Модель и алгоритм численного решения задачи противоборства двух избыточных, восстанавливаемых после отказов технических систем

Поставлено завдання і розроблено математичну модель протиборства двох відновлювальних після відмов надмірних технічних систем, що беруть участь у конфліктній ситуації. Розроблено алгоритм рішення поставленої задачі, що зведена до диференціальної гри між двома конфліктуючими системами....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2015
1. Verfasser:	Потапов, В.И.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2015
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Управление физическими объектами и техническими системами
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208021
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Модель и алгоритм численного решения задачи противоборства двух избыточных, восстанавливаемых после отказов технических систем / В.И. Потапов // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 4. — С. 70-78. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-208021
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2080212025-10-19T00:18:54Z Модель и алгоритм численного решения задачи противоборства двух избыточных, восстанавливаемых после отказов технических систем Модель і алгоритм чисельного рішення задачі протиборства двох надмірних, відновлювальних після відмов технічних систем Model and algorithm of numerical solving of counteraction problem of two excess technical systems restored after failure Потапов, В.И. Управление физическими объектами и техническими системами Поставлено завдання і розроблено математичну модель протиборства двох відновлювальних після відмов надмірних технічних систем, що беруть участь у конфліктній ситуації. Розроблено алгоритм рішення поставленої задачі, що зведена до диференціальної гри між двома конфліктуючими системами. Model of counteraction of two technical systems restored after failure in conflict situation was developed and the problem has been stated. Algorithm of solving the formulated problem was developed and the given task has been reduced to differential game between two conflicting system. 2015 Article Модель и алгоритм численного решения задачи противоборства двух избыточных, восстанавливаемых после отказов технических систем / В.И. Потапов // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 4. — С. 70-78. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208021 004.94:519.711.3 10.1615/JAutomatInfScien.v47.i8.40 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Управление физическими объектами и техническими системами Управление физическими объектами и техническими системами
spellingShingle	Управление физическими объектами и техническими системами Управление физическими объектами и техническими системами Потапов, В.И. Модель и алгоритм численного решения задачи противоборства двух избыточных, восстанавливаемых после отказов технических систем Проблемы управления и информатики
description	Поставлено завдання і розроблено математичну модель протиборства двох відновлювальних після відмов надмірних технічних систем, що беруть участь у конфліктній ситуації. Розроблено алгоритм рішення поставленої задачі, що зведена до диференціальної гри між двома конфліктуючими системами.
format	Article
author	Потапов, В.И.
author_facet	Потапов, В.И.
author_sort	Потапов, В.И.
title	Модель и алгоритм численного решения задачи противоборства двух избыточных, восстанавливаемых после отказов технических систем
title_short	Модель и алгоритм численного решения задачи противоборства двух избыточных, восстанавливаемых после отказов технических систем
title_full	Модель и алгоритм численного решения задачи противоборства двух избыточных, восстанавливаемых после отказов технических систем
title_fullStr	Модель и алгоритм численного решения задачи противоборства двух избыточных, восстанавливаемых после отказов технических систем
title_full_unstemmed	Модель и алгоритм численного решения задачи противоборства двух избыточных, восстанавливаемых после отказов технических систем
title_sort	модель и алгоритм численного решения задачи противоборства двух избыточных, восстанавливаемых после отказов технических систем
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2015
topic_facet	Управление физическими объектами и техническими системами
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208021
citation_txt	Модель и алгоритм численного решения задачи противоборства двух избыточных, восстанавливаемых после отказов технических систем / В.И. Потапов // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 4. — С. 70-78. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT potapovvi modelʹialgoritmčislennogorešeniâzadačiprotivoborstvadvuhizbytočnyhvosstanavlivaemyhposleotkazovtehničeskihsistem AT potapovvi modelʹíalgoritmčiselʹnogoríšennâzadačíprotiborstvadvohnadmírnihvídnovlûvalʹnihpíslâvídmovtehníčnihsistem AT potapovvi modelandalgorithmofnumericalsolvingofcounteractionproblemoftwoexcesstechnicalsystemsrestoredafterfailure
first_indexed	2025-10-19T01:07:35Z
last_indexed	2025-10-20T01:08:53Z
_version_	1846461106120294400
fulltext	© В.И. ПОТАПОВ, 2015 70 ISSN 0572-2691 УПРАВЛЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ И ТЕХНИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ УДК 004.94:519.711.3 В.И. Потапов МОДЕЛЬ И АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ПРОТИВОБОРСТВА ДВУХ ИЗБЫТОЧНЫХ, ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ПОСЛЕ ОТКАЗОВ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ Конфликтные ситуации обычно возникают тогда, когда сталкиваются инте- ресы двух и более враждующих сторон, преследующих различные цели, и между ними возникает противоборство за достижение собственных целей вопреки враж- дебным действиям противодействующей стороны. Подобные ситуации чаще все- го имеют место в военном деле и в области экономики, да и другие области дея- тельности не являются исключением. В данной работе в качестве конфликтующих сторон рассмотрим две иден- тичные по структуре избыточные технические системы, содержащие основные и резервные компоненты (блоки), подключаемые, вместо отказавших основных, для восстановления функциональных возможностей соответствующей системы. Каж- дая из участвующих в конфликте сторон в процессе противоборства систем стре- мится ослабить противодействующую систему путем целенаправленного воздей- ствия (атаками) на ее компоненты, тем самым уменьшая вероятность безотказной работы системы и увеличивая интенсивность отказов компонентов в течение вре- мени взаимодействия. В задачу каждой из противоборствующих сторон входит выбор оптимальной стратегии поведения в конфликтной ситуации в целях максимизации соответствующей функции выигрыша за счет оптимального использования резервных компонентов. Математическая модель противоборствующих систем Положим, что каждая из двух участвующих в конфликте систем ),,,( smnS g ,2,1g состоит из n )( 21 qnnnn   основных и m )( 21 qsssm   резервных блоков, разбитых на q групп, в каждой из которых возможна замена отказавших основных блоков только резервными из этой группы. При этом цело- численный вектор ),...,,,( 21 qssss  соответствующий распределению резервных блоков в q группах каждой из систем, назовем вектором резервирования. В про- цессе противоборства вектор резервирования каждой из ),,( smnS g систем мо- жет целенаправленно изменяться в соответствующие моменты времени i с це- лью перераспределения (настройки) резервных m блоков между q группами для максимизации вероятности безотказной работы соответствующей системы после- довательно в моменты настройки и к моменту окончания противоборства. В даль- нейшем назовем вектор ),,,,,( 210 l  элементы которого соответствуют Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 4 71 моментам перераспределения резервных блоков в соответствующей системе, век- тором настройки системы и будем считать, что перераспределение резервных блоков в системе, т.е. восстановление работоспособности gS -системы после отка- зов основных блоков в соответствующей q группе и замена их резервными блока- ми из числа m, происходит с интенсивностью ).(tg Отказ каждой из систем gS ),,( ggg smn наступает тогда, когда в системе откажет 1m блок. Постановка задачи противоборства двух систем При постановке и решении задачи противоборства двух конфликтующих технических систем gS ),,,( ggg smn ,2,1g восстанавливаемых после отказов, будем пользоваться в дальнейшем терминологией и понятиями теории игр [1–3]. Пусть системой ),,( 1111 smnS располагает и управляет игрок 1, а системой ),,( 2222 smnS — игрок 2. Как указано выше, системы gS ),,,( ggg smn ,2,1g являются восстанавливаемыми после отказов с интенсивностью восстановления ),(tg одинаковой для всех q групп соответствующей системы. Игрок 1 рас- полагает множеством стратегий },,,{ 1211  sW а игрок 2 — множеством стратегий },,,{ 2122  sW где gs — вектор резервирования g-го игрока; ))(...,),(),(()( 21 tttt g q ggg  — вектор интенсивности отказов в q группах сис- темы gS ),,( ggg smn (в дальнейшем в целях упрощения систему ),,( gggg smnS иногда будем обозначать ).gS Как следует из приведенной постановки, стратегия gW каждого игрока по- зволяет ему влиять на формирование вектора резервирования gs собственной системы и на интенсивность отказов )(tg противоборствующей системы, ис- пользуя свои средства нападения, что определяется видом функций ),(t g i .,,2,1 qi  При этом рассматриваемая модель противоборства полагает, что иг- роки не могут влиять на интенсивность восстановления своей системы, которая определяется имеющимися техническими возможностями самой системы. В (4) показано, что поведение восстанавливаемой системы ),,( gggg smnS при аппроксимации марковским процессом описывается следующей системой уравнений Колмогорова: ),()()( )( 101 0 tPttPC dt tdP gggg g  ,11),()()())(()( )( 111   mktPttPtCtPA dt tdP g k gg k gg k g k g k g k ),())(()( )( 11 tPtCtPA dt tdP g m gg m g m g m g m   где )(tP g k — вероятность нахождения системы g S в состоянии с k отказами; )(tPg — вероятность безотказной работы системы g S в момент времени t; g kA — интенсивность перехода системы g S из состояния с 1k отказами в со- стояние с k отказами; g kC — суммарная интенсивность перехода системы g S из состояния с k отказами в состояние с 1k отказами и в поглощающее состояние. 72 ISSN 0572-2691 Задача каждой из противоборствующих систем — оптимизировать восста- новление после отказа очередного блока в целях максимизации вероятности без- отказной работы системы в течение времени противоборства для максимального увеличения среднего времени работы системы до отказа. Сформулируем теперь рассматриваемую задачу в терминах теории опти- мального управления. Считая вектор-столбец )( )( )( )( 1 0 tP tP tP tP g m g g g   фазовым вектором, а )(,),(),(()( 21 tttt g q ggg   — векторным управлением, получим уравнение управляемой системы )())(()( tPtDtP dt d gggg  (1) с начальными условиями , 0 0 0 1 )0(  gP (2) где )(tP g — вероятность безотказной работы системы gS в течение времени t, а ))(...,),(),(()( 21 tttt g q ggg  — вектор интенсивности восстановления после от- казов в q группах системы ,gS т.е. векторное управление, а матрица ))(( tD gg  имеет следующий вид: . )(000 )(000 0000 00)(0 00)( 000 ))(( 1 3 32 21 1 gg m g m ggg m g gg gggg gg gg CA C A CA CA C tD              Для численного решения рассматриваемой задачи обозначим ),(tP g k ,1 gmk  вероятность того, что в системе ),,( gggg smnS к моменту времени t произошло k отказов. В дальнейшем будем считать, что число q групп для игроков 1 и 2 одинаково, т.е. векторы 1s и 2s имеют одинаковую размерность q. По определению [5] среднее время работы системы ),,,( gggg smnS ,2,1g до отказа равно .)()( 0 dttPST ggg    (3) Однако поскольку игра ограничена во времени ],,0[ ftt где ft — время окончания игры, то при достаточно больших значениях ft формулу (3) для вы- числения приближенного значения среднего времени работы до отказа противо- борствующей системы gS можно записать в следующем виде: Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 4 73 ,)()()()( 0110 11 dttPdttPdttPST g k m k t t L g t t L g t gg gf                   (4) где σ — номер интервала дискретизации, соответствующий моментам настройки )0( Lg  системы .gS В процессе противоборства (игры) рассматриваемых систем положим, что игрок 1 старается максимизировать величину ),()( 2211 STST  а игрок 2 — ми- нимизировать ее. Будем считать, что за время игры ft игрок g )2,1( g имеет право не более чем L )1( L раз изменять свой вектор резервирования ,gs не считая момента ,0t управляемой им динамической системы ).,,( gggg smnS Наконец, вектор ,0),...,,,( 010  gg L ggg назовем вектором настройки g-го игрока. Очевидно, что .f g L t Итак, для исследования задачи противоборства двух систем ),,( gggg smnS получена игра двух лиц с нулевой суммой с функцией выигрыша )),(())((),( 2 22 1 11 21 zSTzSTzzK  где g g Wz  — стратегия g-го игрока )2,1( g из множества возможных страте- гий ;gW ))z(( g gg ST — время работы соответствующей противоборствующей системы до отказа при выборе g-м игроком стратегии .gZ Величина ))z(( g gg ST вычисляется как корень уравнения ,0)( tFg где .)()1()( 1 0             tkPmtF g k m k g g g Решение этого уравнения описано в [4]. Решение задачи противоборства двух g S -систем Для решения поставленной задачи воспользуемся методом дискретизации. Будем полагать, что каждому моменту настройки )0( Lg  системы gS соответ- ствует вектор резервирования ).,,,( 21 g q ggg ssss    Введем интервалы настройки ],,[ 1 ggg   причем .1 f g L t  Функции интенсивности отказов )(tg и восстановления )(tg будем считать кусочно-постоянными на интервалах дис- кретизации с возможными точками разрыва первого рода в моментах настройки. Для 1 t обозначим ),,()( 22 1 2 qt    и ,)( 11  t а для 2 t — ),,()( 11 1 1 qt    и .)( 22  t Таким образом, игрок 1, управляющий системой 1S , получает множество стратегий },,,,{ 12111  CW где 1 — вектор настройки игрока 1, 1C — мат- рица, составленная из координат векторов резервирования :1 s 74 ISSN 0572-2691 ; )1( 11 2 1 1 1 1 1 12 1 11 1 0 1 02 1 01 1 qL LqLL q q sss sss sss C       2 — матрица, составленная из координат векторов :2  ; )1( 22 2 2 1 2 1 2 12 2 11 2 0 2 02 2 01 2 qL LqLL q q          1 — вектор интенсивности восстановления: ).,,,( 11 1 1 0 1 L  Для игрока 2, управляющего системой ,2S множество стратегий 2W },,,{ 2122  C строится аналогично. Введем теперь последовательность },,,,{ 1210 Lttt  получаемую объедине- нием последовательностей }...,,,{ 1 1 1 1 1 0  L и }...,,,{ 2 1 2 1 2 0  L и элементы кото- рой расположены в порядке возрастания. Ясно, что ,00 t а .1 fL tt  Обозначим [.,[ 1  ttt Таким образом, исходя из уравнений (1) и (2), получим дифференциальную игру между двумя системами ),,( gggg smnS , описываемую уравнениями 22222 2 11111 1 )](),(,[ ,)](),(,[ PttsD dt Pd PttsD dt Pd   (5) с начальными условиями , 0 0 0 1 )0( )1( 1 1   m P  , 0 0 0 1 )0( )1( 2 2   m P  (6) где )1( 1 0 )( )( )( )(   gg m g m g g g tP tP tP tP  — вектор-столбец размерности );1( g m gD — мат- рица размерности ),1()1( gg  mm определенная выше. Очевидно, что )()( 0 tPtP g k m k g g    ).2,1( g Метод решения уравнений, подобных (5), для оптимального восстановления работоспособности противоборствующей системы после отказов, обеспечиваю- щий оптимизацию вероятности безотказной работы gS -системы, приведен в [4]. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 4 75 Управления игроков систем gS подчиним следующим ограничениям. . 0 max 0 max g g i M qiL    (7) Данное условие показывает, что ресурсы нападения игроков ограничены. .)( 0 min 1 g пп L    (8) Это условие запрещает каждому игроку делать две последовательные настройки «слишком быстро». ;1 1 0 2      bi q i ;2 2 0 1      bi q i .0 L (9) Данное условие отражает тот факт, что в любой момент времени невозможно пре- восходить соперника и в нападении, и в защите и что сумма ресурсов нападения и защиты в любой момент времени известна каждому игроку. , 1 ggg i q i ms    ,0 L (10) где              )( 1 0 gg k m k g kP g  — математическое ожидание числа отказавших резервных элементов в gS -системе, а число  и величина )( ,1 gg mgP     находятся соответст- венно из условий ,gt  ).(1)( 0 ,1 gg k m k g m PP g g       Условие (10) указывает, что к моменту настройки g  количество резервных элементов игрока g уменьшается на величину ,g  представляющую собой мате- матическое ожидание числа отказавших элементов в gS -системе. Из формулы (9) вытекает, что , ~ 0 ~ g i q i gg b      ,0 L где       .1если,0 ,2если,1~ g g g Теперь множество стратегий игроков, управляющих системами ,gS можно сузить так, что для g-го игрока }.,,{ ~ gggg СW  Покажем, что рассматриваемая дифференциальная игра между двумя систе- мами ),,( gggg smnS сводится к матричной. Пусть }.,{min 21 aaa  На интервале [,0[ ft введем множество  },,3,2,,0{   где ].1/[  ft Положим, точность определения управ- ления )(tg равна .g Тогда каждая координата вектора )(tg может принимать 1]/[ ggM значений. Последовательность моментов настроек }...,,,{ 21 g L gg  на точках множества χ можно распределить         L -способами. 76 ISSN 0572-2691 Таким образом, для g-го игрока существует )(1 1 g L L g g g d M L                             );2,1( g стратегий, где )( gd  — число целых неотрицательных решений уравнения (10). Известно [6], что . 1 )(               gg gg g m mq d Итак, рассматриваемая дифференциальная игра двух систем ),,( gggg smnS свелась к матричной игре ))~,~(( 21 ji zzK размерности ,21  где 1 1 ~~ Wz i  — i-я стратегия игрока 1, 2 2 ~~ Wz j  — j-я стратегия игрока 2. Более того, обозначив ),~,~( 21 jiij zzK получим нормальную форму матричной игры )( ijA  без ог- раничений на стратегии игроков, так как все ограничения (7)–(10) учтены при по- строении матрицы A и множеств . ~ , ~ 21 WW Как известно [7], нормальная форма мат- ричной игры всегда имеет решение если не в чистых, то в смешанных стратегиях. Найдем решение матричной игры A в смешанных стратегиях, так как выяс- нить существование седловой точки в матрице A практически невозможно даже для небольших чисел ω, L и достаточно малых ., 21  Для решения применим метод фиктивного разыгрывания [7], который по су- ществу является имитацией многократного повторения игры. В соответствии с этим методом определяются две последовательности векторов },{ X }{ Y сле- дующим образом. Первоначально ....,,2,1,0 ,...,,2,1,0 0 0 njY miX j i   Далее по индукции полагают, что 1X и 1Y выбраны и найдены такие i и j, что ik )( максимизирует ,1 1 2     jij j Y а j)(c минимизирует .1 1 1     iij i X Если существует набор решений, при которых указанные выше выражения достигают максимума или минимума, то любую из этих стратегий (максимизи- рующую или минимизирующую) можно взять в качестве решения [7]. При этом           ),(если,1 ),(если, 1 1 kiX kiX X i i i (11)           ).(если,1 ),(если, 1 1 cjY cjY Y j j j (12) Две последовательности векторов определяют стратегии x и :y , 1    Xx . 1    Yy Очевидно, что при 1 стратегии x и y будут смешанными. Как отме- чено в [7], не существует никаких гарантий, что последовательность }{ x или Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 4 77 }{ y сходится, но поскольку она лежит в компактном множестве стратегий, то должна содержать сходящуюся последовательность. Предел любой сходящейся последовательности }{ x и }{ y является оптимальной стратегией. Данный метод требует большого числа итераций, но итерации достаточно просты и удобны для программирования. Численный алгоритм решения задачи противоборства двух систем На основании изложенного предлагается следующий алгоритм решения по- ставленной задачи противоборства двух технических, восстанавливаемых после отказов gS -систем, который нетрудно реализовать на современных профессио- нальных персональных ЭВМ. Алгоритм. 1. Начало. Задать .0},{},{,,,,,,,, 21212121 LbbLtΜΜaa f   2. Вычислить },{min 21 aaa  и ]1/[  at f . 3. Сформировать множество }....,,2,,0{ aaa  4. Задать вектор ,2,1),...,,,( 10  g g L ggg где . g 5. Задать матрицу ,0,2,1),( Lg g i g   ,1 qi  где ,g g i g i v   а }.][...,,2,1,0{ g g i Μv  6. Вычислить ,2,1,  gg по формулам (9). 7. Вычислить целочисленное неотрицательное решение ,gs ,2,1g урав- нения (10). 8. Вычислить ))(( 1 11 zST и ))(( 2 22 zST как корни уравнения ,0)( tFg .2,1g 9. Вычислить )).(())(( 2 22 1 11 zSTzSTji  10. Выполнить процедуру пп. 7 и 8 для всех целых неотрицательных реше- ний 21, ss уравнения (10). 11. Выполнить процедуру пп. 5–10 для всевозможных комбинаций .2,1},][...,,2,1,0{  gΜv g g i 12. Выполнить процедуру пп. 4–11 для всевозможных ,g ,2,1g где .0, Lg  13. Сформировать матрицу .)( 21  ijaΑ 14. Задать число 0 (точность решения). 15. Положить ,00 Χ .00 Y 16. Положить .1 17. Вычислить ,)( ik  максимизирующее ;1 1 2     jij j Ya и jc )( — мини- мизирующее .1 1 1     iij i Xa 18. Вычислить  YX , по формулам (11) и (12). 78 ISSN 0572-2691 19. Вычислить , 1    Xx , 1    Yy считая, что ,00 Xx  .00 Yy  20. Если ,11   yyxx перейти к п. 23. Здесь x — евкли- дова норма вектора .x 21. Положить .1 22. Перейти к п. 17. 23. Конец.  yx , — оптимальные стратегии. В приведенном алгоритме сам метод фиктивного разыгрывания [7] описан в процедуре 15–23. В.І. Потапов МОДЕЛЬ І АЛГОРИТМ ЧИСЕЛЬНОГО РІШЕННЯ ЗАДАЧІ ПРОТИБОРСТВА ДВОХ НАДМІРНИХ, ВІДНОВЛЮВАЛЬНИХ ПІСЛЯ ВІДМОВ ТЕХНІЧНИХ СИСТЕМ Поставлено завдання і розроблено математичну модель протиборства двох від- новлювальних після відмов надмірних технічних систем, що беруть участь у конфліктній ситуації. Розроблено алгоритм рішення поставленої задачі, що зве- дена до диференціальної гри між двома конфліктуючими системами. V.I. Potapov MODEL AND ALGORITHM OF NUMERICAL SOLVING OF COUNTERACTION PROBLEM OF TWO EXCESS TECHNICAL SYSTEMS RESTORED AFTER FAILURE Model of counteraction of two technical systems restored after failure in conflict sit- uation was developed and the problem has been stated. Algorithm of solving the for- mulated problem was developed and the given task has been reduced to differential game between two conflicting system. 1. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. — М. : Наука, 1971. — 383 с. 2. Оуэн Г. Теория игр. — М. : Мир, 1971. — 226 с. 3. Дюбин Г.Н., Суздаль В.Г. Введение в прикладную теорию игр. — М. : Наука, 1981. — 336 с. 4. Потапов В.И., Братцев С.Г. Новые задачи оптимизации резервированных систем. — Ир- кутск : Изд-во Иркут. ун-та, 1986. — 112 с. 5. ГОСТ 27.002-89. Надежность в технике. Основные понятия. Термины и определения. — М. : Изд-во стандартов, 1990. — 36 с. 6. Сачков В.Н. Комбинаторные методы дискретной математики. — М. : Наука, 1977. — 320 с. 7. Оуэн Г. Теория игр и игровое моделирование. Исследование операций. Методологические основы и математические методы. — М. : Мир, 1981. — Т. 1. — С. 513–549. Получено 23.04.2014 После доработки 26.08.2014

Модель и алгоритм численного решения задачи противоборства двух избыточных, восстанавливаемых после отказов технических систем

Institution

Ähnliche Einträge