Аналитическое представление функции плотности нормального распределения шума

Розроблено технології і алгоритми знаходження аналітичного виразу функцій щільності нормального розподілу шуму, технології обчислення параметрів розподілу шуму з нульовим середнім. Проведено обчислювальні експерименти. Відзначено важливість та необхідність застосування отриманих результатів у систем...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2015
Автори:	Алиев, Т.А., Мусаева, Н.Ф., Сулейманова, М.Т., Газызаде, Б.И.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2015
Назва видання:	Проблемы управления и информатики
Теми:	Методы обработки информации
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208023
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Аналитическое представление функции плотности нормального распределения шума / Т.А. Алиев, Н.Ф. Мусаева, М.Т. Сулейманова, Б.И. Газызаде // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 4. — С. 104-118. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-208023
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2080232025-10-19T00:09:54Z Аналитическое представление функции плотности нормального распределения шума Аналітичне зображення функції щільності нормального розподілу шуму Analytic representation of the density function of normal distribution of noise Алиев, Т.А. Мусаева, Н.Ф. Сулейманова, М.Т. Газызаде, Б.И. Методы обработки информации Розроблено технології і алгоритми знаходження аналітичного виразу функцій щільності нормального розподілу шуму, технології обчислення параметрів розподілу шуму з нульовим середнім. Проведено обчислювальні експерименти. Відзначено важливість та необхідність застосування отриманих результатів у системах слідкування, моніторингу, контролю, діагностики, прогнозу, ідентифікації, керування та ін. Technologies and algorithms for finding the analytic representation of the density function of normal distribution of noise have been developed. Technologies for calculating the distribution parameters for a noise with zero mean have been developed, Computational experiments have been conducted. The importance and relevance of using the obtained results in systems of tracking, monitoring, control, diagnostics, forecasting, identification, management, etc. has been pointed out. 2015 Article Аналитическое представление функции плотности нормального распределения шума / Т.А. Алиев, Н.Ф. Мусаева, М.Т. Сулейманова, Б.И. Газызаде // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 4. — С. 104-118. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208023 519.216 10.1615/JAutomatInfScien.v47.i8.30 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Методы обработки информации Методы обработки информации
spellingShingle	Методы обработки информации Методы обработки информации Алиев, Т.А. Мусаева, Н.Ф. Сулейманова, М.Т. Газызаде, Б.И. Аналитическое представление функции плотности нормального распределения шума Проблемы управления и информатики
description	Розроблено технології і алгоритми знаходження аналітичного виразу функцій щільності нормального розподілу шуму, технології обчислення параметрів розподілу шуму з нульовим середнім. Проведено обчислювальні експерименти. Відзначено важливість та необхідність застосування отриманих результатів у системах слідкування, моніторингу, контролю, діагностики, прогнозу, ідентифікації, керування та ін.
format	Article
author	Алиев, Т.А. Мусаева, Н.Ф. Сулейманова, М.Т. Газызаде, Б.И.
author_facet	Алиев, Т.А. Мусаева, Н.Ф. Сулейманова, М.Т. Газызаде, Б.И.
author_sort	Алиев, Т.А.
title	Аналитическое представление функции плотности нормального распределения шума
title_short	Аналитическое представление функции плотности нормального распределения шума
title_full	Аналитическое представление функции плотности нормального распределения шума
title_fullStr	Аналитическое представление функции плотности нормального распределения шума
title_full_unstemmed	Аналитическое представление функции плотности нормального распределения шума
title_sort	аналитическое представление функции плотности нормального распределения шума
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2015
topic_facet	Методы обработки информации
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208023
citation_txt	Аналитическое представление функции плотности нормального распределения шума / Т.А. Алиев, Н.Ф. Мусаева, М.Т. Сулейманова, Б.И. Газызаде // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 4. — С. 104-118. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT alievta analitičeskoepredstavleniefunkciiplotnostinormalʹnogoraspredeleniâšuma AT musaevanf analitičeskoepredstavleniefunkciiplotnostinormalʹnogoraspredeleniâšuma AT sulejmanovamt analitičeskoepredstavleniefunkciiplotnostinormalʹnogoraspredeleniâšuma AT gazyzadebi analitičeskoepredstavleniefunkciiplotnostinormalʹnogoraspredeleniâšuma AT alievta analítičnezobražennâfunkcííŝílʹnostínormalʹnogorozpodílušumu AT musaevanf analítičnezobražennâfunkcííŝílʹnostínormalʹnogorozpodílušumu AT sulejmanovamt analítičnezobražennâfunkcííŝílʹnostínormalʹnogorozpodílušumu AT gazyzadebi analítičnezobražennâfunkcííŝílʹnostínormalʹnogorozpodílušumu AT alievta analyticrepresentationofthedensityfunctionofnormaldistributionofnoise AT musaevanf analyticrepresentationofthedensityfunctionofnormaldistributionofnoise AT sulejmanovamt analyticrepresentationofthedensityfunctionofnormaldistributionofnoise AT gazyzadebi analyticrepresentationofthedensityfunctionofnormaldistributionofnoise
first_indexed	2025-10-19T01:07:47Z
last_indexed	2025-10-20T01:09:04Z
_version_	1846461118098178048
fulltext	© Т.А. АЛИЕВ, Н.Ф. МУСАЕВА, М.Т. СУЛЕЙМАНОВА, Б.И. ГАЗЫЗАДЕ, 2015 104 ISSN 0572-2691 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ УДК 519.216 Т.А. Алиев, Н.Ф. Мусаева, М.Т. Сулейманова, Б.И. Газызаде АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ПЛОТНОСТИ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ШУМА  Введение Известно, что решение задач слежения, мониторинга, контроля, диагности- ки, прогноза, идентификации, управления и т.д., которые являются достаточно трудными сами по себе, существенно усложняются, когда необходимо учиты- вать влияние помех [1–4]. В этом случае помеха ),(t которая накладывается на полезный сигнал )(tx и называется шумом: )(tg  )(tx  )(t , (1) существенно искажает результаты и тем самым не обеспечивает адекватность решения. Причинами и источниками шумов могут быть самые разнообразные факторы. При этом если известна природа возникновения шума и она регулярная, то суще- ствует множество методов ее устранения [5–8]. Однако шумы весьма разнообразны как по своему происхождению, так и по физическим свойствам. Поскольку шумы подразделяются на внутренние и внешние, то методы борьбы с ними несколько отличаются. Внутренние шумы появляются в системах приема, передачи и обработки сигналов от влияния различных дестабилизирующих факторов, например от изменения температу- ры, повышенной влажности, нестабильности источников питания, влияния ме- ханических вибраций на гальванические соединения и т.п. [5, 6]. Для борьбы с внутренними шумами используются методы подавления шумов; создаются приемники, нечувствительные к шумам; минимизируется передача шумов че- рез каналы связи и т.д. [5–8]. Внешние шумы возникают при действии наружных помех. Например, источ- никами внешних помех являются атмосферные помехи в результате грозы, мол- нии, ветра, всплесков солнечной энергии, пурги или песчаной бури и т.д. [5, 6]. Внешними шумами также являются космические шумы, которые возникают при действии космических объектов и других внеземных источников [3]. Ин- дустриальные помехи, которые тоже относятся к внешним шумам, появляют- ся от действия двигателей, переключателей, генераторов, моторов и другого промышленного и транспортного оборудования, от действия медицинских ус-  Работа выполнена при финансовой поддержке Научного фонда Государственной нефтяной компании Азербайджана SOCAR на 2013–2015 гг. Договор SOCAREF2013. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 4 105 тановок и т.д. [5, 6]. В этих случаях, если удается, пытаются уменьшить уро- вень действия подобного оборудования или применяют методы фильтрации шумов [5, 6]. Кроме того, для борьбы как с внутренними, так и внешними шумами исполь- зуется множество методов фильтрации, в результате применения которых выби- раются параметры фильтра, позволяющие достигнуть минимального отношения энергии помехи к полезному сигналу [7, 8] и т.д. Однако среди множества различных шумов существуют и такие, которые возникают от влияния различных дестабилизирующих факторов, таких как дефек- ты, износы, коррозии, трещины, поломки и другие неисправности оборудования, устройства, конструкций, двигателя, механизма, мотора и т.д. [9]. Для решения этих задач разработаны методы вычисления характеристик помехи зашумленных сигналов [10–12]. В таких случаях помеха оповещает о начале возникновения де- фектов или неполадок. Такие случайные помехи, как правило, появляются уже на начальной стадии зарождения дефекта, когда о самом дефекте на практике пока еще ничего неизвестно и его невозможно выявить, например, шумы от наличия на стыке двух металлов загрязнений или водяных паров, шумы от влияния микрока- верн в стенках скважины при каротаже и т.д. [5]. Информация о существовании дефектов поступает гораздо позже, лишь при достижении ими явно выраженной формы, когда требуется соответствующий ремонт. Поэтому если вовремя обна- ружить подобные шумы и вычислить их характеристики, то они могут стать ин- формационными, так как позволят выяснить природу возникновения дефектов на ранней стадии и таким образом предотвратить возможные поломки, отказы, ава- рии и т.д. В этом случае информация о помехах представляет собой полезную ин- формацию о возникшей анормальной ситуации, а сама помеха рассматривается как носитель этой информации. При этом известно, что шумы носят случайный характер и представляют со- бой более высокочастотную по сравнению с полезным сигналом случайную функцию со случайной амплитудой и фазой. Кроме того, традиционно предпола- гают, что помеха является белым шумом и описывается нормальным законом распределения с нулевым математическим ожиданием [5–7]. Однако только этой информации недостаточно, чтобы решать задачи слеже- ния, мониторинга, контроля, диагностики, прогноза, идентификации, управления и т.д., так как такие основные характеристики случайной помехи, как функция плотности распределения, ее максимальное значение и точки перегиба, остаются неизвестными. В то же время именно эти характеристики содержат достаточный объем информации о свойствах помехи и являются исчерпывающими для реше- ния перечисленных задач [9]. Для вычисления перечисленных характеристик в теории анализа случайных сигналов существуют соответствующие формулы. Однако для их практического применения необходимо знать дискретные значения аддитивной случайной поме- хи ),(t которую невозможно выделить из зашумленного сигнала ).(tg В то же время выделение полезных составляющих из зашумленных зарегист- рированных сигналов или определение характеристик шумов и помех для извле- чения из них полезной информации — одна из основных задач первичной обра- ботки сигналов [4, 8]. Поэтому в рассматриваемой работе предлагается техноло- гия определения по дискретным наблюдениям, представляющим аддитивную смесь ненаблюдаемых полезного сигнала и нормально распределенной случайной помехи )(t с нулевым математическим ожиданием, функции плотности распре- деления помехи и вытекающих из нее характеристик. 106 ISSN 0572-2691 1. Постановка задачи Известно, что в системах слежения, мониторинга, контроля, диагностики, прогноза, управления, идентификации и т.д. сигналы ),(t поступающие от дат- чиков, состоят из суммы основного сигнала )(tx и мешающих сигналов ),(t т.е. шумов и помех различной природы, т.е. их можно представить в виде (1). При этом, если полезный сигнала )(tx и помеха )(t не коррелированы между собой, то функция плотности распределения ),()(  xfgf зашумленного сигнала )(tg согласно композиции законов распределения представляется в виде [5, 6]: ),()(  xfgf  ),()(  fxf где ),(xf )(f — функции плотности распределения соответственно полезного сигнала )(tx и помехи ).(t Если априори о законе распределения )(gf зашумленного сигнала )(tg ни- чего неизвестно, то его всегда можно определить на основе критерия согласия о мере согласованности теоретического и статистического распределения [13]. Но при этом практически не удается отделить функцию плотности распределе- ния )(xf полезного сигнала )(tx от функции плотности распределения )(f по- мехи ).(t В то же время по виду и динамике изменения функции плотности рас- пределения )(f помехи )(t можно судить об изменениях, происходящих в тех- ническом состоянии исследуемого объекта, т.е. извлечь необходимую полезную информацию. В системах слежения, мониторинга, контроля, диагностики, прогноза, управле- ния, идентификации и т.д. на начальной стадии возникновения дефектов, неис- правностей, неполадок и т.д. помехи подчинены нормальному закону распределе- ния с нулевым средним, т.е. являются гауссовыми процессами. Это объясняется тем, что согласно теореме Ляпунова распределение суммы независимых случай- ных величин (при некоторых достаточно широких условиях) сходится к нормаль- ному, независимо от характера распределения слагаемых [13]. У таких помех ве- роятность того, что амплитуда выброса превысит значение утроенной величины среднего квадратического значения, мала. Гауссов шум возникает при суммиро- вании независимых белых шумов и часто встречается в практических задачах. Плотность распределения гауссова процесса определяется по выражению [13] , 2)( 1 )( )(2 )( 2 2       m ef (2) где )( — среднее квадратическое отклонение помехи, m — математическое ожидание помехи. Однако со временем при увеличении степени неисправности сначала меняет- ся форма нормальной кривой распределения, а затем по мере приобретения де- фектом явно выраженной формы меняется и сам закон распределения, отличаю- щийся от нормального. Поэтому возникает проблема определения функции плот- ности нормального распределения )(f помехи ).(t Это позволит выявить динамику изменения формы нормальной кривой )(f помехи )(t во времени, определить максимум и координаты точек перегиба функции плотности нормаль- ного распределения )(f помехи ).(t Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 4 107 Если составить матрицу информативных признаков, элементами которой яв- ляются перечисленные характеристики, по комбинациям их значений можно оп- ределить не только начальный период зарождения дефекта, но и моменты, когда необходимо провести профилактические работы, текущий или капитальный ре- монты. Поэтому ниже предлагается технология определения функции плотности нормального распределения )(f помехи )(t зашумленного сигнала ).(tg 2. Технология вычисления параметров нормального распределения шума зашумленного сигнала Известно, что нормальное распределение )(f помехи )(t зашумленного сигнала )(tg характеризуется двумя параметрами: математическим ожиданием m и средним квадратическим отклонением )()(  D (или корнем квадратным из момента второго порядка). Так как помеха )(t распределена по нормальному зако- ну с нулевым средним ,0m то задача сводится к вычислению только параметра ).( Для вычисления параметра )( воспользуемся выражением для вычисления корреляционной функции )(ggR зашумленного сигнала ).(tg Известно, что для стационарного случайного сигнала ),(tg обладающего свой- ством эргодичности, корреляционная функция определяет вероятность того, что, имея в момент времени t значение ,1g в момент времени t она будет иметь значение ,2g т.е. характеризует взаимную связь между )(tg и )( tg и вычисля- ется по выражению [14]   dtttxttx T dttgtg T R TT gg ))()(())()(( 1 )()( 1 )( 00  dttxtx T T )()( 1 0    + dtttx T T )()( 1 0   + dttxt T T )()( 1 0   + ,)()( 1 0 dttt T T  где центрированные значения вычисляются по выражениям ,)()( gmtgtg   ;)()( xmtxtx   ,gm xm — математические ожидания соответственно )(tg и ).(tx Учитывая, что полезный сигнал )(tx и помеха )(t независимы, т.е. ,0)()( 1 0  dtttx T T  ,0)()( 1 0  dttxt T T  можно написать: ).()()()( 1 )()( 1 )()( 1 )( 000   RRdttt T dttxtx T dttgtg T R xx TTT gg  (3) Таким образом, корреляционная функция )(ggR зашумленного сигнала )(tg состоит из суммы корреляционных функций )(xxR и )(R соответственно по- лезного сигнала )(tx и помехи ).(t При этом на практике полезный сигнал )(tx более низкочастотный по сравнению с помехой ).(t Поэтому для полезного сиг- нала )(tx при ,0 когда t мало по сравнению с временем ,T )( ttx  не- значительно отличается от ).(tx Следовательно, вероятность того, что значение )( ttx  мало отличается от значения ),(tx близка к единице: .1))()((  ttxtxP 108 ISSN 0572-2691 Тогда отношение )0( )( xx xx R tR  также близко к единице, т.е. [14] ,1 )0( )(   xx xx R tR что равносильно приближенному равенству ).()0( tRR xxxx  (4) В то же время в силу того, что гауссова случайная помеха )(t возникает при суммировании независимых белых шумов, она имеет время корреляции 0 и корреляционная функция )(R представляет собой  -функцию [14], т.е.          .0при0 ,0при)0( )( R R (5) Поэтому, если вычислить оценки корреляционной функции )(ggR зашум- ленного сигнала при 0 и ,t получим следующее. При 0 формула (3) представляется в виде dttgtg T R T gg )()( 1 )0( 0   = dttxtx T T )()( 1 0   + dttt T T )()( 1 0  = ),0()0(  RRxx где ),0( xxR )0( R — оценки автокорреляционных функций соответствен- но полезного сигнала )(tx и помехи )(t при нулевом временном сдвиге  0. Иначе говоря, эти оценки представляют собой моменты второго порядка соответ- ственно полезного сигнала )(tx и помехи :)(t )0( xxR = ),(xD )0( R = ).(D (6) Таким образом, корреляционная функция )(ggR зашумленного сигнала )(tg при  0 состоит из суммы моментов второго порядка ),(xD )(D соответствен- но полезного сигнала и помехи. При достаточно малом по сравнению с временем наблюдения T временном интервале t оценка автокорреляционной функции )( tRgg  зашумленно- го сигнала )(tg приобретает вид dtttgtg T tR T gg )()( 1 )( 0    = dtttxtx T T )()( 1 0   + dtttt T T )()( 1 0   = )( tRxx  + ).( tR  Если найти разницу между оценками автокорреляционной функции зашум- ленного сигнала )(tg при  0 и ,t то получим  )0(ggR )( tRgg  = )0( xxR + )0( R )( tRxx  – ).( tR  С учетом выражений (4)–(6) имеем  )0(ggR )( tRgg   ).0( R Тогда оценку момента второго порядка )(D помехи )(t зашумленного сигнала )(tg можно вычислить по выражению )(D  )0( ggR – )( tRgg  или )(D  )0(  R = .)()( 1 )()( 1 00 dtttgtg T dttgtg T TT    Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 4 109 Следовательно, среднее квадратическое отклонение )( помехи )(t мож- но вычислить по выражению )( = )(D  )()0( tRR gggg  (7) или )(  = )(D  )0(  R = .)()( 1 )()( 1 00 dtttgtg T dttgtg T TT    (8) Таким образом, параметр )( нормального распределения помехи )(t можно вычислить, определив корень квадратный из разности оценок автокорре- ляционной функции )(ggR зашумленного сигнала при нулевом  =0 и единич- ном t временных сдвигах. 3. Технология нахождения аналитического выражения функции плотности нормального распределения шума с нулевым средним Ниже будет показано, что, используя вычисленную оценку )( параметра нормального распределения помехи ),(t можно определить следующие ее харак- теристики. 1. Функцию плотности распределения )(f нормально распределенной помехи )(t зашумленного сигнала )(tg с математическим ожиданием 0m с учетом формулы (2) можно найти по выражению . 2)( 1 )( 2 2 ))((2 )(          m ef (9) Очевидно, что с учетом выражений (7), (8), формулу (9) для аналитического представления функции плотности нормального распределения шума с нулевым средним 0m можно представить в виде 2 2 ))((2 2)( 1 )(         ef или , ))()0((2 1 )( )()0((2 2 tRR gggg gggge tRR f       а также ),( )()( 1 )()( 1 2 1 )( 00              E dtttgtg T dttgtg T f TT  где .)( )()( 1 )()( 1 2 00 2             dtttgtg T dttgtg T TT eE  2. Зная оценку среднего квадратического отклонения помехи ),( также можно определить максимум функции плотности нормального распределения )(max f помехи )(t зашумленного сигнала :)(tg 110 ISSN 0572-2691 . 2)( 1 )(max  mf (10) С учетом условия 0m и выражений (7), (8) формулу (10) можно представить в виде     2)( 1 )0(maxf или , ))()0((2 1 )0(max tRR f gggg   а также . )()( 1 )()( 1 2 1 )0( 00 max             dtttgtg T dttgtg T f TT  3. Кроме того, используя выражения для вычисления оценки среднего квад- ратического отклонения помехи ),( также можно определить координаты пер- вой и второй точек перегиба функции плотности нормального распределения ).(f Известно, что координаты точек перегиба функции плотно- сти нормального распределения )(f определяются по выражениям           e m 2)( 1 );( и . 2)( 1 );(           e m (11) С учетом условия 0m и формул (7), (8), выражение (11) можно предста- вить в виде             e2)( 1 );( и . 2)( 1 );(             e Тогда координаты точек перегиба вычисляются по формулам: для первой точки перегиба по оси абсцисс: ))()0((1 tRRA gggg  или ;)()( 1 )()( 1 1 00           dtttgtg T dttgtg T A TT  для второй точки перегиба по оси абсцисс: ))()0((2 tRRA gggg  или ;)()( 1 )()( 1 2 00           dtttgtg T dttgtg T A TT  для первой и второй точек перегиба по оси ординат: etRR O gggg   ))()0((2 1 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 4 111 или . )()( 1 )()( 1 2 1 00 edtttgtg T dttgtg T O TT              Таким образом, разработаны алгоритмы вычисления функции плотности распре- деления ),(f ее максимума ),0(max f а также точек перегиба             e2)( 1 );( и             e2)( 1 );( нормально распределенной помехи )(t с математическим ожиданием 0m зашумленного сигнала ).(tg 4. Алгоритм вычисления по аналитическому выражению дискретных значений функции плотности нормального распределения помехи с нулевым средним Ниже предлагается алгоритм, позволяющий по аналитическому выражению вычислить дискретные значения функции плотности распределения )(f нор- мально распределенной помехи )(t с математическим ожиданием ,0m мак- симум )0(max f и точки перегиба с координатами             e2)( 1 );( и . 2)( 1 );(             e Пусть от датчика, размещенного в зоне действия влияющих на объект факто- ров и воспринимающего цифровую информацию от этого объекта, поступает ад- дитивный зашумленный цифровой сигнал ),( tg  состоящий из полезного сигнала )( tx  и помехи ).( t Сигнал )( tg  дискретизирован шагом ,t выбранным в соответствии с условием ,2/1 t где  — частота среза помехи. Тогда алгоритм определения функции плотности распределения )(f поме- хи )(t представляется следующим образом: 1. Вычисляется оценка автокорреляционной функции центрированного за- шумленного сигнала )(tg  при  0: ),()( 1 )0( 1 tigtig N R N igg      (12) где  0, 1, ... 2. Вычисляется оценка автокорреляционной функции центрированного за- шумленного сигнала )(tg  при :1 t ).)1(()( 1 )1( 1 tigtig N tR N igg      (13) 3. Вычисляется среднее квадратическое отклонение )( помехи )(t за- шумленного сигнала :)(tg )( = )()0( tRR gggg   = .))1(()( 1 )()( 1 11 tigtig N tigtig N N i N i     (14) 112 ISSN 0572-2691 4. Вычисляются дискретные значения функции плотности распределения ))(( tif  помехи ),( ti ,,2,1 i в интервале ),(3   m т.е. при    )(3m )(3)(   mti имеем . 2)( 1 ))(( 2 2 ))((2 ))((          mti etif (15) Учитывая, что ,0m функцию плотности распределения ))(( tif  следует вычислять в интервале )(3)()(3   ti по следующим выражениям: 2 2 ))((2 )( 2)( 1 ))((         ti etif (16) или , ))()0((2 1 ))(( ))()0((2 )(2 tRR ti gggg gggge tRR tif         (17) а также )),(( ))1(()( 1 )()( 1 2 1 ))(( 11 tiE tigtig N tigtig N tif N i N i                (18) где .))(( 11 2 ))1(()( 1 )()( 1 2 )(               N i N i tigtig N tigtig N ti etiE  5. Определяется максимум функции плотности нормального распределения ))((max tif  помехи )( ti зашумленного сигнала ),( tig  который находится в точке ,0m т.е. при :0)( max  ti     2)( 1 )0(maxf (19) или   , ))()0((2 1 0max tRR f gggg    (20) а также . ))1(()( 1 )()( 1 2 1 )0( 11 max              tigtig N tigtig N f N i N i  (21) 6. Определяются координаты первой и второй точек перегиба             e2)( 1 );( и         e  2)( 1 );( функции плотности нормального распределения ))(( tif  помехи :)( ti Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 4 113  для первой точки перегиба по оси абсцисс: ))()0((1 tRRA gggg   или ,))1(()( 1 )()( 1 1 11            tigtig N tigtig N A N i N i  (22)  для второй точки перегиба по оси абсцисс: ))()0((2 tRRA gggg   или ,))1(()( 1 )()( 1 2 11            tigtig N tigtig N A N i N i  (23)  для первой и второй точек перегиба по оси ординат: etRR O gggg   ))()0((2 1  или . ))1(()( 1 )()( 1 2 1 11 etigtig N tigtig N O N i N i               (24) 5. Технология проведения вычислительных экспериментов Для проверки эффективности технологии вычисления функции плотности нормального распределения )(f помехи )(t зашумленного сигнала ),(tg мак- симума )(max f этой функции, а также точек перегиба              e m 2)( 1 );( ,              e m 2)( 1 );( проведены вычислительные эксперименты с использованием средств компьютер- ной математики MATLAB. Вычислительные эксперименты проводились следую- щим образом. Формировались полезные сигналы )(tx в виде суммы гармонических коле- баний. С помощью генератора случайных чисел формировалась нормально рас- пределенная помеха )( ti с различными заданными значениями параметров распределения ,0m ).( Предполагалось, что это есть истинная помеха. Формировались зашумленные сигналы )( tig  = )( tix  + ).( ti Суть эксперимен- тов сводилась к тому, что вычислялась функция плотности распределения помехи )(f по разработанным алгоритмам с использованием значений сформи- рованного зашумленного сигнала ).( tig  Полученная функция плотности распре- деления помехи сравнивалась с функцией плотности распределения помехи ),(f построенной с помощью сформированных дискретных значений помехи ).( ti По выражениям (2), (10), (11) вычислялась функция плотности распределе- ния ),(f максимум )(max mf функции плотности распределения и точки переги- 114 ISSN 0572-2691 ба           e m 2)( 1 );( ,           e m 2)( 1 );( сформированной помехи ),(t заданной для получения зашумленного сигнала ).(tg Затем вычислялись функция плотности распределения )(f помехи ),(t ее максимум ),(max   mf точки пе- региба              e m 2)( 1 );( ,              e m 2)( 1 );( по предложенным в работе алгоритмам (12)–(18), (19)–(21), (22)–(24) и проводился сравнительный анализ. Для этого были определены: 1) величина относительной погрешности среднего квадратического отклоне- ния :)( ;%100)(/)()()(   2) величины относительных погрешностей дискретных значений функ- ции плотности распределения ))(( tif  помехи ),( ti ,,2,1 i в интервале )(3)()(3   ti по выражению ;%100))((/))(())(())((   tiftiftiftif 3) величина относительной погрешности максимума )(max mf функции плотности распределения по выражению ;%100)(/)()()( maxmaxmaxmax     mfmfmfmf 4) величины относительных погрешностей первой и второй точек перегиба           e m 2)( 1 );( ,           e m 2)( 1 );( по оси абсцисс и ординат по вы- ражениям:  по оси абсцисс для первой точки :))(( m %100))((/))(())((1     mmma ,  по оси абсцисс для второй точки :))(( m %,100))((/))(())((2     mmma  по оси ординат          e2)( 1 : ,%100 2)( 1 2)( 1 2)( 1                               eee o где значение m вычислялось по выражению ,/)( 1 Ntim N i    а значение  m задавалось, исходя из заданного предположения .0 m 6. Результаты и сравнительный анализ вычислительных экспериментов Ниже приводятся результаты одного из множества вычислительных экс- периментов. Полезный сигнал сформирован в виде суммы гармонических ко - лебаний )( tiX  =  )9,0(cos15)3,04,1(sin60 tt  )3,01,1(cos45)5,16,1(sin40 tt Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 4 115   )7,05,2(sin20 t .300)5,13,2(cos80 t Помеха )(t подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием m 0,15 и средним квадра- тическим отклонением  )( 20. На рисунке представлены графики заданной функции плотности распределе- ния помехи (линия 1) и вычисленной по предложенной в работе технологии (линия 2), звездочками обозначены точки перегиба. Из анализа результатов сделаны сле- дующие выводы. 1. Во всех экспериментах заданные )( и вычисленные )( оценки сред- них квадратических отклонений помехи практически совпадают (см. табл. 1, стро- ка 1, столбцы 1–3): )(  )( и вели- чина относительной погрешности )( составляет 2,7 %. 2. Во всех экспериментах заданные m и принятые по условию задачи  m = 0 оценки математических ожиданий помехи практически совпадают (табл. 1, стро- ка 1, столбцы 4–6): m   m и величина относительной погрешности m со- ставляет 15 %. Таблица 1 1 2 3 4 5 6 1 Среднее квадратическое отклонение Математическое ожидание помехи )( )( )( m  m m 20,009 19,475 2,7448 0,15128 0,0 15,13 2 Максимум функции плотности нормального распределения помехи Точка перегиба по оси ординат )(max mf )(max   mf )(max  mf e 2)( 1 e 2)( 1 o 0,019947 0,020485 2,6947 0,012099 0,012425 2,6269 3 Первая точка перегиба по оси абсцисс Вторая точка перегиба по оси абсцисс )(m )(  m 1a )(m )(  m 2a –19,849 –19,475 1,921 20,151 19,475 3,4746 3. В интервале )()()(   ti наиболее вероятных значений вели- чины относительных погрешностей ))(( tif  колеблются в пределах 0–3 %. В интервалах )()()(2   ti и )(2)()(   ti часто встре- чаемых значений помехи )( ti  величины относительных погрешностей колеблются в пределах 0–9 %. В интервалах )(2)()(3   ti и )(3)()(2   ti редко встречаемых значений помехи )( ti  величины относительных погрешностей не превышают 7–20 %. Увеличение относительных погрешностей ближе к «хвостам» объясняется тем, что абсолютные значения функции плотности распределения исчисляются в тысячных и выше долях едини- цы. Таким образом, во всех экспериментах заданные )(f и вычисленные )(f оценки функции плотности нормального распределения помехи практически сов- падают (табл. 2): ))(( tif   )).(( tif  – 60 0,025 0,015 0,005 0 – 40 – 20 0 20 40 60 80 0,01 0,02 2 1 * * * * 116 ISSN 0572-2691 Таблица 2 Функция плотности нормального распределения помехи ti 1 2 3 ti 4 5 6 ))(( tif  ))(( tif  ))(( tif  % ))(( tif  ))(( tif  ))(( tif  % 1 0,00022159 0,00018223 17,762 61 0,019947 0,020485 2,6947 2 0,00025713 0,0002131 17,124 62 0,019922 0,020449 2,6467 3 0,00029763 0,00024854 16,491 63 0,019848 0,020361 2,5848 4 0,00034364 0,00028912 15,866 64 0,019724 0,020219 2,5088 5 0,00039577 0,00033543 15,247 65 0,019552 0,020025 2,4189 6 0,00045468 0,00038813 14,636 66 0,019333 0,019781 2,3151 7 0,00052105 0,00044793 14,032 67 0,019069 0,019488 2,1974 8 0,00059561 0,00051559 13,435 68 0,018762 0,01915 2,0659 9 0,00067915 0,0005919 12,847 69 0,018414 0,018767 1,9207 10 0,00077247 0,00067772 12,266 70 0,018026 0,018344 1,7617 11 0,00087642 0,00077393 11,693 71 0,017603 0,017883 1,5891 12 0,00099187 0,00088148 11,129 72 0,017147 0,017388 1,4029 13 0,0011197 0,0010013 10,574 73 0,016661 0,016862 1,2033 14 0,0012609 0,0011345 10,027 74 0,016149 0,016309 0,99017 15 0,0014164 0,001282 9,4891 75 0,015613 0,015732 0,76375 16 0,001587 0,0014448 8,9607 76 0,015057 0,015136 0,5241 17 0,0017737 0,001624 8,4417 77 0,014485 0,014524 0,27131 18 0,0019775 0,0018206 7,9323 78 0,013899 0,0139 0,0054853 19 0,0021992 0,0020357 7,4328 79 0,013304 0,013268 0,27327 20 0,0024396 0,0022702 6,9432 80 0,012703 0,012631 0,56485 21 0,0026995 0,0025251 6,4639 81 0,012099 0,011993 0,86912 22 0,0029797 0,0028011 5,9949 82 0,011494 0,011358 1,186 23 0,0032808 0,0030991 5,5365 83 0,010893 0,010728 1,5153 24 0,0036032 0,0034199 5,0888 84 0,010297 0,010106 1,8569 25 0,0039475 0,0037639 4,6521 85 0,0097093 0,0094947 2,2107 26 0,0043139 0,0041315 4,2264 86 0,0091325 0,0088971 2,5766 27 0,0047025 0,0045232 3,812 87 0,0085684 0,0083153 2,9543 28 0,0051132 0,0049389 3,409 88 0,0080192 0,007751 3,3438 29 0,005546 0,0053787 3,0176 89 0,0074864 0,007206 3,7449 30 0,0060005 0,0058422 2,6379 90 0,0069715 0,0066817 4,1575 31 0,0064759 0,0063289 2,2701 91 0,0064759 0,0061792 4,5813 32 0,0069715 0,0068381 1,9143 92 0,0060005 0,0056995 5,0162 33 0,0074864 0,0073688 1,5707 93 0,005546 0,0052431 5,4621 34 0,0080192 0,0079198 1,2393 94 0,0051132 0,0048106 5,9187 35 0,0085684 0,0084896 0,9204 95 0,0047025 0,0044022 6,386 36 0,0091325 0,0090764 0,61405 96 0,0043139 0,0040178 6,8636 37 0,0097093 0,0096782 0,32038 97 0,0039475 0,0036573 7,3515 38 0,010297 0,010293 0,039502 98 0,0036032 0,0033204 7,8494 39 0,010893 0,010917 0,22846 99 0,0032808 0,0030066 8,3572 40 0,011494 0,01155 0,4834 100 0,0029797 0,0027153 8,8746 41 0,012099 0,012186 0,72522 101 0,0026995 0,0024457 9,4015 42 0,012703 0,012824 0,95382 102 0,0024396 0,0021972 9,9377 43 0,013304 0,01346 1,1691 103 0,0021992 0,0019686 10,483 44 0,013899 0,01409 1,371 104 0,0019775 0,0017592 11,037 45 0,014485 0,01471 1,5594 105 0,0017737 0,001568 11,6 46 0,015057 0,015318 1,7342 106 0,001587 0,0013938 12,171 47 0,015613 0,015909 1,8955 107 0,0014164 0,0012358 12,75 48 0,016149 0,016479 2,043 108 0,0012609 0,0010927 13,338 49 0,016661 0,017024 2,1767 109 0,0011197 0,00096371 13,933 50 0,017147 0,017541 2,2967 110 0,00099187 0,00084769 14,536 51 0,017603 0,018026 2,4028 111 0,00087642 0,00074367 15,146 52 0,018026 0,018476 2,495 112 0,00077247 0,0006507 15,764 53 0,018414 0,018887 2,5732 113 0,00067915 0,00056785 16,388 54 0,018762 0,019257 2,6375 114 0,00059561 0,00049424 17,019 55 0,019069 0,019582 2,6878 115 0,00052105 0,00042905 17,657 56 0,019333 0,01986 2,724 116 0,00045468 0,00037147 18,3 57 0,019552 0,020089 2,7463 117 0,00039577 0,00032077 18,95 58 0,019724 0,020267 2,7544 118 0,00034364 0,00027626 19,606 59 0,019848 0,020393 2,7486 119 0,00029763 0,00023731 20,267 60 0,019922 0,020466 2,7287 120 0,00025713 0,0002033 20,934 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2015, № 4 117 6. Во всех экспериментах заданный )(max mf и вычисленный )(max   mf мак- симумы функции плотности нормального распределения помехи практически совпадают (см. табл. 1, строка 2, столбцы 1–3), т.е. )(max mf  )(max   mf и вели- чина относительной погрешности )(max  mf не превышает 2,69 %. 7. Во всех экспериментах заданная )(m и вычисленная )(  m пер- вые точки перегиба по оси абсцисс функции плотности нормального распределе- ния помехи практически совпадают (см. табл. 1, строка 3, столбцы 1–3): )(m   )(  m и величина относительной погрешности 1a состав- ляет 1,9 %. 8. Во всех экспериментах заданная )(m и вычисленная )(  m вто- рые точки перегиба по оси абсцисс функции плотности нормального распределе- ния помехи практически совпадают (см. табл. 1, строка 3, столбцы 4–6): )(m   )(  m и величина относительной погрешности 2a составля- ет 3,47 %. 9. Во всех экспериментах заданная e 2)( 1 и вычисленная e 2)( 1 точки перегиба по оси ординат функции плотности нормального распределения помехи практически совпадают (см. табл. 1, строка 2, столбцы 4–6), т.е. e 2)( 1   e 2)( 1 и величина относительной погрешности o составляет 2,627 4%. Таким образом, вычислительные эксперименты показали, что функция плот- ности распределения, ее максимальное значение и точки перегиба заданной поме- хи и функция плотности распределения, ее максимальное значение и точки пере- гиба, вычисленные с использованием разработанной технологии, практически совпадают. Заключение Предложенные в работе технологии дают возможность судить о динамике изменения функции плотности распределения аддитивной помехи, что является достаточно исчерпывающей информацией о характере помехи. Разработанные технологии в системах слежения, мониторинга, контроля, диагностики, прогноза, идентификации, управления и т.д. обеспечивают качественное протекание техно- логического процесса, а также своевременно выявляют зарождающиеся измене- ния и определяют время проведения профилактических работ, текущих и капи- тальных ремонтов. Т.А. Алієв, Н.Ф. Мусаєва, М.Т. Сулейманова, Б.І. Газизаде АНАЛІТИЧНЕ ЗОБРАЖЕННЯ ФУНКЦІЇ ЩІЛЬНОСТІ НОРМАЛЬНОГО РОЗПОДІЛУ ШУМУ Розроблено технології і алгоритми знаходження аналітичного виразу функцій щільності нормального розподілу шуму, технології обчислення параметрів роз- поділу шуму з нульовим середнім. Проведено обчислювальні експерименти. Відзначено важливість та необхідність застосування отриманих результатів у системах слідкування, моніторингу, контролю, діагностики, прогнозу, іденти- фікації, керування та ін. 118 ISSN 0572-2691 T.A. Aliev, N.F. Musaeva, M.T. Suleymanova, B.I. Gazizade ANALYTIC REPRESENTATION OF THE DENSITY FUNCTION OF NORMAL DISTRIBUTION OF NOISE Technologies and algorithms for finding the analytic representation of the density function of normal distribution of noise have been developed. Technologies for cal- culating the distribution parameters for a noise with zero mean have been developed, Computational experiments have been conducted. The importance and relevance of using the obtained results in systems of tracking, monitoring, control, diagnostics, forecasting, identification, management, etc. has been pointed out. 1. Кунцевич В.М. Синтез управления нелинейными объектами в условиях параметрической неопределенности и наличия помех измерений // Труды XII Всероссийского совещания по проблемам управления. — ВСПУ-2014. — М., 2014. 2. Кунцевич В.М. Синтез управления нелинейными объектами в условиях неопределенности // Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2013. — № 6. — С. 6–16. 3. Волосов В.В., Хлебников М.В., Шевченко В.Н. Алгоритм прецизионного управления ориен- тацией космического аппарата при действии неконтролируемого возмущения // Там же. — 2011. — № 2. — С. 114–121. 4. Сальников Н.Н., Сирик С.В. Алгоритм оценивания параметров линейной регрессии при ог- раниченных помехах в измерениях всех переменных // Там же. — 2013. — № 2. — С. 35–48. 5. Отт Г. Методы подавления шумов и помех в электронных системах. — М. : Мир. 1979. — 318 с. 6. Харкевич А.А. Борьба с помехами. — М. : Наука. 1965. — 276 с. 7. Вишняков А.Н., Цыпкин Я.З. Обнаружение нарушений закономерностей по наблюдаемым данным при наличии помех // Автоматика и телемеханика. — 1991. — 12. — С. 128–137. 8. Черно А.А. Управление резонансным электромагнитным вибрационным приводом с ис- пользованием алгоритма цифровой фильтрации на основе дискретного преобразования Фурье // Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информа- тики». — 2014. — № 4. — С. 111–125. 9. Aliev T.A., Musaeva N.F., Guluyev G.A., Sattarova U.E., Rzaeva N.E. System of monitoring of period of hidden transition of compressor station to emergency state // Journal of Automation and Information Sciences. — 2011. — 43(11). — С. 66–81. 10. Musaeva N.F. Robust method of estimation with «contaminated» coarse errors // Automatic Con- trol and Computer Sciences. — 2003. — 37, N 6. — P. 50–63. 11. Musaeva N.F. Technology for determining the magnitude of robustness as an estimate of statisti- cal characteristic of noisy signal // Ibid. — 2005. — 39, N 5. — P. 53–62. 12. Aliev T.A., Musaeva N.F., Sattarova U.E. The technology of forming the normalized correlation matrices of the matrix equations of multidimensional stochastic objects // Journal of Automation and Information Sciences. — 2013. — 45(1), N 6. — P. 1–15. 13. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. — М. : Наука. 1969. — 576 с. 14. Техническая кибернетика. Кн. 2. / Под ред. В.В. Солодовникова — М. : Машиностроение. 1967. — 682 с. Получено 17.04.2015 http://elibrary.nuft.edu.ua/library/DocDescription?doc_id=284449 http://elibrary.nuft.edu.ua/library/DocDescription?doc_id=284449 http://elibrary.nuft.edu.ua/library/DocDescription?doc_id=284449 http://elibrary.nuft.edu.ua/library/DocDescription?doc_id=284449 http://elibrary.nuft.edu.ua/library/DocDescription?doc_id=284449 http://elibrary.nuft.edu.ua/library/DocDescription?doc_id=284449 http://www.mathnet.ru/php/person.phtml?option_lang=rus&personid=52374 http://www.mathnet.ru/php/person.phtml?option_lang=rus&personid=42914 http://elibrary.nuft.edu.ua/library/DocDescription?doc_id=284449 http://elibrary.nuft.edu.ua/library/DocDescription?doc_id=284449 http://elibrary.nuft.edu.ua/library/DocDescription?doc_id=284449 http://elibrary.nuft.edu.ua/library/DocDescription?doc_id=284449 http://elibrary.nuft.edu.ua/library/DocDescription?doc_id=284449

Аналитическое представление функции плотности нормального распределения шума

Репозитарії

Схожі ресурси