описываемой условиями (44), (45), заданы допол-
нительные разделенные многоточечные условия вида (3), причем ,5L т.е.
:lL
,3099,1)25,0(1 x ,3211,3)4,0(2 x ,9320,1)6,0(3 x
,3776,3)5,0(2 x .9975,1)75,0(3 x
В табл. 4, 5 приведены результаты численного решения задачи, причем пара-
метры и численные схемы такие же, как при решении задачи 1. Сравнение резуль-
татов, приведенных в табл. 3, 4, показывает, что для lL получаемые результаты
решения задачи точнее, чем для .lL
Таблица 4
Значения
параметров
Точные
Полученные при разных уровнях помех
0 01,0 03,0
1C 3,000000 2,999974 3,007955 3,023916
2C 4,000000 4,000005 4,000001 3,999993
3C 5,000000 4,999994 4,972973 4,918932
52 ISSN 0572-2691
Таблица 5
t
Решения задачи 2 при разных уровнях помех
0 01,0 03,0
1x
2x
3x
1x
2x
3x
1x
2x
3x
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,0000
1,1098
1,2387
1,3855
1,5494
1,7294
1,9246
2,1342
2,3573
2,5933
2,8415
3,0000
3,0950
3,1801
3,2553
3,3211
3,3776
3,4253
3,4649
3,4967
3,5216
3,5403
1,0000
1,1987
1,3894
1,5646
1,7174
1,8415
1,9320
1,9855
1,9996
1,9739
1,9093
1,0000
1,1095
1,2370
1,3816
1,5418
1,7164
1,9036
2,1017
2,3084
2,5204
2,7332
3,0000
3,0948
3,1793
3,2537
3,3180
3,3724
3,4173
3,4529
3,4794
3,4970
3,5054
1,0000
1,1994
1,3907
1,5659
1,7178
1,8401
1,9275
1,9760
1,9831
1,9475
1,8692
1,0000
1,1087
1,2338
1,3738
1,5267
1,6903
1,8616
2,0368
2,2104
2,3745
2,5168
3,0000
3,0945
3,1779
3,2503
3,3117
3,3621
3,4013
3,4291
3,4449
3,4477
3,4355
1,0000
1,2009
1,3932
1,5684
1,7188
1,8375
1,9185
1,9572
1,9501
1,8946
1,7891
Задача 3. Пусть относительно процесса, описываемого условиями (44), (45),
заданы следующие дополнительные неразделенные многоточечные условия ви-
да (4), причем ,3 lL :1N
,419014,12)6,0()4,0(3)25,0(2)25,0(2 3121 xxxx
,603974,2)6,0(3)6,0(2)4,0( 321 xxx
.587835,6)4,0()4,0()4,0( 321 xxx
Результаты численного решения задачи приведены в табл. 6.
Таблица 6
Значения
параметров
Точные
Полученные при разных уровнях помех
0 01,0 03,0
1C 3,000000 3,000001 3,051411 3,082986
2C 4,000000 4,000000 3,970623 3,956622
3C 5,000000 5,000001 5,140612 4,993483
Задача 4. Пусть дополнительно к данным постановки задачи 3 имеется еще
два наблюдения с неразделенными условиями (4), т.е. :3,1,5 lNL
7,952026,)4,0(2)25,0( 21 xx
1,988161.)6,0(2)6,0()4,0( 321 xxx
В табл. 7 приведены результаты численного решения, из таблицы видно, что
полученная точность выше, чем в задаче 3.
Таблица 7
Значения
параметров
Точные
Полученные при разных уровнях помех
0 01,0 03,0
1C 3,000000 3,000001 2,995866 2,991647
2C 4,000000 4,000000 4,008199 3,988692
3C 5,000000 5,000001 4,963350 5,066639
Задача 5. Рассмотрим задачу параметрической идентификации для параболи-
ческого уравнения (17):
),()83)2((
),(10),(
)2(
),( 22
5
2
2
2 txutx
x
txue
x
txu
x
t
txu t
),cos(4)()cos()52()()sin()2( 3
21 xtetCxttCxt t (47)
}.10,10:),{(),( txtxtx
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 2 53
Здесь ),( txu — состояние процесса, 2)( RtC — идентифицируемый вектор пара-
метров, причем функция )sin(),( 2 xetxu t и вектор-функция *32 )2;3()( tt eetC
удовлетворяют уравнениям (47).
Для идентификации вектора )(tC проведен один эксперимент )1( N при
начально-краевых условиях:
,10,0),1(,0),0(
,10),(sin)0,(
ttutu
xxxu
(48)
при котором проводились наблюдения в двух точках: 25,0x и 5,0x
(т.е. )2 lL и в результате получены дополнительные разделенные многото-
чечные условия вида (21):
.10,),5,0(,
2
2
),25,0( 2
2
tetu
e
tu t
t
(49)
Для сведения задачи (47), (48) к задаче (1)–(3) методом прямых при проведе-
нии численных экспериментов использовались различные значения шага
(т.е. число прямых). Решения для ]04,0;02,0[ практически не различались
и были достаточно близки к точному решению. В табл. 8 приведены результаты,
полученные при 04,0 , т.е. .25M Для решения вспомогательных задач Ко-
ши использовался метод Рунге–Кутта четвертого порядка, результаты приведены
при величине шага .005,0h
Таблица 8
t
Точные значения
Полученные значения при разных уровнях помех
0 01,0 03,0
)(1 tC )(2 tC )(1 tC )(2 tC )(1 tC )(2 tC )(1 tC )(2 tC
0,02
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
2,8824
2,4562
2,0110
1,6464
1,3480
1,1036
0,9036
0,7398
0,6057
0,4959
0,4060
2,1237
2,6997
3,6442
4,9192
6,6402
8,9634
12,0993
16,3323
22,0464
29,7595
40,1711
2,8636
2,4407
1,9989
1,6370
1,3405
1,0978
0,8990
0,7362
0,6028
0,4936
0,4042
2,1235
2,6996
3,6441
4,9191
6,6402
8,9633
12,0993
16,3323
22,0463
29,7594
40,1711
2,8947
2,8333
2,2367
1,4903
1,1680
1,0295
1,0135
0,7121
0,7030
0,5126
0,3633
2,1159
2,5988
3,5681
4,9315
6,6875
8,9959
12,0748
16,3318
22,0269
29,7469
40,1803
2,8262
4,3093
2,5438
1,3889
1,8971
0,6812
0,9103
1,0202
0,8198
0,4336
0,3718
2,1327
2,3814
3,4451
4,9318
6,5108
9,0454
12,1324
16,2826
21,9920
29,7973
40,1879
В табл. 8 приведены точные и полученные значения параметров )(tC при
,0 ,03,0,01,0 что соответствует замерам без помех, при помехах 1 % и 3 % от
измеряемой величины в условиях (49).
Задача 6. Пусть относительно процесса (47), (48) дополнительно к наблюде-
ниям (49) проводились наблюдения и в точках 125,0x и :75,0x
),125,0sin(),125,0( 2 tetu ),75,0sin(),75,0( 2 tetu ,10 t (50)
т.е. в данной задаче .,2,4,1 lLlLN
Параметры численных методов аналогичны параметрам, используемым в за-
даче 5. Ясно, что точные решения задач 5 и 6 совпадают. В табл. 9 приведены по-
лученные результаты решения задачи 6 при различных уровнях помех на изме-
ряемые величины (49), (50) состояния процесса.
Осуществлены многочисленных другие численные эксперименты, результа-
ты которых из-за большого объема не приводятся. Отметим лишь, что эти экспе-
рименты показали возможность получения решения задач предлагаемым методом
с требуемой высокой точностью и достаточно высокую его устойчивость к поме-
хам в исходных данных задачи.
54 ISSN 0572-2691
Таблица 9
t
Полученное решение задачи 6 при разных уровнях помех
0 01,0 03,0
)(1 tC )(2 tC )(1 tC )(2 tC )(1 tC )(2 tC
0,02
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
2,8633
2,4406
1,9988
1,6369
1,3405
1,0978
0,8990
0,7361
0,6028
0,4936
0,4042
2,1236
2,6997
3,6442
4,9192
6,6402
8,9634
12,0993
16,3323
22,0463
29,7595
40,1711
2,8730
2,4032
1,9927
1,6909
1,4483
1,0243
0,9285
0,7168
0,5781
0,4671
0,4130
2,1209
2,7036
3,6533
4,9178
6,6102
8,9809
12,0961
16,3331
22,0501
29,7655
40,1691
2,8647
2,5047
1,6089
1,4957
1,1653
1,2754
1,0019
0,6496
0,4935
0,4287
0,4799
2,1226
2,6218
3,7069
4,9739
6,6857
8,9198
12,0687
16,3456
22,0715
29,7740
40,1539
Из результатов, приведенных в таблицах, следует, что предлагаемый подход
позволяет достаточно точно определять значения идентифицируемых параметров,
если дополнительная информация о состоянии процесса известна точно.
При наличии помех при проведении замеров, как и следовало ожидать, зна-
чения параметров точно соответствуют полученной искаженной информации,
а следовательно, не соответствуют искомым значениям. Для более точного опре-
деления искомых значений идентифицируемых параметров необходимо увели-
чить точность замеров или количество информации, т.е. точек или моментов вре-
мени замера параметров состояния процесса.
Заключение
В настоящей работе исследовано численное решение задач параметрической
идентификации относительно динамических процессов, описываемых системами
линейных неавтономных дифференциальных уравнений с обыкновенными произ-
водными. Для идентификации коэффициентов проводятся дополнительные экспе-
рименты, результаты наблюдений за которыми могут иметь различный характер.
Исследуется подход, использующий специальное представление решения краевой
задачи относительно исходной линейной системы дифференциальных уравнений с
нелокальными условиями, с помощью которого задача параметрической идентифи-
кации сводится к решению вспомогательных краевых задач и одной системы алгеб-
раических уравнений. Подход может применяться для решения коэффициентно-
обратных задач, описываемых уравнениями с частными производными, в которых
идентифицируемые коэффициенты зависят лишь от одной переменной: временной
или пространственной. Проведены многочисленные эксперименты на специально
построенных тестовых задачах с применением предложенных в данной работе
формул и схем численного решения. Результаты экспериментов показали достаточ-
но высокую эффективность практического применения описанного подхода.
К.Р. Айда-заде, В.М. Абдуллаєв
ЧИСЛОВИЙ ПІДХІД ДО ПАРАМЕТРИЧНОЇ
ІДЕНТИФІКАЦІЇ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ
Запропоновано підхід до числового розв’язання коефіцієнтно-обернених задач ві-
дносно систем лінійних неавтономних диференціальних рівнянь зі звичайними
похідними. Для ідентифікації коефіцієнтів використовуються результати спосте-
режень різного характеру. Підхід використовує спеціальне зображення розв’язку
крайової задачі відносно початкової лінійної системи диференціальних рівнянь з
нелокальними умовами. З його допомогою задача параметричної ідентифікації
зводиться до розв’язання допоміжних крайових задач з нелокальними умовами і
однієї системи алгебраїчних рівнянь. Підхід застосовано для розв’язання коефіці-
єнтно-обернених задач, описаних рівняннями з частинними похідними, в яких
ідентифіковні коефіцієнти залежать лише від однієї змінної: тимчасової або прос-
торової. Наведено результати числових експериментів та їх аналіз.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 2 55
K.R. Aida-zade, V.M. Abdullaev
NUMERICAL APPROACH TO PARAMETRIC
IDENTIFICATION OF DYNAMIC SYSTEMS
An approach to numerical solution to coefficient inverse problems with respect to
systems of linear nonautonomous ordinary differential equations is proposed. To
identify the coefficients, we use the results of observations which have different
characteristics. The approach makes use of a special representation of the solution to
the boundary value problem with respect to the initial linear system of differential
equations, with nonlinear conditions with the use of which the problem is reduced to
solution to auxiliary boundary value problems with nonlocal conditions and to a sys-
tem of algebraic equations. The approach is extended to solution to coefficient in-
verse problems described by partial differential equations. In these problems, the
identifiable parameters depend only on a time or spatial variable. The results of car-
ried out numerical experiments and their analysis is given.
1. Kunze H., Vrscay E.R. Solving inverse problems for ordinary differential equations using the
Picard contraction mapping // Inverse Problems. ––1999. –– 15. –– P. 745–770.
2. Aida-zade K.R. A numerical method of restoring the parameters of a dynamic system // Cybernet-
ics and Systems Analysis. –– 2004. –– N 3. –– P. 392–399.
3. Aida-zade K.R. Numerical method of identification of dynamic system parameters // J. of Inverse
Ill-posed Problems. –– 2005. –– 13, Iss. 3. — P. 201–211.
4. Aida-zade K.R., Rahimov A.B. An approach to numerical solution of some inverse problems for pa-
rabolic equations // J. of Inverse in Science and Engineering. — 2014. — 22, N 1. — P. 96–111.
5. Камынин В.Л. Об обратной задаче определения правой части в параболическом уравнении
с условием интегрального переопределения // Мат. заметки. –– 2005. –– 77, № 4. ––
С. 522–534.
6. Belov Yu.Ya. Inverse problems for parabolic equations // J. of Inverse Ill-posed Problems. —
1993. — 1, Iss. 4. –– P. 283–305.
7. Сергиенко И.B., Дейнека В.С. Решение некоторых обратных задач теплопроводности для
составной пластины с использованием псевдообратных матриц // Докл. НАН Украины. ––
2011. –– № 12. –– С. 28–34.
8. Сергиенко И.B., Дейнека В.С. Решение комплексных обратных задач термоупругости //
Проблемы управления и информатики. –– 2007. –– № 5. –– С. 64–87.
9. Hasanov A., Otelbaev M., Akpayev B. Inverse heat conduction problems with boundary and final
time measured output data // Inverse Probl. Sci. Eng. –– 2011. –– 19. –– P. 895–1006.
10. Ivanchov M.İ. Inverse problems for the heat-conduction equation with nonlocal boundary condi-
tions // Ukrainian Mathematical Journal. –– 1993. –– 45, N 8. –– P. 1186–1192.
11. Саватеев Е.Г. О задаче идентификации коэффициента параболического уравнения // Си-
бирский математический журнал –– 1995. –– 36, № 1. –– С. 177–185.
12. Прилепко А.И., Костин А.Б. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений
с финальным и интегральным наблюдением // Математический сборник –– 1992. –– 183,
№ 4. –– С. 49–68.
13. Yan L., Fu C.L., Yang F.L. The method of fundamental solutions for the inverse heat source prob-
lem // Eng. Anal. Boundary Elements. –– 2008. –– 32. –– P. 216–222.
14. Ismailov M.I., Kanca F., Lesnic D. Determination of a time-dependent heat source under nonlocal
boundary and integral overdetermination conditions // Appl. Math. Comput. –– 2011. –– 218. ––
P. 4138–4146.
15. Cannon J.R., Duchateau P. Structural identification of an unknown source term in a heat equation
// Inverse Probl. –– 1998. –– 14. –– P. 535–551.
16. Vallee-Poussin Ch.J. Sur l’équation differentielle lineare dusecond order defermination d’une in-
tegrale par deux valeurx assignees. Extension aux eqution d’orde n // J. Math. Pura Et Appl. ––
1929. –– N 9. –– P. 125–144.
17. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных
уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. — Петроград, 1917. — 308 с.
18. Айда-заде К.Р. О решении систем дифференциальных уравнений с нелокальными усло-
виями // Вычислительные технологии. –– 2004. — 1, № 9. –– С. 1125.
19. Abdullaev V.M., Aida-zade K.R. On numerical solution to systems of loaded ordinary differential
equations // Comp. Mathematics and Mathematical Physics. –– 2004. –– 44, N 9. –– P. 1585–1595.
Получено 07.08.2013
После доработки 02.10.2013
file:///J:/04/1
http://link.springer.com/article/10.1007/BF01070965
http://link.springer.com/article/10.1007/BF01070965
http://link.springer.com/article/10.1007/BF01070965
http://link.springer.com/journal/11253
http://link.springer.com/journal/11253/45/8/page/1
|