О проблеме стабилизации стохастических дифференциально-функциональных уравнений с импульсными марковскими возмущениями и постоянным запаздыванием. Часть 2
Розглянуто проблему стійкості за першим наближенням стохастичних диференціально-функціональних рівнянь з імпульсними марковськими збуреннями і постійним запізненням. Ця система повинна мати властивість асимптотичної стійкості за ймовірністю та забезпечувати наперед задану оптимальність перехідного п...
Saved in:
| Date: | 2014 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2014
|
| Series: | Проблемы управления и информатики |
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207855 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О проблеме стабилизации стохастических дифференциально-функциональных уравнений с импульсными марковскими возмущениями и постоянным запаздыванием. Часть 2 / В.И. Мусуривский, В.К. Ясинский // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 6. — С. 5-10. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-207855 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2078552025-10-15T00:07:33Z О проблеме стабилизации стохастических дифференциально-функциональных уравнений с импульсными марковскими возмущениями и постоянным запаздыванием. Часть 2 Про проблему стабілізації стохастичних диференціально-функціональних рівнянь з імпульсними марківськими обуреннями та постійним запізненням. Частина 2 On the problem of stabilization of stochastic differential-functional equations with impulse Markovian perturbations and constant lag. Part II Мусуривский, В.И. Ясинский, В.К. Проблемы динамики управляемых систем Розглянуто проблему стійкості за першим наближенням стохастичних диференціально-функціональних рівнянь з імпульсними марковськими збуреннями і постійним запізненням. Ця система повинна мати властивість асимптотичної стійкості за ймовірністю та забезпечувати наперед задану оптимальність перехідного процесу. The problem of stability on the first approximation of stochastic differential-functional equations with impulse Markovian perturbations and constant lag is considered. This system must be asymptotically stable by the probability and provide preassigned optimality of a transient process. 2014 Article О проблеме стабилизации стохастических дифференциально-функциональных уравнений с импульсными марковскими возмущениями и постоянным запаздыванием. Часть 2 / В.И. Мусуривский, В.К. Ясинский // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 6. — С. 5-10. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207855 519.718:519.217:519.837:517.929 10.1615/JAutomatInfScien.v46.i11.40 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем |
| spellingShingle |
Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Мусуривский, В.И. Ясинский, В.К. О проблеме стабилизации стохастических дифференциально-функциональных уравнений с импульсными марковскими возмущениями и постоянным запаздыванием. Часть 2 Проблемы управления и информатики |
| description |
Розглянуто проблему стійкості за першим наближенням стохастичних диференціально-функціональних рівнянь з імпульсними марковськими збуреннями і постійним запізненням. Ця система повинна мати властивість асимптотичної стійкості за ймовірністю та забезпечувати наперед задану оптимальність перехідного процесу. |
| format |
Article |
| author |
Мусуривский, В.И. Ясинский, В.К. |
| author_facet |
Мусуривский, В.И. Ясинский, В.К. |
| author_sort |
Мусуривский, В.И. |
| title |
О проблеме стабилизации стохастических дифференциально-функциональных уравнений с импульсными марковскими возмущениями и постоянным запаздыванием. Часть 2 |
| title_short |
О проблеме стабилизации стохастических дифференциально-функциональных уравнений с импульсными марковскими возмущениями и постоянным запаздыванием. Часть 2 |
| title_full |
О проблеме стабилизации стохастических дифференциально-функциональных уравнений с импульсными марковскими возмущениями и постоянным запаздыванием. Часть 2 |
| title_fullStr |
О проблеме стабилизации стохастических дифференциально-функциональных уравнений с импульсными марковскими возмущениями и постоянным запаздыванием. Часть 2 |
| title_full_unstemmed |
О проблеме стабилизации стохастических дифференциально-функциональных уравнений с импульсными марковскими возмущениями и постоянным запаздыванием. Часть 2 |
| title_sort |
о проблеме стабилизации стохастических дифференциально-функциональных уравнений с импульсными марковскими возмущениями и постоянным запаздыванием. часть 2 |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Проблемы динамики управляемых систем |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207855 |
| citation_txt |
О проблеме стабилизации стохастических дифференциально-функциональных уравнений с импульсными марковскими возмущениями и постоянным запаздыванием. Часть 2 / В.И. Мусуривский, В.К. Ясинский // Проблемы управления и информатики. — 2014. — № 6. — С. 5-10. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT musurivskijvi oproblemestabilizaciistohastičeskihdifferencialʹnofunkcionalʹnyhuravnenijsimpulʹsnymimarkovskimivozmuŝeniâmiipostoânnymzapazdyvaniemčastʹ2 AT âsinskijvk oproblemestabilizaciistohastičeskihdifferencialʹnofunkcionalʹnyhuravnenijsimpulʹsnymimarkovskimivozmuŝeniâmiipostoânnymzapazdyvaniemčastʹ2 AT musurivskijvi proproblemustabílízacíístohastičnihdiferencíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânʹzímpulʹsnimimarkívsʹkimioburennâmitapostíjnimzapíznennâmčastina2 AT âsinskijvk proproblemustabílízacíístohastičnihdiferencíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânʹzímpulʹsnimimarkívsʹkimioburennâmitapostíjnimzapíznennâmčastina2 AT musurivskijvi ontheproblemofstabilizationofstochasticdifferentialfunctionalequationswithimpulsemarkovianperturbationsandconstantlagpartii AT âsinskijvk ontheproblemofstabilizationofstochasticdifferentialfunctionalequationswithimpulsemarkovianperturbationsandconstantlagpartii |
| first_indexed |
2025-10-15T01:11:48Z |
| last_indexed |
2025-10-16T01:10:53Z |
| _version_ |
1846098844020899840 |
| fulltext |
© В.И. МУСУРИВСКИЙ, В.К. ЯСИНСКИЙ, 2014
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 6 5
ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
УДК 519.718:519.217:519.837:517.929
В.И. Мусуривский, В.К. Ясинский
О ПРОБЛЕМЕ СТАБИЛИЗАЦИИ СТОХАСТИЧЕСКИХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ИМПУЛЬСНЫМИ МАРКОВСКИМИ
ВОЗМУЩЕНИЯМИ И ПОСТОЯННЫМ
ЗАПАЗДЫВАНИЕМ. Часть 2
В настоящей работе рассмотрена проблема устойчивости по первому прибли-
жению стохастических дифференциально-функциональных уравнений с импульс-
ными марковскими возмущениями и постоянным запаздыванием, что является про-
должением работы [1]. Такая система, будучи системой случайной структуры c по-
стоянным запаздыванием (СССЗ), должна обладать свойством асимптотической
устойчивости по вероятности и обеспечивать наперед заданную оптимальность пе-
реходного процесса.
1. Постановка задачи
Пусть [1–4] на вероятностном базисе P)Ω },0,{,,( ttFF случайный процесс
mtx R)( системы случайной структуры с постоянным запаздыванием описыва-
ется дифференциально-функциональным уравнением
)(),),(),(,(),),(),(,()( tdwuxtxttbdtuxtxttatdx tt (1)
с импульсными внешними марковскими воздействиями
),),(,()( ktkktt kk
xttgtx
, (2)
и с начальным условием
,00
D zxt ,)( 0 Y yt ,
0
H hk (3)
где },,{ N ntSt nk причем ;lim
n
n
t асимптотика решения
mtxx R )(
СССЗ относительно нулевого решения ,0)( tx ,00 tt ),( txxt ,0
)],0,[( mR DD — пространство Скорохода [1]; )(t — феллеровский марков-
ский процесс, вызывающий случайное внутреннее изменение структуры системы,
}0,{ kk — феллеровская цепь Маркова, )(tw — винеровский процесс. Вели-
чина
r
t hxytuu R ),,,( — r-мерное управляющее воздействие [3].
Предположим, что измеримые по совокупности переменных функционалы
,: mrm Da RRRR Y
mrmb RRRR DY: ,
mg RR Y:
6 ISSN 0572-2691
mRH удовлетворяют условию Липшица для ,, 21 mxx R D 21, zz рав-
номерно по всем другим аргументам для ;00 tt ;Yy ,Hh :ru R
),,,,(),,,,(),,,,(),,,,( 21112211 uzxytbuzxytbuzxytauzxyta
)(),,,(),,,( 212121 zzxxhxytghxytg (4)
и условию равномерной ограниченности
,)),,,(),,,,(),,,,((sup
,,0
hxytguxxytbuxxyta tt
h
yt
H
Y
.0 (5)
2. Устойчивость по первому приближению
Предположим, что импульсная система случайной структуры имеет вид [1]
dtxtxttaxtxttatdx tt )]),(),(,()),(),(,([)( 10
),()]),(),(,()),(),(,([ 10 tdwxtxttbxtxttb tt (6)
).,),(,(),),(,( 10 ktkkktkk
k kk
xttgxttgx t
(7)
Определение. Назовем импульсную систему случайной структуры
),()),(),(,()),(),(,()( 00 tdwxtxttbdtxtxttatdx tt (8)
)),(),(,(0 kkkk
k
txttgx t (9)
системой первого приближения для (6), (7).
При анализе устойчивости решения системы (6), (7) можно использовать
функционал Ляпунова для (8), (9), и, вычислив дискретный оператор Ляпунова
для (6), (7) от этого функционала, получим достаточные условия устойчивости этой
системы. Назовем данное исследование устойчивости решения системы (6), (7) по
первому приближению.
Пусть ),,,( hzytv — такой скалярный неотрицательно-определенный функ-
ционал, что последовательность ),,,(),,( hzytvhzyv kk является функционалом
Ляпунова. Для дискретного оператора Ляпунова [1] в силу (6), (7) введем обозна-
чения L0, а для дискретного оператора в силу (8), (9) — обозначение L .
Запишем ограничения и обозначения, связанные с марковским процессом
.)( mt R Следуя [3], определим С-инфинитезимальный оператор L̂ равенством
,)]())}(({[
1
lim)()(
0
ˆ yftf
t
yf y
t
EL где .)()( ˆ YCDf L (10)
Сохраним это обозначение для продолжения L̂ в пространство непрерыв-
ных, но не обязательно ограниченных отображений Y в .R
Пусть ),,,( hytv — непрерывный по совокупности и непрерывно-диффе-
ренцируемый по t и по третьему аргументу непрерывно-дифференцируемый по
Фреше неотрицательный функционал. Понятно, что пара txt),( образует фелле-
ровский марковский процесс, а значит, можно ввести инфинитезимальный опера-
тор в силу (8) (в силу (6)) по третьему аргументу
,)],,,()},),(,({[
1
lim),,,()( )(
,
0
hzytvhxttvhzytv t
t
y
EQ (11)
где индексы E означают условие ,)( yt .zxt
Будем считать, что определенный выше функционал ),(QDv если предел
(11) существует в смысле равномерной сходимости в некоторой окрестности точ-
ки ),( zy равномерно по .Hh
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 6 7
Этот предел вычисляется в форме
)),,,,(),,,,()((),,,()(
),,,(
),,,()( 0
ˆ hzytahzytvhzytv
t
hzytv
hzytv zy
LQ (12)
где скобки ),( означают скалярное произведение в ,mR z — оператор Фреше
по аргументу z.
Далее следует ввести разностный оператор Ляпунова ,R связанный с им-
пульсным воздействием (9) в момент .Stk Этот оператор действует на последо-
вательность функционалов ),,,( hzytv k по переменным ,Nk ,Hh mx R
при каждом фиксированном Yy по правилу
),,,,(})),,,,(,,({),,,()( 0 hxytvhhxytgxytvhxytv kk
k
hk ER (13)
где индексы }{ E означают ,hk а число k соответствует времени .kt Будем пи-
сать ),(RDv если в (13) }{ E существует при ,Stk ,Yy Hh и .mx R
Если обозначить ),( hkP переходную вероятность цепи Маркова k на k-м
шаге, то ),,,()( hxytv kR можно вычислить по формуле
).,,,(),()),,,,(,,(),,,()( 0 hxytvdzhzhxytgxytvhxytv kkkkk
H
PR (14)
Приведем доказательство основных теорем устойчивости невозмущенной
системы (8), (9).
Теорема 1. Пусть:
1) ;)(sup 1
kk
k
tt
N
2) выполнены условия на коэффициенты системы (8), (9) о существовании
решения;
3) марковский процесс
mt R )( стохастически непрерывен;
4) существует такой неотрицательно-определенный функционал ),(QDv что
;)(),,,(inf
,
,0
r
rzh
yt
rhzyt vv
H
Y
(15)
;0)(),,,(sup
0
,
,0
r
rzh
yt
rhzyt vv
H
Y
(16)
;0),,,()( hzytvQ (17)
0),,,()( hzytvR , ,0t ,Stk ,Yy ,Hh ,Dz (18)
тогда импульсная система (8), (9) устойчива по вероятности в целом.
Доказательство. В силу условий теоремы последовательность ),,( hzykv
образует функционал Ляпунова и поэтому в силу следствия [1] достаточно пока-
зать, что
,0),,()( hzykvL ,Nk ,Yy ,Hh .Dz
Из определения инфинитезимального оператора марковского процесса )}(),({ txt
следует формула Дынкина [5, 7]:
.)},),(,)({(),,,()},),(,({
1
)(
,1
)(
,
dhxhzythxtt
k
k
kk
t
t
t
zyktk
t
zy vvv QEE (19)
Отсюда с учетом (17) при ,Nk ,Yy ,Hh Dz сразу следует неравенство
).,,,()},),(,({ 1
)(
, hzythxtt ktk
t
zy
k vv E (20)
8 ISSN 0572-2691
По условию 3) теоремы марковский процесс mt R )( стохастически непре-
рывен, поэтому при вычислении условного математического ожидания [7] для
каждого Rt вместо )(t можно подставлять ),( t а значит, этим можно
воспользоваться при вычислении :kvL
),,,()},),(,({),,)((
111
)(
, hzythxtthzyv ktkk
t
zyk k
k vvEL
)}),,),(,(),(,({[ 1111011
)(
,
11
kktkktkk
t
zy
kk
k xttgxttvE
)},),(,({ 111
)(
,
1
ktkk
t
zy
k
k xttvE
)],,,()},),(,({ 111
)(
,
1
hzytxtt kktkk
t
zy
k
k vv
E . (21)
Второе слагаемое в правой части (21) неположительно. При оценке первого слагаемо-
го (21) возьмем вначале условное математическое ожидание при условии ,
1k
tF вос-
пользуемся
1k
tF -измеримостью случайных величин )(
1
k
t и )(
1k
tx и, учитывая
условие (18), получим из (21) нужное неравенство 0),,)(( hyvkL .
Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть:
1) выполнимы условия теоремы 1;
2) существует такое число ),1,0( что при всех ,Stk ,Yy ,Hh
Dz дискретный неположительно-определенный оператор )( vR имеет вид
).,,,(),,()( hzythzy kk vv R (22)
Тогда невозмущенная система (8), (9) асимптотически устойчива в целом.
Доказательство. Пусть ),,,,()1(),,( hzythzyb k
k
k v ,Nk тогда из
неравенства (22) сразу следует неравенство
),,,()1()},,,({)1(),,()( 11
1 hzytzythzyb k
k
kk
t
h
k
k
k vvER
.0)],,,(),,,()[()1( 1 hzythzyt kk
k vvR
Поэтому из (21) получим, что ,0),,()( hzybkL т.е.
),(),,,()},),(,({)1( 0,
1 zhzytxtt ktkk
t
hy
k
k
k vvv E
а значит, по определении функционала Ляпунова имеем
.)()1()},),(,({)})(({ 00
,, zxtttx k
ktkk
t
hyk
t
hy k
vvv EE
Осталось воспользоваться определением асимптотической устойчивости по веро-
ятности в целом, что и завершает доказательство теоремы 2 [3, 8].
Теорема 3. Пусть:
1) ;0)(inf 11
kk
k
tt
N
2) выполнимы условия теоремы 1;
3) существует такое число ,0 что для ,0t ,Stk ,Yy ,Hh Dz
).,,,(),,,()( hzythzyt vv Q (23)
Тогда импульсная система (8), (9) асимптотически устойчива в целом.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2014, № 6 9
Доказательство. Из определения оператора Q для функционала Ляпунова
),,,(),,,( hzytehzytV tv легко доказать неравенство
.0),,,()(),,,(),,,()( hzytehzytzhzytV t vQQ
Отсюда следует
)}),,,,(,,({),,)(( 10
)(1
kkk
t
hk hzytgzytehzy k vEvL
.0),,,()1(),,,( 1
hzytehzyt kk vv
Воспользовавшись определением асимптотической стохастической устойчивости
в целом, из последнего неравенства вытекает доказательство теоремы 3 [3, 8].
Теорема 4. Пусть:
1) для импульсной невозмущенной системы (8), (9) существует функционал
Ляпунова ),,( hzykv такой, что ,0 p ,4,1,0 ici
,),,( 21
p
k
p
zchzyzc v (24)
,),,)(( 3
p
k zchzy vL (25)
,),,(),,( 21
4
21 p
kk zzchzyhzy vv ,Nk ,Yy ,Hh ;Dz (26)
2) ;0,)(sup 1
kk
k
tt
N
3) возмущения 1a и 1g удовлетворяют по t условию равномерной ограни-
ченности ,),,,(),,,(),,,( 1111 zhxytgzxytbzxyta где 1 — доста-
точно малое положительное число.
Тогда возмущенная система (6), (7) экспоненциально p -устойчива в целом.
Доказательство. Представим решение )(tx этой системы на участке ),[ 1 kk tt
в форме
),()()( txtxtx ).()()( txtxtx (27)
Вычислим дискретный оператор Ляпунова в силу (6), (7), учитывая (27):
),,()},),(({),,)(( 111
)(
,,1 11
hzyxxthzy kkttkk
t
hzyk kk
k vvv EL
}{),,)((
1
)(
,,4
p
t
t
hzyk k
k xchzy EvL
}.),,,(),,,({
11
)(
,,43
p
ktkt
t
hzy
p
hzytxhzytxczc
kk
k
E (28)
Для всех ),[ 1 kk ttt для разности решений систем (6) и (8) по одинаковым
начальным данным zxx
kk tt получим неравенство
dssxdssxsxtxtx
k
k
k
k
t
t
t
t
11
)()()()1()()( 1
.)()()()1(
))((
11
1
1
kk
k
k
ttC
kk
t
t
exttdssxsx
Отсюда по лемме Гронуолла сразу имеем .sup )1(2
1
1
ezxx tt
ttt kk
Да-
лее, в момент скачка при условии zxx
kk tt получим
))),(),(,()(),(,()()()( 111111110111 kkkkkkkkkk txttgtxttgtxtxtx
)),(),(,()),(),(,()( 11111111101 kkkkkkkkk
txttgtxttgtx
10 ISSN 0572-2691
extxtxtxttg
kkkkkk 111111111 )()()1()),(),(,(
)).1(1( 1
)1(2
1 ex
Значит, аналогично можно получить оценку )1(2
1 ezxx
kk tt
)).1(1( 1 Поэтому при достаточно малом 01 из (28) имеем
.),,)((
2
3 p
k z
c
c
hzy vL Отсюда по определению экспоненциальной p -устой-
чивости [1] следует утверждение теоремы 4 [3, 8].
В.І. Мусурівський, В.К. Ясинський
ПРО ПРОБЛЕМУ СТАБІЛІЗАЦІЇ СТОХАСТИЧНИХ
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНО-ФУНКЦІОНАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
З ІМПУЛЬСНИМИ МАРКОВСЬКИМИ ЗБУРЕННЯМИ
ТА ПОСТІЙНИМ ЗАПІЗНЕННЯМ. Частина 2
Розглянуто проблему стійкості за першим наближенням стохастичних дифе-
ренціально-функціональних рівнянь з імпульсними марковськими збуреннями
і постійним запізненням. Ця система повинна мати властивість асимптотичної
стійкості за ймовірністю та забезпечувати наперед задану оптимальність пере-
хідного процесу.
V.I. Musurivskiy, V.K. Yasinskiy
ON THE PROBLEM OF STABILIZATION
OF STOCHASTIC DIFFERENTIAL-FUNCTIONAL
EQUATIONS WITH IMPULSE MARKOVIAN
PERTURBATIONS AND CONSTANT LAG. Part II
The problem of stability on the first approximation of stochastic differential-functi-
onal equations with impulse Markovian perturbations and constant lag is considered.
This system must be asymptotically stable by the probability and provide preassigned
optimality of a transient process.
1. Мусуривский В.И. О проблеме стабилизации стохастических дифференциально-функцио-
нальных уравнений с импульсными марковскими возмущениями и постоянным запаздыва-
нием. Часть 1 // Международный научно-технический журнал «Проблемы управления
и информатики». — 2014. — № 4. — С. 22–31.
2. Королюк В.С., Мусуривский В.И., Юрченко И.В. Устойчивость динамических систем с по-
следействием с учетом марковских возмущений // Кибернетика и системный анализ. —
2007. — № 6. — C. 134–146.
3. Королюк В.С., Мусуривский В.И., Ясинский В.К. Стабилизация импульсных динамических
систем с конечным последействием при наличии марковских параметров. Часть 1 // Проб-
лемы управления и информатики. — 2008. — № 1. — С. 16–35.
4. Мусуривский В.И. О проблеме устойчивости систем случайной структуры с постоянным
запаздыванием // Международный научно-технический журнал «Проблемы управления
и информатики». — 2011. — № 5. — С. 5–15.
5. Царьков Е. Ф., Ясинский В.К. Квазилинейные стохастические функционально-дифференци-
альные уравнения. — Рига: Ориентир, 1992. — 328 с.
6. Дынкин Е. Б. Марковские процессы. — М. : Физматгиз, 1963. — 859 с.
7. Жакод Ж., Ширяев А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов: В 2-х т. — М. :
Наука, 1994. — Т. 1. — 544 с.
8. Мусурівський В.І. Проблема стійкості за першим наближенням імпульсних систем випад-
кової структури із постійним запізненням // Математичне та комп’ютерне моделювання.
Сер. Фіз.-мат. науки. — 2010. — Вип. 3. — С. 152–158.
Получено 30.01.2013
После доработки 11.04.2014
|