О моделировании дробно-дифференциальной динамики некоторых процессов релаксационной фильтрации
Сформульовано постановки та одержано (переважно аналітичні) розв’язки деяких одновимірних нестаціонарних фільтраційних крайових задач, поставлених у рамках узагальненої математичної моделі, що описує дробово-диференційну динаміку геофільтраційних процесів з релаксацією....
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2015
|
| Назва видання: | Проблемы управления и информатики |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208020 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О моделировании дробно-дифференциальной динамики некоторых процессов релаксационной фильтрации / В.М. Булавацкий, Ю.Г. Кривонос // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 4. — С. 60-69. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-208020 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2080202025-10-19T00:19:17Z О моделировании дробно-дифференциальной динамики некоторых процессов релаксационной фильтрации Про моделювання дробово-диференціальної динаміки деяких процесів релаксаційної фільтрації On the modeling of fractional-differential dynamics of some processes of relaxational filtration Булавацкий, В.М. Кривонос, Ю.Г. Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Сформульовано постановки та одержано (переважно аналітичні) розв’язки деяких одновимірних нестаціонарних фільтраційних крайових задач, поставлених у рамках узагальненої математичної моделі, що описує дробово-диференційну динаміку геофільтраційних процесів з релаксацією. The statements are formulated and (predominantly analytical) solutions of some one-dimensional nonstationary filtrational boundary-value problems put within the framework of generalized mathematical model, describing the dynamics of fractional-differential geofiltration processes with relaxation are obtained. 2015 Article О моделировании дробно-дифференциальной динамики некоторых процессов релаксационной фильтрации / В.М. Булавацкий, Ю.Г. Кривонос // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 4. — С. 60-69. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208020 517.954:532.546 10.1615/JAutomatInfScien.v47.i7.20 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| spellingShingle |
Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Булавацкий, В.М. Кривонос, Ю.Г. О моделировании дробно-дифференциальной динамики некоторых процессов релаксационной фильтрации Проблемы управления и информатики |
| description |
Сформульовано постановки та одержано (переважно аналітичні) розв’язки деяких одновимірних нестаціонарних фільтраційних крайових задач, поставлених у рамках узагальненої математичної моделі, що описує дробово-диференційну динаміку геофільтраційних процесів з релаксацією. |
| format |
Article |
| author |
Булавацкий, В.М. Кривонос, Ю.Г. |
| author_facet |
Булавацкий, В.М. Кривонос, Ю.Г. |
| author_sort |
Булавацкий, В.М. |
| title |
О моделировании дробно-дифференциальной динамики некоторых процессов релаксационной фильтрации |
| title_short |
О моделировании дробно-дифференциальной динамики некоторых процессов релаксационной фильтрации |
| title_full |
О моделировании дробно-дифференциальной динамики некоторых процессов релаксационной фильтрации |
| title_fullStr |
О моделировании дробно-дифференциальной динамики некоторых процессов релаксационной фильтрации |
| title_full_unstemmed |
О моделировании дробно-дифференциальной динамики некоторых процессов релаксационной фильтрации |
| title_sort |
о моделировании дробно-дифференциальной динамики некоторых процессов релаксационной фильтрации |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208020 |
| citation_txt |
О моделировании дробно-дифференциальной динамики некоторых процессов релаксационной фильтрации / В.М. Булавацкий, Ю.Г. Кривонос // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 4. — С. 60-69. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT bulavackijvm omodelirovaniidrobnodifferencialʹnojdinamikinekotoryhprocessovrelaksacionnojfilʹtracii AT krivonosûg omodelirovaniidrobnodifferencialʹnojdinamikinekotoryhprocessovrelaksacionnojfilʹtracii AT bulavackijvm promodelûvannâdrobovodiferencíalʹnoídinamíkideâkihprocesívrelaksacíjnoífílʹtracíí AT krivonosûg promodelûvannâdrobovodiferencíalʹnoídinamíkideâkihprocesívrelaksacíjnoífílʹtracíí AT bulavackijvm onthemodelingoffractionaldifferentialdynamicsofsomeprocessesofrelaxationalfiltration AT krivonosûg onthemodelingoffractionaldifferentialdynamicsofsomeprocessesofrelaxationalfiltration |
| first_indexed |
2025-10-19T01:07:30Z |
| last_indexed |
2025-10-20T01:08:47Z |
| _version_ |
1846461100125585408 |
| fulltext |
© В.М. БУЛАВАЦКИЙ, Ю.Г. КРИВОНОС, 2015
60 ISSN 0572-2691
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
И ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
УДК 517.954:532.546
В.М. Булавацкий, Ю.Г. Кривонос
О МОДЕЛИРОВАНИИ
ДРОБНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ
ДИНАМИКИ НЕКОТОРЫХ ПРОЦЕССОВ
РЕЛАКСАЦИОННОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
Введение
Математическое моделирование особенностей динамики фильтрационных
процессов в сложных горно-геологических условиях протекания является одним
из актуальных предметных направлений геоинформатики и геоматематики, раз-
вивающихся преимущественно в рамках классических постановок задач на основе
общепринятых подходов теории сплошной среды [1, 2]. При этом большинство
известных математических моделей процессов переноса в геопористых средах ба-
зируется на классических законах переноса, являющихся неадекватными в усло-
виях существенного отклонения системы от равновесного состояния [3, 4]. Клас-
сическая теория процессов переноса исходит из приближения локального тер-
модинамического равновесия и сплошной среды. Последнее подразумевает
отсутствие у среды внутренней структуры и возможность совершения предель-
ных переходов при стремлении объемов интегрирования к нулю в интегральных
законах сохранения для этой среды (что позволяет получить уравнения сохране-
ния в дифференциальной форме) [4]. Если же характерная скорость процесса пе-
реноса намного больше скорости распространения возмущений в таких средах, то
классический локально-равновесный подход к моделированию процесса стано-
вится не оправданным. Кроме того, в классических моделях переноса постулиро-
ваны такие весьма жесткие ограничения, как бесконечная скорость распростране-
ния возмущений, что противоречит современным физическим представлениям.
В связи с этим актуальна проблема построения новых, более адекватных матема-
тических моделей процессов переноса, базирующихся на законах переноса, спра-
ведливых в условиях существенного отклонения от равновесного состояния сис-
темы. Указанное особенно актуально в связи с проблемами охраны окружающей
среды (в частности, при математическом моделировании процессов диффузии за-
грязняющих веществ в подземных фильтрационных потоках или процессов кон-
солидации грунтовых оснований накопителей загрязненных сточных вод).
Проявляющиеся в сложных условиях протекания локально-неравновесные
свойства геофильтрационного процесса обусловлены рядом причин объективного
характера, в частности, сложностью пространственно-временной структуры гео-
среды, ее микронеоднородностью, кавернозностью, релаксационными свойствами
пористого скелета и насыщающих жидкостей, многофазностью состава, неизо-
термичностью процессов, влиянием геохимических факторов и т.д. [3]. Следует
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2015, № 4 61
отметить, что локально-неравновесные диффузионные процессы имеют место
также в высокоэнергетической плазме, при переносе во фрактальных средах и
аморфных полупроводниках, полимерах, биологических системах, случайных и
разреженных средах.
Попытки теоретического учета эффектов неравновесности (в частности, эф-
фектов памяти и пространственных корреляций) в рамках классических матема-
тических моделей приводят к интегро-дифференциальным уравнениям, ядро ко-
торых содержит информацию о природе неравновесности. При решении этих урав-
нений интегральные операторы разлагаются в ряды дифференциальных операторов,
имеющих возрастающие показатели порядка дифференцирования, поэтому при от-
сутствии надлежащего малого параметра этот подход не эффективен [5]. Эффек-
тивный подход в описании процессов переноса в системах, для которых важен
учет нелокальных пространственно-временных свойств, связан с использованием
аппарата интегро-дифференцирования нецелого порядка, в рамках которого
удается получить ряд новых важных результатов [6–9]. При этом особую акту-
альность приобретают исследования в области математического моделирования
динамики фильтрационных процессов в геопористых средах (в частности, фрак-
тальной структуры) в условиях как временной, так и пространственной неравно-
весности, что важно, например, при решении многих сложных задач защиты под-
земных водных ресурсов от зягрязнений промышленными или бытовыми стока-
ми. Некоторые дробно-дифференциальные математические модели для описания
динамики неизотермических геофильтрационных процессов в условиях времен-
ной неравновесности представлены в [10]. Работа [11] посвящена изучению дроб-
но-дифференциальной математической модели для описания динамики локально-
неравновесного во времени геофильтрационного процесса в условиях простран-
ственно-временной нелокальности. Обобщение дробно-дифференциальной гео-
миграционной модели для исследования динамики некоторых фильтрационных
процессов в насыщенной солевыми растворами геопористой среде в условиях
сильной временной нелокальности приведено в [12].
Решения ряда задач моделирования дробно-дифференциальной динамики ре-
лаксационных фильтрационных процессов приведены в работе [13].
В развитие результатов работы [13] ниже выполнены постановки и получены
замкнутые решения некоторых новых одномерных нестационарных фильтраци-
онных задач, поставленных в рамках обобщенной (неклассической) математиче-
ской модели, описывающей дробно-дифференциальную динамику геофильтраци-
онных процессов с релаксацией.
1. Математическая модель для описания дробно-дифференциальной
динамики релаксационного фильтрационного процесса
Одной из наиболее распространенных определяющих зависимостей совре-
менной теории релаксационной фильтрации в геопористых средах является зави-
симость вида [3, 14]
,
t
p
p
x
k
t
u
u p
x
ux (1)
где xu — скорость геофильтрации, p — давление, k — коэффициент фильтра-
ции, — вязкость жидкости, pu , — параметры релаксации соответственно
скорости и давления.
Следует отметить, что зависимость (1) непосредственно получается из обоб-
щенного закона Дарси
).,(),( pux txp
x
k
txu
(2)
62 ISSN 0572-2691
Действительно, разложив в (2) функции xu и p в ряды Тейлора по степеням соот-
ветственно ,u p и ограничиваясь двумя первыми членами разложения, получа-
ем соотношение (1) [15, 16].
В целях моделирования дробно-дифференциальной динамики релаксацион-
ных геофильтрационных процессов разложим функции скорости фильтрации xu
и давления p в обобщенные ряды Тейлора [17] с коэффициентами, выраженными
через значения производных нецелого порядка от рассматриваемых функций по
переменной .t В предположении существования указанных разложений получаем
обобщенный закон релаксационной фильтрации
)(
)(
2
)(
1 pDp
x
k
uDu txtx
),1,0( (3)
где ),1(/1
u ),1(/2
p )(z — гамма-функция Эйлера,
)()(
,
tt DD —
операторы дробной производной Капуто–Герасимова по переменной t поряд-
ков и соответственно [6−8].
С учетом уравнения неразрывности одномерного фильтрационного потока [1, 14]
0*
t
p
x
ux (4)
*( — коэффициент упругоемкости пласта), из (3) получаем для определения
фильтрационного давления p следующее обобщенное уравнение релаксационной
фильтрации:
)(
)(
22
2
)1(
1 pDp
x
pD
t
p
tt
),1,0( (5)
где )(/ * k — коэффициент пьезопроводности [14].
Отметим, что, в частности при ,1, уравнение (5) преобразуется в ши-
роко известное уравнение релаксационной фильтрации в пористой среде, записы-
ваемое в виде [3, 14]
.22
2
2
2
1
t
p
p
xt
p
t
p
В рамках обобщенной геофильтрационной математической модели, базирующей-
ся на уравнении вида (5), изучение дробно-дифференциальной динамики релакса-
ционного фильтрационного процесса, например, в геомассиве конечной мощно-
сти l с хорошо проницаемыми гранями сводится к решению в области
),0(),0( l краевой задачи для уравнения (5) при следующих условиях:
,0),(,0),0( tlptp (6)
),()0,(),()0,( xxpxxp t (7)
где )(),( xx — заданные функции, определяющие начальные условия процесса.
2. Построение решения первой краевой задачи в рамках
дробно-дифференциальной математической модели
Ниже приводится краткое изложение методики получения аналитического
решения задачи (5)−(7).
Предварительно введем в рассмотрение безразмерные переменные и пара-
метры в виде соотношений
,,,,, 222121
0
2
llp
p
pt
l
t
l
x
x
00
,
pp
const).( 0 p (8)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2015, № 4 63
Переходя в (5)−(7) к безразмерным переменным согласно соотношениям (8) и
опуская в дальнейшем знак «штрих» над безразмерными величинами, получаем в
области ),0()1,0( краевую задачу
)(
)(
22
2
)1(
1 pDp
x
pD
t
p
tt
),1,0( (9)
,0),1(,0),0( tptp (10)
).()0,(),()0,( xxpxxp t (11)
Пусть существует конечное интегральное преобразование Фурье функции ),( txp
по геометрической переменной x вида [18]
dxxtxptp nn )(sin),()(
1
0
...).,2,1,( nnn (12)
Тогда в пространстве изображений по Фурье рассматриваемая задача принимает вид
0)()()(
)( )()1(
1
tpctpDbtpD
td
tpd
nnntnnt
n ),1,0( (13)
,)0(,)0( nnnn pp (14)
где
,)(sin)(
1
0
dxxx nn ,)(sin)(
1
0
dxxx nn ,2
nnc .2 nn cb
Применяя к (13) интегральное преобразование Лапласа по переменной t , с
учетом условий (14) получаем
,)(
~
1
1
11
11
nn
nnnnn
n
cssbs
sbss
sp
(15)
где )(
~
spn — образ функции )(tpn в пространстве изображений по Лапласу, s —
параметр преобразования Лапласа. На основании результатов работы [7] можно
показать, что переход в соотношении (15) в область оригиналов по временнóй пе-
ременной осуществляется согласно формуле
,2,;
1
,)(
!
)(
)(
1
1
)(
2
0
1
10
kmttQC
m
c
tp mn
n
mkn
kk
m
m
k
m
m
n
m
n (16)
где
kmtmkttQ mm
n
mk
1,;
1
,1,;
1
,)(
1
1
1
)(
,2)1(,;
1
,
1
mktb mn ),(),;,(
)(
,
1
ytEtyt
kk
m
)!(!
!
kmk
m
Ck
m
, )()( ,
)(
, yE
yd
d
yE
k
k
k
...),,2,1,0( k (17)
)(, yE — двухпараметрическая функция Миттаг–Леффлера [7].
64 ISSN 0572-2691
Далее, переходя в соотношении (16) к оригиналам по геометрической пере-
менной, получаем решение исходной задачи (9)−(11):
,2,;
1
,)(
!
)(
)sin(2
),(
0 0 1
1
)(
21
11
m
m
k
mn
n
mkn
kk
mm
m
n
n
n
kmttQC
m
c
x
txp
где величины ),(
)(
tQ
n
mk ),;,( ytm определены согласно (17).
Отметим, что найденное решение, в частности при ,1, преобразуется в
решение соответствующей фильтрационной задачи, поставленной в рамках обще-
принятой релаксационной модели фильтрации [14, 19].
3. Задача моделирования дробно-дифференциальной динамики релаксационного
фильтрационного процесса при наличии нелокальных граничных условий
Ниже приводится пример построения замкнутого решения краевой задачи с
нелокальными граничными условиями для дробно-дифференциальной математи-
ческой модели релаксационного фильтрационного процесса, определяемой урав-
нением (9).
В рамках указанной дробно-дифференциальной математической модели
фильтрации моделирование динамики релаксационного фильтрационного процес-
са в геомассиве единичной мощности с проницаемой верхней гранью в предполо-
жении, например, равенства расходов жидкости через грани массива сводится к ре-
шению в области ),0()1,0( уравнения (9) при следующих краевых условиях:
,0),0( tp ,
),1(
)1(
),0(
)1(
)(
2
)(
2
x
tp
D
x
tp
D tt
(18)
).()0,(),()0,( xxpxxp t (19)
Следует отметить, что неклассическое (нелокальное) граничное условие в (18)
при 02 превращается в хорошо известное условие Самарского–Ионкина [20, 21],
математически выражающее равенство потоков жидкости на гранях рассматриваемо-
го массива в рамках классического закона фильтрации Дарси–Герсеванова [14, 19].
Следуя предложенному в [20, 21] подходу, найдем решение задачи (9), (18), (19)
в виде следующего биортогонального разложения:
)],()()()([)()(),( 212
1
00 xXtxXtuxXxtxp kkkk
k
(20)
где ))(),,(()( 12 xYtxptu kk ...),,2,1( k ))(),,(()( 2 xYtxpt kk ...),,2,1,0( k
,)(0 xxX )(sin)(2 xxX kk — собственные функции спектральной задачи
),10(0)()( xxXxX (21)
,0)0( X ),1()0( XX (22)
соответствующие собственным значениям
2)2( kk ...).,2,1,0( k
Соответствующие собственным значениям k присоединенные функции
)(12 xX k имеют вид [20]: )(cos)(12 xxxX kk ...).,2,1( k При этом, как по-
казано в [20, 21], система собственных и присоединенных функций сопряженной
к (21), (22) задачи записывается в виде
,2)(0 xY ),(cos4)(12 xxY kk ).(sin)1(4)(2 xxxY kk
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2015, № 4 65
Разложив в биортогональные ряды начальные функции )(),( xx
],)()([)()( 2
)2(
12
)1(
1
0
)2(
0 xXxXxXx kkkk
k
(23)
)],()([)()( 2
)2(
12
)1(
1
0
)2(
0 xXxXxXx kkkk
k
(24)
где
))(),(( 12
)1(
xYx kk ...),,2,1( k ))(),(( 2
)2(
xYx kk ...),,2,1,0( k
))(),(( 12
)1(
xYx kk ...),,2,1( k ))(),(( 2
)2(
xYx kk ...),,2,1,0( k
на основании (18), (19) получаем для определения функций k ...),2,1,0( k и
ku ...),2,1( k такие последовательности задач Коши для уравнений в дробных
производных:
,0)()( 0
)1(
10
tDt t ,)0(
)2(
00 ,)0(
)2(
00 (25)
,0)]()([)()(
)(
2
)1(
1
tuDtutuDtu ktkkktk ,)0(
)1(
kku ,)0(
)1(
kku (26)
...).,2,1()0(,)0(
)],()([2)]()([)()(
)2()2(
)(
2
)(
2
)1(
1
k
tuDtutDttDt
kkkk
ktkkktkkktk
(27)
С учетом изложенного в разд. 2 решения задач (25)–(27) можно найти в виде
,)(
1
1
2,1
)2(
0
1
1
1
)2(
00
t
tE
t
Et (28)
)],()([)(
)1(
1
)()1()1()(
00
ttttu imk
k
imk
imk
mi
m
im
k
(29)
dtfGtt kk
t
kk )()()(~)(
0
...),,2,1( k (30)
где
,
!
)1(
1
1
2)(
m
m
k
i
i
m
m
k
mi C
m
1
)(
1,1
1
)(
1,
)(
)(
t
E
t
Ett
m
im
m
mi
k
im
,
1
)(
2)1(,
1
2
t
Et
m
mik ,)(
1
)(
2,
t
tEt
m
imim
)],()([)(~ )2(
1
)()2()1()(
00
tttt imk
k
imk
imk
mi
m
im
k
,)(
1
)(
1,
)1()(
00
t
EttG
m
mi
mimk
mi
m
im
k
)]()([2)(
)(
2 tuDtutf ktkkk
...).,2,1( k (31)
Таким образом, при условии сходимости соответствующих рядов аналитиче-
ское решение фильтрационной краевой задачи с нелокальными граничными усло-
виями (9), (18), (19) дается соотношениями (20), (28)–(31).
66 ISSN 0572-2691
4. Модель с пространственно-временнóй неравновесной динамикой:
численно-аналитическое решение краевой задачи
Неклассическое уравнение релаксационной геофильтрации (5) можно рас-
пространить на случай учета пространственной неравновесности процесса пере-
носа, например, следующим образом:
)(
)(
2
)()1(
1 pDpDpD
t
p
txt
),21,1,0( (32)
где )(
xD — оператор дробной производной Капуто–Герасимова [6−8] по пере-
менной x порядка . В рамках модели, базирующейся на уравнении (32), с ис-
пользованием, например, конечноразностных методов [22] возможно получение
эффективных численных решений ряда краевых задач рассматриваемой обобщен-
ной теории геофильтрации. Однако если для моделирования динамики полей дав-
лений использовать, например, модификацию Капуто–Рисса дробной производ-
ной по геометрической переменной вида (локальный учет эффектов пространст-
венной неравновесности):
1
)( )(
)2(2
1
)(
sx
dssu
xuD
hx
hx
x (33)
),0,( lhhlxh то открывается возможность построения численно-анали-
тических решений (непрерывных по временнóй переменной и дискретных по гео-
метрической переменной ) основных фильтрационных краевых задач в рамках
рассматриваемой модели релаксационной геофильтрации. В качестве примера
рассмотрим задачу (32), (33), (6), (7) с граничными условиями первого рода. Пе-
реходя к безразмерным переменным согласно соотношению (8), получаем в об-
ласти ),0()1,0( задачу
),(
)(
2
)()1(
1 pDpDpD
t
p
txt
(34)
,0),1(,0),0( tptp (35)
),()0,(),()0,( xxpxxp t (36)
где
)(
xD определяется соотношением (33).
Ниже кратко изложена методика построения численно-аналитического реше-
ния задачи (34)−(36).
Введем в рассмотрение сеточную область )},1,0(:{ njjhxx jjh
где h — шаг сетки по геометрической переменной, и поставим в соответствие рас-
сматриваемой краевой задаче следующую дифференциально-разностную задачу:
)],()()[2()(
)( )(
2
)()1(
1 tuDtuETrtuD
td
tud
t
n
t
(37)
,)0(
u ,)0(
tu (38)
где ,
)3(
1
h
r ,)](...,),(),([)( T
21 tptptptu n
,]...,,,[ T
21 n
,]...,,,[ T
21 n ),,()( txptp kk ),( kk x ),( kk x
)(nT — квадратная
матрица порядка ,n определенная в [23], E — единичная матрица порядка .n
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2015, № 4 67
Отметим, что в правой части соотношений (37) использована следующая ап-
проксимация производной :)( uDx
.
)3(
2
)3()2(2
11
2
1
)(
h
uuu
u
h
sx
dsu
uD
jjj
xx
j
hx
hx
xx
x
x
j
j
j
(39)
В частности, при 2 из (39) получаем
).()(
2 2
2
11)2( hOxu
h
uuu
uD j
jjj
x
x
j
Вводя в рассмотрение )(nP -трансформации [23] векторов
,,u в виде соот-
ношений
),()(ˆ )( tuPtu n
,ˆ )(
nP ,ˆ )(
nP
где
n
jk
n
jkkj
n
n
kj
n
aP
1,
1,
)(
1
sin
1
2
][
— фундаментальная матрица по от-
ношению к матрице ,)(nT т.е. для нее выполняется равенство
)()()()( nnnn PPT
( ]...,,,[ 21
)(
n
n — диагональная матрица [23] собственных чисел матрицы
),)(nT получаем на основе (37), (38) в области изображений задачу
)],(ˆ)(ˆ[)2()(ˆ
)(ˆ )(
2
)()1(
1 tuDtuErtuD
dt
tud
t
n
t
ˆ)0(û ,
ˆ)0(ˆtu ,
или в координатной форме
0)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ )(
2
)1(
1
tptpDtpDtp jjjtjjtj ),,1( nj (40)
,ˆ)0(ˆ jjp
jjp ˆ)0(ˆ ),,1( nj (41)
где
),2( jj r ,
1
cos2
n
j
j ,ˆ
1
sjs
n
s
j a
sjs
n
s
j a
1
ˆ ).,1( nj
Решение задачи (40), (41) согласно результатам из разд. 2 имеет вид
,2,;
1
,ˆ)(ˆ
!
)(
)(ˆ
1
1
)(
2
0
1
10
kmttQC
m
tp mj
j
mkj
kk
m
m
k
m
m
j
m
j (42)
),,1( nj
где
kmtmkttQ mm
j
mk 1,;
1
,1,;
1
,)(
1
1
1
)(
2)1(,;
1
,
1
2 mktmj ).,1( nj
Возвращаясь в соотношениях (42) в область оригиналов по геометрической пере-
менной, получаем решение дифференциально-разностной задачи (37), (38) в виде
)(ˆ)(
1
tpatp j
n
j
),,1( nj
где функции )(ˆ tp ),1( n даются соотношениями (42).
68 ISSN 0572-2691
Отметим, что полученное численно-аналитическое решение рассматриваемой
задачи, являясь непрерывным по временнóй переменной и дискретным по геомет-
рической переменной, обладает, в частности, тем преимуществом, что возможен
выборочный расчет значений искомых характеристик процесса в фиксированной
точке сеточной области в требуемый момент времени без предварительного рас-
чета этих характеристик во все предыдущие сеточные моменты времени. Во мно-
гих случаях это сокращает время вычисления решения и удобно при использова-
нии в инженерных приложениях.
Заключение
Для математического моделирования геофильтрации в сложных структурах
при неравновесных условиях вводится обобщенная математическая модель, опи-
сывающая дробно-дифференциальную динамику фильтрационных процессов с
релаксацией. В рамках указанной модели выполнены постановки и получены
(преимущественно аналитические) решения некоторых одномерных нестационар-
ных фильтрационных краевых задач.
В.М. Булавацький, Ю.Г. Кривонос
ПРО МОДЕЛЮВАННЯ
ДРОБОВО-ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОЇ
ДИНАМІКИ ДЕЯКИХ ПРОЦЕСІВ
РЕЛАКСАЦІЙНОЇ ФІЛЬТРАЦІЇ
Сформульовано постановки та одержано (переважно аналітичні) розв’язки де-
яких одновимірних нестаціонарних фільтраційних крайових задач, поставлених
у рамках узагальненої математичної моделі, що описує дробово-диференційну
динаміку геофільтраційних процесів з релаксацією.
V.M. Bulavatsky, Iu.G. Kryvonos
ON THE MODELING
OF FRACTIONAL-DIFFERENTIAL
DYNAMICS OF SOME PROCESSES
OF RELAXATIONAL FILTRATION
The statements are formulated and (predominantly analytical) solutions of some
one-dimensional nonstationary filtrational boundary-value problems put within the
framework of generalized mathematical model, describing the dynamics of fraction-
al-differential geofiltration processes with relaxation are obtained.
1. Седов Л.И. Механика сплошной среды. В 2 т. — М. : Наука, 1973. — Т. 2. — 584 с.
2. Селезов И.Т., Кривонос Ю.Г. Волновые задачи биогидродинамики и биофизики. — Киев :
Наук. думка, 2013. — 308 с.
3. Хасанов М.М., Булгаков Г.Т. Нелинейные и неравновесные эффекты в реологически слож-
ных средах. — Москва-Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2003. — 228 с.
4. Соболев С.Л. Локально-неравновесные модели процессов переноса // Успехи физических
наук. — 1997. — 167, № 10. — С. 1095–1106.
5. Мейланов М.М., Шибанова М.Р. Особенности решения уравнения теплопереноса в произ-
водных дробного порядка // Журнал технической физики. — 2011. — 81, № 7. — С. 1–6.
6. Gorenflo R., Mainardi F. Fractional calculus: integral and differential equations of fractional or-
der // Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics. — Wien : Springer-Verlag,
1997. — P. 223–276.
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2015, № 4 69
7. Podlubny I. Fractional differential equations. — New York : Academic Press, 1999. — 341 p.
8. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and applications of fractional differential equa-
tions. — Amsterdam : Elsevier, 2006. — 523 p.
9. Учайкин В.В. Метод дробных производных. — Ульяновск : Изд-во «Артишок», 2008.
— 512 с.
10. Bulavatsky V.M. Nonclassical mathematical model in geoinformatics to solve dynamic problems
for nonequilibrium nonisothermal seeapage fields // Cybernetics and Systems Analysis. — 2011.
— 47, N 6. — P. 898–906.
11. Bulavatsky V.M., Krivonos Yu.G. Mathematical modeling in the geoinformation problem of the
dynamics of geomigration under space-time nonlocality // Ibid. — 2012. — 48, N 4. —
P. 539–546.
12. Bulavatsky V.M. One generalization of the fractional differential geoinformation model of re-
search of locally-nonequilibrium geomigration processes // Journal of Automation and Infor-
mation Science. — 2013. — 45, N 1. — P. 59–69.
13. Булавацкий В.М. Некоторые математические модели геоинформатики для описания
процессов переноса в условиях временной нелокальности // Международный научно-
технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2011. — № 3. —
С. 128–137.
14. Молокович Ю.М., Непримеров Н.И., Пикуза В.И., Штанин А.В. Релаксационная фильт-
рация. — Казань : Изд-во Казанск. ун-та, 1980. — 136 с.
15. Tzou D.Y. The generalized lagging response in small-scale and high-rate heating // Int. J. Heat
Mass Transfer. — 1995. — 38. — P. 3231–3240.
16. Xu M., Wang L. Dual-phase-lagging heat conduction based on Boltzmann transport equation //
Ibid. — 2005. — 48. — P. 5616–5624.
17. Odibat Z.M., Shawagfeh N.T. Generalized Taylor’s formula //Applied Mathematics and Computa-
tion. — 2007. — 186. — P. 286–293.
18. Sneddon I. The use of integral transform. — New York : Mc Graw–Hill Book Comp., 1973.
— 539 p.
19. Булавацький В.М., Кривонос Ю.Г., Скопецький В.В. Некласичні математичні моделі процесів
тепло- та масопереносу. — Київ : Наук. думка, 2005. — 283 с.
20. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим
краевым условием // Дифференциальные уравнения. — 1977. — 13, № 2. — С. 294–304.
21. Ионкин Н.И. Об устойчивости одной задачи теории теплопроводности с неклассическим
краевым условием // Там же. — 1979. — 15, № 7. — С. 1280–1283.
22. Самарский А.А. Теория разностных схем. — М. : Наука, 1977. — 656 с.
23. Polozhii G.N. The method of summary representation for numerical solution of problems of
mathematical physics. — Oxford : Pergamon Press, 1965. — 283 p.
Получено 22.04.2015
|